Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ sai phân ngẫu nhiên

.

1


.

2


MỤC LỤC
4

Lời nói đầu
Chương 1: Tính ổn định của các hệ rời rạc có trễ

6

1.1 Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Cơ sở lý thuyết ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Bài toán ổn định hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chương 2: Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính
ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ sai phân ngẫu
16

nhiên

2.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Một số cách tiếp cận để nghiên cứu tính ổn định tuyến tính . . . . . 18
2.4. Hàm Lyapunov cho phương trình sai phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . 20

Kết luận

32

Tài liệu tham khảo

33

3


LỜI NĨI ĐẦU
Trong thực tiễn nhiều bài tốn đề cập đến các vấn đề kĩ thuật, kinh tế,
sinh thái, môi trường,.. thường liên quan đến các hệ động lực mô tả bởi các
phương trình tốn học với thời gian liên tục hay rời rạc dạng sau
dx(t)
= f (t, x(t), u(t)),
dt
x(k + 1) = f (k, x(t), u(t)),

t≥0
k = 0, 1, 2...

Trong đó x(.) là biến trạng thái mơ tả đối tượng đầu ra và u(.) là biến
điều khiển mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống.
Ta hiểu một hệ thống điều khiển là một mơ hình tốn học được mơ tả bởi
phương trình tốn học biểu thị sự liên hệ vào ra. Một trong những mục đích
chính của bài tốn điều khiển hệ thống là tìm điều khiển "đầu vào" sao cho
hệ thống "đầu ra" có những tính chất mà ta mong muốn.Ổn định là một
trong những tính chất quan trọng của lí thuyết định tính các hệ động lực và

có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học kỉ thuật. Chính vì vậy tơi
lựa chọn đề tài nghiên cứu ”Phương pháp hai giai đoạn để nghiên
cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ sai
phân ngẫu nhiên.”
Nội dung luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Tính ổn định của các hệ rời rạc có trễ
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định và
một số kết quả nghiên cứu tính ổn định, ổn định hố của các hệ sai phân. Nội
dung của chương này trình bày theo báo cáo toàn văn hội thảo ITMath’06.
Chương 2. Phương pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn
định tiệm cận bình phương trung bình của hệ sai phân ngẫu
nhiên
4


Là nội dung chính của luận văn. Trong chương này, tơi trình bày phương
pháp hai giai đoạn để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận bình phương trung
bình của hệ sai phân ngẫu nhiên. Cơ sở để xây dựng phương pháp hai giai
đoạn là định lý ”kiểu Liapunov” cho phương trình sai phân ngẫu nhiên (Định
lý 2. 4.1) sẽ được phát biểu và chứng minh đầy đủ.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
khoa học của thầy giáo PGS.TS. Phan Đức Thành. Tác giả bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc nhất tới thầy. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành
tới các Thầy, Cô giáo trong tổ Xác Suất của Khoa Tốn - Trường Đại học
Vinh đã tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến quý Thầy, Cô giáo khoa
Sau đại học - Trường Đại học Vinh, Ban lãnh đạo trường Đại Vinh, các bạn
bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên và
giúp đỡ tác giả để tác giả hồn thành khóa học và thực hiện được luận văn

này.
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về mặt năng
lực, kiến thức và thời gian nên luận văn không thể tránh khỏi các thiếu sót.
Rất mong nhận được các ý kiến đóng góp q báu để luận văn được hồn
thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả

5


CHƯƠNG 1

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ RỜI RẠC CĨ TRỄ
1.1 Phương trình sai phân

Xét hệ phương trình
x(k + 1) = f (k, x(k)), k = 0, 1, 2...

(1)

trong đó f (.) : Z+ × Rn → Rn cho trước . Khi đó với trạng thái ban đầu
x(0) = x0 hệ luôn xác định bởi hệ thức truy hồi
x(1) = f (0, x0 ), x(2) = f (1, f (0, x(0)), ...

Trường hợp hệ (1) là tuyến tính dạng
x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k), k ∈ Z+

(2)

thì với điều kiện ban đầu x(0) = x0 tuỳ ý và dãy
g = {g(0), g(1), ...g(k − 1), ...}

nghiệm x(k) tại bước k > 0 cho bởi công thức Cauchy
k−1

x(k) = F (k, 0)x0 +

F (k, s + 1)g(s)
s=0

trong đó F (k, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất
x(k + 1) = A(k)x(k), k ∈ Z+ .

Ta có thể biễu diễn cơng thức của F (k, s) như sau,
F (k, s) = A(k − 1).A(k − 2)...A(s) , k ≥ s ≥ 0, F (k, k) = I.

6


Nếu A(.) là ma trận hằng số thì F (k, s) = Ak−s , k ≥ s ≥ 0 và khi đó
nghiệm của hệ tuyến tính dừng với thời gian rời rạc là
k−1
k

Ak−s−1 g(s).

x(k) = A x0 +
s=0

Khi nghiên cứu tính ổn định và ổn định hố được của hệ phương trình rời
rạc ta cần sử dụng bất đẳng thức sau.
Định lý 1. Với mọi ma trận P − (n × n) chiều, M − (m × m) chiều
ta đều có
P M
M −Q

< 0 ⇔ P + M Q−1 M < 0.

Trong đó Q là ma trận đối xứng xác định dương m × n chiều.
1.2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV

1.2.1 Định nghĩa 1. Xét hệ (1) ở trên ta có định nghĩa.
Hệ (1) gọi là ổn định nếu với mỗi ε > 0, k0 ∈ Z+ tồn tại δ > 0 ( δ
phụ thuộc ε , k0 ) sao cho mọi nghiệm x(k) của hệ mà ||x(0)|| < δ thì
||x(k)|| < ε với mọi k ≥ k0 . Hệ là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định

và có một số δ > 0 sao cho limk→∞ x(k) = 0 với mọi nghiệm x(k) mà
x(0) < δ .

1.2.2 Sự ổn định của hệ rời rạc tuyến tính
Xét hệ rời rạc tuyến tính
x(k + 1) = Ax(k), k ∈ Z+ .

(3)

Với x(0) = x0 thì nghiệm của (3) cho bởi
x(k) = Ak x0 .

Để x(k) → 0 khi k → ∞ theo định nghĩa ổn định tiêm cận thì hoặc
A = q < 1 hoặc, Ak → 0(k → ∞), do đó ta có định lí sau.
7


Định lý 2. Hệ (3) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi một trong hai
điều kiện sau xẩy ra
i) Tồn tại một số q : 0 < q < 1 sao cho A = q < 1.
ii) |λ| < 1 với mọi λ ∈ δ(A).

Bây giờ ta xét hệ tuyến tính khơng dừng
x(k + 1) = A(k)x(k), k ∈ Z+

(4)

Định lý 3. Ta có khẳng định sau đối với hệ (4)
i) Nếu tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho A(k) ≤ q với mọi k ∈ Z+ thì

hệ ổn định tiệm cận.
ii) Nếu A(k) = A + C(k) trong đó A là ma trận ổn định và
C(k) ≤ a, thì hệ sẽ ổn định với a đủ nhỏ.

Ví du 1.
Xét hệ phương trình

 xk+1 =

1
x
2(k+1) k

y
k+1 =

−1
y
2(k+1) k

+

1
y
4(k+1) k

trong đó
A(k) =

Dễ thấy A(k) =

3
4(k+1)

1
2(k+1)

0
≤

3
4

1
4(k+1)
1
− 2(k+1)

, k ∈ Z+ .

= q < 1 nên hệ ổn định tiệm cận.

1.2.3 Sự ổn định của hệ rời rạc phi tuyến
Xét hệ rời rạc phi tuyến.
x(k + 1) = f (k, x(k)), k ∈ Z+ .

Khi vế phải có dạng khá đặc biệt ta có định lý sau.

8

(5)


Định lý 4. Với f (k, x) = A(k)x + g(k, x), và giả sử
i) Tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho A(k) ≤ q, ∀k ∈ Z+ .
ii) g(k, x) ≤ L(k) x , ∀k ∈ Z+ với limk→∞ sup L(k) = 0.

Khi đó hệ (5) là ổn định tiệm cận.
Định lý dưới đây là một áp dụng phương pháp thứ hai của Lyapunov cho
hệ rời rạc.
Định lý 5(Lyapunov). Nếu tồn tại hàm số V (x) : Rn → R thỏa
mãn:

i) ∃λ1 > 0, λ2 > 0 : λ1 x
ii) ∃λ3 > 0 :

2

≤ V (x) ≤ λ2 x

2

.

V (x) = V (x(k + 1) − V (x(k)) ≤ −λ3 x(k)

2

.

Khi đó hệ (5) là ổn định tiệm cận. Nếu vi phạm một trong hai điều
kiện trên thì hệ (5) là khơng ổn định.
Đối với hệ tuyến tính dừng ta có hệ quả sau.
Hệ quả 1. Xét hệ phương trình
x(k + 1) = Ax(k), k ∈ Z+ .

Nếu tồn tại hai ma trận đối xứng xác định dương P, Q sao cho
A PA − P + Q = 0

thì hệ trên ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2. Xét hệ phương trình

 xk+1 = − 21 xk + 81 yk

k ∈ Z+

y
1
1
k+1 = 2 xk − 4 yk .
Trong đó

A=

− 12
1
2
9

1
8

− 14





4 0
0 6

lấy ma trận P =


A PA = 

3
− 54

rõ ràng P > 0
− 45
9
16





,Q = P − A PA = 

1
5
4

5
4
119
16


 > 0.

Do đó hệ trên ổn định tiệm cận.
1.2.4 Sự ổn định của hệ tuyến tính có trễ

Xét hệ rời rạc có trễ
x(k + 1) = Ax(k) + Bx(k − h), k ∈ Z+

(6)

Trong đó x(.) ∈ Rn A, B , là các ma trận hằng, h ≥ 0 cho trước. Điều
kiện ban đầu của hệ có dạng
x(0) = x(−1) = ... = x(−h) = x0

Như vậy với mỗi x0 cho trước hệ ln có nghiệm xác định, nghiệm ở bước
thứ k được truy hồi từ k − h bước trước đó .
Định nghĩa 2. Hệ (6) gọi là ổn định tiệm cận vững nếu với bất kì
h ≥ 0 nào thì hệ cũng ổn định tiệm cận.

Định lý dưới đây cho ta điều kiện đủ để (6) là ổn định tiệm cận.
Định lý 6. Nếu một trong hai điều kiện sau xẩy ra
i) Tồn tại một bộ hai ma trận đối xứng xác đinh dương P , W

sao cho


X(P ) B P A

A=


 < 0,

A PB

(7)

−W

trong đó X(P ) = A P A + W + B P B − P và A là ma trận chuyển vị
của A.
10


ii) Tồn tại một bộ hai ma trận đối xứng xác định dương Π, Z sao

cho


X(Π) A ΠB

A=


<0

(8)

−Z

B ΠA

trong đó X(Π) = B ΠB + Z + A ΠA − Π.
Thì hệ (6) ổn định tiệm cận.
Ví dụ 3. Xét hệ phương trình


 xk+1 = − 14 xk + 14 xk−h + 41 yk−h
y
1
1
1
k+1 = 4 xk + 4 yk + 4 yk−h
Trong đó

A=



− 41 0
1
4

,

1
4

B=

,

Q=

1
4

1
4

1 0
0 4




2 1
1 6
1 1
1 2

rõ ràng P , Q xác định dương và B P B =
Khi đó W = Q − B P B =

1
4

0

16 0
0 16

P =



,

.

>0

nên tìm được
1
2

1 0

M =W =

,

N = −W

−1
2

1
B PA =

0 2
−11

Ta có N N + A P A + Q − P =

2
− 35

4

0

0 − 41
< 0.

2
Vậy tồn tại các ma trận P, W thõa mãn định lý nên hệ phương trình trên

là ổn định tiệm cận .
Hệ qủa 2. Nếu một trong hai điều kiện sau được xẩy ra:
11


i) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P, R, Λ, Ω, nghiệm

đúng hệ

 A Λ−1 A + Ω + R = P
 BΩ−1 B + Λ = P −1
ii) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Π, S, Γ, Σ nghiệm

đúng hệ

 B Σ−1 B + Γ + S = Π
 AΓ−1 A + Σ = Π−1
Thì hệ (6) ổn định tiệm cận.
Hệ quả 3. Nếu A hoặc B không suy biến và tồn tại hai số dương
p, q sao cho :

1 1
+ =1
p q
và các ma trận đối xứng xác định dương X, Q thõa mãn phương trình

Lyapunov tổng quát,
pA XA + qB XB + Q = X

Thì hệ (6) ổn định tiệm cận.
Hệ quả 4. Hệ (6) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại số α dương sao
cho
A A + αI < α[BB + αI]−1

1.3 BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HOÁ

1.3.1 Định nghĩa tính ổn định hố
Xét hệ điều khiển rời rạc
x(k + 1) = f (k, x(k), u(k)), k ∈ Z+
x(k) ∈

Rn , u(k)

∈

Rm
12

(9)

Định nghĩa 3. Hệ (9) là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm u(k) =
h(x(k)) : Rn → Rm sao cho với hàm điều khiển này hệ phương trình vi

phân
x(k + 1) = f (k, x(k), h(k)), k ∈ Z+

là ổn định tiệm cận. Hàm h(k) thường được gọi là hàm điều khiển ngược.
1.3.2. Sự ổn định hóa của hệ tuyến tính
Xét hệ phương trình
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)), k ∈ Z+

(10)

trong đóA, B là các ma trận hằng cấp (n × n) và (n × m) tương ứng.
Định lý 7. Hệ là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đối xứng xác
định dương P sao cho


X(P ) B P A

<0
A PB B PB

(11)

Trong đó X(P ) = A P A − P ,và u(k) = −(B P B)−1 B P Ax(k) là hàm
điều khiển ngược.
Ví dụ 4. Xét hệ phương trình

 x1 (k + 1) = 21 x1 (k) + 12 x2 (k) + u1 (k) + u2 (k), k ∈ Z+

 x (k + 1) = 1 x (k) + u (k)
2
2
4 2
Trong đó

A=

1
2

1
2

0

1
4



1 1

,

B=
0 1

Dễ thấy B khả nghịch. Lấy P = Q = I khi đó với điều khiển ngược
u(k) = Kx(k) ở đó

13



K = −B −1 A = 

− 12

− 41

0

− 14


 < 0 thì hệ trên ổn định hóa được.

1.3.3. Sự ổn định hóa của hệ có trễ
Trong mục này, chúng ta xét hệ phương trình
x(k + 1) = Ax(k) + Bx(k − h) + Cu(k), k ∈ Z+

(12)

với điều kiện ban đầu của hệ là
x(0) = x(−1) = ... = x(−h) = x0

trong đó A, B là các ma trận (n × n) chiều, C là ma trận (n × m) chiều,
x(.) ∈ Rn , u(.) ∈ Rm (m ≤ n ) là biến điều khiển.

Bây giờ ta phải tìm một hàm điều khiển ngược u(k) = h(x(k)) sao cho

khi thay vào (12) thì hệ ổn định tiệm cận. Nói một cách chính xác ta có định
nghĩa.
Định nghĩa 4. Hệ (12) là ổn định hóa được (khơng phụ thuộc độ
chậm) nếu tồn tại hàm u(k) = Kx(k) với K là ma trận (m × n) chiều
sao cho hệ
x(k + 1) = (A + CK)x(k) + Bx(k − h), k ∈ Z+

là ổn định tiệm cận không phụ thuộc độ trễ.
1.3.4. Sự ổn định của hệ có trễ với nhiễu phi tuyến.
Khi nghiên cứu hệ phương trình
x(k + 1) = Ax(k) + Bx(k − h).

Một câu hỏi được đặt ra là nếu cho phương trình chịu sự tác động một
nhiễu phi tuyến nhỏ thì tính ổn định có cịn khơng. Có nhiều cách tiếp cận
14


khác nhau đối với việc nghiên cứu tính ổn định của hệ có nhiễu phi tuyến,
dưới đây ta có định lý sau để hệ
x(k + 1) = Ax(k) + Bx(k − h) + f (x(k), x(k − h))

(13)

với điều kiện ban đầu
x(0) = x(−1) = ... = x(−h) = x0

trong đó hàm số f (x(k), x(k − h)) thõa mãn điều kiện tăng trưởng
f (x, y) ≤ m x + n y

(14)

là ổn định tiệm cận.
Định lý 8. Xét hệ phương trình (13) giả sử f (.) thõa mãn điều kiện
(14) với m, n đủ bé, hệ là ổn định tiệm cận nếu tồn tại ma trận đối xứng

xác định dương P sao cho

A PA − P + B PB + I

B PA

15

A PB


 < 0.

−I


CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP HAI GIAI ĐOẠN ĐỂ NGHIÊN
CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN BÌNH PHƯƠNG
TRUNG BÌNH CỦA HỆ SAI PHÂN NGẪU NHIÊN.
2.1 MỞ ĐẦU

Cho hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên
dX(t) = f (t, X(t)dt+G(t, X(t))dW (t), t ∈ T, X(t) = X0 ,

(1.1)

với T = [t0 , ∞), f : T × Rn → Rn , G : T × Rn → Rn×m .
Trong đó W (t) là quá trình Wiener m - chiều trên khơng gian xác suất
(Ω, F, P ) với bộ lọc (Ft ) . Giá trị đầu X0 là biến ngẫu nhiên Ft0 −đo được,

độc lập với quá trình Wiener và các moment bậc hai hữu hạn.
Giả thiết rằng tồn tại một nghiệm duy nhất X = {X(t), t ∈ T } của (1.1)
và để chứng tỏ sự phụ thuộc của nghiệm này vào điều kiện ban đầu ta viết
X ≡ X(t; t0 , X0 ).

Ta có hệ phương trình rời rạc với h giai đoạn cho (1.1) có dạng
α2 Xi+1 +α1 Xi + α0 Xi−1
= h β2 f (ti+1 , Xi+1 ) + β1 f (ti , Xi ) + β0 f (ti−1 , Xi−1 )
+ γ1 G(ti , Xi )∆Wi + γ0 G(ti−1 , Xi−1 )∆Wi−1 ,

(1.2)

với i = 1, 2, ..., ti = i.h, i = 0, 1, ..., ∆Wi = W (ti+1 ) − W (ti ).
Từ (1.1) nếu có λX(t) = f (t, X(t)) và µX(t) = G(t, X(t) ta có dạng
tuyến tính của (1.1),
dX(t) = λX(t)dt + µX(t)dW (t), t ≥ 0, X(0) = X0, λ, µ, X0 ∈ C (1.3)
16


Từ (1.2) và (1.3) với i ≥ 1, α2 = 1 ta có,
Xi+1 + α1 Xi + α0 Xi−1 = h β2 λXi+1 + β1 λXi + β0 λXi−1
+ γ1 µXi ∆Wi + γ0 µXi−1 ∆Wi−1 .

(1.4)

2.2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Bây giờ ta sẽ ta sé xét tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của
(1.1), với nhiễu D0 và dữ liệu ban đầu X0 , kí hiệu X D0 (t) = X(t; t0 , X0 +
D0 ).

Định nghĩa 1.
Các nghiệm X của (1.1) được gọi là:
i) ổn định bình phương trung bình nếu mỗi ε > 0 tồn tại số δ ≥ 0

để nghiệm X D0 (t) xác định với ∀t ≥ t0 và
E|X D0 (t) − X(t)|2 < ε, ∀t ≥ t0 và E|D0 |2 < δ,
ii) ổn định tiệm cận bình phương trung bình nếu nó ổn định bình

phương trung bình và nếu tồn tại δ ≥ 0 để mà khi E|D0 |2 < δ ta có
E|X D0 (t) − X(t)|2 → 0 với t → ∞.
Với λ, µ ∈ C nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1.3) là
1

2

X(t) = X0 e(λ− 2 |µ|

)t+µW (t)

.

(2.1)

Định lý 1.
Nghiệm khơng của hệ phương trình (1.3) là ổn định tiệm cận bình
phương trung bình nếu
1
Re(λ) < − |µ|2 .
2

(2.2)
17


Bây giờ ta xây dựng định nghĩa tương tự cho hệ phương trình rời rạc
(1.2) với nghiệm {Xi }∞
i=0 .
D0 ,D1 ∞
∞
Ta kí hiệu {Xi }∞
}i=0 = {Xi (X0 +
i=0 = {Xi (X0 , X1 )}i=0 và {Xi

D0 , X1 + D1 )∞
i=0 } là một nghiệm của (1.2) khi giá trị ban đầu bị nhiễu.

Định nghĩa 2. Nghiệm {Xi }∞
i=0 của (1.2) được gọi là
i) ổn định bình phương trung bình nếu với mỗi ε > 0 tồn tại giá

trị δ > 0 sao cho nếu E(|D0 |2 + |D1 |2 ) < δ thì
E|XiD0 ,D1 − Xi |2 < ε, i = 1, 2, 3, ...

ii) ổn định tiệm cận bình phương trung bình nếu nó ổn định

bình phương trung bình và nếu tồn tại một giá trị δ > 0 sao cho, nếu
E(|D0 |2 + |D1 |2 ) < δ thì
E|XiD0 ,D1 − Xi |2 → 0, khi i → ∞.
Từ phương trình (1.4) với γ1 = 1, γ0 = 1 + α1 phương trình (1.4) có dạng
Xi+1 = (aXi + cXi−1 ) + (bXi ξi + dXi−1 ξi−1 ),

(2.3)

trong đó
a=

−α1 + λhβ1
,
1 − λhβ2
1

µh 2
b=
,
1 − λhβ2

c=

−α0 + λhβ0
1 − λhβ2
1

µh 2 (1 + α1 )

d=
.
1 − λhβ2

1

(2.4)
(2.5)

1

ξi−1 = h 2 ∆Wi−1 , và ξi = h− 2 ∆Wi có phân phối N (0, 1).
2.3 MỘT SỐ CÁCH TIẾP CẬN ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN
ĐỊNH TUYẾN TÍNH

2.3.1 Cách tiếp cận cho hệ phương trình tuyến tính ngẫu
nhiên một giai đoạn
18


√
Xét hệ phương trình Xi+1 = Xi + θhλXi+1 + (1 − θ)hλXi + hXi ξi trong

đó θ ∈ [0, 1] là một tham số ổn định, viết lại hệ phương trình này dưới dạng
truy hồi một giai đoạn
Xi+1 = (˜
a + ˜bξi )Xi .

(3.1)

Trong đó
1

1 + (1 − θ)λh
a
˜=
1 − θλh

2
˜b = µh .
1 − θλh

Phép bình phương hai vế của (3.1) và lấy kì vọng ta được
E|Xi+1 |2 = (|˜a|2 + |˜b|2 )E|Xi |2 .
Lấy bình phương hai vế (2.3) ta được
|Xi+1 |2 = |a + bξi |2 |Xi |2 + |c + dξi−1 |2 |Xi−1 |2
+ 2R (a + bξi )Xi (c + dξi−1 )Xi−1

(3.2)

Từ (3.2) ta thấy rằng khơng trực tiếp tìm được điều kiện để nghiệm khơng
ổn định tiệm cận bình phương trung bình như đối với hệ phương trình (3.1).
2.3.2. Cách tiếp cận đối với hệ phương trình hai bước tất
định
Khi (1.2) được viết cho hệ phương trình sai phân tất định thơng thường,
chúng được rút gọn để làm nổi bật phần tất định tuyến tính hai bước. Với
µ = 0 ta nhận được phương trình (2.3) với b = d = 0.
Xi+1 = aXi + cXi−1 .

(3.3)

Với hệ số a và c từ (2.4).
Ta viết lại (3.3) dưới dạng
Xi+1
Xi

=A

Xi
Xi−1

, i = 1, 2, 3..., trong đó A :=
19

a c
1 0

(3.5)


Chúng ta quan sát giá trị riêng của ma trận A, chúng là các nghiệm của
đa thức đặc trưng ψ(ζ) = ζ 2 − aζ 2 − c. Tất cả các nghiệm của hệ phương
trình sai phân (3.3) dần tới 0 khi i → ∞ nếu và chỉ nếu nghiệm của đa thức
đặc trưng nằm ở phần trong của đường tròn đơn vị của mặt phẳng. Viết
(2.3) tương tự như (3.3).
Xi+1 = (a + bξi )Xi + (c + dξi−1 )Xi−1 , i = 1, 2, 3, ...

Từ hệ phương trình này thấy rằng hệ số của hệ phương trình sai phân
phụ thuộc vào giá trị ngẫu nhiên ξi , ξi−1 và phép biến đổi bước này sang
bước kia. Một mặt khó khăn khi nghiên cứu tính ổn định là sự phụ thuộc

của giá trị ngẫu nhiên và ma trận
n

ai ci
1 0

n = 1, 2, 3, ...

i=1

Một trong những cách khắc phục khó khăn đó là sử dụng cách tiếp cận sau
nhờ định lý kiểu Lyapunov áp dụng cho phương pháp nhiều bước để kiểm
tra tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ phân ngẫu nhiên.
2.4. HÀM LYAPUNOV CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
NGẪU NHIÊN

Định lý sau đây cho ta một cách tiếp cận để nghiên cứu tính ổn định của
hệ phương trình sai phân nhờ phương pháp nhiều giai đoạn.
2.4.1 Định lý 2
Giả sử Xi = Xi (X0 , X1 ) là một nghiệm của (2.3). Nếu tồn tại một
hàm V (i, Xi−1 , Xi ) nhận giá trị dương và các số dương c1 và c2 , sao cho
EV (1, X0 , X1 ) ≤ c1 max(E|X0 |2 , E|X1 |2 )
E V (i + 1, Xi , Xi+1 ) − V (i, Xi−1 , Xi ) ≤ −c2 E|Xi |2 ,
20

(4.1)
(4.2)


cho tất cả i ∈ N, i ≥ 1, khi đó nghiệm khơng của (2.3) ổn định tiệm cận

bình phương trung bình. Tức là:
lim E|Xi |2 = 0.

(4.3)

i→∞

Chứng minh. Từ điều kiện (4.2) chúng ta đạt được
E V (i + 1, Xi , Xi+1 )−V (1, X0 , X1 )
i

E V (j + 1, Xj , Xj+1 − V (j, Xj−1 , Xj )

=
j=1

i

E|Xj |2 .

≤ −c2
j=1
i

E|Xj |2 ≤

⇒
j=1

1

EV (1, X0 , X1 ) − EV (i + 1, Xi , Xi+1 ) .
c2

Từ (4.1) cho ta
i

E|Xj |2 ≤
j=1

và E|Xi |2 ≤

1
c1
EV (1, X0 , X1 ) ≤ max(E|X0 |2 , E|X1 |2 )
c2
c2
c1
c2

max E|X0 |2 , E|X1 |2 .

(4.4)

Bây giờ với mỗi δ1 > 0 tồn tại δ = δ1 . cc21 , sao cho E|Xi |2 ≤ δ1 nếu
max(E|X0 |2 , E|X1 |2 ) < δ. Từ(4.4) kéo theo

∞
2
j=1 E|Xj |

≤ ∞.

Từ đó limi→∞ E|Xj |2 = 0. Suy ra nghiệm khơng của (2.3) ổn định tiệm
cận bình phương trung bình và định lý đã được chứng minh.
Chú ý : Định lý (2.4.1) có thể áp dụng cho hàm Lyapunov V với sự phụ
thuộc vào biến ngẫu nhiên V (i, Xi−1 , Xi , ξi−1 ξi ) .Phép chứng minh tương
tự.
2.4.2. Giải hệ phương trình sai phân nhờ phương pháp một
giai đoạn.
21


Phương pháp này xây dựng hàm Lyupunov V bao gồm tổng hai hàm V˜
và Vˆ , chúng ta bắt đầu với V˜ và phải tìm hàm Vˆ cho phù hợp với định lý.
2.4.2.1 Giả thiết V˜ (i, Xi−1 , Xi ) = |Xi |2 .
Chúng ta bắt đầu với giả thiết đầu tiên
V˜ (i, Xi−1 , Xi ) := |Xi |2 i = 1, 2, 3...

(4.5)

Nó là hàm lyapunov cho phương trình tất định đơn giản
˜ i+1 := aX
˜i , X˜0 = X0
X

(4.6)

hoặc cho phương trình ngẫu nhiên
˜ i+1 := (a + bξi )X
˜i , X˜0 = X0 .

X

(4.7)

Giả thiết đầu tiên V˜ thõa mãn điều kiện (4.1) của định lý cho (4.6) hoặc
(4.7) nếu |a| < 1 hoặc |a|2 + |b|2 < 1. Bây giờ chúng ta áp dụng hàm số V˜
cho (2.3) và kiểm tra điều kiện (4.2). Chúng ta tính tốn cho i = 1, 2, 3...
E∆V˜i = E V˜ (i + 1, Xi , Xi+1 ) − V˜ (i, Xi−1 , Xi )
= E |Xi+1 |2 − |Xi |2
= E |aXi + cXi−1 + bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2 − |Xi |2
= E|aXi + cXi−1 + bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2 − E|Xi |2
= E|aXi + cXi−1 |2 + E|bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2
+ 2R E (aX + cXi−1 )(Xi ξi + dXi−1 ξi−1 )
Q1 := E|aXi + cXi−1 |2

− E|Xi |2 .

Q2 := E|bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2

Q3 := 2R E (aX + cXi−1 )(Xi ξi + dXi−1 ξi−1 )] .

Vậy
E∆V˜i = Q1 + Q2 + Q3 − E|Xi |2 .
22


Ước lượng các số hạng ta thu được:
Q1 := E|aXi + cXi−1 |2 = E |a|2 |Xi |2 + |c|2 |Xi−1 |2 + 2R{aXi−1 cXi }
≤ E |a|2 |Xi |2 + |c|2 |Xi−1 |2 + 2|aXi−1 cXi |
≤ E |a|2 |Xi |2 + |c|2 |Xi−1 |2 + |a||c|(|Xi |2 + |Xi−1 |2 )

= (|a| + ||c) |a|E|Xi |2 + |c|E|Xi−1 |2 .
Q2 := E|bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2 = E |b|2 |Xi |2 ξi2 + |d|2 |Xi−1 |2 ξi2
= |b|2 E|Xi |2 + |d|2 E|Xi−1 |2 .
Q3 := 2R EaXi dXi−1 ξi−1
¯ E|Xi |2 + E[|Xi−1 |2 ξ 2 ]
≤ 2E|aXi dXi−1 ξi−1 | ≤ |ad|
i−1
= |a||d|(E|Xi |2 + E|Xi−1 |2 ).

Lấy tổng các vế ta có :
E∆V˜i = Q1 + Q2 + Q3 − E|Xi |2
≤ (|a| + |c|)(|a|E|Xi |2 + |c|E|Xi−1 |2 ) + |b|2 E|Xi |2 + |d|2 E|Xi−1 |2
+ |a||d|(E|Xi |2 + E|Xi−1 |2 ) − E|Xi |2
= (|a| + |c|)|a| + |b|2 + |a||d| − 1 E|Xi |2
+ (|a| + |c|)|c| + |d|2 + |a||d| E|Xi−1 |2
:= KE|Xi |2 + T E|Xi−1 |2 ,

với K := (|a| + |c|)|a| + |b|2 + |a||d| − 1
T := (|a| + |c|)|c| + |d|2 + |a||d|.

Trong bước tiếp theo chúng ta bổ sung V để nói về nhóm T E|Xi−1 |2
trong vế phải của bất đẳng thức trên. Nó được đặt bởi
Vˆ (i, Xi−1 , Xi ) := T |Xi−1 |2

(4.8)
23


Sau đó chúng ta có
E∆Vˆi := EVˆ (i + 1, Xi , Xi+1 ) − EVˆ (i, Xi−1 , Xi ) = T E|Xi |2 − T E|Xi−1 |2 .

Gọi V := V˜ + Vˆ thu được
E∆Vi := E∆V˜i + E∆Vˆi ≤ (K + T )E|Xi |2 .

Hơn nữa chúng ta có thể kiểm tra điều kiện ban đầu cho V := V˜ + Vˆ .
Điều kiện này thõa mãn
EV (1, X0 , X1 ) = E|X1 |2 + T E|X0 |2
≤ (1 + T ) max(E|X0 |2 , E|X1 |2 ).

Do đó,V là hàm Lyapunov rời rạc cho (2.3), thõa mãn điều kiện (4.1, 4.2)
nếu K + T < 0, có
(|a| + |c|)2 + |b|2 + |d|2 + 2|a||d| < 1.

(4.10)

Đây là điều kiện đủ nhưng không phải là điều kiện cần để đảm bảo tính
ổn định tiệm cận bình phương trung bình của (2.3)
2.4.2.2 Giả thiết V˜ (i, Xi−1 , Xi ) := |Xi + cXi−1 |2
Ta viết (2.3) như sau
Xi+1 = aXi + cXi−1 + bXi ξi + dXi−1 ξi−1
= (a + c)Xi − cXi + cXi−1 + bXi ξi + dXi−1 ξi−1
˜ i+1 := (a + c)X
˜i,
X

˜ 0 = X0
X

(4.11)
(4.12)

Như phương trình sai phân phụ, với hàm Lyapunov V (y) = y 2 (nếu
a + c < 1). Theo đó đầu tiên phiến hàm V˜ phải được chọn từ
V˜ (i, Xi−1 , Xi ) := |Xi + cXi−1 |2 .
24


Chúng ta ứng dụng phiến hàm V˜ cho (2.3) và kiểm tra điều kiện (4.2).
Dùng điều kiện (4.11) chúng ta tính tốn cho i = 1, 2, 3, ...
E∆V˜i := E V˜ (i + 1, Xi , Xi+1 ) − V˜ (i, Xi−1 , Xi )
= E |Xi+1 + cXi |2 − |Xi + cXi−1 |2
= E |(a + c)Xi + cXi−1 + bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2 − |Xi + cXi−1 |2
= E |(a + c)Xi + cXi−1 |2 − |Xi + cXi−1 |2 + E|bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2
+ 2R E (a + c)Xi + cXi−1 bXi ξi + dXi−1 ξi−1
Q4 := E |(a + c)Xi + cXi−1 |2 − |Xi + cXi−1 |2
Q2 := E|bXi ξi + dXi−1 ξi−1 |2
Q5 := 2R E (a + c)Xi + cXi−1 bXi ξi + dXi−1 ξi−1

.

Nhóm Q2 đã đánh giá chính xác trước đó, một cách tương tự chúng ta
đánh giá
Q4 := (|a + c|2 − 1)E|Xi |2 + 2RE (a + c − 1)cXi
≤ (|a + c|2 − 1)E|Xi |2 + |a + c − 1||c| E|Xi |2 + E|Xi−1 |2
≤ |a + c||d|(E|Xi |2 + E|Xi−1 |2 ).

Q5 := 2 R E(a + c)Xi dXi−1 ξi−1

Lấy tổng chúng ta đi đến
E∆V˜i = Q4 + Q2 + Q5

≤ (|a + c| − 1)E|Xi |2 + |a + c − 1||c|(E|Xi |2 + E|Xi−1 |2 ) + |b|2 E|Xi |2
+ |d|2 E|Xi−1 |2 + |a + c||d|(E|Xi |2 + E|Xi−1 |2 )
≤ (|a + c|2 )|a + c − 1||c| + |b|2 + |a + c||d| E|Xi |2
+ (|a| + |c|)|d| + |d|2 + |a + c − 1||c| E|Xi−1 |2
≤ KE|Xi |2 + T E|Xi−1 |2 .

25