Dạy học chủ đề giới hạn, đạo hàm, tích phân theo hướng tiếp cận lịch sử phát triển của toán học

Trờng đại học vinh
Khoa Toán
------------------------------------

Nguyễn Thị Tố Nga

Dạy học chủ đề giới hạn, đạo hàm,
tích phân theo hớng tiếp cận lịch sử
phát triển của toán học

KHóa luận tốt nghiệp đại học
Ngành Cử nhân S phạm Toán

Cán bộ hớng dẫn khoá luËn
TS. Chu Träng Thanh

Vinh 2006


2


3

Phần mở đầu
1- Lý do chọn đề tài
Luật Giáo dục 1998, chơng I, điều 24 nhấn mạnh: Phơng pháp giáo dục
phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của học
sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự
học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm,
đem l¹i niỊm vui, høng thó häc tËp cho häc sinh”.

D¹y học phát hiện và giải quyết vấn đề là một hình thức phát huy tính
tích cực t duy của học sinh có hiệu quả cao. Mặc dù một kiến thức toán học khi
đa vào chơng trình phổ thông không nhất thiết phải giống đúc sự hình thành và
phát triển của kiến thức đó trong lịch sử toán học nhng trong mét sè trêng hỵp
cã thĨ, nÕu sư dơng t liƯu lịch sử toán để gợi động cơ hình thành một chủ đề nào
đó, đặc biệt là khái niệm toán học thì sẽ đạt đợc kết quả rất tốt. Sử dụng lịch sử
toán khi gợi vấn đề để tiến tới một khái niệm sẽ hình thành biểu tợng đúng đắn
cho học sinh. Vì rằng ấn tợng ban đầu giữ vai trò quan trọng đối với quá trình
học tập, nó quyết định tính chất đúng đắn hay sai lầm của việc ghi nhớ tài liệu
học. Điều quan trọng nhất đối với học sinh là tri thức mà các em thu nhận có
thể vận dụng vào trong thực tế, vào sự phát triển của xà hội hay lợi ích của
chính bản thân các em. Đa ra những tình huống mà lịch sử toán học đà trải qua
để tiến tới một kiến thức nào đó là làm rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn,
nó có tác dụng kích thích các em hoạt động học tập.
Với việc dạy học nh vậy học sinh sẽ tiếp cận kiến thức toán học, xét về
mặt nào đó, gần giống với việc nghiên cứu của các nhà toán học. Các em sẽ biết
đợc từ đâu mà xuất hiện kiến thức ấy, tạo cho các em không khí học tập nh là
tập dợt nghiên cứu khoa học, từ đó lĩnh hội đợc kinh nghiệm lịch sử của xà hội.
Vì vậy sử dụng t liệu lịch sử toán để gợi động cơ không những giúp học sinh
nắm chắc kiến thức mà còn bồi dỡng nhân cách cho các em, theo nh ngôn ngữ


4
của Grigôri Vinxki - nhà tâm lý học Nga, đó là sự giáo dục chứ không chỉ đơn
thuần là việc dạy học.
Với những lý do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài khoá luận là Dạy
học chủ đề Giới hạn,Đạo hàm,Tích phân theo hớng tiếp cận lịch sử phát
triển của toán học.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một hớng tiếp cận lịch sử toán để dạy học một số nội dung toán

học nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận: vấn đề tích cực hoá hoạt ®éng nhËn thøc cđa
häc sinh; khai th¸c c¸c kiÕn thøc lịch sử toán phục vụ cho việc tổ chức hoạt
động nhận thức của học sinh.
- Nêu ra định hớng giảng dạy kiến thức Giới hạn,Đạo hàm,Tích phân
theo hớng tiếp cận lịch sử phát triển của toán học.
- Tiến hành kiểm nghiƯm trong thùc tÕ ®èi víi mét sè néi dung nhằm bớc
đầu đánh giá tính khả thi, tính hiện thực, tính hiệu quả của đề tài.
4. Phơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến đề tài:
giáo dục học, lí luận dạy học môn Toán, các thuyết phát triển tâm lí,
- Quan sát: dự giờ của giáo viên,quan sát quá trình học tập của học sinh,

- Thực nghiệm s phạm.
5. Giả thuyết khoa học
Trong dạy học môn Toán nếu giáo viên biết khai thác các t liệu lịch sử
một cách hợp lý sẽ làm cho hoạt động học tập của học sinh tích cực, gây đợc
hứng thú, hiệu quả dạy học nhờ thế để nâng cao


5
6. Đóng góp của khoá luận
Tổng hợp một số t liệu lịch sử toán liên quan đến nội dung môn toán phổ
thông, đề xuất một định hớng khai thác các t liệu đó trong quá trình dạy học
một số nội dung môn toán phổ thông.
7. Cấu trúc của khoá luận
Chơng 1. Cơ sở lí luận của vấn đề dạy học Toán theo hớng tiếp cận
lịch sử phát triển của Toán học
1.1. Vấn đề tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh

1.2. Khai thác các kiến thức lịch sử Toán phục vụ cho việc tổ chức hoạt
động nhận thức của học sinh.
1.3. Đặc điểm kiến thức chủ đề Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân.
Chơng 2. Dạy học chủ đề Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân theo hớng
tiếp cận lịch sư ph¸t triĨn cđa To¸n häc.
2.1. Mét sè t liƯu lịch sử liên quan đến các kiến thức Giới hạn, Đạo hàm,
Tích phân.
2.2. Một số lu ý khi sử dụng t liệu lịch sử Toán trong dạy học môn Toán
phổ thông.
2.3. Một số định hớng khai thác kiến thức lịch sử Toán vào dạy học chủ
đề Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân.
2.4. Minh hoạ bằng một số nội dung.
Chơng 3. KiĨm nghiƯm thc tiƠn mét sè néi dung.


6

Chơng 1
Cơ sở lí luận của vấn đề dạy học Toán theo hớng tiếp cận
lịch sử phát triển của Toán học
1.1. Vấn đề tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh

1.1.1. Tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh
Hiệu quả lĩnh hội tri thức không phải chỉ là ở chỗ tri giác và giữ lại thông
tin mà còn ở chỗ cải biến có kết quả thông tin ấy. Điều này đòi hỏi chủ thể phải
hoạt động tích cực, tìm tòi, khám phá những khâu còn thiếu trong thông tin đÃ
tiếp thu đợc, cải biến nó thành cái có nghĩa đối với mình.
Đổi mới phơng pháp dạy học ở nhà trờng phổ thông phải tiến hành theo hớng ngày càng phát huy tính tích cực của học sinh và tăng cờng hoạt động trí tuệ
độc lập của các em trong quá trình thu nhận tri thức, rèn luyện kĩ năng, kỹ xảo.
Tích cực hoá việc dạy học không phải chỉ có giá trị về mặt kết quả trí dục

mà còn đặc biệt quan trọng về mặt giáo dục, nó ảnh hởng đến nhân cách của
học sinh. Phát huy tÝnh tÝch cùc häc tËp cña häc sinh cã tác dụng phát triển
những đức tính quý giá nh: tính mục đích, lòng ham hiểu biết, tính kiên trì, óc
phê phán, Những phẩm chất cá nhân này trở thành những yếu tố kích thích
bên trong điều chỉnh hoạt động nhận thức của học sinh, đó là những điều kiện
hết sức quan trọng giúp cho việc học tập đạt kết quả tốt.
Khoa học s phạm đà tìm ra đợc nhiều thủ thuật phát huy tính tích cực
hoạt động nhận thức của học sinh. Trong số đó, dạy học phát hiện và giải quyết
vấn đề đặc biệt có giá trị quan trọng. Đó là một hình thức có hiệu quả để tổ
chức sự tìm tòi sáng tạo của học sinh khi tiếp thu tri thức thông qua việc phát
hiện và giải quyết các vấn đề. Ngày nay có nhiều lí thuyết nghiên cứu hoạt động
học của học sinh, trên cơ sở đó có nhiều mô hình dạy học đợc đề xuất. Tất cả
các mô hình đó đều hớng vào việc phát huy tÝnh tÝch cùc cđa häc sinh trong häc
tËp.
1.1.2. T©m lÝ học hoạt động


7
Động cơ là yếu tố thúc đẩy con ngời hoạt động, đó là sự gặp gỡ giữa nhu cầu
của chủ thể và đối tợng của hoạt động. Khi đối tợng có khả năng thoả mÃn một nhu
cầu nào đó của con ngời, nó kích thích con ngời hoạt động, nó trở thành động cơ.
Tức là động cơ của hoạt động hiện thân ở đối tợng của nó khi chủ thể ý thức đợc nó.
Trong hoạt động học tập, tri thức khoa học, kỹ năng, kỹ xảo là đối tợng
của hoạt động học và cũng là hiện thân của động cơ. ở học sinh có hai động cơ
học tập chủ yếu: động cơ bên trong và động cơ bên ngoài.
Những động cơ bên trong là những động cơ mà đối tợng học gắn liền với
nhu cầu, hứng thú phát triển, tìm kiếm tri thức mới, lòng ham hiểu biết (gọi là
động cơ hoàn thiện tri thức) hoặc sự say mê với việc giải quyết các nhiệm vụ
học, nhu cầu vận dụng tri thức (gọi là nhu cầu về chính bản thân hoạt động
học). Các em sẽ cảm thấy thoả mÃn khi lĩnh hội đợc một tri thức, kỹ năng, kỹ

xảo hay khi hoàn thành một nhiệm vụ học. Hoạt động học đợc thúc đẩy bởi
động cơ bên trong thờng không gây ra sự căng thẳng tâm lí.
Động cơ bên ngoài (hay động cơ quan hệ xà hội) là loại động cơ mà đối
tợng của nó không gắn với đối tợng của hoạt động học. Khi đó, sự lĩnh hội tri
thức, kỹ năng, kỹ xảo chỉ là điều kiện, là phơng tiện để đạt tới một mục đích
khác, một đối tợng khác có khả năng thoả mÃn những nhu cầu của quan hệ xÃ
hội ở học sinh nh nhu cầu tự khẳng định, đợc thừa nhận hay vì nghề nghiệp tơng
lai, Loại động cơ này thúc đẩy hoạt động học nh là sự cỡng bách từ bên
ngoài, điều đó gây ra ở học sinh sự xung đột nội tâm, sự căng thẳng tâm lí.
Hoạt động học tập của học sinh thờng đợc thúc đẩy bởi cả hai động cơ
trên. Nếu giáo viên luôn đa đợc học sinh vào những tình huống đòi hỏi n phải
giải quyết một vấn đề nhận thức và hớng dẫn học sinh giải quyết tình huống để
phát hiện ra cái mới (tri thức, phơng pháp,) sẽ hình thành ở các em nhu cầu,
hứng thú đối với tri thức khoa học và với chính bản thân hoạt động học. Trong
trờng hợp này, động cơ bên trong sẽ đóng vai trò chủ đạo, chiếm u thế trong hệ
động cơ, giúp học sinh vợt qua khó khăn, trở ngại, từ đó c¸c em sÏ häc tËp mét
c¸ch tù gi¸c, tÝch cùc.


8
Nh vậy, trong dạy học để tích cực hoá hoạt động nhận thức ở học sinh,
điều quan trọng là phải hình thành ở các em nhu cầu nhận thức, hiểu biết, qua
đó xây dựng một hệ động cơ mà những động cơ bên trong đóng vai trò chủ đạo
trong hoạt ®éng häc tËp cña häc sinh.
Theo A.N.Leonchiep trong bÊt cø hoàn cảnh nào, một tri thức trở thành
cái gì đó đối với trẻ và đứa trẻ lĩnh hội nó nh thế nào đợc quy định bởi những
động cơ cụ thể. Động cơ khác nhau, tất nhiên kết quả học tập cũng khác nhau;
sự khác nhau ở đây không chỉ ở mức độ thành công của sự lĩnh hội ấy. Vậy,
động cơ nh thế nào thì đứa trẻ hoạt động tích cực, tự giác? Nhiệm vụ của chúng
ta là phải làm cho các em nhận thấy những tri thức mà các em cần lĩnh hội trở

thành một cái có ý nghĩa đối với chúng, có vị trí nh thế nào trong đời sống cá
nhân của chúng và có ý nghĩa đối với cộng đồng.
ý của một tri thức đối với bản thân các em là gì? Đó không phải thuần
tuý là lĩnh hội đợc nó mà còn mang sắc thái tình cảm, cảm xúc của chính bản
thân các em đối với tri thức ấy. Đứng trớc một kiến thức, bằng cách gợi động cơ
chúng ta sẽ xây dựng nên ở học sinh một xúc cảm tốt, giúp các em tích cực hoạt
động.
Đối với đứa trẻ, tài liệu học tập càng hứng thú bao nhiêu thì nó lĩnh hội và
ghi nhớ dễ dàng bấy nhiêu. Hứng thú lại gắn với các cảm xúc, các nhu cầu. Để
kích thích hứng thú, không phải là chúng ta đề ra mục đích, rồi cố gắng biện hộ
về mặt động cơ cho hành động hớng vào mục đích xác định, mà ngợc lại, cần
phải tạo nên động cơ và sau đó vạch ra khả năng tìm mục đích bằng cách sử dụng
một hệ thống các động cơ trung gian và động cơ hớng đích.
Nh vậy, nội dung nhận thức của ý thức phụ thuộc vào thái độ đối với cái
đợc nhận thức. Giáo viên cần phải làm sao cho học sinh có thái độ học tập thích
hợp; chỉ trong điều kiện đó thì những tri thức mới trở nên sinh động đối với các
em, từ đó quy định thái độ của các em đối với thế giới, vì thế giáo dục động cơ
học tập phải đặt trong mèi quan hƯ víi sù ph¸t triĨn cđa cc sèng, víi sù ph¸t
triĨn cđa néi dung cđa c¸c quan hƯ sèng thùc cđa trỴ em.


9

1.2. Khai thác các kiến thức lịch sử Toán phục vụ cho việc
tổ chức hoạt động nhận thức của học sinh.

Yêu cầu đổi mới phơng pháp dạy học đang là vấn đề nổi bật nhất đặt ra
cho ngành Giáo dục nớc ta hiện nay. Hẳn chúng ta đà đợc nghe không ít lần
những cụm từ học tập trong hoạt động và bằng hoạt động hay hoạt động hoá
ngời học. Các giáo viên trớc khi lên lớp đều suy nghĩ là làm sao cho giờ dạy

của mình học sinh hoạt động sôi nổi, tích cực giơ tay phát biểu, nhng điều đó
hoàn toàn cha đủ. Nhiệm vụ của chúng ta không chỉ là truyền tải kiến thức mà
còn là giáo dục, nghĩa là từ dạy học mà chúng ta rèn luyện nhân cách cho các
em.
Tri thức khoa học có đơn vị cơ bản, nền tảng là các khái niệm khoa học
Tri thức của mỗi khoa học là một hệ thống khái niƯm trong mét mãi quan hƯ
logic víi nhau.V× vËy sù hình thành khái niệm khoa học có vai trò rất quan
trọng trong hoạt động học của học sinh. Mỗi khái niệm khoa học chứa đựng
trong đó quá trình lịch sử hình thành nó, vì vậy lĩnh hội khái niệm có nghĩa là
lĩnh hội cả lịch sử của nó. Hơn nữa, khái niệm chứa đựng lôgic phát triển của
đối tợng, cấu trúc lôgic thao tác mà loài ngời đà sử dụng để phát hiện ra nó.
Dạy học truyền thống lấy trình độ hiểu làm mục đích; giáo viên cố gắng
trình bày, giảng giải, mô tả lôgíc khái niệm. Với phơng pháp này, học sinh có thể
hiểu đợc, có biểu tợng về khái niệm, hình dung đợc cấu trúc lôgic hình thức, giải
thích và vận dụng đợc vào tình huống quen thuộc nhng các em lại không có đợc
một năng lực hành động mới thực sự, có tính tổng quát.
Tâm lí học hoạt động thì có quan niệm khác hẳn. Theo nó, lĩnh hội một
khái niệm là học sinh nắm vững, thực hiện đợc lôgic thao tác của nó, do đó, có
thêm một năng lực hành động mới. Nh vậy, để hình thành khái niệm ở học sinh,
giáo viên phải tổ chức cho học sinh hành động tác động vào khách thể theo
đúng lôgic của khái niệm mà loài ngời đà tìm ra. Điều đầu tiên là phải làm nảy
sinh ở học sinh nhu cầu nhận thức, nhu cầu lĩnh hội khái niệm mà nó cần chiếm


10
lĩnh. Sử dụng t liệu lịch sử Toán trong việc gợi động cơ hình thành khái niệm là
phơng pháp có rất nhiều u điểm. Thứ nhất, nó định hớng đúng đắn để các em
khám phá tri thức, các nhà toán học cũng đà tìm ra kiến thức bắt đầu từ đó. Thứ
hai, từ động cơ ban đầu đó đến khi có khái niệm, quá trình này chứa đựng cả
lịch sử hình thành, cấu trúc lôgic của khái niệm đó. Thứ ba, phơng pháp này

đem lại hứng thú cho học sinh vì rằng các em sẽ cảm thấy tự mình đà khám phá
ra tri thức đó, tất nhiên dới sự hớng dẫn của giáo viên, thành quả này giúp các
em hăng say học tập, tích cực, tự giác, định hớng cho các em phơng pháp tự
nghiên cứu các vấn đề khác, từ đó rèn luyện t duy độc lập, sáng tạo cho các em.
Thứ t, quá trình học tập đi từ động cơ ban đầu để tìm ra tri thức, các em sẽ trải
qua những khó khăn, những mâu thuẫn và học đợc cách giải quyết mâu thuẫn,
bồi dỡng t duy biện chứng. Một số t liệu làm rõ mối liên hệ giữa toán học và
thực tiễn, từ thực tiễn đến t duy trừu tợng, từ t duy trừu tợng lại trở về thực
tiễn, nó giúp các em có cái nhìn đúng đắn về thế giới, góp phần hoàn thiện
nhân cách của các em.
Mặc dù phơng pháp này đòi hỏi khá nhiều thời gian, nhng nếu điều chỉnh
hợp lí trong giảng dạy nó sẽ đem lại kết quả tốt.
1.3. Đặc điểm kiến thức chủ đề Giới hạn, Đạo hàm, Tích phân.

1.2.1. Giới hạn
Khái niệm Giới hạn là cơ sở của Giải tích toán học. Các khái niệm giới
hạn và liên tục đà đợc các nhà toán học nhận thức và sử dụng một cách trực giác
ngay từ thời cổ đại. Archimède (thÕ kû III TCN) ®· biÕt xem chu vi cđa một đờng tròn là giới hạn của chu vi các đa giác đều có 2 n cạnh nội tiếp trong đờng
tròn đó. Hai nhà toán học ở thế kỷ XVII là Newton và Leibniz đà xây dựng và
phát triển phép tính vi tích phân trên cơ sở vận dụng một cách trực giác khái
niệm giới hạn. Đến thế kỷ XVIII, nhà toán học Pháp Cauchy mới đa ra định
nghĩa chính xác về giới hạn, liên tục.


11
Trớc khi bớc vào học về giới hạn, học sinh lớp 11 chỉ t duy theo kiểu
hữu hạn, rời rạc của Đại số, nay đợc làm quen với kiểu t duy vô hạn, giới
hạn, liên tục của Giải tích. Có thể nói đây là bớc chuyển biến về chất trong
nhận thøc, t duy cđa häc sinh. V× vËy, néi dung của chơng này chiếm một vị trí
rất quan trọng.

Theo cách xây dựng của sách giáo khoa lớp 11 hiện hành, giới hạn của
dÃy số là cơ sở để xây dựng định nghĩa giới hạn của hàm số và cuối cùng là đi
đến hàm số liên tục. Ngay từ bài đầu tiên học sinh đà gặp khó khăn với định
nghĩa giới h¹n cđa d·y sè.
“Ta nãi r»ng d·y sè (Un) cã giới hạn là a nếu với mọi số dơng cho trớc (nhỏ bao nhiêu tuỳ ý), tồn tại số tù nhiªn N sao cho víi mäi n > N thì | Un
- a | < .
Định nghĩa khá rắc rối, cấu trúc câu thì phức tạp, hơn nữa đây là lần đầu
tiên học sinh tiếp cận với kí hiệu Hi lạp .Học sinh khá thì thắc mắc là tại sao
đà nói là với mọi số dơng cho trớc còn sử dụng cụm từ nhỏ bao nhiêu tuỳ
ý làm gì? Thực ra, nếu không có lời giải thích đó các em sẽ ít chú trọng đến
tính chất vô cùng bé, đặc trng cơ bản của Giải tích và các em có thể cảm thấy
dễ hiểu hơn nhng khi nghĩ đến giá trị thì t duy lại theo kiểu rời rạc của Đại
số. Lời giải thích này hớng vào kiểu t duy liên tục, tránh nhận thức sai lầm
ngay từ lần tiếp xúc ban đầu. Học sinh kém thì cho rằng lời giải thích này chẳng
thể hiểu nổi. Trong khi dạy, giáo viên phải lu ý tới học sinh kí hiệu limUn là sự
đơn giản hoá của kí hiệu lim Un và các em phải thống nhất kí hiệu này trong
n
cùng một bài toán bởi đa số học sinh trong khi giải toán thờng trình bày kí hiệu
một cách rất lộn xộn.
Sang phần Giới hạn của hàm số, trong một số trờng hợp học sinh có thể
f(
dễ dàng tìm đợc lima x ) nhng lại gặp khó khăn với bài toán chứng minh
x
lim f ( x )
x
a

= L bằng định nghĩa. Định nghĩa Giới hạn của hàm số đợc phát biểu

12
nh sau: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K, cã thĨ trõ ®iĨm a ∈ K. Ta
nãi r»ng hàm số f(x) có giới hạn là L (hay dần tíi L) khi x dÇn tíi a, nÕu víi
mäi d·y sè (xn) (xn ∈ K, xn ≠ K, ∀ n ∈ N*) sao cho khi limx n = a th× limf(x n)
= L.
Nh vậy a K và f(x) xác định trên khoảng K hoặc chỉ cần xác định trên
K \ {a}.
f(
Đa số bài toán tìm lima x ) bằng định nghĩa đều rơi vào trờng hợp f(x)
x

không xác định tại x = a, khi đó mọi dÃy (xn) thoả mÃn: xn K, xn a là để
f(xn) xác định trên K.
Một trong những giới hạn quan trọng nhất trong phần giới hạn hàm số là
dạng

0
0

. Giáo viên nên đa ra phơng pháp cụ thể đối với dạng toán này: nếu gặp

f(
bài toán tìm lima x ) , trớc hết ta thay giá trị a và hàm f(x), nếu f(a) có dạng
x

thì ta biến đổi f(x) thành f(x) =

( x − a ) A ( x ) A( x )
=
( x − a ) B( x ) B( x )

cho đến khi

A (a )
B(a )



0
0

0
0

.

Điều lu ý khi dạy học chơng này là làm sao cho các em nắm đợc nội
dung và ý nghĩa của các định nghĩa. Nếu dạy phần lý thuyết quá trừu tợng thì
các em không những hổng kiến thức chơng này mà còn khó có thể học tốt đợc
những phần còn lại của Giải tích.
* Các quan điểm định nghĩa sự liên tục - gián đoạn của hàm số tại 1
điểm.
Có nhiều điểm khác nhau về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm
trong các sách giáo khoa, từ đó có nhiều tranh cÃi về điểm gián đoạn. Sau đây
chúng ta nhìn nhận điểm khác nhau đó trong các sách giao khoa Toán phổ
thông của nớc ta trong những năm qua.


13
Sách Đại số và Giải tích 11, Ban Khoa học t nhiên(1996), Phan Đức

Chính - Trần Văn Hạo - Ngô Xuân Sơn và sách Đại số và Giải tích 11(1996),
Phan Đức Chính - Ngô Hữu Dũng đa ra định nghĩa sau:
Hàm số y = f(x) gọi là liên tục tại điểm x = x0 nếu
i) f(x) xác định tại x = x0
f
ii) lim→( 0x ) = f(x0 )”.
x x

Hµm sè không liên tục tại điểm x0 thì gọi là gián đoạn tại điểm x 0. Nh
vậy, theo sách này, hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x 0 nếu xảy ra ít nhất một
trong ba điều kiện sau:
1. f(x) không xác định tại x = x0.
2. Không tồn tại lim fx(0x ) .
x→
3. Tån t¹i lim fx(0x ) nhng lim fx(0x ) f(x0).
x
x
Đại số và Giải tích 11, chỉnh lý hợp nhất năm 2000 lại đa ra định nghĩa
sau:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b). Hàm số f(x) đợc gọi là
f
liên tục tại điểm x0 (a, b) nÕu lim→( 0x ) = f(x0 )”.
x x

NÕu tại điểm x0 hàm số f(x) không liên tục thì nó đợc gọi là gián đoạn tại
x0.
Theo sách chỉnh lý hợp nhất, hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x 0 nếu xảy
ra một trong hai điều kiện:
1. Không tồn t¹i lim fx(0x ) .
x→

2. Tån t¹i lim fx(0x ) nhng lim fx(0x ) f(x0).
x
x
Nh vậy, nếu tại điểm x0 hàm số không xác định thì chúng ta không xét
tính liên tục cũng nh tính gián đoạn tại điểm đó. Điều này cũng đợc khẳng định
trong Tài liệu Hớng dẫn giảng dạy Toán 11(trang 74) nh sau:


14
Ta không đặt vấn đề xét tính liên tục hay gián đoạn của các điểm
không thuộc tập xác định của hàm số.
Nhng đến phần bài tập, ngay từ bài tập 1 đà đa ra yêu cầu: Xét xem các
hàm số sau đây có liên tục tại mọi x không, Nếu chúng không liên tục thì chỉ ra
x 2 5x + 6
các điểm không liên tục, trong đó có xét đến hàm y =
, câu trả lời đợc
x 2 2x

cho trong sách Bài tập Đại số - Giải tích 11 là hàm này không liên tục tại x = 0
và x = 2. Rõ rang hai giá trị 0, 2 không thuộc tập xác định của hàm sồ đà cho.
Nh vậy, theo hóng dẫn trên thì ta không xét tính liên tục hay gián đoạn của hàm
số tại hai điểm này. Câu trả lời nh vậy là có mâu thuẫn giữa phần lý thuyết và
phần bài tập.
Sách Đại số và Giải tích 11, Ngô Thúc Lanh - Vũ Tuấn - Ngô Xuân Sơn,
định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm tơng tự nh sách chỉnh lý hợp nhất
2000:
Một hàm số f(x) xác định trên tập số D, gọi là liên tục tại điểm x 0 D
f
nếu lim( 0x ) = f(x0).
x x

Hàm số f(x) không liên tục tại điểm x 0 thì gọi là gián đoạn tại điểm x0.
Tuy nhiên sau đó sách đà đa ra chú ý: Nh vậy một hàm số f(x) là liên tục tại
điểm x0 nếu và chỉ nếu ba điều kiện sau đợc thỏa mÃn đồng thời:
1. f(x) xác định tại x = x0.
f
2. lim→( 0x ) tån t¹i.
x x
f
3. lim→( 0x ) = f(x0).
x x

Một hàm số là gián đoạn tại x0 khi và chỉ khi một trong ba điều kiện
không đợc thoả mÃn.
Lại có một sự không thống nhất trong quan niệm định nghĩa các khái
niệm.
1.3.2. Đạo hàm


15
Chơng Đạo hàm là cơ sở cho phần khảo sát hàm số và có liên quan mật
thiết tới chơng Tích phân. Nó có vị trí rất quan trọng không những chỉ trong
khoa học toán học mà còn cả các ngành khoa học khác. Vì vậy, đạo hàm của
hàm số là kiến thức quan trọng của Giải tích 12.
Tuy đa số học sinh đều tính đợc đạo hàm của các hàm đa thức, hàm hữu
tỷ, hàm lợng giác, hàm luỹ thừa, hàm logarit, nhng các em gặp khó khăn khi
lần đầu tiên tiếp xúc với đạo hàm hàm số hợp, giáo viên nên cho học sinh luyện
tập dạng toán này nhiều. Đối với bài toán tính đạo hàm bằng định nghĩa, học
sinh thực hiện theo các bớc và cho kết quả chính xác. Tuy nhiên, yêu cầu các
em phát biểu định nghĩa là một trong những bài toán khó nhất trong chơng này.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a, b), x0 ∈ (a, b) giíi h¹n, nÕu cã của
tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x 0, khi số gia của đối số dẫn
tới 0, đợc gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0.
Định nghĩa khá phức tạp và dài dòng, vì vậy không thể thc nã nÕu
kh«ng hiĨu thËt kÜ néi dung. Häc sinh thờng phát biểu định nghĩa bằng công
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
nhng c¸c em thờng không chú ý đến việc có
0
x

thức f(x0) = lim

tồn tại giới hạn đó hay không. Các định nghĩa số gia của hàm số, số gia của đối
số đà đợc học ở lớp 11 và đến lớp 12 lại đợc nhắc lại một lần nữa, mặc dù vậy
đa số các em vẫn cha nắm đợc khái niệm này.
Do vậy, không ít em không nhận ra đợc

lim

x x 0

f (x) − f (x 0 )
nÕu tån t¹i,
x − x0

cịng là đạo hàm của hàm số tại điểm x0.
Mục đích chính của giáo viên khi dạy định nghĩa là làm sao cho học sinh
nắm đợc nội dung của nó. Chính vì vậy hình thành khái niệm đạo hàm là một bớc rất quan trọng. Nếu giáo viên không dạy bài toán mở đầu kĩ càng mà vội
vàng đi ngay vào định nghĩa và các quy tắc tính thì coi nh không dạy gì cả. Nhng vấn đề là dạy bài toán mở đầu nh thế nào thì đem lại hiệu quả cao nhất?
1.3.3. Tích phân

16
Sách giáo khoa lớp 12 hiện hành định nghĩa Tích phân dựa vào Định lý
Newton - Leibniz. Cách xây dựng tích phân nh vậy tuy không đi theo lịch sử
phát triển của tích phân nhng nó rất dễ hiểu đối với học sinh và phù hợp với quy
định giảm tải của Bộ Giáo dục. Kiến thức toán học khi đa vào chơng trình phổ
thông không nhất thiết phải giống đúc sự hình thành và phát triển của kiến thức
đó trong lịch sử toán học; định nghĩa tích phân nh hiện nay lµm cho häc sinh dƠ
tiÕp thu vµ dƠ vËn dụng vào giải toán. Tuy nhiên, khi học xong chơng này rất ít
học sinh nhận thấy đợc nguồn gốc thực tiễn của tích phân: khái niệm tích phân
ra đời là do bài toán tìm diện tích và thể tích. Mặc dù các bài toán yêu cầu tính
diện tích hình phẳng, thể tích các hình tròn xoay đợc học sinh thực hiện khá
thành thạo nhng là một cách máy móc và chúng không có ấn tợng đặc biệt gì
đối với các em. Đa số học sinh đều cho rằng dờng nh học chơng Tích phân là để
tính tích phân, nhiều ngời còn đặt câu hỏi: Có cần thiết phải đa tích phân vào
chơng trình lớp 12 hay không vì có nguyên hàm là quá đủ rồi?.
Học sinh thờng mắc sai lầm đối với những bài toán đổi biến dạng 1, định
lý ®ỉi biÕn nh sau:
NÕu: 1. Hµm sè x = u(t) có đạo hàm liên tục trên [, ].
2. Hàm số hợp f(u(t)) đợc xác định trên [, ].

3. u() = a, u(β) = b
b

β

a

α

khi ®ã ∫ f ( x )dx = ∫ f (u ( t )).u ' ( t ).dt
Trong khi giải các bài toán, học sinh thờng không chú ý đến điều kiện 2,
vì thế thờng mắc phải sai lầm, đặc biệt là những bài toán đổi biến đa về hàm lợng giác có chứa tg và cotg


17
Kết luận chơng 1
- Đổi mới phơng pháp dạy học ở nhà trờng phổ thông theo hớng tích cực
hoá đợc nhận thức của học sinh, dạy học gợi vấn đề là phơng pháp đem lại hiệu
quả cao nhất.
- Động cơ là yếu tố định hớng, thúc đẩy con ngời hoạt động. ở học sinh
có hai loại động cơ học tập chủ yếu: động cơ bên trong và động cơ bên ngoài.
Trong dạy học, để tích cực hoá hoạt động nhận thức ở học sinh cần phải hình
thành ở các em nhu cầu nhận thức, hiểu biết tức là xây dựng một hệ động cơ mà
những động cơ bên trong đóng vai trò chủ đạo trong hoạt động học tập.
- Tri thức Toán học có đơn vị cơ bản, nền tảng là các khái niệm Toán
học. Sử dụng t liệu lịch sử Toán để gợi động cơ hình thành khái niệm sẽ đem lại
hiệu quả học tập rất cao.


18

Chơng 2
dạy học chủ đề giới hạn, đạo hàm, tích phân theo hớng
tiếp cận lịch sử phát triển của Toán học

2.1. một số t liệu Lịch sử về các kiến thức giới hạn, đạo
hàm, tích phân

Ngợc với trình tự trình bày quen thuộc trong các giáo trình Đại học cũng
nh sách giáo khoa phổ thông trong đó bắt đầu bằng phép lấy vi phân rồi sau đó
mới nói tiếp phép lÊy tÝch ph©n trong khi t tëng vỊ phÐp tÝnh tích phân, xét về
mặt lịch sử, lại phát triển trớc t tëng vỊ phÐp tÝnh vi ph©n.
ý nghÜ vỊ viƯc lấy tích phân nảy sinh lần đầu tiên trong một quá trình lấy
tổng khi tìm một số diện tích, thể tích và các chiều dài cung. ít lâu sau, phép
tính vi phân mới đợc nghĩ tới cùng với những bài toán về tiếp tuyến của các đờng, những vấn đề về cực đại, cực tiểu của các hàm. Về sau nữa mới thấy phép
tính tích phân và phép tính vi phân có liên hệ với nhau nh là các phép toán ngợc.
1. Nghịch lý của Zénon và phơng pháp vét kiệt của Eudoxus
Trong thời kỳ Hi lạp cổ đại, các trờng phái lập luận toán học khi phát
triển đều có dùng đến một trong hai giả định: một đại lợng là có thể chia nhỏ đợc vô hạn hay đại lợng đó hợp thành bởi một số rất lớn các nguyên tử nhỏ bé
không thể chia nhỏ đợc. Đối với đa số chúng ta thì giả định đầu có vẻ hợp hơn,
nhng cái lợi ích của giả định thứ hai trong việc tìm tòi khám phá lại làm cho nó
mất đi cái vẻ mà tởng chừng phi lí của nó.
Một số những khó khăn về mặt lôgic trong những giả định đó đà đợc nêu
bật lên từ thế kỷ V trớc công nguyên qua bốn điều nghịch lý do Zénon nghĩ ra. Các
nghịch lý này đà khẳng định rằng chuyển động là không thể có đợc nếu ta giả định
một độ lớn có thể chia nhỏ vô hạn hoặc đợc tạo bởi một số lớn các nguyên tử. Ta
minh hoạ bản chất các nghịch lý bằng hai điều sau đây:


19
1. Phép lỡng phân
Nếu một đoạn thẳng đợc chia nhỏ vô hạn thì không thể thực hiện đợc
chuyển động, vì để đi hết đợc đoạn thẳng đó trớc hết ta phải đi đến đoạn giữa,
và để làm việc này trớc hết phải đi đến điểm

1
4

, nh vậy phải đi đến điểm

1
8

tr-

ớc, và cứ thế tiếp tục đến vô hạn. Suy ra rằng chuyển động đó không bao giờ có
thể đợc, kể cả ngay từ lúc bắt đầu.
2. Mũi tên
Nếu thời gian đợc tạo bởi các khoảng nguyên tử không chia nhỏ đợc thì
một mũi tên chuyển động luôn luôn bị đứng yên vì ở bất kỳ khoảng thời gian
nào mũi tên cũng ở một vị trí cố định. Điều này đúng với mỗi khoảng thời gian
nên suy ra mũi tên không bao giờ chuyển động cả.
Những nghịch lý của Zénon dựa vào trực giác là: tổng của một số vô hạn
các đại lợng dơng thì lớn vô hạn, kể cả khi mỗi đại lợng đó là vô cùng nhỏ và
tổng của một số hữu hạn hoặc vô hạn các đại lợng có kích thớc bằng 0 đều bằng
0. Các nghịch lý này đà loại bỏ các vô cùng bé khỏi phép chứng minh Hi lạp về
hình học.
Một trong những đóng góp quan trọng sớm nhất cho bài toán cầu phơng
hình tròn là của Antiphon, nhà ngụy biện, cùng thời với Socrates. Antiphon ®·
®a ra mét ý nghÜ cho r»ng b»ng cách cứ liên tiếp nhân đôi số cạnh của một đa
giác đều nội tiếp trong một vòng tròn, thì hiệu số giữa diện tích của vòng tròn
với diện tích của đa giác cuối cùng sẽ bị vét kiệt. Vì một hình vuông có thể
dựng đợc bằng về diện tích bất kỳ đa giác nào nên nh vậy là có thể dựng đợc
một hình vuông có diện tích bằng với một hình tròn - lập luận này đà tức thì bị
phê phán về mặt căn cứ, cho rằng nó đà vi phạm nguyên lý các đại lợng là chia
đợc vô giới hạn, quá trình của Antiphon không bao giờ có thể sử dụng đợc cho
tới toàn bộ diện tích của vòng tròn. Tuy vậy, suy nghĩ của Antiphon chứa đựng
mầm mống của phơng pháp vét kiệt của ngời Hi lạp.

20
Phơng pháp vét kiệt đợc thừa nhận là của Eudoxus (khoảng 370 TCN), nó
đợc coi là câu trả lời của trờng phái Plato đối với những nghịch lý của Zénon.
Phơng pháp này thừa nhận tính chia hết vô hạn của các độ lớn và có mệnh đề cơ
bản sau: Nếu từ bất kì một đại lợng nào bỏ đi một phần không nhỏ hơn một
nửa của nó, rồi từ chỗ còn lại bỏ đi một phần khác không nhỏ hơn của nó, thì
cuối cùng sẽ còn lại một đại lợng nhỏ hơn bất kì đại lợng nào đợc ấn định trớc
cùng loại.
Ta dùng phơng pháp vét kiệt để chứng minh rằng nếu A1 và A2 là diện
tích của hai vòng tròn có đờng kính là d1 và d2 thì:
A1 : A1 = d12 : d22
Trớc hết, từ mệnh đề cơ bản, ta chứng minh rằng hiệu diện tích giữa một
vòng tròn và một đa giác đều nội tiếp có thể làm cho nhỏ bao nhiêu cũng đợc.
Gọi AB là cạnh của một đa giác đều nội
tiếp, M là điểm giữa cđa cung AB. DiƯn tÝch
cđa tam gi¸c AMB b»ng nưa diện tích của

R
A

M

S
B

hình chữ nhật ABSR, nên lớn hơn diện tích
của nửa hình viên phân AMB.
Suy ra rằng: Bằng cách tăng đôi số cạnh của một đa giác đều nội tiếp ta

sẽ làm tăng diện tích của đa giác hơn một nửa hiệu diện tích giữa đa giác và
vòng tròn. Do đó, bằng cách tăng đôi số các cạnh cho đủ thì ta có thể làm cho
hiệu về diện tích giữa đa giác và hình tròn nhỏ hơn bất kỳ một diện tích nào.
Trở lại bài toán, giả sử thay vì đẳng thức ta có:
A1 : A2 > d12 : d22
Nh vËy, ta cã thĨ cho néi tiÕp vßng trßn thứ nhất một đa giác đều có diện
tích P1 khác rÊt Ýt so víi A1 ®Ĩ P1 : A1 > d12 : d22.
Gọi P2 là đa giác đờng dạng với P1, nhng néi tiÕp trong vßng trßn thø hai.
Nh vËy, từ một định lý đà biết về các đa giác đều đờng dạng thì:
P1 : P2 > d12 : d22
Suy ra: P1 : P2 < P1 : A2 hc P2 > A2 , v« lý.


21
Bằng cách tơng tự ta chứng minh không thể có bất đẳng thức:
A1 : A2 > d12 : d22
Nh vậy, nếu A là diện tích và d là đờng kính của một đờng tròn thì A =
k.d2, trong đó k là hằng số.
Trong số những ngời cổ đại thì Archimède là ngời đà có những ứng dụng
đẹp nhất về phơng pháp vét kiệt, và ông đà trở thành ngời gần gịi nhÊt víi phÐp
tÝnh tÝch ph©n hiƯn nay. Ta xÐt cách cầu phơng của ông một Segment parabol
(S).
A, B thuộc cung (S)
B

L là trung điểm của dây AB
E

vẽ LC song song víi trơc cđa parabol,
C ∈ (S).

N
L

C

M, N lµ trung điểm các dây AC, BC.

D

Dựng MD, NE song song với
parabol, D và F (S).

M
A

Từ hình học parabol, Archimedes chỉ ra rằng:
CDA + CEB =

ABC
4

Bằng cách áp dụng lặp lại t tëng nµy suy ra r»ng diƯn tÝch cđa Segment
parabol lµ:
∆ABC +
=

∆ABC ∆ABC ∆ABC
+
+

+ ... =
4
42
43
1

1

1

3

∆ABC ( 1 + 4 + 2 + 3 + ...) = 4 ∆ABC
4
4

ArchimÌde kh«ng sử dụng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn nh trên mà
dùng công cụ hai lần đa đến vô lý của phơng pháp vét kiệt.
2. Phơng pháp cân bằng của Archimède
Phơng pháp vét kiệt là một dụng cụ tốt để xác lập nó nhng phơng pháp đó
lại không dùng đợc để khám phá ra kết quả ngay từ đầu. Nh vậy, làm thế nào
mà Archimède đà khám phá ra các công thức mà ông đà xác lập một cách ng¾n


22
gọn, rõ ràng bằng phơng pháp vét kiệt? Ngời ta đà tìm thấy một bản sao của
luận văn phơng pháp của Archimède gửi cho Eratosthene đà trả lời cho câu
hỏi này.
T tởng chính của phơng pháp Archimède là nh sau:
Để tìm một diện tích hoặc

một thể tích thì cắt nó ra thành một

C

số rất lớn của dải phẳng mỏng song
A

song, hoặc các lớp mỏng song song.
Archimède đà dùng phơng pháp
này đà tìm ra công thức cho thể tích
hình cầu.

B
x

T

Gọi r là bán kính của hình cầu.
Đặt hình cầu cùng với ®êng

S

N

∆x

kÝnh cùc cđa nã däc theo trơc x
n»m ngang.
Dùng h×nh trụ tròn xoay và hình nón tròn xoay bằng cách cho quay hình
chữ nhật NABS và hình tam giác NCS quanh trục x.

Ta cắt từ ba hình khối đó thành 3 lát mỏng thẳng đứng (chúng đều là các
hình trụ dẹt), cách N một đoạn bằng x, có chiều dày x.
Thể tích các lát này xấp xỉ bằng:
Trong hình cầu

: πx (2r - x). ∆x

Trong h×nh trơ

: πr2 .∆x

Trong h×nh nón

: .x2.x.

Trong các lát cắt ở hình cầu và hình nãn t¹i T (TN = 2r). Moment cđa
mét thĨ tÝch quanh một điểm là tích của thể tích đó với khoảng cách mỏng góc
từ điểm đó tới đờng thẳng đứng đi qua trọng tâm của thể tích đó Moment hợp
của chóng quanh N lµ:
[π.x(2r - x). ∆x + πx2.∆x]2r = 4πr2.x.∆x.

x


23
Ta thấy nó bằng bốn lần moment của lát cắt từ hình trụ quanh điểm N khi
ta không thay đổi vị trí.
Cộng số lớp các lát cắt này với nhau ta đợc:
2r (thể tích hình cầu + thể tích hình nón) = 4r (thể tích hình trụ)
hoặc 2r (thể tích hình cầu +

1
3

4r2.2r) = 4r. r2.2r

hoặc thể tích hình cầu bằng

3
4

r3.

Tuy nhiên Archimède lại không chấp nhận phơng pháp là một phép
chứng minh, vì vậy ông đà phải dùng tới phơng pháp vét kiệt để đa ra một phép
chứng minh chặt chẽ. Trong phơng pháp cân bằng, một độ lớn có thể coi là hợp
bởi một số lớn các bộ phận nguyên tử mà trớc đây t tởng đó đà đợc hình thành
một cách còn thiếu chặt chẽ. Phơng pháp cân bằng của Archimède hoàn toàn
chặt chẽ đối với phơng pháp hiện đại về giới hạn và nó cũng sẽ trở thành về mặt
cơ bản giống nh phép tính tích phân hiện nay.
3. Phép tính tích phân
Hai tác giả ban đầu của thời cận đại đà dùng những phơng pháp có thể so
sánh đợc với các phơng pháp của Archimède lµ kÜ s Simon Stevin (1548 - 1620),
ngêi Plander vµ nhà toán học Italia Luca Valerio (khoảng 1552 - 1618). Mỗi
ngời đều cố gắng tránh việc hai lần đa đến vô lý của phơng pháp vét kiệt bằng
cách trực tiếp cho qua giíi h¹n khi xÐt diƯn tÝch cđa mét Segment parabol.
Stevin đà dùng phơng pháp nh vậy trong công trình của ông về thuỷ tĩnh học,
trong đó ông đà tìm ra áp lực của chất lỏng lên mặt đập hình chữ nhật thẳng
đứng bằng cách chia đập đó ra thành những dải mỏng nằm ngang, rồi cho quay
các dải đó quanh các cạnh trên và cạnh dới cho tới khi chúng song song với một

mặt phẳng nằm ngang. Đây chủ yếu là phơng pháp mà hiện chúng ta đang dùng
trong các sách giáo khoa sơ cấp về phép tính tích phân.
Trong số những ngời châu Âu cận đại sớm phát triển t tởng về các vô
cùng bé liên quan tới phép tính tích phân phải đặc biệt nhắc tới Johann Kepler.
Ông đà phải cần đến một thủ tục lấy tích phân để tính những diện tích có liên


24
quan đến định luật thứ hai của ông về chuyển động của hành tinh và các thể tích
nói đến trong luận văn của ông về dung tích của các thùng rợu vang. Nhng
Kepler ít kiên tâm bền bỉ với sự khắc khe chu đáo của phơng pháp vét kiệt, và
cũng do muèn khái mÊt nhiÒu thêi gian, Kepler coi chu vi của một đờng tròn
nh một đa giác đều có số cạnh vô hạn. Nếu mỗi cạnh đó dùng làm đáy của một
tam giác có đỉnh tại tâm của hình tròn thì diện tích của hình tròn đó chia đợc
thành một số vô hạn các tam giác rất mảnh có chiều cao bằng với bán kính của
đờng tròn. Vì diện tích của mỗi tam giác đó bằng một nửa diện tích của đáy
nhân với chiều cao nên suy ra diện tÝch cđa vßng trßn b»ng nưa tÝch chu vi cđa
nã nhân với bán kính. Theo quan điểm về tính chặt chẽ của toán học thì những
phơng pháp nh vậy là đáng phê phán, song nó lại đa ra đợc những kết quả đúng
hết sức đơn giản. Tuy nhiên, những cố gắng của Kepler về tính tích phân đÃ
khiến Cavalieri phát triển phơng pháp những cái không chia đợc của mình.
Cái không chia đợc của Cavalieri là nh thế nào? Dờng nh cái không
chia đợc của mẩu phẳng là một dây của mẩu đó, cái không chia đợc của một
hình khối là một thiết diện phẳng của khối đó. Một mẩu phẳng đợc coi là tạo
bởi một tập hợp vô hạn các dây song song, và một hình khối tạo bởi một tập hợp
vô hạn các thiết diện phẳng song song. Cavalieri lập luận rằng nếu ta trợt một
phần tử của tập hợp các dây song song của một mẩu phẳng cho tríc däc theo
trơc chÝnh cđa nã sao cho c¸c điểm cuối của dây vẽ nên một biên liên tục thì
diện tích của mẩu phẳng mới đợc hình thành sẽ giống nh diện tích của mẩu
phẳng ban đầu. Tơng tự các thiết diện phẳng của một hình khối cho trớc sÏ cho

mét h×nh khèi míi cã cïng thĨ tÝch nh hình khối lúc đầu. Từ đó ta có một
nguyên lý gọi là nguyên lý Cavalieri.
1) Nếu hai mẩu phẳng A và B đợc chứa giữa hai đờng thẳng song song d1
và d2. Đờng thẳng d bất kỳ song song với d1 và d2 cắt A, B lần lợt thành hai đoạn
thẳng có độ dài a, b. Nếu a = b thì diện tích của mẩu phẳng A bằng diện tích
mẩu ph¼ng B.


25

2) Nếu hai hình khối K1 và K2 đợc chứa giữa 2 mặt phẳng song song (1)
và (2). Nếu có một mặt phẳng () bất kỳ song song với (1) và (2) tạo với K1
và K2 các thiết diện k1, k2 có diện tích bằng nhau thì K1 và K2 có thể tích bằng
nhau.
Ví dụ, để tính thể tích hình cầu ta xét hai khối sau đây: hình bán cầu bán
kính r và hình trụ bán kính r, chiều cao r, bị khoét ra hình nón có đáy trùng với
đáy trên của hình trụ, đỉnh trùng với tâm của đáy dới hình trụ. Nh vậy cả hai
hình khối này đều chứa giữa hai mặt phẳng song song, cách một khoảng r.

h

r

h

h

Ta cắt hai hình khối này bởi một mặt phẳng cách đáy một khoảng h, tạo
ra hai thiết diện cùng có diện tích là (r2 - h2). Theo nguyên lí Cavalieri, suy ra
hai hình khối đó có thể tích bằng nhau. Do đó, thể tích hình cầu đợc cho bëi:

V = 2(thĨ tÝch khèi trơ - thĨ tÝch khèi nón) =
= 2 (r3-

3
r
3

)=

4r 3
3

Phơng pháp những cái không chia đợc hoặc một quá trình tơng tự nh vậy
đà đợc Torricelli, Fermod, Pascal, Saint - Vincent, Barrow,… sư dơng cã hiệu
quả. Trong quá trình làm việc, họ đà đạt đợc những kết quả tơng đơng với việc
lấy tích phân các biểu thức nh xn, sinx, sin2x, 2sinx,
Năm 1637, Réne Descartes đà xây dựng hệ toạ độ phẳng. Thành tựu của
R.Descartes đà làm cho việc sáng lập vi - tích phân tiến nhanh. Năm 1656 John
Wallis cho ra đời cuốn Arithmetica infinitorum. Trong cuốn này các phơng
pháp của Descartes và Cavalieri đà đợc hệ thống hoá và mở rộng. J.Wallis đÃ
vận dụng hình thức đại số, phơng pháp giải tích và lí luận giới hạn hàm số để
nêu lên khái niệm tích phân xác định.