Hệ phương trình tuyến tính giải thuật gauss

Hệ phương trình
tuyến tính &
giải thuật Gauss


Đặt vấn đề
Trong thực tế, để giải được bài toán nhiều khi cần phải tính định thức của
ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, tìm ma trận nghịch đảo,…


Giải hệ phương trình
tuyến tính.


Các khái niệm cơ bản
Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số x1, x2, x3, …, xn là hệ
có dạng:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + … + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + … + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Hệ phương trình tuyến tính trên có thể được viết dưới dạng ma trận: 𝐴𝑥 = 𝑏
𝑎11
𝑎12 ⋯
𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22
…
𝑎2𝑛
với 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛 là ma trận các hệ số 𝐴 =
,
⋮

⋮
⋱
⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2
⋯ 𝑎𝑚𝑛
𝑥1
𝑏1
𝑥2
𝑏
x là vector biến và b là vector vế phải 𝑥 = ⋮ , 𝑏 = 2
⋮
𝑥𝑛
𝑏𝑛


Hệ phương trình tuyến tính có thể xảy ra
m=n

Hệ vng
Số phương trình bằng số ẩn.
Thường có 1 nghiệm duy nhất.
m
Hệ thiếu
Số phương trình ít hơn số ẩn số.
Hệ thường vơ số nghiệm.

m>n

Hệ dư

Số phương trình nhiều hơn số ẩn số.
Hệ thường vô nghiệm.


Giải hệ phương trình tuyến tính
Bước 1

Lập ma trận bổ sung
Ghép cột b sau ma trận A

Bước 2

Biến đổi sơ cấp trên dòng
Chuyển ma trận bổ sung
thành ma trận bậc thang

Bước 3

Thế ngược
Tìm nghiệm


●
●

Lập ma trận
bổ sung

●
●

Viết hệ số của x dưới dạng cột, cho cột
đầu.
Viết hệ số của y dưới dạng cột, cho cột thứ
2.
Như vậy cho đến khi hết biến.
Vẽ một đường thẳng và viết các hằng số
của vế phải.
Ví dụ:
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 3
ቐ 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6
3𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 4
Ma trận bổ sung:
1 2 −1 3
2 −1 2 ቮ6
3 −3 3 4


Biến đổi sơ
cấp trên dòng
Phương pháp Gauss: sử dụng phép biến đổi sơ
cấp trên dòng để đưa ma trận bổ sung 𝐴ҧ thành
ma trận bậc thang dòng 𝐴ഥ′ .


Các phép bến đổi trên dòng

Đổi chỗ với các hàng khác

Nhân một hàng với một

hằng số.

Thêm tích của một hàng
nhân với một hằng số vào
một hàng khác.


Cách thực hiện
1.

2.

3.
4.

Phương trình đầu tiên phải có hệ số đầu là 1.
Trao đổi hàng hoặc nhân với hằng số nếu cần.
Các phần tử ở cột thứ nhất, hàng thứ 2 trở đi
biến thành 0 bằng cách sử dụng các phép biến
đổi trên hàng.
Tiếp theo làm cách tương tự với hàng thứ 3.
Nếu hàng nào chứa tất cả số 0 hãy để dưới
cùng.


Điều kiện nghiệm
𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴) ≠ 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴ഥ′ )

𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴ഥ′ = 𝑛

Hệ vơ nghiệm

Hệ có nghiệm duy nhất

𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐴ഥ′ = 𝑟 < 𝑛

Hệ có vơ số nghiệm phụ
thuộc vào n-r ẩn tự do


Thế ngược
tìm nghiệm
Bắt đầu từ dịng cuối cùng khác 0 và thế ngược
lên các phương trình trên để tìm được nghiệm
của hệ phương trình.


Ví dụ 1:
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 1
Hệ phương trình ቐ2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 + 𝑡 = 2
3𝑥 + 5𝑦 − 4𝑧 = 3
1 2
1 −1 1
Lập ma trận bổ sung 2 3 −5 1 ቮ2
3 5 −4 0 3
Chuyển ma trận bổ sung về dạng bậc thanh dung phương pháp Gauss:
1 2
1 −1 1 𝑅2 →𝑅2 −2𝑅1 1 2
1 −1 1 𝑅3 →𝑅3 −3𝑅1
2 3 −5 1 ቮ2

0 −1 −7 3 ቮ0
3 5 −4 0 3
3 5
−4 0 3
1 2
1 −1 1 𝑅3 →𝑅3 −𝑅2 1 2
1 −1 1
0 −1 −7 3 ቮ0
0 −1 −7 3 ቮ0
0 −1 −7 3 0
0 0
0
0 0


𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 𝑡 = 1
(1)
−𝑦 − 7𝑧 + 3𝑡 = 0
Chọn x, y làm ẩn cơ sở; z, t làm ẩn tự do
Tìm giá trị biến y từ phương trình 2 của hệ (1): 𝑦 = −7𝑧 + 3𝑡
Tìm giá trị biến x từ phương trình 1 của hệ (1): 𝑥 = 1 − 2𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 1 − 2 −7𝑧 + 3𝑡 − 𝑧 + 𝑡 = 1 + 13𝑧 − 5𝑡
𝑥 = 1 + 13𝑧 − 5𝑡
𝑦 = −7𝑧 + 3𝑡
Kết quả:
𝑧=𝑧
𝑡=𝑡
1+13𝑧−5𝑡
Nghiệm tổng quát: −7𝑧+3𝑡 với 𝑧, 𝑡 ∈ ℝ
Hệ phương trình tương đương ቊ

𝑧
𝑡


Ví dụ 2:
𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 𝑡 = 2
Hệ phương trình ቐ4𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 2𝑡 = 1
2𝑥 + 7𝑦 − 𝑧 = −1
1 −3
2 −1 2
Lập ma trận bổ sung 4 1
3 −2 ቮ 1
2 7
−1 0 −1
Chuyển ma trận bổ sung về dạng bậc thanh dung phương pháp Gauss:
2 −4𝑅1 1
1 −3
2 −1 2 𝑅𝑅2 →𝑅
−3
2 −1 2 𝑅3 →𝑅3 −𝑅2 1 −3
2 −1 2
→𝑅
3
3 −2𝑅1
4 1
−3 −2 ቮ 1
0 13 −5 2 ቮ 7
0 13 −5 2 ቮ7
0 13 −5 2 −5
0 0

0
0 2
2 7
−1 0 −1
Ta nhận được hệ phương trình tương đương, tỏng đó hàng 0 0 0ȁ2 cho ta phương trình 0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 +
0𝑡 = 2.
Phương trình vơ nghiệm, suy ra hệ phương trình vơ nghiệm.


Ví dụ 3:
1𝑥 + 1𝑦 + 2𝑧 + 3𝑡 = 1
3𝑥 − 1𝑦 − 1𝑧 − 2𝑡 = −4
Hệ phương trình
2𝑥 + 3𝑡 − 1𝑧 − 1𝑡 = −6
1𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 1𝑡 = −4
1 1 2
3 1
3 −1 −1 −2 −4
Lập ma trận bổ sung
2 3 −1 −2 −6
1 2 3 −1 −4
Chuyển ma trận bổ sung về dạng bậc thanh dung phương pháp Gauss:
1 1 2
3 1
3 −1 −1 −2 −4
2 3 −1 −2 −6
1 2 3 −1 −4

𝑅2 →𝑅2 −3𝑅1
𝑅3 →𝑅3 −2𝑅1

𝑅4 →𝑅4 −𝑅1

1
0
0
0

1 2
−4 −7
1 −5
1 1

1
3
−11 −7
−7 −8
−4 −5

−1
)𝑅2
4
−1
𝑅4 →𝑅4 −( )𝑅2
4

𝑅3 →𝑅3 −(

1
0
0

0

2
1
3
1 −7 −11 −7
−4
27
39
39
−
−
−
0
4
4
4
3
27
27
0 −
−
−
4

4

4

3
1
2
−11 −7
1 1
1
−7
𝑅4 →𝑅4 − 𝑅3
39
39
9
0 −4
27 −
−
0 0 −
4
4
4
17
17
0 0
0
−
−
3
3
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 3𝑡 = 1
−4𝑦 − 7𝑧 − 11𝑡 = −7
27
39

39
Hệ phương trình tương đương
1
− 𝑧− 𝑡=−
4

−

4

−17
3

𝑡=−

4

17
3

Tìm giá trị biến t từ phương trình 4 của hệ (1): 𝑡 = 1
Tìm giá trị biến z từ phương trình 3 của hệ (1): z = 0
Tìm giá trị biến y từ phương trình 2 của hệ (1): y = -1
Tìm giá trị biến x từ phương trình 1 của hệ (1): x = -1
−1
−1
Nghiệm tổng quát 𝑥 =
0
1

Thanks
CREDITS: This presentation template was created by
Slidesgo, including icons by Flaticon, and infographics
& images by Freepik and illustrations by Storyset