Tài liệu Tổng hợp đề thi cao học ppt

Trần Mậu Quý -
ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC
CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI - KHÓA 15
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I. Cho (X, T ) là một không gian tôpô. Chứng minh rằng
1. Với mỗi tập A trù mật trong X và mỗi tập mở U ⊂ X ta có
U = U ∩ A.
2. Với mỗi tập đóng F ⊂ X và mỗi tập A ⊂ X ta có
int(F ∪ intA) = int(F ∪ A).
3. Với mỗi tập A ⊂ X ta có X\A = X\intA.
Câu II. Kí hiệu X = R, F = {
1
k
| k ∈ Z
∗
}. Với mỗi n ∈ N
∗
, mỗi x ∈ X, ta đặt
V
n
(x) = (x −
1
n
, x +
1
n
) và
B(x) =

{V
n

(x) | n ∈ N
∗
} nếu x = 0
{V
n
(x)\F | n ∈ N
∗
} nếu x = 0
Chứng minh rằng họ {B(x) | x ∈ X} xác định một tôpô trên X sao cho B(x)
là một cơ sở lân cận của điểm x, và với tôpô này X là T
2
− không gian nhưng
không phải là T
3
−không gian.
Câu III. Cho X = {x = (x
n
)
∞
n=1
| x
n
∈ Rvới mọin ∈ N
∗
}.
1. Với mỗi n ∈ N
∗
ta đặt p
n
(x) = |x

n
| với mọi x ∈ X. Chứng minh rằng
P = {p
n
| n ∈ N
∗
} là họ các nửa chuẩn trên X và tách. Suy ra X với tôpô
T sinh bởi họ nửa chuẩn P là lồi địa phương.
2. Với x = (x
n
)
n
, y = (y
n
)
n
∈ X ta đặt
d(x, y) =
∞

n=1
2
−n
|x
n
− y
n
|
1 + |x
n

− y
n
|
Chứng minh rằng (X, d) là một không gian mêtric.
3. Gọi T
∞
là tôpô sinh bởi mêtric d. Chứng minh rằng mọi dãy trong X hội tụ
theo T
∞
thì hội tụ theo tôpô T . Hai tôpô T và T
∞
có tương đương không?
Câu IV. Cho µ là một độ đo và f là một hàm khả tích ứng với độ đo µ. Với
mỗi tập đo được E ta đặt
ν(E) =

E
fdµ.
Chứng minh ν là một độ đo có dấu và liên tục tuyệt đối đối với µ.
——————————————————————————————–
Ghi chú: Học viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
Trần Mậu Quý -
BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K15
ĐẠI HỌC HUẾ Môn thi: MAPLE - L
A
T
E
X
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Thời gian làm bài: 120 phút
Câu I. Cho đa thức f = x

3
− 5x
2
+ 4x + 5 ∈ Q[x]
1. Dùng Maple để chứng tỏ f bất khả quy
2. Gọi α là một nghiệm của f. Tìm dạng nhân tử hóa của f trong Q(α)[x]
3. Chứng tỏ f có 3 nghiệm thực. Xác định 3 nghiệm thực đó.
Câu II. Viết ít nhất một thủ tục bằng Maple được chọn trong bảng các đề tài
lập trình đã cho. Nộp file .mws chạy trong Maple 9.5.
Câu III. Soạn thảo văn bản ở trang 2 bằng L
A
T
E
X. Nộp file tex chạy trong
MikTex, dùng gói tiếng Việt
\usepackage[tcvn]{vietnam}
Câu IV. Trình chiếu văn bản ở trang 2 bằng định dạng pdf. Nộp file pdf.
————————————————Hết————————————————
Ghi chú: Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
1
Trần Mậu Quý -
1 ĐA TẠP AFIN
1.1 ĐỊNH LÍ KHÔNG ĐIỂM HILBERT
Định lí 1 (Không điểm Hilbert, dạng 2). Cho mở rộng trường K ⊂ L và l
đóng đại số. Khi đó mọi iđêan J ⊂ K[x
1
, x
2
, ..., x
n

], ta có I(Z(J)) =
√
J.
Chứng minh. Ta chứng minh rằng định lí trên tương đương với (7). Ta đa biết
√
J ⊂ I(Z(J)). Với f ∈ I(Z(J)) và f = 0. Xét iđêan J
1
của K[x
1
, x
2
, ..., x
n
, t] sinh ra
bởi J và f t−1. Nếu có (a
1
, a
2
, ..., a
n
, t) ∈ A
n+1
L
thuộc Z(J
1
) thì (a
1
, a
2
, ..., a

n
) ∈ Z(J)
và do đó t
0
f(a
1
, a
2
, ..., a
n
) − 1 = −1. Mặt khác, do (a
1
, a
2
, ..., a
n
, t
0
) ∈ Z(J
1
) ta có
t
0
f(a
1
, a
2
, ..., a
n
)− 1 = 0. Vô lí. Vậy Z(J

1
) = ∅ . Suy ra J
1
= (1). Tồn tại biểu diễn
1 =
n

i=1
g
i
f
i
+ (tf − 1)g,với f
i
∈ J, g, g
i
∈ K[x
1
, x
2
, ..., x
n
, t]
Xét ánh xạ
β : K[x
1
, x
2
, ..., x
n

, t] −→ K(x
1
, x
2
, ..., x
n
, t)
x
i
−→ x
i
t −→
1
f
Khi đó 1 =
n

i=1
β(g
i
)f
i
. Đặt β(g
i
) =
h
i
f
n
i

với h
i
∈ K[x
1
, x
2
, ..., x
n
] và r = max{n
1
, n
2
, ..., n
m
}.
Khi đó f
r
∈ (f
1
, ..., f
m
) ⊂ J. Vậy f ∈
√
J. Ngược lại, từ (9), nều Z(J) = 0 thì ta
có
√
J = I(∅) = K[x
1
, x
2

, ..., x
n
]. Suy ra J = K[x
1
, x
2
, ..., x
n
]. Vô lí.
Định lí 2 (Không điểm Hilbert). Cho J ⊂ K[x
1
, x
2
, ..., x
n
] là một iđêan và
f ∈ I(Z(J)). Khi đó tồn tại r ∈ N sao cho f
r
∈ J.
1.2 CHIỀU CỦA (TỰA) ĐA TẠP AFIN
Mệnh đề 3.
(i) Các ánh xạ I và Z đảo ngược thứ tự bao hàm.
(ii) Với mọi Y
1
, Y
2
⊂ A
n
, ta có I(Y
1

∪ Y
2
) = I(Y
1
) ∩ I(Y
2
) .
(iii) Cho J là một iđêan tùy ý của K[x
1
, ..., x
n
]. Khi đó I(Z(J)) =
√
J.
(iv) Cho Y ⊂ A
n
. Khi đó Z(I(Y )) = Y .
2
Trần Mậu Quý -
BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỨNG CHỈ CAO HỌC - K16
ĐẠI HỌC HUẾ Môn thi: MAPLE - L
A
T
E
X
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Thời gian làm bài: 120 phút
Câu I. Cho đa thức f = x
3
+ 5x
2

+ 2x − 5 ∈ Q[x]
1. Dùng Maple để chứng tỏ f bất khả quy.
2. Chứng tỏ f có 3 nghiệm thực. Xác định 3 nghiệm thực (gần đúng) đó.
3. Gọi α là một nghiệm của f, hãy biểu diễn (α
2
− 1)
−1
∈ Q(α) như một đa
thức theo α có bậc không quá 2.
4. Phân tích f thành tích các nhân tử bậc nhất trong một trwongf mở rộng
của Q.
Sản phẩm nộp là file .mws chạy trong Maple 9.5.
Câu II. Hãy đưa ra vài ứng dụng của Maple trong giảng dạy toán phổ thông và
đại học. Nêu các bình luận về việc sử dụng Maple trong nghiên cứu và giảng dạy.
Câu III. Soạn thảo văn bản sau (đề thi mẫu)
1
bằng L
A
T
E
X. Nộp file tex chạy
trong MikTex, dùng gói tiếng Việt
\usepackage[utf8]{vietnam}
Câu IV. Trình chiếu văn bản sau (đề thi mẫu) bằng định dạng pdf. Nộp file pdf.
———————————————Hết———————————————
Ghi chú: Sinh viên được sử dụng tài liệu khi làm bài.
1
Xem văn bản ở trang 4 - C.M.Q
3
Trần Mậu Quý -

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:.....................................
ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh: .............................................
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỀ THI MẪU
Môn thi: ĐẠI SỐ
Thời gian làm bài: 120 phút
—————————————————————————————————————
Câu I. Trên tập hợp G = [0, 1) = {x ∈ R|0 ≤ x < 1}, xét phép toán ⊕ định bởi
∀x, y ∈ G, x ⊕ y = x + y − [x + y] (ở đây [x + y] là phần nguyên của x + y).
Chứng minh:
1) (G,⊕) là một nhóm aben;
2) Ánh xạ f : G −→ C∗ định bởi f = cos(2πx) + isin(2πx), là một đồng cấu
nhóm từ G vào nhóm nhân các số phức khác 0.
Câu II. Cho A và B là các iđêan của vành R. Vành R được gọi là tổng trực tiếp
của các iđêan A và B, kí hiệu R = A⊕ B, nếu R = A + B và A∩ B = {0}. Chứng
minh rằng:
1) R = A ⊕ B nếu và chỉ nếu mọi phần tử x ∈ R đều biểu thị duy nhất dưới
dạng x = a + b trong đó a ∈ A, b ∈ B.
2) Vành số nguyên Z chỉ có sự phân tích tầm thường, tức là nếu Z = A ⊕ B
thì A = {0} hoặc B = {0}.
Câu III. Cho T là một phép biến đổi tuyến tính của khôg gian vec tơ V và
x ∈ V . Chứng minh rằng nếu tồn tại số m nguyên dương sao cho T
m
(x) = 0 và
T
m−1
(x) = 0 thì hệ (x, T (x), ..., T
m−1
(x)) độc lập tuyến tính.
Câu IV. Cho A ∈ M(n, K), với n ≥ 2, là một ma trận vuông cấp n lấy hệ tử

trong trường K. Kí hiệu

A là ma trận phụ hợp của A. Chứng minh rằng:
1) Nếu A không suy biến thì

A không suy biến.
2) Nếu rank(A) = n − 1 thì rank(

A) = 1.
3) Nếu rank(A) ≤ n − 2 thì

A = 0.
Câu V. Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường F. Chứng minh rằng:
rank(A) − rank(A
2
) ≥ rank(A
2
) − rank(A
3
).
Hãy tổng quát hóa kết quả trên.
———————————————————————————————–
Ghi chú:
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
4