Một số tính chất của miền iđêan chính

1

MỤC LỤC

Trang
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

.Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

. 1.1. Phần tử bất khả quy, phần tử nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

. 1.2. Vành các chuỗi lũy thừa hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

. 1.3. Miền nhân tử hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4. Môđun các thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5. Độ dài môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

.. 1.6. Hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

. 1.7. Môđun hữu hạn sinh, môđun tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

.. 1.8. Vành và môđun Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

. 1.9. Miền đóng nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

. 1.10. Vành địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

. 1.11. Vành chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

.
Chương
2. Một số tính chất của miền iđêan chính . . . . . . . . . . . . . .

13

. 2.1. Miền iđêan chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

. 2.2. Đặc trưng miền iđêan chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

. 2.3. Môđun tự do trên miền iđêan chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

. 2.4. Môđun hữu hạn sinh trên miền iđêan chính . . . . . . . . . . . . . . . .

28

. 2.5. Đặc trưng của miền iđêan có số chiều bằng 1 . . . . . . . . . . . . . . .

41

.Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

. liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài

45

.


2

MỞ ĐẦU
Cho R là một miền nguyên. Ta nói rằng R là miền iđêan chính nếu mỗi
iđêan của R đều là iđêan chính, tức là mỗi iđêan của R đều có thể sinh bởi một
phần tử. Miền iđêan chính là một lớp vành cổ điển, quan trọng trong Đại số
giao hoán. Miền nguyên R được gọi là miền nhân tử hóa (viết tắt là UFD) nếu
mỗi phần tử khác 0 và khơng khả nghịch của R đều có thể phân tích được
thành tích của hữu hạn nhân tử bất khả quy. Chú ý rằng mỗi miền iđêan chính
là một miền nhân tử hóa. Tuy nhiên tồn tại những miền nhân tử hóa khơng là
miền iđêan chính. Chẳng hạn, vành đa thức 2 biến với hệ số trên một trường
là miền nhân tử hóa nhưng nó khơng phải là miền iđêan chính.
Vành Noether là lớp vành quen thuộc trong Đại số giao hoán. Ta biết rằng
vành giao hoán R là vành Noether nếu và chỉ nếu mọi iđêan của R đều hữu
hạn sinh. I.S.Cohen đã đưa ra một đặc trưng cho vành Noether: R là vành
Noether nếu và chỉ nếu mọi iđêan nguyên tố của R đều hữu hạn sinh. Kết quả
này cho phép ta nghĩ đến việc để nghiên cứu một tính chất nào đó trên tập tất
cả các iđêan của R, ta có thể chỉ cần nghiên cứu tính chất đó trên tập các iđêan
nguyên tố của R là đủ. Áp dụng tư tưởng đó Nơng Quốc Chinh và Phạm Hồng
Nam [3] đã đưa ra được một đặc trưng mới cho miền iđêan chính, có thể phát
biểu như sau: Cho R là một miền nguyên. Khi đó R là miền iđêan chính nếu
và chỉ nếu R là miền nhân tử hóa và mỗi iđêan nguyên tố của R đều là iđêan
chính.
Mục đích của luận văn là trình bày lại các kết quả của bài báo [3] và trình
bày một số tính chất của miền iđêan chính dựa vào [6].
Ngồi phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của luận

văn được chia thành 2 chương. Trong Chương 1, chúng tơi sẽ trình bày các
kiến thức cơ sở liên quan đến các kết quả và chứng minh ở Chương 2, nhằm


3

giúp người đọc dễ theo dõi nội dung chính của luận văn. Chương 2, trình bày
nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tơi trình bày định
nghĩa và các tính chất cơ bản của miền iđêan chính dựa vào [3] và [6].
Luận văn được thực hiện từ tháng 2 năm 2010 và hoàn thành tại trường
Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Tơi xin
được bày tỏ lịng biết ơn trân trọng của mình đến cơ giáo hướng dẫn, người đã
đặt ra vấn đề, tạo điều kiện và thường xuyên giúp đỡ tôi trong suốt q trình
học tập và hồn thành luận văn này.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn trân trọng đến PGS.TS. Lê Quốc
Hán, PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, TS. Mai Văn
Tư, TS. Chu Trọng Thanh, cùng các thầy cơ giáo trong khoa Tốn, khoa Sau
đại học, Ban Giám hiệu trường Đại học Vinh, trường THPT 1/5 Nghĩa Đàn,
đã thường xuyên giúp đỡ và tạo điều kiện cho tác giả trong q trình học tập
và hồn thành luận văn.

Vinh, tháng 11 năm 2010
Tác giả


4

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Phần tử bất khả quy, phần tử nguyên tố
1.1.1. Định nghĩa. Cho p là một phần tử trong miền nguyên R .
(i) Phần tử p được gọi là phần tử bất khả quy nếu p khác 0, khơng khả
nghịch và nếu p  ab thì a hoặc b là phần tử khả nghịch của R .
(ii) Phần tử p được gọi là phần tử nguyên tố nếu p khác 0, không khả
nghịch và nếu với mọi a , b  R mà p | ab thì p | a hoặc p | b .
(iii) Phần tử p được gọi là phần tử chính nguyên tố nếu iđêan chính ( p)
là một iđêan nguyên tố khác 0.
1.2. Vành các chuỗi lũy thừa hình thức
1.2.1. Định nghĩa. Cho R là một vành, x là ẩn (còn gọi là biến). Xét chuỗi
lũy thừa hình thức f ( x)  a0  a1x    an x n    i 0 ai xi , (ai  R, i ) .


Tập hợp tất cả các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ tử thuộc R được ký hiệu là

R[[ x]] . Trên R[[ x]] , với f ( x)  i 0 ai xi và g ( x)   j 0 b j x j thuộc R[[ x]]




xét các phép toán sau:


(i) Phép cộng: f ( x)  g ( x)   (ai  bi ) xi .
i 0



(ii) Phép nhân: f ( x).g ( x)   ck x k trong đó ck 

k 0

 aib j .

i  j k

Khi đó R[[ x]] trở thành một vành và được gọi là vành các chuỗi lũy thừa
hình thức.
1.2.2. Định lý. Nếu P là một iđêan nguyên tố trong R[[ x]] và gọi P là ảnh
của P qua đồng cấu tự nhiên R[[ x]]  R , biến x thành 0 thì P là hữu hạn


5

sinh nếu và chỉ nếu P là hữu hạn sinh. Hơn nữa, nếu P sinh bởi r phần tử
thì P được sinh bởi r  1 phần tử nếu x  P và P được sinh bởi r phần tử
nếu x  P .
1.3. Miền nhân tử hóa
1.3.1. Định nghĩa. Miền nguyên R được gọi là miền nhân tử hóa (viết tắt là
UFD) nếu mỗi phần tử khác 0 và khơng khả nghịch của R đều có thể phân
tích được thành tích của hữu hạn nhân tử bất khả quy.
1.3.2. Định lý. Mỗi miền nguyên R là UFD nếu và chỉ nếu mọi iđêan nguyên
tố khác 0 của R chứa một phần tử chính ngun tố.
1.4. Mơđun các thương
1.4.1. Định nghĩa. Cho M là một R  môđun, S là tập nhân đóng của vành
r

R . Khi đó ta có vành các thương S 1R   | r  R , s  S  . Trên tích Đề các
s


M  S  (m , s) | m  M , s  S  ta xác định một quan hệ hai ngôi

như sau:

(m , s) (m, s) nếu và chỉ nếu tồn tại t  S sao cho t (sm  sm)  0 . Khi đó

quan hệ

là một quan hệ tương đương trên M  S . Ta ký hiệu S 1M là tập

thương của M  S theo quan hệ tương đương

. Ký hiệu (m , s) 

m
thì
s

m

S 1M   | m  M , s  S  . Trên S 1M trang bị hai phép toán sau:
s


(i) Phép cộng:

m m sm  sm
m m
 

, với mọi ,  S 1M .
s s
ss
s s

(ii) Phép nhân với vô hướng:

r
r x rx
x
  , với mọi  S 1R và  S 1M .
s
s u su
u

Với các phép toán trên, S 1M trở thành một S 1R  môđun và gọi là môđun
các thương của M theo tập nhân đóng S .
1.4.2. Chú ý. (i) S 1M cũng có cấu trúc là một R  môđun với phép nhân vô


6

hướng xác định bởi:
r

x r x rx
x
với r  R và  S 1M .
  
s 1 s s

s

(ii) Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R . Khi đó S  R \ P là tập
nhân đóng và ta ký hiệu S 1M là M P . Mơđun M P được gọi là mơđun địa
phương hóa của M tại iđêan nguyên tố P .
(iii) Ta có hàm tử địa phương hóa
S 1 : R  mod  R  mod
M

S 1M .

1.4.3. Mệnh đề. Cho f : L  G là đồng cấu môđun trên vành giao hốn R ,
khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) f là toàn ánh;
(ii) f P : LP  GP là toàn ánh với mọi P  Spec( R) (ký hiệu Spec( R) là
tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của vành R );
(iii) f M : LM  GM là toàn ánh với mọi iđêan cực đại M của R .
1.5. Độ dài môđun
1.5.1. Định nghĩa. (i) Một R  môđun M khác môđun không được gọi là một
mơđun đơn, nếu M chỉ có đúng hai mơđun con là khơng và chính nó.
(ii) Một dãy hợp thành của một R  môđun M là một dãy giảm gồm một
số hữu hạn các môđun con
M  M 0  M1 

 M n  0

sao cho M i 1 / M i là một môđun đơn, i  1,

, n . Số n được gọi là độ dài của

dãy hợp thành này.
1.5.2. Mệnh đề và Định nghĩa. Nếu một R  mơđun M có dãy hợp thành thì
tất cả các dãy hợp thành của M có cùng một độ dài. Khi đó độ dài của các
dãy hợp thành của M được gọi là độ dài của môđun M và ký hiệu là lR ( M ) .


7

1.5.3. Định lý. Cho R là vành giao hoán và
f
g
0 
 L 
 M 
 N 
0

là dãy khớp ngắn của R  môđun và R  đồng cấu. Khi đó:
(i) R  mơđun M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu L và N đều có độ
dài hữu hạn.
(ii) Nếu L , M , N có độ dài hữu hạn thì lR (M )  lR ( L)  lR ( N ) .
1.6. Hàm tử
1.6.1. Định nghĩa. Cho R và S là vành giao hoán. Chúng ta nói rằng T là
hàm tử hiệp biến từ các R  môđun vào các S  môđun nếu T là một quy tắc
tương ứng được xác định bởi mỗi R  môđun M một S  môđun T ( M ) sao
cho mỗi đồng cấu

f : M  G của R  mơđun có một S  đồng cấu

T ( f ) : T (M )  T (G) thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Với mọi đồng cấu R  môđun f : M  G và g : G  H thì
T ( g f )  T ( g ) T ( f ) : T (M )  T ( H ) .

(ii) Với mọi R  mơđun M ta có
T (id M )  IdT ( M ) : T (M )  T (M ) .

Ta cũng nói rằng T là hàm tử nghịch biến nếu trong điều kiện (i) thay bằng:
T ( g f )  T ( f ) T ( g ) : T ( H )  T (M ) .

1.6.2. Mệnh đề. Cho R và S là vành giao hoán, T là hàm tử hiệp biến
(nghịch biến) từ các R  môđun vào các S  môđun. Khi đó:
(i) Nếu f : M  G là một đẳng cấu của R  mơđun thì T ( f ) là một
S  đẳng cấu môđun và T ( f )1  T ( f 1 ) .

(ii) Giả sử T cộng tính, nếu z : M  G là đồng cấu khơng thì T ( z ) là
đồng cấu không, vậy T (0)  0 (0 ở bên trái công thức này là R  môđun 0).
1.6.3. Mệnh đề. Cho R là một miền nguyên, với mỗi R  môđun M , đặt


8

 (M ) : m  M : r  R \ 0, rm  0 .
Khi đó  ( M ) là một môđun con của M và được gọi là môđun con xoắn của
M . Nếu  ( M )  0 thì M được gọi là mơđun khơng xoắn, cịn nếu

 (M )  M thì M được gọi là môđun xoắn.
Cho f : M  G là một đồng cấu R  môđun. Ta thấy rằng f ( (M )) 

 (G) và định nghĩa  ( f ) : (M )   (G) xác định bởi  ( f )(m)  f (m) với

mọi m  (M ). (Thực chất,  ( f ) là thu hẹp của f trên  ( M ) ).
Như vậy theo cách xác định trên,  trở thành một hàm tử hiệp biến, cộng
tính từ các R  môđun vào các R  môđun. Ta gọi  là hàm tử xoắn. Ta có:
(i) Với mỗi R  mơđun G thì mơđun G / (G) là khơng xoắn.
(ii) Nếu họ  G  là một họ khác rỗng các R  mơđun thì

 (  G )    (G ) .




1.6.4. Mệnh đề. Cho R và S là các vành giao hoán và T là một hàm tử cộng
tính (hiệp biến hoặc nghịch biến) từ các R  môđun vào các S  môđun. Với
n

và gọi G1 ,

, Gn là các R  mơđun. Khi đó T  in1Gi   in1T (Gi ) của

các S  môđun.
1.7. Môđun hữu hạn sinh, môđun tự do
1.7.1. Định nghĩa. (i) Cho M là một R  môđun. Một tập  xi iI , xi  M
được gọi là một hệ sinh của M nếu với mọi phần tử x  M đều là tổ hợp
tuyến tính trên R của hệ  xi iI , nghĩa là với mọi x  M thì
x   ai xi , ai  R, J  I , J   .
iJ

(ii) Nếu M có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì M được gọi là
mơđun hữu hạn sinh.
1.7.2. Định nghĩa. Tập con S của một R  môđun M được gọi là một tập

9

độc lập tuyến tính, nếu từ mỗi đẳng thức r1x1 
đôi một khác nhau, ta rút ra r1 

 rn xn  0 với x1 ,

, xn  S

 rn  0 . Nếu trái lại thì S được gọi là một

tập phụ thuộc tuyến tính. Nếu mơđun M có một hệ sinh S độc lập tuyến tính
thì nó được gọi là môđun tự do và tập S được gọi là một cơ sở của M .
1.7.3. Ví dụ. 1. Vành R là một mơđun tự do trên chính nó với cơ sở 1 .
Tổng quát hơn, với I là một tập chỉ số bất kì, R ( I ) là một R  môđun tự do
với cơ sở ei | i  I  , trong đó ei có thành phần thứ i bằng 1 , các thành phần
còn lại bằng 0. Cơ sở này gọi là cơ sở tự nhiên hay cơ sở chính tắc của R ( I ) .
2. Mỗi một không gian vectơ trên một trường K đều là một K  mơđun
tự do, vì nó ln có cơ sở.
1.7.4. Mệnh đề. Cho M là một mơđun trên vành giao hốn R . Khi đó tồn tại
một R  môđun tự do F và một tồn cấu R  mơđun f : F  M . Ngoài ra,
nếu M là hữu hạn sinh và sinh bởi n phần tử thì F là một R  môđun tự do
với một cơ sở hữu hạn gồm n phần tử.
1.7.5. Mệnh đề và Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán khác 0, F là
một R  mơđun tự do với một cơ sở hữu hạn thì mọi cơ sở của F là hữu hạn
và hai cơ sở bất kỳ của F đều có cùng số phần tử. Số phần tử của một cơ sở
của F được gọi là hạng của F , ký hiệu là rankF .
1.7.6. Nhận xét. Cho M , G1 ,

, Gn là các mơđun trên vành giao hốn R và

n
n  n
I là một iđêan của R . Nếu M   Gi thì IM  I   Gi    IGi .
i 1
 i 1  i 1

1.8. Vành và môđun Noether
1.8.1 Định nghĩa. Cho M là một R  môđun
(i) M được gọi là môđun Noether nếu mọi dãy tăng các môđun con
0  M 0  M1  M 2

của M đều dừng, tức là tồn tại n

sao cho M n  M n1 


10

(ii) Vành R được gọi là vành Noether nếu R là R  môđun Noether.
1.8.2. Mệnh đề. M là R  mơđun hữu hạn sinh trên vành Noether R thì M
là một R  môđun Noether.
1.8.3. Mệnh đề. Cho R là vành Noether, giao hoán và I là iđêan của R , với
mỗi R  môđun M , đặt:
 I ( M )  m  M | n  : I n  (0 : m) 

n

(0 : M I n )

gọi f : M  G là một đồng cấu của R  mơđun, ta có f ( I (M ))   I (G) và
xác định  I ( f ) :  I (M )   I (G) bởi  I ( f )(m)  f (m), m  I (M ) .
Như vậy,  I trở thành một hàm tử hiệp biến cộng tính từ các R  môđun
vào các R  môđun. Chúng ta gọi nó là hàm tử I  xoắn. Ta có:
(i)  I (M /  I (M ))  0 với mọi R  môđun.
(ii) Nếu (G ) là tập khác rỗng các R  mơđun thì
 I ( G )   I (G ) .




1.9. Miền đóng nguyên
1.9.1. Định nghĩa. Cho R là một vành con của vành giao hốn S và s  S .
Ta nói rằng s là nguyên trên R nếu tồn tại h
s h  rh1s h1 

và r0 , r1,

, rh1  R sao cho

 r1s  r0  0 .

Như vậy mọi phần tử của R đều nguyên trên R .
1.9.2. Mệnh đề. Cho R là miền nhân tử hoá, K là trường các thương của R .
Khi đó nếu u  K là nguyên trên R thì u  R .
1.9.3. Mệnh đề và Định nghĩa. Cho R là một vành con của vành giao hoán
S . Đặt R :  s  S | s là nguyên trên R thì R là một vành con của S chứa
R và được gọi là bao đóng nguyên của R trong S . Ta nói rằng R đóng

nguyên trong S nếu R  R .
1.9.4. Định nghĩa. Bao đóng nguyên của một miền nguyên R trong trường


11

các thương của nó được gọi là bao đóng nguyên của R . Một miền nguyên
được gọi là đóng nguyên nếu nó đóng nguyên trong trường các thương của
nó.
1.9.5. Định nghĩa. Một mơđun M trên vành giao hốn R được gọi là trung
thành (faithful) nếu (0 : M )  0 .
1.9.6. Mệnh đề. Cho R là vành con của vành giao hoán S và cho u  S . Các
phát biểu sau tương đương:
(i) u nguyên trên R ;
(ii) Vành con R[u ] của S là hữu hạn sinh như là một R  môđun;
(iii) Tồn tại một vành con R của S sao cho R[u]  R và R là hữu hạn
sinh như là một R  môđun;
(iv) Tồn tại một R[u ]  môđun trung thành, khi ta coi như là một
R  môđun với thu hẹp của vô hướng, là hữu hạn sinh.

1.10. Vành địa phương
1.10.1. Định nghĩa. Vành R được gọi là vành địa phương nếu R chỉ có duy
nhất một iđêan cực đại M . Khi đó vành thương R / M là một trường và được
gọi là trường thặng dư của vành R .
1.10.2. Mệnh đề. Cho ( R , M ) là vành địa phương, Q là một iđêan thực sự
của R . Các điều kiện sau là tương đương:
(i) Q là M  nguyên sơ;
(ii) Tồn tại h
(iii)

sao cho Q  M h ;

Q M .

1.10.3. Mệnh đề. Cho ( R , M ) là vành địa phương, Artin sao cho M là
iđêan chính. Khi đó mọi iđêan của R là lũy thừa của M và do vậy nó cũng
là iđêan chính.
1.11. Vành chính quy


12

1.11.1. Chiều Krull của vành và môđun
(i) Mỗi một dãy các iđêan nguyên tố của vành R
P0  P1 

 Pn

được gọi là một xích ngun tố có độ dài n .
(ii) Cho P là một iđêan nguyên tố của R . Cận trên của tất cả các độ dài
của các xích nguyên tố với P0  P được gọi là độ cao của P, ký hiệu là
ht ( P) . Nghĩa là ht(P)  sup ®é dài các xích nguyên tố với P0  P .

(iii) Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được
gọi là chiều Krull của vành R , ký hiệu là dim R . Như vậy
dim R  supht ( P) | P  SpecR.

(iv) Cho M là R  mơđun. Khi đó dim( R / AnnR M ) được gọi là chiều
Krull của R  môđun M và ký hiệu dim R ( M ) (hay dimM nếu ta không để ý

đến vành R ). Như vậy dim R có thể vơ hạn do ht ( P) có thể vơ hạn và
dim M  dim R .

1.11.2. Hệ tham số
Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy
nhất M và M là R  mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M  d  0 .
(i) Hệ gồm d phần tử x : ( x1, , xd ) của M được gọi là một hệ tham số
của M nếu (M /( x1,

, xd )M )   (ký hiệu () chỉ độ dài của R  môđun).

(ii) Iđêan được sinh bởi một hệ tham số được gọi là iđêan tham số.
(iii) Nếu x : ( x1,
tử ( x1,

, xd ) là một hệ tham số của mơđun M thì hệ các phần

, xi ) được gọi là một phần hệ tham số với mọi i  1,

,d.

1.11.3. Định nghĩa. Cho ( R , M ) là vành địa phương, Noether. Khi đó R
được gọi là vành chính quy nếu tồn tại một hệ tham số của R sinh ra iđêan
cực đại M . Chú ý rằng nếu R là vành chính quy thì R là một miền ngun.


13

Chương 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MIỀN IĐÊAN CHÍNH

2.1. Miền iđêan chính
2.1.1 Định nghĩa. Cho R là một miền nguyên. Ta nói rằng R là miền iđêan
chính (viết tắt là PID) nếu mỗi iđêan của R đều là iđêan chính, tức là mỗi
iđêan của R đều có thể sinh bởi một phần tử.
2.1.2. Ví dụ. 1. Vành

các số nguyên là một miền iđêan chính.

2. Vành đa thức F  x  với F là một trường là một miền iđêan chính.
3. Vành

[x] khơng phải là một miền iđêan chính vì iđêan I  (2, x)

khơng phải là một iđêan chính.
4. Vành

 5  khơng phải là miền iđêan chính. Vì có iđêan



I  (1  5 , 1  5) khơng phải là iđêan chính. Thật vậy, I là một iđêan

thực sự của

 5  do 1 I . Và 2 là phần tử bất khả quy trong



 5  vì



nếu 2 khả quy thì phải có 2   .  m2  5n2 (với   m  5.n ; m , n  ).
Điều này vô lý vì phương trình 2  m2  5n2 vơ nghiệm. Suy ra, nếu I là một
iđêan chính thì I  ( x) với x   5  và x không là phần tử khả nghịch.
Do 2  1  5  1  5  I nên 2  x.a và 2 là phần tử bất khả quy nên a
là phần tử khả nghịch, nghĩa là I  (2) . Điều này vơ lý vì ta có 1  5  I
nhưng 1  5  (2) . Vậy I khơng phải là iđêan chính.
2.2. Đặc trưng của miền iđêan chính
2.2.1. Mệnh đề. Cho R là một miền iđêan chính và phần tử p  R \ 0 . Các
phát biểu sau là tương đương:


14

(i) pR là iđêan tối đại của R ;
(ii) pR là iđêan nguyên tố khác không của R ;
(iii) p là phần tử nguyên tố của R ;
(iv) p là phần tử bất khả quy của R .
Chứng minh. (i)  (ii). Do p  0 và mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố.
(ii)  (iii) . Vì pR là iđêan nguyên tố khác 0 của R nên với x , y  R mà
xy  pR thì x  pR hoặc y  pR nghĩa là nếu p | xy thì p | x hoặc p | y . Vậy

p là một phần tử nguyên tố .
(iii)  (iv). Vì p là phần tử nguyên tố nên p là phần tử bất khả quy.
(iv)  (i). Ta biết rằng nếu r là một phần tử khả nghịch trong vành giao hốn

R thì (r )  (1R ) . Do p không là phần tử khả nghịch của R nên pR Ø R . Giả

sử I là iđêan của R sao cho pR  I  R . Do R là PID nên tồn tại a  R để
I  aR và a khơng khả nghịch vì I là iđêan thực sự của R . Ta có p  I thì
p  ab , b  R . Do p bất khả quy và a không khả nghịch nên b là phần tử

khả nghịch của R . Vì vậy, pR  aR  I nên pR là iđêan cực đại.



2.2.2. Nhận xét. Từ mệnh đề trên ta suy ra nếu R là một miền iđêan chính và
R khơng phải là một trường thì P là iđêan cực đại của R khi và chỉ khi P là

iđêan nguyên tố khác 0.
Định lý sau đây là một kết quả quen thuộc, sinh viên đã được học ở
chương trình đại học.
2.2.3. Định lý. Nếu R là một miền Ơclit thì R là một miền iđêan chính.
2.2.4. Định lý. Nếu R là một miền iđêan chính thì R là vành Noether.
Chứng minh. Giả sử I1  I 2  ...  I n  I n1  ... là một dây chuyền tăng các
iđêan của R . Đặt J : 
i

I i . Khi đó J là iđêan của R vì 0R  J do 0R  Ii ,


15

i 

và với x , y  J thì có m , n

để x  I m , y  I n (giả sử m  n ) nên

x  y  I n suy ra x  y  J , hiển nhiên với r  R thì rx  J do rx  I m .

Do R là PID nên có a  R để J  aR . Theo cách xác định J thì có
k

để a  I k nên ta có J  aR  I k  I k i  J , i  . Do đó mỗi dây

chuyền tăng các iđêan đều dừng. Suy ra R là vành Noether.



2.2.5. Định lý. Nếu R là miền iđêan chính thì R[[ x]] là miền nhân tử hóa.
Chứng minh. Theo Định lý 1.3.2 ta chỉ cần chứng minh trong R[[ x]] mỗi
iđêan nguyên tố P khác 0 bất kỳ đều có chứa một phần tử chính nguyên tố.
Nếu x  P thì rõ ràng x là một phần tử chính ngun tố vì iđêan ( x) là
một iđêan nguyên tố trong R[[ x]] .
Nếu x  P , gọi P là ảnh của P qua đồng cấu tự nhiên R[[ x]]  R , biến
x thành 0. Ta có P là iđêan của R nên nó là iđêan chính sinh bởi một phần

tử, theo Định lý 1.2.2 thì P cũng sinh bởi một phần tử. Do vậy P là iđêan


chính. Vậy ta suy ra R[[ x]] là UFD.

2.2.6. Mệnh đề. Trong một miền iđêan chính, ước chung lớn nhất của hai
phần tử a và b bất kỳ là tồn tại.
2.2.7. Định lý. Mọi miền iđêan chính đều là miền nhân tử hóa.
Chứng minh. Cho R là một miền iđêan chính, theo Định lý 2.2.4 mọi dây
chuyền tăng các iđêan của R đều dừng. Khi đó mỗi phần tử khác 0 và không

khả nghịch của R đều có một dạng nhân tử hóa thành những phần tử bất khả
quy. Ta chứng minh tính duy nhất của dạng nhân tử hóa.
Cho p  R , p  0 và khơng khả nghịch. Giả sử p có một dạng nhân tử
hóa là p  p1

pn . Ta chứng minh dạng nhân tử hóa này là duy nhất, nghĩa là

nếu có một dạng nhân tử hóa khác là p  p1
liên kết với pi , i  1,

pm thì ta phải có n  m và pi

, n (với một cách đánh số thích hợp).


16

Chứng minh quy nạp theo n. Nếu n  1 thì p  p1  p1

pm , nếu m  2 ta

có p1 là một ước thực sự của p1 . Vơ lý vì p1 bất khả quy. Suy ra m  1 và
p1  p1 . Nếu n  1 , giả sử tính duy nhất đúng với n  1 . Ta chứng minh nó

cũng đúng với n . Ta có
p  p1

Nên p1

pn  p1

pm

()

pm R  pR  pn R . Do pn bất khả quy nên nó là nguyên tố và pn R là

iđêan nguyên tố theo Định lý 2.2.1. Như vậy phải tồn tại chỉ số i 1,

, m

để piR  pn R .
Không mất tính tổng quát, giả sử pm R  pn R , suy ra pm  u. pn , với u là
phần tử khả nghịch vì pm là bất khả quy. Từ () ta có p1
suy ra p1

pn1  p1

pm 1 trong đó pi  pi , i  1,

với pm 1 . Và như vậy pi, i  1,

pn1.upm  p1

pm

, m  2 , pm 1 liên kết

, m cũng đều là các phần tử bất khả quy nên

từ giả thiết quy nạp ta có n  1  m  1 và pi liên kết với pi , i  1,
Từ đó suy ra n  m và pi liên kết với pi với i  1,

, n 1.

, n.

Vậy đã chứng minh được dạng nhân tử hóa là duy nhất, từ đó ta có điều
cần chứng minh.



Chiều ngược lại của định lý trên có thể khơng đúng, chẳng hạn vành đa
thức 2 biến với hệ tử trên một trường là miền nhân tử hóa nhưng khơng phải
là miền iđêan chính. Định lý sau đây là một đặc trưng mới của miền iđêan
chính và là kết quả chính trong [3].
2.2.8. Định lý. Cho R là một miền ngun. Khi đó R là miền iđêan chính nếu
và chỉ nếu R là miền nhân tử hóa và mỗi iđêan nguyên tố của R đều là iđêan
chính.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên do Định lý 2.2.7.
Ta chứng minh điều kiện đủ. Giả thiết rằng R là miền nhân tử hóa và mỗi


17

iđêan nguyên tố của R là iđêan chính. Gọi I là một iđêan bất kỳ của R . Nếu
I  (0) hoặc I  R thì I là iđêan chính. Giả sử I  (0) và I  R . Cho

0  a  I . Do I  R nên ta suy ra a khơng khả nghịch. Vì R là miền nhân tử

hóa nên ta có phân tích a  p1s1 p2s2

pksk , trong đó k  1 là các số nguyên và

pi là các phần tử bất khả quy. Với chú ý pisi là xác định duy nhất sai khác

một ước của đơn vị. Vì thế ta gọi chúng là các thành phần của a . Số k trong
biểu diễn trên (là số nhân tử bất khả quy phân biệt của a ) cũng xác định duy
nhất, vì thế ta đặt r (a)  k . Đặt
m  r ( I )  min r (a) | 0  a  I  .

Khi đó m  1 và r (a)  m với mọi a  J . Hơn nữa, tồn tại b  I sao cho
r (b)  m . Giả thiết b  p1j1 p2j2

với mọi i  1, 2,

pmjm trong đó pi là các nhân tử bất khả quy

, m . Với mỗi pi , kí hiệu X pi là tập các số nguyên si  1

sao cho pisi xuất hiện như là một thành phần của một phần tử a  I nào đó.
Với mỗi i , gọi ti là số nguyên bé nhất si trong tập X pi . Đặt d  p1t1 p2t2

pmtm .

Ta sẽ chứng minh I  (d ) .
Trước hết ta chỉ ra rằng I  (d ) , tức d là ước của a với mọi a  I . Thật
vậy, giả sử d không là ước của một phần tử nào đó a  I , gọi
d   UCLN (a , b) . Vì d  là ước của b nên r (d )  m . Từ định nghĩa của ti , ta

suy ra rằng nếu pi là ước của a thì piti cũng là ước của a . Hơn nữa, bởi vì d
khơng là ước của a nên tồn tại j 1,

, m sao cho p j không là ước của a .

Do đó r (d )  m . Ta sẽ chỉ ra rằng d  là một tổ hợp tuyến tính của a và b .
Thật vậy, vì d   UCLN (a , b) , nên tồn tại a1 , a2  R sao cho a  d .a1 và
b  d .a2 . Vì thế UCLN (a1 , a2 )  1 . Đặt

I1  a1x  a2 y : x , y  R .


18

Khi đó I1 là một iđêan của R . Ta khẳng định I1  R . Thật vậy, giả sử I1  R .
Khi đó tồn tại một iđêan tối đại J của R chứa I1 . Vì J là iđêan tối đại, nên
nó là iđêan nguyên tố. Do đó J  R và J là iđêan chính (theo giả thiết). Ta
viết J  ( p) . Vì a1 , a2  I1 , nên a1 , a2  J  ( p) , tức là p là ước chung của
a1 và a2 . Vì UCLN (a1 , a2 )  1 , nên p khả nghịch, tức là J  R , vơ lí. Vậy

khẳng định được chứng minh. Vì I1  R , nên 1 I1 , do đó 1  a1x  a2 y với
x , y  R . Suy ra
d   1.d   (a1x  a2 y)d   ax  by  I

vì a , b  I . Suy ra r (d )  m , vơ lí. Vậy d là ước của a với mọi a  I .
Tiếp theo ta chỉ ra rằng (d )  I , tức là d  I . Với mỗi i 1, 2,

, m ,

tồn tại theo định nghĩa của ti một phần tử bi  I sao cho

bi  p1s1

pisi 11 pisi pisi 11

pmsm yi ,

trong đó p j khơng là ước của yi và s j  t j với mọi j 1,

, m . Ta có thể

kiểm tra rằng

UCLN (b , b1, b2 , . . . , bm )  p1t1

pmtm  d .

Chú ý rằng b, b1 , b2 , . . . , bm  I . Vì thế, để chứng minh d  I , ta chỉ cần
chứng minh

d

là tổ hợp tuyến tính của

b, b1, b2 , . . . , bm . Đặt

UCLN (b1, b2 ,

, bm )  c . Khi đó d  UCLN (b , c) . Theo lập luận trên, tồn tại

x1 , x2  R sao cho d  bx1  cx2 . Do đó ta chỉ cần chỉ ra rằng c là một tổ hợp

tuyến tính của b1 ,

, bm . Ta chứng minh quy nạp theo m . Trường hợp m  1

hiển nhiên. Cho m  2 và giả thiết rằng kết quả đã đúng cho m  1. Đặt
c1  UCLN (b1 , b2 ,

, bm1 ) . Khi đó c  UCLN (c1 , bm ) . Theo quy nạp ta có
c1  b1x1  b2 x2 

với x1 , x2 ,

 bm1xm1

, xm1  R . Vì c  UCLN (c1 , bm ) , nên tồn tại y , z  R sao cho


19

c  c1 y  bm z . Suy ra

c  b1 ( x1 y)  b2 ( x2 y) 

 bm1 ( xm1 y)  bm z

là một tổ hợp tuyến tính của b1 , b2 , . . ., bm . Vậy định lí được chứng minh. 
2.2.9. Hệ quả. Cho R là một miền nhân tử hóa. Các phát biểu sau là tương
đương:

(i) R là miền iđêan chính;
(ii) Mỗi iđêan tối đại của R là iđêan chính;
(iii) Mỗi hệ phần tử a1 , . . . , an của R không đồng thời bằng 0, ước chung
lớn nhất của chúng UCLN (a1 , . . . , an ) tồn tại và là một tổ hợp tuyến tính của
a1 , . . . , an .

Chứng minh. (i)  (ii) . Hiển nhiên.
(ii)  (iii) . Ta chứng minh quy nạp theo số phần tử và chỉ cần chứng minh

(iii) cho trường hợp có hai phần tử, tức là nếu hai phần tử a1 , a2  R sao cho
có một phần tử khác 0 thì ước chung lớn nhất d  UCLN (a1 , a2 ) là tổ hợp
tuyến tính của a1 và a2 . Viết a1  db1 và a2  db2 , trong đó UCLN (b1 , b2 )  1.
Đặt I  b1x  b2 y | x , y  R . Nếu I  R thì I được chứa trong một iđêan tối
đại của R , nó là iđêan chính (theo (ii)). Suy ra mâu thuẫn như theo lập luận
trong chứng minh Định lí 2.2.8. Do vậy I  R , nên 1  b1x  b2 y với x , y  R .
Do đó d  a1x  a2 y và ta có điều phải chứng minh.
(iii)  (i) . Cho I là một iđêan của R . Nếu I  (0) hoặc I  R thì I là iđêan

chính. Vậy, giả sử I  (0) và I  R . Như trong chứng minh Định lí 2.2.8, đặt
m  r ( I )  min r (a) | 0  a  I 

với r (a) là số các ước bất khả quy phân biệt của a . Chú ý rằng r (a)  m với
mọi a  I và tồn tại b  I với r (b)  m  1. Viết b  p1j1 . p2j2

pmjm trong đó pi


20

là các ước bất khả quy của b . Với mỗi i  1, . . . , m , ký hiệu X pi và d   I xác

định như trong phần chứng minh Định lý 2.2.8. Cho d  p1t1 ... pmtm . Ta sẽ chứng
minh I  (d ) . Với a  I , giả sử d không là ước của a . Cho d   UCLN (a, b)
thì r (d ')  m . Theo giả thiết (iii), d  là tổ hợp tuyến tính của a và b . Do

a , b  I nên d   I và vì vậy r (d )  m , vơ lí. Suy ra a  (d ) , do vậy I  (d ) .
Đảo lại, theo sự xác định các ti , i  1, . . ., m thì tồn tại bi  I sao cho
bi  p1s1

pisi 11 . piti . pisi 11

pmsm . yi ,

với p j không là ước của yi và s j  t j với mọi j . Suy ra

UCLN (b , b1 , b2 , . . . , bm )  p1t1

pmtm  d .

Theo giả thiết (iii), d là tổ hợp tuyến tính của b , b1 , b2 , . . . , bm với
b , b1 , . . . , bm  I . Như vậy d  I . Suy ra I  (d ) .



2.3. Môđun tự do trên miền iđêan chính
Với một mơđun tự do trên vành R bất kỳ thì mơđun con của nó chưa hẳn
đã là môđun tự do. Chẳng hạn, xét vành R 
do. Gọi M là

6

6

thì R là một

6

 mơđun tự

 mơđun sinh bởi phần tử 2 thì M là mơđun con của R

nhưng M khơng phải là mơđun tự do vì khơng có cơ sở do mọi x  M thì
x  n.2 nên 3.x  n.3.2  0 .

Tuy nhiên nếu R là một miền iđêan chính thì ta có kết quả sau.
2.3.1. Định lý. Cho R là một miền iđêan chính, khi đó mọi mơđun con của
một R  mơđun tự do là một R  môđun tự do.
Chứng minh. Giả sử F là một môđun tự do trên vành chính R . Khi đó tồn tại
tập chỉ số I sao cho F  R( I ) .
Theo Nguyên lý Zermelo, ta có thể trang bị cho I một thứ tự tốt. Bởi vậy,
ta luôn coi F  R( I ) với I là tập sắp thứ tự tốt. Giả sử M là một môđun con


21

khác môđun con 0 của F và ei iI là cơ sở tự nhiên của F . Ký hiệu Fi là
môđun con sinh bởi e j  , đặt M i  Fi  M . Xét các phép chiếu
j i
pi : R ( I )  R
( xi )iI

xi .

Với mỗi i  I , ta có pi ( M i ) là một iđêan của R . Vì R là miền iđêan chính
nên tồn tại ai  R để pi (M i )  Rai . Khi đó, lấy bi  M i sao cho pi (bi )  ai với
quy ước rằng ai  0 thì chọn bi  0 . Như vậy ta thu được một họ bi iI . Sử
dụng nguyên lý quy nạp siêu hạn, ta sẽ chứng minh họ b j 

sinh ra M i với

j i

mọi i  I . Thật vậy, trước hết với i0 là phần tử đầu tiên của I , ta chỉ ra bi0
sinh ra M i0 . Do bi0  M i0 nên Span(bi0 )  M i0 (ký hiệu Span(bi0 ) chỉ môđun

 

con sinh bởi bi0 ) và bi0  Fi0  Span(ei0 ) nên tồn tại r  R để bi0  rei0 . Mặt
khác nếu x  Span(bi0 ) thì x  rbi0 với mọi r  R nên x  r.r.ei0 , nghĩa là
x  Fi0 nên x  M i0 , chứng tỏ M i0  Span(bi0 ) suy ra M i0  Span(bi0 ) .

Bây giờ giả sử với mọi k  i thì M k được sinh bởi b j 

j k

. Khi đó với

x  M i ta có pi ( x)   ai với   R . Do đó ta có được
pi ( x   bi )  pi ( x)  pi ( bi )   ai   ai  0 .

Thành phần thứ i của phần tử x   bi bằng 0 nên x   bi  M k với k  i.









Theo giả thiết quy nạp x   bi  Span b j  j k  Span b j  j i . Dẫn đến x 







Span b j  j i suy ra Span b j 

j i

M

i

với mọi i  I . Tiếp theo ta chứng

minh họ bi iI sinh ra M . Dễ thấy mỗi phần tử y  M đều có thể viết ở
dạng y  1ei1   2ei2 

  neim với i1  i2 

 im . Do vậy y  Fim và vì thế


22









y  M im  Span bi iI . Vậy M  Span bi iI .

Đặt I   i  I | bi  0 thì họ bi iI  cũng là một hệ sinh của M . Ta sẽ
chứng minh hệ sinh này độc lập tuyến tính. Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại
một tổ hợp tuyến tính

1bi1   2bi2 

  mbim  0 với i1  i2 

 im thuộc I  và  m  0 .

Tác động phép chiếu pim vào tổ hợp tuyến tính này ta được
m


pim   j bi j    m aim  0 .
 j 1


Do R là miền nguyên và  m  0 nên aim  0 dẫn đến bim  0 . Điều này mâu
thuẫn. Vậy bi iI  lập thành một cơ sở của M và do đó M là một R  môđun
tự do.



Mọi môđun tự do là xạ ảnh. Điều ngược lại chưa hẳn đúng. Ta biết rằng
R  môđun P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu P đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp

của một R  môđun tự do. Xét vành
6

 môđun con của

6

6

, gọi M và N lần lượt là các

sinh bởi các phần tử 2 vµ 3 của

6

thì

6

M N.

Do đó M và N là những môđun xạ ảnh. Nhưng M và N không phải là
6

 mơđun tự do. Trên miền iđêan chính, ta có hệ quả sau.

2.3.2. Hệ quả. Mọi mơđun xạ ảnh trên miền iđêan chính R là mơđun tự do.
Chứng minh. Vì mọi R  mơđun xạ ảnh đều là hạng tử trực tiếp của một
R  môđun tự do mà theo Định lý 2.3.1 mọi môđun con của một R  môđun

tự do là R  môđun tự do nên có điều phải chứng minh.
2.3.3. Định lý. Cho F là một mơđun tự do trên miền iđêan chính R và M là
một mơđun con của F có hạng hữu hạn n . Khi đó tồn tại n phần tử 1 ,

 2 , . . . ,  n của R và một cơ sở của F chứa n phần tử e1 , e2 , . . . , en sao cho:
(i) Các phần tử 1e1 ,  2e2 , . . . ,  nen lập thành một cơ sở của M ;


23

(ii)  i chia hết  i 1 với mọi i  1, . . . , n  1 .
Chứng minh. Nếu M  0 thì kết quả là tầm thường. Ta chứng minh định lý
với M  0 . Xem F  R( I ) , gọi G là tập tất cả các dạng tuyến tính trên F , khi
đó ta nhận được tập các iđêan

 f (M ) | f  G . Giả sử

f1 ( M ) là một phần tử

tối đại của tập này. Do R là miền iđêan chính nên f1 (M )  R1 , gọi u là một
phần tử của M sao cho f1 (u)  1 . Với g  G ta sẽ chỉ ra rằng g (u)  R1 .
Thật vậy, đặt g (u)   và giả sử R1  R  R , khi đó tồn tại  ,   R sao
cho 1     . Xét dạng tuyến tính f   f1   g , ta có
f (u)   f1 (u)   g (u)  1      f (M ) .

Từ đó suy ra f (M )  R  R1. Do tính tối đại của R1 , nên f (M )  R1 .
Do đó R1  R . Điều này dẫn đến   R1 . Vậy với mọi dạng tuyến tính
g : F  R ta có g (u)  R1 .

Áp dụng kết quả vừa rồi vào các phép chiếu
pi : R ( I )  R
( xi )iI

xi .

Ta có pi (u)  R1 với mọi i  I . Điều này có nghĩa là các tọa độ của u phải
là bội của 1 . Giả sử u  (1 i )iI  1 ( i )iI . Đặt e1  ( i )iI , ta có u  1e1 và

1  f1 (u)  1 f1 (e1 ). Vì R là một miền nguyên nên suy ra f1 (e1 )  1. Lấy
F1  f11 (0) , ta sẽ chứng minh

(a)

F  Re1  F1 .

Cho x  Re1  F1 thì x  re1 , với r  R và x  F1 nên f1 ( x)  0 do vậy ta có
0  f1 ( x)  f1 (re1 )  rf1 (e1 )  r.1  r .

Vậy x  0 , nên Re1  F1  0 . Hiển nhiên Re1  F1  F .
Với mỗi x  F ta viết dưới dạng x  f1 ( x)e1  ( x  f1 ( x)e1 )  Re1  F1 vì


24

f1 ( x)e1  Re1 , còn x  f1 ( x)e1  F1 do f1 ( x  f1 ( x)e1 )  f1 ( x)  f1 ( x). f1 (e1 ) 
f1 ( x)  f1 ( x).1  0 . Nên F  Re1  F1 suy ra F  Re1  F1 .

(b)

M  R1e1  M1 với M1  M  F1 .

Ta có R1e1  M1  0 vì Re1  F1  0 . Mặt khác, với mỗi x  M thì
f1 ( x)  f1 (M )  R1 nên f1 ( x)  r1 , với r  R . Ta viết x dưới dạng
x  f1 ( x)e1  ( x  f1 ( x)e1 )  r1e1  ( x  r1e1 ).

Suy ra x  R1e1  M1 vì r1e1  R1e1 và x  r1e1  M1 (do x  M , e11  u 
M nên x  r1e1  M , hơn nữa f1 ( x  r1e1 )  f1 ( x)  r1 f1 (e1 )  r1  r1  0

nên x  r1e1  F1 suy ra x  r1e1  M  F1  M1 ). Vậy M  R1e1  M1 .
Ta giả sử g : F  R là một dạng tuyến tính tùy ý, ta cần chứng minh
(c)

g (M1 )  R1 .

Thật vậy, giả sử g (M1 )  R1 . Ta chọn dạng tuyến tính
f : F  Re1  F1  R

sao cho f trùng với f1 trên Re1 và trùng với g trên F1 thì
f (M )  f ( R1e1  M1 )  R1  g (M1 ) Ù R1 .

Điều này mâu thuẫn với tính tối đại của iđêan R1 . Vậy (c) được chứng minh.
Như vậy ở trên ta đã xác định được các phần tử 1 , e1 đồng thời có các
tổng trực tiếp (a) và (b).
Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý bằng quy nạp theo hạng của M . Giả sử
định lý đúng với n  1. Do F1 là một môđun tự do, M 1 là một mơđun con của
F1 có hạng bằng n  1, nên theo giả thiết quy nạp tồn tại n  1 phần tử

 2 , . . . ,  n của R và một cơ sở của F1 chứa n  1 phần tử e2 , . . . , en sao cho

 2e2 , . . . ,  nen là một cơ sở của

M 1 , đồng thời  i chia hết cho  i 1 với mọi

i  1, . . . , n  1 . Từ (a) và (b) ta có 1e1 ,  2e2 , . . . ,  nen  là một cơ sở của M


25

và e1 , e2 , . . . , en  là một cơ sở của F . Ta sẽ chứng minh 1 chia hết  2 .
Thật vậy, xét dạng tuyến tính g : F  R sao cho trên tập cơ sở e2 , . . . , en 
của F thì g (e2 )  1 và g (e)  0 với mọi e e3 , . . . , en  . Ta được
g (M1 )  R 2 . Nên theo (c) ta có R 2  R1 , suy ra 1 chia hết  2 . Định lý

được chứng minh.



2.3.4. Mệnh đề. Cho F là một mơđun tự do khác 0 và có cơ sở hữu hạn
khơng tầm thường trên miền iđêan chính R , ký hiệu (ei )in1 là một cơ sở của

F . Cho y  F , thì y có sự biểu diễn duy nhất là y  i 1 re
i i với
n

r1 , . . . , rn  R . Khi đó, iđêan C ( y) :  i 1 Rri chỉ phụ thuộc vào y mà không
n

phụ thuộc vào sự lựa chọn cơ sở của F ; ta gọi C ( y) là iđêan dung lượng
(content ideal) của y.


Chứng minh. Cho (ei)in1 là một cơ sở khác của F , thì ta có y  i 1 re
i i với
n

n
n
r1, . . . , rn  R . Với mỗi i  1, . . . , n , ta viết ei   j 1 aij e j và ei   j 1 bij ej ,

với ai1 , . . . , ain , bi1 , . . . , bin  R . Vì vậy
n

n

n

n

n

n




y   re
i i   rb
i ij e j   ( rb
i ij )e j   rj e j .
i 1

i 1 j 1

j 1 i 1

j 1

Do (ei)in1 là một cơ sở của F , ta có rj  i 1 rb
i ij với mọi j  1, . . . , n . Vì vậy
n

n

n

i 1

i 1

 Rri   Rri .
Tương tự ta có

i1 Rri  i1 Rri . Vậy có điều cần chứng minh.
n

n



2.3.5. Mệnh đề. Cho F là môđun tự do khác 0 và có cơ sở hữu hạn trên miền
iđêan chính R . Cho y  F , gọi c y là phần tử sinh của iđêan dung lượng
C ( y) của y thì C ( y)  Rcy . Khi đó tồn tại một cơ sở (ei)in1 của F sao cho
y  c y e1.