skkn một số giải pháp hay của giáo viên không chuyên trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán 6

I. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến “Một số giải
pháp hay của giáo viên “không chuyên” trong công tác bồi dưỡng học sinh
giỏi mơn Tốn 6 ở trường THCS Sùng Phài”
Lúc sinh thời Chủ tịch Hồ Chí Minh kính yêu của dân tộc Việt Nam có
dạy: "Dù khó khăn đến đâu cũng phải cố gắng thi đua dạy thật tốt, học thật tốt".
Thực hiện lời dạy của Bác, cán bộ giáo viên nhân viên trong nhà trường nói
chung và bản thân tơi nói riêng ln quyết tâm phấn đấu thi đua dạy thật tốt góp
phần xây dựng nhà trường ngày càng trong sạch, vững mạnh, chất lượng giáo
dục mũi nhọn năm sau phải cao hơn năm trước. Đứng trước cơ hội và thử thách
lớn lao, bản thân tôi luôn tự nhủ phải đẩy mạnh công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
trong nhà trường để góp phần nhỏ bé của mình nhằm nâng cao chất lượng giáo
dục học sinh.
Trên cơ sở đó, đã thôi thúc tạo cho tôi một động lực là mạnh dạn đăng ký
và tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 6. Trong q trình thực hiện, tơi
ln nghĩ phải tìm cho mình một giải pháp, một hướng đi, một phương pháp dạy
học phù hợp và có hiệu quả nhất đối với học sinh, đó chính là sáng kiến kinh
nghiệm: "Một số giải pháp hay của giáo viên không chuyên trong công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6 ".
2. Phạm vi triển khai thực hiện
Học sinh tham gia bồi dưỡng mơn Tốn 6
3. Mơ tả sáng kiến
3.1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
3.1.1. Thực trạng
- Xã Sùng Phài có diện tích 2102 ha với tổng số hộ 413 hộ gia đình bằng
2007 nhân khẩu với 03 dân tộc anh em sinh sống trên địa bàn đó là H’mơng,
Dao, Kinh. Trong đó, dân tộc H’mông là 287 hộ bằng 1328 nhân khẩu chiếm
66,2%; dân tộc Dao 126 hộ bằng 675 khẩu chiếm 33,6%, dân tộc Kinh chiếm 4
1

khẩu bằng 0,2%; Tỷ lệ hộ nghèo toàn xã là 126 hộ bằng 546 khẩu chiếm 27,2%.
Xã Sùng Phài gồm 8 bản, bản xa nhất cách trung tâm khoảng 12 km, giao thơng
đi lại gặp nhiều khó khăn nhất là những ngày mưa, gió rét.
Trong những năm qua, kết quả thi học sinh giỏi cấp huyện ở trường
THCS Sùng Phài đối với các bộ mơn nói chung và mơn Tốn 6 nói riêng đạt
điểm rất thấp, có rất ít học sinh đạt giải mơn văn hóa thi cấp huyện. Đó là một
trong những băn khoăn, trăn trở lớn nhất của tôi về công tác bồi dưỡng học sinh
giỏi. Bản thân tôi đã công tác ở trường THCS Sùng Phài được 13 năm nay, là
một giáo viên tâm huyết tôi cũng đã nhận thấy được một số thuận lợi và khó
khăn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường như sau:
a. Thuận lợi
Được sự quan tâm và sự chỉ đạo sát sao của Chi bộ, Ban giám hiệu nhà
trường và các đồn thể đã ln ủng hộ, quan tâm đến công tác bồi dưỡng học
sinh giỏi, kịp thời động viên, góp ý kiến xây dựng về cơng tác chun môn.
Từ đầu năm học nhà trường đã xây dựng kế hoạch bồi dưỡng học sinh
giỏi cho các khối 6,7,8,9. Nhà trường đã khảo sát, lựa chọn học sinh trong đội
tuyển và phân cơng những giáo viên có trình độ, năng lực, nhiệt tình phụ trách
các mơn bồi dưỡng theo quy định.
Các em học sinh được chọn vào đội tuyển đều chăm ngoan, tinh thần học
tập và rèn luyện tương đối tốt.
Bản thân cịn trẻ, nhiệt tình, trách nhiệm với cơng việc được giao. Khoảng
cách từ nhà đến trường là 2 km nên cũng rất thuận lợi trong quá trình đi lại để
bồi dưỡng học sinh giỏi.
Nhà trường có đầy đủ phịng học cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
Mơn Tốn lớp 6 là một môn cơ bản và quan trọng trong các môn học,
được đưa vào đầu cấp trung học cơ sở nên là một trong những điều kiện thuận
lợi để giáo viên bồi dưỡng và học sinh nắm bắt những cơ hội tạo tiền đề học tốt
mơn Tốn 6 ngay từ đầu cấp, tạo sự liên thơng giữa Tốn 6 và Toán 7,8,9.
2

Là một giáo viên Công nghệ song bản thân tôi cũng có một chút kiến thức
về mơn Tốn. Bên cạnh đó trong nhà trường cịn có 02 đồng chí giáo viên cũng
thuộc chuyên ngành Toán nên rất thuận lợi trong q trình trao đổi kiến thức bồi
dưỡng.
b. Khó khăn
Học sinh trường THCS Sùng Phài chủ yếu là người dân tộc H’Mơng và
Dao, điều kiện kinh tế xã hội cịn gặp rất nhiều khó khăn và thiếu thốn, nhận
thức của các hộ gia đình và học sinh cịn nhiều hạn chế, các em trong độ tuổi đi
học thường phải ở nhà lên nương làm rẫy, chăn trâu, lấy củi nên gặp rất nhiều
khó khăn trong việc học tập nhất là việc bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung và
bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp 6 nói riêng.
Là một trong những kiến thức khoa học tự nhiên đòi hỏi học sinh tham gia
bồi dưỡng phải hình thành được kỹ năng giải tốn cơ bản về các dạng chun đề
của mơn Tốn nói chung và Tốn 6 nói riêng.
Bản thân tơi là một giáo viên Cơng nghệ khơng chun mơn Tốn nên về
phương pháp, kiến thức đơi khi cũng cịn gặp nhiều khó khăn về nhiều dạng
Tốn nâng cao.
Nhận thức của một vài gia đình nhiều khi cịn hạn chế trong việc cho con
đi học, bồi dưỡng.
3.1.2. Đánh giá về các giải pháp cũ đã thực hiện
a. Ưu điểm
- Đã có sự quan tâm, chỉ đạo sát sao của Ban giám hiệu trường THCS
Sùng Phài và các đoàn thể trong nhà trường về công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Đã có kế hoạch bồi dưỡng.
- Đã bố trí thời gian bồi dưỡng cho học sinh vào các buổi chiều.
b. Nhược điểm
- Chưa có tầm nhìn về cơng tác bồi dưỡng, kế hoạch bồi dưỡng chưa chi
3

tiết, nội dung bồi dưỡng còn mơ hồ, lan man, dàn trải cả chương trình; tài liệu
tham khảo chưa phù hợp.
- Giáo viên chưa đầu tư thời gian vào nghiên cứu nội dung bồi dưỡng.
- Thời gian bồi dưỡng trên trường cịn q ít, giáo viên bồi dưỡng nói
chung cịn chưa nhiệt tình trong cơng tác bồi dưỡng.
- Thời gian bồi dưỡng nhiều khi hay trục trặc, thậm chí có buổi bồi dưỡng
các em cịn khơng đến được vì nhà xa, ở nhà phải phụ giúp gia đình.
- Một số kiến thức nâng cao khó hiểu, trừu tượng nên học sinh tham gia
bồi dưỡng cũng gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí cịn nản, khơng muốn đi ơn
luyện tiếp.
3.2. Mơ tả giải pháp sau khi có sáng kiến
3.2.1. Tính mới của sáng kiến
- Giáo viên phải nhiệt tình, tâm huyết trong cơng tác bồi dưỡng, có sự đầu
tư về thời gian, các bài tập được viết theo chuyên đề, theo dạng bài dễ hiểu,
phương pháp bồi dưỡng phù hợp và thường xuyên quan tâm động viên đến học
sinh cố gắng phấn đấu.
- Nội dung bồi dưỡng chủ yếu phải trọng tâm, trọng điểm, khơng lan man
dàn trải, được viết có chọn lọc theo các dạng bài của từng chuyên đề mang tính
cơ đọng, hiệu quả, dễ hiểu đối với học sinh.
- Sử dụng phương pháp bồi dưỡng phải thích hợp với đối tượng học sinh
đi từ nội dung kiến thức đơn giản rồi mới đến kiến thức nâng cao phức tạp sao
cho học sinh dễ hiểu và hứng thú học.
- Q trình bồi dưỡng ln ln kiểm tra mạch kiến thức, kiểm tra bài tập
về nhà của học sinh, chữa bài tập nhằm mục đích cho học sinh bồi dưỡng ghi
nhớ chắc kiến thức, phân biệt được các dạng bài của từng chuyên đề và cách giải
đối với từng dạng bài tập.
3.2.2. Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ
4

Giải pháp cũ

Giải pháp mới

Chưa có tầm nhìn về cơng tác bồi Có tầm nhìn, có định hướng, có kế hoạch
dưỡng, chưa có mục đích bồi xây dựng chi tiết, các kiến thức bồi dưỡng
dưỡng,

chưa có kế hoạch bồi bám sát vào khung bồi dưỡng học sinh giỏi

dưỡng chi tiết, nội dung bồi dưỡng của Sở GD&ĐT, đã có sự chọn lọc theo các
còn mơ hồ, lan man, dàn trải cả dạng bài của từng chuyên đề, trong quá
chương trình; tài liệu tham khảo trình bồi dưỡng nhiệt tình, trách nhiệm, hy
chưa phù hợp, thời gian bồi dưỡng sinh và tâm huyết với cơng việc, q trình
trên trường cịn q ít và chưa bồi dưỡng khoa học
nhiệt tình cho cơng tác bồi dưỡng

Giáo viên đã quan tâm, tìm hiểu hồn cảnh
cụ thể của HS để có biện pháp phù hợp
Rèn luyện được ý thức tự giác tự học ở nhà
của HS, rèn cho HS cách ghi nhớ có chọn
lọc, hiểu cách giải của từng dạng bài tập.

3.2.3. Các giải pháp đã được thực hiện
1. Giải pháp 1
Phải có tầm nhìn tổng quan về học sinh lớp 6 để chọn đội tuyển tham gia
bồi dưỡng;
2. Giải pháp 2
Phải thật sự tâm huyết, nhiệt tình, trách nhiệm, biết hy sinh với cơng việc,

phải có sự đầu tư miệt mài về thời gian để nghiên cứu các dạng bài tập hay về
bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp 6 (vì giáo viên không chuyên);
3. Giải pháp 3
Phải nắm chắc khung bồi dưỡng, giới hạn nội dung bồi dưỡng học sinh
giỏi mơn Tốn 6 của Sở GD&ĐT ban hành để phù hợp với đối tượng học sinh
theo vùng miền;
Ví dụ: Đến tháng 01 hàng năm thi cấp huyện nội dung từ Chương I: Tập
5


hợp, số phần tử của tập hợp cho đến hết Chương II: Số nguyên; về hình học từ
chương I: Điểm, đường thẳng cho đến trung điểm của đoạn thẳng.
4. Giải pháp 4
Sưu tầm các tài liệu có liên quan về nội dung bồi dưỡng mơn Tốn lớp 6.
Một số tài liệu cụ thể dưới đây:

6


5. Giải pháp 5
Chọn lọc và xây dựng các chuyên đề, dạng bài trọng tâm bám sát khung
bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn 6 sao cho phù hợp. Cụ thể như sau:
5.1. Chuyên đề 1. Dãy các số viết theo quy luật
5.1.1. Ví dụ: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy được viết theo quy luật
a) 3, 8, 15, 24, 35, …
Hướng dẫn giải:
7


Dãy số trên được viết dưới dạng: 1 . 3; 2 . 4; 3 . 5; 4 . 6; 5 . 7;…..

Dãy 1 là 1, 2, 3, 4, 5,…
Dãy 2 là 3, 5, 7, ….
Vậy số hạng thứ 100 của dãy trên là: 100 . 102 = 10200
b) 3, 24, 63, 120, 195, …
Hướng dẫn giải:
Dãy số trên được viết dưới dạng: 1 . 3; 4 . 6; 7 . 9; 10 . 12; 13 . 15;….
Dãy 1 là: 1, 4, 7, 10, 13, …
Dãy 2 là: 3, 6, 9, 12, 15, …
Số hạng thứ 100 của dãy 1 là:
(x – 1) : 3 + 1 = 100
(x – 1) : 3 = 99
(x – 1) = 297
x = 298
Vậy số hạng thứ 100 của dãy trên là: 298 . 300 = 89400
c) 1, 3, 6, 10, 15, …
Hướng dẫn giải:
Dãy trên được viết dưới dạng: (1 . 2)/2; (2 . 3)/2; (3 . 4)/2; (3 . 5)/2; …
Vậy số hạng thứ 100 của dãy trên là: (100.101)/2 = 5050
d) 2, 5, 10, 17, 26, ….
Hướng dẫn giải:
Dãy trên được viết lại dưới dạng: 1 + 12; 1 + 22; 1 + 32; 1 + 42; 1 + 52; …
Vậy số hạng thứ 100 của dãy trên là: 1 + 1002 = 10001
5.1.2. Bài tập về nhà
8


*) Bài 1: Tính số hạng thứ 50 của các dãy sau:
a) 1. 6, 2. 7, 3. 8, …
Đáp án: Số hạng thứ 100 của dãy trên là: 100 . 105 = 10500
b) 1. 4, 4. 7, 7. 10, ….

Đáp án: Số hạng thứ 100 của dãy 1 là: 298 . 301 = 89698
*) Bài 2: Tính tổng sau S = 1 + 3 + 5 + … + 2009 + 2011
Đáp án: S = 1012036
5.2. Chuyên đề 2. Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa, của một
tổng, của một tích
5.2.1. Ví dụ: Cho A = 2 + 22 + 23 + … + 220
Tìm chữ số tận cùng của A
Hướng dẫn giải:
Ta có: 2A = 22 + 23 + 24 + … + 221
Suy ra: 2A – A = 221 – 2
Hay: A = 221 – 2
Ta thấy 221 = (24)5 . 2 = (16)5 . 2 có chữ số tận cùng là 2
Vậy 221 – 2 có chữ số tận cùng là 0
5.2.2. Bài tập về nhà
5.2.2.1. Bài tập 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a) 61991

b) 91991

c) 31991

d) 21991

Đáp số:
a) 61991 có chữ số tận cùng là 6
b) 91991 có chữ số tận cùng là 9
c) 31991 có chữ số tận cùng là 7
9

d) 21991 có chữ số tận cùng là 8
5.2.2.2. Bài tập 2: Tính nhanh tổng sau
S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 262 + 263
Đáp số: S = 264 - 1
5.3. Chuyên đề 3. Một số vấn đề nâng cao về chia hết
5.3.1. Dạng 1. Chứng minh chia hết (trên tập hợp N)
5.3.1.1. Ví dụ 1
Cho A = 9999931999 - 5555571997
Chứng minh rằng A chia hết cho 5
Hướng dẫn giải:
Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc
xét chữ số tận cùng của từng số hạng.
Ta có: 31999 = (34)499 . 33 = 81499 . 27. Suy ra số bị trừ tận cùng bằng 7
71997 = (74)499 . 7 = 2401499 . 7. Do đó số trừ cũng tận cùng bằng 7
Vậy A tận cùng bằng 0, do đó A chia hết cho 5
5.3.1.2. Ví dụ 2. Chứng minh rằng S1 = 5 + 52 + 53 + … + 599 + 5100 chia
hết cho 6
Hướng dẫn giải:
S1 = (5 + 52) + (53 + 54) + … + (599 + 5100)
S1 = 5(1 + 5) + 53(1 + 5) + … + 599(1 + 5)
S1 = 6(5 + 53 + … + 599) chia hết cho 6
* Bài tập về nhà: Chứng minh rằng A = 2 + 2 2 + 23 + … + 299 + 2100 chia
hết cho 3, chia hết cho 7, chia hết cho 31
5.3.1.3. Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên abc chia hết cho 27
thì các số bca cũng chia hết cho 27
10


Hướng dẫn giải:
abc = (100a + 10b + c) chia hết cho 27 = 3 . 9 nên a = 1, b = 3, c = 5

Vậy abc = 135 chia hết cho 27
bca = 351 chia hết cho 27
* Bài tập về nhà
*) Bài 1: Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên abc chia hết cho 37 thì các
số bca cũng chia hết cho 37
*) Bài 2: Chứng minh rằng ab + ba chia hết cho 11 và ab - ba chia hết
cho 9 với a > b
*) Bài 3: Cho A = 3 + 32 + 33 + … + 3100
Tìm số tự nhiên n, biết rằng 2A + 3 = 3n
5.3.2. Dạng 2. Tìm số bị chia biết các số chia và số dư trong hai phép chia
5.3.2.1. Ví dụ 1: Một phép chia có tổng của số bị chia và số chia bằng 72.
Biết rằng thương là 3 và số dư bằng 8. Tìm số bị chia và số chia
Giải
Gọi a là số bị chia, b là số chia, r là số dư (a, b, r thuộc N ; b > 8)
Theo bài cho ta có : a = 3b + 8
+ Nếu b = 9 thì a = 35 có a + b = 9 + 35 = 44 < 72 (loại)
+ Nếu b = 10 thì a = 3 . 10 + 8 = 38 có a + b = 10 + 38 = 48 < 72 (loại)
+ Nếu b = 11 thì a = 3 . 11 + 8 = 41 có a + b = 11 + 41 = 51 < 72 (loại)
+ Nếu b = 12 thì a = 3 . 12 + 8 = 44 có a + b = 12 + 44 = 56 < 72 (loại)
+ Nếu b = 13 thì a = 3 . 13 + 8 = 47 có a + b = 13 + 47 = 60 < 72 (loại)
+ Nếu b = 14 thì a = 3 . 14 + 8 = 50 có a + b = 14 + 50 = 64 < 72 (loại)
+ Nếu b = 15 thì a = 3 . 15 + 8 = 53 có a + b = 15 + 53 = 68 < 72 (loại)
+ Nếu b = 16 thì a = 3 . 16 + 8 = 56 có a + b = 16 + 56 = 72 (thỏa mãn)
Vậy số bị chia bằng 56, số chia bằng 16
11


5.3.2.2. Bài tập về nhà :
*) Bài 1 :Tìm các số tự nhiên a, biết rằng khi chia a cho 3 thì thương là 15
Đáp án : 45 hoặc 46 hoặc 47

*) Bài 2 : Một phép chia có thương bằng 82, số dư bằng 47, số bị chia nhỏ
hơn 4000. Tìm số bị chia và số chia
Đáp án : Số bị chia bằng 3983, số chia bằng 48
*) Bài 3 : Tìm số tự nhiên a <= 200, biết rằng khi chia a cho số tự nhiên b
thì được thương là 4 và số dư là 35
Đáp án : Số tự nhiên cần tìm là 179 ; 183 ; 187 ; 191 ; 195 ; 199
*) Bài 4 : Một phép chia có thương là 6 và số dư là 3. Tổng của số bị chia,
số chia và số dư là 195. Tìm số bị chia, số chia ?
Đáp án : Số bị chia bằng 165, số chia bằng 27
*) Bài 5 : Tìm số bị chia và số chia nhỏ nhất để được thương là 8 và số dư
là 45
Đáp án : Số bị chia là 333, số chia là 46
*) Bài 6 : Tổng của hai số bằng 38570. Chia số lớn cho số nhỏ ta được
thương bằng 3 và cịn dư 922. Tìm hai số đó.
Đáp án : Số bị chia là 29158, số chia là 9412
5.3.3. Dạng 3. Các bài tốn về ƯCLN, BCNN
5.3.3.1. Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó
cho 17, cho 25 được các số dư theo thứ tự là 8 và 16
Hướng dẫn giải :
Gọi x là số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm (x thuộc N)
Theo bài cho ta có : x chia cho 17, chia cho 25 được các số dư theo thứ tự
là 8 và 16 nên (x + 9) chia hết cho 17, 25
=> (x + 9) thuộc BC(17, 25)
Ta có : BCNN(17, 25) = 17 . 25 = 425
=> (x + 9) thuộc BC(17, 25) = B(425) = {0 ; 425 ; 850; 1275 ; ...}
12


Vì x cần tìm là số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số nên :
x + 9 = 425

Vậy x = 416
5.3.3.2. Ví dụ 2. Tìm số tự nhiên n lớn nhất có 3 chữ số, sao cho n chia
cho 8 thì dư 7, chia cho 31 thì dư 28
Hướng dẫn giải :
Gọi x là số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số cần tìm (x thuộc N)
Theo bài cho ta có : x chia cho 8, chia cho 31 được các số dư theo thứ tự
là 7 và 28 nên (x + 65) chia hết cho 8, 31
=> (x + 65) thuộc BC(8, 31)
Ta có : BCNN(8, 31) = 8 . 31 = 248
=> (x + 65) thuộc BC(8, 31) = B(248) = {0 ; 248 ; 496; 744 ; 1240 ; ...}
Vì x cần tìm là số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số nên :
x + 65 = 744
Vậy x = 679
5.3.3.3. Ví dụ 3. Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 500, sao cho chia nó cho 15,
cho 35 được các số dư theo thứ tự là 8 và 13
Hướng dẫn giải :
Gọi số tự nhiên cần tìm là x (x thuộc N, x < 500)
Theo bài cho ta có : (x + 22) chia hết cho 15, 35
=> (x + 22) thuộc BC(15, 35)
Mà : BCNN(15, 35) = 3 . 5 . 7 = 105
(x + 22) thuộc BC(15, 35) = B(105) = {0 ; 105 ; 210 ; 315 ; 420 ; 525 ;...}
Ta có :
1) x + 22 = 105 nên x = 83 < 500 (thỏa mãn)
2) x + 22 = 210 nên x = 188 < 500 (thỏa mãn)
3) x + 22 = 315 nên x = 293 < 500 (thỏa mãn)
13


4) x + 22 = 420 nên x = 398 < 500 (thỏa mãn)
5) x + 22 = 525 nên x = 503 > 500 (không thỏa mãn)

Vậy số tự nhiên nhỏ hơn 500 là 83, 188, 293 hoặc 398
5.3.3.4. Ví dụ 4. Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó
cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 ta được các số dư theo thứ tự là 1, 2, 3, 4,
5.
Hướng dẫn giải :
Gọi x là số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số (x thuộc N)
Theo bài cho ta có : (x + 1) chia hết cho 2,3,4,5,6
Nên (x + 1) thuộc BC(2, 3, 4, 5, 6)
Ta có : BCNN(2, 3, 4, 5, 6) = 60
(x + 1) thuộc BC(2, 3, 4, 5, 6) = B(60) = {0 ; 60 ; 120 ; 180 ; 240 ;
300 ; ... ; 960 ; 1020 ; ....}
Vì x là số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số nên x + 1 = 960
Vậy x = 959
5.3.3.5. Ví dụ 5. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất chia cho 4 thì dư 3, chia cho
5 thì dư 4, chia cho 6 thì dư 5, chia hết cho 13.
Hướng dẫn giải :
Gọi a là số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm (x thuộc N, x chia hết cho 13)
Theo bài cho ta có : (x + 1) chia hết cho 4,5,6 và x chia hết cho 13
Ta có : (x + 1) thuộc BC(4, 5, 6) và x chia hết cho 13
BCNN(4, 5, 6) = 60
=> (x + 1) thuộc BC(4, 5, 6) = B(60) = {0 ; 60 ; 120 ; 180 ; 240 ; 300 ;....}
=> x + 1 = 300 hay x = 299 chia hết cho 13
Vậy số tự nhiên a nhỏ nhất cần tìm là 299
5.3.3.6. Bài tập về nhà

14


*) Bài 1 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10,
chia cho 15 dư 13 và chia hết cho 23

Đáp án : Số tự nhiên a nhỏ nhất cần tìm là 598
*) Bài 2 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 8, 10, 15, 20 theo thứ tự dư 5,
7, 12, 17 và chia hết cho 41
Đáp án : Số tự nhiên a nhỏ nhất cần tìm là 4797
*) Bài 3 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5, cho 7, cho 9 có các số dư
theo thứ tự là 3, 4, 5
Hướng dẫn giải :
Gọi a là số phải tìm (x thuộc N)
Số 2a chia cho 5,cho 7, cho 9 đều dư 1
Nên (2a – 1) là BCNN(5, 7, 9) = 315
2a - 1 = 315
2a = 316
a = 158
*) Bài 4 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 3, cho 4, cho 5 có các số dư
theo thứ tự là 1, 3, 1
Hướng dẫn giải :
Gọi a là số tự nhiên cần tìm
Số 2a chia cho 3, cho 4, cho 5 đều dư 2
(2a – 2) là BCNN (3, 4, 5) = 60
Nên 2a = 62
Vậy a = 31
5.3.4. Dạng 4 : Tìm cặp số x, y trong dấu hiệu chia hết
5.3.4.1. Ví dụ 1 : Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x ; y) sao cho 34 x5 y chia
hết cho 36.
Hướng dẫn giải :
15


Vì 36 = 4.9 nên để 34 x5 y chia hết cho 36 thì 34 x5 y phải chia hết cho 4 và
chia hết cho 9.

Suy ra : 5 y chia hết cho 4 nên y = 2 hoặc y = 6
+ Với y = 2 thì 34x52 chia hết cho 9 do đó x = 4
+ Với y = 6 thì 34x56 chia hết cho 9 do đó x = 0 hoặc x = 9
* Bài tập về nhà : Điền các chữ số thích hợp vào dấu * sao cho 521 * chia
hết cho 8
Đáp án : 5216
5.3.4.2. Ví dụ 2 : Tìm các chữ số a, b sao cho a – b = 4 và 7a5b1 chia hết
cho 3
Hướng dẫn giải :
Để 7 a5b1 chia hết cho 3 thì (7+a+5+b+1) = (13+a+b) chia hết cho 3
Suy ra, a + b = 8 hoặc a + b = 14
+ Với a + b = 8 và a – b = 4 thì a = 6, b = 2
+ Với a + b = 14 và a – b = 4 thì a = 9, b = 5
* Bài tập về nhà : Tìm các chữ số a, b sao cho a – b = 6 và 4a7 + 1b5
chia hết cho 9
Đáp án : a = 8, b = 2
5.4. Chuyên đề 4. Chuyên đề về số chính phương, số nguyên tố, hợp
số
5.4.1. Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau
Hướng dẫn giải :
Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp lần lượt là x và x + 1
Đặt d = (x, x + 1)
Ta cần chứng minh d = 1 hay (x, x + 1) = 1
16


Ta có: (x + 1 – x) = 1 hay d thuộc ước của 1
Vậy hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau
b) Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau

Hướng dẫn giải :
Gọi 2 số lẻ tự nhiên liên tiếp lần lượt là 2x + 1 và 2x + 3
Đặt d = (2x + 1, 2x + 3)
Ta cần chứng minh d = 1 hay (2x + 1, 2x + 3) = 1
Ta có: (x + 1 – x) = 1 hay d thuộc ước của 1
Vậy hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau
5.4.2. Ví dụ 2. Tìm số ngun tố p, sao cho các số sau cũng là số nguyên
tố
a) p + 2 và p + 10
Hướng dẫn giải :
- Với p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4 và p + 10 = 2 + 10 = 12 đều là hợp số
(loại)
- Với p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5, p + 10 = 3 + 10 = 13 đều là số nguyên tố
(thỏa mãn)
- Với p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
+ Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k +1 + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3
Vậy p có dạng 3k + 1 thì p + 2 là hợp số
p + 10 = 3k + 1 + 10 = 3k + 11 là số nguyên tố
Vậy p có dạng 3k + 1 thì p + 2 và p + 10 (không thỏa mãn)
+ Nếu p = 3k + 2 thì p + 2 = 3k + 2 + 2 = 3k + 4 không chia hết cho 3
Vậy p = 3k + 2 thì p + 2 là số nguyên tố
Thay p = 3k + 2 vào p + 10 ta được:
17


p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) chia hết cho 3 nên p + 8 là hợp
số
=> Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 10 là số nguyên tố
b) p + 10 và p + 20 (cách làm tương tự như câu a)
c) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 (cách làm tương tự như câu a)

5.4.3. Ví dụ 3. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số
nguyên tố. Chứng minh rằng p + 1 chia hết cho 6
Hướng dẫn giải :
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
+ Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k +1 + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) chia hết cho 3
Vậy p có dạng 3k + 1 thì p + 2 là hợp số (loại)
+ Nếu p = 3k + 2 thì p + 2 = 3k + 2 + 2 = 3k + 4 không chia hết cho 3
Vậy p = 3k + 2 thì p + 2 là số nguyên tố
Thay p = 3k + 2 vào p + 1 ta được:
p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) chia hết cho 6 với mọi k > 1
Vậy p + 1 chia hết cho 6
5.4.4. Ví dụ 4. Cho p và p + 4 là số nguyên tố (p> 3). Chứng minh rằng p
+ 8 là hợp số
Hướng dẫn giải :
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
+ Nếu p = 3k + 1 thì p + 4 = 3k +1 + 4 = 3k + 5 không chia hết cho 3
Vậy p có dạng 3k + 1 thì p + 4 là số nguyên tố
+ Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 =3(k + 2) chia hết cho 3
Vậy p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số (loại)
Thay p = 3k + 1 vào p + 8 ta được:
18


p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) chia hết cho 3
Vậy p + 8 là hợp số
5.4.5. Bài tập về nhà: Cho p và 8p - 1 là số nguyên tố (p> 3). Chứng
minh rằng 8p + 1 là hợp số
5.5. Chuyên đề 5. Tính giá trị của biểu thức, so sánh
5.5.1. Dạng 1: Thực hiện phép tính (tính nhanh)
5.5.1.1. Ví dụ 1: Thực hiện phép tính sau bằng cách hợp lý nhất

a) 12 . 53 + 53 . 172 – 53 . 84
b) 35 . 13 + 35 . 17 + 65 . 75 – 65 . 45
c) (3 . 4 . 216)2 : (11 . 213 . 411 – 169)
Hướng dẫn giải:
a) = 53 . (12 + 172 – 84)
= 53 . 100
= 5300
b) = (35 . 13 + 35 . 17) + (65 . 75 – 65 . 45)
= 35 . (13 + 17) + 65 . (75 – 45)
= 35 . 30 + 65 . 30
= 30 . (35 + 65)
= 30 . 100
= 3000
c)
(3 . 4 . 216)2 = (3 . 22 . 216)2 = (3 . 218)2 = 32 . 236
11 . 213 . 411 – 169 = 11. 213 . (22)11 – (24)9
= 11 . 213 . 222 – 236 = 11 . 235 - 236
19


= 235 . 9 = 235 . 32
Suy ra: (3 . 4 . 216)2 : (11 . 213 . 411 – 169) = (32 . 236) : (235 . 32) = 2
5.5.1.2. Ví dụ 2: Tính nhanh
a) (2 + 4 + 6 + … + 100) . (36 . 333 – 108 . 111)
b) 19991999 . 1998 – 19981998 . 1999
c) 1 – 2 – 3 + 4 + 5 – 6 – 7 + … + 97 – 98 – 99 + 100
Hướng dẫn giải:
a) = (2 + 4 + 6 + … + 100) . (36 . 3 . 111 – 36 . 3 . 111)
= (2 + 4 + 6 + … + 100) . 0
=0

b) = 1999 . 10001 . 1998 – 1998 . 10001 . 1999
=0
c) = (1 – 2 – 3 + 4) + (5 – 6 – 7 + 8) + (97 – 98 – 99 + 100)
=0+0+0=0
5.5.2. Dạng 2: So sánh
5.5.2.1. Ví dụ 1: So sánh
a) 3200 và 2300
Giải
3200 = (32)100 = 9100
2300 = (23)100 = 8100
Vì 9100 > 8100 nên 3200 > 2300
b) 1255 và 257
Giải
1255 = (53)5 = 515
20


257 = (52)7 = 514
Vì 515 > 514 nên 1255 > 257
c) 920 và 2713
Giải
920 = (32)20 = 340
2713 = (33)13 = 339
Vì 340 > 339 nên 920 > 2713
d) 354 và 281
Giải
354 = 327.2 = (32)27 = 927
281 = 227.3 = (23)27 = 827
Vì 927 > 827 nên 354 > 281
5.5.2.2. Ví dụ 2: So sánh

a) 1030 và 2100
b) 540 và 62010
5.5.2.3. Bài tập về nhà: So sánh
a) 2435 và 3. 278
b) 1512 và 813 . 1255
c) 7812 – 7811 và 7811 – 7810
5.6. Chuyên đề 6. Tìm x (trên N hoặc Z)
Ví dụ
a) 134 – 2{156 – 6.(54 – 2.(9 + 6))}. x = 86
134 – 86 = 2{156 – 6.(54 – 2 . 15)}. x
2{156 – 6.(54 – 30)}. x = 48
21


{156 – 6 . 24}. x = 48 : 2
12 . x = 24
x = 24 : 12 = 2
b) (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (x + 100) = 5750
100 . x + 5050 = 5750
100 . x = 5750 – 5050
100. x = 700
x=7
5.7. Chuyên đề 7. Tính số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng. Bài
toán về điểm, đường thẳng
5.7.1. Dạng 1: Cho số điểm, tính số đường thẳng, đoạn thẳng (Trong
đó có n điểm thẳng hàng)
5.7.1.1. Ví dụ 1
a) Cho 100 điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai
điểm ta vẽ được một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng?
b) Cũng hỏi như câu a nếu trong 100 điểm có đúng 3 điểm thẳng hàng

Hướng dẫn giải:
a) Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm cịn lại, ta vẽ
được 99 đường thẳng. Làm như vậy với 100 điểm, ta được 99 . 100 đường
thẳng. Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có 99 .
100 :2 = 4950 đường thẳng.
Chú ý: Tổng qt, nếu có n điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng
hàng thì số đường thẳng có n(n – 1)/2
b) Giả sử khơng có ba điểm nào thẳng hàng thì có 4950 đường thẳng. Vì
có ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là 3 – 1 = 2 đường thẳng

22


(nếu ba điểm khơng thẳng hàng thì vẽ được 3 đường thẳng, nếu ba điểm thẳng
hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng). Vậy có : 4950 – 2 = 4948 đường thẳng
5.7.1.2. Ví dụ 2: Cho n điểm (n>= 2). Nối từng cặp hai điểm trong n điểm
đó thành các đoạn thẳng
a) Hỏi có tất cả bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó khơng có ba
điểm nào thẳng hàng?
b) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó khơng có ba điểm
nào thẳng hàng?
c) Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng.
Hướng dẫn giải:
a) Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong n -1 điểm còn lại, ta
vẽ được n -1 đoạn thẳng. Làm như vậy với n điểm, ta được n . (n – 1) đoạn
thẳng. Nhưng mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có n.(n – 1) :
2 đoạn thẳng.
b) Tuy trong hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, nhưng số đoạn thẳng phải
đếm vẫn khơng thay đổi, do đó vẫn có n.(n – 1)/2 đoạn thẳng
c) Ta có:

n . (n – 1)/2 = 1770
n . (n – 1) = 2 . 1770 = 22 . 3 . 5 . 59 = 60 . 59
Suy ra: n = 60 điểm
5.7.2. Dạng 2: Cho số đường thẳng, tính số giao điểm
5.7.2.1. Ví dụ 1: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng
nào cũng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm
của chúng.
Hướng dẫn giải:

23


Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm. Có
101 đường thẳng nên có 101 . 100 giao điểm, nhưng mỗi giao điểm đã được tính
hai lần nên chỉ có:
101 . 100 : 2 = 5050 giao điểm
Chú ý: Tổng quát với n đường thẳng, có n . (n – 1)/2 giao điểm
5.7.2.2. Ví dụ 2: Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào
cũng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm
của các đường thẳng đó là 780. Tính n?
Hướng dẫn giải:
Mỗi đường thẳng cắt n - 1 đường thẳng còn lại tạo nên n -1 giao điểm. Có
n đường thẳng nên có n . (n -1) giao điểm, nhưng mỗi giao điểm đã được tính
hai lần nên chỉ có:
n . (n – 1)/2 = 780
Ta tính được n = 40 giao điểm
5.7.2.3. Bài tập về nhà
*) Bài 1: Cho n điểm (n>=2). Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó
thành các đoạn thẳng.
a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó khơng có ba điểm

nào thẳng hàng?
b) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó có đúng ba điểm
thẳng hàng?
c) Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng.
Đáp án: a) n . (n – 1)/2 đoạn thẳng

b) n . (n – 1)/2

c) n = 60

*) Bài 2: Cho n điểm. Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các
đoạn thẳng. Tính n biết rằng có tất cả 435 đoạn thẳng.
Đáp án: n = 30 điểm
24


5.8. Chuyên đề 8: Trung điểm của đoạn thẳng
5.8.1. Dạng 1
5.8.1.1. Ví dụ: Cho đoạn thẳng CD, điểm O thuộc tia đối của tia DC. Gọi
I, K lần lượt là trung điểm của OD, OC.
a) Chứng tỏ OD < OC
b) Trong 3 điểm I, O, K điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng IK khơng phụ thuộc vào vị trí của
điểm O.
Hướng dẫn giải:
a) Hai điểm C và O nằm trên 2 tia đối nhau gốc D nên D nằm giữa 2 điểm
C và D. Suy ra: OD + CD = OC
Vậy OD < OC

C

.C

K
.

I.

.

O

1
CD (Tính chất trung điểm)
2

b) Vì I là trung điểm của OD nên OI =
Vì K là trung điểm của OC nên OK =

D.

1
OC (Tính chất trung điểm)
2

Mà OD < OC nên OI < OK
Vì hai điểm I và K cùng nằm trên tia OC, OI < OK nên I nằm giữa 2 điểm
O và K.
c) Vì I nằm giữa hai điểm O và K nên OI + IK = OK
Suy ra: IK = OK – OI =

1
1
1
1
OC - CD = (OC – OD) = CD
2
2
2
2

Suy ra: IK có giá trị khơng đổi =

1
CD
2

Vậy độ dài đoạn IK khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm O.
5.8.1.2. Bài tập về nhà

25