Khảo sát điều kiện nghịch đảo mật độ cư trú trong một số loại laser

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

Phạm Chí Hữu

KHẢO SÁT ĐIỀU KIỆN NGHỊCH
ĐẢO MẬT ĐỘ CƢ TRÚ TRONG
MỘT SỐ LOẠI LASER

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

VINH , 2011


2

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin phép được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy
PGS.TS Đào Xuân Hợi - Thầy đã trực tiếp định hướng và tận tình giúp đỡ
tôi cả về kiến thức cũng như phương pháp nghiên cứu và đã cung cấp cho
tôi các tài liệu để tơi hồn thành luận văn này.
Cho phép tơi bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với các thầy TS
Nguyễn Văn Phú, TS Lưu Tiến Hưng đã đóng góp những ý kiến q báu,
giúp đỡ tơi hồn thiện luận văn.
Nhân đây tôi xin chân thành cảm ơn tới các Thầy - Cô giáo trong
khoa vật lý, các Thầy – Cô giáo trong khoa sau đại học Trường Đại Học
Vinh cũng như các Thầy – Cô giáo trường THPT Nguyễn Công Trứ - Hà
Tĩnh và tập thể lớp Cao học 17 chuyên nghành Quang học đã tạo điều kiện

thuận lợi, giúp đỡ tơi rất nhiều trong q trình học tập, cũng như trong
q trình làm luận văn.
Cuối cùng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đối với gia đình, bố mẹ, anh chị
em và những người đã thường xuyên giúp đỡ tơi về mọi mặt trong suốt q
trình học tập và công tác.
Tuy tôi đã cố gắng rất nhiều nhưng cũng khơng thể tránh khỏi
những sai sót, vậy tơi mong các thầy cơ, bạn đọc thơng cảm và đóng góp ý
kiến nhằm hoàn thiện luận văn được tốt hơn.

Vinh, tháng 10 năm 2011

Phạm Chí Hữu


3

MỤC LỤC
Trang
Mở đầu

………………………………………………………........

3

Chƣơng 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Mức năng lƣợng của hệ lƣợng tử, bức xạ tự nhiên, bức xạ cảm
ứng, hệ số Einstein …………………………………………

6

1.2. Đặc trƣng của trạng thái không cân bằng, khái niệm trạng thái
nghịch đảo mật độ cƣ trú ……………………………………..

11

1.3. Điều kiện tự kích của Laser …………………………………..

13

1.4. Dạng và bề rộng của vạch phổ ……………………………….

17

Chƣơng 2. KHẢO SÁT ĐIỀU KIỆN NGHỊCH ĐẢO MẬT ĐỘ
CƢ TRÚ TRONG MỘT SỐ LOẠI LASER
2.1. Một số phƣơng pháp tạo TTNĐMĐCT ……………………...

20

2.1.1. Tạo TTNĐMĐCT bằng phƣơng pháp bơm …………….. 20
2.1.1.1. Tạo TTNĐMĐCT vùng sóng vơ tuyến …………..

21

2.1.1.2. Tạo TTNĐMĐCT vùng quang …………………..

27

2.1.2. Tạo TTNĐMĐCT bằng một số phƣơng pháp khác …… 32
2.2. Điều kiện nghịch đảo mật độ cƣ trú trong một số loại Laser

2.2.1. Laser Khí
2.2.1.1. Điều kiện nghịch đảo mật độ cƣ trú trong Laser khí

33

2.2.1.2. Nghịch đảo mật độ cƣ trú trong Laser He–Ne …...

40

2.2.1.2. Nghịch đảo mật độ cƣ trú trong Laser CO2 ............. 41
2.2.2. Laser Rắn
2.2.2.1. Điều kiện nghịch đảo mật độ cƣ trú trong Lasser rắn. 43
2.2.2.2. Nghịch đảo mật độ cƣ trú trong Lasser Rubi ……..

47

Kết luận ……………………………………………………………...

53

Tài liệu tham khảo …………………………………………………..

54


4

Mở đầu
Laser là khuếch đại ánh sáng bằng bức xạ cƣỡng bức, chữ Laser đƣợc
tạo thành bởi những chữ cái đầu của cụm từ trong tiếng Anh (Light

Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Ta biết rằng, vào năm
1916, sau khi đƣợc bầu vào viện hàn lâm khoa học Đức, Albert Einstein bằng
tƣ duy trừu tƣợng cao, đã nêu lên giả thuyết “Nếu chiếu những nguyên tử
bằng một làn sóng điện từ, sẽ có thể xẩy ra một bức xạ đƣợc kích hoạt và trở
thành một chùm tia hồn tồn đơn sắc, ở đó tất cả những photon (quang tử)
phát ra sẽ có cùng một bƣớc sóng”. Đó là một ý tƣởng khoa học hồn tồn
đúng đắn, nhƣng chƣa có ai chứng minh, nên lý thuyết đó đã bị lãng quên
trong một thời gian dài.
Mãi đến năm 1951, GS Charles Townes của Trƣờng đại học Columbia
thuộc thành phố New York (Mỹ) đã bắt đầu chú đến sự khuếch đại của sóng
cực ngắn (vi sóng), với sự lao động cần cù, say mê, cùng với chi phí khá tốn
kém để nghiên cứu trong phịng thí nghiệm và ơng đã thành cơng. Ơng đã tạo
ra đƣợc Maser – là khuếch đại vi sóng bằng bức xạ cảm ứng.
Cũng trong thời gian này, hai nhà bác học Xô Viết là N.Batsoc và
A.Prokhorov cũng phát minh ra máy khuếch đại vi sóng và gần nhƣ cùng một
dạng nguyên lý. Vì thế cả ba nhà khoa học nói trên đều đƣợc nhận giải thƣởng
Nobel vật lý năm 1964. Sau thành công này, C.Townes đƣợc giao trọng trách
mới nên ít có thời gian để nghiên cứu. Sau này C.Townes đã nuối tiếc rằng
“Đã đạt tới khuếch đại đƣợc sóng cực ngắn rồi mà sao khơng đạt tới khuếch
đại sóng ánh sáng”. Tuy nhiên băn khoăn đó của ông đã đƣợc Anthus
Schawlow (là em rể của C.Townes) đã dày công nghiên cứu để biến từ Maser
đến Laser. Tháng 8 năm 1958 A.Schawlow đã công bố phần lý thuyết này
trên tạp chí “Physical Review” nhƣng rồi lý thuyết này cũng dừng lại ở đó.
Sau này Theodora Maimann phát triển thêm lên. Theodora-Maimann là nhà
khoa học làm việc tại phòng thí nghiệm Hughes tại Malibu, bang California.


5

Dựa vào lý thuyết và nền tảng thực nghiệm của C.Townes và A.Schawlow,

T. Maimann đã dành thời gian gần 3 năm nghiên cứu sâu thêm và đã trở thành
ngƣời đầu tiên tìm ra tia Laser.
Ngày 18/3/1960 là một ngày đáng nhớ, bởi ngày này T.Maimann chính
thức tạo ra tia Laser từ tinh thể rắn Hồng ngọc. Tia sáng do ông tìm ra là
luồng sáng có độ hội tụ cao, gần nhƣ đơn sắc, độ dài bƣớc sóng đo đƣợc là

0,694m . Nhƣ vậy là giả thuyết mà A.Eintein đƣa ra cách đây 54 năm đã
đƣợc chứng minh.
Những năm tiếp theo, các nhà khoa học trên thế giới đã nối dài thành
quả Laser, tạo ra đƣợc nhiều loại Laser bằng cách đƣa vào hoạt chất thể khí
(ví dụ nhƣ CO2, He, Ne, Ar....) ta có Laser khí; khi đƣa vào chất bán dẫn, ta
có Laser bán dẫn hoặc khi đƣa vào dung dịch các chất màu hữu cơ, ta có
Laser màu .v.v..
Ngày nay, vật lý Laser nói chung và Laser nói riêng đã phát triển vô
cùng mạnh mẽ, Laser đã đƣợc ứng dụng vào rất nhiều lĩnh vực khác nhau của
khoa học, công nghệ, quân sự và trong cuộc sống.v.v.. Ngƣời ta đã dự đoán
rằng “Cùng với bán dẫn, Laser sẽ là một trong những lĩnh vực khoa học &
công nghệ quan trọng bậc nhất của thế kỷ XXI ”.
Qua đó ta thấy rằng, vật lý Laser là một lĩnh vực rất phong phú và hấp
dẫn. Nên đã thu hút đƣợc sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều ngƣời. Nhƣng
muốn nghiên về vật lý Laser, thì trƣớc hết phải hiểu thật sâu sắc về trạng thái
nghịch đảo mật độ cƣ trú, đó là lý thuyết quan trọng nhất của vật lý Laser. Vì
lý do đó nên tơi chọn tên của đề tài luận văn là:

“Khảo sát trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú trong một số loại Laser”


6

Luận văn gồm có hai chƣơng

Chƣơng I: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Trình bày một số khái niệm cơ bản về Laser: mức năng lƣợng, hệ lƣợng
tử, bức xạ tự nhiên, bức xạ cảm ứng, hệ số Einstein, khái niệm trạng thái
nghịch đảo mật độ cƣ trú, bề rộng của vạch phổ.v.v. nhằm phục vụ cho
chƣơng II.
Chƣơng II: KHẢO SÁT ĐIỀU KIỆN NGHỊCH ĐẢO MẬT ĐỘ CƢ
TRÚ TRONG MỘT SỐ LOẠI LASER
Đây là nội dung chính của luận văn, trong chƣơng này tôi muốn đƣa
ra cách tiếp cận trạng thái nghịch đảo mật độ trú bằng cách riêng của mình,
và để đạt đƣợc mục tiêu đó tơi đã trình bày một cách có hệ thống từ việc khảo
sát các phƣơng pháp để tạo trạng thái nghịch đảo mât độ cƣ trú, sau đó đi
khảo sát trạng thái nghịch đảo mật độ cƣ trú trong một số loại Laser khí và
Laser rắn.


7

CHƢƠNG 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Để thuận tiện trong việc khảo sát trạng thái nghịch đảo mật độ cƣ trú
thì ta cần hiểu một số khái niệm sau.
1.1. Mức năng lƣợng của hệ lƣợng tử, bức xạ tự nhiên, bức xạ cảm ứng,
hệ số Einstein
Tất cả các khái niệm: Mức năng lƣợng của hệ lƣợng tử, bức xạ tự nhiên, bức
xạ cảm ứng, hệ số Einstein, khái niệm trạng thái nghịch đảo mật độ cƣ trú,
dạng và bề rộng của vạch phổ.v.v. Các khái niệm đó đã đƣợc nhiều tác giả
trong và ngoài nƣớc giới thiệu trong các tài liệu khác nhau. Trong luận văn
này, dựa vào các tài liệu tham khảo [1-6] ta khảo sát nhƣ sau:
Trong cơ học lƣợng tử, nội năng của hạt đƣợc lƣợng tử hóa, có nghĩa là
nội năng của hạt nhận một loạt các giá trị xác định và gián đoạn. Những giá

trị đó, trong vật lý gọi là các mức năng lƣợng.
Mức năng lƣợng thấp nhất gọi là mức cơ bản, các mức cịn lại gọi là các
mức kích thích.
Khi một hạt chuyển từ mức năng lƣợng này sang mức năng lƣợng khác
thì hạt sẽ thay đổi năng lƣợng, độ thay đổi năng lƣợng đó bằng hiệu năng
lƣợng của các mức đó. Khi hạt chuyển từ mức năng lƣợng thấp lên mức năng
lƣợng cao thì hạt hấp thụ năng lƣợng, khi hạt chuyển từ mức năng lƣợng cao
xuống mức năng lƣợng thấp thì hạt bức xạ năng lƣợng.
Xét hạt với hai mức năng lƣợng (hai trạng thái năng lƣợng) m và n, có
năng lƣợng tƣơng ứng với các mức đó là E m và E n . Giả sử E m lớn hơn E n (có
nghĩa là mức m cao hơn mức n). Khi hạt ở mức năng lƣợng cao m thì nó có
thể tự chuyển xuống mức năng lƣợng thấp n và khi đó hạt sẽ bức xạ một
lƣợng tử năng lƣợng h  E m  E n . Bức xạ nhƣ vậy gọi là bức xạ tự nhiên
hay bức xạ tự phát.


8

Khi hạt chuyển từ mức năng lƣợng cao m xuống mức năng lƣợng thấp n
nhờ tác động của trƣờng ngoài và khi đó hạt cũng bức xạ một lƣợng tử năng
lƣợng h  E m  E n . Bức xạ nhƣ vậy gọi là bức xạ cảm ứng. Ngƣời ta thấy
rằng khả năng dịch chuyển của hạt từ mức cao xuống mức thấp khi có trƣờng
ngồi sẽ mạnh hơn khi khơng có trƣờng ngồi, có nghĩa là trƣờng điện từ đã
làm tăng xác suất bức xạ lƣợng tử. Bức xạ cảm ứng có tính chất rất quan
trọng là : Lƣợng tử năng lƣợng của bức xạ cảm ứng có cùng tần số, cùng độ
phân cực và cùng phƣơng lan truyền với trƣờng điện từ ngoài.
Ngoài bức xạ tự nhiên và bức xạ cảm ứng, khi hạt nằm trong trƣờng
điện từ ngoài và hạt ở mức năng lƣợng thấp n có thể hấp thụ một lƣợng tử
năng lƣợng h  E m  E n để chuyển lên mức cao hơn m. Q trình đó gọi là
q trình hấp thụ cộng hƣởng.

Khái niệm bức xạ tự nhiên, bức xạ cảm ứng và hấp thụ cộng hƣởng lần
đầu tiên đƣợc Einstein đƣa vào trong vật lý.
Bây giờ ta xét một hệ hạt đặt trong trƣờng điện từ ngoài, giả sử trƣờng
điện từ ngồi có mật độ phổ năng lƣợng điện từ là   .
Khi đó mật độ năng lƣợng tồn phần của trƣờng điện từ sẽ là:


   ()d
0

Khi hệ hạt đặt trong trƣờng điện từ có thể xẩy ra cả ba quá trình: bức xạ
tự nhiên, bức xạ cảm ứng và hấp thụ cộng hƣởng.
Gọi dWmntn là xác suất hạt chuyển tự nhiên từ mức m về mức n trong
khoảng thời gian dt và bức xạ lƣợng tử năng lƣợng h  E m  E n .
Theo Einstein, ta có dWmntn  A mn .dt

(1.1)

Trong đó A mn không phụ thuộc thời gian và mật độ phổ năng lƣợng
trƣờng điện từ.
Cũng trong khoảng thời gian dt này do hệ hạt đặt trong trƣờng điện từ


9

nên hạt có thể chuyển từ mức m về mức n do bức xạ cảm ứng và bức xạ
lƣợng tử năng lƣợng h  E m  E n . Theo Einstein thì xác suất của bức xạ cảm
ứng dWmn tỷ lệ với mật độ phổ năng lƣợng của trƣờng điện từ nên, ta có:
dWmn  Bmn . .dt

(1.2)

Trong đó B mn không phụ thuộc thời gian và mật độ phổ năng lƣợng
trƣờng điện từ.
Cùng với các quá trình bức xạ thì có thể có q trình hấp thụ. Gọi dWnm
là xác suất hạt ở mức n hấp thụ lƣợng tử năng lƣợng h  E m  E n rồi chuyển
lên mức m, trong khoảng thời gian dt. Theo Einstein, ta có :
dWnm  Bnm .dt

(1.3)

Trong đó B nm cũng không phụ thuộc thời gian và mật độ phổ năng
lƣợng trƣờng điện từ.
Trong các công thức (1.1), (1.2) và (1.3) các hệ số A mn , B mn và B nm
đƣợc gọi là các hệ số Einstein.
Để tìm mối liên hệ giữa các hệ số Einstein ta khảo sát hệ hạt ở trong
trạng thái cân bằng nhiệt ở nhiệt độ T (trạng thái cân bằng nhiệt là trạng thái ở
đó có số lƣợng tử sinh ra do bức xạ bằng số lƣợng tử hấp thụ).
Gọi N m , N n lần lƣợt là số hạt ở m và mức n trong một đơn vị thể tích
của vật chất.
Đối với hệ lƣợng tử không suy biến đại lƣợng N m và N n đƣợc gọi là
mật độ cƣ trú của hạt ở mức m và mức n. Xét trong thể tích V của vùng mà
hạt chiếm và trong khoảng thời gian dt, ta có:
Số lƣợng tử bức xạ do quá trình bức xạ tự nhiên là:

N m VdWmntn  N m VA mn dt

(1.4)

Số lƣợng tử bức xạ do quá trình bức xạ cảm ứng là :

N m VdWmn  N m VB mn   dt

(1.5)


10

Số lƣợng tử hấp thụ do quá trình hấp thụ cộng hƣởng là :

N n VdWnm  N n VB nm  dt

(1.6)

Đối với trạng thái cân bằng nhiệt thì số hạt chuyển lên mức m bằng số
hạt chuyển xuống mức n, tức là:
N m VA mn dt + N m VB mn   dt  N n VB nm  dt



N m (A mn + Bmn   )  N n Bnm

(1.7)

Với hệ hạt ta xét trên sẽ thỏa mãn phân bố Bolzoman, tức là số hạt ở
mức i trong một đơn vị thể tích vật chất đƣợc tính theo cơng thức:
Ni 

trong đó:

N



 E 
g1 exp  i 
 kT 

(1.8)

N là tổng số hạt trong một đơn vị thể tích vật chất.

g i là trong số thống kê của mức năng lƣợng (hệ hạt).



là tổng thống kê,

N

  g
i 1

 Ei 
exp

.
i
 kT 

k là hằng số Bolzman, T là nhiệt độ tuyệt đối.
Để đơn giản, ta xét trƣờng hợp không suy biến ( g i =1). Khi đó, từ cơng
thức (1.8) ta có số hạt trên mức m và số hạt trên mức n là:
Nm 

N



N
 E 
 E 
exp  m  ; N n 
exp  n 
 kT 
 kT 


thay các giá trị này vào (1.7) ta đƣợc:
 E 
 E 
( Amn + Bmn . ) exp  m   Bnm . exp  n 
 kT 
 kT 

(1.9)

Khi T   , mật độ phổ năng lƣợng  tăng vô hạn. Nhƣ vậy khi T đủ
lớn ta có: Bmn .  A mn .
 E 

 E 
Mặt khác, khi T   thì cả exp  m  và exp  n  đều bằng 1.
 kT 
 kT 

Bởi vậy, từ (1.9) ta có:

Bmn .  Bnm .


11

Ta có mối liên hệ giữa các thơng số Einstein Bmn  Bnm
 

Thay (1.10) vào (1.9) ta có

mà E m  E n  h nên

 

Bây giờ ta xác định tỷ số

A mn
B mn

A mn
B mn

1

 E  En
exp m
 kT

(1.10)


 1


1
 h 
exp   1
 kT 

(1.11)

A mn
. Ta có, khi ở các tần số bé, tức là khi
B mn

h  kT , khi đó mật đổ phổ năng lƣợng đƣợc xác định công thức Relây:
8 2
   3 kT
c

Mặt khác, nếu
khi đó từ (1.11) ta có

h

 1
kT
 

(1.12)
thì

exp

h
h
1
kT
kT

A mn kT
kết hợp với (1.12) ta có:
Bmn h

A mn 8 2
 3
B mn
c

(1.13)

Cơng thức (1.10) và (1.13) không phụ thuộc vào bản chất của môi
trƣờng hoạt. Thay (1.13) vào (1.11), ta nhận đƣợc công thức của Planck:
8 2
  3

c

h
 h 
exp   1
 kT 

(1.14)

8 2
Hệ số 3 là số dao động tử (số kiểu dao động) trong một đơn vị
c

thể tích. Từ đây ta có năng lƣợng trung bình trong một kiểu dao động
E (TB1) 


h
2 
8
 h 
exp   1
3
c
 kT 

(1.15)


12

1.2. Đặc trƣng của trạng thái không cân bằng, khái niệm trạng thái
nghịch đảo mật độ cƣ trú.
Trong phần trƣớc ta đã khảo sát mối liên hệ giữa các hệ số Einstein,
trong trạng thái cân bằng nhiệt. Nhƣng trong Laser các trạng thái vật lý
thƣờng gặp lại là trạng thái không cân bằng.
Một đặc trƣng của trạng thái không cân bằng là khái niệm trạng thái
nghịch đảo mật độ cƣ trú. Trạng thái nghịch đảo mật độ cƣ trú là khái niệm cơ
bản của điện tử lƣợng tử. Cũng nhƣ trong phần trƣớc ta xét hệ có hai mức
năng lƣợng E m và E n ( E m > E n ). Nhƣ ta đã biết ở trạng thái cân bằng nhiệt
động không suy biến, mật độ cƣ trú của các hạt ở các mức là:
Nm 
Nn 

N


N



 E 
exp  m 
 kT 

(1.16)

 E 
exp  n 
 kT 

(1.17)

Nm
 E  En 
 exp  m

Nn
kT 


Vậy
Ta suy ra

T

Em  En
N
k ln n
Nm

(1.18)
(1.19)

Vì E m > E n nên E m - E n > 0
Xét trong các trƣờng hợp:
+ Nếu

Nn
N

 1 thì ln n  0 suy ra T  0 . Đây là điều kiện bình
Nm
Nm

thƣờng, có nghĩa là ở trạng thái cân bằng nhiệt động, mật độ hạt ở mức năng
lƣợng cao ít hơn mật độ hạt ở mức năng lƣợng thấp.
+ Nếu

Nn
 1  T  
Nm


13

+ Nếu

Nn
N
 1 thì ln n  0 suy ra T  0 . Trạng thái mà ở đó mức
Nm
Nm

năng lƣợng cao có mật độ hạt lớn hơn mật độ hạt ở mức năng lƣợng thấp.
Trạng thái có mật độ cƣ trú ở mức năng lƣợng cao lớn hơn mật độ cƣ
trú ở mức năng lƣợng thấp gọi là trạng thái nghịch đảo mật độ cƣ trú. Trong
vật lý Laser cịn có các cách gọi khác nhƣ trạng thái nhiệt độ âm, trạng thái
nghịch đảo mật độ cƣ trú, trạng thái nghịch đảo độ tích lũy hoặc trạng thái
Laser là hồn tồn tƣơng đƣơng, hay nói cách khác có bản chất nhƣ nhau
N m  N n . Trong luận văn này tơi thống nhất một tên gọi đó là trạng thái

nghịch đảo mật độ cƣ trú.
Một môi trƣờng gồm các nguyên tử hai mức năng lƣợng rất khó tạo ra
đƣợc trạng thái nghịch đảo mật độ cƣ trú. Giả sử có tạo ra đƣợc trạng thái này
thì xác suất dịch chuyển từ mức cơ bản lên mức kích thích và ngƣợc lại bằng
nhau, do đó trạng thái này khơng tồn tại đƣợc lâu, mà quay về trạng thái cân
bằng ban đầu. Nhƣ vậy để có đƣợc trạng thái nghịch đảo mật độ cƣ trú, chúng
ta chỉ có thể tìm thấy trong các ngun tử có ít nhất ba mức năng lƣợng.
Trong sơ đồ các mức năng lƣợng đó ít nhất
Đặc trƣng của trạng thái nghịch đảo mật độ cƣ trú: trạng thái nghịch
đảo mật độ cƣ trú chỉ có thể nhận đƣợc đối với một số mức năng lƣợng nhất
định. Điều đó liên quan đến vấn đề: Muốn tạo nên trạng thái nghịch đảo mật
độ cƣ trú giữa hai mức năng lƣợng thì cần tốn một năng lƣợng nhất định, vậy
nếu số mức là vơ hạn thì cần tốn một năng lƣợng vô hạn. Nhƣ vậy khái niệm
trạng thái nghịch đảo mật độ cƣ trú của môi trƣờng (mẫu) và trạng thái nghịch
đảo mật độ cƣ trú là hoàn tồn khác nhau. Ví dụ trong Laser Rubi, mẫu Rubi
có nhiệt độ trong khoảng nhiệt độ của Heli lỏng đến nhiệt độ của phịng.
Nhƣng trong khi đó giữa các mức năng lƣợng vẫn có trạng thái nghịch đảo
mật độ cƣ trú.


14

1.3. Điều kiện tự kích của Laser
Một câu hỏi đặt ra là: Có thể đạt đƣợc sự bức xạ cảm ứng lớn hơn hấp
thụ cộng hƣởng khơng? Có nghĩa là mơi trƣờng có khả năng khuếch đại bức
xạ điện từ khi nó truyền qua mơi trƣờng hay khơng?
Nếu N m VB mn   dt  N n VB nm  dt . Theo (1.10) ta có điều kiện để có
Nm  Nn

khuếch đại bức xạ là:

(1.20)

Điều kiện (1.20) nói lên rằng giữa mức m và mức n thiết lập sự nghịch
đảo mật độ cƣ trú, hay các mức m và n đƣợc đặc trƣng bởi trạng thái nghịch
đảo mật độ cƣ trú.
Một mơi trƣờng trong đó tồn tại sự nghịch đảo mật độ cƣ trú gọi là môi
trƣờng hoạt.
Trong phần trƣớc ta xét trọng số thống kê bằng 1, nhƣng nếu trọng số
thống kê của các mức m là ~
g , và của mức n là ~
g . Theo cơng thức (1.10) ta
m

n

~
g m Bmn  ~
g n Bnm

có:
thay B mn

(1.21)

~
g m A mn 8h 3
từ (1.13) vào (1.21) ta đƣợc: ~


gB
c3
n

thay cho (1.19) ta có:

T

(1.21‟)

nm

Em  En
 N /~
g 
k ln  n ~n 
 N m / gm 

(1.22)

Vậy để khuếch đại đƣợc sóng điện từ ta cần phải có:
Nm Nn
 ~
~
gm
gn

(1.23)

- Trong phần trƣớc ta chỉ mới nói tới mật độ phổ bức xạ  , trong thực

tế ta còn gặp khái niệm cƣờng độ bức xạ I  

c 
là số phôtôn trong
h

khoảng tần số     d đi qua trong một đơn vị diện tích trong một đơn vị


15

~
thời gian, còn I   I().d là cƣờng độ bức xạ toàn phần. Từ nay trở về sau

~
để thuận tiện ta gọi I và I() là cƣờng độ (nhƣng cần lƣu ý chỉ số  ).
Giả sử sóng điện từ hầu nhƣ đơn sắc, với cƣờng độ I lan truyền trong
mơi trƣờng dọc theo một hƣớng Z nào đó. Sự thay đổi cƣờng độ của sóng
trong mơi trƣờng đƣợc mơ tả bởi phƣơng trình:
~
~
d I  G I dZ

(1.24)

với G gọi là hệ số khuếch đại lƣợng tử của môi trƣờng hoạt, và cũng là đại
lƣợng cơ bản đặc trƣng cho môi trƣờng.
- Ta biểu diễn G qua tiết diện ngang của bức xạ cảm ứng là  mn () ,
và qua tiết diện ngang hấp thụ công hƣởng là  nm ()
Theo [1] sự liên hệ giữa xác suất dịch chuyển cảm ứng với tiết diện

ngang bức xạ có dạng:

dWmn   mn ()I().d

(1.25)

Lấy tích phân theo mọi tần số ta đƣợc:
Wmn    mn ()I()d

(1.25a)

Trong trƣờng hợp bức xạ có phổ rất mảnh trong vùng tần số  0 , thì
trong vùng đó  mn có thể xem là khơng đổi, có nghĩa là  mn ()   mn ( 0 ) và
đƣa ra ngoài dấu tích phân ta đƣợc:
~
Wmn   mn ( 0 ) I()d   mn ( 0 ). I

(1.25b)

Hệ số khuếch đại lƣợng tử biểu diễn qua tiết diện bức xạ cảm ứng và
mật độ cƣ trú của mức theo công thức:
~


g
(1.26)
G    mn () N m  ~m N n 
gn



g ~
g  1, công thức (1.26) có dạng
Khi khơng có suy biến ~
m

n

G    mn ()N m  N n 

(1.26a)

Trong công thức (1.26) và (1.26a) các ký hiệu N m và N n là số hạt trong


16

một đơn vị thể tích trên mức m và mức n tƣơng ứng, thứ nguyên của chúng là
[N] = L-3, do vậy hệ số khuyếch đại có thứ nguyên là [G] = L-1.
Từ công thức (1.26) và (1.26a) nếu N m  N n (không suy biến) hay
~
g
N m  N n ~m (có suy biến) thì G()  0 , và theo cơng thức (1.24) thì mơi
g
n

trƣờng khuếch đại đƣợc sóng điện từ khi truyền qua nó.
Mặt khác, ta lại thấy rằng khi sóng lan truyền qua mơi trƣờng thì cƣờng
độ sẽ bị yếu đi do bị mất mát. Sự biến đổi cƣờng độ đó đƣợc biểu diễn qua:
~
~

(1.24a)
d I  G h I .dZ
với G h là hệ số tiêu hao.
Do vậy ta có sự thay đổi của cƣờng độ sóng khi đi qua mơi trƣờng:
~
~
(1.27)
d I  (G  G h ) I .dZ
Tích phân (1.27) ta đƣợc: I  I 0 expG  G h Z

(1.28)

Từ (1.28) ta thấy rằng, để khuếch đại đƣợc sóng điện từ thì G khơng
những dƣơng mà cịn phải lớn hơn G h .
Cũng từ (1.28) ta thấy rằng, để tăng I thì phải tăng G hoặc tăng Z, việc
tăng G của một chất là rất khó, bởi vậy trong thực tế để khuếch đại cƣờng độ I
ngƣời ta tăng Z. Z sẽ đƣợc tăng khi kích thƣớc mơi trƣờng hoạt tăng, nhƣng
một Laser phải có một kích thƣớc nhất định, nghĩa là Z không thể tăng một
cách tùy ý. Trong thức tế ngƣời ta tăng Z bằng cách cho ánh sáng đi lại nhiều
lần trong môi trƣờng. Phƣơng pháp này gọi là phƣơng pháp phản hồi dƣơng
(hộp cộng hƣởng).
Giả sử có sóng điện từ I lan truyền dọc theo trục Z và phản xạ ngƣợc trở
lại từ hai gƣơng 1 và 2. Gọi I10 là cƣờng độ ánh sáng tại gƣơng 1, I 2 là cƣờng
độ ánh sáng khi đến gƣơng 2, Z là khoảng cách giữa hai gƣơng, vậy theo cơng
thức (1.28) ta có:
I 2  I10 expG  G h Z

(1.29)

17

Gọi r1 , r2 là hệ số phản xạ của gƣơng 1 và 2, thì ta có cƣờng độ ánh sáng
sau khi phản xạ lần thứ nhất qua gƣơng 2 là
I 20  I 2 .r2  r2 I10 expG  G h Z

Gọi I1 là cƣờng độ ánh sáng phản xạ từ gƣơng 2 khi đến gƣơng 1
ta có:

I1  I 20 expG  G h Z

hay

I1  r2 I10 exp2G  G h Z

(1.29.a)

Nhƣ vậy ta đã khảo sát trong một chu kỳ của cƣờng độ sáng khi đi từ
gƣơng 1 đến gƣơng 2, sau đó lại phản xạ từ gƣơng 2 về gƣơng 1.
I10

I1

Z

I2

I 20

2

1
Hình 1.1- Biểu diễn quá trình phản xạ ánh sáng giữa hai gƣơng
Ta khảo sát tiếp vòng thứ hai, gọi I‟10 là cƣờng độ sóng phản xạ từ
gƣơng 1 (lần thứ hai)
ta có:

I'10  I1.r1  r1r2 I10 exp2G  G h Z

(1.30)

Rõ ràng quá trình sẽ lặp lại giống nhƣ trên nếu thỏa mãn điều kiện:
I‟10 = I10
Khi đó theo (1.30) ta có:
r1r2 exp2G  G h Z  1

(1.31)

Từ (1.3) biến đổi ta đƣợc:
exp2G  G h Z 

1
1
 exp2G  G h Z 
r1r2
r1r2
 G  Gh 

1
1
ln

2Z r1r2

Công thức (1.32) đƣợc gọi là điều kiện tự kích của Laser.

(1.32)


18

1.4. Dạng và bề rộng của vạch phổ
Trong những phần trƣớc ta coi mức năng lƣợng là vô cùng mảnh. Trong
khi đó, thực tế mức năng lƣợng lại có một bề rộng nhất định, hay nói cách
khác nó tồn tại một sự phân bố nào đó của cƣờng độ bức xạ (hấp thụ) theo tần
số. Có nghĩa là đƣờng bức xạ (hấp thụ) có dạng nhất định. Dạng của vạch phổ
đƣợc đặc trƣng bởi hàm g() thỏa mãn:



 g()d  1



Đặc trƣng của vạch phổ là bề rộng của vạch phổ, bề rộng vạch phổ là
khoảng tần số  (Hình 1.2) giữa các điểm sao cho tại đó cƣờng độ bức xạ
(hấp thụ) giảm đi hai lần so với giá trị cực đại.
I(  )
I0


I0

2

0

0





Hình 1.2 - Biểu diễn bề rộng vạch
phổ
Việc vạch phổ có bề rộng nhất định có thể giải thích do các nguyên
nhân khác nhau. Ở đây ta xét nguyên nhân: Thời gian sống trên mức năng
lƣợng là hữu hạn. Ví dụ thời gian sống trên mức năng lƣợng là t , vậy theo
nguyên lý bất định: E.t    E 


là hữu hạn, có nghĩa mức năng
t

lƣợng bị giãn ra. Bề rộng vạch phổ giãn ra do thời gian sống hữu hạn trên
mức năng lƣợng gọi là bề rộng tự nhiên của vạch phổ.
Bằng thực nghiệm, các vạch phổ quan sát đƣợc có thể là tổ hợp của một
số vạch phổ. Trong trƣờng hợp đó, ta có sự mở rộng khơng đồng nhất (lƣu ý


19

mở rộng tự nhiên là mở rộng đồng nhất). Một ví dụ về mở rộng khơng đồng

nhất là mở rộng Doppler. Sự mở rộng này thƣờng thấy đƣợc trong môi trƣờng
khí. Vì các hạt tạo thành mơi trƣờng khí ở trong trạng thái chuyển động nhiệt
hỗn loạn. Sự bức xạ của hạt chuyển động theo phƣơng nhìn của ngƣời quan
sát với vận tốc v. Vì có hiệu ứng Doppler, sự dịch chuyển của tần số đi một
lƣợng 0

v
, ở đây 0 là tần số bức xạ của hạt đứng yên. Vì sự mở rộng tự
c

nhiên, bức xạ của một hạt thực chất là vạch phổ với bề rộng tự nhiên và dịch
theo tần số đi một lƣợng 0

v
, vì trong mơi trƣờng khí, các hạt có vận tốc
c

khác nhau và sự sai lệch của mỗi hạt theo tần số sẽ khác nhau, cịn dạng của
đƣờng bức xạ của mơi trƣờng khí đƣợc coi nhƣ là một hàm của sự phân bố
của các hạt bức xạ theo vận tốc f(v), và khi đó dạng vạch phổ có dạng:
g()d  f (v)dv

(1.33)

Tần số bức xạ của hạt chuyển động với vận tốc v theo hƣớng mắt của
v
ngƣời quan sát là:   0  0 . Từ đây ta có thể biểu diễn các đại lƣợng v
c

và dv qua  và 0 ta có v  c

  0
d
và dv  c
. Thay v , dv vào (1.33) ta
0
0

   0  d
c
g()d  f  c


0
 0

đƣợc:

(1.34)

Nếu sự phân bố của hạt theo vận tốc trong mơi trƣờng khí là phân bố
Maxwell thì:
  v  2  dv
1
2kT
f ( v)dv 
exp     . Ở đây v 0 
m

  v 0   v 0

2

Vậy:

   0  d
1

g()d 
exp 



0
 D

(1.35)


20

Ở đây D  0

v0
c

Đƣờng mà dạng của nó đƣợc xác định theo biểu thức (1.35) gọi là
đƣờng mở rộng Doppler. Dạng của đƣờng đối xứng với tần số   0 . Bề
rộng của nó đƣợc xác định bởi thông số D . Khi   0  D thì cƣờng độ
của vạch giảm đi e lần so với giá trị cực đại.
Nếu gọi nửa bề rộng vạch phổ của đƣờng Doppler là d , thì theo [1], ta có :

d
 ln 2 D
2

(1.36)

Sự mở rộng vạch phổ đƣợc chia thành các loại sau:
- Sự mở rộng tự nhiên: Sự mở rộng vạch phổ do thời gian sống của các
nguyên tử trên mức kích thích là hữu hạn.
- Sự mở rộng Doppler: Sự mở rộng vạch phổ do chính nguyên tử khi
bức xạ chuyển động.
- Sự mở rộng Lorentz: Sự mở rộng vạch phổ do sự va chạm giữa các
nguyên tử bức xạ.
- Sự mở rộng do hiệu ứng Stark: Sự mở rộng vạch phổ do ảnh hƣởng
của điện trƣờng của các hạt xung quanh lên hạt bức xạ.
- Sự mở rộng do hiệu ứng Zeeman: Sự mở rộng vạch phổ do ảnh hƣởng
của từ trƣờng lên hạt bức xạ.


21

CHƢƠNG 2
KHẢO SÁT ĐIỀU KIỆN NGHỊCH ĐẢO MẬT ĐỘ CƢ TRÚ TRONG
MỘT SỐ LOẠI LASER
2.1. Một số phƣơng pháp tạo trạng thái nghịch đảo mật độ cƣ trú
2.1.1. Tạo trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú bằng phương pháp bơm
( Phương pháp dùng bức xạ bổ trợ)
Khái niệm trạng thái nghịch đảo mật độ cƣ trú là khái niệm cơ bản
trong vật lý Laser, và muốn khuếch đại đƣợc sóng điện từ khi truyền qua mơi
trƣờng thì phải tạo đƣợc trạng thái nghịch đảo mật độ cƣ trú. Trong thực tế có

nhiều phƣơng pháp, trong đó phƣơng pháp bơm tức dùng bức xạ bổ trợ là
phƣơng pháp phổ biến nhất [1].
Ta biết rằng dựa vào bƣớc sóng dài ngắn khác nhau, ngƣời ta chia sóng
điện từ thành các loại sau
Loại sóng

Bƣớc sóng (m)

Tần số (Hz)

Sóng vơ tuyến điện

3.104  10-4

104  3.1012

Tia hồng ngoại

10-3  7,6.10-7

3.1011  4.1014

Ánh sáng nhìn thấy

7,6.10-7  3,8.10-7

4.1014  8.1014

Tia tử ngoại

3,8.10-7  10-9

8.1014  3.1017

Tia Rơn-ghen

10-8  .10-11

3.1016  3.1019

Tia gamma

Nhỏ hơn 10-12

Lớn hơn 3.1019

Mặt khác ngoài các tia Rơn-ghen, tia gamma, ngƣời ta chia thang sóng
điện từ cịn lại ra làm 2 vùng:
- Vùng sóng vơ tuyến: có bƣớc sóng từ 10-3m trở lên.
- Vùng quang: có bƣớc sóng từ 10-9m  10-3m
Sau đây ta sẽ xét phƣơng pháp để thu đƣợc trạng thái nghịch đảo mật độ
cƣ trú trong 2 vùng đó.


22

2.1.1.1. Tạo trạng thái nghịch đảo mật độ cư trú vùng sóng vơ tuyến
Ta xét hệ 3 mức năng lƣợng
Trên hình 2.1 biểu diễn 3 mức năng lƣợng 1, 2, 3 tƣơng ứng với các giá
trị năng lƣợng E1, E2, E3 (E1 < E2 < E3).

E
E3

E
T< 0

E3

T< 0

E2
E2
E1

E1
0

N 30 N 02

a

N10

N

0

N 30

b

N 02

N10

N

Hình 2.1 – Biểu diễn sự phân bố mật độ hạt trên các mức trong
trƣờng hợp cân bằng và không cân bằng nhiệt
Bức xạ bổ trợ tác dụng giữa mức 1 và mức 3 tạo nên các chuyển mức
bổ trợ. Trong trạng thái cân bằng nhiệt (T > 0), mật độ hạt trên các mức thỏa
mãn phân bố Boltzman (đƣờng liền nét trên hình 2.1), từ đó ta thấy mật độ hạt
trên mức 1 là lớn nhất còn mật độ hạt trên mức 3 là bé nhất. Đƣờng nét đứt
trên hình 2.1 biểu diễn sự phân bố của các hạt trên các mức khi T < 0. Nếu
gọi N io là mật độ hạt trên mức i và N oj là mật độ hạt trên mức j ở trạng thái
cân bằng nhiệt động với nhiệt độ T.
Khi đó ta có:

 Ei  E j 
N io
 


exp
N oj
kT 


Theo [1] thì trong vùng sóng vơ tuyến

Ei  E j
kT

(2.1)

 1. Chỉ khi nhiệt độ rất

thấp và tần số đủ cao, thì biểu thức trên gần đến 1. Thật vậy, ví dụ khi nhiệt
độ đủ thấp, T = 4,2 0 K , ta thử xem đối với những tần số nào sẽ thỏa mãn


23

Ei  E j
kT



 1. Ta dễ dàng nhận thấy rằng, đẳng thức đó thỏa mãn với các tần số:

Ei  E j




kT
 8,8.1010 Hz (  3,3mm) nghĩa là đối với tần số cao.


Từ điều kiện

(e

h
kT

1

Ei  E j
kT

 1 , ta phân tích hàm exp (

Ei  E j
kT

) thành chuổi

h
) và giữ lại số hạng đầu tiên, sẽ nhận đƣợc:
kT
N 30
E 3  E1

1

N 10
kT

(2.2)

N 02
E 2  E1

1

N10
kT

(2.3)

Bây giờ ta xem xét ở điều kiện nào thì xuất hiện trạng thái nghịch đảo
mật độ cƣ trú giữa các mức 3 – 2 hay 2 – 1.
Giả sử trong hệ 3 mức, có sự tác dụng của bức xạ bổ trợ với tần số đúng
bằng khoảng tần số giữa mức 1 và mức 3.
Để đơn giản ta coi:
- Ở biên độ của tín hiệu đủ lớn thì mật độ hạt trên mức 1 và mức 3 là
nhƣ nhau.
- Mật độ hạt ở mức 2 ở thời điểm đó chƣa thay đổi.
Nếu N1, N2, N3 là mật độ hạt của các mức khi có tín hiệu bơm, thì điều
ta giả thiết ở trên có nghĩa là:
N10  N 30 N10  N 30 
1 

N1  N 3 

2
2  N10 

từ (2.2) ta có:

 E  E1 
N1  N 3  N10 1  3

2kT 


(2.4)

Còn N2 vẫn giữ nguyên nhƣ cũ và đƣợc xác định bởi công thức (2.3).


24

Nếu ta cần tạo nên trạng thái nghịch đảo mật độ cƣ trú giữa các mức 3
và 2 thì nhất thiết phải có: N3 > N2.
Từ (2.4) và (2.3) ta có:

1

E 3  E1
E  E1
1 2
2kT
kT

E 2  E1 

hay:

E 3  E1

2

(2.5)

Vậy rõ ràng để thiết lập trạng thái nghịch đảo mật độ cƣ trú giữa mức 3
và mức 2 thì cần có mức 2 nằm gần mức 3 hơn mức 1(Hình 2.1a).
Tƣơng tự nếu ta muốn tạo ra trạng thái nghịch đảo mật độ cƣ trú giữa
mức 2 và mức 1, thì mức 2 phải nằm gần mức 1 hơn mức 3(Hình 2.1b). Thật
vậy từ (2.3) và (2.4) để có N2 > N1, phải có:
E 2  E1 

E 3  E1
2

(2.6)

Trong các tính tốn trên đây, ta đã bỏ qua các chuyển mức “không
quang học” hay „không bức xạ‟ nhƣ thăng giáng Spin–mạng, bức xạ nhiệt.v.v.
Trong thực tế thì các chuyển mức “khơng quang học”có ảnh hƣởng lớn đến
cơ chế trên đây. Tiếp theo ta sẽ khảo sát thực tế này.
Giả sử ký hiệu ijkq - xác suất của các chuyển mức “không quang học” từ
mức i sang mức j.
kq
13

 kq
23

W13

W23

3
kq
12

2

kq
32

1

kq
31

W31

W32

 kq
21

Hình 2.2- Sơ đồ biểu diễn các mức năng lƣợng
và các chuyển mức


25

Từ hình 2.2 ta có hệ phƣơng trình, nói lên sự thay đổi hạt trên các mức:

 dN 3
kq
kq
kq
 dt   N 3 32  31   N 3 ( W31  W32 )  N 2 (23  W23 )

 N1 (13kq  W13 )

 dN 2
kq
kq
kq
kq
 dt   N 2 23  21   N 2 W23  N112  N 332  N 3 W32

 dN1   N kq  kq   N W  N kq  N kq  N W
1
12
13
1
13
3 31
2 21
3
31
 dt

(2.7)

Trong các phƣơng trình (2.7) với W31 và W13 là các xác suất chuyển

mức của hạt từ mức 3 về mức 1 và ngƣợc lại dƣới tác động của bức xạ bổ trợ
nên W31 = W13. Mặt khác nhƣ ta đã biết các hệ số Einstein đối với các chuyển
mức đó là nhƣ nhau. Tƣơng tự ta có W23 = W32. Ngồi ra ta cịn lƣu ý, ví dụ
 dN 
nhƣ phƣơng trình thứ nhất cho ta sự thay đổi mật độ trên mức 3 là  3 
 dt 

đƣợc xác định bởi hai quá trình:
- Quá trình làm tăng mật độ hạt trên mức 3 (các hạt chuyển từ mức khác
đến mức 3) đƣợc xác định bởi các thành phần mang dấu (+).
- Quá trình giảm mật độ hạt trên mức 3 (các hạt chuyển từ mức 3 đến
các mức khác) đƣợc xác định bởi các thành phần mang dấu (-).
Ta giải các phƣơng trình (2.7) ở điều kiện dừng, tức là:
dN1 dN 2 dN 3


 0 , và xác định N1, N2 và N3.
dt
dt
dt

Nhƣ ta đã biết: N1+ N2 + N3 = N = const

(2.8)

Xét phƣơng trình 3 của (2.7) ta có :
kq
 N1 12kq  13kq  W13   N 2kq
 N3 31
 W13   0

21

(2.9)

Rút N3 từ (2.8) thay vào (2.9) ta có
 N1 12kq  13kq  31kq  2W13 

 N 2 21kq  31kq  W13   N31kq  W13   0

(2.10)