Đề cương ôn tập môn độ đo xác suất đại học khoa học tự nhiên HCM 2017

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP 2017
Độ đo xác suất

.c
om

1. Độ đo

co

ng

Định nghóa. Cho M là một họ các tập con của tập X. Ta nói M là một
σ-đại số nếu M thỏa
a) X ∈ M,
b) Nếu A ∈ M thì Ac ∈ M
c) Neáu An ∈ M n = 1, 2, ... thì ∪∞
n=1 An ∈ M.
Khi đó (X, M) gọi là một không gian đo được và phần tử của M gọi là
các tập đo được.

th

an

Hệ quả. Cho (X, M) là một không gian đo được. Ta có
a) ∅ ∈ M,
b) Neáu An ∈ M n = 1, 2, ... thì ∩∞
n=1 An ∈ M.

Ai =

du
o

A\

ng

Bài tập. Chứng minh hệ quả bằng cách sử dụng luật De Morgan

i∈I

i∈I

(A \ Ai ), A \

Ai =
i∈I

i∈I

(A \ Ai ).

cu

u

Mệnh đề. a) Nếu Mi (i ∈ I) là một họ các σ-đại số trên X thì ∩i∈I Mi là
một σ-đại số. Cho F ⊂ P(X).
b) Đặt σ(F ) = {A : A ∈ M, ∀F ⊂ M}. Khi đó, σ(F ) là sigma-đại số

nhỏ nhất chứa F , nghóa là cho sigma-đại số M,
F ⊂ M ⇒ σ(F ) ⊂ M.
Ta noùi σ(F ) là σ-đại số sinh ra bởi F .
Bài tập. a) Chứng minh ba tính chất của σ-đại số. b) CM tính nhỏ nhất của
σ(F ).
Định nghóa. Cho τ là họ các tập mở của Rn . Khi đó σ-đại số nhỏ nhất trên
Rn chứa τ gọi là σ-đại số Borel và ký hiệu là B(Rn ). Các phần tử cuûa B(Rn )
1

CuuDuongThanCong.com

/>

gọi là các tập Borel. Các tập Borel thông thường là các tập mở trong Rn , các
tập đóng trong Rn , giao đếm được các tập mở, hội đếm được các tập đóng.

∞

µ

An

=

n=1

∞

.c
om

Định nghóa. Cho (X, M) là một không gian đo được. Một ánh xạ µ : M →
[0, ∞] gọi là một độ đo (dương) nếu
a) Tồn tại A ∈ M sao cho µ(A) < ∞,
b) Nếu An ∈ M, n = 1, 2, ... vaø Ai ∩ Aj = ∅ (i = j) thì
µ(An ).

n=1

ng

Khi đó (X, M, µ) gọi là một không gian đo. Nếu µ(X) = 1 thì µ gọi là một
độ đo xác suất và (X, M, µ) gọi là một không gian xác suất.

=
=
=
=

F+ (b) − F− (a),
F− (b) − F+ (a),
F− (b) − F− (a),
F+ (b) − F+ (a),

th

an

µF ([a, b])
µF ((a, b))

µF ([a, b))
µF ((a, b])

co

Mệnh đề. Với mỗi hàm tăng F : R → R tồn tại một độ đo ký hiệu µF , gọi là
độ đo Stieljes, xác định trên σ-đại số Borel B(R) sao cho với mọi a < b ta có

ng

trong đó F+ (x) = limt→x+ F (t) và F− (x) = limt→x− F (t).

du
o

Định nghóa. Nếu chọn F (x) = x thì µF được gọi là độ đo Lebesgue trên R
và ký hiệu là m hay m1. Với độ đo Lebesgue, ta có m({a}) = 0, m((a, b)) =
m([a, b)) = m((a, b]) = m([a, b]) = b − a với a, b ∈ R, a < b.

cu

u

Định lý. Cho (X, M, µ) là một không gian đo. Ta có
a) µ(∅) = 0,
b) Nếu An ∈ M, n = 1, 2, ..., m vaø Ai ∩ Aj = ∅ (i = j) thì
m

µ

m

An

=

n=1

µ(An ).
n=1

c) Nếu A, B ∈ M và A ⊂ B thì µ(A) ≤ µ(B).
d) Nếu An ∈ M và An ⊂ An+1 , , n = 1, 2, ... thì
lim µ(An ) = µ

n→∞

∞

An

n=1

2

CuuDuongThanCong.com

/>

e) Nếu An ∈ M, An+1 ⊂ An , và µ(A1 ) < ∞, n = 1, 2, ... thì

∞

lim µ(An ) = µ

n→∞

An

n=1

f) Neáu An ∈ M, n = 1, 2, ... thì
An

n=1

≤

∞

µ(An ).

.c
om

µ

∞

n=1

th

an

co

ng

Bài tập CM tính chất d) theo các bước sau
i) Đặt B1 = A1 , Bn = An \ An−1 , n = 2, 3, ... CM B i ∩ Bj = ∅ khi i = j.
ii) CM A n = ∪ni=1 Bi .
iii) CM A = ∪ ∞
i=1 Bi .
iv) Tính µ(A n ) và µ(A) theo µ(Bi ).
v) Suy ra đpcm.
BÀI TẬP

ng

1. Cho X = {a, b, c}. Tìm các σ-đại số chứa A = {a}. Đặt F = {A}.
σ-đại số nhỏ nhất σ(F ) là gì? Chỉ ra các tập hợp đo được, các tập hợp
không đo được theo σ(F ).

u

du
o

2. Cho X = {a, b, c, d}. Tìm các σ-đại số chứa B = {a, b}. Đặt F = {B}.
σ-đại số nhỏ nhất σ(F ) là gì? Chỉ ra các tập hợp đo được, các tập hợp

không đo được theo σ(F ).

cu

3. Cho a, b ∈ R, a < b. CMR caùc tập hợp [a, ∞), (−∞, b], [a, b), (a, b] là
các tập Borel. Tập hợp {a} với a ∈ R có phải là tập Borel không?
4. Cho a, b ∈ R, a < b. Cho F 0 = {(a, ∞) : a ∈ R}.
(a) CMR σ(F 0) ⊂ B(R).

(b) Cho M là một σ-đại số trên R và giả sử (a, ∞) ∈ M với mọi a ∈
1
R. Sử dụng đẳng thức [a, ∞) = ∞
n=1 a − n , ∞ CMR [a, ∞) ∈
M . Suy ra (−∞, b), (−∞, b], (a, b), [a, b), (a, b] là các tập hợp
trong M. Từ đó suy ra σ(F0) cũng có tính chất như M.

3

CuuDuongThanCong.com

/>

(c) Cho tập hợp U mở trong R. Lý thuyết tập hợp cho biết: tập hợp
các khoảng I := (a, b) ⊂ U (với a, b ∈ Q) là đếm được, do đó, ta
có thể viết các khoảng này dưới dạng dãy (In ), n = 1, 2, ... CMR
∞
U = n=1 In . Từ đó suy ra U ∈ σ(F0) với mọi tập mở U ⊂ R.

(d) Sử dụng điều trên CMR σ(F 0) = B(R).

2. Hàm đo được

.c
om

(e) Tìm các họ tập hợp F khác thỏa σ(F ) = B(R) .

ng

Mệnh đề. Cho (X, M) là một không gian đo được và f : X → Y . Khi đó
tập
Nf = {W ⊂ Y : f −1 (W ) ∈ M}

co

là một σ-đại số trên Y .

ng

th

an

Định nghóa.
Cho (X, M), (Y, N ) là hai không gian đo được. Ánh xạ
f : X → Y gọi làđo được nếu f −1 (W ) ∈ M với mọi W ∈ N . Neáu
(X, M) = (Rn , B(Rn)), (Y, N ) = (Rk , B(Rk )) thì f được gọi là Borel đo
được hay gọi vắn tắt là hàm Borel.

du

o

Định lý. Cho (X, M), (Rk , B(Rk )) là không gian đo được. Ánh xạ f : X → Rk
là đo được nếu và chỉ nếu f −1 (U) ∈ M với mọi U là tập mở trong Rn .

cu

u

Bài tập CM Định lý theo các bước sau:
i) Đặt Nf = {W ⊂ Rk : f −1 (W ) ∈ M}. CM N f là một σ-đại số trong
k
R .
ii) CM B(R k ) ⊂ Nf .
Hệ quả. Mọi ánh xạ liên tục f : Rn → Rk đều là một hàm Borel đo được.
Bài tập. Sử dụng tính chất ảnh ngược liên tục của một tập mở là một tập
mở và tính chất nếu F ⊂ σ−đại số M thì σ(F ) ⊂ M để chứng minh mệnh
đề.
Mệnh đề a) Nếu X,Y,Z là các không gian đo được vaø f : X → Y , g : Y → Z
là đo được thì g ◦ f là đo được.
4

CuuDuongThanCong.com

/>

b) Nếu X là không gian đo được, f : X → Rn đo được và g : Rn → Rk đo
được Borel thì g ◦ f là đo được.
Bài tập. a) Chứng minh tính chất (g ◦ f) −1 (A) = f −1 (g −1 (A)) với A ⊂ Z.
b) CM mệnh đề.

ng

.c
om

Mệnh đề. Hàm f : X → [−∞, ∞] đo được nếu và chỉ nếu một trong các
điều sau là đúng với mọi a ∈ R
a) (f ≥ a) := f −1 ([a, ∞]) đo được.
b) (f > a) := f −1 ((a, ∞]) đo được.
c) (f ≤ a) := f −1 ([−∞, a]) đo được.
d) (f < a) := f −1 ([−∞, a)) đo được.
e) (f ∈ (a, b)) := f −1 ((a, b)) đo được với mọi a < b.
f) (f ∈ V ) := f −1 (V ) đo được với mọi tập mở V ⊂ R.

du
o

ng

th

an

co

Bài tập. Cm mệnh đề trên theo các bước sau
1
i) CM (f > a) = ∪ ∞
n=1 f ≥ a + n . Từ đó CM a) ⇒ b).

ii) CM b) ⇒ c).
1
iii) CM (f < a) = ∪ ∞
n=1 f ≤ a − n . Từ đó CM c) ⇒ d).
iv) CM (f ∈ [a, b)) = (f < b) \ (f < a). Từ đó CM (f ∈ [a, b)) đo được.
CM a + δ n < b với δn = b−a
và (f ∈ (a, b)) = ∪∞
n=1 (f ∈ [a + δn , b). Từ đó
2n
CM d) ⇒ e).
v) Sử dụng tính chất: mọi tập mở V trong R đều có thể viết dưới dạng
V = ∪∞
n=1 (an , bn ), an < bn , CM e) ⇒ f).

u

Mệnh đề. Cho u, v : X → R là các hàm số đo được và Φ : R2 → R liên tục
thì h : X → R với h(x) = Φ(u(x), v(x)) là một ánh xạ đo được.

cu

Mệnh đề. Cho dãy hàm fn : X → [−∞, ∞] đo được thì sup fn , inf fn ,
lim sup fn , lim inf fn là đo được.
Bài tập. Đặt g(x) = supn fn (x), h(x) = inf n fn (x). CM
∞
(g > a) = ∪∞
n=1 (fn > a), (h < a) = ∪n=1 (fn < a).

Từ đó CM mệnh đề.

Định nghóa Cho H là một tập hợp, A ⊂ H. Khi đó ta định nghóa
IA (x) =

1 (x ∈ A)
0 (x ∈ H \ A)
5

CuuDuongThanCong.com

/>

Hàm này còn được ký hiệu là χA .
Mệnh đề Cho X là không gian đo được, A ⊂ X. Khi đó IA đo được khi và
chỉ khi A đo được.
Bài tập. CM mệnh đề trên bằng cách tìm I−1
A (V ) với V mở. Xét các trường
hợp a) 1 ∈ V, 0 ∈ V ; b) 1 ∈ V, 0 ∈ V ; c) 1 ∈ V, 0 ∈ V ; d) 1 ∈ V, 0 ∈ V .

.c
om

Định nghóa Cho X là không gian đo được. Cho s : X → R. Hàm s gọi là
hàm đơn nếu s(X) chỉ có hữu hạn giá trị.

co

ng

Mệnh đề. Cho hàm s : X → R coù s(X) = {α1 , ..., αn} với αi = αj với i = j.
Đặt Ai = s−1 (αi ), ta coù

n
a) Ai ∩ Aj = ∅ với i = t và i=1 Ai = X.
b) s = ni=1 αi IAi ,
c) với mọi g : R → R ta coù g(s(x)) = ni=1 g(αi )IAi
d) hàm s đo được khi và chỉ khi Ai đo được với mọi i = 1, 2, ...

an

Bài tập. Chứng minh mệnh đề trên.

du
o

ng

th

Định lý. Với mọi hàm đo được f : X → [0, ∞] tồn tại các hàm đơn đo được
không âm sn trên X sao cho
a) 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ ... ≤ f,
b) sn (x) → f(x) khi n → ∞ với mọi x ∈ X.

cu

u

Bài tập. i) Ký hiệu [α] là số nguyên lớn nhất không vượt quá α ∈ R. CM
α − 1 ≤ [α] ≤ α và nếu α ≤ β thì [α] ≤ [β].
n
ii) Đặt ϕn (t) = [22nt] (0 ≤ t ≤ n) và ϕn (t) = n với t > n. CM t − 2−n ≤

ϕn (t) ≤ t với mọi 0 ≤ t ≤ n. Từ đó suy ra limn→∞ ϕn (t) = t.
iii) CM ϕ n (t) ≤ ϕn+1 (t).
iv) CM
n2n −1
k
ϕn (t) =
I k k+1 (t) + nI[n,∞) (t).
2n [ 2n , 2n )
k=0

v) Đặt sn (x) = ϕn (f(x)). CM (s n ) thoûa định lý.
BÀI TẬP
1. Sử dụng tính chất (D): Hàm f : X → [−∞, ∞] đo được khi và chỉ khi
6

CuuDuongThanCong.com

/>

f −1 ((a, ∞]) đo được với mọi a ∈ R CMR hàm f(x) = 2x là đo được
Borel trên R. Có cách chứng minh nào khác không?
2. Cho f(x) = x2 . Hỏi f có đo được Borel hay không? hãy kiểm tra trực
tiếp bằng tính chất (D).
3. Bài tập tương tự với
(b) f(x) = x−4 (x = 0) vaø f(0) = −∞.
(c) f(x) = x−1 (x = 0) vaø f(0) = 1.

.c
om

(a) f(x) = x−2 (x = 0) và f(0) = +∞.

ng

3. Tích phân Lebesgue của hàm không âm

co

Định nghóa. Cho không gian đo (X, M, µ), E ∈ M. Cho hàm đơn đo được
s : X → R, s(X) = {α1 , ..., αn} với αi ≥ 0 (i = 1, ..., n). Ta định nghóa

an

n

th

s(x)dµ(x) =
E

i=1

αi µ(Ai ∩ E)

ng

trong đó Ai = (s = αi ) := s−1 (αi ). Neáu f : X → R đo được, ta định nghóa
s(x)dµ(x)

du

o

f(x)dµ(x) = sup

E

0≤s≤f

E

trong đó s là các hàm đơn đo được.

cu

u

Mệnh đề. Cho không gian đo (X, M, µ), A, B, E ∈ M, f, g : X → R là các
hàm đo được.
a) nếu 0 ≤ f ≤ g thì E fdµ ≤ E gdµ.
b) nếu A ⊂ B và f ≥ 0 thì A fdµ ≤ B fdµ.
c) nếu f ≥ 0 và 0 ≤ c < ∞ thì E cfdµ = c E fdµ.
d) nếu f ≥ 0 thì E fdµ = X fIE dµ.
e) nếu f(x) = c ≥ 0 với mọi x ∈ E thì E f(x)dµ = cµ(E).
f) nếu µ(E) = 0, f ≥ 0 thì E fdµ = 0
Bài tập. Chứng minh mệnh đề theo các hướng dẫn sau
a) Lấy s đơn, đo được và 0 ≤ s ≤ f. CM E s(x)dµ ≤
suy ra đpcm.

E

g(x)dµ. Từ đó

7

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

b) Lấy s đơn, đo được và 0 ≤ s ≤ f. CM A s(x)dµ ≤ B s(x)dµ. Từ đó
cm mệnh đề.
c) Lấy s ≥ 0 đơn, đo được. CM c E s(x)dµ = E cs(x)dµ. Suy ra: nếu
0 ≤ s ≤ f thì c E s(x)dµ ≤ E cf(x)dµ. Từ đó CM c E f(x)dµ ≤ E cf(x)dµ
và suy ra E cf(x)dµ ≤ c E f(x)dµ.
d) Lấy s ≥ 0 đơn, đo được. CM E s(x)dµ = X s(x)IE (x)dµ. Từ đó suy
ra nếu 0 ≤ s ≤ f thì E s(x)dµ ≤ X f(x)IE (x)dµ. Mặt khác, nếu s đơn và
0 ≤ s ≤ fIE thì X s (x)dµ ≤ E f(x)dµ. Từ đó suy ra đpcm.
e) Áp dụng câu d).
f) Lấy s đơn, đo được và 0 ≤ s ≤ f. CM E s(x)dµ = 0. Suy ra f).

φ(E) =

co

ng

Mệnh đề. Cho s,t là hai hàm đơn đo được không âm trên (X, M, µ), E ∈ M.
Ta có

a) Hàm ϕ : M → [0, ∞) xác định bởi
sdµ

E

tdµ.

th

là một độ đo dương trên M.
b) E (s + t)dµ = E sdµ +

an

E

du
o

ng

Bài tập. a) Giả sử s = ni=1 αi IAi với s(X) = {α1 , ..., αn} và Ai = s−1 (αi ).
Viết biểu thức của φ(E). Từ đó CM các tính chất của độ đo.
b) Giả sử thêm t = ki=1 βi IBj với t(X) = {β1, ..., βk} vaø Bj = t−1 (βj ).
CM E∩Ai ∩Bj (s + t)dµ = E∩Ai ∩Bj sdµ + E∩Ai ∩Bj tdµ. Từ đó suy ra mệnh đề.

cu

u

Định lý hội tụ đơn điệu. Cho không gian đo (X, M, µ), E ∈ M. Cho (f n )
là dãy các hàm đo được trên X sao cho
a) 0 ≤ fn (x) ≤ fn+1 (x) với mọi n ≥ n0
b) fn (x) → f(x) khi n → ∞ với mọi x ∈ X
Khi đó f là hàm đo được không âm và
lim

n→∞

fn dµ =
E

lim fn dµ =

E n→∞

fdµ
E

ho
Bài tập. Chứng minh định lý hội tụ đơn điệu theo các câu sau:
a) CM L = limn→∞ E fn dµ tồn tại và L ≤ E fdµ.
8

CuuDuongThanCong.com

/>

b) Cho c ∈ (0, 1), s là hàm đơn đo được thỏa 0 ≤ s ≤ f. Đặt An = {x ∈
X : fn (x) ≥ cs(x)}. CM A n ⊂ An+1 vaø X = ∞

n=1 An .
c) CM c E∩An sdµ ≤ E fn dµ.
d) CM limn→∞ E∩An sdµ = E sdµ.
e) suy ra E sdµ ≤ L. Từ đó E fdµ ≤ L.

(g + h)dµ =

gdµ +
X

và

∞

fn dµ =

X n=1

hdµ
X

∞

ng

X

.c
om

Mệnh đề. Cho fn , g, h : X → [0, ∞] là các hàm đo được không âm trên
(X, M, µ). Ta có

fn dµ.

co

n=1

X

th

an

Bài tập. Chọn hai dãy hàm đơn đo được sn , tn thỏa 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ ...,
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ... vaø limn→∞ sn = g, limn→∞ tn = h. Dùng định lý hội tụ đơn
điệu để CM mệnh đề.

ng

Bổ đề Fatou. Cho f n : X → [0, ∞] là các hàm đo được không âm. Khi đó

du
o

lim inf
n→∞

X

fn dµ ≥

lim inf fn dµ.
X

X

cu

u

Bài tập. Đặt gn (x) = inf k≥n fk (x).
a) CM gn ≤ gn+1 .
b) CM X gn dµ ≤ X fn dµ.
c) Sử dụng định lý hội tụ đơn điệu suy ra kết quả.
Mệnh đề. Cho f : X → [0, ∞] là hàm đo được, Với E ∈ M, đặt
ϕ(E) =

fdµ.
E

Khi đó ϕ là một độ đo dương trên M. Hơn nữa
gdϕ =
X

gfdµ
X

9

CuuDuongThanCong.com

/>

với mọi hàm đo được không âm g : X → [0, ∞].
Lưu ý Để chứng minh một số tính chất của tích phân Lebesgue đúng với mọi
hàm f chúng ta có thể dùng kỹ thuật 4D: 1) CM cho hàm đặc trưng, 2) CM
cho hàm đơn đo được, 3) CM cho hàm dương đo được, 4) CM cho hàm đo
được có dấu bất kỳ.

co

ng

.c
om

Bài tập. Lấy Ai , i = 1, 2, ... là các tập đo được rời nhau trên X.
n
n
n
a) Sử dụng tính chất ISni=1 Ai = i=1 IAi , CM ϕ( i=1 Ai ) = i=1 ϕ(Ai ).
b) Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu suy ra tính chất cộng tính đếm được
của ϕ.
c) CM công thức X gdϕ = X gfdµ đúng nếu g là hàm đơn, đo được
không âm.
d) Với hàm g ≥ 0, chọn dãy sn các hàm đơn đo được thỏa 0 ≤ s1 ≤ s2 ...
vaø limn→∞ sn = g. Sử dụng định lý hội tụ đơn điệu CM công thức X gdϕ =
gfdµ.

X

th

an

Định nghóa. Cho (X, M) là một không gian đo được. Độ đo λ : M → [0, ∞]
gọi là liên tục tuyệt đối so với độ đo µ : M → [0, ∞] nếu với mọi E ∈ M
và µ(E) = 0 thì λ(E) = 0. Ta ký hiệu λ
µ.

du
o

ng

Định lý Radon-Nikodym Cho (X, M, µ là một không gian đo. Giả sử µ là
σ-hữu hạn, nghóa là tồn tại Ei ∈ M với µ(Ei ) < ∞ và X = ∞
n=1 Ei . Nếu λ
là một độ đo dương trên M thỏa λ
µ thì tồn tại một hàm đo được không
âm h sao cho
λ(E) =
hdµ
E

cu

u

với mọi E ∈ M. Ta nói h là đạo hàm Radon-Nikodym của λ đối với µ và ký
hiệu h = dλ
hay hdµ = dλ.
dµ

4. Tích phân Lebesgue của hàm tổng quát
Định nghóa. Cho không gian đo được (X, M, µ) và cho f : X → [−∞, ∞]
là đo được. Ta nói f khả tích Lebesgue với độ đo µ nếu

X

|f(x)|dµ(x) < ∞.
10

CuuDuongThanCong.com

/>

Ta ký hiệu tập các hàm khả tích Lebesgue là L1 (X, M, µ) hay vắn tắt L1 (µ).
Hệ quả. Cho f, g đo được trong (X, M, µ). Nếu g khả tích và |f(x)| ≤ g(x)
với mọi x ∈ X thì f khả tích.
Bài tập. Chứng minh tính chất này.

fdµ =
E

E

f + dµ −

.c
om

Định nghóa. Nếu f ∈ L1 (µ), ta định nghóa
f − dµ
E

với mọi E ∈ M. Trong đó f := max{f, 0}, f − = max{−f, 0}.
+

an

co

ng

Bài tập. Chứng minh các đẳng thức
a) f(x) = f + (x) − f − (x), |f(x)| = f + (x) + f − (x).
b) (−f(x))+ = f − (x), (−f(x))− = f + (x).
c) Nếu c > 0 thì (cf(x))+ = cf + (x), (cf(x))− = cf − (x).
d) Nếu c < 0 thì (cf(x))+ = −cf − (x), (cf(x))− = −cf + (x).

th

Định lý. Cho f, g ∈ L1 (µ). Khi đó
a) αf + βg ∈ L1(µ) và

ng

(αf + βg)dµ = α

X

du
o

b) nếu f ≤ g thì X fdµ ≤
c) X fdµ ≤ X |f|dµ.

+β
X

X

gdµ.
X

gdµ.

cu

u

Bài tập. i) Đặt h = f + g. CM h + + f − + g − = h− + f + + g + .
ii) CM X (f + g)dµ = X fdµ + X gdµ.
iii) Cho c ∈ R. CM X cfdµ = c X fdµ.
iv) CM b), c).
Mệnh đề. a) Nếu f đo được, g ∈ L1 (µ) và |f| ≤ g thì f ∈ L1 (µ).
b) Nếu f, g ∈ L1(µ) và f ≤ g thì X fdµ ≤ X gdµ.
c) Nếu f ∈ L1 (µ) thì |f| ∈ L1 (µ) và X fdµ ≤ X |f|dµ.

Bài tập. Chứng minh mệnh đề trên.
Định lý hội tụ bị chận của Lebesgue. Cho g, (f n ) là đo được trên (X, M, µ)
sao cho
11

CuuDuongThanCong.com

/>

a) |fn (x)| ≤ g(x) với mọi x ∈ X, n = 1, 2, ...
b) g khả tích,
c) f(x) = limn→∞ fn (x) tồn tại với mọi x ∈ X.
Khi đó f ∈ L1 (µ) và
lim

fn dµ =
X

lim fn dµ.

X n→∞

.c
om

n→∞

ng

Bài tập. Chứng minh định lý hội tụ bị chặn theo các câu sau

i) Đặt Fn (x) = 2g(x) − |fn (x) − f(x)|. CM F n (x) ≥ 0 với mọi x ∈ X.
ii) Tìm lim inf n Fn (x).
iii) Cho dãy số thực (αn ) và c ∈ R. CM
lim inf (c + αn ) = c + lim inf αn , lim inf (−αn ) = − lim sup αn .
n→∞

n→∞

n→∞

co

n→∞

an

iv) Dùng iii) để biến đổi lim inf n X Fn (x)dµ(x).
v) CM limn→∞ X |fn (x) − f(x)|dµ(x) = 0 rồi suy ra định lý.

th

5. Tập có độ đo không

du
o

ng

Mệnh đề. Cho không gian đo (X, M, µ).
a) Nếu A, B ∈ M, A ⊂ B và µ(B) = 0 thì µ(A) = 0.

b) Nếu An ∈ M và µ(An ) = 0, n = 1, 2, ..., thì µ ( ∞
n=1 An ) = 0.

cu

u

Định nghóa. Cho (X, M, µ). Ta nói độ đo µ là đầy đủ nếu với mọi A ∈ M,
µ(A) = 0 và cho B ⊂ A thì B ∈ M. Trong trường hợp này, σ-đại số M
cũng gọi là đầy đủ.
Mệnh đề. Cho (X, M, µ). Gọi M∗ là họ các tập E ⊂ X sao cho tồn tại
các tập A, B ∈ M sao cho A ⊂ E ⊂ B và µ(B \ A) = 0. Khi đó đặt
µ∗ (E) = µ(A). Ta được M∗ là một σ-đại số đầy đủ trên X và µ∗ là một độ
đo đầy đủ trên M∗ .
Bài tập. Chứng minh mệnh đề trên theo các bước sau
i) Giả sử A ⊂ E ⊂ B và µ(B \ A) = 0, A1 ⊂ E ⊂ B1 và µ(B1 \ A1 ) = 0
với A, A1, B, B1 ∈ M. CM µ(A) = µ(A 1 ). Từ đó suy ra định nghóa của µ∗
hoàn toàn xác định.
ii) CM M ∗ là một σ-đại số.
12

CuuDuongThanCong.com

/>

iii) CM µ ∗ là một độ đo.
iv) CM tính đầy đủ của (X, M∗ , µ∗ ).
Định nghóa. Cho tập (X, M, µ), cho E ∈ M thỏa µ(E c ) = 0. Hàm f : E →
Rk gọi là đo được hầu hết trên X nếu f −1 (V ) ∩ E ∈ M với mọi V mở trong
Rk .

.c
om

Định nghóa. Trên (X, M, µ), xét hàm mệnh đề P (x), x ∈ X. Ta nói P
đúng hầu hết trên E ∈ M nếu tồn tại một tập hợp A ∈ M, µ(A) = 0 sao
cho P (x) đúng trên E \ A. Ta viết P đúng hầu hết khắp nơi (hkn hay a.e.)
trên E. Nếu µ là độ đo xác suất, ta còn nói P đúng hầu chắc chắn (hcc hay
a.s.) trên E .

ng

th

an

co

ng

Bài tập. Cho (X, M, µ). Cho f, g, f n , gn : X → R.
i) Neáu f1 = g1 , f2 = g2 hkn thì f1 ± f2 = g1 ± g2 , f1 f2 = g1 g2 hkn.
ii) Neáu fn = gn hkn với mọi n = 1, 2, ... và nếu limn→∞ fn = f hkn,
limn→∞ gn = g thì f = g hkn.
iii) Nếu tồn tại M > 0 sao cho |f(x)| ≤ M hkn thì ta nói f bị chặn hkn.
CMR nếu f, g bị chặn hkn thì f ± g, fg bị chặn hkn.
iv) Nếu f bị chặn hkn. Đặt f ∞ = inf{M : |f(x)| ≤ M hkn}. CM
|f(x)| ≤ f ∞ hkn.
v) Neáu f, g bị chặn hkn thì f + g ∞ ≤ f ∞ + g ∞ .

cu

u

du
o

Mệnh đề. Trên (X, M, µ) cho E ∈ M.
a) Neáu f, g : X → [0, ∞] đo được và f = g h.h. thì E fdµ = E gdµ.
b) Nếu f, g : X → [−∞, ∞], f khả tích và f = g h.h. thì g khả tích và
fdµ = E gdµ.
E
c) Nếu f : X → [0, ∞] đo được và E fdµ = 0 thì f=0 h.h. trên E.
d) Cho f khả tích. Nếu E fdµ = 0 với mọi E ∈ M thì f = 0 h.h.
e) Cho f khả tích. Nếu
fdµ =
X

X

|f|dµ

thì |f| = f hay |f| = −f h.h. trên X.
Bài tập Chứng minh mệnh đề trên
i) CM a) bằng cách CM X f(x)dµ = Ac f(x)dµ.
ii) Theo giả thiết, tồn tại A ∈ M, µ(A) = 0, sao cho f(x) = g(x) với mọi
x ∈ Ac . CM X f + (x)dµ = Ac f(x)dµ. Từ đó suy ra ñpcm.
13

CuuDuongThanCong.com

/>

iii) CM c). Đặt E n = {x ∈ X : f(x) ≥ n1 }, E = {x ∈ X : f(x) > 0}. CM
µ(En ) = 0 và E = ∞
n=1 En . Từ đó suy ra c).
iv) CM d). Đặt E = {x ∈ X : f(x) > 0}. CM X f + (x)dµ = E f(x)dµ.
Từ đó suy ra f + = 0 hkn. CM f − = 0 hkn. Từ đó suy ra f = 0 hkn.
Định lý. Các định lý hội tụ đơn điệu, bổ đề Fatou, định lý hội tụ bị chặn vẫn
đúng nếu các tính chất được thay bằng tính chất h.h.

|fn |dµ < ∞.

Khi đó chuỗi
f(x) =

ng

n=1

X

∞

fn (x)

co

∞

.c
om

Định lý. Giả sử (fn ) là một dãy hàm đo được xác định h.h. trên X sao cho

n=1

fn dµ =

th

∞

an

hội tụ với h.h. x và f khả tích. Ngoài ra

X n=1

∞

ng

n=1

fn dµ
X

du
o

Định nghóa Cho đoạn (a, b) và cho x0 = a < x1 < ... < xn = b. Taäp
P = {x0, ..., xn} gọi là một phân hoạch của (a, b]. Cho hàm f : (a, b) → R.
Đặt mn = inf (xn−1 ,xn ) f(x), Mn = sup(xn−1 ,xn) f(x)

cu

u

mi =

inf

(xi−1 ,xi ]

f(x), Mi = sup f(x), i = 1, ..., n − 1.
(xi−1 ,xi ]

Toång

n

L(P, f) =
i=1

n

mi (xi − xi−1 ), U(P, f) =

i=1

Mi (xi − xi−1 )

gọi lần lượt là tổng dưới và tổng trên của f theo phân hoạch P. Hàm số f
gọi là khả tích Riemann trên khoảng (a, b) nếu
sup L(P, f) = inf U(Q, f).
Q

P

14

CuuDuongThanCong.com

/>

Định lý. Hàm f khả tích Riemann trên (a, b) thì f cũng khả tích Lebesgue
trên (a, b) và
b

f(x)dx =

f(x)dm(x).

a

(a,b)

mi =

inf

xi−1
f(x), Mi =

sup
n

CM
sP (x)dm(x) = L(P, f),

(a,b)

an

(a,b)

Mi I(xi−1 ,xi ] (x)

ng

mi I(xi−1 ,xi ] (x), SP (x) =

i=1

co

i=1

f(x).

xi−1
n

sP (x) =

.c
om

Bài tập Dùng các câu gợi ý, CM mệnh đề trên cho trường hợp f là hàm đo
được Lebesgue trên (a, b] và f ≥ 0. Nhắc lại, độ đo Lebesgue m trên R thỏa
m((α, β)) = β − α với α, β ∈ R, α < β. Ngoài ra m({α}) = 0.
i) Với mọi phân hoạch P : x0 = a < x1 < ... < xn = b, đặt

SP (x)dm(x) = U(P, f)

cu

u

du
o

ng

th

ii) Cho P, Q là hai phân hoạch của khoảng (a, b]. CM sP ≤ f ≤ SQ .

iii) Suy ra L(P, f) ≤ (a,b] f(x)dm(x) ≤ U(Q, f) và ta có đpcm.
Phương pháp chứng minh hàm f khả tích Riemann
Hàm f khả tích Riemann trên R khi và chỉ khi các điều sau thỏa:
a) Tồn tại khoảng (a, b) bị chặn sao cho f(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b).
b) Tồn tại số M sao cho |f(x)| ≤ M với mọi x ∈ (a, b).
c) Hàm f liên tục trên (a, b) \ A với A ⊂ R là tập có m(A) = 0.
Lưu ý. Tập A hữu hạn hay A đếm được (A = {x1, x2, ...}) có độ đo 0 trên
R.
Phương pháp chứng minh hàm f khả tích Lebesgue bằng tích phân Riemann
Hàm f khả tích Riemann thì f khả tích Lebesgue và
b

(R)

b

f(x)dx = (L)
a

f(x)dm(x)
a

BÀI TẬP
Khảo sát tính khả tích Lebesgue của f trên khoảng được cho
15

CuuDuongThanCong.com

/>

1. f(x) =

sin x
x

2. f(x) =

√

trên (0, 1)

x trên khoảng (0, 2)

.c
om

Phương pháp chứng minh một hàm f không khả tích Lebesgue trên (a,b)
Cách 1: CMR |f| ≥ g ≥ 0 và g không khả tích Lebesgue trên (a, b).
b
Cách 2: Tìm hàm fn thỏa 0 ≤ fn ≤ |f| và limn→∞ a fn dx → ∞.
Cách 3: Chứng minh hàm f không khả tích trên khoảng (c, d) ⊂ (a, b).
Ghi nhớ. Hàm f(x) = x1α không khả tích trên (0, b) (b > 0) nếu α ≥ 1.
Hàm f(x) = x1β không khả tích trên (b, ∞) nếu β ≤ 1.

ng

BÀI TẬP

1. f(x) = 1 trên khoảng (0, ∞)

an

2. f(x) = x trên khoảng (0, ∞)

co

Khảo sát tính khả tích Lebesgue của f trên khoảng được cho

3. f(x) =

1
xα

4. f(x) =

1
x

5. f(x) =

e−x
xα

ng

treân (1, ∞)

th

(α < 1) treân (1, ∞)

du
o

(α < 1) treân (0, ∞)

1
xβ

7. f(x) =

1
x

(β > 1) treân (0, 1)

treân (0, 1)

u

6. f(x) =

e−x
xβ

9. f(x) =

cos
√x
x x

treân (0, ∞)

10. f(x) =

sin x
x

treân (0, ∞)

cu

8. f(x) =

(β > 1) trên (0, ∞)

Phương pháp chứng minh hàm f khả tích bằng tích phân Riemann suy
rộng
Cách 1 (trực tiếp): Sử dụng định lý hội tụ đơn điệu ta có thể CMR nếu
a) hàm f ≥ 0
b) hàm f khả tích Riemann trên mọi khoảng bị chặn [c, d] ⊂ (a, b)
16

CuuDuongThanCong.com

/>

c)
d

lim
+

c→a ,d→b−

c

f(x)dx < ∞

Thì hàm f khả tích Lebesgue trên (a, b) và
b

b

f(x)dm(x) =

f(x)dx
a

.c
om

a

Ghi nhớ. Hàm
f(x) =

A
xα
B

xβ

(0 < x < 1)
(x ≥ 1)

th

an

co

ng

khả tích Lebesgue khi và chỉ khi α < 1 < β.
Cách 2 (gián tiếp): Hàm f khả tích nếu
a) f đo được Lebesgue,
b)|f| ≤ g và
c) g khả tích Lebesgue (chứng minh bằng cách dùng cách 1).
Cách 3 (chia nhỏ): Chia khoảng (a, b) = A ∪ B sau đó chứng minh f khả
tích trên A và trên B.

ng

BÀI TẬP

du
o

Khảo sát sự khả tích của

1. f(x) = e−x xα−1 trên (0, ∞). HD: ta có BĐT e x ≥
sin x
x3/2

khi x > 0.

treân (0, 1).

u

2. f(x) =

xk
k!

cu

3. f(x) = e−|x| sin x treân R
2

4. f(x) = e−kx (k > 0) trên R
Phương pháp chứng minh tích phân phụ thuộc liên tục vào tham số
Mệnh đề Cho hàm số f : I × (a, b). Giả sử
a) với mỗi λ ∈ (a, b) hàm x → f(x, λ) đo được theo x
b) tồn tại limλ→λ0 f(x, λ) = h(x)
c) tồn tại hàm g khả tích trên I và khoaûng [a0, b0] ⊂ (a, b) sao cho λ0 ∈
[a0, b0] sao cho |f(x, λ)| ≤ g(x) với mọi x ∈ I vaø λ ∈ [a0, b0].
17

CuuDuongThanCong.com

/>

Đặt H(λ) =

I

f(x, λ)dx. Khi đó ta có

lim

λ→λ0

f(x, λ)dx =

lim f(x, λ)dx =

I λ→λ0

I

h(x)dx.
I

Neáu limλ→λ0 f(x, λ) = f(x, λ0 ) với mọi x ∈ I thì limλ→λ0 H(λ) = H(λ0 ),
nghóa là F liên tục tại λ0 .

.c
om

BÀI TẬP
1. CM mệnh đề trên theo các bước sau

lim

Fn (x)dx =

n→∞

lim Fn (x)dx.

I n→∞

co

I

ng

i) Cho dãy tn → t0. Đặt Fn (x) = f(x, tn ). Sử dụng định lý hội tụ bị
chặn CM

ii) Suy ra kết quả cần CM.

an

2. Chứng minh các hàm sau liên tục

1
sin(λf(s))ds với f là hàm đo được trên (0,1).

0
1
F (λ) = 0 sin(λs)f(s)ds với f là hàm khả tích trên (0,1).
∞
F (λ) = −∞ cos(λs)f(s)ds với f là hàm khả tích trên R.
1
F (λ) = 0 sin√λs
ds
s
∞
Γ(α) = 0 tα−1e−t dt, α > 0. HD: Xét hàm f(t, α) = t α−1e−t dt.
Giả sử α1 ≥ α ≥ α0 > 0, CM |f(t, α)| ≤ g(t) với g(t) = t α0 −1
α1−1 −t

(d)
(e)

ng

(c)

du
o

(b)

th

(a) F (λ) =

u

(0 < t ≤ 1) vaø g(t) = t

cu

(f) Cho g khả tích trên R,
trên R. CMR

∞

lim
→0

−∞

(g) Cho g khả tích trên R,
trên R. CMR
lim
→0

1

nếu t > 1.

e

∞
−∞

f(x − y)g(y)dy = f(x)

∞
−∞
∞

g(y)dy = 1, cho f liên tục và bị chặn

g(y)dy = 1, cho f liên tục và bị chặn

f(t)g

x−t

dt = f(x).

−∞

18

CuuDuongThanCong.com

/>

3. Tính các giới hạn sau
(a) limn→∞

∞
dt
0 (1+ nt )n t1/n

(b) limn→∞

n
0
n
0

(c) limn→∞

1+
1−

x n −2x
e dx
n
n
x
ex/2dx
n

I

f(x, λ)dx. Khi đó

I

∂f(x, λ)
dx.
∂λ

an

dF
=
dλ

co

Đặt F (λ) =

ng

.c
om

Phương pháp tìm đạo hàm của tích phân phụ thuộc tham số
Mệnh đề. Cho f : I × (a, b) → R. Giả sử
a) với mỗi λ ∈ (a, b) hàm x → f(x, λ) khả tích theo x
b) với mỗi x ∈ I hàm λ → f(x, λ) có đạo hàm theo λ
(x,λ)
c) tồn tại hàm g khả tích sao cho ∂f∂λ
≤ g(x) với mọi x ∈ I

th

BÀI TẬP

ng

1. CM mệnh đề trên theo các bước
f (x,λ+h)−f (x,λ)
.
h

du
o

i) Đặt F (x, h) =

Sử dụng định lý Lagrange CM

|F (x, h)| ≤ g(x).

cu

u

ii) Dùng mệnh đề về giới hạn của tích phân theo tham số để CM mệnh
đề trên.

2. Tìm đạo hàm của F (t) =
các hàm khả tích trên R.
3. Tìm đạo hàm của F (t) =

∞
−∞
1
0

f(x) sin txdx với f(x), g(x) = xf(x) là

f(x) sin txdx với f(x) khả tích trên (0, 1).

4. Tìm đạo hàm của Γ(α). HD: Chọn α0, α1 sao cho 0 < α0 ≤ α ≤ α1 .CM
|tα−1e−t ln t| ≤ g(t) với g là một hàm khả tích cần tìm.

19

CuuDuongThanCong.com

/>

Phương pháp lấy tích phân của chuỗi
Mệnh đề. Nếu
a) fn là các hàm đo được không âm trên (a,b) hay
b) nếu fn là các hàm đo được trên (a,b) thỏa
∞

b ∞

|fn (x)|dx < ∞
∞

fn (x)dx =

a n=1

n=1

xn
n!

an

∞
n=0
∞

(−1)n x2n+1
(2n + 1)!

th

ex =

fn (x)dx
a

co

Ghi nhớ. Một số khai triển thông dụng

b

.c
om

thì

a

ng

n=1

b

ng

sin x =

du
o

cos x =

cu

u

1
=
1+x

ln(1 + x) =

n=0
∞

n=0
∞
n=0
∞
n=1

(−1)n x2n
(2n)!
(−1)n xn
(−1)n+1 xn
n

(|x| < 1)
(|x| < 1).

BÀI TẬP
1. CM mệnh đề trên bằng cách đặt g(x) =

∞
k=1

|fk (x)|.

2. Viết dưới dạng chuỗi
(a)
(b)

1 ex −1
dx
0

x
1 sin x
dx
0 x

20

CuuDuongThanCong.com

/>

(c)

1 xp−1
dx.
0 1+xq

HD:

xp−1
1+xq

=

∞
n=0

xp−1 (x2n − x2n+1 )

6. Biến ngẫu nhiên

.c
om

Định nghóa. Trên không gian xác suất (Ω, M, P), ánh xạ đo được X : Ω →
Rk gọi là biến ngẫu nhiên.
Mệnh đề. Cho biến ngẫu nhiên X và tập Borel B ⊂ Rk , ta đặt PX (B) =
P(X ∈ B). Khi đó, PX là một độ đo xác suất trên Rk . Hơn nữa, với mọi hàm
Borel g : Rk → R sao cho g ◦ X ∈ L1 (P) thì
g(x)dPX (x).

ng

g(X(ω))dP(ω) =

B

Độ đo PX gọi là phân phối của X.

co

X∈B

du
o

ng

th

an

Bài tập. i) CM P X là một độ đo trên B(R).
ii) CM đẳng thức trong mệnh đề theo kỹ thuật 4D. Trước hết CM với
g = IB trong đó B ∈ B(Rk ). Muốn vậy, ta kiểm tra IB (X(ω)) = IX(ω)∈B .
iii) CM đẳng thức với g là hàm dơn đo được trên B ∈ B(Rk ).
iv) CM với g là hàm không âm đo được.
v) Sử dụng phân tích g = g + − g − để chứng minh cho trường hợp tổng
quát.

u

Định nghóa. Hàm FX (x) = P (X ≤ x) gọi là hàm phân phối tích lũy (cdf:
cumulative distributrion function) của X. Ta cũng quy ước dFX := dPX .

cu

Mệnh đề Cho biến ngẫu nhiên X : Ω → R. Hàm FX thỏa
a) 0 ≤ FX (x) ≤ 1 ∀x ∈ R,
b) FX không giảm, nghóa là FX (x) ≤ FX (y) khi x < y,
c) FX liên tục bên phải, nghóa là limt→x+ FX (t) = FX (x),
d) limx→−∞ FX (x) = 0, limx→+∞ FX (x) = 1
Bài tập. (i) CM a) bằng định nghóa.
(ii) Sử dụng tính chất tăng của độ đo (A ⊂ B và đo được thì P(A) ≤ P(B))
để CM b).
(iii) Sử dụng tính chất đơn điệu limn→∞ P(An ) = P(∩∞
n=1 An ) với mọi An
đo được, An+1 ⊂ An để CM c).
21

CuuDuongThanCong.com

/>

(iv) Sử dụng tính chất đơn điệu và tính chất P(Ac ) = 1 − P(A) để CM d).
Định nghóa. Biến ngẫu nhiên X : Ω → Rk gọi là biến ngẫu nhiên liên
tục nếu PX
mk , nghóa là với mọi tập Borel đo được B trong Rk thỏa
mk (B) = 0 thì PX (B) = 0.

P(X ∈ B) =

.c
om

Mệnh đề Nếu biến ngẫu nhiên X : Ω → Rk là biến ngẫu nhiên liên tục thì
tồn tại hàm khả tích Lebesgue fX : Rk → R (gọi là hàm mật độ của X) sao
cho fX (x) ≥ 0 và với mọi tập Borel B ∈ Rk ta có
fX (x)dmk (x).
B

co

ng

Mệnh đề Xét biến số ngẫu nhiên liên tục X : Ω → R. Khi đó
∞
a) fX (x) ≥ 0 vaø −∞ fX (x)dx = 1,
b

an

b) P (a ≤ X ≤ b) = a fX (x)dx
c) FX (x) = fX (x) tại mọi điểm liên tục x của fX .

ng

th

Định nghóa Biến ngẫu nhiên liên tục X : Ω → R gọi là có phân phối chuẩn
với trung bình µ và độ lệch chuẩn σ, ký hiệu là X ∼ N(µ, σ2 ), nếu
1
2πσ 2

e−

(x−µ)2
2σ 2

.

du
o

fX (x) = √

Nếu µ = 0, σ = 1 ta nói X có phân phối Gauss.

cu

u

Mệnh đề Nếu X ∼ N(µ, σ 2) thì ta có P(X > µ + a) = P(X < µ − a),
P(X < µ) = 0, 5. Ngoaøi ra biến ngẫu nhiên Z = X−µ
sẽ có phân phối Gauss.
σ
Định nghóa Cho biến ngẫu nhiên X : Ω → R có X(Ω) = {xj | j ∈ J } với
J ⊂ N. Ta nói X là biến ngẫu nhiên rời rạc. Hàm số fX (x) = P (X = x)
gọi là hàm mật độ của X.
Mệnh đề Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc lấy các giá trị xi , i ∈ I. Khi đó
pi := fX (xi ) ≥ 0 và i∈I pi = 1.
Phương pháp tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục bằng định
nghóa
Cho X có hàm mật độ fX . Ta tìm hàm mật độ của Y = h(X).
22

CuuDuongThanCong.com

/>

Bước 1: với mỗi y ∈ R ta tìm tập Ay = {x : h(x) ≤ y}
Bước 2: Tìm Fh(X)(y) = P (h(X) ≤ y) = Ay fX (x)dx
Bước 3: Tìm Fh(X) = fh(X)
BÀI TẬP
1. Cho X : Ω → R là biến ngẫu nhiên. CMR P(X = x) = F (x) − F (x − ).

3. Cho X ∼ N(µ, σ 2).
(b) Chứng tỏ

X−µ

σ

∼ N(0, 1),

ng

(a) Chứng tỏ cX + d ∼ N(cµ + d, c2 σ 2),

.c
om

2. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ fX . Tìm fcX+d theo
fX .

co

(c) Cho X ∼ N(3, 4), tính P(1 < X < 3),

an

(d) Cho X ∼ N(1, 9), tính a, b để P(X < a) = 0, 506, P(X > b) =
0, 198.

th

(e) Cho X ∼ N(20, 4; 3, 52 ). Tìm P(X < 18, 1), P(X > 17, 9), P(X <
18, 1|X > 17, 9). Tìm t để P(X < t) = 0, 444.

du
o

ng

(f) Cho X ∼ N(5, σ 2 ). Cho P(X < 3) = 0, 3. Tìm P(X ≥ 7),
P(X < 7), P(3 ≤ X < 7).

(g) Cho Y ∼ N(12, σ 2 ) vaø P(10 ≤ Y < 14) = 0, 6. Tìm P(Y ≥ 14),
P(Y < 10), P(12 ≤ Y < 14), P(Y < 14|Y > 12).

cu

u

(h) Cho X ∼ N(−5, σ 2). Cho P(X < −3) = 0, 8. Tìm P(X < 7),
P(−7 < X < −5).

4. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ fX . Tìm hàm mật độ
của Y = eX với
(a) fX (x) = e−x với x ≥ 0, fX (x) = 0 với x < 0.

(b) X ∼ N(0, 1).

(c) X ∼ N(µ, σ 2 ).

5. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ fX .
(a) Tìm fX 2 theo fX ,
23

CuuDuongThanCong.com

/>

(b) Tìm f X 2 nếu X ∼ N(0, 1),

(c) Cho X ∼ Uniform(−1, 3). Tìm f X 2

6. Cho X có hàm xác suất tích lũy FX .
(a) CM P (X = x) = F X (x) − FX (x− )

(b) Tìm F X + với X + = max{X, 0}.

.c
om

7. Một máy đóng gói bột mì đóng các bao có trọng lượng tuân theo phân
phối chuẩn có trung bình là 150 kg và độ lệch chuẩn là 0,5 kg. Chọn
ngẫu nhiên một bao, tìm xác suất để bao đó có trọng lượng a) < 149
kg; b) > 151,5 kg; c) nằm giữa 149 kg và 151 kg.

an

co

ng

8. Một nhà nông chở 850 bắp cải đi bán. Giả sử trọng lượng bắp cải là
một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 1,1 kg và độ
lệch chuẩn 150 g. Nếu nhà nông này lấy ngẫu nhiên một bắp cải thì
xác suất để nó có trọng lượng nằm giữa 1,2 kg đến 1,3 kg là bao nhiêu.
Ước lượng xem có bao nhiêu bắp cải có trọng lượng > 1,4 kg?

ng

th

9. Điểm số trong một kỳ thi tuân theo phân phối chuẩn có trung bình µ
và độ lệch chuẩn σ. Giả sử thang điểm là 100. Nếu 10% thí sinh đạt
trên 80 điểm và 20% thí sinh thấp hơn 45 điểm. Tìm µ, σ.

du
o

10. Khối lượng một gói rau bán tại một siêu thị rau sạch là biến ngẫu nhiên
có phân phối chuẩn với trung bình 550 g và độ lệch chuẩn 20 g.

u

(a) Chọn ngẫu nhiên một gói rau. Tìm xác suất để gói rau đó có
trọng lượng trong khoảng 500 g đến 600 g.

cu

(b) Trong một ngày có 1200 gói rau được bán. Tìm số rau mà trọng
lượng của nó > 540 g.
(c) Tại một siêu thị gần đó, 15% gói rau được bán có trọng lượng ít
nhất 600 g và không nhiều hơn 10% rau được bán có trọng lượng
< 540 g. Giả sử trọng lượng rau M của các gói rau của siêu thị
này tuân theo phân phối chuẩn. Tìm trung bình và độ lệch chuẩn
của M.

7. Véc-tơ ngẫu nhiên
24

CuuDuongThanCong.com

/>

Định nghóa. Cho biến ngẫu nhiên V = (X1 , ..., Xk ). Haøm FV (x1, ..., xk) =
P (X1 ≤ x1, ..., Xk ≤ xk ) gọi là hàm xác suất tích lũy của V.
Mệnh đề Ta có
a) 0 ≤ FV (x1 , ..., xk) ≤ 1 với mọi (x1, ..., xk ) ∈ Rk ,
FV (x1, ..., xk) = 0,

lim

xi →+∞,∀i

FV (x1, ..., xk) = 1.

.c
om

lim

xi →−∞,∀i

b) Neáu Xi là các biến ngẫu nhiên rời rạc, đặt fV (x1 , ..., xk) = P (X1 =
x1, ..., Xk = xk ), (x1, ..., xk) ∈ J thì (x1 ,...,xk )∈J fV (x1, ..., xk) = 1 vaø
FV (x1, ..., xk) =

fV (s1, ..., sk )

ng

s1 ≤x1 ,...,sk ≤xk

co

c) Nếu Xi là các biến ngẫu nhiên liên tục thì hàm mật độ fV (x1 , ..., xk) ≥ 0,
f dmk = 1,
Rk V
x1

xk

...

an

FV (x1, ..., xk ) =

−∞
∂ k fV
∂x1 ...∂xk

th

và fV =

fV (s1 , ..., sk )ds1 ...dsk

−∞

du
o

ng

Định nghóa. Các biến số ngẫu nhiên Xi : Ω → R, i = 1, ..., n, gọi là độc lập
nếu với mọi tập Borel đo được Bi ⊂ R, i = 1, ..., n họ các biến cố (X ∈ Bi ),
i = 1, ..., n là độc lập.

cu

u

Mệnh đề Cho các biến ngẫu nhiên (Xi )i=1,...,n độc lập và gi : R → R là các
hàm Borel thì g1 (X1 ), ..., gn(Xn ) độc lập.
Mệnh đề Họ các biến ngẫu nhiên (Xi )i=1,...,n là độc lập khi với mọi họ các
số nguyên 1 ≤ i1 < ... < ik ≤ n ta coù.
FXi1 ...Xik (xi1 , ..., xik ) = FXi1 (xi1 )...FXik (xik )
Trong đó FXi1 ...Xik là hàm xác suất tích lũy đồng thời của họ Xi1 , ..., Xik và
FXi là hàm xác suất tích lũy của Xi .
Mệnh đề. Chọ (Xi )i=1,...,n là các biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập. với mọi
họ các số nguyên 1 ≤ i1 < ... < ik ≤ n ta coù
fXi1 ...Xik (xi1 , ..., xik ) = fXi1 (xi1 )...fXik (xik )
25

CuuDuongThanCong.com

/>