Hạng của nửa nhóm te(x)

Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng đại học vinh

Nguyễn văn tr-ờng

Hạng của nửa nhóm te(X)

Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh - 2010


Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng đại học vinh

Nguyễn văn tr-ờng

Hạng của nửa nhóm te(X)

Luận văn thạc sĩ toán học

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
MÃ số: 60.46.05

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học:
PGS. TS. Lê Quốc Hán

Vinh - 2010


MỤC LỤC

Trang
LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................................... 1
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị ..................................................................... 4
1.1. Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ trên một tập ................................... 4
1.2. Các quan hệ Green trên nửa nhóm ........................................................... 9
1.3.

D  cấu trúc của nửa nhóm T

X .............................................................. 15

Chƣơng 2. Hạng của nửa nhóm TE (X) ..................................................... 21
2.1. Hạng của nhóm đồng phơi ..................................................................... 21
2.2. Hạng của nửa nhóm TE (X) .................................................................... 26
2.3. Hạng của nửa nhóm Γ (X)...................................................................... 30
KẾT LUẬN .................................................................................................. 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 34


1

LỜI NĨI ĐẦU
Giả sử S là một nửa nhóm. Chúng ta nói rằng một tập con T của S là
một tập sinh của S – ký hiệu <T> = S - nếu mỗi phần tử của S đều có thể biểu
diễn thành tích các phần tử của T. Thế thì ta sẽ định nghĩa hạng của nửa nhóm
S là
rank S = min {T: <T> = S}.
Giả sử X là một tập hợp với X   3. TX là nửa nhóm các phép biến đổi
đầy đủ bao gồm các ánh xạ từ X vào X, với phép hợp thành các ánh xạ. Nếu
X = {1, 2,..., n} thì nhóm đối xứng GX có hạng bằng 2. Nói riêng, các hốn vị

vòng quanh T= (12),  = (1,2...,n) sinh ra GX. Đối với mỗi f  TX, lực lượng
X –f (X) được gọi là số khuyết của X. Nửa nhóm TX có hạng bằng 3, sinh
bởi hai phần tử sinh của GX cùng với một phần tử sinh được chọn tùy ý với số
khuyết bằng 1.
Trong thời gian gần đây, có rất nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu về
tập sinh và hạng của các nửa nhóm các phép biến đổi khác nhau. Chẳng hạn,
Howie xét nửa nhóm con của TX với các phần tử sinh lũy đẳng, Gomes và
Howie làm sáng tỏ hạng lũy đẳng và hạng lũy linh của SPn, nửa nhóm ngược
của các ánh xạ bộ phận một - một của X = {1,2,...,n}. Magill xét tích của các lũy
đẳng trong nửa nhóm các ánh xạ liên tục của một không gian tôpô X.
Năm 1994, Pei Huisheng đã xét một loại nửa nhóm các phép biến đổi
sau đây đối với một tập hợp X và một tương đương E trên X, giả sử
TE (X)= {f TX:  (a,b)  E, (f (a), f (b)) E}.
Thế thì TE (X) là nửa nhóm con của TX .Hơn nữa, TE (X) là nửa nhóm con của
nửa nhóm các ánh xạ liên tục từ X vào X, trong đó X là khơng gian tôpô nhận
tất cả các E  lớp tương đương làm một cơ sở. Một số tính chất của TE (X)
cũng đã được xét tới trong các năm tiếp theo.


2
Một ánh xạ f từ không gian tôpô X vào chính nó được gọi là đóng nếu
đối với mỗi tập con đóng A của X, f (A) cũng đóng trong X. Thế thì tập hợp
tất cả các ánh xạ đóng của khơng gian X tạo thành một nửa nhóm của TX - và
được ký hiệu là  (X). Trong luận văn, không gian tôpô X luôn luôn được giả
thiết đã được xác định bởi một tương đương E theo quan niệm trên. Một câu
hỏi tự nhiên được đặt ra là: liệu có xác định được hạng của TE (X) và (X)
không? Trong trường hợp tổng quát, câu hỏi này chưa được giải quyết trọn
vẹn. Luận văn này chỉ tìm hiểu một vài trường hợp cụ thể, chẳng hạn khi X có
hữu hạn phần tử và mỗi E  lớp cũng có cùng lực lượng.
Nói cách khác, giả thiết rằng X có mn điểm, X = mn, E có m - lớp và

mỗi lớp có n - điểm, trong đó m 2, n  3. Như đã biết, hạng của T(X) khơng
phụ thuộc một cách chặt chẽ vào hạng của nhóm đối xứng GX. Tương tự để
xác định hạng của TE (X), trước hết sẽ xét hạng của nhóm con E gồm tất cả
các song ánh của TE (X). Trong Mục 2.1, chúng tơi tìm hiểu hạng của nửa
nhóm này và chứng minh kết quả rank G  4. Trong Mục 2.2, chúng tơi tìm
hiểu hạng của TE (X). Dựa trên kết quả của Mục 2.1, bằng cách chỉ ra một tập
sinh đối với TE (X) chứa 6 phần tử và do đó kết luận rằng rank (TE (X))  6.
Bằng phương pháp này, trong Mục 2.3, chúng tơi tìm hiểu hạng của nửa
nhóm  (X) và chứng minh kết quả rank ( (X))  5.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh, tác giả
xin được bày tỏ lòng biết ơn đến PGS. TS. Lê Quốc Hán - người đã đặt vấn
đề và trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành Luận văn.
Cuối cùng, tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán,
khoa Sau đại học, PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng; PGS. TS. Lê Quốc Hán;
TS. Nguyễn Thị Hồng Loan cùng quý thầy cô giáo trong khoa và tổ Đại số đã
tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành Luận
văn này.


3
Mặc dù đã rất cố gắng, song Luận văn không thể tránh khỏi những
thiếu sót, chúng tơi rất mong nhận được sự đóng góp q báu từ các thầy, cơ
giáo và các bạn đồng nghiệp.
Vinh, năm 2010
Tác giả


4

CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của
Lý thuyết nửa nhóm có sử dụng trong Luận văn.
1.1. NỬA NHĨM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẦY ĐỦ TRÊN MỘT TẬP HỢP
Giả sử X là một tập hợp tuỳ ý khác rỗng. Ký hiệu TX là tập hợp tất cả
các ánh xạ từ X vào chính nó. Thế thì TX cùng với phép nhân ánh xạ là một
nửa nhóm, vì phép nhân ánh xạ thoả mãn luật kết hợp. Hơn nữa TX là một vị
nhóm đối với đơn vị là ánh xạ đồng nhất trên X mà ta sẽ ký hiệu là 1X.
1.1.1. Định nghĩa. Nửa nhóm TX được gọi là nửa nhóm các phép biến đổi đầy
đủ trên tập X.
Giả sử S và S’ là các nửa nhóm. Khi đó ánh xạ : S → S’ được gọi là
một đồng cấu nếu thoả mãn điều kiện  (ab) =  (a). (b) với mọi a, b thuộc S.
1.1.2. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và X là một tập hợp khác rỗng
tuỳ ý.
i) Một đồng cấu : S → Tx được gọi là một biểu diễn của nửa nhóm S.
ii) Biểu diễn : S → Tx được gọi là một biểu diễn trung thành nếu  là
một đơn ánh.
Giả sử S là một nửa nhóm khơng có đơn vị. Khi đó S có thể được
nhúng vào vị nhóm S1 = S  {1} trong đó 1 là ký hiệu không thuộc S và
x.1 = 1.x với mọi x thuộc S1.
Kết quả sau đây tương tự Định lý Cayley trong Lý thuyết nhóm.
1.1.3. Định lý. Mỗi nửa nhóm S đều có một biểu diễn trung thành.
Chứng minh. Giả sử X = S1. Với mỗi a S xác định ánh xạ a: S1 → S1, a (a)
= ax với mỗi x S1. Khi đó aTx và với mọi a, b thuộc S, mọi x thuộc S1 có
ab (x) = (ab) (x) = a (bx) = a (b (x)) = a o b (x). Do đó ab = a. b, nên ánh


5
xạ : S →Tx,  (a) = a là một đồng cấu. Hơn nữa,  (a) =  (b) kéo theo
a = b, do đó a (1) = b (1) nên a.1 = b.1 hay a = b. Do đó  là đơn ánh nên
 là một biểu diễn trung thành. 

Từ Định lý 1.1.3 suy ra rằng: Lý thuyết nửa nhóm tổng quát có thể quy
về Lý thuyết nửa nhóm các phép biến đổi.
Ánh xạ a: S→ S xác định trong chứng minh Định lý 1.3 được gọi là
phép chuyển dịch trong bên trái hay phép tịnh tiến trái xác định bởi phần tử a.
Phép chuyển dịch trong bên phải a: S → S được xác định tương tự:
a (x) = xa với mỗi x thuộc S.
1.1.4. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Khi đó ánh xạ : S → S được
gọi là phép chuyển dịch bên phải nếu thoả mãn điều kiện  (xy) = x (y) với
mọi x, y  S. Ánh xạ : S → S được gọi là phép chuyển dịch bên trái nếu
thoả mãn điều kiện  (xy) =  (x)y với mọi x, y  S.
1.1.5. Mệnh đề. Tập hợp tất cả các phép chuyển dịch bên phải (bên trái) của
nửa nhóm S là nửa nhóm con của nửa nhóm TX.
Chứng minh. Ký hiệu P là tập hợp tất cả các phép chuyển dịch bên phải và Q
là tất cả các phép chuyển dịch bên trái của nửa nhóm S. Khi đó nếu 1, 2  Q
thì với mọi x, y  S có:
(2 o 1) (xy) = 2[2 (xy)] = 2[1 (x)y]
= 2[1 (x)] y = [ (2 o 1) (x)]y
nên (2 o 1)  Q. Do đó Q là một nửa nhóm con của TX. Tương tự có P là
một nửa nhóm con của TX. 
1.1.6. Định nghĩa. Giả sử S là nửa nhóm. Khi đó ánh xạ : S → Ts,  (a) = a
được gọi là biểu diễn chính quy của S; cịn ánh xạ ’: S → Ts, ’ (a) =  (a)
được gọi là phản biểu diễn chính quy của S.


6
Từ các định nghĩa trên trực tiếp suy ra:
1.1.7. Mệnh đề. Tập hợp tất cả các phép chuyển dịch trong bên phải (bên
trái) của nửa nhóm S là nửa nhóm con P0 của nửa nhóm P (hoặc nửa nhóm
Q0 của nửa nhóm Q).
Nhắc lại rằng, ánh xạ : S → S’ từ nửa nhóm S vào nửa nhóm S’ được

gọi là phản đồng cấu, nếu  (ab) =  (b). (a) với mọi a, b thuộc S.
Ánh xạ a → λa (hoặc a → ρa) là đồng cấu (hoặc phản đồng cấu) từ nửa
nhóm S lên P0 (hoặc Q0) chính là biểu diễn chính quy (hoặc biểu diễn phản
chính quy) của nửa nhóm S.
1.1.8. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị là một. Nếu
x và y là các phần tử thuộc S sao cho xy= 1 thì x được gọi là nghịch đảo bên
trái của y, còn y được gọi là nghịch đảo bên phải của x. Phần tử khả nghịch
bên phải (trái) của S được định nghĩa là phần tử thuộc S có một nghịch đảo
bên phải (trái) thuộc S. Phần tử khả nghịch thuộc S là một phần tử vừa khả
nghịch bên trái vừa khả nghịch bên phải.
1.1.9. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị là 1 và P(tương
ứng Q) là tất cả các phần tử khả nghịch bên trái (hay bên phải) của S.
(i). Tập P (tương ứng Q) là một nửa nhóm con với luật giản ước phải
(hay trái) và chứa 1.
(ii). Tập V tất cả các phần tử khả nghịch thuộc S là một nửa nhóm con
của S và V= P ∩ Q. Mỗi phần tử nghịch đảo hai phía duy nhất thuộc V và
khơng có nghịch đảo bên phải hay bên trái nào thuộc tập đó.
(iii). Mỗi nhóm con của S chứa 1 đều được chứa trong V.
Chứng minh: Xem [1].
Ta có S chứa nhóm con nếu và chỉ nếu S chứa luỹ đẳng. Nếu e là một luỹ
đẳng của S, thì eS gồm tất cả các phần tử thuộc S nhận e làm đơn vị trái,


7
nghĩa là ea = a. Thật vậy, nếu a = ex với x nào đó thuộc S thì ea = e (ex) = e2x
= ex = a; mệnh đề đảo là hiển nhiên. Tương tự, Se gồm tất cả các phần tử
thuộc nửa nhóm S nhận e làm đơn vị phải, và eSe là tập hợp tất cả các phần tử
thuộc S nhận e làm đơn vị hai phía, và eSe = eS  Se.
Vì eSe có đơn vị hai phía là e nên eSe có nhóm con các phần tử khả
nghịch trong nó mà ta sẽ ký hiệu là He.

1.1.10. Mệnh đề. Giả sử e là một phần tử luỹ đẳng tuỳ ý của nửa nhóm S và
He là nhóm các phần tử khả nghịch trong nửa nhóm eSe. Thế thì He chứa mỗi
nhóm con G của S, mà G có giao khác rỗng với S.
Chứng minh. Giả sử f là đơn vị của G. Trước hết ta chứng tỏ rằng f = e. Theo
giả thiết, GH khác rỗng; giả sử a là một phần tử thuộc giao đó. Nếu x và y là
các nghịch đảo của a tương ứng trong các nhóm G và He thì e = ya = yaf = ef
= eax = ax = f. Vì e là đơn vị hai phía của G nên G  eSe. Theo Mệnh đề
1.1.9 có G  H. 
1.1.11. Định nghĩa. Nhóm con G của nửa nhóm S được gọi là nhóm con tối
đại của S, nếu G khơng được chứa thực sự trong một nhóm con nào khác
của S.
Giả sử G là nhóm con tối đại của nửa nhóm S và e là đơn vị của G, khi
đó e  G  He, do đó G = He theo tính chất tối đại của G. Đảo lại, nếu e là
một luỹ đẳng của S thì từ Mệnh đề 1.1.10 suy ra rằng He là nhóm con tối đại
của S. Như vậy, các nhóm con He trong mệnh đề 1.1.10 và chỉ có chúng là các
nhóm con tối đại của nửa nhóm S.
Từ Mệnh đề 1.1.10 cũng suy ra rằng, nếu e và f là các luỹ đẳng khác
nhau của nửa nhóm S, thì He và Hf khơng giao nhau.
Ta nhắc lại rằng ánh xạ f XY được gọi là ánh xạ một - một nếu f là
một đơn ánh và f được gọi là ánh xạ từ X lên Y nếu f là một toàn ánh.


8
1.1.12. Mệnh đề. Giả sử TX là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên tập X.
Khi đó:
i) Nửa nhóm con các phần tử khả nghịch bên trái trong T X gồm tất cả
các ánh xạ một - một từ X vào X.
ii) Nửa nhóm con các phần tử khả nghịch bên phải trong T X gồm các
ánh xạ từ X lên X.
iii) Nhóm tất cả các phần tử khả nghịch trong trong T X trùng với nhóm

Gx gồm tất cả các song ánh từ X lên chính nó.
Chứng minh. Rõ ràng từ (iii) suy ra trực tiếp từ (i) và (ii). Hơn nữa, (i) là hệ
quả của mệnh đề tổng quát sau đây: “Ánh xạ f: X Y là đơn ánh nếu và chỉ
nếu có một ánh xạ g  Y X sao cho g o f = 1X’’ (*), còn (ii) là hệ quả của
mệnh đề sau đây: “Ánh xạ g: X Y là toàn ánh nếu và chỉ nếu có một ánh xạ
g  Y X sao cho f o g = 1y’’ (**). Cả hai mệnh đề đó là những kết quả quen
thuộc trong lý thuyết tập hợp. Ta chứng minh mệnh đề (*).
Giả sử f: X  Y là một đơn ánh. Vì X ≠ Ø nên tồn tại xo  X. Đặt
Y1 = Y – f (X) (Y1 có thể rỗng). Vì f là đơn ánh nên  yf (X) tồn tại duy
nhất xy  X sao cho f (xy)= y. Ta có ánh xạ g: Y  X được xác định bởi:
xY nếu y  f (x)
g (y) =

.
x0

nếu y  Y1

Khi đó với mọi xX, có g o f (x) = g [f (x)] = x =1x (x) nên g o f = 1x.
Đảo lại, nếu tồn tại ánh xạ g: Y X sao cho g o f = 1x và f (x1) = f (x2)
thì g [f (x1)]= g [f (x2)] nên (g o f) (x1) = (g o f) (x2). Do đó 1x (x1) = 1x (x2)
hay x1 = x2 suy ra f là đơn ánh. 


9
1.2. CÁC QUAN HỆ GREEN TRÊN NỬA NHÓM
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Ta định nghĩa các quan hệ L R,
J sau đây trên S:
a L b ↔ S1 a = S1 b,
a R b ↔ a S1 = b S1,

a J b ↔ S1 a S1 = S1b S1,
trong đó S1a, aS1, S1a S1 tương ứng với các iđêan chính trái, chính phải và
iđêan chính của S được sinh bởi a.
R ràng L, R, J là các quan hệ tương đương trên S. Hơn nữa, L là một
tương đẳng phải và R là một tương đẳng trái trên S.
Với mỗi a  S, ký hiệu La, Ra và Ja tương ứng là các L- lớp, R- lớp, J –
lớp tương ứng chứa a.
1.2.2. B đề. Các quan h L và R giao hoán với nhau và do đó quan h D =
L◦R = R◦ L là quan h tương đương bé nhất chứa L và R.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh L◦R  R◦L. Giả sử (a,b)  L◦R. Khi đó,
tồn tại c  S sao cho a L c và c R b. Thế thì tồn tại u, v  S1 sao cho
a = uc và b = cv. Đặt d = av = ucv = ub. Vì L là tương đẳng phải nên (a,b)  L
kéo theo (av,cv)  L, nghĩa là (d, b)  L. Vì R là tương đẳng trái nên (c,b)  R
kéo theo (uc, uv)  R, nghĩa là (a, d)  R. Từ (a,d)  R và (d, b)  L kéo theo
(a,b)  R◦L và do đó L◦R  R◦L. 
D lớp chứa a được ký hiệu là Da: chú ý rằng L  J và R  J nên D  J,
và nói chung D ≠J. Với mỗi a  S, ta có hai ký hiệu thường dùng: J (a) là
iđêan chính sinh bởi a, J (a) = S1aS1 và Ja là tập tất cả các phần tử sinh của
J (a), nghĩa là Ja chính là D – lớp chứa a. 


10
1.2.3. Định nghĩa. Quan hệ H trên S được xác định bởi H = L ∩ R, với mỗi
a  S, ký hiệu H – lớp chứa a là Ha.
1.2.4. Ch ý. a) R – lớp R và L – lớp L của nhóm S giao nhau khi và chỉ khi
chúng được chứa trong một D – lớp của S.
Thật vậy: giả sử a  R và b  L. Khi đó a D b khi và chỉ khi tồn tại
cS sao cho (a,c)  R và (c,b)  L. Nhưng điều đó tương đương với điều kiện
c  R và c  L, nghĩa là c  R ∩ L. Do đó a D b khi và chỉ khi R ∩ L≠ Ф.
Mặt khác, r ràng a D b khi và chỉ khi D – lớp chứa R và L trùng nhau.

b) Để hình dung tốt hơn về các D – lớp của nửa nhóm S, ta dùng hình
ảnh sau đây gọi là “hộp trứng . Hãy tưởng tượng các phần tử thuộc D được
sắp thành một bảng chữ nhật giống các hộp dùng để sắp trứng, mà các dòng
ứng với các R – lớp, còn các cột ứng với các L – lớp chứa trong D. Mỗi ô của
hộp ứng với một H – lớp chứa trong D. Và chú ý trên chứng tỏ trong hộp
khơng có ơ trống nào. Ta giả thiết rằng các phần tử thuộc các H – lớp được
sắp một cách đặc biệt nào đó. Ta sẽ thấy ngay rằng các H – lớp chứa trong D
có cùng cấp. Vậy có thể nói các ô của hộp trứng được sắp bởi một số giống
nhau các phần tử nửa nhóm S.
c) Nếu a và b là các phần tử thuộc nửa nhóm S thì ta có thể viết J a ≤ Jb
trong trường hợp S1aS1 S1bS1, nghĩa là khi a J (b). Quan hệ ≤ là một thứ tự
bộ phận trên tập J - lớp của S.
d) Chú ý rằng một nửa nhóm là đơn trái (phải) khi và chỉ khi nó chỉ
gồm một L – lớp (R – lớp) và một nửa nhóm là đơn khi và chỉ khi nó chỉ
gồm một J- lớp. Ta nói rằng nửa nhóm S là D – đơn hoặc song đơn nếu nó
chỉ gồm một D – lớp. Vì D  J nên mỗi nửa nhóm song đơn là một nửa
nhóm đơn. Vì R  D và L  D nên mỗi nửa nhóm đơn phải hay đơn trái
đều song đơn.


11
1.2.5. B đề (Green). Giả sử a và b là các phần tử R – tương đương tùy ý
thuộc nửa nhóm S, và giả sử s, s S1 sao cho as = b và bs = a. hi đó các
ánh xạ xxs (xLa) và y  ys (yLb) ngược nhau và bảo toàn các R – lớp và
ánh xạ một một từ

a

lên Lb và

b

lên La tương ứng.

Chứng minh. Ta ký hiệu ánh xạ đó bởi σ và σ’ tương ứng. Chú ý rằng σ (σ’)
là cái thu hẹp của phép chuyển dịch trong bên phải ξs (ξs’) trên tập La (Lb). Giả
sử x  La. Vì L là tương đẳng phải nên (x,a)L kéo theo (xs, as)  L, từ đó
xs  Lb. Vậy σ ánh xạ La vào Lb và tương tự σ’ ánh xạ Lb vào La.
Giả sử x  La. Khi đó tồn tại phần tử t  S1 sao cho x = ta. Do đó
xσσ’ = xss’ = tass’ = tbs’ = ta = x.
Vậy σσ’ là phép biến đổi đồng nhất của La. Tương tự, σσ’ là phép biến
dổi đồng nhất của Lb nên σ và σ’ là các ánh xạ một một ngược nhau từ La lên
Lb và ngược lại.
Ta chứng tỏ σ bảo toàn các R – lớp. Thực vậy, nếu x La và y = xσ = xs
thì ys’ = x, nghĩa là (y, x)  R. Tương tự ta cũng chứng minh được σ’ bảo toàn
các L -lớp. 
1.2.6. Định lý. Giả sử a và c là các phần tử D – tương đương tuỳ ý thuộc nửa
nhóm S. hi đó tồn tại phần tử b  S sao cho (a, b)  R và (b, c)  L và do đó
as = b, bs = a, tb = c, t c = b với s, s , t, t nào đó thuộc S1. Các ánh xạ
x  txs (x Ha) và z tzs (z Hc) ngược nhau và ánh xạ một – một các lớp
Ha và

c

sang l n nhau. ặc bi t, hai H – lớp n m trong cùng một D – lớp th

có cấp như nhau.
Chứng minh. Theo Bổ đề đối ngẫu với Bổ đề Green, các ánh xạ T: y  ty
(yRb) và T’: z  t’z (z Rc) ngược nhau, bảo toàn các L – lớp và ánh xạ một
– một từ Rb lên Rc và ngược lại.

12
Giả sử σ và σ’ là các ánh xạ Bổ đề Green, nhưng thu hẹp trên Ha và Hb
tương ứng (vì theo Bổ đề Green và các ánh xạ σ và σ’ bảo toàn các R – lớp
nên cái thu hẹp của chúng ánh xạ một – một từ Ha lên Hb và ngược lại).
Tương tự, giả sử T và T được thu hẹp trên Hb và Hc tương ứng. Khi đó σT và
T σ’ là các ánh xạ một – một ngược nhau từ Ha lên Hb và ngược lại, nhưng
chúng trùng với các ánh xạ nêu trong định lý. 
1.2.7. Định lý. Tích R của L – lớp và R – lớp bất kỳ

và R tương ứng của

nửa nhóm S được chứa hồn tồn trong một D – lớp của S.
Chứng minh. Định lý tương đương với điều khẳng định rằng nếu a, a’, b, b’ là
các phần tử thuộc S mà a L a’, b R b’ thì ab D a’b’. Vì L là một tương đẳng
phải nên (a, a’)  L kéo theo (ab, a’b) L. Vì R là một tương đẳng trái nên
(b,b’)  R kéo theo (a’b,a’b’)  R. Do đó (ab, a’b’)  D. 
1.2.8. Định nghĩa. D- lớp D của một nửa nhóm S được gọi là chính quy nếu
mỗi phần tử của D chính quy, nghĩa là với mọi a D, tồn tại x  S sao cho
a = axa.
Định lý sau đây chứng tỏ rằng nếu D là D – lớp khơng chính quy thì
trong D khơng có phần tử nào chính quy cả, khi đó ta nói rằng D khơng chính
quy. Phần cịn lại của tiết này trình bày lý thuyết các D – lớp chính quy của
một nửa nhóm tùy ý.
1.2.9. Định lý. (i) Nếu D – lớp
quy th mỗi phần tử thuộc
(ii) Nếu
chứa l y đẳng.

của một nửa nhóm S chứa phần tử chính

là chính quy.

chính quy th mỗi L – lớp và mỗi R – lớp chứa trong

đều


13
Chứng minh. Ta chú ý rằng: Phần tử a  S là chính quy khi và ch khi Ra (La)
chứa l y đẳng. Từ đó suy ra rằng nếu R – lớp R (L – lớp L) chứa phần tử
chính quy thì nó chứa lũy đẳng và mỗi phần tử thuộc R (L) chính quy. Vì
mỗi R – lớp của S chứa trong D đều giao với mỗi L – lớp của S chứa trong
D, nên điều khẳng định (i) là hiển nhiên. Nhưng khi đó (ii) suy ra ngay từ
Bổ đề. 
1.2.10.Định lý. (Green).
H – lớp

Nếu các phần tử a, b, ab thuộc cùng một

của nửa nhóm S, th

là một nửa nhóm con. ặc bi t, m i H – lớp

chứa l y đẳng đều là nhóm con.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng nếu h và hs (sh) cùng thuộc một
H – lớp H của nửa nhóm S, thì Hs = H (sH = H). Thật vậy, khi đó hR hs và từ
Bổ đề Green suy ra ánh xạ xxs là ánh xạ một – một từ Hh lên Hhs, tức là từ
H lên chính nó. Mệnh đề đối ngẫu suy ra Bổ đề Green.

Bây giờ giả sử a, b, ab thuộc cùng một H – lớp H. Theo chú ý trên
Hb = H, giả sử x, y là các phần tử tùy ý thuộc H. Khi đó xb = Hb = H. Vì b và
xb cùng thuộc H, nên từ chú ý trên suy ra rằng xH = H. Khi đó xyH. Lại
dùng chú ý trên ta thấy Hy = H. Từ đẳng thức xH = Hy = H với x, y tùy ý
thuộc H ta suy ra H là nhóm con của S. 
1.2.11. Định lý. Giả sử a là phần tử chính quy của nửa nhóm S.
(i) Mỗi phần tử ngược với a n m trong
(ii) H - lớp

b

a.

chứa phần tử ngược với a khi và ch khi cả hai H – lớp

Ra ∩ Lb và Rb ∩ La chứa l y đẳng.
(iii) Một H – lớp không chứa quá một phần tử ngược với a.
Chứng minh. Mệnh đề (i) được suy ra trực tiếp. Ta chứng minh (ii). Trước
hết ta giả thiết rằng H b chứa phần tử ngược a’ của a. Khi đó các H – lớp
Ra∩ Lb (= Ra ∩ Lb) và Rb∩ La (=Ra’ ∩ Lb)chứa các lũy đẳng aa’ và a’a
tương ứng.


14
Đảo lại, giả thiết rằng e là lũy đẳng thuộc Ra ∩ Lb và f là lũy đẳng
thuộc Rb ∩ La. Từ các điều kiện (a, e)  R và (a, f)  L suy ra ea = a = af và
e = ax, f = ya với x, a nào đó thuộc S. Đặt a’ = fxe. Khi đó:
fa’ = a’e = a’
aa’ = afxe = axe= e2 = e
a’a = fa’a = yaa’a = yea = ya = f

Vì aa’a = ea = a, a’aa’ = a’e = a’ nên các phần tử a và a’ ngược nhau.
Từ các đẳng thức a’e = a’aa’ = e suy ra (a’, e)  L. Do đó a’ Rf ∩ Le =
Rb ∩ Lb = Hb.
Cuối cùng ta chứng minh (iii): Giả sử b và c là các phần tử ngược với a
và H – tương đương với nhau. Khi đó, ab là lũy đẳng thuộc Ra ∩ Lb còn ac là
lũy đẳng thuộc Ra ∩ Lc. Nhưng Lb = Lc, nên ab = ac. Tương tự, từ đẳng thức
Rb = Rc suy ra ba = ca. Do đó b = bab= cab = cac = c. 
1.2.12. Hệ uả. (i) S là nửa nhóm ngược kh và ch khi mỗi L – lớp và mỗi R –
lớp của S ch chứa một l y đẳng.
(ii) Nếu

là một D – lớp của nửa nhóm ngược S, th tồn tại tương ứng

một – một gi a tập các L – lớp chứa trong
sao cho L – lớp

và tập các R – lớp chứa trong

ứng với R – lớp R khi và ch khi R ∩

chứa l y đẳng.

Chứng minh. Theo Định lý 1.2.11 điều kiện nêu trong mệnh đề (i) có nghĩa là
đối với mỗi phần tử thuộc S có đúng một phần tử ngược với nó, từ đó suy ra
ngay (ii). 
Giá trị của Hệ quả 1.2.12 (ii) đối với “hộp trứng là ở chỗ ta có thể sắp
đặt các L – lớp và R – lớp chứa trong D – lớp D của nửa nhóm ngược S sao
cho các H – lớp chứa lũy đẳng và chỉ chúng nằm trên đường chéo chính. Khi
đó Định lý 1.2.11 chứng tỏ phần tử ngược a-1 của a  D nằm trong H – lớp
được sắp đối xứng qua đường chéo chính.

15
1.2.13. Định lý. Giả sử e, f là các l y đẳng D – tương đương với nhau thuộc
một nửa nhóm S. Giả sử a là một phần tử tùy ý cố định thuộc R e ∩ Lf và giả
sử a là phần tử ngược với a thuộc Rf ∩Le.

hi đó các ánh xạ x  a xa,

y  aya là các đẳng cấu ngược nhau tương ứng từ

e

lên Hf và từ

f

lên He.

Chứng minh. Giả sử x He. Thế thì:
xa  Re ∩ La và a’xa  Ra’ ∩ Lxa = Ra’ ∩ La = Hf.
Tương tự, y  Hf kéo theo aya’He. Nếu x  He thì a (a’xa)a’ = exe = x,
và nếu y  Hf thì a’ (aya’)a = fyf = y. Do đó các ánh xạ xa’xa, yaya’
ngược nhau và ánh xạ một – một từ He lên Hf và ngược lại. Ta chứng minh
x a’xa là đẳng cấu. Giả sử x1, x2  He. Khi đó (a’x1a) (a’x2a) = a’x1ex2a = a’
(x1x2)a. 
Định lý 1.2.13 chứng tỏ rằng: nếu hai H – lớp thuộc D – lớp là các
nhóm thì chúng đẳng cấu với nhau.

1.3. D - CẤU TRÚC NỬA NHĨM TỒN THỂ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI

jx TRÊN TẬP X
Ta gắn mỗi phần tử  thuộc jx với hai khái niệm:
(1) Miền giá trị X của phép biến đổi , và (2) phân hoạch  =  o - 1
của tập hợp X liên kết với , tức là quan hệ tương đương trên X xác định
như sau:
xy (x,y X) nếu x = y.
Giả sử  là ánh xạ tự nhiên từ X lên tập X/  các lớp tương đương của
X theo mod . Khi đó ánh xạ x   x là ánh xạ một – một từ X/ lên X.
Từ đó suy ra rằng X/ = X. Bản số đó gọi là hạng của phép biến đổi .
Nếu y  X và   jx thì ta định nghĩa y-1 là tập tất cả các phần tử
x  X mà x = y.


16
1.3.1. B đề. Với ,   jx tồn tại phép biến đổi   jx sao cho   =  khi và
ch khi X  X. Do đó  L  khi và ch khi X = X.
Chứng minh. Nếu  =  thì X = (X)  X. Đảo lại, giả thiết rằng X  X.
Ta xác định phép biến đổi  của tập X như sau: với mỗi y  X phép biến đổi
 biến mọi phần tử thuộc tập y-1 thành một phần tử cố định thuộc tập y-1.
Khi đó  = . 
1.3.2. B đề. Với ,  jx tồn tại   Gx sao cho  =  khi và ch khi   .
Do đó R  khi và ch khi a = .
Chứng minh. Nếu  =  và xy thì x = x  = y  = y và vì vậy xy.
Như thế  =  kéo theo   . Đảo lại giả thiết rằng   . Ta xác định
phép biến đổi  bằng cách đặt x  = x đối với các phần tử thuộc X và xem
rằng trên X\ X nó tác dụng một cách đồng nhất. Tính đơn trị của  là hiển
nhiên, vì đẳng thức x = y kéo theo x = y theo giả thiết r ràng  = .
1.3.3. B đề. Giả sử  là một phân hoạch của tập X và giả sử Y là một tập
con của X sao cho X/ = Y. Khi đó tồn tại phép biến đổi   jx sao cho

 =  và X = Y.
Chứng minh. Vì X/ = Y nên tồn tại ánh xạ một – một  từ X/ lên Y. Khi
đó ánh xạ  =  có các tính chất địi hỏi. 
1.3.4. B đề.

ai phần tử thuộc nửa nhóm jx là D – tương đương khi và ch

khi chúng có cùng một hạng.
Chứng minh. Giả sử ,  jx. Nếu D thì  L γ và γR  đối với γ nào đó
thuộc jx, theo Bổ đề 1.3.1 các miền giá trị của  và γ trùng nhau. Do đó  và
γ có cùng hạng. Theo Bổ đề 1.3.2 các phân hoạch ứng với γ và  trùng nhau.
Do đó γ và  có cùng hạng.


17
Đảo lại, giả thiết rằng  và  có cùng hạng. Khi đó X = X/. Theo
Bổ đề 1.3.3 tồn tại γ  GX sao cho Xγ = X và γ = . Theo các Bổ đề 1.3.1
và 1.3.2, L γ và γR, từ đó D. 
1.3.5. Định lý. Giả sử jX là nửa nhóm tồn thể các phép biến đổi trên tập X.
(i) Trong jx các quan h D và J trùng nhau.
(ii) Tồn tại tương ứng một - một gi a tập hợp tất cả các iđêan chính
của GX và tập tất cả các bản số r ≤ X sao cho iđêan chính ứng với r gồm tất
cả các phần tử thuộc j x mà hạng không vượt quá r.
(iii) Tồn tại tương ứng một - một gi a tập tất cả các D - lớp của jx và
tập tất cả các bản số r ≤ X sao cho D - lớp

r

ứng với r gồm tất cả các phần

tử thuộc jx mà hạng b ng r.
(iv) Giả sử r là một bản số ≤ X. Tồn tại tương ứng một - một gi a tập
tất cả các l - lớp chứa trong

r

và tập tất cả các tập con Y của X lực lượng r,

sao cho l - lớp ứng với tập Y gồm tất cả các phần tử thuộc jx mà Y là miền
giá trị.
(v) Giả sử r là một bản số ≤ X. Tồn tại tương ứng một – một gi a
tập tất cả các R - lớp chứa trong

r

và tập tất cả các phân hoạch  của tập X

mà X/ = r, sao cho R - lớp ứng với  gồm tất cả các phần tử thuộc jx mà
các phân hoạch liên kết với chúng trùng với.

X. Tồn tại tương ứng ứng một - một gi a

(vi) Giả sử r là một bản số
tập tất cả các H - lớp chứa trong

r

và tập tất cả các cặp (, Y), trong đó  là

phân hoạch của tập X c n Y tập con của X mà X = Y = r sao cho H - lớp
ứng với cặp (,Y), gồm tất cả các phần tử thuộc jX mà các phân hoạch liên
kết với chúng trùng với  c n các miền giá trị trùng với Y.


18
Chứng minh. Giả sử ,  jx. Trước hết ta chứng tỏ rằng   J () khi và chỉ
khi hạng của  không vượt quá hạng của . Nếu  J () thì  =    đối
với ,  nào đó thuộc jX và vì vậy X = X ≤ X ≤ X. Đảo lại giả
thiết rằng hạng của  không vượt quá hạng của . Giả sử Y là một tập con bất
kỳ của X lực lượng X chứa X và giả sử  là một phần tử tùy ý thuộc JX mà
Y là miền giá trị. Vì X = Y = X nên từ Bổ đề 1.3.4 suy ra  D . Vì
D  J nên J () = J (). Theo Bổ đề 1.3.1 và từ chỗ X   X  suy ra tồn tại
 Jx sao cho   =  do đó :   J () = J ().
Từ điều vừa chứng minh suy ra rằng J () = J (), tức là  J , khi và
chỉ khi  và  có cùng hạng. Theo Bổ đề 1.3.4,  J  khi và chỉ khi  D ,
điều đó chứng minh (i). Từ điều chứng minh trên và từ chỗ Jx chứa các phần
tử hạng tùy ý  X suy ra ánh xạ J ()  {hạng của  là ánh xạ một  một
từ tập các iđêan chính cuả Jx lên tập tất cả các bản số  X ngồi ra các tính
chất nêu trong (ii) đều thỏa mãn.
Tương tự, từ Bổ đề 1.3.4, suy ra ánh xạ D  {hạng của } trong đó
 Jx, là ánh xạ một  một từ tập các D  lớp của Jx lên tập tất cả các bản số
 X, ngồi ra các tính chất nêu trong (iii) đều thỏa mãn.
Bây giờ giả sử r là một bản số không vượt quá X và Dr là D – lớp của
Jx gồm tất cả các phần tử hạng r.
Nếu Y là một tập con của X mà Y = r thì r ràng Jx chứa phần tử  mà
X = Y và Dr. Tương tự, nếu  là một phân hoạch của X mà X/ = r thì
Dr chứa phần tử  mà  = . Từ các chú ý đó và từ các Bổ đề 1.3.1, 1.3.2,
1.3.3 ta suy ra các điều khẳng định (iv), (v) và (vi) của định lý.
Bây giờ chuyển sang mô tả lũy đẳng của Jx. Mệnh đề (ii) của định lý

sau đây chứng tỏ rằng một H - lớp của Jx là một nhóm khi (và r ràng chỉ khi)


19
nó chứa lũy đ ng. Tính chất đó cũng thỏa mãn đối với một nửa nhóm bất kỳ
(Định lý Green). Do đó một H - lớp khơng chứa q một lũy đẳng. Mệnh đề
(i) của định lý sau đây chứng tỏ H - lớp nào chứa lũy đẳng.
1.3.6. Định lý. Giả sử Y là một tập con của tập X và giả sử  là một phân
hoạch của X sao cho Y = X/. Giả sử
(i)

là H  lớp của Jx ứng với cặp (,Y).

chứa l y đẳng khi và ch khi Y giao với mỗi lớp tương đương của

X mod  theo đúng một phần tử (ta nói Y c t ngang phân hoạch ).
(ii) Nếu

chứa luỹ đẳng th

là một nhóm đẳng cấu với nhóm đối

xứng Gx trên tập Y.
Chứng minh. (i) Giả sử ε là lũy đẳng thuộc H. Như vậy Y = Xε,  = ε và ε2 = ε.
Ánh xạ ε giữ nguyên mỗi phần tử thuộc Y và biến đổi mỗi phần tử thuộc X\ Y.
Giả sử x X. Vì xε = (xε)ε nên từ  = ε suy ra X (xε). Mặt khác nếu y và
y’ là các phần tử thuộc Y sao cho yy’, thì y = yε = y’ε = y’. Do đó mỗi lớp
tương đương của X mod  chứa đúng một phần tử thuộc tập Y và ε ánh xạ
mỗi phần tử thuộc y (yY) thành y. Đảo lại giả thiết rằng Y “cắt ngang
phân hoạch . Khi đó phần tử thuộc Jx chuyển mỗi phần tử x X thành phần

tử y  Y mà xy r ràng lũy đẳng thuộc H.
(iii) Giả thiết rằng H chứa lũy đẳng ε. Giả sử   H. Đối với mỗi xX
ta có x   X  = Y= Xε, vì vậy xε = x . Từ đó suy ra rằng ε = . Với
mỗi x X ta có X (xε) (đã chứng tỏ trên) và vì  =  = ε nên x = (xε).
Từ đó suy ra ε = .
Bây giờ ta chứng tỏ rằng  cảm sinh một phép thế trên Y. Nếu y = y’
(y, y’Y) thì yy’và do đó y = y’. Với y đã cho thuộc Y= X tồn tại xX sao
cho x = y. Khi đó xε  Y và (x)  = x = y. Do đó (Y)  Gy.


20
Mỗi phép thế  

GY được cảm sinh bởi một phép biến đổi nào đó

thuộc H, cụ thể là phép biến đổi sau: x = (x) . Hơn nữa,  được xác định
một cách duy nhất bởi . Thực vậy, nếu y = y với mọi y  Y, trong đó ,
 H, thì x = xε với mọi x X, từ đó  =  =  = . Do đó ánh xạ
 = Y là ánh xạ một – một từ H lên Gy và r ràng là đẳng cấu. Vậy H là
nhóm con của Jx đẳng cấu với Gy. 


21

CHƢƠNG 2. HẠNG CỦA NỬA NHÓM TE (X)
Trong chương này, chúng tơi sẽ trình bày về hạng của nhóm đồng phơi,
nửa nhóm TE (X) và nửa nhóm Γ (X).
2.1. HẠNG CỦA NHĨM ĐỒNG PHƠI
2.1.1. Định nghĩa. Giả sử TX là nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ của tập X
và E là một tương đương không tầm thường trên X. Khi đó tập hợp:

TE (X)= {f TX:  (a,b)  E, (f (a), f (b)) E}
là một nửa nhóm con của TX. Hơn nữa TE (X) là nửa nhóm các ánh xạ liên tục
của không gian tôpô X mà đối với nó tập hợp các E  lớp là một cơ sở.
Một phần tử f TE (X) là một song ánh nếu và chỉ nếu f là một đồng
phôi của khơng gian X có một cơ sở gồm tất cả các E- lớp.
Nhóm G bao gồm các song ánh thuộc TE (X) được gọi là nhóm đồng
phơi.
Chú ý rằng mỗi song ánh thuộc TE (X) là ước của đơn vị, do đó nhóm
đồng phơi chính là nhóm các ước của đơn vị của nửa nhóm TE (X).
2.1.2. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và A là một tập con của S. Khi
đó nửa nhóm con của S sinh bởi A được kí hiệu là < A >. Thế thì hạng của S
được định nghĩa bởi: rank S = min {A: <A> = S}.
Giả sử X là một tập hợp với X   3 và TX là nửa nhóm các phép biến
đổi đầy đủ của X. Nếu X = {1, 2,..., n thì nhóm đối xứng GX có hạng bằng 2.
Nói riêng, các hốn vị vịng quanh T= (12),  = (1,2...,n) sinh ra GX.
2.1.3. Định nghĩa. Đối với mỗi f TX, lực lượng X –f (X) được gọi là số
khuyết của X. Nửa nhóm TX có hạng bằng 3, vì TX được sinh bởi hai phần tử
của GX và một phần tử sinh được chọn tùy ý với số khuyết bằng 1.


22
2.1.4. Chú ý. Trong chương này, tập hợp X luôn luôn được xét như sau:
X gồm mn phần tử, X= {1,2,..,m,m+1,..,mn}, trong đó m  2 và n  3.
Tương đương E trên X luôn luôn được định nghĩa bởi:
E = (A1x A1) U (A2 x A2) U....U (Am x Am).
trong đó Ai = { (i - 1) n+1, (i - 1) n+2,,..., in}, i = 1,2,...,m.
Ký hiệu T= (12) là phép thế của X biến 1 thành 2, 2 thành 1 và x thành
chính nó với mọi x ≠ 1,2,  là phép thế biến x thành x +1 đối với x= 1, 2,..., n
thành 1 và x thành x đối với x  A, nghĩa là:
 = (1,2,..., n).

1, 2, ..., n, n  1, n  2, ..., 2n 

 n  1, n  2, ..., 2n, 1, 2, ..., n 

Giả sử Tx là phép thế: 

trong đó ảnh của mỗi x> 2n là x. Thỉnh thoảng, chúng ta sẽ ký hiệu T* là
(A1A2) và biểu thị thực tế rằng nó ánh xạ A1 vào A2 và A2 vào A1. Chúng ta
cũng có thể định nghĩa tương tự cho phép thế (AiAj) với i  j, ánh xạ của Ai
(Aj) với i theo cùng một thứ tự không đổi và tác động như một ánh xạ đồng
nhất đối với các điểm còn lại. Giả sử T’ = (n + 1, n + 2) là phép thế của X biến
n + 1 thành n + 2, n + 2 thành n + 1 và x thành chính nó với mọi x  n + 1, n +
2.
Giả sử  = (n + 1 n + 2 .... 2n) là phép thế mà nó ánh xạ x thành x + 1
(với n + 1  x  2n), 2n thành n + 1 và ánh xạ y thành chính nó đối với tất cả
y  A2. Thế thì T’ và  sinh ra một nhóm con của G bao gồm tất cả các
phép thế f mà chúng ánh xạ mỗi phần tử x  X – A2 thành x. Kiểm tra trực
tiếp được:
2.1.5. B đề. T*TTx = T , T*T Tx = T, T*  T =  và T*  T* = .
Một ánh xạ f thuộc TE (X) được gọi là E - cố định nếu f ánh xạ mỗi E lớp thành chính nó. R ràng nếu f là E cố định thì F Ai là một phép biến đổi