Chuong 7 Bài Tập Kiem dinh

Giảng viên:
Chu Bình Minh
Bài giảng
Xác suất thống kê
Nam Dinh,Februay, 2008
PHẦN 2
THỐNG KÊ TOÁN
CHÖÔNG 7:
KIEÅM ÑÒNH GIAÛ THIEÁT THOÁNG KEÂ
1. KHÁI NIỆM CHUNG
1.1 GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
a, Định nghĩa Giả thuyết thống kê là giả thuyết về dạng phân
phối xác suất của biến ngẫu nhiên, về các tham số đặc trưng của
biến ngẫu nhiên hoặc về tính độc lập của các biến ngẫu nhiên.
Giả thuyết đưa ra gọi là biến ngẫu nhiên gốc ký hiệu là 
0
.
Khi đưa ra một giả thuyết gốc, người ta còn nghiên cứu một
mệnh đề mâu thuẫn với nó gọi là giả thuyết đối (hay đối thuyết)
và ký hiệu là 
1
để khi 
0
bị bác bỏ thì thừa nhận 
1
. Cặp 
0
và

1
gọi là cặp giả thuyết thống kê.

Ví dụ Khi nghiên cứu nhu cầu thị trường về một loại hàng hóa
nào đó. Ta có thể đưa ra các cặp giả thuyết thống kê như sau:
 
0
: Nhu cầu X của thị trường tuân theo quy luật phân phối
chuẩn

1
: Nhu cầu X của thị trường không tuân theo quy luật phân
phối chuẩn
 
0
: Nhu cầu trung bình của thị trường về loại hàng hóa này
là ơn vị /tháng

1
: ơn vị /tháng, 
1
: ơn vị /tháng hoặc

1
: ơn vị /tháng
 
0
: Nhu cầu X của thị trường và thu nhập Y của khách hàng
độc lập nhau

1
: Nhu cầu X của thị trường và thu nhập Y của khách hàng
phụ thuộc nhau

1.1 GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
Vì các giả thuyết thống kê có thể đúng hoặc sai nên cần kiểm
định, tức là tìm ra kết luận về tính thừa nhận được hay không thừa
nhận được của giả thuyết đó. Việc kiểm định này gọi là kiểm định
thống kê vì nó dựa vào thông tin thực nghiệm của mẫu để kết
luận.
1.1 GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
b, Phương pháp chung
Trước hết, giả sử 
0
đúng và từ đó dựa vào thông tin mẫu
rút ra từ tổng thể tìm được một biến cố A nào đó sao cho xác suất
xảy ra của A bằng  bé đến mức có thể coi A không xảy ra trong
một phép thử.
Lúc đó trên một mẫu cụ thể thực hiện phép thử với biến cố
A, nếu A xảy ra thì chứng tỏ 
0
sai và bác bỏ nó, còn nếu A không
xảy ra thì chưa có cơ sở để bác bỏ 
0
.
1.1 GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
1.2 TIÊU CHUẨN KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
Cho  là tham số của X, ta cần kiểm định 
0
: =
0

Từ biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích
thước n

 = (
1
,
2
, ,

)
Và chọn lập thống kê:
 =(
1
,
2
, ,

,
0
)
Với 
0
là tham số liên quan đến giả thuyết cần kiểm định. Điều kiện
đặt ra đối với G là nếu 
0
đúng thì quy luật phân phối xác suất của
G hoàn toàn xác định. Thống kê G gọi là tiêu chuẩn kiểm định.
1.3 MIỀN BÁC BỎ GIẢ THUYẾT.
Do đã xác định được quy luật phân phối xác suất của G nên
với một xác suất khá bé  cho trước có thể tìm được miền 


tương ứng sao cho với điều kiện giả thuyết 

0
đúng thì xác
suất G nhận giá trị tại miền 

bằng . Điều kiện này được
viết như sau:
(

/
0
) =
1.3 MIỀN BÁC BỎ GIẢ THUYẾT.
Biến cố (

) đóng vai trò như biến cố A nói trên và vì  khá
bé nên có thể coi như không xảy ra trong một phép thử. Giá trị 
gọi là mức ý nghĩa của kiểm định và miền 

gọi là miền bác bỏ
giả thuyết 
0
. Các giá trị còn lại của G thuộc miền 


gọi là miền
không bác bỏ giả thuyết hay đôi khi còn gọi là miền thừa nhận
giả thuyết. Điểm giới hạn phân chia giữa miền bác bỏ và miền
thừa nhận gọi là giá trị tới hạn.

1.4 GIÁ TRỊ QUAN SÁT CỦA TIÊU CHUẨN KIỂM

ĐỊNH
Th ực hiện một phép thử với mẫu ngẫu nhiên ta được mẫu cụ thể
 = (
1
,
2
, ,

) và qua đó tính được giá trị cụ thể của tiêu
chuẩn kiểm định G


=(
1
,
2
, ,

,
0
)
Giá trị này gọi là giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định.
1.5 QUY TẮC KIỂM ĐỊNH THỐNG KÊ
Sau khi đã tính được giá trị 

, ta so sánh giá trị này với miền
bác bỏ 

và kết luận theo quy tắc:
1. Nếu 




thì kết luận 
0
sai, do đó bác bỏ 
0
và
thừa nhận 
1
.
2. Nếu 



thì kết luận chưa có cơ sở bác bỏ 
0
(thực
tế là thừa nhận 
0
).
1.6 SAI LẦM LOẠI MỘT VÀ SAI LẦM LOẠI HAI.
Sai lầm loại 1: Bác bỏ 
0
trong khi 
0
đúng.
Ta thấy nếu 
0
đúng thì (


) = nhưng khi 

thì
lập tức bác bỏ 
0
. Như vậy ta có thể mắc phải sai lầm loại 1
với xác suất bằng .
Sai lầm loại 2: Thừa nhận 
0
trong khi 
0
sai hay 




trong khi 
1
đúng.
Giả sử xác suất mắc sai lầm loại 2 là . (

/
1
) =
1.6 SAI LẦM LOẠI MỘT VÀ SAI LẦM LOẠI HAI.
Suy ra:
(

/

1
) = 1
1-ọi là lực kiểm định. Quan hệ giữa kiểm định giả thuyết và các
loại sai lầm cho trong bảng:
Tình huống
Quyết định

0
đúng 
0
sai
Bác bỏ 
0

Sai lầm loại 1
xác suất bằng 
Quyết định đúng
xác suất bằng 1-

Không bác bỏ

0

Quyết định
đúng xác suất
bằng 1- 
Sai lầm loại 2 xác
suất bằng 

1.6 SAI LẦM LOẠI MỘT VÀ SAI LẦM LOẠI HAI.

Ta thấy sai lầm loại một và sai lầm loại hai mâu thuẫn nhau, tức ta
cùng một kích thước mẫu n thì không thể cùng giảm cả hai loại
sai lầm. Do vậy trong thực tế thì với  cho trước người tasex tìm
miền 

sao cho  là nhỏ nhất.
2. KIỂM ĐỊNH THAM SỐ
2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN
CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT
PHÂN PHỐI CHUẨN.
Giả sử biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể phân phối chuẩn
~(,
2
) nhưng chưa biết . Nếu có cơ sở để giả thuyết rằng
giá trị của nó bằng 
0
ta đưa ra giả thuyết thống kê 
0
:  =
0
. Để
kiểm định giả thuyết trên, từ tổng thể ta lập mẫu:
 = (
1
,
2
, ,

)
Để chọn thống kê G ta xét hai trường hợp.

2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN
CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT
PHÂN PHỐI CHUẨN.
a, Đã biết phương sai 
2
.
Chọn
 =



0



Giả sử nếu 
0
đúng tức là  =
0
thì
 = =





 ~ (0,1)
(

/

0
) =
Để tìm miền bác bỏ 

ta xét các trường hợp.
2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN
CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT
PHÂN PHỐI CHUẨN.
Trường hơp 1: 
0
: =
0
;
1
: >
0

Với  cho trước có thể tìm được cặp giá trị 
1
,
2
sao cho

1
+
2
= và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 
1
1
,


2
thoả
mãn:


 <
1
1

=
1



 >

2

=
2

Do 

tức là thừa nhận 
1
hay  >
0
nên  =




0


 =

0


 > 0, và 
1
nhỏ nên
2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN
CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT
PHÂN PHỐI CHUẨN.

1
1
=

1
< 0 , do vậy trường hợp 

 <
1
1

= 0 suy ra


2
=. Vậy
(

/
0
) =

 >


=
Ta thu được miền bác bỏ bên phải là:


= =



0


: >

 = (

; +)
2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN
CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT
PHÂN PHỐI CHUẨN.

Trường hơp 2: 
0
: =
0
;
1
: <
0

Với  cho trước có thể tìm được cặp giá trị 
1
, 
2
sao cho

1
+
2
= và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 
1
1
,

2
thoả
mãn:


 <
1

1

=
1



 >

2

=
2

Do 

tức là thừa nhận 
1
hay  <
0
nên  =



0


 =

0



 < 0, và 
2
nhỏ nên 

2
> 0 , do vậy trường hợp


 >

2

= 0 suy ra 
1
=. Vậy
2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN
CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT
PHÂN PHỐI CHUẨN.
(

/
0
) =

 <
1

=


 <


=
Ta thu được miền bác bỏ bên trái là:


= =



0


: <

 = (;

)
2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN
CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT
PHÂN PHỐI CHUẨN.
Trường hơp 3: 
0
: =
0
;
1
:

0

Với  cho trước có thể tìm được cặp giá trị 
1
,
2
sao cho

1
+
2
= và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 
1
1
,

2
thoả
mãn:


 <
1
1

=
1




 >

2

=
2

2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN
CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT
PHÂN PHỐI CHUẨN.
Lấy 
1
=
2
=

2
nên 
1
1
=
/2
,

2
=
/2
. Vậy
(


/
0
) =




>
/2

=
Ta có miền bác bỏ hai phía:


= =



0


:



>
/2
 = (;
/2
) (

/2
; +)
2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT VỀ KỲ VỌNG TOÁN
CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬT
PHÂN PHỐI CHUẨN.
Từ một mẫu cụ thể  = (
1
,
2
, ,

) ta tính giá trị quan sát của
tiêu chuẩn kiểm định:


=

0



Và so sánh 

với 

để đưa ra kết luận:
- Nếu 




thì bác bỏ 
0
thừa nhận 
1
.
Nếu 



thì chưa có cơ sở bác bỏ 
0
.