Tài liệu TONG HOP ĐE THI HSG TINH QUANG NGAI TU 2001 - 2010

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI Năm học 2001 – 2002
Mơn : Tốn Lớp : 9
Thời gian : 150 phút Ngày thi :
Bài 1 :( 5 điểm)
1. Giải hệ phương trình :
3 3 3
2001 2001 2001 1001
3
2
9
x y z xyz
x y z
x y z

+ + =

+ =


+ + =

2. Ba số x,y,z thoả mãn điều kiện :
3 3
2 9 45 x y= =
và
1 1 1
1
x y z
+ + =
.

Chứng minh rằng:
2 2 2
3
3 3
3
2 9 45 2 9 45x y z
+ + = + +
Bài 2 ( 5 điểm)
1. Tìm m để phương trình x
2
-4|x| + m = 0 có nghiệm duy nhất .
2. Tìm giá trò lớn nhất của y =
2
4
16
x
x
+
, với x
∈
R .
Bài 3 ( 5 điểm)
Một số được gọi là số chính phương nếu nó bằng bình phương của một số tự nhiên nào
đó .
1. Hãy tìm tập hợp các số dư khi chia các số chính phương cho 5 .
2. chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 19
2n
+ 5
n
+ 2002 không phải là số chính

phương .
Bài 4 ( 5 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn. M là điểm bất kì trên cung AC
(không chứa điểm B).Kẻ MH vuông góc với AC; MK vuông góc với BC (H thuộc AC, K
thuộc BC). Gọi P, Q tươg ứng là trung điểm của AB và KH. Chứng minh rằng: tam giác
PQM là tam giác vuông.
-------------------Hết ----------------
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI Năm học 2003 – 2004
Mơn : Tốn Lớp : 9
Thời gian : 150 phút Ngày thi : 23/3/2004
Bài 1 :( 5 điểm)
1. Thực hiện phép tính :

1 1 1 1 1
...
1 2 2 3 3 4 2002 2003 2003 2004
+ + + + +
+ + + + +
2. Giải hệ phương trình :

1 1 1
2
1 1 1
3
1 1 1
4
x y z

y x z
z x y

+ =

+


+ =

+


+ =

+

Bài 2 :( 5 điểm)
1. Trong tất cả các cặp số (x,y) thoả mãn : x
2
– yx
2
+ 2xy – y + 7 = 0. Hãy tìm cặp
số mà y có giá trò nhỏ nhất.
2. Cho a, b, c là các số thoả mãn các điều kiện: - 1 ≤ a ≤ 2 ; - 1 ≤ b ≤ 2; -1 ≤ c ≤ 2 và
a + b + c = 0. Chứng minh: a
2
+ b
2
+ c

2
≤ 6.
Bài 3 :( 4 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên a và b để số a
4
+ 4b
4
là số nguyên tố .
Bài 4 :( 6 điểm)
1. Cho hình vuông ABCD có tâm O, cạnh bằng 10cm. Gọi I là một điểm bất kì nằm
trên nửa đường tròn đi qua ba điểm A, O, D không chứa điểm O (I không trùng với A và
D). IO cắt cạnh BC tại J. Cạnh DK của hình bình hành IJKD cắt BC tại E, EH là đường
cao của tam giác EKJ.
a) Tính số đo của góc HEK.
b) Chứng minh rằng IJ > 10
2
cm.
2. Cho tam giác ABC cố đònh, xét các hình chữ nhật có hai đỉnh ở trên cạnh BC
của tam giác và hai đỉnh kia ở trên hai cạnh còn lại của tam giác. Tìm hình chữ nhật có
diện tích lớn nhất.
-------------------Hết ----------------
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI Năm học 2004 – 2005
Mơn : Tốn Lớp : 9
Thời gian : 150 phút Ngày thi : 29/3/2005
Bài 1 :( 5 điểm)
1. Rút gọn biểu thức: P =
( ) ( )

( )
2
2
1 1 1 1 1 1
2 1
x x x x x
x x
 
+ − + + − − −
 
+ −
2. Cho a + b + c + d = 2. Chứng minh rằng a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
≥ 1.
Bài 2 :( 5 điểm)
1. Giải hệ phương trình
1
4
9
x xy y
y yz z
z zx x
+ + =



+ + =


+ + =

2. Tìm tất cả các số thực x
1
; x
2
; …; x
2005
thoả mãn:
( )
2 2 2
1 2 2005 1 2 2005
1
1 2 2 ... 2005 2005 ...
2
x x x x x x
− + − + + − = + + +
Bài 3 :( 4 điểm)
1. Cho A = 1 +2 +2
2
+ …+ 2
2003
+ 2
2004
. Chứng minh rằng A chia hết cho 31.
2. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n

4
+ n
3
+ 1 là số chính phương.
Bài 4 :( 6 điểm)
Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), nội tiếp trong đường tròn (O) . M là điểm bất
kì trên dây BC. Qua M vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với AB tại B; Qua M vẽ đường tròn
tâm E tiếp xúc với AC tại C. Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (D) và (E).
a) Chứng minh rằng N thuộc đường tròn (O).
b) Chứng minh rằng tích AM . AN không đổi khi M thay đổi trên BC.
c) Khi M thay đổi trên BC thì trung điểm I của đoạn DE chạy trên đường nào?
-------------------Hết ----------------
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI Năm học 2005 – 2006
Mơn : Tốn Lớp : 9
Thời gian : 150 phút Ngày thi : 12/3/2006
Bài 1 :( 5 điểm)
1. Cho a> 0 và
2
4 2 2 0.a a+ − =
Chứng minh rằng :
4 2 2
1
2
1
a
a a a
+

=
+ + −
.
2. Giải phương trình:
2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x− + − + + + − =
Bài 2 :( 4 điểm)
1. Chứng minh rằng: x, y > 0 thì
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
2. Cho a > 0; b> 0; c > 0 và a + b + c = 6. Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức :

1 1 4a b c
P
a b c
− − −
= + +
Bài 3 :( 5 điểm)
1. Tìm các số nguyên x để biểu thức x
4
– x
2
+ 2x + 2 là số chính phương.
2. Tìm các số nguyên n để n
2006
+ n
2005
+ 1 là số nguyên tố .
Bài 4 :( 6 điểm)

1. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tỉ số k. Gọi AM và
A’M’; R và R’ là các trung tuyến và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tương
ứng của hai tam giác đó. Chứng minh rằng
.
' ' '
AM R
k
A M R
= =
2. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O,R) với BC cố đònh. Các đường
cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Gọi I, J theo thứ tự là trung
điểm của BC và EF.
a) Chứng minh rằng AH = 2 OI và AI . OI = R. AJ
b) Chứng minh rằng S
ABC
= ½ R(EF + DE + DF) và hãy xác đònh vò trí của
điểm A để chu vi của tam giác DEF lớn nhất (S
ABC
là kí hiệu diện tích của
tam giác ABC).
c) Gọi M là điểm đối xứng của H qua A. Khi A thay đổi thì điểm M chạy
trên đường nào?
-------------------Hết ----------------
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI Năm học 2006 – 2007
Mơn : Tốn Lớp : 9
Thời gian : 150 phút Ngày thi : 16/3/2007
06- 07

Bài 1 :( 5 điểm)
1. Cho
1 1 1
2 2.
2 8 8
x = + −
Tính giá trò của biểu thức M =
2 4
1x x x+ + +
.
2. Cho a
≥
0 và b≥ 0. Chứng minh rằng:
( )
2
2 2
2
a b
a b a b b a
+
+ + ≥ +

Bài 2 :( 4 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
2
2
2
4 2 0
2 2 0
2 1 0

x yz z
x xy z
xz y y

+ + =

+ + =


+ + + + =

2. Cho ba số x, y, z thoả mãn điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 1. Tính giá trò nhỏ nhất của
biểu thức S = xy + yz + 2zx.
Bài 3 :( 5 điểm)
1. Tìm các số nguyên dương n sao cho hai số 2n + 2003 và 3n + 2005 đều là
những số chính phương.
2. Cho a, b là các số nguyên và n là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng nếu p
4
là
ước của a
2
+b
2
và a.(a+b)

2
thì p
4
cũng là ước của a.(a+b)
Bài 4 :( 6 điểm)
1. Cho đường tròn tâm O, đường kính Bc cố đònh và điểm A thuộc đường tròn (O).
Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi I,K theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp
của tam giác AHB và tam giác AHC. Đường thẳng IK cắt AB tại M và cắt AC
tại N.
a) Chứng minh tam giác AMN vuông cân.
b) Xác đònh vò trí của A để tứ giác BCNM nội tiếp được trong đường tròn.
c) Chứng minh S
AMN
≤ ½ S
ABC
(S
AMN là
diện tích tam giác AMN; S
ABC
là diện
tích tam giác ABC).
2. Cho hình vuông ABCD tâm E. Một đường thẳng đi qua A và cắt cạnh Bc tại M
(M≠C). và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng
EM và BN. Chứng minh rằng CK vuông góc với BN.
-------------------Hết ----------------
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC