DeHD KHTN 2013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013. MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải phương trình √ 3 x +1+ √ 2− x=1. 2) Giải hệ phương trình. ¿ 1 1 9 x+ y+ + = x y 2 1 3 1 1 + x+ =xy + 4 2 y xy ¿{ ¿. ( ). Câu II 1) Giả sử a; b; c là các số thực khác 0 thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc Chứng minh rằng a b c 3 ab bc ca + + = + + + a+c b+ c a+ c 4 ( a+ b ) ( b+c ) ( b +c ) ( c+ a ) ( c +a )( a+b ) 2) Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho. abc − (10 d+ e ). chia. hết cho 101? Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB<AC.Đường phân giác của góc BAC cắt (O) tại D khác A .Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.Giải sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A 1) Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng 2)Chứng minh EF ⊥ AC Câu IV Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+cda+dab=1 Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức P=4 ( a 3+ b3 +c 3 ) +9 c 3. ------------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Câu I 1) Giải phương trình √ 3 x +1+ √ 2− x=1. 2) Giải hệ phương trình. Hướng dẫn −1 1)ĐKXĐ x ∈ 3 ; 2. [. ¿ 1 1 9 x+ y+ + = x y 2 1 3 1 1 + x+ =xy + 4 2 y xy ¿{ ¿. ( ). ]. ¿ 3 x +1+ 2− x=1 ⇔ 3 x +1=1− 2 − x ⇒ 3 x+1=1− 2 √ 2 − x +2− x ⇔ 4 x − 2=2 √ 2− x √ √ √ √ ⇔ √2 − x=1 −2 x ⇔ −1 1 ≤x ≤ 3 2 2 2 − x=4 x − 4 x +1 ⇔ −1 1 ¿ ≤ x≤ 3 2 2 4 x − 3 x −1=0 ⇔ −1 1 ¿ ≤ x≤ 3 2 ( x − 1)(4 x+ 1)=0 −1 ⇔ x= 4 ¿ ¿{ ¿ −1 S= 4 ¿ 1 x+ =a y 2)Đặt y + 1 =b x ¿{ ¿. { }. Ta có hệ phương trình.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a+b=. 9 2. 1 3a + =ab − 2 4 2 ⇔ 9 ¿ a+ b= 2 6 a −4 ab=−9 ⇔ 9 ¿ a= − b 2 ¿ 27 −6 b − 18 b+4 b2=− 9 ¿ ⇔ 9 ¿ a= − b 2 b2 − 6 b+9=0 ⇔ 9 ¿ a= − b 2 b −3 ¿2 =0 ¿ ⇔ ¿ 3 ¿ a= 2 ¿ b=3 ¿.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ta có hệ PT. 1 3 x+ = y 2 1 y + =3 x ⇔ x 3 ¿ x+ = 3 x−1 2 1 3 x −1 y =3− = x x ⇔ ¿ ¿ 2 x 2 −3 x+ 1=0 3 x−1 y= x ⇔ ¿(2 x − 1)(x −1)=0 3 x−1 y= x ⇔ ¿ x =1 y=2 ¿ ¿ ¿ 1 x= 2 ¿ y=1 ¿ ¿. Hệ có 2 nghiệm. 1 ;1 2. { ( )}. x ; y ¿ ∈ ( 1; 2 ) ;. Câu II 1) Giả sử a; b; c là các số thực khác 0 thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc Chứng minh rằng a b c 3 ab bc ca + + = + + + a+b b+c a+c 4 ( a+b )( b +c ) ( b+ c )( c +a ) ( c +a ) ( a+ b ) a ab b bc c ca 3 ⇔ − + − + − = a+b ( a+ b ) ( b+c ) b+ c ( b+ c ) ( c +a ) a+c ( c+ a ) ( a+b ) 4. ta có.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a ab b bc c ca − + − + − a+ b ( a+ b ) ( b+c ) b +c ( b+ c )( c +a ) a+ c ( c+ a ) ( a+b ) ac(a+c)+ab (a+ b)+ bc (b+c ) ac ab bc A= + + = ( a+ b ) ( b+c ) ( b+c ) ( c+ a ) ( c + a )( a+b ) (a+b)(b+ c)( a+c ) 2 2 2 2 ac(a+c )+ a b+ab +b c + bc +2 abc −2 abc ac (a+ c)+b 2 (a+c )+b(a2 +2 ac+c 2 )− 2abc A= = 8 abc 8 abc ¿ a+c ¿ 2 ¿ ac (a+ c)+b2 ( a+c )+ b ¿ A=¿ A=. Câu. III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB<AC.Đường phân giác của góc BAC cắt (O) tại D khác A .Gọi M là trung điểm AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O.Giải sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A 2) Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BFC đồng dạng 2)Chứng minh EF ⊥ AC.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> a) Ta có: BDM. BCF  g .g .   BDM BCF (chắn cung AB )     BFA BMA  BFC BMD vì AFMB là tứ giác nội tiếp b) Gọi I là giao điểm ED với BC  I trung điểm BC BCF . BD DM BD AD    (1) BC CF IC CF. Ta có : BDM   Vì BDA ICF (chắn cung AB ) (2). . . . . . Từ (1) và (2)  FIC ABD  c.g.c   BAD IFC  BAD IFC CEI  IFEC là tứ   giác nội tiếp  EFC EIC 90  EF  AC Câu IV Giả sử a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc+bcd+cda+dab=1 Tìm giá trị nhior nhất cảu biểu thức P=4 ( a 3+ b3 +c 3 ) +9 c 3.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Đăt, a=b=c=kd Áp dụng BĐT x 3+ y3 + z 3 ≥3 xyz 3. 3. 3. 3. a b 3 abd c b 3 cbd + 3 ≥ 2 (1); d 3+ 3 + 3 ≥ 2 (2); 3 k k k k k k 3 3 3 3 3 c a 3 acd a c b 3 abc d 3 + 3 + 3 ≥ 2 ( 3) , 3 + 3 + 3 ≥ 3 ( 4) k k k k k k k. d3+. Ta có. Từ (1) ;(2);(3);(4) và nhân 3 ta có 3. 9 d +¿. Suy ra. ( a3 + b3 +c 3 ) 63 + 32 ≥ 92. (k k ). k 6 3 3 + 2 =4 ⇔ 4 k −3 k + 6=0 3 k k. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2013. MÔN THI: TOÁN (dùng cho thí sinh thi chuyên Toán;Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I ¿ x 3+ y3 =1+ y − x+ xy 7 xy+ x − y=7 1) Giải hệ phương trình ¿{ ¿ 2 2) Giải phương trình x+ 3+ √1 − x =3 √ x +1+ √1 − x. Câu II 1) Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) : 2. 2. 5 x +8 y =20412. 3) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn thức P=. ( 1x + 1y )√ 1+ x y 2. x+ y ≤ 1 .Tìm giá trị cực tiểu của biểu. 2. Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có trực tâm H.Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC ( P khác B,C,H ) và nằm trong tam giác ABC .PB cắt (O)tại M khác B. PC cắt (O) tại N khác C.BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F .Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A 1) Chứng minh rằng M,N,Q thẳng hàng 2)Giả dụ AP là phân giác góc MAN .Chứng minh PQ đi qua trung điểm của BC Câu IV.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Giả dụ dãy số thực có thứ tự x 1 ≤ x2 ≤ x 3 ≤. .. . ≤ x 192 Thỏa mãn điều kiện x 1 + x 2+ x 3 +. .. .. .+ x n=0 ¿ |x 1|+|x 2|+|x 3|+.. . .. .+|x 192|=2013 ¿ Chứng minh rằng ¿ { ¿ ¿¿ ¿. x 192 − x 1 ≥. 2013 96. ------------------------------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HD Câu I ¿ x 3+ y3 =1+ y − x+ xy 7 xy+ x − y=7 1) Giải hệ phương trình ¿{ ¿ 2 2) Giải phương trình x+ 3+ √1 − x =3 √ x +1+ √1 − x. HD 1) Cộng cả hai PT ta được (x+ y − 2)(x 2 − xy+ y 2 +2 x+2 y + 4)=0 2 2 Vói x − xy+ y + 2 x +2 y+ 4=0 ⇔ 2) ĐKXĐ x ∈ [ − 1; 1 ] x+ 3+ √1 − x 2=3 √ x +1+ √1 − x ⇔ x +1+ √1 − x 2 −2 √ x +1 − √ x+1 − √ 1 − x=0 ⇔ ( √ x +1 −1 ) ( √ x +1+ √ 1− x − 2 )=0 Câu II 1) Giải phương trình nghiệm nguyên (x,y) : 2. 2. 5 x +8 y =20412. 4) Với x, y là các số thực dương thỏa mãn thức P=. ( 1x + 1y )√ 1+ x y 2. x+ y ≤ 1 .Tìm giá trị cực tiểu của biểu. 2. HD 1) 5 x2 +8 y 2=20412 ⇔ ( 6 x 2 +9 y 2 ) − ( x 2 + y 2 )=20142 ⇒ ( x 2 + y 2 ) ⋮ 3 ⇔ x ⋮3 ; y ⋮ 3 Đặt x=3 x 1 ; y=3 y 1 ta có 45 x 21+ 72 y 21=20142 ⇔ 5 x 21 +8 y 21=2268 ⇔ x 1 ⋮ 3 ; y 1 ⋮ 3 Đặt x 1=3 x2 ; y 1=3 y 2 ta có 45 x 22+ 72 y 22=2268 ⇔ 5 x 22 +8 y 22=252 ⇔ x 2 ⋮ 3 ; y 2 ⋮ 3 Đặt x 2=3 x3 ; y 21=3 y 3 ta có 45 x 23 +72 y 23 =252⇔ 5 x 23 +8 y 23=28 x 23 ⋮ 4 la số chính phuơng nhỏ hơn 6 suy TH1: x 23=4 ⇔ y 23=8 ta có.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> ¿ x=3 x 1=9 x 2=27 x 3=54 y=3 y 1=9 y 2=27 y 3=27 ¿ ¿ ¿ x=3 x 1=9 x 2=27 x 3=− 54 ¿ y=3 y 1=9 y 2 =27 y 3=−27 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x=3 x 1=9 x 2=27 x 3=− 54 ¿ y=3 y 1=9 y 2=27 y 3=27 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ TH2 x 23=0 ⇔ y 23 =28 loại Vậy ( x ; y ) ∈ { (54 ,27 ) ; (−54 ; − 27); (54 ; −27);(− 54 ; 27) }. 2). ( 1x + 1y ) √ 1+ x y ≥ √2xy √1+ x y =2 √ xy1 + xy=Q. P=. 2. 2. 2. 2. 1 15 1 15 1 15 + ≥ 2 xy + + ≥ 2 + =√ 17 16 xy 16 xy 16 xy 2 4 x+ y 16 2 P ≥ Q ≥ √ 17 ⇔ 1 1 = x y 1 xy= 16 xy Min (P)= √ 17 x+ y=1 , x , y> 0 1 ⇔ x= y = 2 ¿{{. √. Q≥ xy +. √. √. ( ). √.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> P=. √(. 1 1 2 + ( 1+ x 2 y 2 )= x y. ). Cách khác. √(. 1 2 1 1 2 1 + + 2 ( 1+ x 2 y 2 )= 2 + + 2 + x 2 +2 xy + y 2 2 x xy y x xy y 2 x+ y ¿ ¿ x + y ¿2 ¿ 2 x+ y ¿ ¿ x + y ¿2 ¿ x + y ¿2 ¿ x + y ¿2 +¿ ¿ 1 ¿ ¿ 15 ¿ ¿ 16 ¿ ¿ 1 1 2 + +¿ x y P=√ ¿. (. Min (P)= √ 17. ⇔ x= y x+ y ¿2 ¿ ¿ x+ y=1 , x , y> 0 ¿ ¿ ¿ 1 x + y ¿2= ¿ ¿. √. ). ). Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có trực tâm H.Gọi P là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC ( P khác B,C,H ) và nằm trong tam giác ABC .PB cắt (O)tại M khác B. PC cắt (O) tại N khác C.BM cắt AC tại E, CN cắt AB tại F .Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại Q khác A 1) Chứng minh rằng M,N,Q thẳng hàng 2)Giả dụ AP là phân giác góc MAN .Chứng minh PQ đi qua trung điểm của BC.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> a) Ta có : AQM  AEM  1 sd AM 2 AQN  AFN  1 sd AN 2. Mà 1  AEM BEC    90  EBB sd BP 1 90  HBP 90  2 1  AFN BFC    90  FCC sd BP 1 90  HCP 90  2  AFN  AEN 180  AQN  AQM 180. Vậy M,N,Q thẳng hàng b) Ta có : AFQ  ANQ  1 sd AQ  ANM  ABM 2  AFQ  ABM  FQ  BM  FQ  PE  1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> QE  FC  QE  FP 2.   CMTT : Từ (1) và (2)  QEPF là hình bình hành  J trung điểm EF Ta có :    NAQ NFQ 180  QFP    MAQ QEM 180  QEP    MAQ NAQ   A, P, Q, I thẳng hàng  AQ là phân giác MAN. Áp dụng định lý Tales : Ta được : AF AQ  AB AP AE AQ QE  PC   AC AP AF AE    FE  BC AB AC FJ JA JE EF  BC     BI IC  Q.E.D  BI AI IC FQ  BP . Vì J trung điểm EF.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>