Phuong trinh dat an phu khong hoan toan cua Vu Hong Phong
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.79 MB, 55 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>KIỂU ĐẶT ẨN PHỤ CỦA VŨ HỒNG PHONG Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT TIÊN DU 1;BẮC NINH (2-8-2016). (đây là một dạng trong tài liệu: MỘT HƢỚNG MỚI TẠO RA PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ ) Từ bài viết của tác giả: dùng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ Để GIảI Một dạng PHƯ Ơ ng trình vô tỷ đặC BIệT To¸n häc vµ tuæi trÎ (tháng 9 năm 2015). Khi gÆp mét ph-¬ng tr×nh cã d¹ng u.m P v.n Q w (víi u,v, w,P,Q lµ c¸c biÓu thøc chøa Èn ) mµ ta nhÈm ®-îc c¸c h»ng sè e,f vµ c¸c biÓu thøc P0 , Q0 chøa Èn tho¶ m·n: u.P0 v.Q0 w (*) m n e.( P0 ) f .(Q0 ) e.P f .Q. thì ta xử lí ph-ơng trình đó nh- sau: §Æt m P a ; n Q b suy ra a m P ; b n Q u.a v.b w. Ta cã hÖ PT: . m n e.a f .b e.P f .Q. (**). Gi¶i hÖ PT(**) ta t×m ®-îc c¸c nghiÖm (a;b) Đến đây PT,hệ PT đã cho sẽ trở nên đơn giản hơn ! L-u ý: tõ (*) ta thÊy hÖ PT(**) lu«n cã nghiÖm (a,b) = ( P0 ; Q0 ) Sau ®©y là c¸c vÝ dô VÝ dô 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 2 4x x 2 3 2x 2 6x 7 x 1 Ph©n tÝch: x 1 2 x 1. Ta cã: . 2 3 2 2 ( x 1) 2 (2 4 x x ) (2 x 6 x 7) nªn PT nµy ta nhÈm ®-îc e =f =1 vµ ( P0 ; Q0 ) = ( x 1;2). Lêi gi¶i §Æt 2 4 x x 2 a ; 3 2 x 2 6 x 7 b Suy ra a 2 b 3 x 2 2x 9 (1) Từ PT đã cho ta có a b x 1 a x 1 b (2) Thay vµo (1) ta ®-îc: ( x 1 b) 2 b 3 x 2 2 x 9 x 2 1 b 2 2 x 2b 2bx b 3 x 2 2 x 9 b 3 8 b 2 2b 2bx 4 x 0 (b 2)(b 2 3b 4 2 x) 0. 1.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> b 2 hoÆc b 2 3b 4 2 x (3) +Tõ (2) cã x a b 1 thay vµo PT(3) ®-îc b 2 3b 4 2(a b 1) b 2 b 6 2a (4) 1 23 Cã VT (4) (b ) 2 5 2 4. VP(4) 2 2 4 x x 2 2 6 ( x 2) 2 2 6 5. Suy ra PT(4) v« nghiÖm. Do đó PT(3) vô nghiệm +Víi b = 2 thay vµo (2) ®-îc a x 1 x 1 0 2 2 4 x x x 1 Suy ra 2 4 x x 2 ( x 1) 2 2 3 2 x 2 6 x 7 8 2x 6x 7 2 x 1 3 11 2 x 2 2 x 6 x 1 0. Vậy PT đã cho có 1 nghiệm x . 3 11 2. VÝ dô 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 7 x 2 20 x 86 x. 31 4 x x 2 3x 2. Ph©n tÝch: Víi PT nµy ta nhÈm ®-îc e=1; f=3 vµ ( P0 ; Q0 ) = (2 x 2;1) 2 x 2 x.1 3x 2. v× . 2 2 2 2 (2 x 2) 3.1 (7 x 20 x 86) 3.(31 4 x x ). Lêi gi¶i §Æt a = 7 x 2 20 x 86 , b = 31 4 x x 2 Suy ra a 2 3b 2 4x 2 8x 7 (1) Từ PT đã cho có: a +xb = 2x + 3 a = 3x + 2 – bx Thay vµo (1) ta ®-îc (3x 2 bx) 2 3b 2 4 x 2 8x 7 9 x 2 4 b 2 x 2 12 x 4bx 6bx 2 3b 2 4 x 2 8x 7 ( x 2 3)b 2 (6 x 2 4 x)b 5x 2 4 x 3 0. (b 1)[( x 2 3)b 5x 2 4 x 3] 0 b 1 2 b 5 x 4 x 3 x2 3. +Với b = 1 thì a = 2x+2, khi đó có hệ 2 7 x 20 x 86 2 x 2 2 31 4 x x 1 . x 1 3x 2 12 x 90 0 x 2 4 x 30 0 . +Víi b =. 2 x 2 0 2 2 7 x 20 x 86 (2 x 2) 31 4 x x 2 1 . x 1 x 2 34 x 2 34 . 5x 2 4 x 3 x2 3. 16 ( x 2 4 x 15) 4 . x 2 4 x 15 (2) x2 3. + NÕu x 2 4 x 15 0 th× VT(2) < 4 < VP(2) + NÕu x 2 4 x 15 0 th× VT(2) > 4 > VP(2) 2.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> + NÕu x 2 4 x 15 0 th× VT(2) = 4 = VP(2) Khi x 2 4 x 15 0 th× 2 b 4 31 4 x x 4 2 a 3x 2 4 x 7 x 20 x 86 2 x 2 x 0 x 2 x 2 31 4 x x 2 16 x 2 4 x 15 0 x 2 19 7 x 2 20 x 86 (2 x) 2 6( x 2 4 x 15) 0 . x= 2 19. Vậy PT đã cho có 2 nghiệm x 2 34 , x 2 19 VÝ dô 3: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh 20 x 3 11x 4 y 2 .(1) 1 2 xy y.3 x 2 y 2 x.(2) Ph©n tÝch: Víi PT(2) ta nhÈm ®-îc e =f =1 vµ ( P0 ; Q0 ) = ( x y;1) x y y.1 x. v× . 2 2 2 2 ( x y) 1 (1 2 xy ) ( x y ) Lêi gi¶i: ®iÒu kiÖn 1 2 xy 0. §Æt 1 2 xy a ; 3 x 2 y 2 b Suy ra a 2 b 3 x 2 y 2 2 xy 1 (3) Tõ (2) ta cã a + yb = x a x yb (4) thay vµo (3) ®-îc ( x by) 2 b 3 x 2 y 2 2 xy 1 b 3 1 2 xy (b 1) y 2 (b 2 1) 0 (b 1)[b 2 b 1 2 xy y 2 (b 1)] 0 b 1 hoÆc b 2 b 1 2 xy y 2 (b 1) 0 (5). +Cã 3 x 2 y 2 b 0 nªn b 2 b 0 ; b 1 0 1 xy NÕu 1 2 xy y (b 1) 0 th× 2 (v« lý) y 0 Vậy 2 số không âm 1 2 xy và y 2 (b 1) không đồng thời bằng 0 2. nªn 1 2 xy y 2 (b 1) 0 do đó VT (5) 0 Suy ra PT(5) vô nghiệm +Víi b = 1 thay vµo (4) ®-îc a x y x y 0 1 2 xy x y Suy ra 1 2 xy ( x y ) 2 2 2 3 x 2 y 2 1 x y 1 x y 2 (*) 2 x y 1 . kÕt hîp hÖ PT(*) víi PT(1) ta cã hÖ: x y x y 3 2 3 2 20 x 11x 4 y 20 x 11x 4(1 x ) x 2 y 2 1 y2 1 x2 . 3.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> x y x y 3 2 20 x 4 x 11x 4 0 (2 x 1) 2 (5 x 4) 0 y2 1 x2 y2 1 x2 x y x y 1 4 (I) hoÆc x (II) x 2 5 9 2 3 2 y 4 y 25 4 3 4 3 1 3 Gi¶i hÖ PT (I) vµ (II) ta ®-îc nghiÖm (x;y) lµ: ( ; ) ; ( ; ) vµ ( ; ) 2 2 5 5 5 5 4 3 4 3 1 3 Vậy hệ PT đã cho có 3 nghiệm (x;y) là : ( ; ) ; ( ; ) vµ ( ; ) 2 2 5 5 5 5. bµi tËp bµi 1 Gi¶i ph-¬ng tr×nh a) c). 3. 12 x 2 12 x 9 4x3 2 4 x 4 3. 3 1 6 x 2 x.3 7 x 2 2 x 1 2 2. b) 3x 2 5x 6 x ( x 1) x 2 x 4 d) 2 x 2 48x 27 x. 2 x 2 24 x 67 4 x 6 bµi 2 Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh 65 3 3 x y 8 a) x 2 y 2 2 y. 2 xy 1 x 3 3 3 3 3x 3 y x y 35 b) 2 2 2 x y 4 x 2 xy 4 y. 8 xy 2 2 x 1 c) x2 y2 2 2 3 2 5 4 x y x. 3 Sau đây là phần bổ xung thêm các thí dụ dạng này:. Dạng :đặt ẩn phụ không hoàn toàn kiểuVũ Hồng Phong Một số thí dụ của dạng này tác giả đã nêu ở phần đặt ẩn phụ ở phần trên. Sau đây là các thí dụ bổ xung Thí dụ 1 Giải phương trình x 4 3x 3 x 2 1 x 4 x 3 2 x 1. Hướng dẫn.. 4.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> x 4 3x 3 x 2 1 x 4 x 3 2 x 1 Dễ thấy x=1 là nghiệm của phương trình Xét x 1. Đặt x 4 3x 3 x 2 1 a 0; x 4 x 3 2 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 2 x 3 x 2 1 ( x 1)(2 x 2 x 1)(*) Pt đã cho trở thành: a b x 1(**) (a b)(a b) ( x 1)(2 x 2 x 1) Giải (*) và (**) suy ra: a b x 1 a x 2 x a b 2 x 2 x 1 2 a b x 1 b x 1. x 2 x 0 2 1 5 x x 0 x x 4 3x 3 x 2 1 ( x 2 1) 2 2 2 ( x 1)( x x 1) 0 x 4 x 3 2 ( x 2 1) 2 . PT đã cho có 2 nghiệm x 1; x . 1 5 2. Cánh khác: nhân liên hợp tìm đƣợc tổng hiệu 2 căn Việc tạo ra phương trình loại này cũng không quá khó khăn. Xin nêu cách tạo ra một phương trình đơn giản của dạng này như sau: Đầu tiên ta định hướng các căn sẽ bằng gì sau khi biến đổi Thí dụ tác giả muốn cả 2 căn đều bằng x 2 1. Còn ở thí dụ 1 thì ta chọn : x 4 3x 3 x 2 1 x 2 x; x 4 x 3 2 x 2 1 Bước tiếp theo là chọn ra mối liên hệ giữa các ẩn (cần tạo ra PT khó thì phải khéo léo),tác giả xin nêu ra một liên hệ đơn giản là: a 2 b 2 ( x 2 1) 2 ( x 2 1) 2 2 x 4 4 x 2 2(*). Còn ở thí dụ 1 thì ta chọn : a 2 b 2 2 x 3 x 2 1 ( x 1)(2 x 2 x 1) Bước quan trọng nhất là khéo léo chọn a,b(chọ a hay b trước tùy bài) để được nghiệm theo ý muốn. Thí dụ tác giả muốn nghiệm đẹp nên chọn a :. a x4 x2 x 1. Từ (*) suy ra b x 4 3x 2 x 1. Song song với việc chọn a,b là việc tạo ra PT như thế nào cho việc khống chế các PT sau khi biến đổi hợp lí. Thí dụ tác giả tạo ra PT nhẹ nhàng sau: Thí dụ 2 Giải phương trình x 4 x 2 x 1 x 4 3x 2 x 1 2 x 2 2 Hướng dẫn.. Đặt a x 4 x 2 x 1 b x 4 3x 2 x 1 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 ( x 2 1) 2 ( x 2 1) 2 2 x 4 4 x 2 2(*) Pt đã cho trở thành: a b x 2 1(**) Giải hệ gồm (*) và (**) bằng phương pháp thế ta được. 5.
<span class='text_page_counter'>(6)</span> a x4 x2 x 1 x2 1 b x 4 3x 2 x 1 x 2 1 Giải tiếp suy ra PT đã cho có 2 nghiệm x 1; x 0. Chú ý: Việc chọn mối liên hệ phức tạp hơn có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ: 2a 2 b 2 ..... 2a 2 3b 2 ..... 2a 2 3b 2 ..... 2a 2 b 2 ..... 1 2 2 2 a b ..... 2 3. Việc chọn phƣơng trình tạp hơn có nhiều lựa chọn ví dụ nhƣ: 1 a 2b ...... 3a 2b ...... 3a 2b ...... a 2b ...... 3 ( x 1)a 2b ...... a xb ....... Việc chọn căn bậc ba, bậc 4,…..hƣớng tạo ra tƣơng tự Một số thí dụ khó hơn Đầu tiên ta định hướng các căn a,blần lượt bằng x 4 ; x 2 1 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x8 x 4 2 x 2 1(*) Chọn a x8 x 4 2 x 2 x 0 b 2x 4 x 1 0. Thí dụ 3 Giải phương trình x8 x 4 2 x 2 x 1 ( x 2 1) 2 x 4 x 1 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh. Hướng dẫn chi tiết tạo PT. Chọn dạng m ( x 2 1) n p Chọn các căn sau khi biến đổi: m x 4 ; n x 2 1; p 1 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x8 x 4 2 x 2 1(*) Chọn: n x 2 1; n 2 x 4 x 1 Từ(*) suy ra: m x8 x 4 2 x 2 x. Việc chọn n hay n trƣớc cần hợp lí. Đến đây tác giả tin rằng mọi ngƣời sẽ tự tạo ra đƣợc rất nhiều phƣơng trình dạng này !!! Hướng dẫn giải: Đặt a x8 x 4 2 x 2 x 0 b 2x 4 x 1 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x8 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a 1 ( x 2 1)b(**) Thay a vào (*) ta được. 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2. 2. 2. 2. 2. 2. x8 x 4 2 x 2 1 2( x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x 4 x 2 2) 0. 6.
<span class='text_page_counter'>(7)</span> b x 2 1 x 2 ( x 4 x 2 2) b 0 1 ( x 2 1) 2. Dễ thấy x 2 ( x 4 x 2 2) 0 x0 1 ( x 2 1) 2. X=0 không làm cho b=0 Suy ra b 2x 4 x 1 x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: a x8 x 4 2 x 2 x x 4. Suy ra x 0; x 1; x . 1 5 2. PT đã cho có 4 nghiệm x 0; x 1; x . 1 5 2. Thí dụ 4 Giải phương trình x 8 x 3 2 1 ( x 2 1) x 4 x 3 2 x 2 3 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Đặt a x8 x 3 2 0 b x 4 x3 2x 2 3 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x8 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a 1 ( x 2 1)b(**) Thay a vào (*) ta được. 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2. 2. 2. 2. 2. 2. x8 x 4 2 x 2 1 2( x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x 4 x 2 2) 0. b x 2 1 x 2 ( x 4 x 2 2) b 0 1 ( x 2 1) 2. Dễ thấy x 2 ( x 4 x 2 2) 0 x0 1 ( x 2 1) 2. X=0 không làm cho b=0 Suy ra b x 4 x3 2x 2 3 x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: a x8 x3 2 x 4. Suy ra x3 2 PT đã cho có 1 nghiệm x 3 2. 7.
<span class='text_page_counter'>(8)</span> Thí dụ 5 Giải phương trình x8 x 5 2 1 ( x 2 1) x 5 x 4 2 x 2 3 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh. Hướng dẫn. x8 x 5 2 a 0. Đặt. x5 x 4 2x 2 3 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x8 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a 1 ( x 2 1)b(**) Thay a vào (*) ta được. 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2. 2. 2. 2. 2. 2. x8 x 4 2 x 2 1 2( x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x 4 x 2 2) 0. b x 2 1 x 2 ( x 4 x 2 2) b 0 1 ( x 2 1) 2. Dễ thấy x 2 ( x 4 x 2 2) 0 x0 1 ( x 2 1) 2. X=0không làm cho b=0 Suy ra x5 x 4 2x 2 3 x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: x8 x 5 2 x 4. Suy ra x 5 2 PT đã cho có 1 nghiệm x 5 2 Thí dụ 6 Giải phương trình x12 x 2 3x ( x 4 x 2 1) x 4 x 2 3x 1 1 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Đặt. x12 x 2 3x a 0. x 4 x 2 3x 1 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x12 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a ( x 4 x 2 1)b 1(**) Thay a vào (*) ta được. ( x. . 2. x 2 1)b 1 b 2 x12 x 4 2 x 2 1 1 ( x 4 x 2 1) 2 b 2 2( x 4 x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x8 x 6 x 4 x 2 2) 0 b x 2 1 x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2) b 0 1 ( x 4 x 2 1) 2 4. Dễ thấy x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2) 0 x0 1 ( x 4 x 2 1) 2. 8.
<span class='text_page_counter'>(9)</span> x=0 không làm cho b=0 Suy ra x 4 x 2 3x 1 x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: x12 x 2 3x x 6. Suy ra x 0; x 3 PT đã cho có 2 nghiệm x 0; x 3 Thí dụ 7 Giải phương trình. x12 2 x 4 3x ( x 4 x 2 1) x 4 2 x 2 3x 1 1. Hướng dẫn. Đặt. x12 2 x 4 3x a 0. x 4 2 x 2 3x 1 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x12 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a ( x 4 x 2 1)b 1(**) Thay a vào (*) ta được. ( x. . 2. x 2 1)b 1 b 2 x12 x 4 2 x 2 1 1 ( x 4 x 2 1) 2 b 2 2( x 4 x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x8 x 6 x 4 x 2 2) 0 b x 2 1 x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2) b 0 1 ( x 4 x 2 1) 2 4. Dễ thấy x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2) 0 x0 1 ( x 4 x 2 1) 2. x=0 không làm cho b=0 Suy ra x 4 2 x 2 3x 1 x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: x12 2 x 4 3x x 6. Suy ra x 0; x 3. 3 2. PT đã cho có 2 nghiệm x 0; x 3. 3 2. Thí dụ 8 Giải phương trình x12 2 x 2 x 1 ( x 4 x 2 1) x 4 x 2 1. Hướng dẫn. Đặt. x12 2 x 2 x 1 a 0. x4 x 2 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x12 x 4 2 x 2 1(*). 9.
<span class='text_page_counter'>(10)</span> Pt đã cho trở thành: a ( x 4 x 2 1)b 1(**) Thay a vào (*) ta được. ( x. . 2. x 2 1)b 1 b 2 x12 x 4 2 x 2 1 1 ( x 4 x 2 1) 2 b 2 2( x 4 x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x8 x 6 x 4 x 2 2) 0 b x 2 1 x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2) b 0 1 ( x 4 x 2 1) 2 4. Dễ thấy x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2) 0 x0 1 ( x 4 x 2 1) 2. x=0 không làm cho b=0 Suy ra x4 x 2 x2 1. Thay vào (**) đƣợc: x12 2 x 2 x 1 x 6. Suy ra x 1; x . 1 2. PT đã cho có 2 nghiệm x 1; x . 1 2. Thí dụ 9 Giải phương trình x12 2 x 2 x 2 ( x 4 x 2 1) x 4 x 3 1 Vũ Hồng Phong Thôn Bất Lự, Hoàn Sơn,Tiên Du, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Đặt. x12 2 x 2 x 2 a 0. x4 x 3 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x12 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a ( x 4 x 2 1)b 1(**) Thay a vào (*) ta được. ( x. . 2. x 2 1)b 1 b 2 x12 x 4 2 x 2 1 1 ( x 4 x 2 1) 2 b 2 2( x 4 x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x8 x 6 x 4 x 2 2) 0 b x 2 1 x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2) b 0 1 ( x 4 x 2 1) 2 4. Dễ thấy x 2 ( x 8 x 6 x 4 x 2 2) 0 x0 1 ( x 4 x 2 1) 2. x=0 không làm cho b=0 Suy ra x4 x 3 x2 1. Thay vào (**) đƣợc: x12 2 x 2 x 2 x 6. 10.
<span class='text_page_counter'>(11)</span> Suy ra x. 1 17 4. 1 17 4 Thí dụ 10 Giải phương trình. PT đã cho có 2 nghiệm x . x8 2 x 2 3x 2 1 ( x 2 1) x 4 3x 3. Hướng dẫn. x 8 2 x 2 3x 2 a 0. Đặt. x 4 3x 3 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x8 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a 1 ( x 2 1)b(**) Thay a vào (*) ta được. 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2. 2. 2. 2. 2. 2. x8 x 4 2 x 2 1 2( x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x 4 x 2 2) 0. b x 2 1 x 2 ( x 4 x 2 2) b 0 1 ( x 2 1) 2. Dễ thấy x 2 ( x 4 x 2 2) 0 x0 1 ( x 2 1) 2. x=0không làm cho b=0 Suy ra x 4 3x 3 x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: x 8 2 x 2 3x 2 x 4. Suy ra x 2; x . 1 2. PT đã cho có 2 nghiệm x 2; x . 1 2. Thí dụ 11 Giải phương trình x8 2 x 2 3x 3 1 ( x 2 1) x 4 3x 4 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. x 8 2 x 2 3x 3 a 0. Đặt. x 4 3x 4 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x8 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a 1 ( x 2 1)b(**) Thay a vào (*) ta được. 1 ( x 1)b b 1 ( x 1) b 2. 2. 2. 2. 2. 2. x8 x 4 2 x 2 1 2( x 2 1)b ( x 2 1) x 2 ( x 4 x 2 2) 0. 11.
<span class='text_page_counter'>(12)</span> b x 2 1 x 2 ( x 4 x 2 2) b 0 1 ( x 2 1) 2. Dễ thấy x 2 ( x 4 x 2 2) 0 x0 1 ( x 2 1) 2. x=0không làm cho b=0 Suy ra x 4 3x 4 x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: x 8 2 x 2 3x 3 x 4. Suy ra x. 3 33 4. 3 33 4 Thí dụ 12 Giải phương trình. PT đã cho có 2 nghiệm x . x 6 2 x 3 3 x ( x 1) x 4 x 2 3. Hướng dẫn. Đặt. x6 2x3 3 a 0. x4 x2 3 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b2 x6 x 4 2x3 x 2 Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta được x ( x 1)b2 b 2 x 6 x 4 2x3 x 2 1 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x 2 ( x 2 x 2) 0. . . b x x x 2 ( x 2 x 2) (vì x=0không b 0(loai ) 2 1 ( x 1) 2. Suy ra x4 x2 3 x2 x. Thay vào (**) đƣợc: x6 2x3 3 x3. Suy ra x3. 3 2. PT đã cho có 1 nghiệm x 3. 3 2. Thí dụ 13 Giải phương trình x 6 2 x 3 x 2 20 x ( x 1) x 4 20. Hướng dẫn.. 12. làm cho b=0).
<span class='text_page_counter'>(13)</span> Đặt. x 6 2 x 3 x 2 20 a 0. x 4 20 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b2 x6 x 4 2x3 x 2 Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta được x ( x 1)b2 b 2 x 6 x 4 2x3 x 2. . . 1 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x 2 ( x 2 x 2) 0. b x 2 x x 2 ( x 2 x 2) b 0(loai ) 1 ( x 1) 2. (vì x=0không làm cho b=0) Suy ra x 4 20 x 2 x. Thay vào (**) đƣợc: x 6 2 x 3 x 2 20 x 3. Suy ra x2 PT đã cho có 1 nghiệm x 2 Thí dụ 14 Giải phương trình. 2 x 3 3 x ( x 1) x 6 x 4 x 2 3. Hướng dẫn. Đặt. 2x3 3 a 0. x6 x4 x2 3 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b2 x6 x 4 2x3 x 2 Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta được x ( x 1)b2 b 2 x 6 x 4 2x3 x 2. . . 1 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x 2 ( x 2 x 2) 0. b x x x 2 ( x 2 x 2) b 0(loai ) 1 ( x 1) 2 2. (vìx=0không làm cho b=0) Suy ra x6 x4 x2 3 x2 x. Thay vào (**) đƣợc: 2x3 3 x3. Suy ra x 6 2 x 3 3 0( x 3 0) x 1(loai ); x 3 3. PT đã cho có 1 nghiệm x 3 3. 13.
<span class='text_page_counter'>(14)</span> Thí dụ 15 Giải phương trình 2 x 3 1 x ( x 1) x 6 x 4 x 2 1 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Đặt. 2x3 1 a 0. x6 x4 x2 1 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b2 x6 x 4 2x3 x 2 Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta được x ( x 1)b2 b 2 x 6 x 4 2x3 x 2. . . 1 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x 2 ( x 2 x 2) 0. b x 2 x x 2 ( x 2 x 2) (vì x=0không b 0(loai ) 2 1 ( x 1). làm cho b=0). Suy ra x6 x4 x2 1 x2 x. Thay vào (**) đƣợc: 2x3 1 x3. Suy ra x 6 2 x 3 1 0( x 3 0, x 2 x 0) x 3 1 2. PT đã cho có 1 nghiệm x 3 1 2 Thí dụ 16 Giải phương trình 3x 3 1 x ( x 1) x 6 x 4 x 3 x 2 1 Hướng dẫn.. Đặt. 3x 3 1 a 0. x6 x 4 x3 x 2 1 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b2 x6 x 4 2x3 x 2 Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta được x ( x 1)b2 b 2 x 6 x 4 2x3 x 2. . . 1 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x 2 ( x 2 x 2) 0. b x x x 2 ( x 2 x 2) (vì x=0không b 0(loai ) 2 1 ( x 1) 2. Suy ra x6 x 4 x3 x 2 1 x 2 x. Thay vào (**) đƣợc: 3x 3 1 x 3. Suy ra. 14. làm cho b=0).
<span class='text_page_counter'>(15)</span> x 6 3x 3 1 0( x 3 0, x 2 x 0) x 3. PT đã cho có 2 nghiệm x 3. 3 5 2. 3 5 2. Thí dụ 17 Giải phương trình 3x 3 2 x ( x 1) x 6 x 4 x 3 x 2 2. Hướng dẫn. Đặt. 3x 3 2 a 0. x6 x 4 x3 x 2 2 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b2 x6 x 4 2x3 x 2 Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta được x ( x 1)b2 b 2 x 6 x 4 2x3 x 2. . . 1 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x 2 ( x 2 x 2) 0 b x 2 x x 2 ( x 2 x 2) (vì x=0không b 0(loai ) 2 1 ( x 1). làm cho b=0). Suy ra x6 x 4 x3 x 2 2 x 2 x. Thay vào (**) đƣợc: 3x 3 2 x 3. Suy ra x 1 x 6 3x 3 2 0( x 3 0, x 2 x 0) 3 x 2. PT đã cho có 2 nghiệm x 1; x 3 2 Thí dụ 18 Giải phương trình 5x 3 2 x ( x 1) x 6 x 4 3x 3 x 2 2. Hướng dẫn. Đặt. 5x 3 2 a 0. x 6 x 4 3x 3 x 2 2 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b2 x6 x 4 2x3 x 2 Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta được x ( x 1)b2 b 2 x 6 x 4 2x3 x 2. . . 1 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x 2 ( x 2 x 2) 0 b x x x 2 ( x 2 x 2) (vì x=0không b 0(loai ) 2 1 ( x 1) 2. Suy ra x 6 x 4 3x 3 x 2 2 x 2 x. 15. làm cho b=0).
<span class='text_page_counter'>(16)</span> Thay vào (**) đƣợc: 5x 3 2 x 3. Suy ra x 6 5 x 3 2 0( x 3 0, x 2 x 0) x 3. PT đã cho có 2 nghiệm x 3. 5 17 2. 5 17 2. Thí dụ 19 Giải phương trình 6 x 3 3 x ( x 1). x6 x4 x2 1 3. Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. 1 ĐK: x 3 2 Đặt. 6x3 3 a 0. x6 x4 x2 1 b 0 3 Suy ra mối liên hệ: a 2 3b 2 x 6 3x 4 6 x 3 3x 2 (*) Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta được x ( x 1)b2 3b 2 x 6 3x 4 6x3 3x 2 3 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x( x 3 x 2 4 x 2) 0 b x 2 x x( x 3 x 2 4 x 2) b 0(loai ) 3 ( x 1) 2. Suy ra x6 x4 x2 1 x2 x 3. Thay vào (**) đƣợc: 6x3 3 x3. Suy ra x6 x4 x2 1 x2 x ... x 6 6 x 3 3 0 x 3 3 6 3 3 3 6x 3 x. PT đã cho có 2 nghiệm x 3 3 6 Thí dụ 20 Giải phương trình 4 x 3 2 x ( x 1). x6 x4 x2 1 2. Hướng dẫn.. 16.
<span class='text_page_counter'>(17)</span> ĐK: x 3 Đặt. 1 2. 4x3 2 a 0. x6 x4 x2 1 b 0 2 Suy ra mối liên hệ: a 2 3b 2 x 6 2 x 4 4 x 3 2 x 2 (*) Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta được x ( x 1)b2 2b 2 x 6 2x 4 4x3 2x 2 2 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x( x 3 x 2 3x 1) 0 b x 2 x x( x 3 x 2 3x 1) b 0(loai ) 3 ( x 1) 2. Suy ra x6 x4 x2 1 x2 x 2. Thay vào (**) đƣợc: 4x3 2 x3. Suy ra x6 x4 x2 1 x2 x ... x 6 4 x 3 2 0 x 3 2 2 2 3 3 4x 2 x. PT đã cho có 2 nghiệm x 3 2 2 Thí dụ 21 Giải phương trình 10 x 3 5 x ( x 1). x6 x4 x2 1 5. Hướng dẫn. 1 ĐK: x 3 2 Đặt. 10 x 3 5 a 0. x6 x4 x2 1 b 0 5 Suy ra mối liên hệ: a 2 5b 2 x 6 5x 4 10 x 3 5x 2 (*) Pt đã cho trở thành: a x ( x 1)b Thay a vào (*) ta được x ( x 1)b2 5b 2 x 6 5x 4 10x3 5x 2 5 ( x 1) 2 b 2 2 x( x 1)b ( x 2 x) x( x 3 x 2 6 x 4) 0 b x 2 x x( x 3 x 2 6 x 4) b 0(loai ) 5 ( x 1) 2. 17.
<span class='text_page_counter'>(18)</span> Suy ra x6 x4 x2 1 x2 x 5. Thay vào (**) đƣợc: 10 x 3 5 x 3. Suy ra x6 x4 x2 1 x2 x ... x 6 10 x 3 5 0 x 3 5 2 5 5 3 3 10 x 5 x. PT đã cho có 2 nghiệm x 3 5 2 5 Thí dụ 22 Giải phương trình. 4 x 3 3 x x. x 6 x 4 4 x 3 2 x 2 4 Hướng dẫn. 3 ĐK: x 3 4 Đặt. 4x3 3 a 0. x6 x 4 4x3 2x 2 4 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a x x.b Thay a vào (*) ta được x xb 2 b 2 x 6 x 4 2x 2 1 1 x 2 b 2 2 x 2b ( x 2 1)( x 4 2 x 2 1) 0 b x 2 1 4 2 b x 2 x 1 0(loai ) 1 x2 . Suy ra x6 x 4 4x3 2x 2 4 x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: 4x3 3 x3. Suy ra 6 4 3 2 2 x 1 x 1 x x 4x 2x 4 x 1 ... 6 3 3 3 3 x 4 x 3 0 x 3 4x 3 x. PT đã cho có 2 nghiệm x 3 3; x 1 Thí dụ 23 Giải phương trình 5x3 3 x x. 2 x 6 x 4 5 x 3 2 x 2 4 2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn.. 18.
<span class='text_page_counter'>(19)</span> ĐK: x 3 Đặt. 3 5. 5x3 3 a0 2. 2 x 6 x 4 5x 3 2 x 2 4 b 0 Suy ra mối liên hệ: 2a 2 b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a x x.b Thay a vào (*) ta được 2 2x xb b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1 1 2 x 2 b 2 4 x 2b ( x 2 1)(2 x 4 3x 2 1) 0 b x 2 1 4 2 b (2 x 3x 1) 0(loai ) 1 2x2 . Suy ra 2 x 6 x 4 5x 3 2 x 2 4 b x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: 5x 3 3 a x3 2. Suy ra 2 x 6 x 4 5x 3 2 x 2 4 x 2 1 x 1 x 1 ... 6 5x 3 3 3 x 3 3 3 2 x 5 x 3 0 x 2 2 . PT đã cho có 2 nghiệm x 3. 3 ;x 1 2. Thí dụ 24 Giải phương trình 5x3 2 x x. 2 x 6 x 4 5 x 3 2 x 2 3 2. Hướng dẫn. 2 ĐK: x 3 5 Đặt. 5x 3 2 a0 2. 2 x 6 x 4 5x 3 2 x 2 3 b 0 Suy ra mối liên hệ: 2a 2 b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a x x.b Thay a vào (*) ta được 2 2x xb b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1 1 2 x 2 b 2 4 x 2b ( x 2 1)(2 x 4 3x 2 1) 0 b x 2 1 4 2 b (2 x 3x 1) 0(loai ) 1 2x2. 19.
<span class='text_page_counter'>(20)</span> Suy ra 2 x 6 x 4 5x 3 2 x 2 3 b x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: 5x 3 2 a x3 2. Suy ra 2 x 6 x 4 5x 3 2 x 2 3 x 2 1 x 1 ... 6 x3 2 5x 3 2 3 3 2 x 5 x 2 0 x 2 . PT đã cho có 1 nghiệm x 3 2 Thí dụ 25 Giải phương trình 7 x3 4 x x. 2 x 6 x 4 7 x 3 2 x 2 5 2. Hướng dẫn. 4 ĐK: x 3 7 Đặt. 7 x3 4 a0 2. 2x6 x 4 7 x3 2x 2 5 b 0 Suy ra mối liên hệ: 2a 2 b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a x x.b Thay a vào (*) ta được 2 2x xb b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1 1 2 x 2 b 2 4 x 2b ( x 2 1)(2 x 4 3x 2 1) 0 b x 2 1 4 2 b (2 x 3x 1) 0(loai ) 1 2x2. Suy ra 2x6 x 4 7 x3 2x 2 5 b x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: 7 x3 4 a x3 2. Suy ra 2x6 x 4 7 x3 2x 2 5 x 2 1 x 1 7 17 ... 6 x3 7 x3 4 3 4 2 x 7 x 4 0 x3 2 . 7 17 4 Thí dụ 26 Giải phương trình PT đã cho có 1 nghiệm x 3. 4 x 3 2 x x. 2 x 6 x 4 8x 3 2 x 2 5. 20.
<span class='text_page_counter'>(21)</span> Hướng dẫn. 1 ĐK: x 3 2 Đặt. 4x3 2 a 0. 2 x 6 x 4 8x 3 2 x 2 5 b 0 Suy ra mối liên hệ: 2a 2 b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a x x.b Thay a vào (*) ta được 2 2x xb b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1 1 2 x 2 b 2 4 x 2b ( x 2 1)(2 x 4 3x 2 1) 0 b x 2 1 4 2 b (2 x 3x 1) 0(loai ) 1 2x2. Suy ra 2 x 6 x 4 8x 3 2 x 2 5 b x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: 4x3 2 a x3. Suy ra 6 4 3 2 2 x 1 2 x x 8x 2 x 5 x 1 ... 6 x 3 2 2 3 3 3 x 4x 2 0 4x 2 x. PT đã cho có 1 nghiệm x 3 2 2 Thí dụ 27 Giải phương trình. 3x 3 1 x x. 2 x 6 x 4 6 x 3 2 x 2 3 Hướng dẫn. 1 ĐK: x 3 3 Đặt. 3x 3 1 a 0. 2x6 x 4 6x3 2x 2 3 b 0 Suy ra mối liên hệ: 2a 2 b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a x x.b Thay a vào (*) ta được 2 2x xb b 2 2 x 6 x 4 2 x 2 1 1 2 x 2 b 2 4 x 2b ( x 2 1)(2 x 4 3x 2 1) 0 b x 2 1 4 2 b (2 x 3x 1) 0(loai ) 1 2x2. Suy ra 2x6 x 4 6x3 2x 2 3 b x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: 3x 3 1 a x 3. 21.
<span class='text_page_counter'>(22)</span> Suy ra 6 4 3 2 2 x 1 3 5 2x x 6x 2x 3 x 1 ... 6 x3 3 3 3 2 x 3x 1 0 3x 1 x. PT đã cho có 1 nghiệm x 3. 3 5 2. Thí dụ 28 Giải phương trình 1 2x3 1 x 2 ( x ) 4x6 4x 4 2x3 1 2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Đặt. 2x3 1 a 0. 4x6 4x 4 2x3 1 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 4 x 6 4 x 4 (*) Pt đã cho trở thành: 1 a x 2 ( x )b(**) 2 Thay a vào (*) ta được 2 1 2 2 6 4 x ( x )b b 4 x 4 x 2 1 1 3 1 ( x ) 2 b 2 2 x 2 ( x )b 2 x 2 (2 x 4 x 2 ) 0 2 2 2 b 2 x 2 3 (2 x 4 x 2 ) 2 0 b 1 2 1 ( x ) 2 . Ta thấy 3 4x4 x2 2 0 x0 2 1 1 x 2 . Khi x=0 thì b không tồn tại Suy ra 4x6 4x 4 2x3 1 b 2x 2. Thay vào (**) đƣợc: 2x3 1 a 2x3. Suy ra 6 4 3 2 x 0 1 5 4x 4x 2x 1 2x ... 6 x3 3 3 3 4 4 x 2 x 1 0 2x 1 2x. PT đã cho có 1 nghiệm x 3. 1 5 4. 22.
<span class='text_page_counter'>(23)</span> Thí dụ 29 Giải phương trình 1 6x3 1 x 2 ( x ) 4x6 4x 4 6x3 1 2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. 1 ĐK: x 3 6 Đặt. 6x3 1 a 0. 4x6 4x 4 6x3 1 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 4 x 6 4 x 4 (*) Pt đã cho trở thành: 1 a x 2 ( x )b(**) 2 Thay a vào (*) ta được 2 1 2 2 6 4 x ( x ) b b 4x 4x 2 1 1 3 1 ( x ) 2 b 2 2 x 2 ( x )b 2 x 2 (2 x 4 x 2 ) 0 2 2 2 b 2 x 2 3 (2 x 4 x 2 ) 2 0 b 1 2 1 ( x ) 2 . Suy ra 4x6 4x 4 6x3 1 b 2x 2. Thay vào (**) đƣợc: 6x3 1 a 2x3. Suy ra 6 4 3 2 x 0 3 5 4x 4x 6x 1 2x ... 6 x3 3 3 3 4 4 x 6 x 1 0 6x 1 2x. PT đã cho có 2 nghiệm x 3. 3 5 4. Thí dụ 30 Giải phương trình 1 7 x3 2 x 2 ( x ) 4x6 4x 4 7 x3 2 2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. 2 ĐK: x 3 7 Đặt. 7 x3 2 a 0. 4x6 4x 4 7 x3 2 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 4 x 6 4 x 4 (*). 23.
<span class='text_page_counter'>(24)</span> Pt đã cho trở thành: 1 a x 2 ( x )b(**) 2 Thay a vào (*) ta được 2. 1 2 2 6 4 x ( x )b b 4 x 4 x 2 1 1 3 1 ( x ) 2 b 2 2 x 2 ( x )b 2 x 2 (2 x 4 x 2 ) 0 2 2 2 b 2 x 2 3 (2 x 4 x 2 ) 2 0 b 1 2 1 (x ) 2 . Suy ra 4x6 4x 4 7 x3 2 b 2x 2. Thay vào (**) đƣợc: 7 x3 2 a 2x3. Suy ra 6 4 3 2 x 0 1 4x 4x 7x 2 2x ... 6 x 3 7 17 3 3 3 2 4 x 7 x 2 0 7x 2 2x. 13 7 17 2 Thí dụ 31 Giải phương trình 1 1 8 x 6 12 x 4 10 x 3 1 3 2 5x x ( x ) 2 2 3 PT đã cho có 2 nghiệm x . Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. 1 ĐK: x 3 10 Đặt. 5x 3 . 1 a0 2. 8 x 6 12 x 4 10 x 3 1 b0 3 Suy ra mối liên hệ: 2a 2 3b 2 8x 6 12 x 4 (*) Pt đã cho trở thành: 1 a x 2 ( x )b(**) 2 Thay a vào (*) ta được 2. 1 2 x 2 ( x )b 3b 2 8 x 6 12 x 4 2 1 1 3 2( x ) 2 b 2 4 x 2 ( x )b 2 x 2 (4 x 4 5 x 2 ) 0 2 2 . 24.
<span class='text_page_counter'>(25)</span> b 2 x 2 4 2 b (4 x 5 x ) 0 1 3 2( x ) 2 2 . Suy ra 8 x 6 12 x 4 10 x 3 1 b 2x2 3. Thay vào (**) đƣợc: 5x3 . 1 a 2x3 2. Suy ra 8 x 6 12 x 4 10 x 3 1 2x2 x 0 1 3 ... 6 x 3 5 17 3 2 1 8 x 10 x 1 0 3 3 5 x 2 x 2 . 13 5 17 2 Thí dụ 32 Giải phương trình 1 8 x 6 12 x 4 10 x 3 2 5x 3 1 x 2 ( x ) 2 3 PT đã cho có 2 nghiệm x . Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. 1 ĐK: x 3 5 Đặt. 5x 3 1 a 0. 8 x 6 12 x 4 10 x 3 2 b0 3 Suy ra mối liên hệ: 2a 2 3b 2 8x 6 12 x 4 (*) Pt đã cho trở thành: 1 a x 2 ( x )b(**) 2 Thay a vào (*) ta được 2. 1 2 x 2 ( x )b 3b 2 8 x 6 12 x 4 2 1 1 3 2( x ) 2 b 2 4 x 2 ( x )b 2 x 2 (4 x 4 5 x 2 ) 0 2 2 b 2 x 2 4 2 b (4 x 5 x ) 0 1 3 2( x ) 2 2 . Suy ra 8 x 6 12 x 4 10 x 3 2 b 2x2 3. 25.
<span class='text_page_counter'>(26)</span> Thay vào (**) đƣợc: 5x 3 1 a 2 x 3. Suy ra 8 x 6 12 x 4 10 x 3 2 x 1 2x2 x 0 ... 6 3 3 x 3 1 4 x 5 x 1 0 3 3 4 5x 1 2 x. PT đã cho có 2 nghiệm x 1; x 3. 1 4. Thí dụ 33 Giải phương trình. x 3 5x 3 4 x 6 x 4 3x 3 x 2 4 (*) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Do VP(*) 0 nên VT (*) x 3 5x 3 4 0. 3 5x 3 4 x 5x 3 4 x 3 6 x 3 4 0 x 3 Đặt. 3. 2 3. 5x 3 4 a. x 6 x 4 3x 3 x 2 4 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 3 b 2 x 6 x 4 2 x 3 x 2 (**) Pt đã cho trở thành: x a b(* * *) Thay b vào (**) ta được a 3 ( a x) 2 x 6 x 4 2 x 3 x 2. a3 x 6 a 2 x 4 2 xa 2 x3 0 (a x 2 )[a 2 ax 2 x 4 a x 2 2 x] 0(* * **) 2 nên 3 a 2 ax 2 x 4 a x 2 2 x (a 2 ax 2 x 4 ) a x x 2 x 0. Do VP(*) x a 0 và x 3. Suy ra (* * **) a x 2 3 5x 3 4 a x 2. Thay vào (***) đƣợc: x 6 x 4 3x 3 x 2 4 b x 2 x. Suy ra 3 2 3 x 1 5x 4 x ... x 6 5 x 3 4 0 6 3 4 3 2 2 x 4 x x 3x x 4 x x. PT đã cho có 2 nghiệm x 1; x 3 4. Chú ý: từ PT x 3 5x 3 4 x 6 x 4 3x 3 x 2 4 (*). Sửa số 4 thành 1 trong các số 1,2,3,…chẳng hạn số 3 ta đƣợc PT sau:. 26.
<span class='text_page_counter'>(27)</span> Thí dụ 34 Giải phương trình. x 3 5x 3 3 x 6 x 4 3x 3 x 2 3(*) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Do VP(*) 0 nên VT (*) x 3 5x 3 3 0. 3 5 x 3 3 x 5x 3 3 x 3 6 x 3 3 0 x 3 Đặt. 3. 1 2. 5x 3 3 a. x 6 x 4 3x 3 x 2 3 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 3 b 2 x 6 x 4 2 x 3 x 2 (**) Pt đã cho trở thành: x a b(* * *) Thay b vào (**) ta được a 3 ( a x) 2 x 6 x 4 2 x 3 x 2. a3 x 6 a 2 x 4 2 xa 2 x3 0 (a x 2 )[a 2 ax 2 x 4 a x 2 2 x] 0(* * **) 1 nên 2 a 2 ax 2 x 4 a x 2 2 x (a 2 ax 2 x 4 ) a x x 2 x 0. Do VP(*) x a 0 và x 3. Suy ra (* * **) a x 2 3 5x 3 3 a x 2. Thay vào (***) đƣợc: x 6 x 4 3x 3 x 2 3 b x 2 x. Suy ra 3 2 3 5 13 5x 3 x ... x 6 5 x 3 3 0 x 3 6 4 3 2 2 2 x x 3x x 3 x x. 5 13 2 Thí dụ 35 Giải phương trình PT đã cho có 2 nghiệm x 3. x 3 5x 3 2 x 6 x 4 3x 3 x 2 2 (*) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Do VP(*) 0 nên VT (*) x 3 5x 3 2 0. 3 5x 3 2 x 5x 3 2 x 3 6 x 3 2 0 x 3 Đặt. 3. 5x 3 2 a. x 6 x 4 3x 3 x 2 2 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 3 b 2 x 6 x 4 2 x 3 x 2 (**) Pt đã cho trở thành:. 27. 1 3.
<span class='text_page_counter'>(28)</span> x a b(* * *) Thay b vào (**) ta được a 3 ( a x) 2 x 6 x 4 2 x 3 x 2 a3 x 6 a 2 x 4 2 xa 2 x3 0 (a x 2 )[a 2 ax 2 x 4 a x 2 2 x] 0(* * **) 1 nên 3 a 2 ax 2 x 4 a x 2 2 x (a 2 ax 2 x 4 ) a x x 2 x 0. Do VP(*) x a 0 và x 3. Suy ra (* * **) a x 2 3 5x 3 2 a x 2. Thay vào (***) đƣợc: x 6 x 4 3x 3 x 2 2 b x 2 x. Suy ra 3 2 3 5 17 5x 2 x ... x 6 5 x 3 2 0 x 3 6 4 3 2 2 2 x x 3x x 2 x x. PT đã cho có 2 nghiệm x 3. 5 17 2. Chú ý: từ PT x 3 5x 3 4 x 6 x 4 3x 3 x 2 4 (*). Sửa số -3 thành -4 thì sửa số 5 thành 6 (-3+5=-4+6=2)ta đƣợc PT sau: Thí dụ 36 Giải phương trình. x 3 6 x 3 4 x 6 x 4 4 x 3 x 2 4 (*) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Do VP(*) 0 nên VT (*) x 3 6 x 3 4 0. 3 6 x 3 4 x 6x3 4 x3 7 x 3 4 0 x 3 Đặt. 3. 6x3 4 a. x6 x 4 4x3 x 2 4 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 3 b 2 x 6 x 4 2 x 3 x 2 (**) Pt đã cho trở thành: x a b(* * *) Thay b vào (**) ta được a 3 ( a x) 2 x 6 x 4 2 x 3 x 2. a3 x 6 a 2 x 4 2 xa 2 x3 0 (a x 2 )[a 2 ax 2 x 4 a x 2 2 x] 0(* * **). 28. 4 7.
<span class='text_page_counter'>(29)</span> 4 nên 7 a 2 ax 2 x 4 a x 2 2 x (a 2 ax 2 x 4 ) a x x 2 x 0. Do VP(*) x a 0 và x 3. Suy ra (* * **) a x 2 3 6x3 4 a x 2. Thay vào (***) đƣợc: x6 x 4 4x3 x 2 4 b x 2 x. Suy ra 3 2 3 6x 4 x ... x 6 6 x 3 4 0 x 3 3 5 6 4 3 2 2 x x 4x x 4 x x. PT đã cho có 2 nghiệm x 3 3 5. Chú ý: từ PT x 3 5x 3 4 x 6 x 4 3x 3 x 2 4 (*). Sửa số -3 thành -5 thì sửa số 5 thành 7 (-3+5=-5+7=2)ta đƣợc PT sau: Thí dụ 37 Giải phương trình. x 3 7 x 3 4 x 6 x 4 5x 3 x 2 4 (*) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Do VP(*) 0 nên VT (*) x 3 7 x 3 4 0. 3 7 x3 4 x 7 x3 4 x3 8x 3 4 0 x 3 Đặt. 3. 1 2. 7 x3 4 a. x6 x 4 7 x3 x 2 4 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 3 b 2 x 6 x 4 2 x 3 x 2 (**) Pt đã cho trở thành: x a b(* * *) Thay b vào (**) ta được a 3 ( a x) 2 x 6 x 4 2 x 3 x 2. a3 x 6 a 2 x 4 2 xa 2 x3 0 (a x 2 )[a 2 ax 2 x 4 a x 2 2 x] 0(* * **) 1 nên 2 a 2 ax 2 x 4 a x 2 2 x (a 2 ax 2 x 4 ) a x x 2 x 0. Do VP(*) x a 0 và x 3. Suy ra (* * **) a x 2 3 7 x3 4 a x 2. Thay vào (***) đƣợc: x 6 x 4 5x 3 x 2 4 b x 2 x. Suy ra 29.
<span class='text_page_counter'>(30)</span> 3 2 3 7 33 7x 4 x ... x 6 7 x 3 4 0 x 3 6 4 3 2 2 2 x x 5x x 4 x x. PT đã cho có 2 nghiệm x 3. 7 33 2. Nhƣ vậy việc tạo ra phƣơng trình dạng này không khó khăn,thậm chí từ 1 phƣơng trình ta có thể tạo ra nhiều phƣơng trình tƣơng tự. Tác giả: Vũ Hồng Phong Thí dụ 38 Giải phương trình. 1 3 3x 3 2 8 x 6 4 x 4 3x 3 4 x 2 1 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Đặt. 3. 3x 3 2 a. 8 x 6 4 x 4 3x 3 4 x 2 1 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 3 b 2 8x 6 4 x 4 4 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: 1 a b(**) 1 a 0 Thay b vào (*) ta được a 3 (1 a) 2 8x 6 4 x 4 4 x 2 1 a 3 8x 6 a 2 4 x 4 2a 4 x 2 0 (a 2 x 2 )[a 2 2ax 2 4 x 2 a 2 x 2 2] 0 Do 1 a 0 nên a 2 2ax 2 4 x 4 a 2 x 2 2 (a 2 2ax 2 4 x 4 ) (a 1) 2 x 2 1 0. Suy ra 3. 3x 3 2 a 2 x 2. Thay vào (**) đƣợc: 3. 8 x 6 4 x 4 3x 3 4 x 2 1 2 x 2 1. Suy ra 3 2 3 1 3 73 3x 2 2 x ... 8 x 6 3x 3 2 0 x 3 6 4 3 2 2 2 2 8 x 4 x 3x 4 x 1 x 1. PT đã cho có 2 nghiệm x . 1 3 3 73 2 2. Chú ý a 3 (1 a) 2 8x 6 4 x 4 4 x 2 1 a 3 a 2 2a 8x 6 4 x 4 4 x 2 f ( a) f ( 2 x 2 ). f (t ) t 3 t 2 2t f ' (t ) 3t 2 2t 2 0.t Suy ra f(t) đồng biên nên f (a) f (2 x 2 ) a 2 x 2 Thí dụ 39 Giải phương trình. x 3x 3 5 x. x 6 x 4 3x 3 2 x 2 4 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. 30.
<span class='text_page_counter'>(31)</span> Hướng dẫn. Đặt. 3x 3 5 a 0. x 6 x 4 3x 3 2 x 2 4 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a xb x(**) Thay a vào (*) ta được ( xb x) 2 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1. ( x 2 1)b 2 2 x 2b ( x 2 1)( x 4 1) 0 b x 2 1 4 b x 1 0(loai ) x2 1 . Suy ra x 6 x 4 3x 3 2 x 2 4 x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: 3x 3 5 a x 3. Suy ra 3 3 x 0 3 29 3x 5 x 6 x3 6 3 4 3 2 2 2 x 3x 5 0 x x 3x 2 x 4 x 1. 3 29 2 Thí dụ 40 Giải phương trình PT đã cho có 1 nghiệm x 3. x 4 x 3 3 x. x 6 x 4 4 x 3 2 x 2 4 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Đặt. 4x3 3 a 0. x6 x 4 4x3 2x 2 4 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a xb x(**) Thay a vào (*) ta được ( xb x) 2 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1. ( x 2 1)b 2 2 x 2b ( x 2 1)( x 4 1) 0. b x 2 1 4 b x 1 0(loai ) x2 1. Suy ra x6 x 4 4x3 2x 2 4 x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: 4x3 3 a x3. 31.
<span class='text_page_counter'>(32)</span> Suy ra 3 3 x 1 x 0 4x 3 x 6 6 3 3 4 3 2 2 x 4 x 3 0 x 3 x x 4x 2x 4 x 1. PT đã cho có 2 nghiệm x 1; x 3 3 Thí dụ 41 Giải phương trình. x 2 3x 3 x. x 6 x 4 3x 3 2 x 2 1 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Đặt. 2 3x 3 a 0. x 6 x 4 3x 3 2 x 2 1 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a xb x(**) Thay a vào (*) ta được ( xb x) 2 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1. ( x 2 1)b 2 2 x 2b ( x 2 1)( x 4 1) 0 b x 2 1 4 b x 1 0(loai ) x2 1. Suy ra x 6 x 4 3x 3 2 x 2 1 x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: 2 3x 3 a x 3. Suy ra 3 3 x 0 3 17 2 3x x 6 x3 6 3 4 3 2 2 2 x 3x 2 0 x x 3x 2 x 1 x 1. 3 17 2 Thí dụ 42 Giải phương trình PT đã cho có 1 nghiệm x 3. x 3 2 x 3 x. x 6 x 4 2 x 3 2 x 2 2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Đặt. 3 2x3 a 0. x6 x 4 2x3 2x 2 2 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a xb x(**) Thay a vào (*) ta được ( xb x) 2 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1. ( x 2 1)b 2 2 x 2b ( x 2 1)( x 4 1) 0. 32.
<span class='text_page_counter'>(33)</span> b x 2 1 4 b x 1 0(loai ) x2 1. Suy ra x6 x 4 2x3 2x 2 2 x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: 3 2x3 a x3. Suy ra 3 3 x 0 3 2x x 6 x 1 6 4 3 2 2 x 2x3 3 0 x x 2 x 2 x 2 x 1 PT đã cho có 1 nghiệm x 1 Thí dụ 43 Giải phương trình. x 4 x 3 3 x.. x6 5 x 4 2x3 2x 2 2. Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Đặt. 4x3 3 a 0. x6 5 x 4 2x3 2x 2 b 0 2 Suy ra mối liên hệ: a 2 2b 2 x 6 2 x 4 4 x 2 2(*) Pt đã cho trở thành: a xb x(**) Thay a vào (*) ta được ( xb x) 2 2b 2 x 6 2 x 4 4 x 2 2. ( x 2 2)b 2 2 x 2b ( x 2 1)( x 4 x 2 2) 0 b x 2 1 4 2 b x x 2 0(loai ) x2 2 . Suy ra x6 5 x 4 2x3 2x 2 b x 2 1 2. Thay vào (**) đƣợc: 4x3 3 a 0. Suy ra 4x3 3 x3 x 1 x 0 6 x6 5 3 3 x 4 x 3 0 x 4 2x3 2x 2 x 2 1 x 3 2 PT đã cho có 2 nghiệm x 1; x 3 3 Thí dụ 44 Giải phương trình. 8 3 3x 6 5 x x 1 x. x 4 4x3 2x 2 3 2. 33.
<span class='text_page_counter'>(34)</span> Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. 8 3 x 1 a 0 Đặt 3. 3x 6 5 x 4 4x3 2x 2 b 0 2 Suy ra mối liên hệ: 3a 2 2b 2 3x 6 2 x 4 4 x 2 2(*) Pt đã cho trở thành: a xb x(**) Thay a vào (*) ta được 3( xb x) 2 2b 2 3x 6 2 x 4 4 x 2 2. (3x 2 2)b 2 6 x 2b ( x 2 1)(3x 4 x 2 2) 0. b x 2 1 4 2 b 3x x 2 0(loai ) 3x 2 2 . Suy ra 3x 6 5 x 4 4x3 2x 2 b x 2 1 2. Thay vào (**) đƣợc: 8 3 x 1 a 0 3. Suy ra 8 3 x 1 x3 x 0 3 4 7 6 x3 3 6 3 3x 8 x 3 0 3x 5 x 4 4x3 2x 2 x 2 1 2 . 4 7 3 Thí dụ 45 Giải phương trình PT đã cho có 2 nghiệm x 3. x 3x 3 1 x.. 3x 6 9 x 3 5 x4 2x2 2. Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Đặt. 3x 3 1 a 0. 3x 6 9 x 3 5 x4 2x2 b 0 2 Suy ra mối liên hệ: 3a 2 2b 2 3x 6 2 x 4 4 x 2 2(*) Pt đã cho trở thành: a xb x(**) Thay a vào (*) ta được 3( xb x) 2 2b 2 3x 6 2 x 4 4 x 2 2. 34.
<span class='text_page_counter'>(35)</span> (3x 2 2)b 2 6 x 2b ( x 2 1)(3x 4 x 2 2) 0 b x 2 1 4 2 b 3x x 2 0(loai ) 3x 2 2. Suy ra 3x 6 9 x 3 5 x4 2x2 b x2 1 2. Thay vào (**) đƣợc: 3x 3 1 a 0. Suy ra 3x 3 1 x 3 x 0 3 5 6 x3 3x 6 9 x 3 5 3 2 x 3x 1 0 x4 2x2 x2 1 2 . 3 5 2 Thí dụ 46 Giải phương trình PT đã cho có 2 nghiệm x 3. 1 3 5x 3 3 x 6 x 4 5x 3 2 x 2 4 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Đặt. 3. 5x 3 3 a. x 6 x 4 5x 3 2 x 2 4 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 3 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a b 1(**) Thay a vào (*) ta được (b 1)3 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1(1). (b x 2 1)( x 4 x 2b b 2 b 2) 0. b x2 1 ( x 4 x 2b b 2 b 2 0, x, b). Cách khác giải (1): (b 1)3 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1(1) b3 2b 2 3b 1 ( x 2 1)3 2( x 2 1) 2 3( x 2 1) 1 f (b) f ( x 2 1) b x 2 1. Vì f (t ) t 3 2t 2 3t 1 f ' (t ) 3t 2 4t 3 0. f(t) là hàm đồng biến Suy ra x 6 x 4 5x 3 2 x 2 4 b x 2 1. Thay vào (**) đƣợc:. 35.
<span class='text_page_counter'>(36)</span> 3. 5x 3 3 a x 3. Suy ra 3 3 3 5 13 5x 3 x x 6 5x 3 3 x 3 6 4 3 2 2 2 x x 5x 2 x 4 x 1. 5 13 2 Thí dụ 47 Giải phương trình PT đã cho có 2 nghiệm x 3. 1 3 5x 3 3 x 6 x 4 5x 3 2 x 2 2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Đặt. 3. 5x3 3 a. x 6 x 4 5x 3 2 x 2 2 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 3 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1(*) Pt đã cho trở thành: a b 1(**) Thay a vào (*) ta được (b 1)3 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1(1). (b x 2 1)( x 4 x 2b b 2 b 2) 0. b x2 1 ( x 4 x 2b b 2 b 2 0, x, b). Cách khác giải (1): (b 1)3 b 2 x 6 x 4 2 x 2 1(1) b3 2b 2 3b 1 ( x 2 1)3 2( x 2 1) 2 3( x 2 1) 1 f (b) f ( x 2 1) b x 2 1. Vì f (t ) t 3 2t 2 3t 1 f ' (t ) 3t 2 4t 3 0. f(t) là hàm đồng biến Suy ra x 6 x 4 5x 3 2 x 2 2 b x 2 1. Thay vào (**) đƣợc: 3. 5x 3 3 a x 3. Suy ra 3 3 3 5 37 5x 3 x x 6 5x 3 3 0 x 3 6 4 3 2 2 2 x x 5x 2 x 2 x 1. 5 37 2 Thí dụ 48 Giải phương trình PT đã cho có 2 nghiệm x 3. 1 4x 3 3. 3. x6 5 x 4 2x3 2x 2 2. Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. 36.
<span class='text_page_counter'>(37)</span> Hướng dẫn. Đặt. 3. 4x3 3 a. x6 5 x 4 2x3 2x 2 b 0 2 Suy ra mối liên hệ: a 3 2b 2 x 6 2 x 4 4 x 2 2(*) Pt đã cho trở thành: a b 1(**) Thay a vào (*) ta được (b 1)3 2b 2 x 6 2 x 4 4 x 2 2(1). (b x 2 1)( x 4 x 2b b 2 x 2 3) 0. b x2 1 ( x 4 x 2b b 2 x 2 3 0, x, b). Cách khác giải (1): (b 1)3 2b 2 x 6 2 x 4 4 x 2 2(1) b3 b 2 3b 1 ( x 2 1)3 ( x 2 1) 2 3( x 2 1) 1 f (b) f ( x 2 1) b x 2 1. Vì f (t ) t 3 t 2 3t 1 f ' (t ) 3t 2 2t 3 0. f(t) là hàm đồng biến Suy ra x6 5 x 4 2x3 2x 2 b x 2 1 2. Thay vào (**) đƣợc: 3. 4x3 3 a x3. Suy ra 3 4 x 3 3 x 3 x 1 x6 4x3 3 0 x6 5 3 x 4 2x3 2x 2 x 2 1 x 3 2 PT đã cho có 2 nghiệm x 3 3; x 1 Thí dụ 49 Giải phương trình. 1 3 6x3 8 . x 6 11 4 x 2 x3 2x 2 3. Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. Đặt. 3. 6x3 8 a. x 6 11 x 4 2x3 2x 2 b 0 3 Suy ra mối liên hệ: a 3 3b 2 x 6 3x 4 6 x 2 3(*) Pt đã cho trở thành: a b 1(**). 37.
<span class='text_page_counter'>(38)</span> Thay a vào (*) ta được (b 1)3 3b 2 x 6 3x 4 6 x 2 3(1). (b x 2 1)( x 4 x 2b 2 x 2 b 2 b 4) 0. b x2 1 ( x 4 x 2b 2 x 2 b 2 b 4 0.x, b). Cách khác giải (1): (b 1)3 3b 2 x 6 3x 4 6 x 2 3(1). b3 3b 1 ( x 2 1)3 3( x 2 1) 1 f (b) f ( x 2 1) b x 2 1. Vì f (t ) t 3 3t 1 f ' (t ) 3t 2 3 0. f(t) là hàm đồng biến Suy ra x 6 11 x 4 2x3 2x 2 b x 2 1 3. Thay vào (**) đƣợc: 3. 4x3 3 a x3. Suy ra 3 6 x 3 8 x 3 x 3 2 6 3 x 6x 8 0 x 6 11 3 x 4 2x3 2x 2 x 2 1 x 4 3 PT đã cho có 2 nghiệm x 3 2 ; x 3 4. Thí dụ 50 Giải hệ phương trình 3 4 xy y.3 x 2 4 y 2 5 x(1) 4 4 y 2 ( x 2 x 1) 2 x 2 2 x 1 (2) x4 2x2 2 2 Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn tạo PT. Chọn dạng m y3 n p Chọn các căn sau khi biến đổi: m x 2 y; 3 n 2; p x Suy ra mối liên hệ: a 2 b3 x 2 4 y 2 4 xy 8(*) Pt cần tạo trở thành:. a x yb(**). Thử giải hệ PT gồm(*) và (**) ta thấy cần chọn để có đk xy và b dương thì sẽ loại bỏ được trường hợp phức tạp nên có thể chọn: m 3xy 4 Từ(*) suy ra: n x 2 4 y 2 5 Việc chọn n hay m trước ta phải linh động Hướng dẫn. 3 Đặt xy 4 Đặt 3 4 xy a 0. 38.
<span class='text_page_counter'>(39)</span> x2 4 y2 5 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b3 x 2 4 y 2 4 xy 8(*) Pt (1)đã cho trở thành: a x yb(**) Thay a vào (*) ta được ( x yb) 2 b3 x 2 4 y 2 4 xy 8 3. b3 8 2 xyb 4 xy y 2b 2 4 y 2 0 (b 2)(b 2 2b 4 2 xy y 2b 2 y 2 ) 0 b2 3 xy ; b 0 b 2 2b (4 2 xy ) y 2b 2 y 2 0 4 b 2 a x 2y. Ta có: 3 4 xy x 2 y x 2 y 0 2 4 y2 3 x2 2 2 2 3 x 4 y 5 2 x 4 y 3 Thay vào PT(2) có x 2 1 ( x 2 x 1) 2 x 2 2 x 1 2 x4 2x 2 2. . . ( x 2 1) x 4 2 x 2 2 (2 x 2 2 x 2) 2 x 2 2 x 1 ( x 2 1)3 ( x 2 1) (2 x 2 2 x 1) 2 x 2 2 x 1 2 x 2 2 x 1 f ( x 2 1) f ( 2 x 2 2 x 1) f (t ) t 3 t f ' (t ) 3t 2 1 0 Suy ra f(t) đồng biến nên f ( x 2 1) f ( 2 x 2 2 x 1) x 0 x 2 1 2 x 2 2 x 1 x( x 3 2) 0 3 x 2 3 3 y 4 2 3 3 ) Đối chiếu các đk xy ; x 2 y 0 ta lấy ( x 0; y 4 2 Với x 0 y 2 . Với x 3 2 y 2 . 33 4 33 4 y 4 2. Đối chiếu các đk xy . 3 33 4 ; x 2 y 0 ta lấy ( x 3 2 ; y ) 2 4. Hệ PT đã cho có 3 cặp nghiệm ( x 0; y . 33 4 3 ) ) ; ( x 3 2; y 2 2. Thí dụ 51 Giải hệ phương trình 5 4 xy y.3 x 2 4 y 2 3 x(1) 8 x 2 3 x 4 2 x2 1 8 x 2 3x 4 16 8 y 2 (2) Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. 39.
<span class='text_page_counter'>(40)</span> Hướng dẫn. 5 Đặt xy 4 Đặt 5 4 xy a 0. x2 4 y 2 3 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b3 x 2 4 y 2 4 xy 8(*) Pt (1)đã cho trở thành: a x yb(**) Thay a vào (*) ta được ( x yb) 2 b3 x 2 4 y 2 4 xy 8 3. b3 8 2 xyb 4 xy y 2b 2 4 y 2 0 (b 2)(b 2 2b 4 2 xy y 2b 2 y 2 ) 0 b2 5 xy ; b 0 b 2 2b (4 2 xy ) y 2b 2 y 2 0 4 b 2 a x 2y. Ta có: 5 4 xy x 2 y x 2 y 0 2 4 y2 5 x2 2 2 2 3 x 4 y 3 2 x 4 y 5 Thay vào PT(2) có 8 x 2 3 x 4. 8 x 2 3x 4 2 x 2 6. x 2 1. 2. 8 x 2 3 x 4. 2 Với. ( 8x 2 3x 4 2 x 2 2) 4. x 2 1. 8x 2 3x 4 2( x 2 1) 8 x 2 3 x 4. 2. x 2 1. ( 8x 2 3x 4 2 x 2 2) 2 2 0 4. Với. 8x 2 3x 4 2( x 2 1) 8 x 2 3 x 4. 2. x 2 1. ( 8 x 2 3x 4 2 x 2 2) 2 2 0 4. Với. 8x 2 3x 4 2( x 2 1) 8 x 2 3 x 4. 2. ( 8 x 2 3x 4 2 x 2 2) 2 2 0 4 x 0 2 2 3 8 x 3x 4 2( x 1) x(4 x 3) 0 x 4 3 4 x 2 1. 5 5 y 4 2 5 5 ; x 2 y 0 ta lấy ( x 0; y ) Đối chiếu các đk xy 4 2 Với x 0 y 2 . Với x 3. 3 y2 4. 9 9 53 16 16 y 4 2. 53. 40.
<span class='text_page_counter'>(41)</span> Đối chiếu các đk xy . 5 3 ; x 2 y 0 ta lấy ( x 3 ; y 4 4. Hệ PT đã cho có 2 cặp nghiệm ( x 0; y . 53. 3 5 ) ; (x 3 ; y 4 2. 9 16. 2 53 2. ) 9 16. ). Thí dụ 52 Giải hệ phương trình 4 x 2 2 xy y 2 3 x. 2 xy 1 y (1) x2 11x2 6 x4 2 x 2 y 11x 2 2 xy 2 (2) 2 4( x 4 4 x 2 5) Tác giả:Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1, Bắc Ninh. Hướng dẫn. 1 ĐK: xy 2 Đặt. 4 x 2 2 xy y 2 3 a 3. 2 xy 1 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 4 x 2 y 2 4 xy 4(*) Pt (1)đã cho trở thành: a xb y(**) Thay a vào (*) ta được ( xb y) 2 b 2 4 x 2 y 2 4 xy 4(*). ( x 2 1)b 2 2 xyb 2(2 x 2 2 xy 2) 0 b 2 2 b (2 x 2 xy 2) 0(loai ) x2 1 b 2 a 2x y. Ta có: 2 xy 1 2 2 x y 0 2 xy 3 4 x 2 2 xy y 2 3 2 x y Thay vào PT(2) có 2 2 11x 2 6 x 5 2 x 11x 6 x4 4( x 4 4 x 2 5) 2 2 1 ( x 2 2) 2 2 x 2 1 11x 2 6 x 4 2 . . . 11x 2 6 x 4. f ( x 2 2) f ( 11x 2 6 x 4 ) x 0 khôngcóy x 3 y 1 (loaivi 2 x y 0) 2 x 2 2 11x 2 6 x 4 ( x 2 3x)( x 2 3x 2) 0 3 x 1 y 2 3 x 2 y 4 Cách khác:. 41.
<span class='text_page_counter'>(42)</span> 2x. 2. 11x 2 6 x 4. 2x. 2. . 11x 2 6 x 5 4( x 4 4 x 2 5). 2 11x 2 6 x 4. ( x 2 3 x )( x 2 3 x 2 ). 2. x 2 2 11x 2 6 x 4. 11. 11x 2 6 x 5 0 x4 4x2 5. ( x 2 3x)( x 2 3x 2) 1 0 x4 4x2 5. Xét 3 trƣờng hợp……………. Chú ý: Muốn có hệ đơn giản ta có thể tạo ra hệ PT gồm PT thứ nhất đặt ẩn phụ không hoàn toàn kiểu của tác giả và PT thứ 2 đơn giản,quen thuộc chẳng hạn: Thí dụ 53 Giải hệ phương trình 2 2 2 4 x 2 xy 2 y 3 x. 2 xy 1 y y (1) x 2 xy y 2 x 2 x 3(2) 2 3 Tác giả:Vũ Hồng Phong (ToánB K35 ĐHSP.TN). Hướng dẫn. ĐK 2 xy 1 y 2 2 xy 1 Đặt. 4 x 2 2 xy 2 y 2 3 a 3. 2 xy 1 y 2 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 4 x 2 y 2 4 xy 4(*) Pt (1)đã cho trở thành: a xb y(**) Thay a vào (*) ta được ( xb y) 2 b 2 4 x 2 y 2 4 xy 4(*). ( x 2 1)b 2 2 xyb 2(2 x 2 2 xy 2) 0 b 2 2 b (2 x 2 xy 2) 0(loai ) x2 1 b 2 a 2x y. Ta có: 2 xy 1 y 2 2 2 x y 0 2 y 2 xy 3 0 4 x 2 2 xy 2 y 2 3 2 x y Thay vào PT(2) có 2 x 33 x 2 x 3 2 x 33 x 2 x 3 0 f (t ) 2 x 33 x 2 x 3 f ' (t ) 2 x ln 2 33x ln 3 2 f " (t ) 2 x ln 2 2 33x ln 2 3 0 Suy ra f’(t) đồng biến nên f’(t) có tối đa 1 nghiệm suy ra f(t) có tối đa 2 khoảng đơn điệu Vì thế f(t) có tối đa 2 nghiệm. suy ra x=2,x=3 là tất cả các nghiệm của f(t) y 1 Với x=2 có: y 2 4 y 3 0 y 3 Với x=3 có: y 2 6 y 3 0 y 3 6. 42.
<span class='text_page_counter'>(43)</span> Thí dụ 54 Giải hệ phương trình 9 x 2 8 xy 3 y 2 6 ( x y ) y 2 4 xy 3 y (*) 3x 4 xy y 2 3 2 x 2 8 xy 2 y 2 3x 3 (**) x2 3 4 2 x 2 3x 1 Tác giả:Vũ Hồng Phong. Hướng dẫn. Đk y 2 4 xy 3 0;9 x 2 8xy 3 y 2 6 0 Đặt. 9 x 2 8xy 3 y 2 6 a 0. y 2 4 xy 3 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 9 x 2 12 xy 4 y 2 9(1) Pt (*)đã cho trở thành: a ( x y)b y Thay a vào (1) ta được ( x y)b y 2 b2 9x 2 12xy 4 y 2 9 ( x y) 2 1b 2 2 y( x y)b 3(3x 3 4 xy y 2 3) 0. b 3 2 2 b (3x 4 xy y 3) 0 ( x y) 2 1 vì có y 2 4 xy 3 0;3x 2 0 và y 2 4 xy 3;3x 2 không đồng thời bằng 0 với b=3 suy ra a 3x 2 y. Ta có: 3 y 2 4 xy 3 y 2 6 3x 2 y 3x 2 y 0 2 2 y 4 xy 6 y 4 xy 3 3 Thay vào PT(**) có 3x 9 2 x 2 3x 15 x 2 3 4 2 x 2 3x 1 3x 9 (4 2 x 2 3x 1)( 2 x 2 3x 1 4) x2 3 4 2 x 2 3x 1 3x 9 2 2 x 2 3x 1 4 x 3 . 2 x 2 3x 1 ( x 2 1 2) 2 x 2 3x 1 2( x 2 1) 0. x 0 2 x 2 3x 1 x 2 1 x( x 3 3) 0 2 x 3 3 2 x 2 3x 1 2 2 x 3x 3 0 x 3 33 4 2 Với x 0 có: y 6 y 6 Với x 3 3 có: y 2 43 3 y 6 y 23 3 6 43 9. . 3 33 24 3 33 3 33 Với x có: y 2 (3 33 ) y 6 y 2 4. 43. . 2.
<span class='text_page_counter'>(44)</span> . 3 33 24 3 33 3 33 Với x có: y 2 (3 33 ) y 6 y 2 4 Kiểm tra đk: 3x 2 y 0 ta lấy 4 cặp nghiệm:. x0;y 6. . 3 33 24 3 33 3 33 ;y x 2 4. . . 2. . 2. . 2. 3 33 24 3 33 3 33 ;y x 2 4 Thí dụ 55 Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y y 2 x. x y x y 1 x(*) y 2 2 2 2 3 y y 2 x y x y 1(**) Tác giả:Vũ Hồng Phong. Hướng dẫn. Đk x 2 y x 2 y 1 Đặt. x2 y2 x2 y x2 y 2 y 2 a 0. x2 y x2 y 1 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x 2 y 2 y 2 2 y 1(1) Pt (*)đã cho trở thành: a xb x Thay a vào (1) ta được ( xb x) 2 b 2 x 2 y 2 y 2 2 y 1 x 2 1b 2 2 x 2b ( y 1)( x 2 y x 2 y 1) 0 b y 1 2 2 b ( x y x y 1) 0(l ) x2 1. Ta có: . xy 0 y 1 2 2 2 2 2 x y x y x y y 2 xy y 1 2 x2 y x2 y 1 y 1 x 2 y y 2 y 1. Thay x 2 y x 2 y 1 y 1 vào PT(**) có. 2y y2 y 2 0 f ( y) 2 y y 2 y 2 f ' ( y) 2 y ln 2 2 y 1. 2 ln 2 2 suy ra f’(y) có tối đa 2 khoảng đơn điệu suy ra f’(y) có tối đa 2 nghiệm suy ra f(y) có tối đa 3 khoảng đơn điệu nên f(t) có tối đa 3 nghiệm suy ra y=1;y=2;y=3 là tất cả các nghiệm của f(y) ta loại y=1 Với y 2 có: x 2 6 x 2 2 f " ( y) 2 y ln 2 2 2 f " ( y) 2 y ln 2 2 2 0 y ln. Với y 3 có: x 2 7 x 7. 44.
<span class='text_page_counter'>(45)</span> Đối chiếu các điều kiện suy ra hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm: ( x 2 2; y 2), ( x 7 ; y 3) Thí dụ 56 Giải hệ phương trình ( y 1) xy 2 2 y x 2 1(*) 1 x 2 y 2 xy 2 2 xy x 2 2 y 1 x2 1 4 5( xy 2 2 y 1) 3 2 x 2 2 x1 (**) x 2 1 2 2 xy 2 x 2 y 1 2 2 2 x 2 x1 Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh). Hướng dẫn. Đk xy 2 2 y 0. x 2 y 2 xy 2 2 xy x 2 2 y 1 a 0. Đặt. xy 2 2 y b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x 2 y 2 2 xy 1 x 2 (1) Pt (*)đã cho trở thành: ( y 1)b x 2 1 a ( y 1)b x 1 1 a Thay a vào (1) ta được ( y 1) y x 12 b 2 x 2 y 2 2xy 1 x 2 ( y 1) 2 1b 2 2( x 1)( y 1)b x( xy 2 2 y 2) 0. b x a xy 1 2 b ( xy 2 y 2) 0(l ) ( y 1) 2 1. Ta có: xy 1 x 2 y 2 xy 2 2 xy x 2 2 y 1 xy 1 x 0 xy 2 2 y x 2 xy 2 2 y x Thay xy 2 2 y x 2 vào PT(**) có x 2 1. 3. 2 x 2 x 1. Đặt. 2. 2. 2. x 2 1 2 x 2 2 x 1. x2 1 2x2 2x 1. . 5( x 2 1) 2x2 2x 1. 0. t 0. Có: 3t 22t 5t 0 f (t ) 3t 22t 5t f ' (t ) 3t ln 3 22t ln 2 5 f " (t ) 3t ln 2 3 22t ln 2 2 suy ra f’(t) đồng biến, f’(t) có tối đa 1 nghiệm suy ra f(t) có tối đa 2 khoảng đơn điệu nên f(t) có tối đa 2 nghiệm suy ra t=1;t=2 là tất cả các nghiệm của f(t). 45.
<span class='text_page_counter'>(46)</span> Với t 1 có:. Với t 1 có:. x 0 y 0 1 3 2 y 3 (loaivixy 1) x 1 3 1 x( x 2) 0 2 3 x 2 2x2 2x 1 1 3 y 3 2 . 1 2 7 (loaivixy 1) y 3 2 x 3 x 1 2 ( x 3)( x 1) 3 0 1 2 7 2x2 2x 1 y 3 x 1 0(loai ). 1 3 1 2 7 ), (3; ) 3 3 2 Sau đây tác giả nêu vài thí dụ hệ PT dùng 2 phương pháp đặt ẩn phụ đều của tác giả nghĩ ra(phương pháp sau tác giả dựa vào phép thế Ơ-le trong tính tích phân) Muốn tìm hiểu rõ phương pháp đặt ẩn phụ kiểu phép thế Ơ-le các bạn có thể tìm ở tạp chí: hệ Pt đã cho có 3 cặp nghiệm (x;y): (0;0), (3 2 ;. Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 468 Tháng 6-2016 Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Hoàn Sơn;Tiên Du;Bắc Ninh). Thí dụ 57 Giải hệ phương trình x2 4 2 2 2 x 2 x y y 1 y x 4 1(*) y 2 16 y 16 y (8 x 2 1) 4 x 2 1 15 (**) x 16 x 9 Tác giả:Vũ Hồng Phong (GVTHPT Tiên Du 1,Bắc Ninh). Hướng dẫn. Đk y x 4 0 y x 4 0 y 0(đk : y 0) Đặt. 2x 4 2x 2 y 2 y 1 a 0. y x4 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x 4 y 2 2 x 2 1(1) Pt (*)đã cho trở thành: x2 a b 1 y Thay a vào (1) ta được 2. x2 b 1 b 2 x 4 y 2 2 x 2 1(1) y 4 x 2x2 2 1b 2 b ( x4 y 2 2x2 ) 0 y y . x4 2x2 2 1b 2 b ( x4 y 2 2x2 ) 0 y y x4 y 2 1b 2 2 x 2b y( x 4 y 2 2 x 2 ) 0 y . 46.
<span class='text_page_counter'>(47)</span> b y a x 2 1 (x4 y 2 2x2 ) b 0(l ) x4 ( 2 1) y y . Ta có: 2 x 4 2 x 2 y 2 y 1 x 2 1 y 0 2 4 4 y y x y x y Thay y y 2 x 4 vào PT(**) có 15 9 16 x3 (8 x 2 1) 4 x 2 1 Điều kiện x 16 x 9 16 30 32 x 3 (16 x 2 2) 4 x 2 1 (* * *) 16 x 9. Ta có (2 x 4 x 2 1)3 8 x 3 12 x 2 4 x 2 1 6 x(4 x 2 1) (4 x 2 1) 4 x 2 1 32 x 3 6 x (16 x 2 1) 4 x 2 1. Suy ra VT (***) 32 x 3 6 x (16 x 2 1) 4 x 2 1 3(2 x 4 x 2 1) (2 x 4 x 2 1)3 3(2 x 4 x 2 1). t 2 x 0. t 2 x 0 (i) 2 2 2 4 x 1 (t 2 x) 4tx t 1. Đặt 2 x 4 x 2 1 t x 2 1 t 2 x + Dễ thấy t = 0 không thoả mãn (i) + Xét t 0 1 t 2 t 0 2t 0 (i ) t2 1 2 x t 1 x 4t 4t. Khi này PT(***) trở thành 30 t 1 16. 9 4t 30t t 3 3t 2 4t 9t 4 30 t2 3 2 (do t 0 ) 4t 9t 4 (t 2 3)(4t 2 9t 4) 30 t 3 3t . 2. 4t 4 9t 3 16t 2 27t 18 0 (t 2)(t 3)(4t 2 5t 3) 0 t 2 t 3 4t 2 5t 3 0 . Xét phƣơng trình 4t 2 5t 3 0 có 0 nên nó vô nghiệm 47.
<span class='text_page_counter'>(48)</span> Do t 0 nên ta chỉ lấy t 2 -Với t 2 thay vào (1) ta đƣợc x Vậy PT(***) có 1 nghiệm x . 3 8. 3 8. 3 81 32 943 y có: y y 2 8 4096 64 3 32 943 hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm (x;y): ; 64 8 Thí dụ 58 Giải hệ phương trình 3x 2 y 2 2 x 1 2 x 2 3 y 2 x 2 y 1(*) 3 11x 3 10 x 2 30 y 2 7 2 2 x x 1 (**) 1 3 3 3 Với x . Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh). Hướng dẫn. Dễ thấy x 2 y 1 0 thì (*) 2 x 2 3 y 2 0 x y 0 (không xảy ra) (*) x 2 y 1 0. Đặt. 3x 2 y 2 2 x 1 a 0. 2x 2 3 y 2 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 ( x 1) 2 (2 y) 2 Pt (*)đã cho trở thành: a b x 1 2 y Ta có hệ: (a b)(a b) ( x 1 2 y )( x 1 2 y ) a b x 1 2 y a b x 1 2 y 0 a b x 1 2 y x 1 2 2 a x 1 3x y 2 x 1 x 1 y 0 2 2 b 2 y y 2 2x2 2x 3y 2 y Thay y 2 2x 2 vào PT(**) có : 3. 11x 3 70 x 2 7 2 2 1 x x 1 (* * *) 3 3 3 +Dễ thấy x 0 không thoả mãn PT (***) + Xét x 0 7 2 2 x x 1 tx 1 Đặt 3 3 tx 1 0 7 2 2 x x 1 t 2 x 2 2 xt 1 3 3. tx 1 0 tx 1 0 2 2 2 (1) (do x 0 ) 2 3 t x 7 x 6 tx 2 x ( 3 t 7 ) x 6 t 2 7 Dễ thấy khi 3t 2 7 0 t 3. 48.
<span class='text_page_counter'>(49)</span> không thoả mãn (1) 7 thì 3 6t 2 x 3t 2 7 (1) t. 6t 2 1 0 3t 2 7 6t 2 x 3t 2 7 6t 2 x 3t 2 7 7 2 t 3 3t 2t 7 0 2 3t 7 7 t 3 . Khi t . (2). Với cách đặt trên thay vào PT đã cho ta đƣợc 11x3 70 x 2 3 11x 70 2 t 3 x3 .x 3 3t 3 x 11x 70 6t 2 6t 2 3t 3. 2 11. 2 70 3t 7 3t 7 3(6t 2)t 3 11(6t 2) 70(3t 2 7). (1 tx 1)3 . 18t 4 6t 3 210t 2 66t 468 0 6(t 3)(t 2)(3t 2 4t 13) 0. t 3 t 3 t 2 t 2 3t 2 4t 13 0 t 2 43 3 . đối chiếu điều kiện của t ở (2) ta loại t. 2 43 3. Với t còn lại thay vào (2) ta đƣợc x 1; x 2; x . 3 3 43 0,775 13 2 43. đối chiếu điều kiện x 1 x 1; x . 3 3 43 0,775 13 2 43. y 2. Với x 1 y 2 2 x 2 2 . y 2 0(l ) 3 3 43 3 6 3 86 y ( y 0) Với x 13 2 43 13 2 43 hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm (x;y): 3 3 43 3 6 3 86 ; ) (1 : 2 ) ( 13 2 43 13 2 43 ;. 49.
<span class='text_page_counter'>(50)</span> Thí dụ 59 Giải hệ phương trình 5 x 2 y 2 6 x 9 4 x 2 2 y 1 x y 2(*) 2 x 2 y 2 17 x 11 27 41 x (**) 2 2 28 14 2 2 x y 17 x 11 Tác giả:Vũ Hồng Phong (làng Bất Lự,Bắc Ninh). Hướng dẫn. Dễ thấy x y 2 0 thì (*) 5x 2 y 2 6 x 9 4 x 2 2 y 1 x y 2 0 .... 4 x 2 2 x 5 0(vn) (không xảy ra) (*) x y 2 0. Đặt. 5x 2 y 2 6 x 9 a 0. 4x 2 2 y 1 b 0 Suy ra mối liên hệ: a 2 b 2 x 2 6 x 9 y 2 2 y 1 ( x 3) 2 ( y 1) 2 Pt (*)đã cho trở thành: a b x 3 y 1 Ta có hệ: (a b)(a b) ( x 3 y 1)( x 3 y 1) a b x 3 ( y 1) a b x 3 y 1 0 a b x 3 y 1 x 3 2 2 a x 3 5x y 6 x 9 x 3 y 1 2 b y 1 y 2 4x2 4x 2 y 1 y 1 Thay y 2 4x 2 vào PT(**) có : 6 x 2 17 x 11 27 41 x 14 2 ( x 1)(6 x 11) 28 Dễ thấy x 1 không là nghiệm của phƣơng trình Với x 1 đặt ( x 1)(6 x 11) ( x 1)t 0 (1). ( x 1)(6 x 11) ( x 1)2 t 2 6 x 11 ( x 1)t 2 (t 2 6) x 11 t 2 (2) Dễ thấy t 6 không thoả mãn (2) 11 t 2 Với t 6 suy ra x 2 (3) t 6 thay vào (1) ta đƣợc: 5t ( x 1)(6 x 11) 2 0 t 6 t 6 Suy ra (4) 6 t 0 Phƣơng trình đã cho trở thành 2 5t 2 2 t 6 27 .11 t 41 700t 2 (55t 2 195)(2t 2 5t 12) 5t 28 t 2 6 14 2 2 t 6 140t 2 (11t 2 39)(2t 2 5t 12). 50.
<span class='text_page_counter'>(51)</span> 22t 4 55t 3 350t 2 195t 468 0 (t 1)(t 3)(22t 2 143t 156) 0. t 1 t 3 t 143 6721 44 Kiểm tra điều kiện ở (4) ta lấy t 3 và 143 6721 t 44 2 Thay các giá trị t vào (3) ta đƣợc x 3 286 6721 5874 143 6721 2937 và x 15554 286 6721 7777 143 6721 2 16 4 Với x y 2 4 x 2 ; y 1 y 3 9 3 286 6721 5874 286 6721 5874 Với x ; y 2 4x 2 ; y 1 y 15554 286 6721 7777 143 6721 hệ Pt đã cho có 2 cặp nghiệm (x;y): 2 4 x ;y 3 3 143 6721 2937 286 6721 5874 x ;y 7777 143 6721 7777 143 6721 Thí dụ 60 Giải hệ phương trình 4x2 y 2 1 3 y (*) 4 xy 15 x. 2 2 y 2 1 e 3 y 2 y 1 y 4 20 x 2 2 y 75(**) e Hướng dẫn. 15 Đk: xy 4 Đặt: 4 xy 15 a 0 3. 4x2 y 2 1 b0 2. Suy ra mối liên hệ: a 2 2b3 (2 x y) 2 16 (1). Từ phƣơng trình (*) có: a xb y. Thay vào (1) đƣợc:. xb y 2 2b3 (2 x y) 2 16. . . (b 2) x2b 2 x2 2b2 4b 2 xy 8 0 b 2 vì x 2b 2 x 2 2b 2 4b 2 xy 8 0. . . Suy ra. a 2x y. Ta có :. 51.
<span class='text_page_counter'>(52)</span> 4 xy 15 2 x y 2 x y 0 2 4x 2 y 2 1 2 2 4 x y 15 3 2 15 y 2 x2 4. Thay vào(**) đƣợc: ey. 2. 1. e. ey. 2. 1. 3 y 2 2 y 1. y4 5y2 2y. ( y 2 1) 2 e. 3 y 2 2 y 1. (3 y 2 2 y 1). f ( y 2 1) f ( 3 y 2 2 y 1). f (t ) et t 2 f ' (t ) et 2t. f ' ' (t ) et 2 f ' ' (t ) et 2 0 x ln 2. t. Ln2. f”(t). -. 0. +. f’(t) 2-ln4>0 f(t). Nhƣ vậy f(t) là hàm đồng biến. suy ra f ( y 2 1) f ( 3 y 2 2 y 1) 2 y 2 y 1 0 y2 1 3y2 2 y 1 2 y 1 2 y ( y 2)( y 2 y 1) 0. y 2 x2 . 11 11 x 4 2. y 1 2 x 2 . 12 2 2 12 2 2 x 4 2. Đối chiếu đk suy ra nghiệm hệ đã cho: 11 12 2 2 , ; 2 ; 1 2 2 2 . 52.
<span class='text_page_counter'>(53)</span> 53.
<span class='text_page_counter'>(54)</span> 54.
<span class='text_page_counter'>(55)</span> 55.
<span class='text_page_counter'>(56)</span>
