SKKN phương pháp vẽ yếu tố phụ toán 7

Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học

Phần I - Đặt vấn đề
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những ngời năng động sáng tạo,
độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng
và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống
xà hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo
dục đà và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu
giáo dục của Đảng và Nhà nớc ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay.
Trong tập hợp các môn nằm trong chơng trình của giáo dục
phổ thông nói chung, trờng THCS nói riêng, môn Toán là một môn
khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoa học víi nhau
®ång thêi nã cã tÝnh thùc tiƠn rÊt cao trong cuộc sống xà hội và với
mỗi cá nhân.
Đổi mới phơng pháp dạy học đợc hiểu là tổ chức các hoạt động
tích cực cho ngời học, kích thích, thúc đẩy, hớng t duy của ngời
học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội. Từ đó khơi dậy và thúc
đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm
lĩnh trong tự thân của ngời học từ đó phát triển, phát huy khả năng
tự học của họ. Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những
đối tợng ngời học nhạy cảm việc đa phơng pháp học tập theo hớng
đổi mới là cần thiết và thiết thực. Vậy làm gì để khơi dậy và
kích thích nhu cầu t duy, khả năng t duy tích cực, chủ động, độc
lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui
hứng thú học tập cho học sinh? Trớc vấn đề đó ngời giáo viên cần
phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt
động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phơng pháp dạy học trong các
giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tợng học sinh, xây
dựng cho học sinh một hớng t duy chủ động, sáng tạo.

Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhng
ngợc lại, giải quyết đợc điều này là góp phần xây dựng trong bản
thân mỗi giáo viên một phong cách và phơng pháp dạy học hiện đại
giúp cho häc sinh cã híng t duy míi trong viƯc lÜnh hội kiến thức
Toán.

Phần II - Nội dung đề tài
I/ Những lý do chọn đề tài.
Trong khi tìm phơng pháp giải toán hình học, ta gặp một số
bài toán mà nếu không vẽ thêm đờng phụ thì có thể bế tắc. Nếu
biết vẽ thêm đờng phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đÃ
cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn. Thậm chí
có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải. Tuy nhiên vẽ
thêm yếu tố phụ nh thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó
khăn và phức tạp.
Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phơng pháp
chung nhất cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo
trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt
đợc mục đích là tạo điều kiện để giải đợc bài toán một cách ngắn
gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện. Hơn nữa, việc vẽ
thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản
và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi ngời giáo viên đà tìm
ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhng không thể giải thích rõ cho học
sinh hiểu đợc vì sao lại phải vẽ nh vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại
sao cô (thầy) lại nghĩ ra đợc cách vẽ đờng phụ nh vậy, ngoài cách vẽ
này còn có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm nh vậy mới
giải đợc bài toán? gặp phải tình huống nh vậy, quả thật ngời
giáo viên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả
cũng không cao, học sinh không nghĩ đợc cách làm khi gặp bài toán

tơng tự vì các em cha biết các căn cứ cho viƯc vÏ thªm u tè phơ.


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một
cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dỡng
khả năng t duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho
các em nhng cơ sở của việc vẽ thêm đờng phụ và một số phơng
pháp thờng dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán
hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với
một bài toán, các em có thể chủ động đợc cách giải, chủ động t
duy tìm hớng giải quyết cho bài toán, nh vậy hiệu quả sẽ cao hơn.
ii/ Những cơ sở của việc vẽ thêm yếu tố phụ.
I - Cơ sở lý luận.

Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình
cơ bản và một số bài toán dựng hình cơ bản. Sau đây là một số
bài toán dựng hình cơ bản trong chơng trình THCS:
Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.
Giải:
Cách dựng:

a
B
c

A

b

b
c

a

C

x

- Dựng tia Ax.
- Dựng đờng tròn(A; b). Gọi C là giao điểm của đờng tròn ( A; b) với
tia Ax.
- dựng đờng tròn (A; c) và đờng tròn (C; a), gọi B là giao điểm của
chúng. Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC
= a.
Bài toán 2: Dùng mét gãc b»ng gãc cho tríc.
C¸ch dùng:


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
- Gọi xOy là góc cho trớc. Dựng đờng tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt
Oy ở B ta ®ỵc OAB.
- Dùng O’A’B’ = OAB ( c- c- c) nh bài toán 1, ta đợc O ' O .
x
A
A

O

B

O

y

B

Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trớc.
Cách dựng:
- Dựng đờng tròn ( A; r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
- Dợng các đờng tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D. Tia AD
là tia phân giác của xAy.
ThËt vËy: ABD = ACD ( c- c- c)  A1 A 2

x
B
r
A

r
D

1
2

z

r cho trớc.
Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn
r thẳng AB

C
Cách dựng:
C
y
- Dựng hai đờng tròn ( A; r ) vµ ( B; r ) ( AB< r < AB )chúng cắt
nhau tại C, D. Giao điểm của CD và AB là trung điểm của AB.
A

B

D


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học

*Chú ý: đây cũng là cách dựng đờng trung trực của đoạn thẳng
cho trớc.
Bài toán 5: Qua điểm O cho trớc, dựng đờng thẳng vuông góc với
đờng thẳng a cho trớc.
Cách dựng:
- Dựng đờng tròn ( O; r) cắt a tại A, B.
- Dựng đờng trung trực của AB.

O

Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng
A
B
mà không cần nhắc lại cách dựng.
Khi cần vẽ thêm đờng phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ

vào những đờng cơ bản đà dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách
tuỳ tiện.

D

I - Cơ sở thực tế

Ta đà biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra đợc các cặp
cạnh tơng ứng bằng nhau, các cặp góc tơng ứng bằng nhau. Đó
chính là lợi ích cđa viƯc chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau.


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai
góc bằng nhau) ta thờng làm theo các bớc sau:
Bớc 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay
hai góc) thuộc hai tam giác nào?
Bớc 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
Bớc 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc)
tơng ứng bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam
giác cần có cũng đợc cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm
các yếu tố phụ mới xuất hiện đợc các tam giác cần thiết và có lợi cho
việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có
thể nhận biết cách vẽ thêm đợc các yếu tố phụ để giải toán hình
học nói chung và toán hình học 7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy
tôi đà tích luỹ đợc một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết
thực, khi hớng dẫn học sinh thực hiện giải toán đà có kết quả tốt.

phần III: một số phơng pháp vẽ yêú tố phụ.

Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất,
thông dụng nhất để vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7:
Cách 1: Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một góc .

Bài toán 1: Cho tam giác ABC cã AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung
điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H  BC) sao cho DH =
4cm.
Chøng minh r»ng tam giác ABC cân tại A.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam gi¸c ABC cã AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm
của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H BC) và DH = 4cm.
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A.
2) Híng suy nghÜ:


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
ABC cân tại A AB = AC. Ta nghĩ đến ®iĨm phơ K lµ trung
®iĨm cđa BC. VËy u tè phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
3) Chứng minh:

AA

ABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm;
GT
c
KL

1
DA DB  AB ; DH BC

2

DH = 4 cm
ABC cân tại A.

Gọi K là trung điểm của đoạn
D
1
thẳng BC, ta có: BK = KC = BC  6
2

m.
B

C
H 1 K
L¹i cã: BD = AB = 5 cm ( do D là
2

trung điểm cña AB)
XÐt  HBD cã: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH 2 + BH2
= BD2
BH2 = BD2 - DH2 = 52 – 42 = 9  BH = 3 ( cm)
Tõ ®ã: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)
 DH // AK ( đờng nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song
song với cạnh thứ 3).
Ta có: DH BC, DH // AK  AK  BC.
XÐt  ABK và ACK có:

BK = KC ( theo cách lấy điểm K)



AKB = AKC = 900



AK là cạnh chung

ABK = ACK (c – g – c)
 AB = AC ABC cân tại A.
4) Nhận xét:
Trong cách giải bài toán trên ta đà chứng minh AB = AC bằng cách tạo
ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm
trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ
là: Trong một tam giác , đờng thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thứ ba, kiến thức về đờng trung bình này học sinh sẽ đợc nghiên cứu trong chơng trình
toán 8 nhng ở ph¹m vi kiÕn thøc líp 7 vÉn cã thĨ chøng minh đợc,
việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử
dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn
nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ.
Bài toán 2: Cho tam gi¸c ABC cã Bˆ Cˆ ; chøng minh r»ng: AB = AC?
( Giải bằng cách vận dụng trờng hợp bằng nhau góc cạnh góc của
hai tam giác).
!) Phân tích bài toán:
Bài cho: tam giác ABC có B C ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC.

2) Hớng suy nghĩ:

A

Đờng phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI cña BAC (I BC)
3) Chøng minh:
ˆ
ˆ C
ABC; B
AB = AC

GT
KL

2

1

1
Vẽ tia phân giác AI của BAC (I BC).
A
 1 BAC
A
1
2
.
2

 ˆ
I1 ˆ

I2

(1)
(2)

XÐt  ABI vµ  ACI ta cã:


ˆ
I1 ˆ
I 2 ( theo (2))

 C¹nh AI chung
ˆ A
ˆ ( theo (1))
 A
1
2

  ABI =  ACI ( g – c – g)
 AB = AC (2 cạnh tơng ứng)
4) Nhận xét:

B
( gt)
C
Mà B

C
I

Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm
đoạn thẳng AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác
bằng nhau.Tơng tù ta cã thÓ chøng minh AB = AC b»ng cách kẻ
thêm đoạn thẳng AI là

đuờng cao để tạo ra hai tam giác bằng

nhau.
Cách 2: Trên một tia cho trớc, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trớc.

Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến
thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập
2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đờng trung tuyến ứng với
cạng huyền, yêu cầu chứng minh:

1
AM BC 2 AM BC
2

2) Hớng suy nghĩ:
Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC
bằng đoạn thẳng đó. Nh vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ
thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD.

A

3) Chứng minh:
GT
KL

1

90 0 ;
ABC; A

AM lµ trung tuyÕn
1
AM  BC
2

B

2
M 1

C

D


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Trên tia ®èi cđa tia MA lÊy ®iĨm D sao cho: MD = MA.
XÐt  MAC vµ  MDB ta cã:
 MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
M1 = M2 ( vì đối đỉnh)

MB = MC ( Theo gt)
  MAC =  MDB ( c - g - c)


AB

=

CD

(2

cạnh

tơng

ứng)

(1)
D
(2 góc tơng ứng).
và A
1

AB // CD ( vì có cặp góc so le trong b»ng nhau)
L¹i cã: AC  AB ( gt)
 AC CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) hay
C
ˆ 900 (2)
A

XÐt  ABC vµ  CDA cã:
 AB = CD ( Theo (1))
ˆ C
ˆ 90 0 ( Theo (2))
A

AC là cạnh chung
ABC = CDA ( c – g – c)
1
2

1
2

 BC = AD (2 cạnh tơng ứng) Mà AM AD AM BC
4) Nhận xét: Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh
1
AM BC ta đà vẽ thêm đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó
2
1
AM AD . Nh vậy chỉ còn phải chứng minh AD = BC. Trên một tia
2

cho trớc, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là một
trong những cách vẽ đờng phụ để vận dụng trờng hợp bằng nhau
của tam gi¸c.


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học

Bài to¸n 4: Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. Gọi M là trung điểm của
BC. So sánh BAM và MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC.
Yêu cầu : So sánh BAM và MAC?
2) Hớng suy nghĩ:
Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm
một tam giác có hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến
AB, AC vì đà cã AB < AC. Tõ ®ã dÉn ®Õn viƯc lÊy ®iĨm D trªn tia
®èi cđa tia MA sao cho
MD = MA. Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm Ađể giải đợc bài toán
này.

1 2

3) Lời giải:
GT
KL

ABC; AB < AC

1
M

B

M là trung điểm BC

2

C

D

So sánh BAM và MAC?

Trên tia ®èi cđa tia MA lÊy ®iĨm D sao cho: MD = MA.
XÐt  MAB vµ  MDC ta cã:
 MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
M1 = M2 ( vì đối đỉnh)
MB = MC ( Theo gt)
  MAB =  MDC ( c - g - c)


AB

=

CD

(2

cạnh

tơng

ứng)

(1)
và

(2)

D
(2
A
1

góc

tơng

ứng).


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Ta cã: AB = CD ( Theo (1)), mµ AB < AC ( gt) CD < AC.
(3)
XÐt ACD cã:
CD < AC ( theo (3))


D
(Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam
A
2

giác)
D
( theo (2))
Mà A

1
A
hay
A
2
1

BAM <

MAC.

4) Nhận xét:
Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải
trong cùng một tam giác nên không vận dụng đợc định lí về quan
hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác. Ta đà chuyển A 1
và A2 về cùng một tam giác bằng cách vẽ đờng phụ nh trong bài giải,
lúc đó A1 = D, ta chỉ còn phải so sánh D và A2 ở trong cùng một tam
giác ADC.
Cách 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đờng thẳng.

Bài toán 5: Cho h×nh vÏ, biÕt AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC
= BD? ( Bµi 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)
A

C

B

D

( Bài toán còn đợc phát biểu dới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn
thẳng song song bị chắn giữa hai đờng thẳng song song thì
bằng nhau)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD.


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Yêu cÇu chøng minh: AB = CD, AC = BD.
2) Híng suy nghÜ:
®Ĩ chøng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các
cặp cạnh trên, yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nèi A víi D.

3) Chøng minh:
GT

AB // CD; AC // BD

KL

AB = CD; AC = BD

XÐt  ABD vµ  DCA cã:

B

A

C

D

 BAD = CDA ( so le trong AB // CD)
AD là cạnh chung
ADB = DAC( so le trong AC // BD)
  ABD =  DCA ( g – c – g)
 AB = CD; AC = BD ( các cạnh tơng ứng)
4) Nhận xét: Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác
có một cạnh chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta
chØ cÇnm chøng minh  ABD = DCA. Do hai tam giác này đà có
một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp
góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng đợc trờng hợp bằng nhau
góc cạnh góc. Điều này thực hiện đợc nhờ vận dụng tính chất
của hai đờng thẳng song song.
Cách 4: Từ một điểm cho trớc, vẽ một đờng thẳng song song hay vuông góc
với một đờng thẳng.

Bài toán 6: Tam giác ABC có đờng cao AH vµ trung tuyÕn AM chia
gãc A thµnh ba gãc b»ng nhau.


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông và ABM là tam giác
đều?
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ABC có đờng cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành
ba góc bằng nhau. Yêu cầu ta chứng minh ABC là tam giác vuông
và ABM là tam giác đều.
2)Hớng suy nghĩ:
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đờng

thẳng vuông góc với AC và chứng minh đờng thẳng đó song song
với AB, từ đó suy suy ra AB AC và suy ra A = 900.
3) Chøng minh:
 ABC; AHABC;
trung tuyÕn
GT
3
AM;
1 2

VÏ MI  AC ( I  AC)
XÐt  IMAI vµ  MAH cã:

ˆ A
ˆ A
ˆ
A
1
2
3

ˆ  ˆI 900 ( gt)
H

ABC vuông ;
KL B
1 2
ABM đều
H

AM là cạnh chung)
MAI =
C
M
MAH ( cạnh huyền – gãc nhän)

ˆ A
ˆ
A
2
3 (gt)

 MI = MH ( 2 cạnh tơng ứng)



(1)
Xét ABH và AMH có:
H
90 0 ( gt)
H
1
2

AH là cạnh chung


 ABH =  AMH ( g – c - g)

ˆ A

ˆ
A
1
2 ( gt)

 BH = MH ( 2 c¹nh tơng ứng)

(2)
1
2

1
2

1
2

Mặt khác: H BM , Từ (1) và (2)  BH MH  BM  CM  MI CM
1
Xét vuông MIC có: MI CM nên Cˆ 300 tõ ®ã suy ra: HAC = 600 .
2


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
3
2

3
2

BAC  HAC  60 0 90 0 .
VËy  ABC vuông tại A.
Vì C 300 B 600 ;
Lại cã AM =

MB 

1
BC ( tÝnh chÊt trung tuyÕn øng với cạnh huyền
2

trong tam giác vuông)
ABM cân và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều.
4) Nhận xét:
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tởng chừng
nh rất khó giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đờng vẽ thêm ( MI AC)
thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của
việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học.
Bài toán 7: Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ
đờng vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia
AB tại D và AC tại E. Chứng minh rằng: BD = CE.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đờng vuông
góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và
AC t¹i E.
Chøng minh: BD = CE.
2) Híng suy nghÜ:
Mn chøng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ
ba,rồi chứng minh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đờng phụ cần
vẽ thêm là đờng thẳng qua B và song song với AC cắt DE ở F, BF

chính là đoạn thẳng thứ ba đó.
3) Chứng minh:

A

GT ABC;AB < AC;

1
MB MC  BC
2

E
B
D

F

H

M

C


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
AH là tia phân giác BAC
DE AH ;
BD = CE

KL

Vẽ đờng thẳng qua B và song song với AC, gọi F là giao điểm của
đờng thẳng này với đờng thẳng DE.
XÐt  MBF vµ  MCE cã:
MBF = MCE ( so le trong cña BF // CE)
MB = MC ( gt)
BMF = CME ( ®èi ®Ønh)
  MBF =  MCE (g c g)


BF

=

CE

(

2

cạnh

tơng

ứng)

(1)
Mặt khác ADE có AH DE và AH cũng là tia phân giác của DAE
( gt)
Do đó: ADE cân tại A BDF = AED

Mà BF // CE ( theo cách vẽ)  BFD = AED
Do ®ã: BDF = BFD
  BDF cân tại B
BF

=

BD

(2)
Từ (1) và (2) suy ra: BD = CE
4) Nhận xét:
Cách vẽ đờng phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ
ba cùng bằng hai đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây
là cách rất hay sử dụng trong nhiều bài toán nên giáo viên cần lu ý
cho học sinh nhớ để vận dụng. Cách giải này cũng đợc áp dụng để
giải một số bài toán rất hay trong chơng trình THCS.


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
5 cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phơng pháp chung
gọi là phơng pháp Tam giác bằng nhau , sau đây ta sẽ nghiên
cứu thêm một phơng pháp mới rất hay nhng cha đợc khai thác nhiều
trong giải toán.
Cách 6: Phơng pháp tam giác đều

Đây là một phơng pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm
đợc vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp
cho việc giải toán đợc thuận lợi. Ta xét một bài toán điển hình:
Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân tại A, A = 20 0. Trên cạnh AB lấy

điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng DCA =

1
A.
2

1) Phân tích bài toán:
Bài cho ABC cân tại A, A = 200 ; AD = BC ( D AB)
Yêu cầu chứng minh: DCA =

1
A.
2

2) Hớng suy nghĩ:
đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200,
suy ra góc ở đáy là 800.
Ta thấy 800 200 = 600 là số đo mỗi góc của
tam giác đều Vẽ tam giác đều BMC
A
3) Chứng minh:
ABC; AB = AC; A =

D

GT 200
AD = BC (D AB)
KL DCA =

1 ˆ

A.
2

Ta cã: ABC; AB = AC; A = 200 ( gt)

M

B

C


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
1800 200
800
2

Suy ra: B C

Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC),
ta đợc: AD = BC = CM.
MAB = MAC ( c - c - c)  MAB = MAC = 200 : 2 = 100
ABM = ACM = 800 – 600 = 200
XÐt CAD vµ ACM cã:
AD = CM ( chøng minh trªn)
CAD = ACM ( = 200)
AC là cạnh chung
CAD = ACM ( c g – c )
 DCA = MAC = 100, do ®ã: DCA =

1
BAC.
2

4) Nhận xét:
1- đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20 0, suy ra góc ở
đáy là 800. Ta thấy 800 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác
đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào
trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác đều nh
vậy giúp ta cã mèi quan hƯ b»ng nhau gi÷a AD víi các cạnh của tam
giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng.
2- Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu
khác:
- Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ
AB).
- Vẽ tam giác ®Ịu ACM ( M vµ B cïng thc mét nưa mặt phẳng bờ
AC).
- Vẽ tam giác đều ABM ( M và C thuộc hai nửanửa mặt phẳng đối
nhau bờ AC).
Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính
đợc góc DCA dẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ


Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
thuộc vào sự sáng tạo của mỗi ngời và bắt nguồn từ việc yêu thích
môn Hình.

*

Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm:

Sau thời gian vận dụng phơng pháp kết, quả đạt đợc tơng đối
khả quan 60% đà vận dụng thành thạo, 30% đà biết vận dụng để giải
một số bài đơn giản, 10% cần đợc bồi dỡng thêm .

Phần IV: kết luận
I. Kết luận.
Thông qua một số bài toán và phơng pháp giải một số bài toán hình
học bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ học sinh đà hình thành cho mình
một cái nhìn về phơng pháp này một cách tích cực hơn đặc biệt là
học sinh khá, giỏi.
Qua quá trình híng dÉn mét sè bµi tËp thĨ nh vËy, häc sinh
đà biết vận dụng một cách linh hoạt một số phơng pháp giải vào
bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp. Đối với học sinh giỏi các
em đà biết sử dụng, kết hợp các phơng pháp để giải đợc các bài
toán hình ở dạng khó hơn. Qua đó giúp học sinh hứng thú khi
gặp loại bài toán này nói riêng và học môn toán nói chung.
Trên đây là mét sè kinh nghiƯm trong viƯc båi dìng häc sinh về
phơng pháp giải một số bài toán hình bằng cách vẽ thêm yếu tố
phụ cho HS lớp 7 đặc bịêt là HS khá, giỏi.

Mong rằng với một số

phơng pháp này đồng nghiệp vận dụng sáng tạo vào tình hình
của học sinh và bổ sung để công tác bồi dỡng học sinh ngày càng
có kết quả.
II. Một số ý kiến đề xuất
1. Đối với giáo viên toán:

Phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học
Trong quá trình dạy giáo viên cần phân loại các dạng toán, tìm các
phơng pháp, phân tích bài toán....
- Tạo hứng thú cho các em khi học toán
2. Đối với các cấp quản lý.

- Cần đầu t nhiều trang thiết bị hơn nữa để phục vụ cho dạy
học
- Đầu t cơ sở vật chất nhà trờng để giáo viên sử dụng công
nghệ thông tin vào công việc giảng dạy môt cách thuận lợi
hơn.
Abc, ngày 15 tháng 01 năm 2021
Ngời thực hiện

.