Phổ siêu tinh tế của các nguyên tử một điện tử hóa trị và ứng dụng trong làm lạnh nguyên tử bằng laser

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sự ra đời của Vật lý học hiện đại đầu thế kỷ XX không những giải
quyết được những bế tắc của vật lý cổ điển mà nó cịn góp phần giải quyết các
bài tốn liên quan đến thế giới vi mô như sự khám phá ra tia X, sự bức xạ
của vật đen tuyệt đối, cấu trúc phổ của nguyên tử Hiđrô, các định luật quang
điện, sự phóng xạ, hiệu ứng Compton....
Ngày nay việc khảo sát về phổ nguyên tử và phân tử được ứng dụng
nhiều trong thực tế cũng như trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật hiện đại.
Một trong những ngành áp dụng rộng rãi quang phổ học đó là thiên văn hiện
đại. Vật lý thiên văn hiện đại đang sử dụng các phương pháp quang và quang
phổ để nghiên cứu thành phần ngun tố, đốn nhận q trình diễn biến của
thiên thể hay của bầu khí quyển bao quanh nó. Ngành khảo cổ học cũng sử
dụng việc phân tích phổ của các nguyên tử, phân tử trong các nghiên cứu của
mình. Các nhà khoa học đã dựa vào sự phân tích phổ của các chất phát ra để
tìm tuổi thọ của những mẫu vật thời tiền sử, xác định cấu tạo của vật chất.
Với sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật laser, các nhà khoa học hiện đã
làm lạnh nguyên tử xuống gần độ không tuyệt đối. Ở nhiệt độ này, các
ngun tử thể hiện tính chất sóng nhiều hơn tính chất hạt, và có trạng thái
lượng tử như nhau, ngưng tụ lại thành hệ vật lý đậm đặc Bose – Einstein
(BEC) trạng thái thứ năm của vật chất, từ đó cho phép chúng ta nghiên cứu
phổ nguyên tử của các phép đo siêu chính xác, nghiên cứu các hiệu ứng quan
trọng như trong suốt cảm ứng điện từ (EIT), các hiệu ứng phi tuyến, máy tính
lượng tử, đồng hồ nguyên tử, laser nguyên tử...
Các nguyên tử một điện tử hóa trị (một điện tử) có cấu trúc phổ đơn
giản nhất nên chúng là đối tượng rất được quan tâm nghiên cứu trên cả hai
phương diện - lý thuyết và thực nghiệm. Do có cấu trúc đơn giản nên có thể

2

giải chính xác được bài tốn cấu trúc phổ một điện tử theo cơ học lượng tử
tương đối tính. Vì vậy, việc kiểm chứng bằng thực nghiệm sẽ đóng vai trò rất
lớn trong việc xác định độ tin cậy của lý thuyết. Minh chứng cho điều này là
khám phá ra dịch chuyển Lamb trong nguyên tử Hydro năm 1947 đã dẫn đến
việc xem xét lại mô tả lý thuyết cơ học lượng tử tương đối tính và sự ra đời
của điện động lực học lượng tử (QED – Quantum Electro Dynamics).
Như vậy, việc khảo sát cấu trúc phổ của các ngun tử và tìm hiểu các
ứng dụng của nó trong các lĩnh vực liên quan là rất cần thiết. Để tìm hiểu về
lĩnh vực này một cách cụ thể hơn, đồng thời mở rộng vốn hiểu biết về thế giới
vi mô, chúng tôi chọn “Phổ siêu tinh tế của các nguyên tử một điện tử hóa trị
và ứng dụng trong làm lạnh nguyên tử bằng laser” làm đề tài luận văn tốt
nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu cách mô tả nguyên tử một điện tử theo lý thuyết lượng tử, nguyên
tử khi xét đến các hiệu ứng phi tương đối tính để giải thích được sự tạo thành
các dịch chuyển phổ.
- Tìm hiểu nguyên lý làm lạnh nguyên tử bằng laser.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày các vấn đề liên quan đến cấu trúc thô, cấu trúc tinh tế và siêu tinh
tế của phổ các nguyên tử một điện tử hóa trị.
- Trình bày ngun lý làm lạnh nguyên tử bằng laser, nguyên lý hoạt động của
bẫy quang từ.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: các nguyên tử một điện tử hóa trị.
- Phạm vi: nghiên cứu cấu trúc phổ của các nguyên tử một điện tử hóa trị đến
cấp độ siêu tinh tế và ứng dụng trong làm lạnh nguyên tử bằng laser.

3

5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp lý thuyết: sử dụng lý thuyết cơ học lượng tử cho nguyên
tử một điện tử để mô tả cấu trúc phổ của nguyên tử theo các cấp độ khác
nhau: bỏ qua spin điện tử và spin hạt nhân, tính đến spin điện tử, tính đến spin
hạt nhân.
Sử dụng các phép gần đúng để giải phương trình Schrodinger tìm trị
riêng của hệ theo các trường hợp nói trên. Sử dụng lý thuyết bán cổ điển để
mơ tả bài tốn tương tác giữa ngun tử với trường laser trên phương diện
động học để minh họa cho vấn đề làm lạnh nguyên tử bằng laser.
6. Giả thuyết khoa học
Từ cấu trúc của ngyên tử hiđro, ta có thể đưa ra cấu trúc tương tự cho
các nguyên tử có một điện tử ở lớp vỏ như Na, Rb...
Từ các quy tắc dịch chuyển phổ trong cấu trúc thô, cấu trúc tinh tế ta có
thể khảo sát được cấu trúc siêu tinh tế của các nguyên tử một điện tử và đưa
ra ứng dụng của cấu trúc này trong làm lạnh nguyên tử bằng laser.
7. Bố cục luận văn
Ngoài các phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương.
Chƣơng 1: Trình bày, mơ tả các nguyên tử một điện tử hóa trị theo lý thuyết
lượng tử phi tương đối tính. Các khái niệm về mức năng lượng, hàm sóng,
phân bố điện tử trong nguyên tử được trình bày trên cơ sở giải phương trình
Schrodinger. Đồng thời rút ra quy tắc dịch chuyển phổ.
Chƣơng 2. Xét đến spin điện tử, spin hạt nhân, tương tác giữa mômen từ spin
hạt nhân và mômen từ quỹ đạo. Những vấn đề này dẫn đến sự tách các mức
năng lượng trong cấu trúc tinh tế, siêu tinh tế và các quy tắc lọc lựa.
Chƣơng 3. Trình bày cơ sở làm lạnh của nguyên tử bằng laser dựa theo lý
thuyết bán cổ điển,nguyên lý làm lạnh Doppler và nguyên lý hoạt động của
bẫy quang từ.

4

CHƢƠNG I
CẤU TRÚC THÔ CỦA CÁC NGUYÊN TỬ MỘT ĐIỆN TỬ
1.1. Phƣơng trình Schrodinger phi tƣơng đối tính
Xét ngun tử có một điện tử (có điện tích –e và khối lượng me) chuyển
động xung quanh hạt nhân có điện tích Ze. Thế năng tương tác Coulomb giữa
điện tích với hạt nhân:
Ze2
V (r)  
(4 0 )r

(1.1)

với r là khoảng cách giữa điện tử và hạt nhân.
Theo nguyên lý tương ứng, Hamiltonian được xác định bởi:

pˆ 2
Ze 2
ˆ
H

2me (4 0 )r

(1.2)



pˆ  i

(1.3)

Trong đó,

 pˆ 2   2  2

Khi đó phương trình Schrodinger của hạt có dạng :
 2 2
Ze 2  


 
 r   E r 
4 0 r 
 2 me

(1.4)

Do tính đối xứng cầu của thế năng V(r) nên để tiện lợi cho việc giải phương
trình (1.4) chúng ta chọn hệ tọa độ cầu r , ,   .
Trong toạ độ cầu :
2   

ta đặt  

1   2  1  1  
 
1
2 

r

sin







,
  sin 2   2 
r 2 r  r  r 2  sin   

1  
 
1
2
sin


.


sin   
  sin 2   2

Khi đó Hamiltonian trong toạ độ cầu trở thành:
Hˆ  

1   2   1

r
  2    V  r 
2

2me  r r  r  r

2


5

2
1   2   Lˆ  , 

V r
r

2me r 2 r  r  2me r 2
2

(1.5)

Hàm sóng trong toạ độ cầu được viết như là tích của hai hàm:
 nlm r, ,    Rnl r lm  ,  

(1.6)

trong đó Rnl r  là một hàm của bán kính r, cịn lm  ,   là hàm cầu tương ứng

với

số

lượng tử mômen

quỹ đạo

l và số

lượng

tử từ

m

m  l,l  1,...,0,..., l  1, l  .
Phương trình Schrodinger lúc đó trở thành :
2


1  2 
Lˆ2

r

 V  r   Rnl  r   lm  ,   Εn Rnl  r   lm  , 




2
2
 2me r r  r  2me r


(1.7)

Hai toán tử Hˆ và Lˆ2 giao hốn với nhau nên chúng có chung hàm riêng
nlm r , ,  

Cho Lˆ2 tác dụng lên lm  ,   , sau đó đơn giản lm  ,   ở hai vế ta được:
2
2

l  l  1
1  2 
Ze2 

r



 Rnl  r   Εn Rnl  r 


2
2me r 2
(4 0 )r 
 2me r r  r 

(1.8)

Phương trình (1.8) gọi là phương trình Schrodinger theo bán kính.
Giải phương trình

(1.8) ta tìm được Rnl r  , từ đó tìm được hàm sóng

nlm r , ,   của trạng thái có năng lượng En. Ba số lượng tử n, l , m gọi là ba số

lượng tử đặc trưng cho trạng thái mà ta xét.
1.2. Giải phƣơng trình Schrodinger bán kính
Để giải phương trình (1.8), ta thực hiện phép biến đổi:
Rnl (r ) 

u nl (r )
 u nl r   rRnl r 
r

(1.9)

Thay (1.9) vào (1.8) và biến đổi ta được:





d 2 u nl 2m e
 2 En  Veff r  .u nl  0
dr 2


trong đó

(1.10)


6

Ze 2
l (l  1) 2
Veff (r )  

(4 0 )r
2me r 2

(1.11)

được gọi là thế năng hiệu dụng, bao gồm thế Coulomb cộng với thế li tâm.
Ta giả thiết rằng khi r  0 thì V r    chậm hơn

1
(để điện tử không rơi
r2

vào hạt nhân), nghĩa là r 2V r   0 khi r  0 . Khi đó hàm sóng Rnl r  hữu
hạn trong tồn bộ khơng gian kể cả điểm r  0 . Do đó hàm sóng u nl  rRnl r 
phải bằng 0 khi r  0 .
u nl 0  0

(1.12)

Như vậy bài tốn giải phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong
trường thế đã được đơn giản về bài toán chuyển động một chiều trên nửa
đường thẳng với thế năng hiệu dụng Veff và điều kiện biên ( 1.12).
* Trường hợp r nhỏ:
Khi đó phương trình (1.10) sẽ trở thành:
d  2 dRnl r  
r
  l (l  1) Rnl r   0
dr 
r 

(1.13)

Ta tìm nghiệm dưới dạng
Rnl r   r s .const

(1.14)

Thay (1.14) vào (1.13) ta được:
ss  1.r s .const  l l  1.r s .const  0

hay
ss  1  l l  1

(1.15)

Có hai giá trị của s thoả mãn phương trình trên đó là (s = l và s = - l -1), tuy
nhiên giá trị thứ hai khơng thoả mãn điều kiện biên vì nó dẫn tới nghiệm
Rnl r   

khi r  0 . Vậy ta có Rnl r   r l .const khi r  0 .

* Đối với trường hợp r lớn, ta xét chuyển động của điện tử lúc chưa bị iôn


7

hố trong ngun tử hiđrơ (và trong các iơn tương tự), tức là xét trạng thái
liên kết có năng lượng âm En < 0.
Ta đưa vào biến số mới  và hằng số mới  n :
8m 
    e2 n 



1/ 2

(1.16)

r

và
1/ 2

 me 
n 


(4 0 )  2 n 

Ze2

(1.17)

Khi đó phương trình (1.10) trở thành:
 d 2 l l  1 n 1 

 u nl    0
 2 
 4 
2
 d

(1.18)

Do r lớn, tức là  lớn, nên phương trình (1.18) gần đúng là:
 d2 1
 d  2  4  unl     0.



(1.19)

Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm độc lập
u nl    e  / 2
u nl    e   / 2

Nghiệm u nl    e  / 2 không thoả mãn điều kiện biên vì nó tiến tới vơ cùng khi
   , vậy ta chỉ dùng được nghiệm unl    e   / 2 .

Kết hợp với phần trên khi r  0 thì Rnl     l .const , ta có thể tìm nghiệm khi
r hữu hạn dưới dạng :
Rnl     l e   / 2 vnl  

(1.20)

trong đó vnl   là hàm Laguerre liên kết. Hàm này phải hữu hạn khi r  0 , và
khi r   thì dẫn tới vơ cực khơng nhanh hơn một đa thức của  .
Thay (1.20) vào (1.18) và biến đổi ta được :


8

d 2 vnl  
dv  

 2l  2    nl
 n  l  1vnl    0
2
d
d

(1.21)

Nghiệm của phương trình (1.21) được tìm dưới dạng chuỗi :


vnl     ck  k ,

c0  0

(1.22)

k 0

Thay (1.22) vào (1.21) ta được :

 k k  1c 


k 0

k

k 1



 2l  2   kck  k 1  n  l  1ck  k  0

hay


 k k  1  2l  2k  1.c
k 0

k 1

 n  l  1  k .ck  k  0

(1.23)

Các hệ số của  k phải bằng khơng, từ đó ta suy ra cơng thức truy tốn đối với
các hệ số ck của chuỗi (1.22).
ck 1 

k  l  1  n
c
k  1k  2l  2 k

(1.24)

Để thoả mãn điều kiện giới nội đối với vnl   thì chuỗi phải ngắt lại ở số hạng
bậc  nào đó, tức là các hệ số từ c  1 trở đi đều bằng không :
p  l  1  n  0 , trong đó p là một số nguyên dương hoặc bằng không.

Như vậy  n phải là một số dương, ta kí hiệu là n :
n  n  l  1  p  l  1

(1.25)

đối với một giá trị l đã cho.
Từ đó ta có năng lượng của điện tử trong nguyên tử hiđrô:
me Z 2 e 4
En  
2(4 0 ) 2  2 n 2

(1.26)

trong đó n là số nguyên dương : n  1,2,3...

Theo cơng thức (1.26) thì năng lượng gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình
phương các số nguyên. Tính gián đoạn của năng lượng chính là hệ quả của
yêu cầu về hữu hạn đối với hàm sóng ở vơ cực.


9

1.3. Các mức năng lƣợng
Năng lượng của điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân :
me Z 2 e 4
Z2
En  
 R 2
2(4 0 ) 2  2 n 2
n

me e 4
với R 
2(4 0 ) 2  2

(1.27)

Chúng ta biết rằng các trạng thái có cùng một giá trị của n nhưng có l và m
khác nhau thì có chung giá trị năng lượng (sự suy biến).
Xét cho ngun tử hiđrơ ( có Z = 1)
Ta có R  13,6eV  En  

13,6
eV
n2

Ứng với n  1 năng lượng có giá trị thấp nhất En  13,6eV
E(eV)
0- 0,85 -1,51 -

n

0

1

3

4



4l 

3s

3p

-3,4 -

2

2s

2p

-13,6 -

1

1s

spin
hạt
nhân
(cấu
trúc
siêu
tinh
tế)

2
3d

Hình 1.1. Sơ đồ các mức năng lượng của nguyên tử hiđrô.

Khi n càng tăng thì các mức năng lượng liên tiếp càng gần nhau hơn.
Khi n   thì En  0 , ta nói hệ ở trạng thái bị iơn hố (điện tử bị bứt ra khỏi
hạt nhân).


10

Giá trị tuyệt đối của mức năng lượng thấp nhất cho ta biết năng lượng
iơn hố của ngun tử hiđrơ. Năng lượng này bằng công cần thiết để đưa điện

tử từ trạng thái liên kết có năng lượng thấp E1 ra ngồi ngun tử (hình 1.1).
Khi ngun tử chuyển từ trạng thái có năng lượng En về trạng thái có năng
lượng En' thấp hơn thì nó phát ra bức xạ có tần số góc  thoả mãn hệ thức:
nn'  En  En' 

R 1
1 
 2  2  , ( n'  n ).
n 
 n'

nn 
'

hoặc dưới dạng tần số v của bức xạ: v 
trong đó R' 


R  1
1

 2  2
2 2  n ' n 

(1.28)
(1.29)

R
R
  3,288051.1015 s 1 được gọi là hằng số Rydberg.

2 h

* Dãy Lyman ứng với sự chuyển từ các mức có n  2 về mức có n' 1 .
* Dãy Balmer ứng với sự chuyển từ các mức có n  3 về mức có n' 2 .
* Dãy Paschen ứng với sự chuyển từ các mức có n  4 về mức có n' 3 .
Tiếp theo là dãy Bracket (n  5,6,...; n  4) …
Với các nguyên tử một điện tử hoặc iôn tương tự hyđrô, các mức năng
lượng cũng sắp xếp như đối với Hyđrô nhưng các vạch phổ dịch chuyển sẽ bị
dịch về miền có bước sóng ngắn hơn (vì có năng lượng gấp Z2 lần so với H).
1.4. Hàm sóng
Hàm sóng của hệ:

 nlm r, ,    Rnl r lm  ,  

(1.30)

trong đó thành phần xuyên tâm Rnl r  được xác định bởi công thức (1.20):
Rnl     l e   / 2 vnl  

Nghiệm v nl là hàm số liên kết Laguerre, nó có dạng:
vnl    N nl L2nll1  

Với

2l 1
n l

L

nr

k 1

     1
k 0

n  l !2
k
nr  k !2l  1  k ! k!

trong đó nr  n  l  1 , N nl là hệ số chuẩn hóa.

(1.32)
(1.33)


11

Sử dụng bảng tra cứu các hàm Laguerre liên kết ta tìm được Rnl(r). Một số
hàm Rnl(r) đầu tiên được thống kê trong bảng 1.1:
Bảng 1.1. Một số hàm Rnl(r) đầu tiên.
n

l

Hàm sóng Rnl r 

1

0

2 N10e  x

2

0

2 N 20e  x 1  x 

2

1

2
N 21e  x x
3

3

0

2 

2 N 30e  x 1  2 x  x 2 
3 


3

1

2
2 N 31e  x x2  x 
3

3

2

4
N 32e  x x 2
3 10

Hàm cầu lm  ,  được xác định dựa vào các phương trình trị riêng :
Lˆ2 lm  ,    l l  1 2 lm  ,  
Lˆ z lm  ,   mlm  , 

Từ phương trình (1.35) ta có : lm  ,    K lm  e im

(1.34)
(1.35)
(1.36)

Thay (1.36) vào (1.34) ta được :
dK lm 
1 d 
m2
 sin 

K lm  l l  1K lm  0

2


sin  d 
d  sin 

(1.37)

Đặt x  cos  , phương trình (1.37) được đưa về :

1  x  ddxK
2

2

m
l
2

 2x

dK lm 
m2  m
 l l  1 
 Kl  0
dx 
1 x2 

(1.38)

Phương trình (1.38) là phương trình Legendre liên kết. Nghiệm K lm chính là


12

đa thức Legendre liên kết với biến số là cos  .
K lm x   Pl m cos  
ml  ,   

(1.39)

1 l  m !
1  cos 2 
4 l  m !





m
2

d

m

d cos  

m

Pl m cos  e im A

(1.40)

Trong đó Pl m cos   là đa thức Legendre liên kết:





l
1 dl
cos  2  1
Pl cos    l
l
2 l! dx
m

(1.41)

 (1)m khi m  0
A
khi m  0
1

và

Sử dụng cơng thức cho đa thức Legendre ta có thể tìm được hàm cầu mơ tả
hàm phụ thuộc biến số góc của hệ. Một số hàm cầu được trình bày ở bảng 1.2.
Bảng 1.2. Một số giá trị của hàm cầu lm  ,  .

l

m

Giá trị hàm cầu lm  ,  

0

0

1
4

1

-1

3
sin  .e i
8

1

0

3
cos 
4

1

+1



2

-2

15
sin 2  .e 2i
32

2

-1

15
cos  sin  .e i
8

2

0

5
3 cos 2   1
16

2

1

2

2

3
sin  .e i
8







15
cos  sin  .e i
8

15
sin 2  .e 2i
32


13

Với các hàm theo bán kính và hàm cầu đã được xác định ta có thể thu được
hàm sóng tồn phần của hệ.

Bảng 1.3. Một số giá trị của hàm sóng  nlm r , ,  .
n

1

2

2

2

l

0

0

1

1

Trong bảng 1.3 a0 

m

Giá trị hàm sóng  nlm r , , 
1 Z 
 
  a0 

0

0

0
1

1
4 2
1
4 2

Z
 
 a0 

3/ 2

Z
 
 a0 

1 Z
 
8   a0 

3/ 2

3/ 2

e  Zr / a0


Zr 
 2  e  Zr / 2 a0
a0 


3/ 2

Zr  Zr / 2 a0
e
cos 
a0

Zr  Zr / 2 a0
e
sin  .e i
a0

4 0  2
là bán kính quỹ đạo Bohr thứ nhất.
me 2

Dựa vào hàm sóng  nlm r, ,  ta sẽ biết được mật độ phân bố điện tử (bằng
cách lấy bình phương hàm sóng ) xung quanh hạt nhân.

Hình 1.3. Mật độ phân bố điện tử ở các trạng thái s và p trong nguyên tử Hyđrô

14

Trong hàm sóng  nlm r, ,   , n là số lượng tử chính: n =1,2,3...; l là số lượng
tử quỹ đạo (l = 0,1,2, …, n - 1) và m là số lượng tử từ, nó có thể nhận
2l  1 giá trị khả dĩ ( m  0,1,2,3,..., l ).

Những trạng thái có cùng số lượng tử n nhưng khác l và m vẫn có năng
lượng bằng nhau, người ta gọi đây là các trạng thái suy biến.
Độ suy biến:
n 1

g n   2l  1  n 2

(1.42)

l 0

Vậy số trạng thái có cùng một giá trị năng lượng En là n 2 , tức là suy biến với
độ bội là n 2 .
Trong phổ học, các trạng thái điện tử được phân loại tùy theo giá trị số
lượng tử quỹ đạo l như sau:
Số lượng tử l :
Ký hiệu trạng thái:

0
s

1 2
p

3 4 5 6 7 ...

d f g h

i

j ...

Ví dụ: Trạng thái có n= 2, l= 0 được viết là 2s, còn n=2, l=1 viết là 2p..
1.5. Quy tắc lọc lựa
Trong cấu trúc thô, phổ điện tử là kết quả của các dịch chuyển giữa các
mức ứng với các giá trị khác nhau của n. Tuy nhiên không phải tất cả các
chuyển dời đều được phép mà chỉ những dời chuyển nào thoả mãn quy tắc lọc
lựa mới có thể xảy ra được, cụ thể là [1]:
n  1,2,3,...

(1.43)

m  0,1

(144)

l  1

(1.45)

Như vậy sự chuyển dời chỉ có thể xảy ra giữa các trạng thái s và trạng thái p,
giữa các trạng thái p và trạng thái d, giữa các trạng thái d và trạng thái f…

15

Kết luận chƣơng I
Chương I đã nghiên cứu cấu trúc phổ của nguyên tử Hyđrô và của các
nguyên tử đồng dạng với nó. Bằng cách giải phương trình Schrodinger phi
tương đối tính cho nguyên tử một điện tử ta đã tìm được hàm sóng và năng
lượng của điện tử. Qua chương này chúng ta biết được các mức năng lượng
trong ngun tử Hyđrơ do số lượng tử chính n quy định. Các vạch phổ thu
được trong quang phổ do sự dịch chuyển giữa các mức năng lượng nói trên và
tuân theo quy tắc lọc lựa.

Khi tính đến spin điện tử thì mỗi vạch phổ khơng cịn là vạch
đơn nữa mà được phân tách thành nhiều vạch nhỏ, sự phân tách đó
gọi là cấu trúc tinh tế.
Khi tính đến cả spin của hạt nhân thì mỗi mức tinh tế lại được
tách thành các mức con nữa, tạo nên cấu trúc siêu tinh tế. Nghiên
cứu ở cấp độ chính xác càng cao thì hình ảnh phổ càng phức tạp và
càng đúng với thực nghiệm. Chúng ta sẽ nghiên cứu cấu trúc tinh tế
và siêu tinh tế của phổ các nguyên tử một điện tử ở chương II.


16

CHƢƠNG II.
CẤU TRÚC TINH TẾ VÀ SIÊU TINH TẾ CỦA
CÁC NGUYÊN TỬ MỘT ĐIỆN TỬ
2.1. Cấu trúc tinh tế của các mức năng lƣợng của nguyên tử một điện tử
2.1.1. Spin điện tử
Khi điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân nó sẽ tạo ra một mơmen






từ quỹ đạo  l . Mối liên hệ giữa mômen từ quỹ đạo  l và mômen quỹ đạo l
được xác định theo hệ thức [2]:
l
l



e
2mec

(2.1)

Khi các ngun tử có mơmen từ quỹ đạo được đặt trong từ trường thì nó sẽ
chịu tác dụng của lực từ:

 
F   grad (.B)

(2.2)

Từ (2.1) và (2.2) cho thấy khi nguyên tử ở trạng thái s được đặt trong từ
trường thì ngun tử sẽ khơng chịu tác dụng của lực từ.
Mặt khác, ta biết rằng với mỗi giá trị của l thì hình chiếu ml sẽ nhận
2l + 1 giá trị khả dĩ. Tuy nhiên trong thí nghiệm quan sát chuyển động của
chùm nguyên tử bạc Ag trong từ trường (Hình 2.1) của Stern và Gerlach vào

năm 1921 cho thấy: dù mômen quỹ đạo của điện tử là l = 0 (tức là nguyên tử
Ag sẽ không bị lệch trong từ trường ) nhưng vẫn có 2 giá trị khả dĩ hình chiếu
ml tương ứng với hai hướng lệch của chùm nguyên tử. Vì vậy theo quy tắc
lượng tử hố thì phải tồn tại 1 mơmen nội tại nào đó và bị lượng tử hố tương
ứng với số lượng tử bằng

1
. Để giải thích cho điều này, năm 1925 Uhlenbeck
2

và Goudsmit đã giả thiết rằng điện tử phải có một mơmen nội tại đặc trưng
cho trạng thái nội tại của điện tử và được gọi là spin, ký hiệu bởi s . Spin đây
là một thuộc tính của điện tử cũng như của các hạt cơ bản khác.


17

chùm
ngyên tử

lò tạo hơi nguyên tử Ag

a)

chùm nguyên
tử Ag
khe
hẹp

màn quan

sát

nam châm
tạo từ trường

b)

Hình 2.1. Sơ đồ thí nghiệm Stern và Gerlach (a) và góc nhìn trong mặt phẳng yz.

Một cách tương tự như l, spin cũng bị lượng tử hoá theo biểu thức:
s 

s  s  1 

11

  1 
22


3
2

(2.3)

z

s

1

 
2


1
s  . 3.
2

1
 
2

l

Hình 2.2. Minh họa cho sự lượng tử hố trong khơng gian của spin điện tử.

Hình chiếu của mơmen này lên trục z có giá trị là:
1 1
sz  ms , với ms   ,  .
 2 2

(2.4)

Mômen từ spin của điện tử khi đó sẽ có dạng:
s 

e
s
me c

(2.5)


18

s

Từ đó suy ra:

s



e
mec

(2.6)

Vì vậy, khi chú ý đến spin của điện tử thì trạng thái của hệ sẽ được xác định
qua bộ 4 số lượng tử (n, l, ml, ms). Khi đó gn trong (1.42) phải được tăng gấp 2
lần tương ứng với 2 giá trị khả dĩ của ms ứng với bộ (n, l, ml) cho trước:
n 1

2 2l  1  2n 2

(2.7)

l 0



Mơmen tồn phần j của điện tử:
  
j l s

(2.8)


l và thành phần hình chiếu của nó lên trục z cũng bị lượng tử hoá:
l 

l  l  1

lz  m

(2.9)

(với m = -l, -l + 1,..., +l)

(2.10)

và spin bị lượng tử hố nên mơmen của điện tử cũng bị lượng tử hoá bởi :

j   j ( j  1)

Do số lượng tử hình chiếu của spin chỉ có thể là 
toàn phần J sẽ nhận các giá trị: j  l 
jz  m j

(2.11)

1
1
hoặc  nên số lượng tử
2
2

1
1
và j  l  với l = 0, 1, … n-1.
2
2

với mj = -j, -j + 1, ..., j.

(2.12)

Mômen từ toàn phần của điện tử  j sẽ bằng:






 j  l   s

(2.13).

2.1.2. Cấu trúc tinh tế các mức năng lƣợng của nguyên tử một điện tử
2.1.2.1. Sự dịch chuyển năng lƣợng
Cấu trúc tinh tế của các mức năng lượng của nguyên tử một điện tử là

dựa trên các hiệu ứng tương đối tính. Phương trình mơ tả hệ trong trường hợp
này là phương trình Dirac và hàm sóng lúc này là hàm sóng phụ thuộc toạ độ


19

như (1.30) và phần mô tả spin của điện tử, tức là  nlm m .
l

s

Ta sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để tách hàm Hamiltonian thành hai
phần, ˆ 0 là phần không nhiễu loạn và ˆ ' là phần nhiễu loạn mơ tả các hiệu
ứng tương đối tính [1]:
ˆ 
ˆ 
ˆ'

0

trong đó

với

(2.14)


pˆ 2
Ze 2
ˆ

0 

2m 4 0 r

(2.15)

ˆ ' 
ˆ ' 
ˆ ' 
ˆ'

1
2
3

(2.16)


pˆ 4
'
ˆ
1   3 2
8m c

(2.17)

1
1 dV  
. .
.L.S

2 2
2m c r dr

(2.18)

2
2
ˆ '    Ze  r 

3
2m 2 c 2  4 0 

(2.19)

ˆ' 

2

H 1' là bổ chính tương đối tính cho động năng do sự phụ thuộc khối lượng

điện tử vào vận tốc.
H 2' là bổ chính do tương tác spin - quỹ đạo.
H 3' là số hạng bổ chính Darwin.

Sự dịch chuyển năng lượng tồn phần  nj  1   2   3 do những bổ
chính tương đối gây ra . Với mọi giá trị của l [1] :
Z 
E nj   * Hˆ 'dv E n
n2

2

 n
3

 
 j 1/ 2 4 

(2.20)

Năng lượng toàn phần của hệ khi xét đến các số hạng bổ chính [1]:
Enj  En  Enj   nj  En 1  Z2  



2

n

n
3 
 
 j  1 / 2 4 


(2.21)

Như vậy, khi xét đến các số hạng bổ chính thì năng lượng của ngun tử
khơng những phụ thuộc vào n mà cịn phụ thuộc vào j của điện tử. Nghĩa là

20

độ suy biến của cấu trúc thô được khử đi một phần. Ta gọi cấu trúc năng
lượng trong trường hợp này là cấu trúc tinh tế.
Do số lượng tử spin của điện tử có giá trị bằng ½ do đó số lượng tử j sẽ
nhận các giá trị bán nguyên :

1 3
1
j  , ,..., n  .
2 2
2

Mỗi giá trị của j tương ứng với hai

1
2

giá trị có thể có của l , l  j  , ngoại trừ trường hợp j  n 

1
thì l chỉ có
2

một giá trị l  j  1  n  1 .
2

Khi xét đến cấu trúc tinh tế, trạng thái điện tử được ký hiệu bởi nlj, ví dụ 3d3/2.

2.1. 2. 2. Sự tách các mức năng lƣợng
Một mức năng lượng En chỉ phụ thuộc số lượng tử chính n tách ra thành
n mức khác nhau trong lý thuyết Dirac, ứng với mỗi giá trị
tách này được gọi là sự tách cấu trúc tinh tế, và n giá trị

j

1 3
1
, ,..., n  .
2 2
2

1 3
1
j  , ,..., n 
2 2
2

Sự

là 1

vạch bội của cấu trúc tinh tế. Sự tách cấu trúc tinh tế của các mức năng lượng
tương ứng với n = 1, 2, 3 được minh hoạ trong hình 2.3 và 2.4..
n=3

3d5/2

0,018 cm-1

3p3/2; 3d3/2

0,036 cm-1
0,108 cm-1

3s1/2; 3p1/2
n=2
2p3/2
2s1/2; 2p1/2
n
=1

0,091 cm-1
0,365 cm-1

1,46 cm-1
1s1/2

(a)

(b)

Hình 2.3. Các mức năng lượng khi khơng tính đến các số hạng bổ chính (a) và khi
tính đến các số hạng bổ chính (b).


21

E(eV)

0,108cm 1
-1,51

-3,4

n =3
EFS  0,2.104 eV

3d3/2

3p1/2

EFS  1,13.105 eV

n =2
2p3/2

EFS  0,56.104 eV
2s1/2

-13,6

3d5/2

3p3/2
3s1/2

0,036cm 1

2p1/2

0,365cm 1

n =1

EFS  18.104 eV

1eV  8065,54cm 1
1s1/2

Hình 2.4. Cấu trúc tinh tế một số mức năng lượng đầu tiên của nguyên tử Hiđrô.
Đường chấm chấm biểu thị mức năng lượng được tính theo phương trình
Schrodinger, còn đường liền nét biểu thị mức năng lượng sau khi được bổ chính.

Hai trạng thái điện tử có cùng giá trị n nhưng khác j thì trạng thái có giá
j lớn sẽ nằm cao hơn trạng thái có j bé. Cịn đối với trạng thái có cùng n và j
nhưng khác nhau l bởi giá trị l = j + 1/2 và l = j - 1/2 thì có cùng năng lượng.
Hình 2.5 minh họa về đóng góp của 1 ,  2 và  3 của nguyên tử hiđrô ở
các trạng thái s1/2, p1/2 và p3/2


22

0,12 cm-1
0,21 cm-1

s1/2

0,73 cm-1

p3/2

n=2

s1/2
p1/2

p1/2, p3/2

p1/2, p3/2
0,24 cm

p3/2

-1

0,09 cm-1
0,46 cm-1

s1/2, p1/2

1,19 cm-1
s1/2
E1

E2

E3

E  E1  E2  E3

Hình 2.5. Các thành phần 1 ,  2 và  3 trong sự tách năng lượng ở mức n =2
của nguyên tử hiđrô.

2.1.2.3. Các quy tắc lọc lựa trong cấu trúc tinh tế
Trong gần đúng lưỡng cực điện, dịch chuyển giữa hai trạng thái nlj  n' l ' j '
chỉ xảy ra khi:

n  1,2,3...

(2.22)

l  1

(2.23)

j  0,1 (trong đó j = 0 tới j =0 bị cấm)

(2.24)

Sử dụng (2.22) và (2.24), ta có thể nhận biết cấu trúc của quang phổ ngun
tử hiđrơ. Ví dụ, trong hình 2.5 ta thấy vạch bội np - n's có hai thành phần
( bội hai ).
nd 3 / 2
nd1/ 2

np3 / 2
np1/ 2

np3 / 2

np1/ 2

ns1/ 2

(a)

(b)

Hình 2.6. Sự chuyển được phép trong vạch bội np - n's (a) và nd - n'p (b)


23

Tương tự như vậy ta có thể thấy dịch chuyển giữa d – p (hình 26b) cho ta cấu
trúc bội ba.
2.2. Dịch chuyển Lamb
Các kết quả thu được ở trên mặc dù có sự phù hợp khá tốt giữa lý
thuyết và thực nghiệm, người ta cũng đã phát hiện có sự sai lệch với lý thuyết
của Dirac. Vào năm 1947, Lamb đã quan sát thấy hai mức 2s1/2 và 2p1/2 của
hiđrô không nằm trùng nhau theo lý thuyết mà lại nằm tách nhau một khoảng
0,035 cm-1 (hay 1051 MHz), đó là dịch chuyển Lamb. Sau này Bethe và một
số nhà vật lý khác đã chứng minh rằng dịch chuyển Lamb có được do sự
tương tác của điện tử với trường bức xạ mà trong lý thuyết Dirac chưa để ý
tới.
Với nguyên tử H, đối với mức đã cho n, l năng lượng phụ do tương tác
với bức xạ hay gọi là giá trị bổ chính bức xạ có bậc  3 bao gồm hai phần.
Phần phụ thuộc vào giá trị hàm sóng điện từ tại gốc tọa độ r = 0 , (O)  0
chỉ đối với các trạng thái S. Với S1 / 2 phần này có giá trị tính được như sau [4]:

 mc 2
11  1 
1 E no1 / 2  AnZ  ln
 ln 2    
24  5 
 BnZ

hay
ở đây

 mc 2
31 

1 E no1 / 2  AnZ  ln
 ln 2 
120 
 BnZ

AnZ

1 8R 3 z 4

3
n3

(2.25)

(2.25a)
(2.26)

Trong công thức (2.25) số hạng trong ngoặc tròn biểu diễn số bổ chính bức xạ
cịn giá trị 

1
biểu diễn số bổ chính vì sự phân cực của chân khơng, trong
5

mc 2
ln
đưa vào tỷ số năng lượng riêng của điện tử với hằng số BnZ đặc trưng
BnZ

cho một năng lượng kích thích trung bình nào đó của trường điện từ. BnZ tỷ lệ
với Z2


24

BnZ  an Z 2

(2.27)

a1  19,77 R ; a2  16,64R ; a3  15,92R ; a4  15,64R …

Phần phụ thuộc thứ 2 của bổ chính bức xạ gây ra bởi sự tương tác
tương đối của spin điện tử với điện tử của hạt nhân. Nó sai khác với không ở
trạng thái S (l =0) cũng như ở các trạng thái khác (l > 0). Nó được xác định :
 2 E nlj

3

1

 AnZ . 8(2l  1) . l  1


3
1
 A .
.
nZ

8(2l  1) l

đối với

1
2
1
jl
2
jl

spin điện tử
(cấu trúc tinh tế)

Cụ thể : với trạng thái nS1/2 (l = 0, j = 1/2) ta có

 2 E n 01/ 2  AnZ

3

8

với trạng thái nP1/2 (l = 1, j = 1/2) ta có

 2 E n11/ 2   AnZ

với trạng thái nP3/2 (l = 1, j = 3/2) ta có

 2 E n13 / 2  AnZ

1
8

1
16

Vậy biểu thức tồn phần của bổ chính bức xạ sẽ là :
Enlj  1 Enlj   2 Enlj

(2.28)

với trạng thái nS1/2 nó có giá trị:
E
no

1
2

 mc 2
 mc 2

31  3
19 
 AnZ ln
 ln 2 

A

A
 ln 2  

nZ
nZ ln
120  8
30 
 BnZ
 BnZ

với trạng thái nP1/2 nó có giá trị: En11/ 2  0  AnZ

1
8

Dịch chuyển Lamb là hiệu của hai biểu thức Enlj đối với hai mức nằm
trùng nhau nS1/2 và nP1/2. Ký hiệu dịch chuyển này là  L ta có :
 mc 2
19   1

 L  E no1 / 2  E n11/ 2  AnZ ln
 ln 2      AnZ 
30   8


 BnZ

hay

 mc 2
19 1 
 L  AnZ ln
 ln 2 
 
30 8 
 BnZ

Thay (2.55a) vào (2.58), ta có:

(2.29)


25

L 

1 8R 3 Z 4
3
n3

với

DnZ 

 mc 2
19  8R 3 Z 4
ln

ln
2

DnZ


120 
n3
 BnZ

1  mc 2
91 
 ln 2 
ln

3  BnZ
120 

(2.30)
(2.31)

Với trạng thái 2S của nguyên tử H, lấy giá trị năng lượng mc 2  0,5MeV  5.105 eV
và giá trị B21  16,64R.12  230eV , có giá trị ln

mc 2
 7,69 .

B21

Thay các giá trị trên vào (2.40) và tính tốn ta được  L  1051MHz , là giá trị
dịch chuyển mà Lamb đã phát hiện bằng thực nghiệm.
2.3. Cƣờng độ các vạch phổ trong dịch chuyển tinh tế
Cường độ I của vạch phổ là một đại lượng tỉ lệ với cơng suất bức xạ
trong một đơn vị thể tích, khi bỏ qua các hiện tượng khác như sự tự hấp thụ
hay tán xạ xảy ra trong thể tích nói trên. Cường độ các vạch phổ trong dịch
chuyển tinh tế được tính theo tích phân theo bán kính:
 4 
I nql m;nlm  

 3 

12

r
0

3

dr.Rnl  (r ).Rnl (r ). d..Yl*m ( ,  ).Yl ,q ( ,  )Ylm ( ,  )

(2.32)

I nqlm;nlm cho cả 2 quá trình dịch chuyển np3/2-n’s1/2 và np1/2-n’s1/2 là như

nhau, điều đó dễ dàng có được từ việc xác định các góc (có nghĩa là quan tâm
đến động lượng).
Nói chung, các dịch chuyển chỉ xảy ra giữa các trạng thái thỏa mãn quy

tắc nhất định. Minh họa trong hình vẽ 2.7 trong trường hợp vạch H  của cấu
trúc tinh tế, nghĩa là vạch đỏ của dãy Balmer tại 6563Ao, tương ứng với sự
dịch chuyển giữa trạng thái trên n = 3 và trạng thái dưới n = 2. Cấu trúc tinh
tế của mức dưới (n = 2) (khoảng 0,365 cm-1) và khoảng cách này là hằng số
cho mọi vạch trong dãy. Tương tự mỗi vạch trong dãy Paschen (trạng thái
dưới n = 3) gồm có ba vạch rất gần nhau. Ta thấy rằng sự phân tách cấu trúc
tinh tế E nl tỉ lệ thuận với Z4.