De thi HSG Toan 7hay co dap an

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA ------------. ĐỀ THI VIOLYMPIC TOÁN 7 Năm học 2015-2016 Thời gian 120 phút. Câu 1. (5 điểm) a b  c b c  a c a  b   c a b a) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện:  b  a  c  B  1    1    1   .  a  c  b  Hãy tính giá trị của biểu thức:. b) Tìm các số nguyên dương a,b,c biết rằng: a3 - b3 -c3 = 3abc và a2 = 2(b + c) Câu 2. (5 điểm) 1  1  1   1   1  1  1  ...  1   Tính: A =  15   21   28   210 . a) b) Thực hiện phép tính 1   1   1   1  .1   ...  1   A=  1  2   1  2  3   1  2  3  ...  2006 . Câu 3: (3 điểm) Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với ba số 20; 120; 16 Câu 4: ( 5 điểm ) 0. Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C 30 , đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD HB . Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh: a) Tam giác ABD là tam giác đều. b) AH CE . c) HE song song với AC. Câu 5: (2 điểm) Chứng minh rằng:. 1 1 1 1 + + +.. ..+ >10 √1 √ 2 √ 3 √ 100 ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ----------Hết---------PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA -----------Câu. Câu 1 (5điểm). ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI VIOLYMPIC TOÁN 7 Năm học 2015-2016. Nội dung cần đạt a) Vì a, b,c là các số dương nên a  b  c 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:. Điểm 0,5. a b  c b c  a c  a  b a b  c b c  a c a  b    1 c a b a b c a b  c b c  a c a  b 1  1   1 2 c a b a b b c c  a    2 c a b  b  a  c  B  1    1    1    a  c  b   a b  c a  bc   B     8  a  c  b  Vậy: B 8. 0,5 1,0. 0,5. b) a3 - b3 -c3 = 3abc (1); a2 = 2(b + c) (2) Từ (2) suy ra a2 chẵn  a chẵn . Từ (1) suy ra a > b; a > c  2a > b + c  4a > 2(b + c) kết hợp với (2)  a2 < 4a  a < 4  a = 2 thay vào (2) ta được: b + c = 2  b = c =1 (vì b,c nguyên dương). Thử lại thấy đúng vậy a = 2; b = c = 1. Câu 2 (5điểm). 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0. 14 20 27 209 28 40 54 418 4.7 5.8 6.9 19.22 . . ....  . . ....  . ....  a) A = 15 21 28 210 30 42 56 420 5.6 6.7 7.8 20.21 4.5.6...19 7.8.9...22 4 22 11 .  .  = 5.6.7...20 6.7.8...21 20 6 15. 1,5.             1 1 1  1  (1  2).2  .  1  (1  3).3  ...  1  (1  2006)2006        2   2   2  b) A= . 2 5 9 2007.2006  2 4 10 18 2007.2006  2 . . ....  . . .... 2006.2007 6 12 20 2006.2007 = 3 6 10. Mà: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005. 0,5 0,5 (1). 0,5 (2). 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Từ (1) và (2) ta có: 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6...2008)(1.2.3...2005) 2008 1004 . . ....    2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4...2006)(3.4.5...2007) 2006.3 3009 A=. 0,5. Gọi hai số dương cần tìm là x , y 0,5 0,5. 30  x  y  120  x  y  16 xy. Theo bài ra ta có:. x  y x  y xy   k 8 2 15  x  y 8k ; x  y 2 k ; xy 15k  x 5k ; y 3k  xy 5k .3k 15k. Câu 3 (3điểm). . 0,5 1,0. 15k 2 15k  k 1  x  y 8; x  y 2  x 5; y 3. 0,5. Vậy hai số dương cần tìm là 5 và 3. A. Câu 4 (5điểm). B. D. 300. C 0,5. H. 0,5. E Vẽ hình ghi GT – KL đúng a) ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ABD cân tại A. 0 ^ C=90 ^ Ta có: B+ (Hai góc nhọn của một tam giác vuông) 0 0 0 ^ ⇒ B=90 −30 =60 Nên ABD là tam giác đều. (đpcm) 0 0 0 E A^ C=B A^ C-B { A^ D=90 −60 =30 ¿  AHC CEA (cạnh huyền –góc nhọn). b) Ta có:. 0,25 0,25. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Do đó AH = CE (đpcm). 0,5. c) AHC CEA (cmt) nên HC = EA (1) 0 ADC cân ở D vì có D A^ C=D C^ A=30. 0,5. Suy ra : DA = DC. (2) Từ (1) và (2)  DH DE  DHE cân tại D Hai tam giác cân: ACD cân tại D và DHE cân tại D có: ^ A DC=H D^ E (đđ) ⇒ D H^ E= A C^ D ở vị trí so le trong  EH / / AC (đpcm) Câu 5 (2điểm). 1 1 > ; √1 10. Vậy :. 1 1 1 1 1 1 > > = √2 10 ; √3 10 ; …..; √100 10 . 1 1 1 1 1 + + +.. ..+ >100. =10 10 √1 √ 2 √ 3 √ 100 (đpcm). Duyệt của Ban giám hiệu:. 0,5 1,0 0,5. 1,0 1,0.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>