DE HSG

<span class='text_page_counter'>(1)</span>đề thi học sinh giỏi môn toán Câu I:. Cho đờng thẳng y = (m-2)x + 2 (d) a) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m. b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) bằng 1. c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) có giá trị lớn nhất. C©uII: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) 2 √ x 2 +2 x +1+ √ x 2 −6 x +9=6 b) √ x+2 √ x −1+ √ x − 2 √ x −1=1 C©u III: xy yz zx a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A= víi x, y, z lµ sè d¬ng vµ x + y + z= 1 + + z x y ¿ x − 1 y −2 z − 2 = = 5 3 2 b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 3 x − 2 y+ z =12 ¿{ ¿ 2 2 x+ √ x −2 x x − √ x −2 x c) B = − x − √ x 2 −2 x x + √ x 2 − 2 x 1. Tìm điều kiện xác định của B 2. Rót gän B 3. Tìm x để B<2 C©u IV: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, với AC < AB; AH là đờng cao kẻ từ đỉnh A. Các tiếp tuyến tại A và B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại M. Đoạn MO cắt cạnh AB ở E. Đoạn MC cắt đờng cao AH tại F. Kéo dài CA cho cắt đờng thẳng BM ở D. Đờng thẳng BF cắt đờng thẳng AM ở N. a) Chøng minh OM//CD vµ M lµ trung ®iÓm cña BD b) Chøng minh EF // BC c) Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MHN d) Cho OM =BC = 4cm. TÝnh chu vi tam gi¸c ABC. Câu V: Cho (O;2cm) và đờng thẳng d đi qua O. Dựng điểm A thuộc miền ngoài đờng tròn sao cho các tiếp tuyến kẻ từ A với đờng tròn cắt đờng thẳng d tại B và C tạo thành tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. §¸p ¸n C©u Néi dung §iÓm I a) y luôn đi qua một điểm cố định với mọi m 0.5 (3®) b) Xác định giao của (d) với Ox là A và Oy là B, ta có: OA = 2: (|2 - m|); OB = 2 0.5 +OH là khoảng cách từ O đến AB. Do OH = 1. Thay vào tính 0.5 m = 2 - √ 3 hoÆc m = 2 + √ 3 . 0.5 + Các đờng thẳng tơng ứng y = √ 3 x + 2 và y = - √ 3 x + 2 0.5 2 c) OH đạt GTLN  m - 4m + 5 đạt GTNN  m = 2 0.5 + §êng th¼ng y = 2 vµ OH = 2. {. II (4®). III (6®). a) §a vÒ d¹ng: 2|x+1| + |x-3| = 6 + Xác định ĐK của x: 5 + Víi x < -1 cã x = 8 + Víi -1 x < 3 cã x =1 ¿ 7 + Víi x > 3 cã x = ∉ TX§. 3 ¿ 5 KÕt luËn : x = vµ x =1 lµ nghiÖm 8 b) §KX§: x 1 + §a vÒ d¹ng: 2x + 2 √ x2 − 4( x −1)=4 + Pt : x + | 2 - x| = 2 + KÕt luËn 1 x 2 lµ nghiÖm a) Dïng B§T C« si xy yz xy yz hay xy + yz ≥ 2y + ≥2 . z x z x z x yz zx t¬ng tù + ≥2z ; x y. √. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5. 0.5 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> zx xy + ≥2x y z. 0.5. KL: A nhá nhÊt b»ng 1 víi x = y = z =. 1 3. 0.5. b) ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ®a vÒ d¹ng: ¿ 3(x −1) 2( y −2) z −2 = = 15 6 2 3 x − 2 y + z=12 ¿{ ¿ Gi¶i t×m hÖ sè tØ lÖ lµ 1 Tính đúng x = 6; y = 5; z = 4. 0.5 0.5. {. c) 1. T×m §KX§ cña B lµ x 0 vµ x  2 2. Biến đổi và rút gọn có kết quả B = 2 √ x2 −2 x 3. B< 2  2 √ x2 −2 x < 2  ( x - 1)2 < 2 KÕt luËn gi¸ trÞ cña x: 1- √ 2 < x< 0 vµ 2 x < 1+ IV (5®). V (2®). 0.5 1 0.5 0.5. √2. + Vẽ hình đúng chính xác , đẹp và ghi GT , KL đúng chính xác a) + OM // CD ( cïng vu«ng gãc víi AB) + Do O lµ trung ®iÓm cña BC vµ OM // CD  M lµ trung ®iÓm cña BD b) Do AH // DB ( cïng vu«ng gãc víi BC) AF FH theo (a) MD = MB, theo định lí Ta lét = DM MB AF = FH hay F lµ trung ®iÓm cña AH. + Chỉ ra E là trung điểm của AB.  EF là đờng trung bình của tam giác AHB hay EF// BC c) Gọi giao điểm của NH với đờng thẳng BM là P. Do AH//MP và F là trung điểm của AH . ChØ ra B lµ trung ®iÓm cña MP. + Tam giác HMD cân tại đỉnh H ( do HB vừa là trung tuyến, vừa là đờng cao  HB là phân gi¸c gãc MHD + V× HA vu«ng gãc víi HB nªn suy ra AH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc MHN d) + Chứng minh đợc ABC =  BMO ( c.h- g.n) cã OB = 2cm; OM = 4cm + Tính đợc BM = 2 √ 3 ( cm) BC = 4cm; AC = BO = 2cm tÝnh AB = 2 √ 3 + Tính đợc chu vi ABC bằng ( 6 + 2 √ 3 ) cm + Vẽ hình đúng, chính xác , đẹp sạch + Diện tích ABC là S, viết đợc S =. AB . OH+ AC .OH 2. + Tính đợc S  8 + Do Smin = 8  AB = AC, AC = CI. VËy tam gi¸c ABC ph¶i vu«ng c©n t¹i A. Từ đó có cách dựng điểm A.. 0.5 0.25 0.25. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0. 5 0. 5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>