Bài 3 GTLN GTNN của hàm số(cơ bản)

§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập D.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên tập D, kí hiệu

max f  x   M , khi:
D


x  D : f  x   M
max f  x   M  
.
D

x

D
:
f
x

M



0
 0
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên tập D, kí hiệu
min f  x   m , khi:
D


x  D : f  x   m
min f  x   m  
.
D

x

D
:
f
x

m



0
 0

Định lí
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn
đó.
2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn
QUY TẮC
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  a; b  .
1. Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên khoảng  a; b  , tại đó f '  x  bằng 0 hoặc f '  x  khơng
xác định.
2. Tính f  a  , f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  b  .
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có

max f  x   M , min f  x   m
 a ;b

a ;b

3. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một khoảng
QUY TẮC
Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y  f  x  trên khoảng  a; b  .
1. Tính f '  x  . Tìm các điểm mà tại đó f '  x  bằng 0 hoặc f '  x  không xác định.
2. Lập bảng biến thiên.
3. Dựa vào bảng biến thiên kết luận GTLN, GTNN.

Phan Quang Linh


GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TẬP GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài 1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f  x    x3  4 x 2  5 x  1 trên đoạn 1;3 .
Giải
Ta có

f '  x   3x 2  8 x  5 .

 x  1 1;3
.
f '  x   0  3x  8 x  5  0  
 x  5  1;3

3
2

23
5
Tính f 1  1 ; f    
; f  3  5 .
27
3

Vậy

max f  x   
1;3

5
23
khi x  .
3
27

min f  x   5 khi x  3 .
1;3

4
2
Bài 2. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f  x   sin 3 x  sin 2 x  trên đoạn  0;   .
3
3
Giải
Ta có

f '  x   4sin 2 x cos x  2sin x cos x  2sin x cos x  2sin x  1  s in2x  2sin x  1 .

s in2x  0
f '  x   0  s in2x  2sin x  1  0  
.
 2sin x  1  0

+ sin2x  0  2 x  k , k  Z .

xk


2

, k Z .



 x  6  k 2
1

+ 2sin x  1  0  sin x   sin x  sin  
, k Z .
2
6
 x  5  k 2

6
Trên khoảng  0;   , phương trình f '  x   0 có nghiệm là: x 



2

, x


6

, x

5
.
6

Phan Quang Linh


Tính f  0  
Vậy

2
  7
 5
 
; f    1; f    ; f 
3
 6
2
 6  12

max f  x   1 khi x 

0; 

min f  x  
0; 


2

2
 7
  ; f    .
3
 12

.


5
7
khi x  , x 
.
6
12
6

Bài 3. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f  x    cos3 x  sin 2 x  cos x  3 .
Giải
Ta có

f  x    cos3 x  sin 2 x  cos x  3   cos3 x  cos 2 x  cos x  4 .

Đặt t  cos x , điều kiện t   1;1 .
Xét hàm số g  t   t 3  t 2  t  4 .
Bài toán đã cho tương đương với bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số
g  t   t 3  t 2  t  4 trên đoạn  1;1 .
Ta có g '  t   3t 2  2t  1 .

t  1  1;1
.
g '  t   0  3t  2t  1  0  
t   1   1;1

3
2

113
 1
Tính g  1  3 ; g     
; g 1  3 .
27
 3

Vậy

max g  t   3 khi t  1 .
1;1

min g  t   
1;1

113
1
khi t   .
27
3

Bài 4. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f  x   2 x  5  x 2 .
Giải
Tập xác định: D   5; 5  .


Ta có

f ' x  2 

x
5  x2



2 5  x2  x
5  x2

.

Phan Quang Linh


f '  x   0  2 5  x2  x  0  2 5  x2  x .

x  0

x  0
x  0


 2
   x  2  x  2   5; 5 .
2
2
4
5

x

x
5
x

20

0




 x  2





Tính
Vậy





f  5  2 5 ; f  2   5 ; f

 5  2



5.

max f  x   5 khi x  2 .

  5; 5 



min f  x   2 5 khi x   5 .

 5; 5 



Ghi nhớ: Phương trình chứa căn thức cơ bản

B  0
AB
2
A  B

Phan Quang Linh