TAI LIEU ON THI HSG GIAI TOAN TREN MAY TINH CASIO

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THCS TRUNG BÌNH TỔ TOÁN ------. NGUYỄN HOÀNG DUY. BÀI TẬP. GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY. Dành cho GV ôn luyện hsg giải toán trên máy tính casio TRUNG BÌNH 2015.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HS chuẩn bị ít nhất một trong các loại máy sau để tham gia học tập:Casio fx 570MS, Casio fx 570ES, VinaCal 579MS, Casio fx 570 VN Plus, Casio fx 991ES (2 năng lượng) và các loại máy có chức năng tương đương. Thông tin liên lạc với GV: 0904 743 092; 0919236300. Mục lục Mục lục. Phần nội dung § 0 . Giới thiệu tổng quát về chức năng Casio fx 570MS và Casio 570ES § 1 . Đại số sơ cấp § 2 . Số học phổ thông § 3 . Hình học trung học cơ sơ § 4 . Cấp số, dãy số và giới hạn dãy số § 5 . Toán phần trăm, toán kĩ thuật, tính thời gian § 6 . Một số dạng toán đại học § 7 . Giới thiệu các đề thi máy tính cầm tay THCS cấp khu vực và toàn quốc. Tài liệu tham khảo Phụ lục.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> PHẦN NỘI DUNG § 0 . Giới thiệu tổng quát về chức năng Casio fx 570MS và Casio 570ES 0.1. Chương trình giả lập máy tính cầm tay trên vi tính Sinh viên có thể download các chương trình giả lập máy tính cầm tay trên vi tính tại trang www.bitex.edu.vn. * Giả lập Casio fx 570MS: Ngoài chức năng tương tự như một máy tính Casio fx 570MS, chương trình này cho phép gọi ra dãy phím vừa bấm trên máy (với thời gian cụ thể kèm theo) bằng chức năng “View log”. Thuận lợi của chức năng này là người báo cáo thuyết trình về máy tính cầm tay có thể cho hiện lại thao tác ấn phím một cách nhanh chóng để người nghe thực hiện theo; hơn nữa giáo viên có thể copy các phím này vào bài soạn máy tính cầm tay của mình. Chương trình giả lập Casio fx 570MS được viết bơi một sinh viên khoa Toán – Tin, trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh với sự hướng dẫn của các giảng viên của trường. Bạn có thể liên hệ qua địa chỉ “nguyendangkimkhanh. ” để được cập nhật miễn phí chương trìh này. * Giả lập VinaCal-579MS: 0.2. Máy Casio fx 570MS * Các chức năng Mode: MODE 1: COMP (COMPUTING) Tính toán thông thường. MODE 2: CMPLX (COMPLEX) Tính toán với số phức. MODE2 1: SD (STANDAR DEVIATION) Toán thống kê. MODE2 2: REG (REGRESSIVE) Toán hồi quy, tương quan. Một số chức năng cài đặt trong MODE REG như sau: 1. LIN (LINEAR): Hồi quy tuyến tính. 2. LOG (LOGARIT): Hồi quy logarit. 3. EXP (EXPONEENTIAL): Hồi quy mu MODE2 3: BASE Toán trên các hệ đếm 2-8-10-16. MODE3 1:EQN (EQUATION) Giải phương trình, hệ phương trình. Một số chức năng cài đặt trong MODE EQN như sau:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2 UNKNOWNS, 3 UNKNOWNS: Hệ phương trình tuyến tính 2, 3 ẩn (unknowns). 2 DEGREE, 3 DEGREE: Phương trình bậc (degree) 2, bậc 3. MODE3 2: MAT (MATRIX) Toán ma trận. MODE3 3: VCT (VECTOR) Toán véctơ. MODE4 1: DEG (DEGREE) Cài đặt chế độ “độ” cho phép tính lượng giác. MODE4 2: RAD (RADIAN) Cài đặt chế độ “radian” cho phép tính lượng giác. MODE4 3: GRA (GRADE) Cài đặt chế độ “grát” cho phép tính lượng giác( 1gra = 0,90). MODE5 1: FIX (FIXED NUMERIC FORMAT) Cài đặt làm tròn kết quả hiển thị từ 0 đến 9 chữ số thập phân sau dấu phẩy. MODE5 2: SCI (SCIENTIFIC NUMBER) Cài đặt hiển thị dạng số kỹ thuật a.10 x .. MODE5 3: NORM (NORMAL). MODE6 1: DISP (DISPLAY) Một số chức năng cài đặt trong MODE DISP như sau: 1: ENG ON, 2: ENG OFF Bật, tắt chế độ hiển thị số kỹ thuật. m ► 1: ab/c, 2: d/c Quy định một phân số n (có m > n) luôn hiển thị dạng hổn số hoặc không. ►► 1: DOT, 2: COMMA Quy định hiển thị dấu phân cách các chữ số (bộ ba số: nghìn, triệu, tỷ,...) và dấu phân cách thập phân là dấu phẩy (comma) hay dấu chấm (dot). * Biến nhớ và cách sử dụng: Các biến gồm: A, B, C, D, E, F, X, Y, M, Ans, trong đó Ans là biến nhận giá trị hiện hành của kết quả vừa thực hiện xong trên máy. ◊ Lưu giá trị vào biến: Lưu 10 vào biến A, thao tác 10 Shift Sto A, sau này ta viết tắc là 10  A. Lưu 20 + 100 vào biến D, thao tác 20 + 100 Shift Sto D, viết tắc là 20 + 100  D. Riêng biến M sẽ thay đổi giá trị khi ấn phím M + hoặc M –.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ví dụ: 5  M, sau đó ấn 7 M+, khi đó biến M lúc này nhận giá trị 12. ◊ Gọi giá trị biến ra: Ấn Alpha A  , kết quả: 10 (vì đã lưu 10  A ơ trên). Ấn Alpha A + Alpha D  , kết quả: 130. ◊ Đối với biến Ans: Máy tự động lưu lại giá trị hiện hành vào Ans. Ấn 2 + 8  , ấn tiếp Ans + 5  , kết quả: 15. * Một số phím chức năng thường dùng: AC (CANCEL): Hủy lệnh (công thức) vừa nhập. DEL (DELETE), INS (INSERT): Xóa,chèn ký tự. SHIFT: Gọi chức năng các phím màu vàng. ALPHA (ALPHABET): Gọi chức năng các phím màu đỏ. CLR (CLEAR): Xóa cài đặt các Mode để trơ về trạng thái mặc định ban đầu của máy. CALC (CALCULATE): Tính giá trị biểu thức chứa biến (một hoặc nhiều biến). SOLVE: Giải gần đúng phương trình tùy ý. Dấu “ = ” màu đỏ, dấu “ : ” màu đỏ: Dùng vào lập trình. Chú y: Trong giải thuật lập trình sau này quy ước nếu viết = thì hiểu dấu bằng màu đỏ lập trình, nếu viết  thì hiểu dấu bằng màu trắng. CONV (CONVERT) Đổi các đơn vị vật lý (Yard  m, mile  km, hp  KW...) Xem thông số chuyển đổi ơ nắp máy.. CONST (CONSTANT) Hằng số vật lý quốc tế (Xem ơ nắp máy). ab/c, d/c: Chuyển đổi qua lại giữa dạng số thập phân và phân số. LOGIC Thực hiện phép toán logic và các hệ đếm. DEC (DECIMAL) Hệ thập phân, HEX (HEXADECIMAL) Hệ lục phân, BIN (BINARY) Hệ nhị phân, OCT (OCTAL) Hệ bát phân. e x  e x e x  e x sinh x  , cosh x  2 2 . Hyp (Hyperpolic): sin-1: arcsin Hàm ngược của hàm sin.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>   2   2  arcsin   VD : sin     4 2 2   4  x ENG (ENGINE) Hiển thị kiểu số kỹ thuật a.10 .. i màu xanh (Imaginary): Đơn vị ảo i của số phức. z r  cos   i sin   Arg (Argument) Argument  của số phức .. Abs (Absolute) Trị tuyệt đối, môđun số phức. Conj (Conjugate) Số phức liên hợp. Pol( (Polarity) Chuyển đổi dạng cực của số phức. Rec( (Rectangle) Chuyển đổi dạng đại số của số phức z  z  bi . Re  Im (Real, Image): Gọi ra phần thực, phần ảo. x. EXP (EXPONENTIAL): 10 , ví dụ để nhập 90000, ấn 9 EXP 4. Rnd (Round): Làm tròn số trong tính toán. Ran # (Random): Gọi ra một số ngẫu nhiên từ máy. DRG (Dgree, Radian, Grade): Tính toán một biểu thức có nhiều chế độ   A sin 300  cos    tan 26 g  7r tính, ví dụ tính giá trị biểu thức . MAT (Matrix): Tính toán với ma trận (Dim (chiều, cỡ), Edit (sửa), Det (định thức), Trn (vết),...) VCT (Vector): Tính toán với vectơ (Dim (chiều, cỡ), Edit (sửa), Dot (tích vô hướng),...) DT (DATA): Nhập số liệu (toán thống kê hoặc toán hồi quy). S-Sum (Sumary), S-Var (Variance): Gọi kết quả thống kê. DISTR (Distribute): Tính giá trị hàm phân phối chuẩn tắc Anr  nPr: Chỉnh hợp Cnr  nCr: Tổ hợp. n!  n  r!. n! r ! n  r  !.   x. .. .. .. Các ký hiệu màu vàng: k (kilo) 103, M (mega) 106, G (giga) 109, T (tera) 1012, m (mili) 10-3,  (micro) 10-6, p (pico) 10-12, n (nano) 10-9, f (femto).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 10-15. 0.3. Máy Casio fx 570ES (= 991ES (máy 2 năng lượng)) * Các Mode và phím chức năng: Ở đây chỉ nêu một số chức năng MODE khác so với máy 570MS. ◊ Các chế độ MODE: MODE STAT (STATISTICS): Toán thống kê. MODE TABLE: Liệt kê bảng giá trị của hàm số f(x) với các thông tin nhập vào như: Giá trị biến khơi đầu (Start); giá trị biến kết thúc (End) và bước nhảy (Step). Chức năng quan trọng nhất của TABLE trong giải toán là ứng dụng vào việc dò tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình, dò tìm cực trị của hàm số. ◊ Các Phím chức năng: SETUP: Cài đặt các hiển thị. Bấm Shift SETUP để chọn các chức năng cài đặt theo ý riêng như sau: a 1: MthIO Chọn hiển thị phân số dạng sách giáo khoa (dạng b ). 2: LineIO Chọn hiển thị phân số trên một dòng (dạng a b ). 3  8: Deg, Rad, Gra, Fix, Sci, Norm Chức năng tương tự máy 570MS. Ấn tiếp dấu mui tên ▼, chọn các chức năng sau: a b a 1, 2: ab/c, d/c Hiển thị phân số dạng b hay hổn số c khi tử số lớn hơn mẫu số. 3: CMPLX Hiển thị một số phức ơ dạng đại số hay dạng lượng giác. 4: STAT Bật hay tắt cột tần số trên màn hình nhập dữ liệu thống kê, hồi quy. 5: Disp Cài đặt hiển thị dấu phẩy của số thập phân là dấu “,” hay “.” 6: CONST (Contrast) Tăng ►, giảm ◄ độ tương phản trên màn hình máy tính. S  D: Chuyển đổi qua lại giữa dạng số thập phân và phân số. Các chức năng còn lại có ký hiệu tương tự như trên máy 570MS. ◊ Chú y: Đối với máy 570ES, khi dùng phím Solve để giải ẩn thì ẩn cần.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> phải được dùng là biến X hoặc Y. * Biến nhớ và cách sử dụng: Hoàn toàn tương tự máy 570MS. * So sánh một số điểm yếu và điểm mạnh cơ bản trong giải toán của hai loại máy 570MS và 570ES: + MS bấm lập trình nhanh hơn ES (ES phải ấn thêm Calc). + MS có chức năng Copy dùng kết nối biểu thức (ES không có chức năng này). + MS nhập thống kê được nhiều bộ giá trị.  xi , ni . hơn ES.. + MS cho phép giải ẩn là các biến tùy ý trong biểu thức, đối với máy ES thì ẩn phải được dùng là biến X hoặc Y. + ES có thêm chức năng Table có thể áp dụng tìm khoảng phân ly nghiệm hoặc tìm cực trị. + ES được thiết kế tính toán thuận tiện hơn MS, trong khi MS phải thao tác đúng theo cú pháp (VD tính tích phân, ma trận, vectơ). + ES cho kết quả nhiều chữ số hơn MS. a + ES hiển thị được phân số dạng b đối với số lớn hơn mà trên máy MS không hiển thị được. + ES có phím số chạy. .... . thuận lợi hơn MS đối với việc tính tổng có biến chỉ.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> §1. Đại số sơ cấp. 1.1. Tính giá trị biểu thức không chứa biến và chứa biến * Giải theo nhiều cách: Dùng các biến A, B, C, ..., Ans, dùng phím Calc, dùng Table. Chú y: Thiết lập chế độ tính toán phù hợp (rad, độ, grad) đối với bài toán lượng giác. Bài tập A.   2   log cot  cosh  2  . tan sinh. 1  Cho biểu thức. 3. 5 3. 5 , trong đó sinh x, coh x lần. lượt là sinhyperpolic và coshyperpolic của x. a) Tính A ơ chế độ radian.. b) Tính A ơ chế độ độ.. ĐS: 2. Tính giá trị biểu thức. I. 3a 2b  2ac 3  5abc 6ab 2  ac tại. 5. a) a   1, b e, c  2;. b). a sin.  , b log e, c C74 5 .. ĐS: 3. a) Tính giá trị hàm số. f  x . sin x cos x 2 2 ex tại x = 10, x  1,572 , x . b) Tính gần đúng giá trị của hàm số. f  x . . . 2sin 2 x  3  3 sin x cos x  5 tan x  2cot x  sin 2. . x  cos 2 x 2. 3 1, 25 ; 5 . Chế độ tính đối với câu a) và b) là radian. ĐS:. . 3  1 cos 2 x.  tại x  2 ; 6 ;.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 4. a) Cho biết b) Biết. tan.  1  cos   7 I 2 1  sin  . , tính. cos 2 . 3 5 , tính J sin 3 x  cos 3 x .. ĐS: 5. Cho hàm số. y  f  x . 4 x3  x 4 5e  x. 2. , tính các giá trị của y khi x nhận giá trị. từ 2 đến 5 với bước nhảy 0,5. Nêu ít nhất 3 quy trình bấm phím. ĐS: 6. * Cho hàm số. f  x . sin x  1 x 2 , hãy tính tổng sau ơ chế độ radian và đặt ra. một số bài toán mơ rộng khác (nếu có thể)? a). A  f  1  f  2   f  3  ...  f  40 .   B f   1 b) c).   f    2.   f    ...   3. ..   f   20  .. C  f  1  f  2   f  3  f  4   ...  f  40 .   D f    1 d).  1 f    2. HD: Dùng phím. .   f    3.  1 f    4. ..   f    ...  5.   f    19 .  1  f   20  .. (máy ES), lập trình (máy ES và MS).. ĐS: 7  * Cho hàm số. f  x . 4x 4 x  2 , tính 2009   i   S 2   f  sin   i 1   2010  . 2009  i  S1   f    2010  ; i 1. HD: Không thể dùng phím. . x  y 1  f  x   f  y  1. (sẽ bị “treo máy”). Chứng minh được:. , tách tổng thành nhiều cặp (x, y) có tổng 1.. ĐS: 1.2 Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình. f  x  0.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> * Dùng phím Solve (chỉ dùng cho 570MS, 570ES). * Phương pháp lặp đơn (có thể áp dụng chung cho 500MS, 500ES). * Phương pháp Newton (pp tiếp tuyến) (có thể áp chung cho 500MS, 500ES). Chú y: Phím Calc được xây dựng trên cơ sơ phương pháp Newton. Bài tập 1. Tìm nghiệm của phương trình:. 2 x  3 x  3 .. ĐS: 2. 2 x 5 3 x 2  2 . Tìm nghiệm của phương trình: 3. ĐS: 3. Tìm nghiệm của phương trình sau ơ radian: 3cos3x  4 x  2 0 . ĐS:. 4. Tìm nghiệm của phương trình:.  3x  4  ln  5 x  2   3 x2  7 0 .. ĐS: 5. x Chứng tỏ rằng phương trình 2 3sin x  4 x có hai nghiệm trong khoảng. (0, 4). Tính gần đúng hai nghiệm của phương trình đã cho. ĐS:. f  0  1  0; f  1  4,524412954  0; f  4  2, 270407486  0. x1 0,15989212; x2 3,728150048 . 2 3 1 6  3  7  15  11 x x  3  5 3  2 4  3   2 3 5 6  Tìm nghiệm của phương trình: ĐS: 7. Tìm một nghiệm gần đúng (ơ radian) của phương trình : sin  3x  5 x  7 x  log 3 x  1. .. ĐS: 8. 1 1 1 4448    Tìm nghiệm thực của phương trình x  1 x  2 x  3 6435 . ĐS:. 9. Tìm hai nghiệm thực gần đúng của phương trình x 70  x 45  5 x 20  10 x12  4 x  25 0 ..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> ĐS: 10  Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình sau với hai số bé hơn 10-9 (ơ chế độ radian) sin. . 2009. . x  sin. . 2007.  x  2    sin  2005  x  4    sin  2003  x  6   . x 0 2 .. ĐS: 11  Tìm một nghiệm gần đúng (ơ radian) của phương trình: ln  3x  5 x   x sin  x 2   1. .. ĐS:  12  Tìm x   , biết 3 4 x a) 1  2  3  4  ...  x 142,717 . 4 3 x b) 1  2  3  4 ...  x 357, 2708.. 1 1 1 1    ...  5 2 3 x c) . d). 1. 1 1 1   ...  5 2! 3! x!. HD: Lập trình, cho biến X chạy từ 1, quan sát giá trị của biến tổng để kết luận. ĐS: 1.3. Phương trình nghiệm nguyên hai biến x, y Một số phương pháp cơ bản tìm nghiệm nguyên của. f  x, y  0. * Dạng đặc biệt ax  by c . * Dạng tổng quát (1) nhưng có thể rút được 1 biến biểu thị qua biến còn lại: Giả sử rút x được. x g  y . , lập trình, cho x chạy, tìm y nguyên (kết. hợp điều kiện từ đề bài để dừng). * Dạng tổng quát (1) nhưng có thể đưa về phương trình bậc hai theo 1 biến: Giả sử. A  x  y 2  B  x  y  C  x  0. , giải tìm y theo công thức.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> nghiệm được y1 , y2 , sau đó lập trình cho x chạy tìm y nguyên (kết hợp điều kiện   0 ). * Một số dạng giải nhờ suy luận, kết hợp suy luận và lập trình. Bài tập 1  Giải phương trình nghiệm nguyên 3  x  20 thỏa A26x  C15x  x ! 57!9005 0. ĐS: 2. 2 x  3 y 7 . Hãy tìm tất cả các cặp (x, y). Cho đường thẳng (d) : thuộc (d) thỏa: a) x, y đều nguyên dương. b) x, y đều nguyên âm. c) x, y tùy ý. ĐS:. 3. Tìm cặp số nguyên dương (x,y) với x nhỏ nhất thỏa 3. 2. 156 x 2  807   12 x  20 y 2  52 x  59 ĐS:. 4. .. x 11, y 29 .. Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa phương trình 2 2 a) x  y 2008 . 2 2 b) x  y 2008 .. HD: b) Hằng đẳng thức. x 2  y 2  x  y   x  y . .. ĐS: b) (503;501), (503; -501), (-503; 501), (-503; -501), (253; 249), (253; -249), (-253; 249), (-253; -249). 5. Tìm cặp số tự nhiên với x bé nhất có 3 chữ số thỏa mãn phương trình x 3  y 2 xy . HD: Đưa về dạng phương trình bậc hai theo y, x chạy từ 100. ĐS: (110, 1100)..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 6. Tìm cặp số tự nhiên (x; y) biết x, y có hai chữ số và thỏa mãn phương 4 3 2 trình x  y  xy . 4 3 2 4 3 2 HD: Ta có: x  y  xy  x  y  xy . Vì x và y chỉ có 2 chữ số, nên. vế phải tối đa là 2.993, nên x tối đa là. 4. 2.993  38 suy ra 10  x  38 .. Dùng chức năng giải phương trình bậc ba để giải phương trình bậc ba, biến y: y 3  by 2  b 4 0 ,. (thử lần lượt các giá trị của b tìm y nguyên, với. b 10,11,...,38 ). 3 4 Hoặc nhập vào phương trình X  BX  B 0 , dùng chức năng Solve,. lần lượt gán B từ 10 cho đến 38, gán giá trị đầu X = 0. ĐS: (12; 24). 1.4. Giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình 1  Để đắp 1 con đê, địa phương đã huy động 4 nhóm người gồm học sinh, công nhân, nông dân và bộ đội. Thời gian làm việc như sau (giả sử thời gian làm việc của mỗi người trong một nhóm là như nhau: Nhóm bộ đội mỗi người làm việc 7 giờ; nhóm công nhân mỗi người làm việc 4 giờ; nhóm nông dân mỗi người làm việc 6 giờ; nhóm học sinh mỗi em làm việc 0,5 giờ. Địa phương cung đã chi tiền như nhau cho từng người trong một nhóm theo cách: Nhóm bộ đội mỗi người nhận 50.000 đồng;nhóm công nhân mỗi người nhận 30.000 đồng; nhóm nông dân mỗi người nhận 70.000 đồng; nhóm học sinh mỗi em nhận 2.000 đồng. Cho biết: Tổng số người của 4 nhóm là 100; Tổng thời gian làm việc của 4 nhóm là 488; Tổng số tiền của 4 nhóm nhận là 5.360.000 đồng. Hãy tìm số người trong từng nhóm? ĐS: 2. Theo di chúc, bốn người con được hương số tiền 9902490255 đồng chia theo tỉ lệ giữa người thứ nhất và người thứ hai là 2:3; người thứ hai và người thứ ba là 4:5; người thứ ba và người thứ tư là 6:7.Tính.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> số tiền nhận được của mỗi người con? ĐS: 3. Tìm bán kính của hình cầu nội tiếp trong một hình lập phương, biết rằng tổng của thể tích, diện tích toàn phần và độ dài tất cả các cạnh của hình lập phương có giá trị gấp 3 lần giá trị của thể tích của hình cầu này. ĐS: 17,79151445.. 4. Một người nông dân có một cánh đồng cỏ hình tròn bán kính R 100m , đầy cỏ, không có khoảnh nào trống. Ông ta buộc con bò vào một cây cọc trên mép cánh đồng. Hãy tính chiều dài đoạn dây buộc sao cho con bò chỉ ăn được một nửa cánh đồng. ĐS: 115,8728473 m.. 5. 1000 1000 2000 2000 33,76244 . Tính x3000  y 3000 . Cho x  y 6,912; x  y. ĐS: 6. Cho hai đường thẳng (d1), (d2), biết (d1) đi qua A(2; -3) và B(7; 7), (d2) có hệ số góc là – 2 và đi qua C(-1;2). Gọi I là giao điểm của (d1) và (d2), tính độ dài AI. ĐS:. 1.5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 1 biến * Một số phương pháp thường dùng: Tam thức bậc hai; Đặt ẩn phụ; Dùng chức năng Table (máy 570ES); Đạo hàm; Bất đẳng thức. Bài tập y  1,32 x 2  1. Cho hàm số. 3,1  2 5 x  7,8  3 2 6, 4  7, 2. a) Tính y khi x 2  3 5 . b) Tính ymax . ĐS: a) y = 2. b) ymax =. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f  x  cos3 x  6cos 2 x  9cos x  5. ..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> ĐS: 3. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f  x  3x  5cos5 x. ĐS: max 4. trên đoạn [0;  ].. f  x  12,5759;. min. f  x   3,1511. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f  x  2sin x  2cos x  ĐS:. 5. 5 sin x cos x. max f  x  3,9465;. .. min f  x   2,0125.. Tính gần đúng cực đại và cực tiểu của hàm số 1 f  x   x 4  x 3  3x 2  12 x  3 4 . ĐS:. 6. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f  x . esin x  x 2 cos x  1 x2 1 trên đoạn [0; 1]. ĐS: 3 3 Cho x, y nguyên dương thỏa x  y 2009 , tìm giá trị lớn nhất của. 7. sin(xy) (chế độ rad). Hãy tổng quát bài toán? ĐS: 1.6. Đa thức, sơ đồ Hoocne * Tính giá trị đa thức dạng đặc biệt. * Tìm đa thức dư trong phép chia hai đa thức. * Thao tác ấn phím nhanh đối với sơ đồ Hoocne tìm đa thức thương và dư. * Tìm đa thức thỏa điều kiện ban đầu. Bài tập 1. Tính giá trị của đa thức P  x  1  x  x 2  x 3  ...  x 2009 x 1,570038 . ĐS:. và. Q  x   x11  x12  x13  ...  x 2010. tại.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 2. P  x  x7  2 x5  3x 4  x  1. Tìm dư trong phép chia. cho.  x  5 .. ĐS: 3. P  x  3x 40  x11  2 x8  1. Tìm dư khi chia đa thức Q  x  10 x 2  21x  11. cho đa thức. .. ĐS: 4. Tìm dư khi chia đa thức Q  x   x3  x. P  x  3x 2009  x 2001  2 x1995  1990. cho đa thức. .. ĐS: 5. f  0  10 f  1 12 f  2  4 f  3 1 , , , . Tìm. Cho đa thức bậc ba, biết f(10)? ĐS:. 6. Khai triển biểu thức. P  x   1  2 x  3 x 2 . 15. ta được đa thức. a0  a1 x  ...  a30 x 30. Tính giá trị biểu thức A a0  2a1  4a2  8a3  ...  536870912a29  1073741824a30 . HD:. A P  ? . ĐS: 7. Khai triển. . A  1 x 7. . 2.  1  ax . 8 2 dưới dạng 1  10 x  bx  ... Hãy tìm. các hệ số a,b. HD:. . . A  1  2 7 x  7 x 2  1  C81ax  C82a 2 x 2  .... 2 7  C81a 10   2 2 1 C8 a  2 7C8 a  7 b ĐS:.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 8  Cho. f  x. là đa thức bậc 3, biết rằng khi chia. f  x. cho.  x  1 ,  x  2  ,.  x  3 đều được dư 6 và f   1  18 . Tính f  2009  ? ĐS: 9. Tìm m, n để 2 đa thức sau có chung nghiệm P  x  3x 2  4 x  5m  n;. x. 1 2 với. Q  x   x3  3mx 2  7  n. ĐS: 1 P  x   x 4  ax 3  2bx 2  5 x  c 2 10  Tìm a, b, c để đa thức chia hết cho đa thức.  3x  2  ,  x  7  ,  x  1 .. ĐS: 11  Xác định các hệ số a, b, c của đa thức cho. P  x. chia cho.  x  16 . P  x  ax 3  bx 2  cx  2007. có số dư là 29938 và chia cho. x. 2. để sao.  10 x  21. 10873 x  3750 có đa thức dư là 16 . ĐS: 12  Tìm thương và dư trong phép chia. P  x  x 7  2 x 5  3 x 4  x  1. x  5 cho . bằng sơ đồ Hoocne, viết thuật toán. ĐS: 8 x  0, 5  q x q x x  0, 5  13  Chia x cho  được thương 1   dư r1 , chia 1   cho . được thương là. q2  x . và dư r2 . Tìm r2 bằng cách dùng sơ đồ Hoocne.. ĐS: 14  Cho đa thức a) Tính. P  x. P  x . 1 9 1 7 13 5 82 3 32 x  x  x  x  x 630 21 30 63 35 .. khi x  4,  3,  2,...,3, 4.. b) Chứng minh rằng. P  x    x   ..

<span class='text_page_counter'>(19)</span> HD: 630 = 2.5.7.9. ĐS: 15  Cho đa thức bậc 5,. P  x   x 5  ax 4  bx 3  cx 2  dx  e. P  2  9 P  3 19 P  4  33 P  5  51. ,. ,. ,. . Tính. . Biết. P  1 3. P  6 P  7 . ,. và. ,. P  29 . .. HD: Cách 1: Lập hệ phương trình 5 ẩn a, b, c, d, e. Khử lần lượt các biến để đưa về hệ phương trình 3 ẩn, 3 phương trình rồi giải. Cách 2: Đặt. Q  x  2 x 2  1. . Khi đó. P  i  Q  i  i  , 1, 2, 3, 4, 5. Suy ra. P  x   x  1  x  2   x  3  x  4   x  5   2 x 2  1. ĐS:. P  6  193; P  7  819; P  29  11795283. . Suy ra các giá trị cần tính. .. f n  x0   f n  1  f  x0   , 1.7. Các lập trình tính giá trị hàm số tích tại x0, f n g m  x0   f n  g m  x0  . * , n, m  . * Dùng biến Ans (không an toàn nếu ấn dư phím hoặc thiếu phím). * Dùng lập trình trên các biến A, B, C, ... Bài tập 1. Cho hàm số. f  x  12 x 2  x  2009. , tính. f 25  0,5 . .. ĐS: 2. Cho hàm số f 30. f  x  e. sin.  2009 x   3 7.x  5 5. (xét ơ chế độ radian). Tính.  .. ĐS: 3  Cho hai hàm số độ radian). Tính ĐS:. f  x  9 7 x5  7 5 x3  5 3 x  1 f 12 g   12,56 . ,. gf 5   2 . ,. ,.  . g  x  sin x. f 9 g 9  0, 259 . .. 2. (xét ơ chế.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 4. Cho hai hàm số. f  x  sinh  cos x . ,. g  x . sin x  1 3 , hãy tính.     a  f 15 g 22   b  g 15 f 22    3 ,  3  (xét ơ chế độ radian). Trong đó sinh x là. sinhyperpolic của x. ĐS: ---------------------------------▲-------------------------------------. §2. Số học phổ thông 2.1. Số nguyên tố và các thuật toán kiểm tra nguyên tố Để kiểm tra 1 số nguyên dương A có là số nguyên tố hay không ta chỉ cần kiểm tra A có ước từ * Thao tác 1: 1  X ,. 2 A hay không.. X X  2 :. A X. 0=1 0=1 …. A , nếu thấy thương đều lẻ thì KL A nguyên tố.. X chạy đến. * Thao tác 2: Kiểm tra A có chia hết cho 3 không, nếu không thì lập trình như sau: 0 X ,. A A : X  X 1 : 6 X  1 6 X 1. 0=1 0=1 …. Câu hỏi: Giải thích các thao tác ấn phím 1 và 2? Bài tập 1  Kiểm tra số 647 có phải là số nguyên tố không? ĐS: 2  Kiểm tra số 2191 có phải là số nguyên tố không? ĐS: 3  Phân tích thành thừa số nguyên tố các số sau: 252633033 và 8863701824. ĐS: a  b 2.2. Tìm số dư khi chia số nguyên dương a cho số nguyên dương b  r  b Giả sử a chia b dư r  , ta chia các trường hợp sau:. * Trường hợp 1: a chia b có phần nguyên q không tràn màn hình..

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Ta có a bq  r suy ra r a  bq với q là phần nguyên của thương. 2009 502, 25 Ví dụ: 4 suy ra số dư khi chia 2009 cho 4 là 2009  4.502 1 .. * Trường hợp 2: a chia b có phần nguyên tràn màn hình. Giả sử a a1a2 a3 ...an. n k = a1a2 a3 ...ak .10 + ak 1ak 2 ...an. trong đó a1a2 a3 ...ak chia b có phần nguyên không tràn màn hình. Như vậy ta có thể tìm được dư r1 khi chia a1a2 a3 ...ak cho b theo trường hợp 1. Khi đó, a chia b dư r1.10 n  k  ak 1ak 2 ...an.  = r1ak 1ak 2 ...an , với r1  b  .  Theo   ta có quy tắc: Tách số bị chia a thành hai phần và lấy dư r1 của. phần thứ nhất khi chia cho b. Sau đó “gắn” số dư r1 này vào phần thứ hai còn lại để được số bị chia mới bé hơn a, thực hiện thao tác này một cách liên tục thì ta được số bị chia mới cung giảm liên tục, đến một lúc nào đó số bị chia mới đủ bé, khi đó ta tìm được dư r của bài toán theo trường hợp 1  Câu hỏi: Giải thích   ?. Bài tập 1  Tìm dư khi chia 123456789 cho 12345. ĐS: 6789. 2  Tìm dư khi chia 111122223333444455556666777788889999 cho 2010. ĐS: 699. 3  Tìm dư khi chia 9999999998888888877777776666665555544443332210 cho 123456789012345. ĐS: 4  Tìm dư khi chia – 2008200920102011201220132014201520162017 cho 65432. ĐS: - 38649..

<span class='text_page_counter'>(22)</span> 5  Tìm dư khi chia 987654321012345678903 cho 999997777755555333333 cho 2020. ĐS: 457. 2.3. Liên phân số hữu hạn * Thuật toán tìm liên phân số hữu hạn. Chia lấy dư liên tục Chia lấy dư liên tục a b r0. r1. …. r2. q2. rn-1. rn. 0. qn+1. r0. b q0. q1. Khi đó ta có sự biểu diễn a 1 q0  1 b q1  1 ...  qn1. Sự biểu diễn này là duy nhất. a * Thao tác bấm máy nhanh đưa liên phân số về dạng phân số b q0 . 1 q1 . . 1 q2 . 1 q3  ... . a b. qn x  1  qn 1  x  1  qn 2 . 1 qn 1 . 1 qn. x  1  qn 3  .... ấn phím liên tục. .... x  1  q1  x  1  q0 . a Chú y: Một số liên phân số khi đưa về phân số thì máy không hiển thị dạng b a được trên màn hình. Để đưa liên phân số này về dạng b ta cần thực hiện quy trình bấm phím nhanh trên sau một số bước rồi thực hiện thao tác thủ công trên máy. Bài tập 1  Biểu diễn số hữu tỷ sau dạng liên phân số.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> 275 453  a) 3 ; b) 127 ; ĐS: a) 275   91  3 1 x  1 1  2 1 91  1 1 2 ĐS: a). 20092 c) 2007 b) 453  3 127 x 1   1  x. 1.   1. * Tử > mẫu : a b   phần nguyên  x  1   phần nguyên  ... ... * Cách ghi kết quả dưới dạng LPS: Tử : 1 Các phần nguyên cộng phần PS. 1. 1. 1. 3. 4. ĐS: b) 1. 3. 1. 1. 1. 1 3. 453  Vậy 127 =  ( 1. 1 4. 1 4 ). 1. 1. 1. 1 3 =  3. 1. 1. x 1   3  1 x  1 4  4. Cách bấm :  phần nguyên  lật ngược . 1. 3. 1 4. 1 4. 2  Lập quy trình ấn phím liên tục để đưa liên phân số sau về dạng phân số tối a giản b 1 10  1 1 4 9 1 1 2 8 1 1 7 3 1 1 6 4 5 4 a) b) ĐS : Cách bấm : Từ dưới lên Lật ngược  phần nguyên  ; Lật ngược  phần nguyên  ; ... ĐS: a)  3,566929134 b) 10,1096148 Cách bấm: 4 1  4 . Cách bấm: 5 1  6 . x 1  3 . x 1  7 . x 1  2 . x 1  8 . x 1   4  Kq:a). x 1  9  x  1  10 . 1 4.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> 5116 3  a) Biểu diễn phân số 2637 dưới dạng liên phân số như sau 5116 1 1  1 2637 3 3  ... Hỏi trong dạng liên phân số trên có bao nhiêu chữ số 3? ĐS: Quy trình bấm phím: 1393 b) Biểu diễn phân số 985 dưới dạng liên phân số như sau 1393 1 1  1 985 2 2  ... Hỏi trong dạng liên phân số trên có bao nhiêu chữ số 2? ĐS: Quy trình bấm phím: 1 B  k0  1 k1  1 27 k2  ...  B 27  1 7 kn  1  15  kn 2009 , biết 4  Cho Tìm dãy số k0 , k1 ,..., kn . ĐS:. 5  Cho dãy số:. u1 2 . 1 2;. u2 2 . u3 2 . 1 2. 1 2;. 1 2. 1 2. 1 2 ;…. Hãy tính giá trị chính xác của u9 và giá trị gần đúng của u15 , u20 . Dự đoán lim n  un . 5741 u15 , u20 2, 414213562 . 2378 ; ĐS: 2.4. Đồng dư số học, ứng dụng của hàm Ơle trong đồng dư số học Nếu a chia b dư r (hoặc a và r chia b có cùng số dư) thì ta viết a r (modb).  Một số tính chất của đồng dư số học: u9 .

<span class='text_page_counter'>(25)</span> 1) Nếu a b(modm) và c d(modm) thì ta có a c b d (modm) ac bd (modm) ak bk (modmk), k   a k b k (modm), k   f  x    x  (modm), (là đa thức với hệ số nguyên)  2) Nếu ac bc(modm) và (c, m) = 1 thì ta có a b(modm) 3) Nếu a b(modm) và  là một ước chung của a, b, m thì ta có a b m    (mod  ) 4) Nếu a b( modmi ), i = 1, 2, …, k và m = BCNN( m1, m2, …, mk ) thì ta có a b(modm) 5) Nếu a b(modm) và  là một ước dương của m thì ta có a b(mod  )  Hàm Ơle số học  1) Định nghĩa: Cho m là một số tự nhiên khác không. Với m = 1, ta định nghĩa  (1) = 1; Với m  1,  (m) là số các số tự nhiên bé hơn m và nguyên tố cùng nhau với m. 2) Ví dụ:  (4) = 2 vì có 2 số bé hơn 4 và nguyên tố cùng nhau với 4 là 1 và 3. k 1  2 3) Công thức tính: Giả sử m có dạng phân tích tiêu chuẩn là m  p1 p2 ... pk f  a  f  b. . (trong đó pi là các số nguyên tố,  i   , i = 1, 2, …, k ) khi đó ta có  1  1   1    m  m  1    1  ...  1  p1   p2   pk    1   p  p 1   p  1 p  Vậy nếu p là số nguyên tố thì .  ( m) 1(modm). 4) Định ly Ơle: Nếu (a, m) = 1 thì a 5) Định ly Fecma: Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên tùy ý khi p đó ta có a a (modp) p 1 Vậy nếu a không chia hết cho p thì a 1 (modp) (tính chất đồng dư). Chú y: Nếu p là số nguyên tố thì p thỏa (*), điều ngược lại là không đúng. Một hợp số n thỏa (*) được gọi là số giả nguyên tố cơ sở a. 561 Ví du: 561 là số giả nguyên tố cơ sơ 2 vì 2 2 (mod561).. .  Một số phương pháp tìm số dư khi chia a cho m (a, m nguyên dương) * Thao tác “thủ công”: Dùng tính chất của đồng dư số học, nâng luy thừa 2 vế lớn dần (bằng thao tác tùy ý). Hạn chế của phương pháp này là đạt được kết quả rất lâu..

<span class='text_page_counter'>(26)</span>