Sự ra đời của triết học mác tạo ra bước ngoặt cách mạng trong lịch sử phát triển triết học

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh

Hoàng thị hơng huyền

Một số tính chất của quá trình
wiener và các quá trình liên quan

luận văn thạc sĩ toán học

Vinh-2008
1


Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh

Hoàng thị hơng huyền

Một số tính chất của quá trình
wiener và các quá trình liên quan

luận văn thạc sĩ toán học
Chuyên nghành: xác suất - thống kê
Mó s: 60.46.15

Ngi hng dn khoa học:
TS. Ngun Trung Hoµ

Vinh-2008
2

I. lời nói đầu.
Xỏc sut thng kờ l lnh vc tốn ứng dụng, nó địi hỏi một cơ sở tốn
học sâu sắc. Ngày nay các mơ hình xác suất đã thực sự được ứng dụng rộng
rãi trong khoa học tự nhiên cũng như khoa học xã hội. Tuy nhiên trong thực tế
đặc biệt là trong các lĩnh vực kinh tế, thị trường chứng khốn, cơ học thống
kê, khí tượng thuỷ văn,…ta thường gặp các hệ ngẫu nhiên mà quá khứ của nó
có ảnh hưởng rất mạnh đến sự tiến triển trong tương lai. Khi làm dự báo cho
các quá trình như thế, ta cần phải tính đến khơng chỉ hiện tại mà cả q khứ
nữa. Mơ hình xác suất để nghiên cứu các quá trình này là quá trình dừng. Để
phục vụ nghiên cứu q trình dừng cơng cụ tốn học cần thiết bao gồm khái
niệm quá trình cấp hai, hàm tự tương quan, phép tính tích phân, vi phân cho
q trình cấp hai và tích phân ngẫu nhiên đối với độ đo ngẫu nhiên gia số trực
giao.
Quá trình Wiener là một quá trình ngẫu nhiên liên tục quan trọng được
gặp nhiều trong thực tiễn. Trong dạng nguyên thủy bài toán liên quá đến
chuyển động của một hạt chuyển động trên một bề mặt chất lỏng, nhận các cú
"hích" từ các phân tử của chất lỏng. Hạt đó được xem như là chịu một lực
ngẫu nhiên mà, bởi vì các phân tử là rất nhỏ và rất gần nhau, được xem như là
liên tục và, bởi vì hạt đó bị giới hạn trong mặt chất lỏng bởi sức căng bề mặt,
tại mỗi điểm của thời gian nó là một vector song song với bề mặt.
Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu một số tính chất
của q trình Wiener và các quá trình liên quan.
Luận văn gồm hai chương
Chương 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về quá trình ngẫu nhiên
và quá trình cấp 2
Chưong 2. Nghiên cứu một số tính chất của q trình Wiener và các
quá trình liên quan.
Luận văn được thực hiện tại trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn

trực tiếp của Tiến sỹ Nguyễn Trung Hoà. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu

3


sắc tới Thầy đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại
trường.
Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn PGS. TS Nguyễn Văn
Quảng, PGS. TS Trần Xuân Sinh, PGS. TS Phan Đức Thành, cùng các thầy
cô giáo ở bộ môn xác suất thống kê và ứng dụng, Khoa Toán, Khoa sau đại
học Trường Đại Học Vinh.
Vinh, tháng 12 năm 2008
Tác giả

4


Chương 1. Một số kiến thức cơ bản về quá
trình ngẫu nhiên và quá trình cấp 2
1.1 Quá trình ngẫu nhiên
1.1.1 Định nghĩa và kí hiệu
Đối tượng nghiên cứu của q trình ngẫu nhiên là họ vơ hạn các biến
ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t ∈ T nào đó.
Giả sử T là tập vơ hạn nào đó. Nếu với mỗi t ∈ T , Xt là biến ngẫu nhiên
thì ta kí hiệu X = { X t , t ∈ T } , và gọi X là hàm ngẫu nhiên (Với tham biến
t ∈ T ).
+) Nếu T là tập đếm được thì ta gọi X = { X t , t ∈ T } là quá trình ngẫu
nhiên với tham số rời rạc.
+) Nếu T = ¥ thì ta gọi X = { X n , n ∈ ¥ } là dãy các biến ngẫu nhiên
(một phía).

+) Nếu T = ¢ thì ta gọi X = { X n , n ∈ ¢} là dãy các biến ngẫu nhiên hai
phía.
+) Nếu T là một khoảng của đường thẳng thực, tức là, T thuộc một
trong các tập sau:
(−∞, ∞), [a, ∞), (−∞, b], [a, b), [a, b], (a, b], (a, b),
thì ta gọi X = { X t , t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên với tham số liên tục. trong
trường hợp như thế, tham số t đóng vai trị thời gian.
+) Nếu T là tập con của ¡ d , thì ta gọi X = { X t , t ∈ T } là trường ngẫu
nhiên.
Nói chung, dưới đây ta thường nghiên cứu q trình ngẫu nhiên có
dạng
X = { X n , n ∈ ¥ } ; X = { X t , t ∈ [0, ∞)} , X = { X t , t ∈[0, 1]} .
1.1.2 Phân phối hữu hạn chiều

5


Giả sử X = { X t , t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên, và I = (t1,…,tn) là tập
con hữu hạn của T. Hàm phân phối đồng thời của X t ,..., X t :
1

{

n

F1 ( x1 ,..., xn ) = F ( x1 ,..., xn ; t1 ,..., tn ) = P X t ≤ x1 ,..., X t ≤ xn
1

n

}

được gọi là phân phối hữu hạn chiều của X ứng với I, và tập {F1} được gọi là
họ các phân phối hữu hạn chiều của X. Đấy là một trong những khái niệm
then chốt của lý thuyết q trình ngẫu nhiên. Nhiều tính chất quan trọng của
q trình được xác định bởi các tính chất của họ các phân phối hữu hạn chiều
của nó.
Rõ ràng họ các phân phối hữu hạn chiều thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Điều kiện đối xứng, tức là, F ( x1,..., xn ; t1 ,..., tn ) không thay đổi khi
hoán vị các cặp ( xk , tk ) .
(ii) Điều kiện nhất quán theo nghĩa
lim F ( x1 ,..., xn ; t1,..., tn ) = F ( x1,..., xn −1; t1,..., t n−1 ).

xn →∞

Hai quá trình trên cùng tập tham số (nhưng có thể xác định trên các
không gian xác suất khác nhau) được gọi là tương đương ngẫu nhiên yếu, nếu
chúng có cùng họ các phân phối hữu hạn chiều. Hai quá trình ngẫu nhiên
X = { X t , t ∈ T } và Y = { Yt , t ∈ T } trên cùng không gian xác suất ( Ω , , P)
được gọi là:
+) Tương đương ngẫu nhiên hay Y là bản sao của X, nếu với mỗi t ∈ T
ta có
P { ω ∈Ω | X t (ω ) = Yt (ω )} = 1.
+) Bằng nhau, nếu
P { ω ∈Ω | X t (ω ) = Yt (ω ), ∀t ∈ T } = 1.
Hiển nhiên hai quá trình bằng nhau thì tương đương ngẫu nhiên; hai quá trình
tương đương ngẫu nhiên thì tương đương ngẫu nhiên yếu.
1.1.3 Quỹ đạo và khơng gian quỹ đạo
Cho q trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } trên không gian xác suất
6

( Ω , , P). Khi cố định ω ∈ Ω, thì X( ω ) = X.( ω ) : T → ¡ là hàm số của
t ∈ T . Ta gọi X.( ω ) là quỹ đạo (thể hiện hay hàm chọn) của quá trình ngẫu
nhiên X = { X t , t ∈ T } ứng với ω . Các tính chất của quỹ đạo cho phép ta phân
loại quá trình ngẫu nhiên. Chẳng hạn, khi T là khoảng nào đó, ta nói:
+) X = { X t , t ∈ T } là quá trình liên tục, nếu hầu hết các quỹ đạo của nó
là hàm liên tục, tức là:
P{ ω ∈ Ω | X.(ω ) là hàm liên tục của t ∈ T } = 1.
+) X = { X t , t ∈ T } là quá trình bước nhảy, nếu hầu hết các quỹ đạo của
nó là hàm bậc thang.
+) X = { X t , t ∈ T } là q trình khơng có gián đoạn loại hai, nếu hầu hết
các quỹ đạo của nó là hàm khơng có gián đoạn loại hai.
Ta kí hiệu ¡ T là khơng gian của tất cả các hàm thực xác định trên T.
Mỗi phần tử của ¡

T

được kí hiệu là x• . Ta gọi ¡

T

là khơng gian quỹ đạo.

Như vậy, ta có thể xem q trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } trên không gian
xác suất

( Ω , , P) là ánh xạ từ Ω vào không gian quỹ đạo:
X : Ω → ¡ T , X( ω ) = X g( ω ).

Nói chung, miền giá trị của ánh xạ này là một không gian con E của ¡ T .
Chẳng hạn, Nếu X là quá trình liên tục, thì với xác suất 1, miền giá trị của X
là không gian E = C(T) gồm các hàm liên tục trên T; nếu X là q trình khơng
có gián đoạn loại hai, thì với xác suất 1, miền giá trị của X là không gian
E = D(T) gồm các hàm khơng có gián đoạn loại hai trên T. Trong trường hợp
như thế, ta có thể xem q trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } trên không gian
xác suất ( Ω , , P) là ánh xạ từ Ω vào không gian E:
X : Ω → E , X( ω ) = X g( ω ).
+) Ví dụ ở cuối mục 1.1.2 chứng tỏ rằng tồn tại hai quá trình X, Y
tương đương ngẫu nhiên, nhưng X có tất cả các quỹ đạo liên tục, còn tất cả
các quỹ đạo của Y gián đoạn.
1.1.4 Phân phối của q trình ngẫu nhiên trên khơng gian quỹ đạo
7


Cho quá trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } trên không gian xác suất
( Ω , , P). Như đã trình bày ở trên, ta có thể xem X = X g là ánh xạ từ không
gian mẫu Ω vào không gian quỹ đạo:
X( ω ) = X g( ω ).
Hơn nữa, với mỗi tập trụ CI ( B ) ta có:

{

}

{ ω ∈ Ω | X( ω )∈ CI ( B ) } = ω ∈Ω | ( X t ,..., X t ) ∈ B ∈ 
1

n

T
Từ đó suy ra X là ánh xạ đo được từ ( Ω , ) vào ( ¡ ,σ (C )) , tức là

X-1(C) ∈ , ∀C ∈ σ (C ).
Do đó, hàm tập
PX(C) = P(X-1(C)), ∀C ∈ σ (C )
là độ đo xác suất trên σ (C ) .
Ta gọi PX là phân phối xác suất trên khơng gian quỹ đạo của q trình
X = { X t ,t ∈T} .
1.1.5 Định lý tồn tại Kolmogorov
Bây giờ ta quan tâm đến bài toán ngược lại: Cho trước họ các phân
phối hữu hạn chiều (PI ) (trên ¡ I ) thoả mãn điều kiện đối xứng và nhất qn.
Tìm khơng gian xác suất ( Ω , , P) và quá trình X = { X t , t ∈ T } xác định
trên ( Ω , , P) sao cho họ các phân phối hữu hạn chiều của nó chính là (PI ),
tức là,

{

}

P ω ∈ Ω | ( X t ,..., X t ) ∈ B = PI (B), ∀B ∈I
1

n

Định lý. Tồn tại không gian xác suất ( Ω , , P) và quá trình X = { X t , t ∈ T }
xác định trên ( Ω , , P) nhận PI làm họ các phân phối hữu hạn chiều của nó.
Ta không cho chứng minh chi tiết định lý này, nhưng chỉ ra các ý chính
cách xây dựng tường minh.
+) Lấy không gian quỹ đạo làm không gian mẫu: Ω = ¡ T , ω = x• .

+) Lấy σ - trường trụ làm σ - trường cơ sở:  = σ (C ) .

8


+) Độ đo xác suất cơ sở P được xác định như sau: với mỗi tập trụ
CI ( B)
P(CI(B)) = PI (B).
Theo điều kiện đối xứng và nhất quán, ta chứng minh được các định nghĩa
như thế không phụ thuộc vào biểu diễn các tập trụ, tức là, nếu tập C có hai
cách biểu diễn:
C = CI ( B) = CI ' ( B ')
thì
P(CI(B)) = P(CI' (B')).
Sau đó chứng minh P có tính chất cộng tính đếm được trên trường các tập trụ
C. nhờ định lý mở rộng độ đo, ta nhận được độ đo xác suất P trên σ (C ) .
+) Lấy các hàm toạ độ làm quá trình ngẫu nhiên, tức là,
Xt : ¡

T

→¡ ,

X t ( x• ) = xt .

Q trình vừa xây dựng ở trên được gọi là q trình chính tắc.
Theo định lý này thì đối với mỗi quá trình ngẫu nhiên, tồn tại q trình
chính tắc tương đương ngẫu nhiên yếu với nó.
Chú ý. Định lý tồn tại Kolmogorov rất tổng quát: ngoài điều kiện tự nhiên:
đối xứng và nhất quán, khơng địi hỏi bất cứ một điều kiện nào khác. Tuy

nhiên, ta cần lưu ý những điểm sau đây:
Thứ nhất là, không gian quỹ đạo ¡

T

quá lớn.

Thứ hai là, σ - trường trụ σ (C ) không chứa nhiều tập hợp quan trọng
như: tập C(T) gồm các hàm liên tục trên T; tập các hàm bị chặn.
Điều này là do: các tập trong σ (C ) chỉ ràng buộc một số đếm được các
toạ độ, trong khi đó tính liên tục, chẳng hạn, ràng buộc tất cả các toạ độ (trong
lân cận nào đó có lực lượng khơng đếm được). Thật vậy, ta trở lại ví dụ đã xét
ở cuối 1.1.2: Ω = [ 0,1] ,  là σ - trường Borel của [0, 1], P là độ đo Lebesgue
thông thường, T = [ 0,1] , và
X t (ω ) = 0, ∀ω ∈ [ 0,1] , ∀t ∈ [ 0,1] ,
9


 0 víi t ≠ ω
Yt (ω )t = 
1 víi t = ω.
Hai q trình này tương đương ngẫu nhiên, nên có cùng phân phối trên khơng
gian quỹ đạo: PX = PY. Nếu C(T) ∈ σ (C ) thì
1 = P(X ∈ C (T )) = PX ( C (T ) ) = PY ( C (T ) ) = P(Y ∈ C (T )) = 0.
Vô lý!
Một trong những vấn đề quan trọng của lý thuyết quá trình ngẫu nhiên
là: tìm những điều kiện đặt lên họ các phân phối hữu hạn chiều để bảo đảm
quá trình đã cho có bản sao liên tục, hoặc khơng có gián đoạn loại hai, và v.
v…
1.1.6 Bản sao liên tục

Định lý. Cho X = { X t , t ∈ [ 0,1] } là q trình ngẫu nhiên trên khơng gian xác
suất đủ ( Ω , , P). Giả sử với tất cả t , t + h ∈ [ 0,1]
P { X t + h − X t ≥ g (h)} ≤ q (h),
trong đó g và q là các hàm chẵn của h, không tăng khi h ↓ 0 sao cho
∞

∑ g (2

−n

) < ∞,

n =1

∞

∑2

n

q(2− n ) < ∞.

n =1

khi đó X có bản sao liên tục.
Chú ý. Có thể chứng minh rằng:
Mỗi q trình chỉ có duy nhất một bản sao liên tục. Chính xác hơn, nếu
hai quá trình ngẫu nhiên liên tục xác định trên cùng một khơng gian xác suất
và tương đương ngẫu nhiên thì bằng nhau.
Hệ quả 1. Cho X = { X t , t ∈ [ 0,1] } là quá trình ngẫu nhiên trên không gian xác

suất đủ ( Ω , , P). Giả sử với tất cả t , t + h ∈ [ 0,1]
p

E X t +h − X t ≤

Kh
ln h

1+ r

,

trong đó p < r và K là các hằng số dương. Khi đó X có bản sao liên tục.
Chứng minh: Suy trực tiếp từ bất đẳng thức Markov:
10


p

E X t +h − X t
P { X t +h − X t ≥ a} ≤
,
ap
và lấy
g(h) = ln h

−b

, 1 < b < r / p.

Bằng cách chứng minh tương tự ta có kết quả sau:
Hệ quả 2 (của Kolmogorov). Nếu với tất cả t , t + h ∈ [ 0,1]
p

E X t +h − X t ≤ K h

1+ε

trong đó p, ε và K là các hằng số dương, thì X có bản sao liên tục.
1.2 Quá trình cấp 2
Giả sử X(t), t∈ T là một q trình (ngẫu nhiên), trong đó T là tập chỉ số
thời gian. Tập chỉ số T có thể là
¡ = ( −∞; + ∞), ¡

+

¢ = {0, ± 1, ± 2,...}, ¢
Nếu T= ¡ hoặc T = ¡

+

= [ 0, + ∞ ) ,
+

= {0,1,2,...}.

thì ta có một q trình với thời gian liên tục.

Nếu T= ¢ hoặc T = ¢ + thì ta có một q trình với thời gian rời rạc hay còn
gọi là một dãy ngẫu nhiên.

1.2.1 Định nghĩa
Quá trình X(t), t∈ T được gọi là một quá trình cấp 2 nếu
2

Ε X (t ) < ∞, ∀t ∈ T .
Kí hiệu L2 (Ω, F , P) là không gian Hilbert các đại lượng ngẫu nhiên X
2
nhiên sao cho Ε X (t ) < ∞ . Tích vô hướng trong L2 (Ω, F , P) là

< X , Y >= E ( XY ) = ∫ X (ω )Y (ω )dP.
Ω

Sự hội tụ trong L2 (Ω, F , P) được gọi là hội tụ bình phương trung bình.
Nếu Xn hội tụ bình phương trung bình tới X thì ta viết
l.i.m X n = X .
n→∞

Ta có mệnh đề sau đây:
11


2

Mệnh đề 1: Giả sử (Xn) là dãy đại lượng ngẫu nhiên với Ε X (t ) < ∞ .
Điều kiện cần và đủ để tồn tại l.i.m X n = X là:
n→∞
(i) Tồn tại lim EX n = EX .
n →∞
(ii) Tồn tại

lim Cov( X n , X m ) = VarX .

n →∞
m→∞

Chứng minh. Giả sử tồn tại l.i.m X n = X . Khi đó theo bất đẳng thức Schwarz
n→∞
ta có lim EX n − EX = lim E ( X n − EX ) ≤ lim E X n − X
n →∞

n →∞

n →∞

2

=0.

Mặt khác Cov( X n , X m ) = < X n , X m > - ( EX n )( EX m ) , nên ta có
lim Cov( X n , X m ) =< X , Y > −( EX ) 2 = EX 2 − ( EX ) 2 = VarX

n →∞
m→∞

.

Ngược lại, giả sử (i) và (ii) được thoả mãn. Khi đó tồn tại
lim < X n , X m >= lim Cov( X n , X m ) + (lim EX n )(lim EX m ) = c.

n →∞

m→∞

n →∞
m→∞

n →∞

m →∞

Ta lại có
2

E X n − X m =< X n − X m ,X n − X m >=< X n , X n > −2 < X n , X m > + < X m , X m >
Do đó
2

lim E X n − X m = c − 2c + c = 0.

n →∞
m→∞

Vậy tồn tại l.i.m X n = X .
n→∞
Mệnh đề được chứng minh.
Một q trình cấp 2 X(t) có thể được định nghĩa như là một ánh xạ
X: T → L2 (Ω, F , P) .
1.2.2 Hàm trung bình và hàm tự tương quan
Hàm trung bình m(t) được định nghĩa bởi công thức sau
m(t) = EX(t).
Hàm tự tương quan r(s,t) được định nghĩa bởi công thức sau

r(s,t) = Cov[x(s), X(t)] = E(X(s) - m(s))(X(t) - m(t)) = EX(s)X(t) - m(s)m(t).
Vì VarX(t) = Cov[x(s), X(t)] nên ta có VarX(t) = r(t, t).
12


Định lý 1. Hàm tự tương quan r(s, t) là đối xứng và xác định không âm, tức là
i) r(s, t) = r(t, s), ∀s, t ∈ T .
ii) ∀n ∈ ¥ , ∀t1 , t2 , t3 ....tn ∈ T , ∀b1 , b2 , b3 ....bn ∈ ¡ thì
n

n

∑∑ b b r (t , t ) ≥ o .
i =1 j =1

i

j

i

j

Chứng minh. Tính chất đối xứng là hiển nhiên.
Ta chứng minh (ii). Ta có
n

n

n

i =1

i =1

i =1

0 ≤ Var (∑ bi X (ti )) = Cov[∑ bi X (ti ), ∑ bi X (ti )] =
n

n

n

n

= ∑∑ bib j Cov[X(ti ), X (t j )]= ∑∑ bib j r (ti , t j ).
i =1 j =1

i =1 j =1

1.2.3 L2 - liên tục
Xét trường hợp T = ¡ hoặc T = ¡ + .
Quá trình cấp 2 X(t), t ∈ T được gọi là L2 - liên tục (hay liên tục bình
phương trung bình) tại điểm t0 nếu
l.i.m X (t ) = X (t0 ),
t →t0

tức là
2

lim E X (t ) − X (t0 ) = 0
t →t0

Nếu X(t) là L2 - liên tục tại mọi điểm t ∈ T , thì ta nói X(t) là L2 - liên
tục.
Định lý sau đây cho ta tiêu chuẩn để biết tính L2 - liên tục của X(t)
thơng qua tính liên tục của hàm trung bình và hàm tự tương quan.
Định lý 2: Quá trình X(t) là L2 - liên tục khi và chỉ khi hàm trung bình m(t) và
hàm tự tương quan r(s, t) là liên tục.
Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử X(t) là L2 - liên tục.
Từ bất đẳng thức Schwartz ta có
m(t ) − m(t0 ) = E ( X (t ) − X (t0 ) ≤
2

≤ E X (t ) − X (t0 ) ≤ E X (t ) − X (t0 ) .
13


Suy ra m(t) là liên tục.
Ta lại có r ( s, t ) = EX ( s ) X (t ) − m( s )m(t ) =< X ( s ), X (t ) > −m( s )m(t ).
Khi s → s0 và t → t0 thì X ( s ) → X ( s0 ) và X (t ) → X (t0 ) trong
L2 (Ω, F , P) . Do tính chất liên tục của tích vơ hướng ta suy ra
lim < X ( s ), X (t ) > =< X ( s0 ), X (t0 ) > .

s → s0
t →t0

lim r ( s, t ) =< X ( s0 ), X (t0 ) > −m( s0 ) m(t0 ) = r ( s0 , t0 ).
Vậy ta được s→s0

t →t0

Điều kiện đủ: Giả sử m(t) và r(s, t) là liên tục. ta có
2

lim E X (t ) − X ( s ) = ( E[X (t ) − X ( s)]) 2 + Var[X (t ) − X ( s)]=
t →t0

= [m(t) - m(s)]2 + VarX(t) - 2Cov(X(t), X(s)) + VarX(s) =
= [m(t) - m(s)]2 + r(s, t) - 2r(s, t) + r(s, s).
2
Khi t → s thì m(t ) − m( s ) → 0 và

lim(r (t , t ) − 2r (t , s) + r ( s, s)) = 0.
t →s

Vì vậy ta được
2

lim E X(t)-X(s) = 0.
t →s

1.3 Phép tính vi phân cho quá trình cấp 2
1.3.1 L2 - Khả vi
Quá trình cấp 2 X(t), t ∈ T được gọi là L2 - khả vi tại điểm t0 nếu tồn tại
giới hạn
l.i.m
h →0

X (t0 + h) − X (t0 )

.
h

Giới hạn này được ký hiệu là X'(t0) và được gọi là L2 - đạo hàm của q
trình X(t) tại điểm t0.
Ta nói rằng quá trình X(t) là L2 - khả vi nếu tồn tại L2 - đạo hàm X'(t)
tại mọi điểm t ∈ T .
Định lý 3. Quá trình X(t) là L2 - khả vi tại điểm t0 nếu và chỉ nếu:
(i) Hàm trung bình m(t) khả vi tại t = t0.
14


(ii) Tồn tại giới hạn
1
[r (t0 + h, t0 + k ) − r (t0 + h, t0 ) − r (t0 , t0 + k ) + r (t0 , t0 )].
h →0 hk
k →0

lim

Chứng minh: Áp dụng mệnh đề 1 ở trên ta có X(t) là L2 - khả vi khi và chỉ
khi;
(i) Tồn tại
lim E[
h →0

X (t0 + h) − X (t0 )
m(t0 + h) − m(t0 )
]= lim
.

h →0
h
h

Điều này tương đương với m(t) khả vi tại t = t0.
(ii) Tồn tại
lim Cov (
h →0
k →0

X (t0 + h) − X (t0 ) X (t0 + k ) − X (t 0 )
,
)=
h
k

1
[r (t0 + h, t0 + k ) − r (t0 + h, t0 ) − r (t0 , t0 + k ) + r (t0 , t0 )].
h→0 hk
k →0

= lim

Định lý được chứng minh.
Ví dụ 1. Q trình Wiener khơng L2 - khả vi ở bất cứ điểm nào.
Thật vậy, quá trình Wiener có hàm tương quan là
r ( s, t ) = σ 2 min( s, t ).
Với h = k > 0 ta có
1
[r (t0 + h, t0 + h) − r (t0 + h, t0 ) − r (t0 , t0 + h) + r (t0 , t0 )]=

h →0 h 2

= lim

σ2
σ2
= lim 2 [t0 + h − t0 − t0 + t0 )]= lim 2 = ∞.
h →0 h
h →0 h
Tính L2 - khả vi khơng có liên quan gì đến tính khả vi của hàm chọn. thật
vậy, hàm chọn của quá trình Poisson là một hàm bậc thang do đó nó chỉ khơng
khả vi tại các điểm bước nhảy. Đối với quá trình Wiener, bằng một chứng
minh rất khó và tinh tế người ta chỉ ra rằng hàm chọn của quá trình Wiener là
hàm liên tục nhưng không khả vi ở bất cứ điểm nào.

15


Định lý 4. Quá trình X(t) là L2 - khả vi nếu hàm trung bình m(t) khả vi và đạo
hàm cấp hai

∂ 2 r ( s, t )
của hàm tự tương quan là tồn tại và liên tục.
∂s∂t

∂ 2 r ( s, t )
Chứng minh: Suy từ định lý 3 và sự kiện: Nếu
tồn tại và liên tục
∂s∂t
1

[r (t + h, s + k ) − r (t + h, s ) − r (t , s + k ) + r (t , s )].
h →0 hk
k →0

lim

Như vậy, nếu X(t) là quá trình L2 - khả vi thì L2 - đạo hàm X'(t) của quá
trình ấy lại là một quá trình cấp 2 mới. Từ chứng minh của các định lý trên ta
suy ra các cơng thức tính hàm trung bình và hàm tự tương quan của X'(t) như
sau:
EX'(t) = m'(t)
∂ 2 r ( s, t )
Cov[X'(s),X'(t)]=
∂s∂t
Cov[X'(s),X(t)]=

∂r ( s, t )
∂s

Tương tự ta có thể xây dựng các khái niệm L2 - khả vi cấp 2, 3,…
1.3.2 L2 - khả tích
Giả sử X(t) là một L2 - quá trình (quá trình cấp 2) trên đoạn [a; b].
Ứng với mỗi phép phân hoạch ∆ đoạn [a; b].
a = t0 < t1 < t2 <…< tn+1 = b với V = max(t i+1 − ti )
n

ta lập tổng tích phân S (∆) = ∑ X ( si )(ti +1 − ti ) ,
i =0

trong đó si là điểm tuỳ ý thuộc [ti, ti+1].

Nếu tồn tại giới hạn l.i.m S ( ∆) = I ,
∆ →0
thì ta nói X(t) là L2 - khả tích và viết
b

I = ∫ X (t )dt.
a

16


Tích phân này có một số tính chất như tích phân thông thường.
Chẳng hạn:
b

Định lý 5. (i) Nếu

X(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a,b]

c

(ii)

b

c

a

.

b

a

thì

∫ X (t )dt ≥ 0

a

∫ X (t )dt + ∫ X (t )dt = ∫ X (t )dt , (a < c < b).
b

(iii)

b

b

a

a

a

∫ [α X (t ) + β Y (t )]dt = α ∫ X (t )dt + β ∫ Y (t )dt
,

( α , β là các hằng số).

t

Y (t ) = ∫ X ( s )ds

(iv) Giả sử X(t) là L2 - liên tục. Đặt

a

, khi đó Y(t) là L2 -

khả vi và Y'(t) = X(t).
(v) (Công thức Newton - Leibnitz).
Nếu X(t) là L2 - khả vi liên tục (tức X'(t) là L2 - liên tục) trên đoạn [a,b]
thì
b

∫ X '(t )dt = X (b) − X (a).
a

Chý ý. Nếu X(t) là L2 - khả tích thì khơng nhất thiết hàm chọn X ω (t ) là
khả tích Riemann với xác suất 1. Tuy nhiên, nếu hàm chọn X ω (t ) là khả tích
b

Riemann với xác suất 1 thì tích phân

I = ∫ X (t )dt
a

có thể hiểu như là tích

phân dọc theo mỗi quỹ đạo ω . Nói cách khác, đại lượng ngẫu nhiên
b

I = ∫ X (t )dt
a

b

có thể tính theo công thức

I (ω ) = ∫ X (ω )(t )dt

n

a

. Thật vậy:

S∆ (ω ) = ∑ X (ω )( si )(ti +1 − ti ) hội tụ tới I (ω ) với xác suất 1.
i =0

17


b

Mặt khác lim S∆ (ω ) = ∫ X (t )dt .
∆ →0
a

b

I (ω ) = ∫ X (t )dt.

Thành thử

a

Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn để một q trình ngẫu nhiên X(t)
là L2 - khả tích thơng qua tính khả tích của hàm trung bình và hàm tự tương
quan.
Định lý 6. Quá trình X(t) là L2 - khả tích trên [a, b] nếu và chỉ nếu hàm trung
bình m(t) khả tích trên đoạn [a, b] và hàm tự tương quan r(s, t) khả tích trên
[a, b] × [a, b].
Trong trường hợp đó ta có các cơng thức sau đây:
b

b

a

a

E[ ∫ X (t ) dt ] = ∫ m(t )dt ,
b

b b

a

a a

Var[ ∫ X (t ) dt ] = ∫∫ r ( s, t ) dsdt ,
b

d

b d

a

c

a c

Cov[ ∫ X ( s )ds, ∫ X (t )dt ] = ∫∫ r ( s, t )dsdt , [c,d] ⊆ [a,b]
b

b

a

a

Cov[X ( s ), ∫ X (t )dt ] = ∫ r ( s, t ) dt.
b

Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử tích phân I = ∫ X (t )dt tồn tại và
a

n

∑ m(s )(t
i =0

i

i +1

− ti ) là một tổng Riemann ứng với phân hoạch ∆ của [a, b].
n

Vì S (∆) = ∑ m( si )(ti +1 − ti ) hội tụ bình phương trung bình tới I, nên suy
i =0

ra ES(∆) hội tụ tới EI khi ∆ → 0 theo mệnh đề 1.
n

Thế mà ES (∆) = ∑ m( si )(ti+1 − ti ).
i =0

18


n

lim ∑ m( si )(ti +1 − ti ) = EI .

Vậy

∆ →0

i =0

Điều này chứng tỏ m(t) khả tích và
b

b

a

a

E[ ∫ X (t ) dt ] = ∫ m(t )dt.
m

n

Tiếp theo giả sử V (∆, ∆ ) = ∑∑ r ( si , s j )(ti +1 − ti )(t j +1 − t j ) là một tổng
'

'

'

i =0 i = 0

Riemann ứng với phân hoạch ∆×∆ của [a, b] × [a, b].
Đặt
m

n

i =0

j =0

'
'
'
S (∆) = ∑ X ( si )(ti +1 − ti ) và S (∆ ') = ∑ X ( s j )(t j +1 − t j ).

Ta có Cov[S(∆),S(∆')]=V(∆,∆').
lim V (∆, ∆ ') = VarI .
lim
Vì lim S (∆) = ∆ ' →0 S (∆ ') = I , nên theo mệnh đề 1 ta có ∆ →0
∆ →0
∆ ' →0

Vậy r(s, t) khả tích trên [a, b] × [a, b] và
b

b b

a

a a

Var[ ∫ X (t ) dt ] = ∫∫ r ( s, t ) dsdt.
d

Xét tương ứng với I ' = ∫ X (t )dt và ∆ × ∆ ' là phân hoạch của
c

[a, b] × [c, d]
lim V (∆, ∆ ') = Cov( I , I ').
lim
ta có lim S ( ∆) = ∆ ' →0 S ( ∆ ') = I , nên ∆ →0
∆ →0
∆ ' →0

Vì thế r(s, t) khả tích trên [a, b] × [a, b] và
b

d

b d

a

c

a c

Cov[ ∫ X ( s)ds, ∫ X (t )dt ] = ∫∫ r ( s, t )dsdt.
b

m

a

i =0

Cuối cùng với J ( s ) = ∫ r ( s, t )dt , U ( s, ∆) = ∑ r ( s, si )(ti +1 − ti )
ta có
Cov[X(s),S(∆)]=U ( s, ∆) , nên Cov[X(s),I]= lim U ( s, ∆) = J ( s ).
∆ →0
19


Điều kiện đủ: Giả sử ∆ và ∆' là hai phép phân hoạch tuỳ ý của [a, b]
∆ : a = t0 < t1 < t2 < … < tm+1 = b,
∆' : a = t'0 < t'1 < t'2 < … < t'n+1 = b.
'
'
'
Chọn các điểm tuỳ ý si ∈ [ ti , ti +1 ] , s j ∈ t j , t j +1  và xét các tổng


m

n

i =0

j =0

'
'
'

S (∆) = ∑ X ( si )(ti +1 − ti ) , S (∆ ') = ∑ X ( s j )(t j +1 − t j ).

Ta có:
n

b

i =0

a

(i) Tồn tại lim ES (∆) = lim ∑ m( si )(ti +1 − ti ) = ∫ m(t )dt.
∆ →0
∆ →0
(ii) Tồn tại

lim Cov[S(∆),S(∆')]=

∆ →0
∆ ' →0

m

n

= lim ∑∑ r ( si , s )(ti+1 − ti )(t
∆ →0
i =0 J =0
∆ ' →0

'
j

b b

'
j +1

− t ) = ∫∫ r ( s, t )dsdt.

Áp dụng mệnh đề 1 ta suy ra tồn tại lim S (∆) .
∆ →0
Vậy X(t) là L2 - khả tích.

20

'
j

a a


Chương 2. Một số tính chất của q trình Wiener
và các quá trình liên quan
2.1 Quá trình dừng
2.1.1 Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 1. Giả sử X (t ), t ∈ ¡ là một quá trình cấp 2.
X(t) được gọi là một quá trình dừng nếu hàm trung bình m(t) là hằng số
(không phụ thuộc vào t) và hàm tự tương quan r(s, t) chỉ phụ thuộc vào s - t.
Như vậy X (t ), t ∈ T là quá trình dừng khi và chỉ khi:

a) m(t) = m = const.
b) Tồn tại hàm K(t) sao cho r(s, t) = K(s - t), ∀s, t ∈ ¡ .
Nói cách khác (hoàn toàn tương đương với định nghĩa trên), quá trình
X (t ), t ∈ ¡ là quá trình dừng nếu nó có cùng hàm trung bình và hàm tự tương
quan với quá trình Y(t) = X(t + h), ∀h ∈ ¡ .
Định nghĩa 2. Quá trình X (t ), t ∈ ¡ được gọi là quá trình dừng mạnh (hay
dừng theo nghĩa hẹp) nếu với mọi h ∈ ¡ , và với mọi t1đồng thời của

{ X (t1 + h), X (t2 + h),..., X (tn + h)}
và của

{ X (t1 ), X (t2 ),..., X (tn )}

là như nhau.

Điều này có nghĩa là phân phối hữu hạn chiều không thay đổi khi ta
tịnh tiến bộ chỉ số thời gian (t1, t2, …, tn).
Rõ ràng một quá trình dừng mạnh có moment cấp 2 là một q trình
dừng. Điều ngược lại nói chung khơng đúng.
Tuy nhiên, nếu một q trình dừng là q trình Gauss thì nó sẽ là quá
trình dừng mạnh. Bởi vì phân phối hữu hạn chiều của q trình Gauss hồn
tồn được xác định bởi hàm trung bình và hàm tự tương quan.
Hàm K(t) cũng được gọi là hàm tự tương quan của quá trình dừng. Ta
có tính chất sau đây của hàm K(t).
Định lý 1. (i) K(t) là một hàm chẵn, tức là K(t) = K(-t), ∀t ∈ ¡ .
21


(ii) K (t ) ≤ K (0), ∀t ∈ ¡ .

(iii) K(t) là hàm xác định không âm tức là
với mọi t1, t2, …, tn ∈ ¡ và với mọi b1 , b2 ,..., bn ∈ ¡ thì
n

n

∑∑ b b K (t
i =1 j =1

i

j

i

− t j ) ≥ 0.

2.1.2 Các ví dụ.
Q trrình dừng là một mơ hình tốn học thích hợp để mơ tả nhiều hiện
tượng trong kinh tế, khi tượng - thuỷ văn, vật lý, điện tử - viễn thơng, .v.v…
Ví dụ 1. Giả sử U và V là hai đại lượng ngẫu nhiên không tương quan với
EU = EV = 0, Với λ là một số thực, xét quá trình
X (t ) = Ucosλ t + Vsinλ t.
Hãy chứng tỏ X(t) là quá trình dừng và tìm hàm tự tương quan của nó.
Giải. Ta có m(t ) = cosλ tEU + sinλ tEV = 0.
r ( s, t ) = EX ( s ) X (t ) = E[(Ucosλ s + Vsinλ s )(Ucosλt + Vsinλt )]
= E[(U 2 cosλ s cosλt + V 2sinλ s sinλt + UVcosλ s sinλt +UV sin λ s cosλt ]
= σ 2 (cosλs cosλt + sin λ s sin λt ) = σ 2cosλ (t − s ).
Vậy X(t) là quá trình dừng với hàm tự tương quan K(t) = σ 2cosλ t .
Ví dụ 2. Tổng quát hơn, giả sử U1, U2,…,Un và V1,V2, …,Vn là các đại lượng

ngẫu nhiên có
EUk = EVk = 0, EU k2 = EVk2 = σ k2 ,
EU iU k = 0(i ≠ k ), EVVk = 0,(i ≠ k ), EU iV j = 0.
i
Xét quá trình
X (t ) = ∑ (U k cosλkt + Vk sin λk t ).
trong đó λ1 , λ2 ,..., λn là các hằng số thực. Bằng chứng minh tương tự ví dụ 1
trên, ta có X(t) là quá trình dừng với
n

m(t ) = EX (t ) = 0, K (t ) = ∑σ k2cosλk t.
k =1

22


2.1.3 Biểu diễn phổ
Trong mục này chúng ta sẽ chứng minh định lý cơ bản của quá trình
dừng, gọi là định lý biểu diễn phổ.
Cho đến nay chúng ta mới chỉ xét các đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị
thực. Bây giờ ta xét các đại lượng ngẫu nhiên nhận cả giá trị phức. Việc này
sẽ làm cho nhiều công thức trong lý thuyết quá trình dừng trở nên đơn giản
hơn.
Ký hiệu L2 (Ω, F , P) là không gian các đại lương ngẫu nhiên X nhận giá
2
trị phức sao cho E X < ∞ . L2 (Ω, F , P) là khơng gian Hilbert với tích vơ

hướng xác định bởi
< X , Y >= EX Y .
Nếu X (t ), t ∈ T là một quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị phức sao cho

X (t ) ∈ L2 (Ω, F , P ), ∀t ∈ T thì ta gọi X(t) là L2 - quá trình. Hàm trung bình
m(t) = EX(t), còn hàm tự tương quan được định nghĩa như sau:
r ( s, t ) = Cov [ X ( s ), X (t ) ] =
= 〈 X ( s ) − m( s ), X (t ) − m(t )〉 =

(

)

= E [ X(s)-m(s)]  X(t)-m(t)  .


Tính chất đối xứng và xác định khơng âm của r(s, t) giờ đây trở thành
(i) r ( s, t ) = r ( s, t ), ∀s, t ∈ T .
(ii) ∀n ∈ ¥ , ∀t1 , t2 ,..., tn ∈ T , ∀z1 , z2 ,..., zn ∈ £ thì
n

n

∑∑ z z r (t , t ) ≥ 0.
i

i =1 j =1

j

i

j

Nếu X (t ), t ∈ T là q trình dừng, thì tính chất đối xứng và xác định
không âm của hàm tự tương quan K(t) nay trở thành
(i) K ( −t ) = K (t ), ∀t ∈ T .
(ii) ∀n ∈ ¥ , ∀t1 , t2 ,..., tn ∈ T , ∀z1 , z2 ,..., zn ∈ £ thì
n

n

∑∑ z z K (t , t ) ≥ 0.
i =1 j =1

i

23

j

i

j


Trước hết, ta có định lý quan trọng sau đây:
Định lý 2.
(i) Trường hợp thời gian rời rạc, T = ¢ :
Nếu K (n) , n ∈ ¢ là hàm tự tương quan của quá trình dừng X(n) thì tồn
tại duy nhất một độ đo hữu hạn µ trên [ −π , π ] sao cho có biểu diễn tích phân
π

K ( n) =

∫e

inx

d µ ( x).

−π

(ii) Trường hợp thời gian liên tục, T = ¡ :
Nếu K (t ) , t ∈ ¡ là hàm tự tương quan của quá trình dừng X(t) và X(t)
là L2 - liên tục, thì tồn tại duy nhất một độ đo hữu hạn µ trên ¡ sao cho có
biểu diễn tích phân
K (t ) =

∞

∫e

itx

d µ x.

−∞

Chứng minh
− ixj
(i) Do K(n) là xác định không âm nên với z j = e ta có

n

n

∑∑ K ( j − k )e

− ix(j-k)

i =1 j =1

n −1

=

∑

K (m)e − ixm (n − m ), ∀x.

m =− ( n −1)

Đặt
f n ( x) =

1
2π

n −1

∑

K (m)e − ixm (1 −

m =− ( n −1)

m
).
n

Ta có f n ( x) ≥ 0, ∀x
π

và

∫

π

f n ( x)dx = K (0) (v ×

−π

∫e

-imx

dx = 0 nÕu m ≠ 0).

−π

Gọi µ n là độ đo trên [ −π , π ] với hàm mật độ f n ( x). Họ { µ n } là
compact yếu nên ta trích ra được một dãy con { µnk } hội tụ yếu tới độ đo hữu

hạn µ . Ta chứng tỏ rằng µ chính là độ đo cần tìm.
Thật vậy với mỗi m cố định ta có

24


π

∫ e d µnk ( x) =
imx

−π

π

imx
∫ e f nk ( x)dx =K (m)(1 −

−π

m
), víi n k ≥ m .
nk

Cho nk → ∞ ta được
π

∫e

imx

d µn ( x) = K (m).

−π

Độ đo µ là duy nhất. Thật vậy, giả sử có hai độ đo µ và v sao cho
K (n) =

π

∫e

inx

d µ ( x) =

−π

π

∫e

inx

dv( x ).

−π

Vì mọi hàm liên tục g(x) hồn tồn có thể xấp xỉ đều bằng các đa thức
n

lượng giác

∑c e
k

ikx

, do đó ta suy ra

k =1

π

π

−π

−π

∫ g ( x)d µ ( x) = ∫ g ( x)dv( x) , với mọi hàm liên tục g(x).

Vậy ta có µ = v .
(ii) Đặt ϕ (t ) =

K (t )
. Khi đó ϕ (t ) là hàm liên tục, xác định không âm và
K (0)

ϕ (0) = 1 . Như thế theo định lý Bochner thì ϕ (t ) là hàm đặc trưng của một độ

đo xác suất v nào đó. Lúc ấy đặt µ = K (0).v ta sẽ có biểu diễn cần tìm.
Độ đo µ được gọi là độ đo phổ của quá trình dừng X(t).
dµ
Nếu độ đo µ là tuyệt đối liên tục, tức là d µ = f ( x)dx thì f ( x) =
dx
được gọi là hàm mật độ phổ. Khi ấy ta có
K ( n) =

π

∫e

inx

f ( x)d ( x), nÕu T=¢ ,

−π

K (t ) =

∞

∫e

itx

f ( x) d ( x), nÕu T=¡

−∞

Với một số điều kiện nhất định, có thể tìm được mật độ phổ từ hàm tự
tương quan. Cụ thể ta có kết quả sau
Định lý 3.
25