Dãy chính qui i lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phương

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHẠM THỊ LAN HƢƠNG

DÃY CHÍNH QUI I - LỌC VÀ TÍNH
HỮU HẠN SINH CỦA MÔĐUN ĐỐI
ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
MÃ SỐ: 60. 46. 05

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Thị Hồng Loan

VINH 2010

MỤC LỤC
Trang
Mở đầu………………………………………………………………...…

1


2

Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị…………………………...………………

3

1.1. Môđun hữu hạn sinh…………………………………………...

3

1.2. Phổ và giá của môđun………………………………………….

3

1.3. Độ cao của iđêan…………………………………………….....

4

1.4. Chiều Krull của vành và môđun……………………………….

4

1.5. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của mơđun………………......

5

1.6. Dãy chính qui và độ

5

sâu………………………………………..

6

1.7. Mơđun Cohen-Macaulay và Mơđun Cohen-Macaulay suy rộng

7

1.8. Dãy chính qui lọc…………………………………………........

7

1.9. Môđun đồng điều

8

Koszul………………………………………
1.10. Môđun đối đồng điều địa phương…………………………….
Chƣơng 2. Dãy chính qui I-lọc và tính hữu hạn sinh của mơđun đối
đồng điều địa

10
10
19

phương…………………………………………
2.1.Tính hữu hạn sinh của mơđun đối đồng điều địa
phương………
2.2. Dãy chính qui I - lọc…………………………………………...
2.3. Dãy chính qui I - lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng
điều địa
phương………………………………………………...
Kết luận………………………………………………………...………..
Tài liệu tham khảo…………………………………………….…….......

22
28
29


3

MỞ ĐẦU
Trong tồn bộ luận văn, chúng tơi ln giả thiết R là vành giao hốn
Noether có đơn vị, M là một R – môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dimM
= d và I là một iđêan của R.
Lý thuyết đối đồng điều địa phương của Grothendiek [6] đóng vai trị
quan trọng trong Hình học đại số và ngày càng có nhiều ứng dụng trong Đại
số giao hốn. Như ta đã biết, môđun đối đồng điều địa phương HIi(M) thứ i
với giá là iđêan I triệt tiêu (tức HIi(M) = 0) với mọi số nguyên i > dimM hoặc
i < depthI(M). Trong trường hợp tổng qt thì các mơđun đối đồng điều địa
phương HIi(M) nói chung là khơng hữu hạn sinh. Nếu j là số nguyên khác
không lớn nhất sao cho HIi(M) khác 0 thì mơđun đối đồng điều địa phương
HIi(M) khơng hữu hạn sinh. Vấn đề tìm số nguyên bé nhất i sao cho môđun
HIi(M) không hữu hạn sinh đã được nghiên cứu bởi Faltings, Raghavan và
một số nhà toán học khác.
Một dãy các phần tử {x1,…,xn} của iđêan I được gọi là một dãy chính

qui I – lọc của M nếu Supp 


 x1,..., xi1  M :M

xi 

  V(I) với mọi i = 1,…,n ; ở
x1 ,..., xi 1 ) M


đây V(I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I.
Nếu (R, m) là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m thì dãy
chính qui m – lọc của M chính là dãy chính qui lọc của M. Do đó khái niệm
dãy chính qui I – lọc là một sự khái quát hóa khái niệm dãy chính qui lọc được đưa ra bởi N. T. Cường, N. V. Trung và P. Schenzel [5]. Cũng chú ý
rằng, khái niệm dãy chính qui R-lọc (tức trường hợp I = R) chính là M – dãy
yếu đã được giới thiệu trong [10]. Sử dụng khái niệm dãy chính qui I – lọc, K.
Khashyar Manesh và Sh. Salarian [7] đã đưa ra được một số đặc trưng về tính
hữu hạn sinh của mơđun đối đồng điều địa phương HIi(M).


4

Mục đích của luận văn là trình bày lại các kết quả của bài báo [7] và cố
gắng trình bày chứng minh chi tiết cho những kết quả mà trong đó khơng
trình bày hoặc trình bày một cách vắn tắt.
Ngồi phần Mở đầu, Kết luận và Danh mục tài liệu tham khảo, luận
văn được chia làm 2 chương.
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tơi trình bày một
số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán có sử dụng trong luận văn nhằm giúp
cho người đọc dễ theo dõi nội dung chính của luận văn. Ngồi ra chúng tơi
cịn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng minh ở
Chương 2.
Chƣơng 2: Dãy chính qui I- lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng
điều địa phƣơng. Trong chương này, chúng tơi trình bày về khái niệm, sự tồn
tại và một số tính chất của dãy chính qui I- lọc và tính hữu hạn sinh của
mơđun đối đồng điều địa phương.

Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2010 tại trường Đại học
Vinh dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp
này tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cơ, người đã hướng dẫn tận tình,
chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Cũng nhân
dịp này tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa Toán và Khoa
sau đại học, Ban giám hiệu Trường Đại học Vinh, tác giả xin cảm ơn các bạn
trong lớp Cao học 16 Đại số – Lý thuyết số, các đồng nghiệp, bạn bè và gia
đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập, nghiên cứu và
hoàn thành luận văn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh
khỏi những thiếu sót. Chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy, cơ giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 10 năm 2010
Tác giả


5

CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại (không chứng minh) một số kiến
thức cơ sở phục vụ cho việc chứng minh Chương 2. Sau đây chúng tơi ln kí
hiệu R là vành giao hốn, địa phương và M là R – môđun hữu hạn sinh với
chiều Krull dimM = d.
1.1. Môđun hữu hạn sinh
1.1.1. Định nghĩa. Cho M là R-môđun
(i) Một hệ các phần tử {xi}i I, xi  M được gọi là một hệ sinh của R-môđun M
nếu mọi phần tử x  M đều là tổ hợp tuyến tính trên R của hệ {xi}i I nghĩa là
mọi x  M thì x =

 a x ; ai  R, J  I,

iJ

i i

J < .

(ii) Nếu M có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì M được gọi là mơđun hữu hạn
sinh.
1.1.2. Chú ý. (i). Mọi mơđun đều có hệ sinh.
(ii). Hệ sinh của một môđun là không duy nhất.
(iii). Giả sử S là một hệ sinh của R-mơđun M. Khi đó ta nói S là hệ sinh tối
thiểu của M nếu khi ta bớt đi bất kỳ một phần tử nào của S thì hệ cịn lại
khơng cịn là hệ sinh của M.
1.1.3. Mệnh đề. M là R- môđun hữu hạn sinh khi và chỉ khi M đẳng cấu với
môđun thương của môđun tự do Rn (n 

).

1.2. Phổ và giá của môđun
1.2.1. Phổ của vành. Iđêan p của R được gọi là iđêan nguyên tố nếu p  R
và với mọi a, b  R, ab  p thì a  p hoặc b  p. Kí hiệu SpecR là tập tất cả
các iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R.
Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V(I) = {p  SpecR / p  I}.


6

1.2.2. Giá của môđun. Tập con
SuppM = { p  SpecR / M p  0 }
của SpecR được gọi là giá của môđun M.

Với mỗi x  M ta kí hiệu
AnnR(x) = {a  R / ax = 0},
AnnR(M) = {a  R / ax = 0,  x  M}.
Ta có AnnR(x) và AnnR(M) là những iđêan của M; AnnR(M) được gọi là linh tử
hố của mơđun M. Hơn nữa SuppM = V(AnnRM) nếu M là môđun hữu hạn
sinh.
1.3. Độ cao của iđêan. Cho R là vành giao hoán. Một dãy giảm các iđêan
nguyên tố của R
po  p1  p2  ...  pn

được gọi là một xích ngun tố có độ dài n.
Cho p là một iđêan nguyên tố của R. Cận trên của tất cả các độ dài của
xích nguyên tố với p0  p được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p).
Nghĩa là:
ht(p) = sup {độ dài của các xích nguyên tố với p0  p }.
Cho I là iđêan của R, ta định nghĩa độ cao của iđêan I là
ht(I) = inf {ht(p) / p  Spec(R), p  I }.
1.4. Chiều Krull của vành và môđun
1.4.1.Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán.
(i) Cận trên của tất cả các độ dài của xích nguyên tố trong R được gọi là chiều
Krull của vành R, kí hiệu là dimR. Ta có
dimR = sup {ht(p) / p  Spec(R)}.
(ii) Cho M là R – mơđun. Khi đó dim(R/ Ann R M) được gọi là Chiều Krull của
mơđun M, kí hiệu dimM. Như vậy, dimM  dimR.


7

1.4.2. Mênh đề. (i) dimM = -   M = 0.
(ii) Nếu N mơđun con của M thì dimN  dimM, dim(M/N)  dimM.

(iii) Nếu x  NZD R (M) thì dim(M/ xM) = dim(M) – 1.
1.5. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun
1.5.1. Định nghĩa. (i) Giả sử R là một vành. Ta gọi phổ của R là tập tất cả các
iđên nguyên tố của và kí hiệu là Spec(R).
(ii) Giả sử p  Spec(R) là một iđêan nguyên tố của R. Ta nói p là iđêan nguyên
tố liên kết với R - môđun M nếu p là linh hố tử của một mơđun con xyclic
của M, nghĩa là tồn tại v  M \ {0} sao cho p = (0 :

R

vR). Tập các iđêan

nguyên tố liên kết của M, kí hiệu AssR (M).
(iii) Cho M là R - môđun. Phần tử x  R được gọi là ước của không trên
môđun M nếu tồn tại m  M, m  0 sao cho xm = 0. Tập tất cả các ước của
không trên M được kí hiệu ZDR(M) và
ZDR(M) = {x  R /  m  M \ {0} : xm = 0}.
Tập hợp
NZDR(M) = R \ ZDR(M)
được gọi là tập hợp các phần tử không là ước của không trên môđun M.
1.5.2. Mệnh đề. Nếu M là một R môđun và N là mơđun con của M thì
(i) ZDR(M) =

pAssR ( M )

p;

(ii) AssR (N)  AssR (M)  AssR (M / N)

AssR (N);

(iii) Nếu M là mơđun hữu hạn sinh thì #AssR(M) <  ;
(iv) AssR(0) = 0 .
1.6. Dãy chính qui và độ sâu
(1) Một phần tử a  R được gọi là phần tử chính qui của M hay M- chính qui
nếu ax  0 với mọi x  M, x  0.


8

(2) Dãy các phần tử ( x1 , x2 ,..., xn ) của R được gọi là dãy chính qui của R mơđun M hay cịn gọi là M – dãy chính qui nếu thoả mãn các điều kiện:
(i) M/(x 1 ,…, x n )M  0;
(ii) x i là M/ (x 1 ,…, x i1 )M – chính qui với mọi i = 1,..., n.
Chú ý rằng a  R là phần tử chính qui của M khi và chỉ khi x  p,  p 
AssM. Do đó (x 1 ,…,x n ) là dãy chính qui của M khi và chỉ khi M/(x 1 ,…, x n )M
 0 và x i  p,  p  Ass M / (x 1 ,…, x n )M, (i = 1,…, n).

Cho I là một iđêan của R . (x 1 ,…, x r ) là một M- dãy chính qui trong I. Khi
đó (x 1 ,…, x r ) được gọi là một dãy chính qui cực đại trong I nếu không tồn tại
y  I sao cho (x 1 ,…, x r , y) là dãy chính qui của M . Ta biết rằng mọi dãy
chính qui cực đại trong cùng một iđêan I đều có cùng độ dài và được gọi là độ
sâu của M đối với iđêan I kí hiệu depth I (M). Đặc biệt nếu I = m thì depth m M
được gọi là độ sâu của M và kí hiệu depthM.
Nếu ( x1 ,..., xn ) là một dãy chính qui của M thì nó cũng là một phần của hệ
tham số của M, do đó depthM  dimM.
1.7. Mơđun Cohen - Macaulay và Môđun Cohen - Macaulay suy rộng
1.7.1. Định nghĩa. M được gọi là môđun Cohen - Macaulay nếu
depthM = dimM.
1.7.2. Mệnh đề. M là một R - môđun Cohen - Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ
tham số của M đều là dãy chính quy của M.

1.7.3. Mệnh đề. M là một R - mơđun Cohen - Macaulay khi đó ta có:
(i) dimR/p = d với mọi p  AssRM;
(ii) Nếu x1,…, xi là một dãy chính quy của M thì M/(x1,…, xi)M cũng là mơđun
Cohen - Macaulay;
(iii) Mp là môđun Cohen - Macaulay với mọi p  SuppM.
Cho x = (x1,…, xd) là một hệ tham số của M. Kí hiệu


9

IM(x) = (M/xM) - e(x; M).
Khi đó IM(x)  0. Đặt I(M) = supM IM(x) với x chạy trên tập các hệ tham
số x của M. Ta có mệnh đề sau.
1.7.4. Mệnh đề. Các phát biểu sau tương đương:
(i) M là một R - môđun Cohen - Macaulay;
(ii) Tồn tại một hệ tham số x = (x1,…, xd) của M để IM(x) = 0;
(iii) Với mọi hệ tham số x = (x1,…, xd) của M để IM(x) = 0;
(iv) I(M) = 0.
1.7.5. Định nghĩa. M được gọi là môđun Cohen - Macaulay suy rộng nếu
I(M) <  .
1.8. Dãy chính qui lọc
Cho (R, m) là vành địa phương với iđêan cực đại m,
Dãy các phần tử x 1 ,…, x n của iđêan m được gọi là một dãy chính qui
lọc của M nếu x i  p,  p  Ass(M/(x 1 ,…, x i1 )M) \ {m},  i = 1,…, r.
Cho I là một iđêan tuỳ ý của R thoả mãn dimM/IM > 1 và (x 1 ,…, x r ) là
một dãy chính qui lọc của M trong I . Khi đó (x 1 ,…, x r ) được gọi là dãy
chính qui lọc cực đại trong I nếu không tồn tại y  I sao cho (x 1 ,…, x r , y) là
dãy chính qui lọc của M. Mọi dãy chính qui lọc cực đại trong cùng một iđêan
I đều có cùng độ dài.
Độ dài của một dãy chính qui lọc cực đại trong iđêan I được gọi là độ

sâu lọc của M trong I, kí hiệu là f – depth(I, M).
1.9. Mơđun đồng điều Koszul
Cho x1,…, xs là các phần tử của vành R (s  0), với mỗi i  {0, 1,…, n}
ta định nghĩa phức K(xi):
di
0 
 R 
 R 
0


10

trong đó di được xác định như sau: di(r) = rxi,  r  R. Khi đó phức
K(x1,…,xs) = K(x1)  …  K(xs) được gọi là phức Koszul sinh bởi x1,…, xs trên
R, để đơn giản đôi khi người ta kí hiệu K(x). Nếu s = 0 thì ta định nghĩa phức
Koszul K(xi) = R.
Cho M là một R – mơđun, ta kí hiệu phức M  K(x) là K(x; M), nếu cần
làm rõ các chỉ số thì ta viết K(x1,…, xs; M). Ta có phức



0 
 Ks(x;M) 
 Ks-1(x;M) 
 … 
 K1(x;M) 
 K0(x; M) 
 0.
s

1

0

Khi đó mơđun đồng điều thứ p của phức trên thường được kí hiệu là Hp(x;
M). Từ định nghĩa ta thấy rằng:
H0(x; M) = M/xM
Hs(x; M) = (0:M (x1,…, xs))
Hp(x; M) = 0  p < 0 hoặc  p >s.
Giả sử x = (x1,…, xs) là một dãy chính qui (hoặc dãy chính qui lọc) của
M thì
Hp(x; M) = 0 (hoặc (Hp(x; M)) <  ),  p > 0.
1.10. Môđun đối đồng điều địa phƣơng
Cho I là một iđêan của vành R. Với mỗi R – môđun M,đặt
I (M ) 



n 1

(0 :M I n ) = { x  M | n, xI n = 0}. Ta có  I ( M ) là một môđun

con của M. Với mỗi R - đồng cấu f : M 
 N, ta có f(  I ( M ) )   I ( N ) . Vì
 I ( N ) , xác định bởi  I ( f )( x) = f( x ),
thế có một R-đồng cấu I ( f ) : I (M ) 

 x   I ( M ) . Khi đó  I là một hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái từ

phạm trù R – môđun vào phạm trù R – môđun.  I được gọi là hàm tử I –
xoắn.
Với mỗi số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của  I được kí hiệu là
H I i và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i với giá là I.


11

Với một R – mơđun M, ta kí hiệu H I i (M ) là ảnh của M qua tác động bởi
hàm tử H Ii . Khi đó H I i (M ) là một R – môđun và được gọi là môđun đối đồng
điều địa phương thứ i của môđun M với giá là iđêan I.
Từ định nghĩa trên ta có thể xác định H I i (M ) như sau. Trước hết ta lấy
lời giải nội xạ
1

i 1

d
d
d
d
d
I 0 : 0 
 I 0 
 I 1 
... 
 I i 
 I i 1 
...
0

1

i

của M . Khi đó có một R - đồng cấu  : M 
 I 0 sao cho dãy

d
d
d
 M 
 I 0 
 I 1 
... 
 I i 
 I i 1 
...
0 
0

1

i

là khớp. Từ đó ta nhận được phức
1

 (d )
 (d )

 (d )
0
0 
... 
 I ( I i ) 
 I ( I i 1 ) 
...
I ( I ) 
I

0

i

I

I

Ta có
H I i (M ) 

Ker I (d i )
.
Im  I (d i 1 )

Cần chú ý rằng H I i (M ) không phụ thuộc vào việc chọn lời giải nội xạ của M.
Dễ thấy H I 0 (M )   I (M ) . Do đó H I 0 (M ) là một mô đun con của M.
Sau đây là một số tính chất của mơđun đối đồng điều địa phương được
sử dụng trong luận văn.
1.10.1. Mệnh đề. H I i (M ) là R – môđun Artin với  i.

1.10.2. Mệnh đề. H mi (M ) = 0 với  i > d hoặc i < depthM. Đặc biệt H md (M ) 
0 và H md (M ) là môđun Artin chứ không bao giờ là môđun Noether khi d > 0.
1.10.3. Mệnh đề. Từ dãy khớp ngắn các R – môđun
0  M '  M  M ''  0 ,
ta có dãy khớp dài các R – môđun đối đồng điều địa phương với mọi iđêan I
của R:
0  H I 0 (M ' )  H I 0 (M )  H I 0 (M '' )  H I 1 (M ' )  ... 
H I i 1 (M '' )  H I i (M ' )  H I i (M )  H I i (M '' )  H I i 1 (M ' )  ...


12

1.10.4. Mệnh đề. M là một R - môđun Cohen - Macaulay khi và chỉ khi
HIi(M) = 0 với mọi i  d.
1.10.5. Mệnh đề. M là môđun Cohen - Macaulay suy rộng khi và chỉ khi
i
R(HI (M))

<  với mọi i  d.

CHƢƠNG 2

DÃY CHÍNH QUI I–LỌC VÀ TÍNH HỮU HẠN SINH
CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG
2.1. Tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa phƣơng
Như ta đã biết môđun đối đồng điều địa phương HIi(M) thứ i với giá là
iđêan I triệt tiêu (tức HIi(M) = 0) với mọi số nguyên i > dimM hoặc i <
depthI(M). Trong trường hợp tổng qt thì các mơđun đối đồng điều địa
phương HIi(M) nói chung là khơng hữu hạn sinh. Nếu j là số nguyên khác
không lớn nhất sao cho HIj(M)  0 thì mơđun đối đồng điều địa phương

HIj(M) khơng hữu hạn sinh. Vấn đề tìm số nguyên bé nhất i sao cho môđun
HIi(M) không hữu hạn sinh đã được nghiên cứu bởi Faltings, Raghavan và
một số nhà tốn học khác.
Cho S là tập nhân đóng khác rỗng của vành giao hoán R và I là một
iđêan của R. Khi đó, S-1  I (.) và  IS R (S 1 .) là các hàm tử từ phạm trù các R1

môđun đến phạm trù các S-1R-môđun . Ta có thể xem S-1  I (.) như là hợp
thành của các hàm tử địa phương hoá S-1(.) và hàm tử xoắn  I (.), tức là:
S-1  I (.) = (S-1)  I ;  IS R (S 1 .) như là hợp thành của hai hàm tử xoắn  IS
1

hàm tử địa phương hoá S-1, tức là  IS R (S 1 .) =  IS
1

1

R

(S 1 ) .

2.1.1. Nhận xét. (i) S-1  I và  IS R (S 1 .) tương đương nhau.
1

1

R

và

13

0
1
(ii) Nếu I . : 0 
 I 
 I 
 … là một lời giải nội xạ của R - mơđun M
-1 0
-1 1
-1
thì S-1I. : 0 
 S I 
 S I 
 … là một lời giải nội xạ của S R -

môđun S-1M.
(iii) Cho F là một hàm tử trong phạm trù các R - môđun, F’ là hàm tử trong
phạm trù các S-1R - môđun. Đặt S-1F := S-1 F và F’(S-1. ) = F’ S-1.
’ -1
Giả sử  : S-1F(.) 
 F (S .) là một biến đổi tự nhiên. Với mỗi R -

môđun M và I. là lời giải nội xạ của M. Đặt S-1RiF(M) = Hi(S-1F(I.)) là môđun
đối đồng điều của đối phức F’(S-1I.).
i ’
-1
Với mỗi i  , tương ứng  i : S-1RiF(.) 
 R F ( S .). Ta cũng có
i ’

-1
thể viết dưới dạng  i : S-1 RiF 
 RF S .

Nếu  là đẳng cấu tự nhiên (tức S-1F(.) và F’(S-1.) là tương đương tự
nhiên) thì  i cũng là đẳng cấu tự nhiên với i  , tức là S-1 RiF và RiF’ S1

là hai hàm tử tương đương tự nhiên với i  .

2.1.2. Định lý. Giả sử I là iđêan của vành Noether R, S là tập nhân đóng của
vành R. Với mỗi i  , tồn tại đẳng cấu tự nhiên
 HIS 1 R (S .).
 i : S (HI (.)) 
-1

i

-1

Chứng minh. Đặt F =  I , F’ =  IS R . Khi đó ta có
1

S-1RiF = S-1HIi,
RiF’ S-1 = RiF’( S-1.) = HIS 1 R (S-1.).
Áp dụng Nhận xét 2.1.1, ta có đẳng cấu tự nhiên
’

 F (S .).
 : S F(.) 
-1

-1

i ’
-1
 R F ( S .) là biến đổi tự nhiên thứ i của  . Từ Nhận
Đặt  i I : S-1RiF(.) 

xét 2.1.1 ta có
 HIS 1 R (S .)
 i : S (HI (.)) 
-1

là một đẳng cấu tự nhiên.

i

-1


14

2.1.3. Nhận xét. Định lý 2.1.2 cho chúng ta thấy rằng: Đối đồng điều địa
phương giao hoán với địa phương hoá.
2.1.4. Hệ quả. Giả sử I là iđêan của vành Noether R, S là tập nhân đóng của
vành R. Với mỗi i  , và với mỗi R-môđun M, tồn tại đẳng cấu S-1R - môđun
 H IS 1 R (S M).
 i M : S (HI (M)) 
-1

i

i

-1

Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.1.2, ta được điều phải chứng minh.
2.1.5. Hệ quả. Cho I là iđêan của vành Noether R, p là một iđêan nguyên tố
của R và M là một R - mơđun. Khi đó
HI(M) p  HIR p (Mp).
Chứng minh. Trong Hệ quả 2.1.4, thay S = R \ p, ta được đẳng cấu Rp môđun
 M : HI(M)p 
 HIR p (Mp).

Do đó ta có điều phải chứng minh.
2.1.6. Định nghĩa. Cho R là một vành Noether và I là một iđêan của R. Chiều
đối đồng điều của R - môđun M đối với iđêan I được kí hiệu là cdI(M) và xác
định bởi:
cdI(M) := sup{i 

HIi (M)  0}.

2.1.7 Định lí. Cho I là một iđêan của vành Noether R và M là một R- mơđun
hữu hạn sinh sao cho cdI(M) > 0. Khi đó tồn tại j 

sao cho HIj(M) là một

R- môđun không hữu hạn sinh.
Chứng minh. Chúng ta phải chỉ ra rằng nếu HIk(M)  0, với k > 0 nào đó thì
HIj(M) khơng hữu hạn sinh với một số tự nhiên j nào đó.

Với p  Spec(R) sao cho HIk(M)p  0. Chúng ta phải tìm j  sao cho
HIj(M)p là một R- môđun không hữu hạn sinh.
Áp dụng Hệ quả 2.1.4 ta có thể thay R, I, M bởi Rp, Ip, Mp và do đó có
thể giả thiết (R, m) là vành địa phương. Do HIk(M)  0 và HRk = Rk  R = Rk =


15

0, ta có I  m. Đặt M = M/  I(M). Do HIi( M )  HIi(M),  i > 0, chúng ta có
thể thay M bởi M và do đó giả thiết rằng HI0(M)   I(M) = 0, vì thế ta tìm
được phần tử x  I

NZDR(M). Ta có dãy khớp ngắn

i -1
i
i
i
x.
HIi -1(M) 
 HI (M/xM) 
 HI (M) 
 HI (M) 
 HI (M/xM)

với mọi i  . Ta có các trường hợp sau.
Nếu dim(M) = 1 thì k = 1 do đó HI1(M)  0, theo trên thì dim(M/xM) 
dim(M) - 1 suy ra HI1(M/xM) = 0. Từ dãy khớp ngắn với i = 1 ta có tồn cấu
1
1

1
x.
HI1(M) 
 HI (M), nên xHI (M) = HI (M)  0. Theo Bổ đề Nakayama thì

HI1(M) khơng hữu hạn sinh.
Do đó dim(M) > 1. Nếu HIk(M) không hữu hạn sinh, ta chọn j = k. Vì
vậy giả thiết rằng HIk(M) khơng hữu hạn sinh. Áp dụng Bổ đề Nakayama ánh
i
x.
xạ HIi(M) 
 HI (M) không toàn ánh. Từ dãy khớp trên với i = k, chúng ta

có HIk(M/xM)  0. Do dim(M/xM)  dim(M) - 1, bằng quy nạp ta suy ra
HIl(M/xM) không hữu hạn sinh với l  nào đó. áp dụng dãy khớp trên với i
= l + 1 chúng ta chọn j  {l, l + 1}.
2.1.8. Hệ quả. Cho I là một iđêan của vành Noether R và M là một R- môđun
hữu hạn sinh. Nếu HIi(M)  0 với i > 0 nào đó thì sẽ tồn tại j > 0 sao cho
HIj(M) không hữu hạn sinh.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.1.7 ta có điều phải chứng minh.
2.1.9. Định nghĩa. Cho I là một iđêan của vành Noether R và M là một Rmôđun hữu hạn sinh. Chiều hữu hạn của M đối với iđêan I kí hiệu là fI(M) và
xác định bởi:
fI (M) := inf {r 

HIr(M) không hữu hạn sinh}.

2.1.10. Nhận xét. Cho I là một iđêan của vành Noether R và M là một Rmôđun hữu hạn sinh. Ta có :
a) fI (M) 

 và fI (M) =

i

 nếu và chỉ nếu HI (M) hữu hạn sinh i 

hay khi và chỉ khi cdI  0 (theo Định lí 2.1.7).

,


16

b) tI(M)  fI(M).
c) Nếu fI(M) <  thì fI(M)  cdI(M).
d, Từ Định lí 2.1.7 ta có nếu cdI(M) > 0 thì fI(M)  cdI(M).
2.1.11. Định lý. Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là R-môđun hữu
hạn sinh, r  . Khi đó các phát biểu sau tương đương:
(i) HIi(M) là hữu hạn sinh với mọi i < r;
0 :R H I i ( M ) với mọi i < r.

(ii) I 

Chứng minh. (i)  (ii) Vì HIi(M) là I-xoắn và hữu hạn sinh với mọi i < r nên
tồn tại n 

sao cho InHIi(M) = 0. Do đó I 

(ii)  (i): Giả sử I 
sao cho In i 

ni 

0 :R H I i ( M ) với mọi i < r .

0 :R H I i ( M ) với mọi i < r. Khi đó với mỗi i < r, Tồn tại
0 :R H I i ( M ) với mọi i < r. Đặt n := max{ni / i = 0, 1,…, r

- 1}. Khi đó InHIi(M) = 0,  i < r. Ta chứng minh HIi(M) là hữu hạn sinh
bằng phương pháp quy nạp theo r.
Trường hợp r = 1 là đúng vì ta có HI0(M) =  I (M)  M là môđun hữu
hạn sinh.
Trường hợp r > 1. Đặt M := M/  I (M), ta có HI0( M ) = 0 và HIi( M )
i

 HI (M),  i > 0.

Trong trường hợp đặc biệt ta có InHIi( M ) = 0,  i < r. Ngồi ra, ta có
thể hạn chế để chỉ ra rằng HIi( M ) là hữu hạn sinh với mọi i  {1, 2,…, r - 1}.
Do đó, ta có thể thay M bằng M với giả thiết rằng HI0(M) = 0. Vậy tồn tại x 
I

NZDR(M), kéo theo xn  NZDR(M). Vì xn  In nên ta có xnHIi(M) = 0,  i < r,

lại do xn  NZDR(M) nên ta có dãy khớp
1

i-1
i-1
i


 HI (M) 
 HI (M) 
 HI (M) 
 0
0 
2n

i-1

n

 i  {1, 2,…, r - 1}. Ta thấy rằng I HI (M/x M)

(1)

= 0 và do đó I 
i-1

n

0 :R H I i ( M ) ,  i  {1, 2,…, r - 1}. Do vậy theo quy nạp HI (M / x M) là hữu


17

hạn sinh  i  {1, 2,…, r - 1}.Sử dụng dãy khớp (1) ta có HIi(M) là hữu hạn
sinh  i  {1, 2,…, r - 1}. Vậy định lí được chứng minh.
Từ định lí trên ta có hệ quả sau.
2.1.12. Hệ quả. Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là R-mơđun hữu
hạn sinh. Khi đó

fI (M) := inf {r 

I 

0 :R H I r ( M ) }.

Sau đây một trong những kết quả chính của [7].
2.1.13. Hệ quả. Cho I là iđêan của vành Noether R, M là một R – môđun hữu
hạn sinh, n là một số nguyên dương, khi đó HIj(M) hữu hạn sinh với khi và
chỉ khi với một số nguyên k, IkHIj(M) = 0,  j < n.
Chứng minh. Được suy ra từ Định lí 2.1.11 và Hệ quả 2.1.12.
2.1.14. Mệnh đề. Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là R-môđun hữu
hạn sinh. Giả sử i  sao cho HIj(M) là hữu hạn sinh với mọi j  {0, 1, 2,…, i
- 1} và N  HIi(M) là mơđun con hữu hạn sinh. Khi đó
#AssR (HIi(M)/N) <  .
Chứng minh. Trường hợp i = 0 là rõ ràng vì khi đó HI0(M) =  I (M)  M là
mơđun hữu hạn sinh.
Do đó, ta xét trường hợp i > 0. Đặt M := M/  I (M), ta có HI0( M ) =
k

k

j

 I ( M ) = 0. Ngồi ra, ta cịn có HI ( M )  HI (M),  k > 0. Do đó, HI ( M ) 

HIj(M). Như vậy trong kết quả chứng minh có thể thay M bằng M và vì vậy ta
có thể giả thiết rằng HI0(M) = 0, ta tìm được phần tử x  I

NZDR(M).

Ta có sơ đồ giao hốn với các dịng và cột là khớp sau:
i-1
i
i
x
e

 HI (M)
 HI (M/xM) 
HIi-1(M) 
 HI (M) 
.




0 



 id

H I i 1 ( M / xM ) ..
i
i


 HI (M)/N 
 HI (M)

1
 (N )

(*)


18





0

0

trong đó, e = HIi-1(p) là đồng cấu cảm sinh bởi đồng cấu tự nhiên p:
..

M 
 M/xM,  là đồng cấu tự nhiên,  là đồng cấu nối,  được xác định
bởi m +  1 (N)
u+N

i-1

 (m) (với mọi m  HI (M/xM),  được xác định bởi

xu.

Ngoài ra Ker(  ) = e(HIi-1(M)) là môđun hữu hạn sinh và do R là
Noether, N là hữu hạn sinh nên  1 (N) là hữu hạn sinh , ta có dãy khớp
j-1
j
HIj-1(M) 
 HI (M/xM) 
 HI (M) , j  .

Kết quả trên đã chỉ ra rằng HIk(M/xM) là hữu hạn sinh với mọi k < i - 1.
Vì vậy theo quy nạp ta có
T :=

H I i 1 ( M / xM )
 1 ( N )

chỉ có hữu hạn iđêan ngun tố liên kết. Vì N là hữu hạn sinh nên ta có
#AssR(N) <  . Do hợp của hai tập hữu hạn là một tập hữu hạn nên để chứng
minh #AssR (HIi(M)/N) <  , ta chứng minh AssR (HIi(M)/N)  AssR (T)
AssR (N). Để làm được điều này ta lấy p  AssR (HIi(M)/N) \ AssR(T) và chỉ ra
rằng p  AssR(N) với mọi p  AssR (HIi(M)/N) \ AssR(T), bằng cách chọn phần
tử h  HIi(M) hợp lý ta có p = 0 :R R  (h).
..

Xét môđun con U :=  1 (R  (h)) của T. Khi đó, hàng thứ hai của sơ đồ giao
hoán (*) cho ta dãy khớp


 R  (h) 
  (R  (h)) 
 U 

 0
0 

trong đó,  xác định bởi u

..

(**)

 (u),  u  U và  được xác định bởi v

 (v),  v  R  (h). Do U là mơđun con của T nên ta có

AssR (R  (h))  AssR(U)  AssR (  (R  (h)))


19

Lại do, p  AssR (R  (h)) nên p  AssR (  (R  (h))). Vì
 (R  (h)) = R  (  (h)) = R( 

 )(h) = R(id (x .))(h) = Rxh

nên p  AssR(Rxh). Điều này chứng tỏ tồn tại s  R sao cho p = 0 :R Rxsh. Vì
x  I và vì HIi(M) là I - xoắn nên tồn tại n 

sao cho xn(xsh) = 0.

Do đó, xn  0 :R Rxsh = p. Vì I là iđêan nguyên tố nên ta có
x  p = 0 :R R  (h). Điều này kéo theo

xh + N =  (xh) = x  (h) = 0.
Do đó xh  N và kéo theo xsh  N. Vì p = 0 :R Rxsh nên p  AssR(N). Vậy
mệnh đề được chứng minh.
2.1.15. Hệ quả. Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là R-môđun hữu
hạn sinh, i  sao cho HIj(M) là hữu hạn sinh với mọi j  {0, 1, 2,…, i - 1} .
Khi đó
#AssR(HIi(M)) <  .
Chứng minh. Kết quả được suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.14.
2.1.16. Bổ đề. Cho I là iđêan của vành Noether R và L là một R-môđun sao
cho #AssR(L) <  . Giả sử với mỗi p  AssR(L), tồn tại np 

sao cho (I n L)p
p

= 0. Khi đó, InL = 0 với n = max{np / p  AssR(L)}.
Chứng minh. Giả sử x  L tuỳ ý và t1, t2,..., tr  L sao cho
In x =

r

 Rt
i 1

i

.

Lấy p  AssR(L). Theo cách chọn n ta có
(Inx)p  (InL)p  (I n L)p.
p

Do đó
r

(  Rti )p = (Inx)p = 0.
i 1

Do vậy, với mỗi i  {1, 2,…, r} tồn tại phần tử si,p  R \ p sao cho si,pti = 0.
Đặt


20

n

sp =

s
i 1

i, p

.

Khi đó, sp  R \ p và spti = 0 với mỗi i = 1, 2,…, r. Điều này kéo theo spInx =
0. Xét iđêan
b :=



pAssR ( L )

Rs p .

Ta có bInx = 0. Do sp  b, sp  p nên ta có b  p với mọi p  AssR(L).
Do tập AssR(L) là hữu hạn nên ta có
b  p = NZDR(L), với p  AssR(L).
Do đó, tồn tại b  b

NZDR(L). Lại do bInx  bInx = 0 nên Inx = 0. Mặt

khác, do x  L là tuỳ ý nên ta có điều phải chứng minh.
2.1.17. Định lí. Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là R-môđun hữu hạn
sinh, r  . Khi đó các phát biểu sau tương đương:
(i) HIi(M) là R - môđun hữu hạn sinh với mọi i < r;
(ii) HIi(M)p là Rp - môđun hữu hạn sinh với mọi i < r và p  Spec(R);
(iii) HIiR p (Mp) là Rp - môđun hữu hạn sinh với mọi i < r và p  Spec(R).
Chứng minh:(i)  (ii): là tính chất cơ bản của địa phương hoá.
(ii)  (iii): Ta chứng minh HIi(M)p  HIiR p (Mp). Kết quả này được suy ra từ
Hệ quả 2.1.5.
(ii)  (i): Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo r.
Với r = 1 là đúng vì khi đó HI0(M) =  I (M)  M là môđun hữu hạn
sinh.
Ta xét trường hợp r > 1: Theo giả thiết quy nạp ta có HIi(M) là mơđun
hữu hạn sinh với mọi i < r - 1. Ta cần chứng minh L := HIr-1(M) là môđun
hữu hạn sinh. Theo Định lí 2.1.11, ta có thể hạn chế để chỉ ra rằng I 
0 :R L . Do đó ta tìm được phần tử n 

sao cho InL = 0. Theo Mệnh đề

2.1.14, ta có AssR(L) <  . Lấy p  AssR(L). Theo giả thiết qui nạp Lp là hữu


21

hạn sinh như một Rp - môđun. Do L là I-xoắn nên Lp là IRp - xoắn. Do đó, tồn
tại np 

sao cho
(I n L)p = I n Rp Lp = (IRp) n Lp = 0.
p

p

p

Áp dụng Bổ đề 2.1.16 ta có được điều phải chứng minh.
2.1.18. Hệ quả. Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là R-mơđun hữu
hạn sinh. Khi đó
fa(M) = min{faR p (Mp) p  Spec(R)}
= min{faR p (Mp) pVar ( I ) Supp(M)}.
Chứng minh. Theo Định lí 2.1.17 suy ra điều phải chứng minh.

2.2. Dãy chính qui I - lọc
2.2.1. Định nghĩa. Cho I là một iđêan của vành R và x1, x2,…, xn là một dãy
các phần tử thuộc iđêan I. Khi đó x1, x2,…, xn được gọi là dãy chính quy I –
lọc của M nếu
 ( x1 ,...., xi 1 ) M :M xi 
  V(I)
 ( x1 ,..., xi 1 ) M 

Supp 

với mọi i = 1,…, n; ở đây V(I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I.
2.2.2.Nhận xét. (i) Từ định nghĩa trên ta thấy một dãy các phần tử x1, x2,…, xn
trong I được gọi là dãy chính quy I – lọc của M nếu với mỗi i = 1,…, n ta ln
có xi  P với mọi P  AssM/(x1, x2,…, xn )M thoả mãn tính chất P  I.
(ii) Nếu  R, M  là vành địa phương với một iđêan cực đại duy nhất M thì
dãy chính qui M - lọc chính là khái niệm chính qui lọc (hay cịn gọi là f dãy) được đưa ra bởi N. T. Cường, P. Shenzel và N. V. Trung [5]. Do đó dãy
chính qui I - lọc là một sự khái quát hoá khái niệm dãy chính qui lọc.


22

Mệnh đề sau đây cho thấy cứ với mỗi số ngun dương n ln tồn tại
một dãy chính qui I - lọc của M có độ dài n. Điều đó chứng tỏ rằng độ dài của
một dãy chính qui I - lọc có thể vơ hạn.
2.2.3. Mệnh đề. Giả sử x1, x2,…, xn là một dãy chính qui I - lọc của M, i = 1,
2, …, n. Khi đó luôn tồn tại phần tử y  I sao cho x1, x2,…, xn, y là một dãy
chính qui I - lọc của M.
Chứng minh. Nếu HI0(M) = M thì ta chọn tuỳ ý phần tử y  I.
Nếu HI0(M)  M thì HI0(M/HI0(M)) = 0. Suy ra depth(M/HI0(M)) > 0.
Do đó tồn tại phần tử y  I là M/HI0(M) - chính qui  x1, x2,…, xn, y là một
dãy chính qui I - lọc của M.
2.2.4. Định nghĩa. Một dãy các phần tử x1, x2,…, xn được gọi là một dãy chính
qui I - lọc hốn vị được của M nếu x1, x2,…, xn là một dãy chính qui I - lọc của
M với mọi hốn vị của nó.
2.2.5. Mệnh đề. Nếu x1, x2,…, xn là một dãy chính qui I - lọc hốn vị được của
M thì tồn tại một phần tử xn + 1  I sao cho x1, x2,…, xn, xn + 1 là một dãy chính
qui I - lọc hốn vị được của M.

Chứng minh. Nếu r = 0 ta chọn tuỳ ý phần tử x1  I\

pAss ( M )\V ( I )

p.

Nếu r  1. Đặt
S := {p : p  Ass(M/(  Rxi )M)
iI

và giả sử xn + 1  I\

pS \V ( I )

p. Giả sử y1,…, yn + 1 là dãy hoán vị của x1, x2,…,

xn ,
xn + 1. Giả sử yl = xn + 1 với 1  l  n + 1. Bây giờ với i = 1,… ,n + 1, yi  p
mọi p  Ass(M/(  Rxi )M)\ V(I). Theo giả thiết trên với mọi số nguyên dương
iI

i, 1 + l  i  n + 1 và p  Ass(M/(  Rxi )M)\ V(I) sao cho yi  p. Khi đó ta có
iI

dãy y1,…, yl,…, yi,…, yn+1 là một dãy chính qui I - lọc của M. Bây giờ ta có


23

yj

y
y
y
y
y1
y
,..., i ,..., n 1 , với
 pRp là một Mp - dãy. Cho nên 1 ,..., i ,..., n 1 cũng
1
1
1
1
1
1
1
i 1

là Mp - dãy. Suy ra pRp  Ass(Mp/(  y j )Mp).
j 1

2.2.6. Mệnh đề. Giả sử I là một iđêan của vành R và x1,…, xn là một dãy các
phần tử của I. Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
(i) x1, …, xn là dãy chính qui I – lọc của M;
(ii)

x
x1
,..., n trong Rp là Mp- dãy nghèo,  p  Supp(M) \ V(I), i = 1,…, n;
1
1

(iii) x1t ,..., xnt dãy chính qui I – lọc của M,  t1,…, tn  .
1

n

Chứng minh: (i)  (ii) Ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp r = 1 rồi
bằng phương pháp quy nạp suy ra kết luận.
Với r = 1 ta chứng minh :
*

x1
là phần tử chính quy của Mp,  p  Supp(M) \ V(I) mà x1  p,
1

* x1  p,  p  Ass(M) \ V(I).
Thật vậy, do M là R-môđun hữu hạn sinh và R là vành Noether nên M là Rmôđun Noether nên tồn tại n0  sao cho
0:M (V(I))n = 0:M (V(I)) n .
0

n 0

Đặt M’ = 0:M (V(I)) n . Ta có (V(I)) n .M’ = 0. Suy ra
0

0

M’  V(I).M’  (V(I))2.M’  …  (V(I)) n 1 .M’  (V(I)) n .M’ = 0. Do đó
0

(0:M (V(I)) n ) =
0

0

’
RM

< .

Mặt khác do x1 là phần tử chính quy lọc nên theo định nghĩa của dãy chính
quy lọc ta có 0 :M x1  0:M (V(I)) n suy ra AssR (0 :M x1)  V(I). Do đó
0

SuppR (0 :M x1)  V(I).
Suy ra p  V(I) thì p  SuupR (0 :M x1)  (0 : x1)p = 0.
Giả sử p Ass(M) \ V(I), x1  p, từ (*) ta có

(*)


24

(0 : x1)p  (< 0 : x1 >)p = 0p :< x1 >p = 0 :
 0 :M p



Do

x1
.Rp
1

x1
.Rp = 0.
1

x1
là phần tử chính quy của Mp.
1
x1
 pRp,  pRp  AssMp.
1
x1
 pRp nên pRp  AssMp suy ra p  AssMp điều này mâu thuẫn với
1

p Ass(M) \ V(I). Vậy x1  p, p  Ass(M) \ V(I).

Kết quả sau đây đã được chứng minh trong [9,3.4].
2.2.7. Mệnh đề. Giả sử x1,…, xn (n>1) là một dãy chinh qui I – lọc của M.
Khi đó ta có đẳng cấu
i

 H ( x1 ,..., xn ) ( M ), 0  i  n
Ha (M)   i n n
.
H
(

H
(
M
)),
n

i

a
(
x
,...,
x
)
1
n


i

2.2.8. Định nghĩa. Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là một R –
môđun. Một dãy các phần tử x1,…, xn của iđêan I được gọi là một M- dãy I –
yếu nếu với mọi i = 1,…, n ta có
(x1,…, xi-1).M :M xi = (x1,…, xi-1).M : M I
2.2.9. Chú ý. (i) Cho I là iđêan của vành Noether R, M là một R – môđun.
Nếu một dãy các phần tử x1,…, xn của iđêan I là một M- dãy I – yếu thì x1,…,
xn cũng là dãy chính qui I - lọc.
(ii) Cho (R,m) là vành địa phương, M là R - môđun hữu hạn sinh. Khi đó M là
mơđun Cohen - Macaulay suy rộng khi và chỉ khi tồn tại k sao cho mọi hệ
tham số của M là M - dãy mk - yếu.

25

2.3. Dãy chính qui I - lọc và tính hữu hạn sinh của môđun đối

đồng điều địa phƣơng
2.3.1. Bổ đề. Giả sử n, k là các số nguyên sao cho IkHIi(M) = 0, với i = 0, 1,
…, n-1. Khi đó với mỗi j cố định, 0  j < n, I  j HIi(M/(x1,…, xj)M) = 0, với i
= 0, 1,…, n-j-1 và x1,…, xn là dãy chính qui I – lọc của M khi đó  j = 3jk.
Chứng minh. Để chứng minh bổ đề trên ta sử dụng phương pháp qui nạp đối
với j


Với j = 0 ta có  0 = 30k = k.



Giả sử bổ đề đúng với  j (0  j < n), và kết quả được chứng minh cho

giá trị nhỏ hơn j. Giả sử x1,…, xn là một dãy chính qui I – lọc của M.
Đặt Mj-1 = M/(x1,…, xj-1)M, chú ý rằng xj là một dãy chính qui I – lọc
của Mj-1.Theo mệnh đề 2.2.7, ta có HI0(Mj-1)  H x (Mj-1). Bây giờ từ giả thiết
j

qui nạp ta có
HI0(Mj-1) = 0: M j 1 xj  j 1 .
Xét dãy khớp ngắn



0 
 Mj-1 
(0 :M x j ) 
j 1

j 1

M j 1
0 :M j1 x j

 j 1


 0.

Theo giả thiết ta có
I  j 1 HIi(

M j 1
0 :M j1 x j

 j 1

) = 0,  i = 0, 1,…., n-j .

Từ đó ta có dãy khớp ngắn

0 

M j 1

0 :M j1 x j

j



M j 1

x

 j 1

0 :M j1 x j




 j 1

M j 1
(0 :M j1 x j

 j 1

)  x j M j1

với  i = 0, 1,…, n-j,
I 2  j 1 HIi(

M j 1

(0 :M j1 x j

 j 1

)  x j M j 1

)=0


 0,