De HSG 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phòng GD- ĐT Thạnh Hóa Trường THCS. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA KHỐI 9 MÔN: Toán Thời gian: 150 phút. Câu 1: ( 4đ) 1   2x  x  1 2x x  x  x   1      : 1 x x   1  x 1 x x   Cho biểu thức P =. a) Tìm điều kiện xác định của P. b) Rút gọn P. c) Tính giá trị của P với x = 7  4 3 . d) Tìm giá trị lớn nhất của a khi P > a. Câu 2( 5đ) Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của góc B cắt đường chéo AC thành 4 72. 5 57. hai đoạn và . Tính các kích thước hình chữ nhật . Câu 3: ( 5đ) Bài 1: ( 2đ) 2 2 2 a) Giải phương trình sau: x  4 x  5  x  4 x  8  x  4 x  9 3  5 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2. A=. 4 x 4  4 x 2  x  1   x  1  9. Bài 2: ( 3đ) Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B rồi quay ngay về A với vận tốc riêng không đổi hết tất cả 2 giờ 15 phút. Khi ca nô khởi hành từ A thì cùng lúc đó, một khúc gỗ cũng trôi tự do từ A theo dòng nước và gặp ca nô trên đường trở về tại một điểm cách A là 8km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước. Câu 4: ( 3đ ) Cho (0;R) và điểm M cố định không nằm trên đường tròn . Qua M vẽ một cát tuyến cắt đường tròn tại A và B . Chứng minh rằng tích MA.MB không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến Câu 5: ( 3đ ) a) Chứng minh rằng:. 1 1 1 1 1 1  2    2 2 a b  a  b a b a b. 2 b) Tìm các số nguyên x để 199  x  2 x  2 là một số chính phương chẵn..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN Câu 1: a) ĐKXĐ: x > 0 , x 1. 0,25đ. .  . . . b) P =.  .  . . . .  : 2 x  1 x . 2 x1. . . x 1. =. . . 1. . . x. . . . 1 2 .  x  x  x  . . . x x. .    . . 2 x1. xx x. =. (1.5 đ) mỗi bước 0.25 đ. . 3 7 4 3 2. c) P =. . 1 x  1. 2 x1 x 1. . . x 1. .  .  1 x  x  x  x : 2 x  1  x  1 x 1 x  x . 2 x1. =.   1  1 x  1 . . . x 1   xx  .  . . x 1. =. .  x 2 x1 2 x1 :  1 x  x x  1 x . 2 x1. =. .  x 1 x 2 x1 x  1 x  2 x  1 :  x 1 x  1 x 1 x 1 x 1 . 3. . . . 6 3 3 3 2 3  3 2 3 2 3. 1  x1 x d) P =. mỗi bước 0,25đ. 0,25đ. 1 1  x1  x  1 2 x x Mà 1 2  x1 x Nên P  P 1 dấu “ =” xảy ra. . 0,25đ. 1  x  x 1 x. 0,25đ Nhưng x = 1 không thoã mãn ĐKXĐ. Vậy P > 1 0,25đ Suy ra giá trị lớn nhất của a để P > a là a = 1. 0,25đ B. C. Câu 2:( 5đ) E. (1 đ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> A. D ( 1 đ). Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABC có : EC EA AB  CB EA EC. AB  CB (1). AB CB AB 3 suy ra  (2) CB 4 AB 2 9 AB 2 CB 2     CB 2 16 9 16 Hay. 4 72. 5 75. =. (1đ) (1đ). . AC 2 25 AC 5    2 CB 16 BC 4. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau suy ra 4. Mà AC= AE+ EB =. 5. 2 7. +. 10.4 8 5. (1 đ). 5 7. = 10. (0,5 đ). 3.BC 6 4. Vậy BC= , AB= (0,5đ) Kích thước hình chữ nhật là 6m,8m Câu 3: ( 5đ) Bài 1: ( 2đ) a).  x  2. 2. 1 .  x  2. 2. 4 .  x  2. 2.  5 3  5. Vế trái  1  4  4 Vế trái 3  5 2. Dấu “ = ” xảy ra   x  2  0  x 2 Mỗi ý 0,25đ c) Ta có 2. A  4 x 4  4 x 2  x  1   x  1  9 .  2x. 2. 2.  x  1  9.  A  9  A 3. Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 3. Bài 2: ( 3đ). Mỗi ý 0,25đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Gọi vận tốc riêng của ca nô là x km/h. Gọi vận tốc dòng nước là y km/h.( x > y > 0 ) Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là x + y ( km/h) Vận tốc ca nô khi ngược dòng là x – y ( km/h) Theo đề ta có hệ phương trình: 40 9  40  x  y  x  y 4    40  32  8  x  y x  y y. 0,25đ. 1đ ( mỗi phương trình 0,5đ). 40 9  40     x y x y 4  x 9 y . 0,5đ.  x 36  Giải hệ này ta được  y 4 thỏa mãn điều kiện của ẩn. 1đ ( chia nhỏ 0,25đ) Vậy vận tốc riêng của ca nô là 36 km/h, vận tốc dòng nước là 4 km/h. 0,25đ C B M. Câu 4: ( 3đ ) (0,5 đ). 0. A. D * Trường hợp 1 M nằm trong đường tròn Vẽ đường kính CD đi qua M , 0 nằm giữa M và D ADM và CBM có : BAD = BCD = ½ sđ BD. (0,5đ). CBA = CDA = ½ sđ AC. suy ra ADM  CBM (g-g) MA MD    MA.MB MC.MD (OC  OM ).(OD  OM ) ( R  OM ).( R OM ) MC MB  MA.MB R 2  OM 2 (0,5 đ) vậy MA.MB không đổi * Trường hợp 2 M nằm ngoài đường tròn (0,5đ) M. C. 0. D.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> A B Kẻ cát tuyến MCD qua O , giả sử 0 nằm giữa Mvà D Xét hai tam giác MCB và MAD có A DM = CBM M chung (0,5 đ) MCB MAD MC MB   MA MD  MA.MB MC .MD  (OM  OC ).(OM  OC ) OM 2  R 2. Vậy MA.MB không đổi (0,5 đ) 2 2 Từ 2 trường hợp trên ta thấy MA.MB= / R  OM / không đổi . Do đó MA. MB không phụ thuộc vào vị trí của M (* mỗi trường hợp đạt 1,5 đ) Câu 5: ( 3đ ) a) ( 1đ) Bình phương hai vế ta được: 1 1 1 1 1 1 2 2 2  2  2 2    2 2 2 a b  a  b a b  a  b ab a  a  b  b  a  b   0. 2 a  b 2  ab ab  a  b .  0 0. Bước đầu 0,5đ, hai bước sau mỗi bước 0,25đ 2. b) Đặt. 199  x 2  2 x  2  2n  ( n  N ). 0,25đ. 2. 200   x  1  2 4n 2 2. 4n 2  200 4n 2 16 n 2 ( vì n  N ). Với n = 0 phương trình vô nghiệm. Với n = 1 ta được x1= 13; x2 = – 15 Với n = 2 ta được x3 = 1 ; x4 = – 3 Vậy. x    15;  3;1;13. 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>