TỰ học TOÁN 8 PHẦN 2 ( Câu Hỏi và có lời giải chi tiết)

Tự học tốn 8

Bài 2
CÁC PHÉP TỐN VỀ PHÂN THỨC
Tóm tắt lý thuyết

Muốn cộng các phân thức, ta quy đồng mẫu thức, cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức
chung, rồi rút gọn phân thức vừa tìm được.
Muốn trừ đi một phân thức, ta lấy phân thức bị trừ cộng với phân thức đối của phân thức trừ. Muốn
nhân các phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau, rồi rút gọn phân thức vừa
tìm được.
Muốn chia cho một phân thức khác 0, ta lấy phân thức bị chia nhân với phân thức nghịch đảo của phân
thức chia.

Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho a  b  c  0 và a, b,c đều khác 0. Rút gọn biểu thức:
A

ab
bc
ca
 2 2 2 2 2 2
2
2
a b c b c a c a b
2

 Lời giải
Từ a  b  c  0 suy ra a  b  c
2

2
2
2
2
2
Bình phương hai vế, ta được a  b  2ab  c nên a  b  c  2ab
2
2
2
2
2
2
Tương tự, b  c  a  2bc và c  a  b  2ca

Do đó,

A

ab
bc
ca
1 1 1
3


   
2ab 2bc 2ca
2 2 2
2

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức:
A

1
1
2
4
8




2
4
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x8
 Lời giải

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8

Do đặc điểm của bài toán, ta không quy đồng mẫu tất cả các phân thức mà cộng lần lượt từng phân
thức.
A

2
2

4
8
4
4
8
8
8
16









2
2
4
8
4
4
8
8
8
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x16

Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức:
B

3

 1.2

2



5

 2.3

2

 ... 

2n  1
�
n n  1 �
�
�
 Lời giải
2

Đương nhiên không thể quy đồng mẫu tất cả các phân thức. Ta tìm cách tách mỗi phân thức thành
hiệu của hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp. Ta có
2k  1
�
k k  1 �

�
�
2

 k  1




2

 k2



2

k k 1
2

2



1
1

2
k  k  1 2

Do đó
B

n n  2
1 1 1 1
1
1
1
 2  2  2  ...  2 
 1

2
2
2
2
1 2 2 3
n  n  1
 n  1
 n 1

Ví dụ 4. Xác định các số a, b, c sao cho:

1

 x  1  x  1
2



ax  b

c

2
x  1 x1

(1)

 Lời giải
Thực hiện phép cộng ở vế phải của (1) ta được

 ax  b  x  1  c x2  1
 x2  1  x  1



ax2  ax  bx  b  cx2  c

Đồng nhất phân thức trên với phân thức
a c  0
�
�
b a  0 �
�
�
c b  1
�

x

2





 1  x  1

1
x  1  x  1
2



a  c x2   b a x   c  b


 x2  1  x  1

, ta được

c b 0
�
1
1
�
� c  ,b  
c b 1
�
2
2.

1
1
1
 x
1
2
a 
 22 2  2
x

1
x

1


2 . Như vậy
x 1
x1
Do đó



Nhóm word hóa tài liệu

1



71


Tự học tốn 8

Ví dụ 5. Cho
A

�1 1 �
�4  4 �
 x  y �x y �

B

�1 1 �
�3  3 �
 x  y �x y �

C

�1 1 �
�2  2 �
x

y

 �x y �

1

3

1

4

1

5

Thực hiện phép tính A + B + C.
 Lời giải
Ta có
A

x4y4  x  y

B C 





 y  x   y  x    y  x   y x .

2

y4  x4
3

2

2

2

x4y4  x  y

2

2

x4y4  x  y

3

2

�1 1
1 y2  x2 �


. 2 2 �
4 �3
3
 x  y �x y x  y x y �
2

y3  x3  xy y x
�1 1 y  x �

2



.
4 �3
3
2 2 �
4
x3y3
 x  y �x y x y �  x  y

2

2

 x  y

4

.

 y x  y2  2yx  x2 
3 3

xy



2 y  x

 x  y

2

x3y3

Do đó,

 y  x   y x 
A B C 
2

2

x y  x  y
4 4

2

2 y  x

 x  y

2

x3y3

 y  x   y x  2xy y x   y x  y  x  2xy


2

2

2

x y  x  y
4 4

2

2

x y  x  y
4 4

2



y x
x4 y4

Bài tập tự luyện
 Bài 1.
Thực hiện các phép tính
x  3 2x  1 x  3

 2
1) x  1 x  1 x  1

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8

2)

1
1
1
1



x x  y y x  y x x  y y y  x
 Lời giải

x  3 2x  1 x  3  x  3  x  1   2x  1  x  1   x  3  x2  1

 2
 1

 2
x2  1
x 1
1) x  1 x  1 x  1

1
1
1
1
x y
y x
1 1







0
x x  y y x  y x x  y y y  x xy x  y xy x  y xy xy
2)
 Bài 2. Thực hiện phép tính

A
1)

1

1





1

 a  b  a  c  b a  b  c  c  a  c  b

;

B

1
1
1


;
a a  b  a  c b b  a  b  c c c  a  c  b

C

bc
ac
ab


;
 a  b  a  c  b a  b c  c  a  c  b

D

a2
b2

c2


;
 a  b  a  c  b a  b c  c  a  c  b

2)

3)

4)

 Lời giải

A
1)

1

1





1

 a  b  a  c  b  a  b  c  c  a  c  b



c  b a  c  b a
0
 a  b  b c  c  a

2) Ta có

B





1
1
1


a a  b  a  c b b  a  b  c c c  a  c  b

bc b  c  ac a  c  ab a  b
abc a  b  b  c  a  c





c b2  bc  a2  ac  ab a  b
abc a  b  b  c  a  c

c�
 b a  b a  c b a �
� ab a  b
 �
abc a  b  b c  a  c

 a  b  cb ca  c2   ab a  b

abc a  b  b  c  a  c
Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8

 a  b  cb ca  c2  ab

abc a  b  b  c  a  c


 a  b  b  c  a  c
abc a  b  b  c  a  c



1
abc

3) Ta có

bc
ac
ab


 a  b  a  c  b a  b c  c  a  c  b

C





bc b  c  ac a  c  ab a  b

 a  b  b c  a  c





c b2  bc  a2  ac  ab a  b

 a  b  b c  a  c

c�
 b a  b a  c b  a �
� ab a  b
 �

 a  b  b c  a  c

 a  b  cb ca  c2   ab a  b

 a  b  b c  a  c
 a  b  cb ca  c2  ab

 a  b  b c  a  c


 a  b  b  c  a  c
 a  b  b  c  a  c

1

4) Ta có
D







a2
b2
c2


 a  b  a  c  b  a  b  c  c  a  c  b

a2  b  c  b2  a  c  c2  a  b

 a  b  b c  a  c

a2  b  c  b2a  b2c  c2a  c2b

 a  b  b c  a c





a2  b  c  a b2  c2  bc b  c

 a  b  b c  a  c

 b  c  a2  ab  ac  cb

 a  b  b  c  a  c
Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8



a a  b  c a  b �

 b c �
�
�
 a  b  b c  a  c



 a  b  b c  a  c
 a  b  b c  a  c

1

 Bài 3. Cho a, b, clà các số nguyên khác nhau đôi một. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là
một số nguyên:
P

a3
b3
c3


 a  b  a  c  b  a  b  c  c  a  c  b

 Lời giải
Ta có
P

a3
b3
c3



3
3
3
 a  b  a  c  b a  b c  c  a  c  b  a  b  c  b  c  a  c  a  b
 a  b  b c  a  c

Phân tích tử thành nhân tử

a3  b  c  b3  c  a  c3  a  b  a3b  a3c  b3c  b3a  c3  a  b



 



 a3b b3a  a3c  b3c  c3  a  b





 ab a  b  a  b  c a  b a2  ab  b2  c3  a  b



  a  b a2b  ab2  ca2  cb2  abc  c3



 

 





  a  b �c3  cb2  abc  ab2  a2b  ca2 �
�
�



  a  b  b  c cb c2  ab a2







  a  b  b  c �
 ab cb  a2  c2 �
�
�

  a  b  b  c  a  c  a  b  c

Vậy P  a  b  c
 Bài 4. Cho 3y x  6. Tính giá trị biểu thức

A

x
2x  3y

y 2 x  6 .

 Lời giải

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8

A

x
2x  3y 3y  6 2x  x  6



y 2 x  6
y 2
x  6  3 1 4

x2 y2 z2 x2  y2  z2
  
5
 Bài 5. Tìm x, y, z biết rằng 2 3 4
.
 Lời giải

�x2 x2 � �y2 y2 � �z2 z2 �
x2 y2 z2 x2  y2  z2
�  � �  � �  � 0
  
2 5 � �3 5 � �4 5 �
5
Từ 2 3 4
suy ra �
3x2 2y2 z2


0
Cho nên 10 15 20
. Do đó, x  y  z  0
 Bài 6. Tìm x, ybiết rằng

x2  y2 

1 1

4
x2 y2
 Lời giải

Ta có
x2  y2 

1 � �2
1�
�2
1 1
 2  4 � �x  2  2 � �y  2  2 � 0
2
x ��
y �
x y
�
2

2

� 1� � 1�
� �x  � �y  � 0
� x � � y�

� 1
x  0
�
� x
��
2
�
�x  1

�y  1  0 � � 2
�
�y  1
� y
Có bốn đáp án như bảng sau
x
y
1 1 1
   2,
 Bài 7. Cho biết a b c
1 1 1
  2
a2 b2 c2

1

1

-1

-1

1

-1

1

-1

(1)

(2)

Chứng minh rằng: a  b  c  abc
 Lời giải
1 1 1
�1 1 1 �
 2  2  2�   � 4
2
�ab bc ca �
Từ (1) suy ra: a b c
Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8

1 1 1
a b c
 
1
1
abc
Do nên ab bc ca
suy ra
.

Do đó: a  b  c  abc

x y z
  0
 Bài 8. Cho : a b c

(1)

a b c
  2
x y z

(2)

Và

a2 b2 c2
 2 2
2
Tính giá trị biểu thức x y z .
 Lời giải
Từ (1) suy ra bcx  acy  abz  0
a2 b2 c2 �ab yzbc ca �
 2  2 � 
 � 4
2
x
y
z
xy
yz
xz �

�
Từ (2) suy ra

a2 b2 c2
abz  acy  bcx
 2  2  4 2
2
xyz
4
Do đó x y z
2
2
2
2
 Bài 9. Cho (a  b  c)  a  b  c và khác 0. Chứng minh rằng:

1 1 1
3
 3 3 
3
a b c
abc

 Lời giải
Từ giả thiết suy ra: ab  bc  ca  0

� b c  

bc
a

ab  bc  ca
1 1 1
0
  0
abc
Do đó
, tức là a b c
3

1
1 1
1 �
�1 1�
�1 1 � 1
�1
  �  �� 3   �  �  3  3  3� 2  2 �
b c
�b c � a
�bc b c �
�b c �
Suy ra a
�

1 1 1
3(b  c)
3bc
3
 3 3  2 2  2 2 
3

a b c
bc
ab c
abc

a b c b a c
    
 Bài 10. Cho b c a a c b . Chứng minh rằng trong ba số a, b,c tồn tại hai số bằng nhau.

 Lời giải
Từ giả thiết suy ra
Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8

� a2(c  b)  a(c2  b2 )  bc(c  b)  0

a2c  b2a  c2b  b2c  a2b  c2a

� (c  b)(a2  ac  ab bc)  0
� (c  b)(a  c)(a  b)  0.

Tồn tại một trong các thừa số c  b, a  c, a  b bằng Do đó, trong ba số a, b,c tồn tại hai số bằng
nhau.
 Bài 11. Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên:

1)

2)

3)

2x3  6x2  x  8
x 3

A

x4  2x3  3x2  8x  1
B
x2  2x  1

C

x4  3x3  2x2  6x  2
x2  2
 Lời giải

1)

A

2x3  6x2  x  8
5
 2x2  1
x 3
x 3

A nguyên khi x nguyên, x  3nguyên và nó là ước của 5.

Suy ra x  3  1 hoặc x  3  1 hoặc x  3  5 hoặc x  3  5
Hay x  4 hoặc x  2 hoặc x  8 hoăc x  2

2)

B

x4  2x3  3x2  8x  1  x2  4 
x2  2x  1

3

 x  1

2

B nguyên khi x nguyên,  x  1 nguyên và nó là ước của 3
2

Suy ra

 x  1

2

1

hoặc

 x  1

2

3

Hay x  1 1 hoặc x  1 1hay x  2 hoặc x  0
x4  3x3  2x2  6x  2
2
C
 x2  3x  2
2
x 2
x  2
3)

C nguyên khi x nguyên, x2  2 nguyên và nó là ước của 2 .
2
Suy ra x  2  2 hay x  0

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8

 Bài 12. Rút gọn biểu thức sau với
A

x

a
3a  2

x  3a x  3a
2a


a
2  x 2  x 4  x2

 Lời giải
A

x  3a x  3a
2a
6ax  4x  2a
2x(3a  2)  2a
a


a=
a=
2
2
2 x 2  x 4 x
4 x
4  x2

a

 Bài 13. Rút gọn biểu thức

A

2
2
2
(a  b)2  (b c)2  (c  a)2



a  b b c c  a
(a  b)(b  c)(c  a)
 Lời giải

Đặt a  b  x , b  c  y , c  a  z thì x  y z  0

Ta có:

A

2
2
2
(a  b)2  (b c)2  (c  a)2




a  b b c c  a
(a  b)(b  c)(c  a)

2 2 2 x2  y2  z2

  

x y z
xyz

 x

y z
xyz

2

0

a  b c b c  a c  a  b


 0
bc
ca
 Bài 14. Cho biết ab
. Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế
trái, có ít nhất một phân thức bằng 0 .

 Lời giải

Ta có:
a  b c b c  a c  a  b


 0
ab
bc
ca

� c(a  b  c)  a(b  c  a)  b(c  a  b)  0
� a2  b2  2ab  c2  0

� (a  b)2  c2  0
� (a  b c)(a  b  c)  0

Vậy a  b c  0hoặc a  b  c  0
 Bài 15. Xác định các số a, b,c sao cho:
1
a bx  c
  2
;
x
(
x

1)
x
x

1

1)
2

1
a
b


;
x 2 x 2
2) x  4
2

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8

1
a
b
c



.
2
2

x  1 (x  1) x  2
3) (x  1) (x  2)
 Lời giải
2
2
a bx  c  a(x  1)  (bx  c)x  (a  b)x  cx  a

x(x2  1)
x(x2  1)
x x2  1

1) Ta có:

1
Đồng nhất với phân thức x(x  1) ta được
2

�a  b  0 �a  1
�
�
c1
� �b  1
�
�a  1
�
c 0
�
�

a

b
a(x  2)  b(x  2) (a  b)x  2(a  b)



x2  4
x2  4
2) Ta có: x  2 x  2

�
a
�
a b  0
�
�
�
�
�
�
1 �
1
a b 
b
�
2
2 �
Đồng nhất với phân thức x  4 ta được �
a
b
c



2
3) Ta có x  1 (x  1) x  2

1
4
1
4



a(x  1)(x  2)  b(x  2)  c(x  1)2
(x  1)2 (x  2)



(a  c)x2  (3a  b  2c)x  a  2b  c
(x  1)2(x  2)

1
2
Đồng nhất với phân thức (x  1) (x  2) ta được

�a  c  0
�a  1
�
�
3a  b  2c  0 � �b  1
�

�a  2b  c  1
�
c1
�
�

 Bài 16. Rút gọn biểu thức
1 1�
1
1�
�1
�1
B  (ab bc  ca)�   � abc� 2  2  2 �
b c�
b
c �
�a
�a

 Lời giải
1 1�
1
1�
�1
�1
B  (ab  bc  ca)�   � abc� 2  2  2 �
b c�
b
c �
�a

�a

 (ab  bc  ca)


bc  ca  ab
b2c2  c2a2  a2b2
 abc
abc
a2b2c2

(bc  ca  ab)2 b2c2  c2a2  a2b2

abc
abc

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8



2abc(a  b  c)
abc

 2(a  b  c)

Bài 17
1 1 1
+ + =0
. Cho a, b, c khác nhau đôi một và a b c
.

Rút gọn các biểu thức:
1
1
1
+ 2
+ 2
a + 2bc b + 2ac c + 2ab
bc
ac
ab
2)N = 2
+ 2
+ 2
a + 2bc b + 2ac c + 2ab
a2
b2
c2
3) P = 2
+ 2
+ 2
a + 2bc b + 2ac c + 2ab
1) M =

2

Lời giải

Từ giả thiết suy ra: ab + bc + ac = 0 nên:
a 2 + 2bc = a 2 + bc +(-ab - ac) = a(a - b) - c(a - b) = (a - b)(a - c) .
2
2
Tương tự: b + 2ac = (b - a)(b - c) và c + 2ab = (c - a)(c - b) .

1)M =

=
=

1
1
1
+ 2
+ 2
a + 2bc b + 2ac c + 2ab
2

1
1
1
+
+
(a - b)(a - c) (b - a)(b - c) (c - a)(c - b)

b - c+ c - a + a - b

= 0.
(a - b)(b - c)(a - c)

2) N =

=

bc
ac
ab
+ 2
+ 2
a + 2bc b + 2ac c + 2ab
2

bc
ac
ab
+
+
(a - b)(a - c) (b - a)(b - c) (c - a)(c - b)

=

bc(b - c)+ ac(c - a)+ ab(a - b) -c(a 2 - b 2 )+ c 2 (a - b)+ ab(a - b)
=
(a - b)(b - c)(a - c)
(a - b)(b - c)(a - c)

=

(a - b)(-ac - cb+c 2 + ab) (a - b) -c(a - c)+b(a - c)
=
(a - b)(b - c)(a - c)
(a - b)(b - c)(a - c)

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8

=

(a - b)(b - c)(a - c)
= 1.
(a - b)(b - c)(a - c)
3) P=

a2
b2
c2
+
+
a 2 + 2bc b 2 + 2ac c 2 + 2ab

=

a2

b2
c2
+
+
(a - b)(a - c) (b - a)(b - c) (c - a)(c - b)

=

a 2 (b - c)+b 2 (c - a)+c 2 (a - b) ab(a - b)- c(a 2 - b 2 )+ c 2 (a - b)
=
(a - b)(b - c)(a - c)
(a - b)(b - c)(a - c)

=

(a - b)(ab - a - bc + c 2) (a - b)(b - c)(a - c)
=
1
(a - b)(b - c)(a - c)
(a - b)(b - c)(a - c)

ab bc ca


a
b .
Bài 18. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và c
� a�
� b�
� c�

M �
1 �
1 �
1 �
.
�
�
b
c
a
�
�
�
�
�
�
Tính giá trị biểu thức
Lời giải
a  b b  c c  a a  b  b  c  c  a 2(a  b  c)




a
b
abc
abc
Ta có c

Nếu a  b  c �0 thì tỉ số trên bằng 2 . Suy ra a  b  2c, b  c  2a .

Do đó a  c  2(c  a ) nên c  a , trái với đề bài.
Vậy a  b  c  0. Ta có

M

a  b b  c c  a  c  a b
� �

� �  1
b
c
a
b c a

3
3
3
Bài 19. Cho a  b  c  3abc và a  b  c �0 .

a2  b2  c2
N
(a  b  c) 2
Tính giá trị của biểu thức
Lời giải

3
3
3
2
2

2
Ta có a  b  c  3abc  (a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ca ) .
3
3
3
2
2
2
Do a  b  c  3abc và a  b  c �0 nên đẳng thức trên trở thành a  b  c  ab  bc  ca  0

Lại có

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8

a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca   a 2  2ab  b 2    b 2  2bc  c 2    c 2  2ca  a 2 
 (a  b) 2  (b  c )2  (c  a )2
2
2
2
Như vậy từ a  b  c  ab  bc  ca  0 suy ra a  b  c .

Do đó,

N

3a 2
3a 2 1


(3a )2 9a 2 3

� 1 �
� 1�
� 1 � � 1 �
A�
1 2 �
1 2 �
1 2 �
��
1 2 �
�
�
� 2 �
� 3 �
� 4 � � n �.
Bài 20. Rút gọn biểu thức
Lời giải

Ta có
3 2�
4 3�
5 ( n  1)( n  1)
� 1 �
� 1�
� 1 � � 1 � 1�

�
1 2 �
1 2 �
1 2 �
L �
1  2 � 2 � 2 � 2 L
�
�
4
n2
� 2 �
� 3 �
� 4 � � n � 2 3
1 ��
2 3L ( n  1) 3 ��
4 5L (n  1) 1 n  1 n  1

�
 � 
2 ��
3 4L n
2 ��
3 4L n
n 2
2n

12
32
52
(2n  1)2

B  2 �2 �2 L
2  1 4  1 6  1 (2n  2) 2  1 .
Bài 21. Rút gọn biểu thức
Lời giải

Ta có


12
32
52
(2n  1) 2
12 32 52
(2n  1) 2
�
�
L

�
�
L
22  1 42  1 62  1 (2n  2) 2  1 1 �
3 3�
5 5�
7 (2n  1)(2n  3)



12 �
32 �

52 L (2n  1) 2
1

2
2
2
1�
3 �
5 L (2n  1) �
(2n  3) (2n  3)

1
1
1
1


L 
2 2�
3 3�
4
(n  1) n
Bài 22. Rút gọn biểu thức 1�
Lời giải

1
1
1
1
1 1 1 1 1 1

1
1
1 n 1


L 
      L 
  1 
2 2�
3 3�
4
(n  1)n 1 2 2 3 3 4
n 1 n
n
n
Ta có 1 �
1
1
1
1


L 
5 5�
8 8�
11
(3n  2)(3n  5) .
Bài 23. Rút gọn biểu thức 2 �
Lời giải

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học tốn 8

1
1� 1
1 �
 �

�
Ta có (3n  2)(3n  5) 3 �3n  2 3n  5 �

Do đó
1
1
1
1
1 �1 1 1 1 1 1
1
1 �


L 
 �      L 

�
2�

5 5�
8 8�
11
(3n  2)(3n  5) 3 �2 5 5 8 8 11
3n  2 3n  5 �
1 �1
1 � 1 3n  5  2
n 1
 �

� �
3 �2 3n  5 � 3 2(3n  5) 2(3n  5)

1
1
1
1


L 
2 3 2 ��
3 4 3 ��
4 5
(n  1) n(n  1) .
Bài 24. Rút gọn biểu thức 1 ��
Lời giải

1
1� 1
1 �

 �

(n  1)n n(n  1) �
�
Ta có (n  1)n(n  1) 2 �
Do đó
1
1
1
1


L 
1 ��
2 3 2 ��
3 4 3 ��
4 5
( n  1) n( n  1)


1 �1
1
1
1
1
1
1
1 �






L 

�
2�
1�
2 2�
3 2�
3 3�
4 3�
4 4�
5
( n  1) n n(n  1) �
�



1�
1
1 � 1 n(n  1)  2 (n  1)(n  2)

 �

�
2�
2 n(n  1) �
4n( n  1)
� 2 2n( n  1)

Bài 25. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n �1 , ta ln có
1 1 1
1
1
 2  2 L 

2
2
2 4 6
(2n)
2
Lời giải
Ta có

A

1 1 1
1
1 �1 1 1
1 �
 2  2 L 
 �2  2  2  L  2 �
2
2
2 4 6
(2n)
4�
1 2 3
n �

1� 1
1
1 �
A �
1

L 
.
�
4 � 1�
2 2�
3
( n  1) n �
Suy ra

Lại có

1

1
1
1
1 1
1

L 
 1   2 
1�
2 2�

3
( n  1) n
1 n
n.

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học tốn 8

1� 1�
1
A �
2 �
A
4
n
�
�, suy ra
2.
Do đó

Bài 26. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n �1 , ta ln có
1 1 1
1
1
 2  2 L 


2
2
3 5 7
(2n  1)
4
Lời giải

Ta có
B

1 1 1
1
1
1
1
1
 2  2 L 
 2
 2
 2
L 
2
2
3 5 7
(2n  1)
3 1 5  1 7 1
(2n  1) 2  1

Lại có
1

1
1
1
1
1
1
1
 2
 2
L 



L 
2
3 1 5 1 7 1
(2n  1)  1 2 �
4 4�
6 6�
8
2n(2n  2)
2

1 �1 1 1 1 1 1
1
1 � 1 �1
1 �
 �      L 

� � 

�
2 �2 4 4 6 6 8
2n 2n  2 � 2 �2 2n  2 �
1 �1
1 �
1
B � 
B
�
2 �2 2n  2 �, suy ra
4.
Do đó

Bài 27. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n �2 , ta ln có
A

1 1 1
1 2
 2  2 L  2 
2
2 3 4
n
3
Lời giải

Nhận xét, với mọi số tự nhiên n �2 ta luôn có :
1
4
1 �
� 1

 2
 2�

�
2
n
4n  1
�2n  1 2n  1 �
.
1
1 �
�1 1 1 1 1 1
A  2 �      L 

�
2n  1 2n  1 �
�3 5 5 7 7 9
Khi đó
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
     L 

 
2n  1 2n  1 3 2n  1
Lại có 3 5 5 7 7 9

1 �

�1
2
A  2� 
A
�
3
2
n

1
�
�, suy ra
3
Do đó

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8

Bài 28. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n �3 , ta ln có
B

1 1 1
1
1
 3  3 L  3 
3

3 4 5
n 12

Lời giải

Với mọi số tự nhiên n �3, ta luôn có:
1
1
1
1 (n + 1) - (n - 1) 1 � 1
1 �
< 3
=
= .
= .�
3
(n - 1)n n(n + 1) �
n
n - n (n - 1)n(n +1) 2 (n - 1)n(n + 1) 2 �
�.
1 �1
1
1
1
1
1
1
1 �
B< � +
+

+ ...+
.
�
2
2.3
3.4
3.4
4.5
4.5
5.6
(n
1)n
n(n
+
1)
�
�
Khi đó:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+

+ ...+
= .
(n - 1)n n(n +1) 6 n(n + 1)
Lại có: 2.3 3.4 3.4 4.5 4.5 5.6
1 �1
1 �
1
B< � B<
.
�,
2
6
n(n
+
1)
�
�suy ra
12
Do đó:
Bài 29. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n �1 , ta ln có:
1 �
� 1 �
� 1 �
� 1 ��
A= �
1+
1+
1+
... �
1+

�< 2
�
�
�
�
�
� 1.3 �
� 2.4 �
� 3.5 � � n(n + 2) �
Lời giải
Với mọi số tự nhiên n > 1, ta có:

1+

A=
Khi đó:

1
n(n + 2)+ 1 n 2 + 2n + 1 (n + 1)2
=
=
=
n(n + 2)
n(n + 2)
n(n + 2)
n(n + 2) .

2 2 32 4 2 (n+1)2 2.3.4...(n+1) 2.3.4...(n +1)
.
.

...
=
.
1.3 2.4 3.5 n(n + 2)
1.2.3...n
3.4.5...(n+ 2)

=

n+1 2
n+ 2 - 1
� 1 �
.
= 2.
= 2�
1.
�
1 n+ 2
n+ 2
� n+ 2 �

Do đó A  2 .
Bài 30. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n �2 , ta ln có:
� 1
2
� 2�
� 2 �
� 2 ��
B=�
1- �

11... �
1>
�
�
�
�
�
� 6�
� 12 �
� 20 � � n(n + 1) � 3
Lời giải

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8
Với mọi số tự nhiên n > 2, ta có:

1-

2
n(n+1)- 2 n 2 + n - 2 (n - 1)(n+ 2)
=
=
=
n(n+1)
n(n+1)
n(n+1)

n(n+1) .

2 � 1.4 2.5 3.6 (n - 1)(n + 2)
� 2�
� 2 �
� 2 ��
B=�
1- �
1- �
1- �
... �
1.
.
...
�=
�
�
6
12
20
n(n
+
1)
2.3
3.4
4.5
n(n + 1)
�
�
�

�
�
�
�
�
Khi đó:
=

1.2.3...(n - 1) 4.5.6...(n + 2) 1 n + 2 1 � 2 �
.
= .
= .�
1+ �
2.3.4...n 3.4.5...(n +1) n 3
3 � n �.

Bài 31. Rút gọn biểu thức

A=

Do đó

B

1
3.

32 - 1 7 2 - 1 112 - 1 43 2 - 1
.
.

...
5 2 - 1 9 2 - 1 13 2 - 1 45 2 - 1 .
Lời giải

A=

Ta có:

32 - 1 7 2 - 1 112 - 1 43 2 - 1 2.4 6.8 10.12 42.44
2
1
. 2 . 2 ... 2
=
.
.
...
=
=
2
5 - 1 9 - 1 13 - 1 45 - 1 4.6 8.10 12.14 44.46 46 23

23 + 1 33 + 1 4 3 + 1 9 3 + 1 3
A= 3
.
.
...
<
2 - 1 33 - 1 4 3 - 1 9 3 - 1 2
Bài 32. Chứng minh rằng
Lời giải

Ta có:

Khi đó

2
(n - 0,5)2 + 0,75 �
n3 + 1 (n + 1)  n - n + 1 (n + 1) �
�
�.
=
=
2
n3 - 1 (n - 1)  n 2 + n + 1 (n - 1) �
(n + 0,5) + 0,75 �
�
�

3  1,5 2 + 0,75  4  2,5 2 + 0,75  5  3,5 2 + 0,75  10  8,5 2 + 0,75 
A=
.
.
...
1  2,5 2 + 0,75  2  3,5 2 + 0,75  3  4,5 2 + 0,75  8  9,5 2 + 0,75 
=

Do đó

A<

3.4.5...10 1,5 2 +0,75 9.10 3 3 90
.
=
. = . .
1.2.3...8 9,5 2 +0,75 1.2 91 2 91

3
2.

Bài 33. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n �2 , ln có :
B=

2 3 - 1 33 - 1 4 3 - 1 n 3 - 1 2
.
.
...
> .
2 3 + 1 33 + 1 4 3 + 1 n 3 + 1 3
Lời giải

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8







2
(n - 1) �
(n + 0,5)2 + 0,75 �
n3 - 1 (n - 1) n + n + 1
�
�
=
=
3
2
2
n + 1 (n + 1) n - n + 1
(n +1) �
(n - 0,5) + 0,75 �
�
�.
Với mọi số tự nhiên n �2 , ta có :



2
�n+0,5  +0,75 �
1. 2,5 2 +0,75  2. 3,5 2 +0,75  3. 4,5 2 +0,75   n - 1 . �
�
B=
.
.
...

2
2
2
2
3. 1,5 +0,75  4. 2,5 +0,75  5. 3,5 +0,75   n+1 . �
 n - 0,5  +0,75 �
�
�

Khi đó

1.2.3... n - 1  n+0,5  +0,75
1.2
n 2 + n+1 2 n 2 + n+1
=
.
=
.
= . 2
.
3.4.5... n+1
1,5 2 +0,75
n. n+1
3
3 n +n
2

2
B> .
3

Do đó

1

4

P=
Bài 34. Rút gọn biểu thức

3

4

+ 4   54 + 4   9 4 + 4  ... 214 + 4 

+ 4   7 4 + 4   114 + 4  ... 23 4 + 4 
Lời giải

n4 + 4 =  n 2 + 2  - 4n 2 =  n 2 - 2n + 2   n 2 + 2n + 2  = �
(n - 1)2 + 1�
(n + 1)2 +1�
.
�
��
�
�
2

Ta có:

Khi đó:

0
P=
2

2
2

+ 1  2 2 + 1

4
.
+ 1  4 + 1   6
2

2
2

+ 1  6 2 + 1 

 8 + 1  10 + 1 ...  20
.
+ 1  8 + 1  10 + 1  12 + 1   22
2

2

2

2

2

2
2

+ 1  22 2 + 1

+ 1  24 2 + 1

02 + 1
1
= 2
=
.
24 + 1 577
Bài 35. Rút gọn biểu thức:
M=

1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
.
a - 5a + 6 a - 7a + 12 a - 9a + 20 a - 11a + 30
2

Lời giải

Ta có:
M=

1
1
1
1
+
+
+
(a - 2)(a - 3) (a - 3)(a - 4) (a - 4)(a - 5) (a - 5)(a - 6)

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8

1
1
1
1
1
1
1
1

+
+
+
a -3 a-2 a -4 a-3 a-5 a -4 a-6 a-5
1
1
4
=
=
.
a - 6 a - 2 (a - 2)(a - 6)
=

Bài 36. Rút gọn biểu thức:
2
1 ��1 1 1
1�
�n - 1 n - 2 n - 3
+
+ ...+
+
:
+ + + ...+ �
� +
��
2
3
n - 2 n - 1 ��2 3 4
n�
�1

Lời giải

n -  n - 2  n -  n - 1
n -1 n - 2 n - 3
2
1
n -1 n- 2 n- 3
+
+
+ ...+
+
=
+
+
+ ...+
+
2
3
n - 2 n -1
1
2
3
n-2
n-1
Ta có: 1
n n n
n
n
= + + + ...+
+

- 1- 1- 1- ...- 1- 1
1 2 3
n- 2 n-1
n n
n
n
= n+ + + ...+
+
-  n - 1
2 3
n - 2 n -1
n n
n
n
n
= + + ...+
+
+
2 3
n- 2 n-1 n
1
1
1�
�1 1 1
= n � + + +...+
+
+ �
.
n- 2 n-1 n �
�2 3 4

Do đó :
2
1 ��1 1 1
1�
�n - 1 n - 2 n - 3
+
+ ...+
+
:
+ + + ...+ �= n
� +
��
2
3
n - 2 n - 1 ��2 3 4
n� .
�1

Bài 37. Rút gọn biểu thức:

1
1
1
1
1
+
+
+ ...+
+

A 1.(2n - 1) 3.(2n - 3) 5.(2n - 5)
(2n - 3).3 (2n - 1).1
=
1
1
1
B
1+ + + ...+
3 5
2n - 1
Lời giải

1
1 �1
1 �
=
+
.
�
�
Ta có nhận xét: k.(2n - k) 2n �k 2n - k �

A=
Khi đó:

�
1 �
1 � �1
1 �
1� � 1

1�
�1
� 1
+� +
+ ...+ �
+ �
+�
+ �
�+
�
�
�
�
2n �
�1 2n - 1 � �3 2n - 3 �
�2n - 3 3 � �2n - 1 1 �
�

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8

=

1 � 1 1
1 �
.2 �

1+ + + ...+
2n � 3 5
2n - 1 �
�

=

1� 1 1
1 � B
1+ + + ...+
=
�
n� 3 5
2n - 1 �
� n

A 1
=
Do đó: B n .

Bài 38. Cho abc = 1 và
bằng 1.

Từ đẳng thức:

a+b+c =

a+b+c =

1 1 1

+ +
a b c . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số
Lời giải

1 1 1
ab + bc + ca
a+b+c =
.
+ +
a b c suy ra
abc

Mà abc = 1 nên a + b + c = ab + bc + ca.
Để chứng minh trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1, ta cần chứng minh:

 a - 1  b - 1   c - 1  = 0 .
Ta có:

 a - 1  b - 1  c - 1 =  ab - a - b + 1  c - 1
= abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1
=  abc - 1 +  a + b + c  -  ab + bc + ca 
Vì abc = 1 và a + b + c = ab + bc + ca nên biểu thức trên bằng 0 .
Do đó, tồn tại một trong ba thừa số a - 1, b - 1, c - 1 bằng 0 .
Vậy tồn tại một trong ba số a, b, c bằng 1.
1 1 1 1
+ + =
x
+
y
+

z
=
a
x
y z a thì tồn tại một trong ba số x, y, z
Bài 39. Chứng minh rằng nếu
và
Lời giải
bằng a .

Từ giả thiết suy ra a �0 . Khi đó:
1 1 1
1
xy + yz + zx
1
+ + =
hay
=
x y z x+ y+ z
xyz
x+ y+ z .
Suy ra: (xy + yz + zx)(x + y + z) - xyz = 0.
Ta có :

 xy + yz + zx   x + y + z  - xyz = x 2 y + xyz + x 2 z + xy 2 + xyz + y 2 z + yz 2 + xyz + xz 2 - xyz

Nhóm word hóa tài liệu

71

Tự học toán 8

= x 2 y + xy 2 + xyz + y 2 z + xyz + yz 2 + x 2 z + xz 2

= xy  x + y  + yz  x + y  + yz  x + z  + xz  x + z 
= y  x + y  x + z + z  x + z  x + y
= x + y  y + z  z + x .
Từ (1) suy ra:

 x + y   y + z   z + x  = 0. Do đó:

x = -y hoặc y = -z hoặc z = -x .

1 1 1 1
+ + =
- Với x = -y thì x y z a suy ra: z = a.
1 1 1 1
+ + =
y
=
-z
x
y z a suy ra: x = a.
- Với
thì
1 1 1 1
+ + =
- Với z = -x thì x y z a suy ra: y = a.
Vậy tồn tại một trong ba số x, y, z bằng a.

1 1 1
+ +
Bài 40. Các biểu thức x + y + z và x y z có thể cùng có giá trị bằng 0 được hay không?
Lời giải

1 1 1
  0
x

y

z

0
x
y z
Giả sử
và
.
1 1 1 xy  yz  zx
1 1 1
  
.
  0
xyz
Ta có x y z
Mà x y z
nên xy  yz  zx  0
2
2

2
2
Từ x  y  z  0 suy ra ( x  y  z )  0 hay x  y  z  2( xy  yz  zx)  0 .

xy  yz  zx  0 nên x 2  y 2  z 2  0 , suy ra x  y  z  0.
Vì

1 1 1
, ,
x
y z khơng xác định.
Điều này vơ lí vì khi đó
1 1 1
 
Vậy x  y  z và x y z không thể cùng có giá trị bằng 0 .

Bài 41. Tính giá trị của biểu thức

M

1
1
1


x  2 y  2 z  2 , biết rằng

2a  by  cz; 2b  ax  cz; 2c  ax  by và a  b  c �0

Lời giải

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8

Cộng theo từng vế ba đẳng thức
2a  by  cz; 2b  ax  cz; 2c  ax  by

Ta được a  b  c  ax  by  cz  ax  2a  a ( x  2)
1
a

Suy ra x  2 a  b  c

1
b
1
c

,

Tương tự, y  2 a  b  c z  2 a  b  c .

Do đó

M

abc
1
abc
.

Bài 42. Cho abc  2 . Rút gọn biểu thức

M

a
b
2c


ab  a  2 bc  b  1 ac  2c  2

Lời giải

Với abc  2 , ta có
M

a
b
2c
a
ab
2c






ab  a  2 bc  b  1 ac  2c  2 ab  a  2 abc  ab  a ac  2c  abc



a
ab
2
a  ab  2



1
a  ab  2 a  ab  2 a  ab  2 a  ab  2

Bài 43. Cho abc  1 . Rút gọn biểu thức

N

a
b
c


ab  a  1 bc  b  1 ac  c  1 .

Lời giải

Với abc  1 , ta có

N


a
b
c
a
ab
c





ab  a  1 bc  b  1 ac  c  1 a  ab  1 abc  ab  a ac  c  abc
a
ab
1
a  ab  1



1
a  ab  1 a  ab  1 a  ab  1 a  ab  1

a a b

, a �0, c �0, a  b �0, b  c �0
Bài 44. Cho c b  c

. Chứng minh rằng
1
1
1
1



a ab bc c
Lời giải

Nhóm word hóa tài liệu

71


Tự học toán 8

Từ giả thiết suy ra a (b  c)  c(a  b)

(1)

1
1
a bc


c a  b c (a  b)

(2)

1
1 a bc
 
b  c a a (b  c)

(3)

Ta có

Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh.

Bài 45. Cho a  b  c  0(a �0, b �0, c �0) .

Rút gọn biểu thức

A

a 2 b2 c2
 
bc ca ab .

Lời giải

Ta có
2
2
2
a 2 b 2 c 2 a 3  b3  c 3 ( a  b  c)  a  b  c  ab  bc  ca   3abc 3abc
A  




3
bc ca ab
abc
abc
abc

Bài 46. Cho a  b  c  0(a �0, b �0, c �0) . Rút gọn biểu thức
a2
b2
c2
B 2 2 2  2 2

a  b  c b  c  a2 c2  a 2  b2
Lời giải

2
2
2
2
2
2
Từ a  b  c  0 suy ra b  c  a . Khi đó b  2bc  c  a hay a  b  c  2bc .

2
2
2
2

2
2
Tương tự, b  c  a  2ca, c  a  b  2ab .

Do đó


2
2
2
a2
b2
c2
a 3  b3  c3 ( a  b  c)  a  b  c  ab  bc  ca   3abc 3abc 3






2bc 2ca 2ab
2abc
2abc
2abc 2

Bài 47. Cho biết a  b  c  0 , hãy tính giá trị của biểu thức

Nhóm word hóa tài liệu

71

Tự học toán 8

a
b �
�a  b b  c c  a �
�c
A�




�
�
�
a
b �
�c
�a  b b  c c  a �
Lời giải

M

Đặt

a b b c c a


c

a
b

c
c �b  c c  a �
c b 2  bc  ac  a 2
M�
 1


1

�
�
�
ab
ab� a
b �
ab
ab
c ( a  b)(c  a  b)
2c 2
2c 3
 1
�
 1
 1
a b
ab
ab

abc
a
2a 3
b
2b3
M�
 1
M�
 1
bc
abc ,
ca
abc
Tương tự,
Do đó :
A  3
 3



2 a3  b3  c 3
abc

  3  2  a  b  c  a

2



 b 2  c 2  ab  bc  ca  6abc

abc

6abc
 3 6  9
abc

 Bài 48. Chứng minh rằng, nếu
0

a

1 1 1
   abc
thì a b c
.

2







 bc  b  abc   b 2  ac  a  abc 

và các số a, b, c, a  b khác

Lời giải

Từ giả thiết suy ra
a 2b  a3bc  b 2c  ab 2c 2  ab 2  ab3c  a 2c  a 2bc 2

� ab  a  b   c  a 2  b 2   abc 2  a  b   abc  a 2  b 2 
�  a  b   ab  ac  bc   abc  a  b   a  b  c 
Chia cả hai vế cho

abc  a  b  �0

ta được điều phải chứng minh.

a b c
a  b  c  0, x  y  z  0,    0
x y z
 Bài 49. Cho
. Chứng minh rằng

ax 2  by 2  cz 2  0.

Nhóm word hóa tài liệu

Lời giải

71