De thi HSG 20132014

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÚ QUỐC. ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG HUYỆN NĂM HỌC: 2013-2014 MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề). Bài 1: (4 điểm) 2 √ x+13 √ x −2 2 √ x − 1 + − Cho biểu thức A ¿ với x ≥ 0 x +5 √ x+6 √ x +2 √ x +3 a. Rút gọn biểu thức A. b. Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên.. Bài 2: (5 điểm) Ta đã biết: "- Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8. - Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48." Chứng minh rằng với mọi số n lẻ thì: a/ A = n2 + 4n + 3 chia hết cho 8. b/ B = 3n3 + 9n2 - 3n - 9 chia hết cho 144. c/ C = n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8. Bài 3: (4 điểm) 1/ Tìm số nguyên dương n để. p=. n( n+ 1) − 1 là số nguyên tố. 2. 2/ Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a3 + b3. Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc A = 60 0, các phân giác BD và CE cắt nhau ở I. Chứng minh rằng Δ IDE là tam giác cân. Bài 5: (4 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax. Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) với C là tiếp điểm. Đường vuông góc với AB tại O cắt BC ở N. a/ Chứng minh tứ giác OMNB là hình bình hành. b/ Trực tâm H của tam giác MAC di động trên đường cố định nào khi M di động trên Ax. …………….Hết…………..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 Năm học 2013-2014 BÀI. Đáp án. Biểu điểm. 2 √ x+13 √ x −2 2 √ x − 1 Bài 1 + − a. A ¿ với x ≥ 0 x +5 √ x+6 √ x +2 √ x +3 (4điểm) 2 √ x+13 x −2 2 √ x −1 ¿ +√ − ( √ x+2)( √ x+ 3) √ x+ 2 √ x +3 (2 √ x +13)+( √ x − 2)( √ x +3)−(2 √ x −1)( √ x+ 2) ¿ ( √ x +2)( √ x+3) 9− x ¿ ( √ x +2)( √ x+ 3) ( 3− √ x )(3+ √ x) 3 − √ x ¿ = ( √ x+ 2)( √ x +3) √ x +2 5 3 − √x 5 ⇔ ∈Ζ = − 1∈ Ζ b. A ¿ √ x +2 √ x+2 √ x +2 5 5 5 ≤ ⇒ =1 hoặc Có √ x+2 ≥ 2> 0 ⇒ 0< 2 √ x +2 √ x+2 1 Từ đó tính được: x1 = 9; x2 = 4 2. 0,5 0,5 0,5 0,5 5 =2 √ x +2. 0,5 1 0,5 0,75 0,5 0,75. 2. Bài 2 a) Đặt A = n + 4n + 3 = (n + n) + (3n + 3) (5điểm) = n(n + 1) + 3(n + 1) = (n + 1)(n + 3) Vì n lẻ nên (n + 1)(n + 3) là tích của 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8. Suy ra A chia hết cho 8. b) B = 3n3 + 9n2 - 3n - 9 = 3(n3 + 3n2 - n - 3) = 3[(n3 - n) + (3n2 -3)] 0,5 2 2 2 = 3[n(n - 1) + 3(n - 1)] = 3(n - 1)(n + 3) 0,5 = 3(n - 1)(n + 1)(n + 3) 0,5 Vì n lẻ nên (n - 1)(n + 1)(n + 3) là tích của 3 số chẵn liên tiếp 0,5 nên chia hết cho 48. Suy ra B ⋮ 3.48 = 144. c) C = n2 + 4n + 5 = (n2 + 4n + 3) + 2 0,5 2 Do n + 4n + 3 ⋮ 8 (theo câu a) và 2 ⋮ 8 nên C ⋮ 8 0,5 n( n+ 1) (n −1)(n+ 2) Bài 3 0,5 − 1⇔ p= 1) p= 2 2 (4điểm) ⇒ Với n = 2k (ĐK: k>0) p = (k+1)(2k-1) nguyên tố mà k+1>1 0,5 ⇒ 2k-1=1 ⇒ k = 1 ⇒ n = 2; p = 2 (thỏa mãn) 0,25 0 ⇒ Với n = 2k+1 (ĐK: k ) p = 2(2k +3) nguyên tố mà 2k+3>1 0,5 ⇒ k = 1 ⇒ n = 3; p = 5 (thỏa mãn) 0,25 2) Ta có b = 1 –a, do đó M = a3 + (1 – a)3 3 1 = 3a – 3a + 1 = 3a – 3a + 4 + 4 = 3(a 2. 2. 1 2 − ) + 2. 1 4. 1 4. 0,5 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 4 (3 điểm). 1 1 1 Dấu bằng xẩy ra khi a ¿ 2 . Vậy minM ¿ 4 ⇔ a=b= 2. 0,5. Do  = 600 nên B + Ĉ = 1200 ⇒ B1 + C1 = 600. 0,5. ⇒. BIC = 1200. ⇒. I1 + I2 = 600. Vẽ phân giác IK của góc BIC ⇒ I3 = I4 = 600 Khi đó: Δ BIE = Δ BIK (g-c-g) Δ CID = Δ CIK (g-c-g) ⇒ ⇒. IE = ID (cùng bằng IK) Δ IDE cân tại I (đpcm). 0,5 0,5 0,5 0,5. Bài 5 (4 điểm) a) Ta có OMAC; BCAC  OM//BC hay OM//BN (1) Lại có: ∆ AOM=∆ OBN (g-c-g)  OM=BN (2) Từ (1) và (2)  OMNB là hình bình hành b)Gọi H là trực tâm của ∆MAC nên AHMC Lại có: OCMC (MC là tiếp tuyến của (O) Suy ra: AH//OC (3) Tương tự: OA//CH (4) Từ (3) và (4)  AHCO là hình bình hành  AH=OC Mà OC=R nên AH=R Ngoài ra: A cố định. Do đó: H di động trên đường tròn cố định tâm A, bán kính R.. Hình bài 4 (0,5 điểm). A. 0,5 0,5 0,5. 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> E. D I 1. 2 3. 4. 1. 1. B. C K. Hình vẽ bài 5: 0,5 điểm. C. H M A. x. N. O. B.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>