HD thi KHTNSPHN 2007

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Thi vµo §¹i HäcQuèc Gia Hµ néi-§¹i Häc KHoa häc Tù nhiªn Vßng 1(Ngµy 5 th¸ng 6 n¨m 2007) C©u 1 2 2 a-Gi¶i ph¬ng tr×nh 4 x −1❑ +√ x=√ 2 x − x+ √ 2 x +1 (1) +¿. √¿ 1 §KX§: x 2 (1)⇔ √( 2 x − 1)( 2 x +1)+ √ x= √ x (2 x −1)+ √ 2 x +1 ⇔ √(2 x − 1)( 2 x +1) − √ x (2 x −1)− √ 2 x +1+ √ x=0 ⇔ √2 x −1( √ 2 x+ 1− √ x )−( √ 2 x+1 − √ x)=0 ⇔( √ 2 x +1− √ x )(√ 2 x −1 −1)=0 ⇔ √2 x+1 − √ x=0 ¿ √ 2 x −1 −1=0 ¿ ⇔ ¿ √ 2 x+ 1=√ x ¿ √ 2 x −1=1 ¿ 2 x+ 1=x ¿ 2 x − 1=1 ¿ x=− 1(∉dkxd : loai) ¿ x =1(∈dkxd ) ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ¿ ¿. VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=1 b-Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. xy (x + y )=2 x 3 + y 3 + x+ y=4 ⇔ ¿ xy (x+ y)=2 ¿ x+ y ¿ 3 −3 xy (x+ y)+( x+ y )=4 ¿ (∗) ¿ ¿. §Æt x+y=S;xy=P (®iÒu kiÖn S2. 4P).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ⇔ SP=2 S3 −3 SP+ P=4 ⇔ (*) ¿ SP=2(1) 3 S + P− 10=0(2) ¿{ 2 ⇔(S − 2)(S + 2 S+5)=0 ⇔ S=2 ¿ 2 S +2 S +5=0 (Vonghiem ) (2) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. ¿ x+ y=2 xy=1 ¿{ ¿. Thay S=2 vào PT(1) ta có P=1,từ đó ta có hệ phơng trình theo Vi-ét đảo x;y là nghiệm của phơng trình bậc 2 2 t2-2t+1=0 t −1 ¿ =0 ⇔ t=1 ⇔¿ VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x;y)=(1;1) C©u 2 1-gi¶ sö x1;x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc 2: Chøng minh r»ng 5 5 x 1+ x 2 lµ mét sè nguyªn Gi¶i: ta cã Δ❑=5>0 theo Vi-Ðt ta cã 2. x2-4x+1=0. ¿ x 1+ x 2=4 x 1 . x 2=1 ¿{ ¿. x1 + x 2 ¿ − 2 x 1 . x 2=16 −2=14 ; ¿ 3 x 1+ x 2 ¿ − 3 x1 . x 2 ( x 1+ x2 )=64 − 12=52 ¿ 2 x 1 + x 22=¿ 4=724 Z (®pcm). 5. 5. 2. 2. 3. 3. 2. 2. x 1+ x 2=( x 1+ x2 )(x 1+ x2 )− x 1 . x2. (x 1+ x 2 ). =14.52-. 2-Víi a,b lµ c¸c sè nguyªn d¬ng sao cho a+1, b+2007 chia hÕt cho 6 .Chøng minh r»ng 4a+a+b chia hÕt cho 6 Gi¶i:. Ta cã: MÆt kh¸c. a  16  b  2007 6  42 . a 1(mod 2)  a a b 1(mod 2)  (4  a  b) 0(mod 2)  (4  a  b) 2(*)  a 4 0(mod 2).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a  16  b  20076  4 1(mod 3) . a 2(mod 3)  a a b 0(mod 3)  (4  a  b) 0(mod 3)  (4  a  b) 3(**)  a 4 1(mod 2). Tõ (*),(**) vµ (2;3)=1 nªn 4a+a+b chia hÕt cho 6 (®pcm) C¸ch kh¸c V× a+1, b+2007 chia hÕt cho 6 nªn a chia cho 6 d 5,b chia cho 6 d 3 Nªn a+b chia hÕt cho 2 suy ra 4a+a+b chia hÕt cho 2 (1) ; MÆt kh¸c a+b chia cho 3 d 2 4a=(3+1)a =BS(3)+1; 4a chia cho 3 d 1 a Nªn 4 +a+b chia hÕt cho 3 (2); tõ (1) vµ (2 ) ta cã 4a+a+b chia hÕt cho 2 vµ 3 mµ (2;3)=1 nªn 4a+a+b chia hÕt cho 6 (®pcm) C©u 3: M A. HC O 1. B. D K O 2. E. F N. -XÐt tø gi¸c CDFE. 1 ∠CEF= sd (MB+BF)(1) 2 1 ∠ MDA= sd ( MA+BF )(2) 2 Ma :MA =MB(3) Tõ (1) (2) (3 ) ta cã ∠ CEF= ∠ MDA Mµ Nªn ∠ CEF+ ∠ CDF=1800. ∠ MDA+ ∠ CDF=1800. Suy ra tứ giác CDFE nội tiếp đờng tròn (theo định lý). (®pcm) M. A. H. C. D. O1. K. B. O2. E N. b-Gọi O1;O2 là tâm đờng tròn ngoại tiếp Δ CAE; Δ BDF kÎ O1H F Ta cã ∠ KO2B= ∠ MFB (cïng b»ng nöa s® cung BD)(1) ∠ MBA= ∠ MFB(cïng b»ng nöa s® cung MB=cungMA)(2). CA; O2K. BD.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tõ (1) ;(2) ta cã ∠ KO2B= ∠ MBA mµ ∠ KO2B+ ∠ KBO2=900 nªn ∠ O2BK+ ∠ MBA=900 suy ra MB BO2 t¬ng tù AO1 MA gäi AO1 vµ BO2 c¾t nhau tại N ta có ∠ MAN= ∠ MBN=900 nên MN là đờng kính của đờng tròn (O) nên N cố định (®pcm) C©u 4 Víi a,b,c lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n abc=1. Chøng minh. √a. Ta cã. ab+ a+1¿ 2 ¿ bc+b+1 ¿2 ¿ ca +c +1¿ 2 ¿ ¿ ¿ ¿ a ¿. Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức Bnhiacôpsky cho 2 dãy √ b ; √ c ; Va : √ a ; √ b ; √ c. ; ab+ a+1 bc+ b+1 ca +c +1 2 ab+ a+1¿ ¿ 2 bc+b+1 ¿ ¿ ca +c +1¿ 2 a b c ¿≥ + + ab+ a+1 bc+b +1 ca +c +1 ¿ ¿ a ¿ (a+ b+c )¿. (. 2. ). Mµ T=. a b c a b abc2 + + = + + ab+ a+1 bc+b+1 ca+ c+ 1 ab+ a+abc bc+b+1 ac+ abc2 +abc 1 b bc 1+b+ bc T= + + = =1 bc+b+ 1 bc +b+1 bc+ b+1 1+b+ bc. Suy ra.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ab+ a+1¿ 2 ¿ bc+b+1 ¿2 ¿ ca +c +1¿ 2 ¿≥1 ab+ a+1¿ 2 ¿ bc+b+1 ¿2 ¿ 2 ca +c +1¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ a ¿ ¿ (a+b+c )¿. DÊu “=”x¶y ra khi a=b=1 C¸ch kh¸c: a. Tõ GT ab  a  1 . 1 bc thay vµo c¸c mÉu. bc  b  1 bc  b  1 ; ac  c  1  bc b. Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với ab 2 c 2 b b2c 1    2 2 2 (bc  b  1) (bc  b  1) (bc  b  1) a b c  (a  b  c)(bc  b  b 2c) (bc  b  1) 2 áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpsky cho 2 dãy. a ; b ; c , va : bc ; b ; b c Ta cã : (a  b  c)(bc  b  b 2 c) ( abc  b . b  b c . c )2 (1  b  bc)2 (®pcm) DÊu “=” x¶y ra khi a=b=c=1. Thi vµo §¹i HäcQuèc Gia Hµ néi-§¹i Häc KHoa häc Tù nhiªn Vßng 2(Ngµy 6 th¸ng 6 n¨m 2007) C©u 1 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> x 2+ 4 y 2=5 (1) 4 xy+ x+2 y=7 (2) ¿ ⇔(4 y 2 + 4 xy+ x 2)+(2 y+ x)=12 ¿ 2 2 y+ x ¿ +( 2 y + x )−12=0 ¿ ¿{ ¿ ¿⇔ ¿. Víi 2y+x=3 thay vµo PT(2) ta cã 4xy=7-(2y+x)=7-3=4 ⇔ xy=1 Ta cã hÖ x+ 2 y =3 xy=1 ⇔ ¿ x=3 −2 y y (3− 2 y )=1 ¿ ⇔ x=3− 2 y ¿ 2 2 y −3 y +1=0 ⇔ ¿ x=1 y=1 ¿ ¿ ¿ x=2 ¿ y=0,5 ¿ ¿ ¿ ¿. Víi 2y+x=-4 thay vµo PT(2) ta cã 4xy=7-(2y+x)=7+4=11. Ta cã hÖ. ¿ x +2 y=− 4 4 xy=11 ⇔ ¿ x=−4 −2 y y (− 4 − 2 y)=11 ⇔ ¿ x=−4 −2 y 2 2 y +4 y +11=0( Vonghiem) ¿{ ¿. VËy hÖ cã 2 nghiÖm (x;y)=(1;1);(2; 1 ) 2. 2)Gi¶i sö a,b,c lµ ba sè thùc d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn b2 +c 2 ≤ a2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=. 1 2 2 1 1 (b +c )+ a2 2 + 2 2 a b c. (. ) Gi¶i:.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta cã P= b2 + c 2 + a2 + a2 = 4 b2 + a 2 + 4 c2 + a2 −3 b 2 + c 2. a. a. b. c. (. a. b. )(. a. c. ) (. a. a. ). 2 2 áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 2 số dơng 4 b2 va a2 ;. 4 c 2 a2 va 2 a b a2 c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4b a 4c a b +c b +c a P≥ 2 . 2 +2 . 2 −3 =4 +4 −3 ≥ 8 −3 . 2 =5 2 2 2 2 a b a c a a a. √. Min(P)=5 khi ¿ 4b 2 a2 = a2 b2 4c 2 a2 = 2 2 a c 2 2 b +c =a2 ⇔ ¿ 4 b 4=a 4 4 c 4=a4 b2 +c 2=a2 a √2 ⇔b=c= 2 ¿{{ ¿. √. (. ). (. ). C©u 2 1)T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 5x2+y2=17+2xy(1) Gi¶i (1) ⇔ 5x2-2yx+y2-17=0 (2) coi PT(2) lµ ph¬ng tr×nh bËc 2 Èn x tham sè y đê PT(2) có nghiệm nguyên điều kiện cần là Δ❑ chính phơng Ta cã Δ❑ =y2-5(y2-17)=85-4y2 85; Δ❑ chÝnh ph¬ng; Δ❑ lÎ Δ❑ =1 ⇒ 4y2=84 ⇔ y2=21 (kh«ng chÝnh ph¬ng lo¹i) Δ❑ =9 ⇒ 4y2=76 ⇔ y2=19(kh«ng chÝnh ph¬ng lo¹i) Δ❑ =25 ⇒ 4y2=60 ⇔ y2=15(kh«ng chÝnh ph¬ng lo¹i) ❑ Δ =49 ⇒ 4y2=36 ⇔ y2=9 ⇔ y=3 hoÆc y=-3 thay vµo ta cã x=2 hoÆc x=-2 Δ❑ =81 ⇒ 4y2=4 ⇔ y2=1 ⇔ y=1 hoÆc y=-1 thay vµo ta cã x=2 hoÆc x=-2 Ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm (x;y)=(2;1);(2;3);(-2;-1);(-2;-3) 2)Tìm tất cả các số nguyên tố p để p4+2 cũng là số nguyên tố Gi¶i V× p4+2 lµ sè nguyªn tè nªn p lÎ +xÐt p=3 th× p4+2=83 lµ sè nguyªn tè +víi p>3 th× p4 chia cho 3 d 1 nªn p4+2 chia hÕt cho 3 nªn kh«ng lµ sè nguyªn tè VËy p=3.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> C©u3. E D F. K B C. O. H A. a-Gäi AB c¾t CD t¹i K.CB c¾t AD t¹i H .Ta cã tam gi¸c COD;AOB vu«ng c©n nªn ∠ KCA= ∠ KAC=450 nªn  CKA vu«ng c©n t¹i K suy ra AK CD,theo Gi¶ thiÕt DO AC .DO,AK c¾t nhau t¹i B nªn B lµ trùc t©m tam gi¸c ACD (®pcm) b-Ta cã ∠ BFA= ∠ BAO =450 (Cïng b»ng nöa s® cung AB ) mµ CH AD nªn  FHA vu«ng c©n t¹i H t¬ng tù ta cã ∠ CED= ∠ DCO =450 (Cïng b»ng nöa s® cung CD ) mµ CH AD nªn  EHC vu«ng c©n t¹i H suy ra ∠ CFA= ∠ ECF=450 ë vÞ trÝ so le trong nªn CE//AF nªn tø gi¸c ACEF lµ h×nh thang cã EH+HA=CH+HF suy ra EA=CF nªn h×nh thang ACEF lµ h×nh thang c©n (®pcm) C©u 4 Trong tø gi¸c låi cã ba c¹nh b»ng nhau vµ b»ng a(a lµ sè d¬ng cho tríc) .H·y t×m tø gi¸c cã diÖn tÝch lín nhÊt Gi¶i B. A. C. D. D/. Gi¶ sö h×nh tø gi¸c ABCD cã AB=BC=CD=a Ta cã SABCD lín nhÊt khi SACD;SABD lín nhÊt NÕu ∠ ACD 900 dùng tia Cx CA Trªn Cx lÊy D/ sao cho CD/=a ta cã SACD SACD/ dÊu “=” x¶y ra khi CD CA VËy SACD lín nhÊt Khi CD CA,T¬ng tù SABD lín nhÊt Khi AB BD,Vậy SABCD lớn nhất khi tứ giác ABCD là hình thang cân nội tiếp đờng tròn đờng 2 kính AD, khi đó AD=2a .Max(SABCD)= 3 a √ 3 (®vdt) 2. C©u 5 Cho dãy số a0, a1,a2, …,an đợc xác định bởi công thức 2 a0=0; √ an +1=2 √ an+ √3 (1+an ) ,Chøng minh r»ng an = 1 [ ( 2+ √ 3 )n − ( 2 − √ 3 )n ] 4 Gi¶i : Sö dông ph¬ng ph¸p quy n¹p n=0 ta có a0=0 (đúng) 2 giả sử đúng với n=k nghĩa là a k = 1 [ ( 2+ √ 3 )k − ( 2 − √ 3 )k ] 4.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> a k+1=. ta phải chứng minh đúng với n=k+1 nghĩa là. 1 k+1 k+1 2 ( 2+ √ 3 ) − ( 2− √ 3 ) ] [ 4. 1 k k 2 ( 2+ √3 ) − ( 2 − √ 3 ) ] [ 4 ¿ 2− √3 ¿2 k −2 ¿ 2 − √3 ¿k 2+ √3 ¿ k + ¿ ¿ ¿2 ¿ 2 − √3 ¿k 2+ √3 ¿ k + ¿ ¿ 3 2− √ 3 ¿ k . 1 − √ 2 ¿ 2− √ 3 ¿ k+1 k +1 k+1 2 1 2+ √ 3¿ k+1 −¿ ⇔ ak+ 1= [ ( 2+ √ 3 ) − ( 2− √3 ) ] (dpcm) 4 ¿ 3 2+ √ 3 ¿k . 1+ √ − ¿ 2 ¿ ¿ ¿ 2+ √ 3¿ 2 k + ¿ 4+ ¿ 3¿ ¿ k k 1 √ ak +1=2 √ ak + √ 3(1+a k )=2. 2 [ ( 2+ √ 3 ) − ( 2 − √ 3 ) ]+ √¿ 1+. Theo gi¶ thiÕt. (. ). (. C©u 1. ). Thivµo líp 10 hÖ chuyªn §¹i häc s ph¹m Hµ néi Vßng 1 Dµnh cho mäi thÝ sinh (ngµy 11 th¸ng 6 n¨m 2007) Cho a>2 chứng minh đẳng thức a2 − 3 a −(a −1) √ a 2 − 4+2 2. 2. a +3 a −(a+1) √ a − 4+2. Gi¶i. Biến đổi vế trái. .. √. a+2 1− a = a −2 1+a.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ital VT =. a 2 −3 a −(a − 1) √ a2 − 4 +2 2. 2. a +3 a −(a+ 1) √ a − 4 +2. .. √. a+2 a−2. a+2 a−2 (a −1)(a −2)−( a −1) √ (a− 2)(a+2) a+2 2 2 (a −3 a+ 2) −(a −1) √ a − 4+ ¿¿ ital VT = . a −2 (a+ 1)( a+2)−(a+1) √ (a −2)(a+ 2) √a+ 2− √ a −2 ¿ a+2 √ . √ a− 2 ¿ (a+1)( √ a+2) ¿ (a− 1)( √ a− 2)( √ a− 2− √ a+2) ital VT =¿ ital VYT = ¿ (a2 +3 a+2)−(a+1) √ a2 − 4+¿ .. √. √. C©u 2 Cho hµm sè y=x2 , y=-x+2 1.Xác định toạ độ giao điểm của hai đồ thị đã cho và toạ độ trung điểm I của AB biết A có toạ độ dơng 1.Xác định toạ độ M thuộc y=x2 sao cho tam giác MAB cân tại M Gi¶i 1.toạ độ A, B là nghiệm của hệ y= x2 y=− x+2 ⇔ ¿ y =− x +2 x 2+ x −2=0 ⇔ ¿ y =− x +2 x=1 ¿ x=− 2 ¿ ¿⇔ ¿ x=1; y =1 ¿ ¿ x=−2 ; y=4 ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿. Vì A có toạ độ dơng nên A(1;1) ; B(-2;4) Toạ độ trung điểm I của AB là xI x I =. 1+(−2) 1 1+ 4 5 −1 5 =− ; y I = = ; Vay : I ; 2 2 2 2 2 2. (. ). 2. Gọi điểm M thuộc y=x2 thì M có toạ độ M(xM;xM2) vì tam giác MAB cân nên MA=MB ta cã MA2=(xM-1)2+(xM2-1)2;MB2=(xM+2)2+(xM2-4)2 MA=MB nªn (xM-1)2+(xM2-1)2=(xM+2)2+(xM2-4)2 ⇔ xM2- xM-3=0.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 1+ √ 13 7+ 13 ⇒ y M1 =x2M 1= √ ; 2 2 7 − √ 13 ¿ 2 1− √ 13 x M 2= ⇒ y M 2=x 2M 2= ❑ ❑ 2. Δ=13 ; x M 1=. Cã 2 ®iÓm M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n 1+ √ 13 7+ √ 13 1 − √ 13 7 − √ 13 M ; ;M ; 1. (. 2. 2. ) ( 2. 2. 2. ). C¸ch kh¸c: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua IM và vuông góc với đờng thẳng y=-x+2 Gọi phơng trình đờng thẳng d đi qua IM có dạng y=ax+b(a 0) V× d ®i qua I − 1 ; 5. ( 2 2). nªn khi x= −1 th× y= 5 thay vµo y=ax+b ta cã 2. 2. 1 5 − a+ b= (1) 2 2. v× d y=-x+2 nªn a=1 thay vµo (1) ta cã b=3 ph¬ng tr×nh d ®i qua IM lµ y=x+3 ,v× M y=x2 nên hoành độ M thoả mãn phơng trình x2-x-3=0 Giải ra x = 1+ √13 ; x = 1− √ 13 vậy toạ độ M 1+ √ 13 ; 7+ √ 13 ; M 1 − √13 ; 7 − √13 1. 2. 2. 2. 1. (. 2. 2. ) ( 2. 2. 2. ). C©u 2 Cho ph¬ng tr×nh x2+6x+6a-a2=0 (1) .a lµ tham sè 1.Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm? 2. Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phơng trình .Tìm a để x2=x13-8x1. Gi¶i 2. 1.§Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm Δ❑ ≥ 0 .Ta cã ❑. Δ ≥0. theo Vi-Ðt vµ Gt ta cã x1 + x 2=− 6 ¿ x 1 . x 2=6 a − a2 x 2=x 31 − 8 x 1 ⇔ ¿ x 1 + x 2=−6 x 1 . x 2=6 a − a2 x31 −7 x 1 +6=0 ¿ ⇔ ¿ x 1=− 6 − x 2 (1) 2 x1 . x 2=6 a −a (2) ( x 1 −1)( x 1 − 2)( x 1 +3)=0(3) ¿{{ ¿ ¿ ¿¿. a −3 ¿ ≥ 0 2.V× Δ❑=9 −(6 a − a2)=a2 −6 a+ 9=¿.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> ⇔ x 1=1 ¿ x 1=2 ¿ (3) x 1=−3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. Víi x1=1 thay vµo (1) x2=-7 thay x1,x2 vµo (2) ta cã a2-6a-7=0 ⇔ (a+1)(a-7)=0 ⇔ a=-1 hoÆc a=7 (*) Víi x1=2 thay vµo (1) x2=-8 thay x1,x2 vµo (2) ta cã a2-6a-16=0 ⇔ (a+2)(a-8)=0 ⇔ a=-2 hoÆc a=8 (**) Víi x1=-3 thay vµo (1) x2=-3 thay x1,x2 vµo (2) ta cã a2-6a+9=0 ⇔ (a-1)2=0 ⇔ a=3 (***) Tõ (*),(**),(***) ta cã a ∈ {− 2; − 1; 3 ; 7 ; 8 } th× x2=x13-8x1 C©u 5 (trang sau) C©u 4 x+ 2¿ 2 ¿ ¿ x2 ¿. Gi¶i ph¬ng tr×nh. §KX§ x. -2 Gi¶i. 2. x =6 ¿ 3 x2 +6 x +2=0 ¿ x =√ 6 ¿ x=− √ 6 ¿ −3+ √3 x= 3 ¿ − 3 −√3 x= 3 ¿ ¿ ¿ ⇔¿ ¿ ¿ 2 2 ( 1 ) ⇔ x =( x +4 x + 4)(3 x2 −6 x −3) ⇔3 x 4 +6 x 3 − 16 x2 −36 x − 12 ¿ ⇔ 3 x 4 −18 x 2+ 6 x 3 −36 x +2 x 2 −12=0 ¿ ⇔ ( x 2 − 6)(3 x2 +6 x +2)=0 ⇔. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm x 1=√ 6 ; x 2=− √ 6 ; x3 = − 3+ √ 3 ; x 4= −3 − √ 3 3. 3.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> C©u5. A. K Y. X H O. I B. Z. C. 1.Xét 5 điểm A,X,H,O,Y ta có ∠ AXO= ∠ AHO= ∠ AYO=900 theo quỹ tích đờng tròn 5 điểm A,X,H,O,Y cùng nằm trên (O1) đờng kính AO.Mặt khác Δ AXY cân tại A 0. nªn ∠ AXY= ∠ AYX= ∠ ABC= ∠ ACB ( cïng b»ng 180 −∠BAC ) 2 ∠ AHX= ∠ AYX ( gãc néi tiÕp (O1) ch¾n cung AX) mµ ∠ AYX= ∠ ABC nªn ∠ AHX= ∠ ABC Ta cã ∠ ABC+ ∠ XHZ=1800 (kÒ bï ) nªn ∠ XBZ+ ∠ XHZ=1800 Nªn tø gi¸c BXHZ néi tiÕp (O2) (®pcm). T¬ng tù ∠ YCZ+ ∠ YHZ=1800 nªn tø gi¸c CYHZ néi tiÕp (O4) (®pcm) 2.GäiAZ c¾t (O) t¹i K,BH c¾t XZ t¹i I ta cã ∠ BHZ= ∠ BXZ (1)( néi tiÕp ch¾n cung BZ cña (O2) mÆt kh¸c ∠ BXZ= ∠ XKZ (2)( cïng b»ng nöa s® cung XZ cña (O) Từ (1) và (2) ∠ BHZ= ∠ XKZ ở vị trí đồng vị Nªn BH//XK hay IH//XK xÐt Δ KXZ cã H lµ trung ®iÓm KZ ( đờng kính vuông góc với dây) ,HI//XK nên I là trung điểm XZ hay BH ®i qua trung diÓm XZ (®pcm). T¬ng tù CH ®i qua trung ®iÓm YZ (®pcm).. Thivµo líp 10 hÖ chuyªn §¹i häc s ph¹m Hµ néi Vßng 2 Dµnh cho thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n-Tin (ngµy 12 th¸ng 6 n¨m 2007) Cho biÓu thøc x+ 1 1 P= √ : 2 ; Q=x 4 −7 x 2 +15 ( Víi x>0, x x √ x+ x+ √ x x − √ x 1.Rót gän P 2.Với giá trị nào của x thì Q-4P đạt giá trị nhỏ nhất Gi¶i C©u 1. 1).

<span class='text_page_counter'>(14)</span> √ x (¿ x+ √ x +1). √ x ( √ x 3 − 1). ¿ 1 √ x +1 √ x +1 P= : 2 = ¿ P= x √ x+ x+ √ x x − √ x √ x( ¿ x+ √ x +1). √ x (√ x − 1)( x +√ x+1)=x −1 4 2 Q-4P=x -7x +15-4(x-1)=(x4-8x2+16)+(x2-4x+4)-1=(x2-4)+(x-2)2-1 −1. √ x+ 1. Min(Q-4P)=-1 khi x=2 C©u 2 Cho c¸c sè x, y tho¶ m·n x4+x2y2+y4=4 (1) ; x8+x4y4+y8=8(2) TÝnh gi¸ trÞ A=x12 +x2 y2 +y12 Gi¶i (2) ⇔ (x4+y4)2-x4y4=8 (3) .Tõ (1) ⇔ x4+y4=4-x2y2 (4) Thay vµo (3) Ta cã (4-x2y2 )2-x4y4=8 ⇔ 16-8x2y2+x4y4-x4y4=8 ⇔ x2y2=1 Thay vµo (4) ta cã x4+y4=3 A=x12 +x2 y2 +y12=(x4+y4)3-3x4y4(x4+y4)+x2y2 Thay x2y2=1 ,x4+y4=3 vµo A 4 A=3 -3.3+1=19 C©u 3 1.TÜm tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng sao cho 2(x+y)+xy=x2+y2 2.Cho tam giác ABC cóđộ dài ba cạnh là a, b,c sao cho a2 +b2>5c2. Chøng minh r»ng c<a, c<b Gi¶i 2 2 2 2 1. 2(x+y)+xy=x +y ⇔ x -(y+2)x+y -2y=0 (1) coi ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc 2 Èn x tham sè y ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm nguyªn x ®iÒu kiÖn cÇn Δ lµ sè chÝnh ph¬ng .Ta cã Δ =(y+2)2-4(y2-2y)=y2+4y+4-4y2+8y=16-3(y-2)2 16 0 ≤ Δ≤16 , Δ chÝnh ph¬ng Δ =0 ⇒ 3(y-2)2=16 (Lo¹i v× y Z ) Δ =1 ⇒ 3(y-2)2=15 ⇒ (y-2)2=5 (Lo¹i v× y Z ) 2 2 Δ =4 ⇒ 3(y-2) =12 ⇒ (y-2) =4 ⇒ y=4 hoÆc y=0 Víi y=4 thay vµo (1) ta cã :x2-6x+8=0 ⇔ (x-2)(x-4)=0 ⇔ x=2 hoÆc x=4 Víi y=0 thay vµo (1 )ta cã: x2- 2x=0 ⇔ x(x-2)=0 ⇔ x=0 hoÆc x=2 Δ =9 ⇒ 3(y-2)2=7 (Lo¹i v× y Z ) Δ =16 ⇒ 3(y-2)2=0 ⇒ y=2 thay vµo (1) ta cã x2-4x=0 ⇔ x(x-4)=0 ⇔ x=0 hoÆc x=4 V¹y ph¬ng tr×nh cã 6 nghiÖm (x;y)=(2;4);(4;4);(0;0);(2;0);(0;2);(4;2) 2.Tõ GT ta cã a2+b2>5c2 => (a+b)2>5c2+2ab Gi¶ sö c a,c b th× 2c a+b =>4c2 (a+b)2>5c2+2ab (V« lý) NÕu c a ,c<b hoÆc c<a,c b t¬ng tù VËy c<a,c<b (®pcm) C¸ch kh¸c: Gi¶ sö c a , ta cã a2 c2 (1) , MÆt kh¸c theo B§T tam gi¸c b<a+c 2c suy ra b2 4c2 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã a2+b2 5c2 tr¸i GT vËy c<a * Gi¶ sö c b ta cã b2 c2 (3) MÆt kh¸c theo B§T tam gi¸c a<a+c 2c suy ra a2 4c2 (4) Tõ (3) vµ (4) ta cã a2+b2 5c2 tr¸i GT vËy c<b VËy c<a,c<b (®pcm) C©u 4:. A. M. C. B G O. F. D. E.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 1.XÐt Δ AMG; Δ AME cã ∠ AMG chung, ∠ MAG= ∠ MEA (cïng b»ng ∠ GFD) Nên Δ AMG đồng dạng Δ EMA (g.g) AM MG 2 = ⇔MA =ME . MG (1) (®pcm) suy ra EM MA 2.XÐt Δ MBG vµ Δ MEC cã ∠ BMG chung ∠ MBG= ∠ MEC ( cïng bï víi ∠ GBC) Nên Δ MBG đồng dạng Δ MEC (g.g) MG MB suy ra = ⇔ ME . MG=MB. MC (2) MC ME Tõ (1) vµ (2) ta cã MA2=MB.MC=(AB-AM)(AC-AM)=AB.AC-AB.AM-AM.AC+AM2 ⇔ AB.AC=AB.AM+AC.AM AB . AM AC . AM AM AM 1 1 1 ⇔1= + ⇔ 1= + ⇔ = + (®pcm) AB . AC AB . AC AC AB AM AB AC C©u 5 Chia h×nh ch÷ nhËt ABCD (AB=CD=4cm,AD=BC=3cm) A. E. P. B. N. F G. H. D. K. M. C. Thành các đa giác AEFG,GDKHF,HKCMN,MNPB,PNHFE các đờng chéo của đa giác này lu«n EN= √ EB2 +BN 2= √ 4+1= √5 .V× cã 6 ®iÓm mµ cã 5 ®a gi¸c theo nguyªn t¾c §iRÝch-lª tån t¹i Ýt nhÊt 2 ®iÓm thuéc mét ®a gi¸c kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®iÓm nµy lu«n nhá hơn hoặc bằng đờng chéo của mỗi đa giác . VËy lu«n tån t¹i 2 trong s¸u ®iÓm mµ kho¶ng c¸ch gi÷a chóng nhá h¬n hoÆc b»ng (®pcm) √ 5 cm..

<span class='text_page_counter'>(16)</span>