Đề cương ôn tập môn độ đo xác suất đại học khoa học tự nhiên HCM 2018

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP 2018
Độ đo xác suất

.c
om

0. Xác suất cổ điển

an

co

ng

Định nghóa. (a) Phép thử ngẫu nhiên τ là một phép thử mà kết quả của mỗi
lần thử không thể biết chắc chắn.
(b) Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của mỗi lần thử τ gọi là một
không gian mẫu, thường được ký hiệu là Ω.
(c) Một tập con E ⊂ Ω gồm các kết quả ω được quan tâm thì gọi là một
biến cố. Tập hợp các biến cố ký hiệu là M (hay F , G,...). Khi thực hiện
phép thử τ ta nhận được một kết quả ω. Nếu ω ∈ E ta nói biến cố E xảy
ra. Nếu ω ∈ E ta nói biến cố E không xảy ra.
(d) Cho hai biến cố A, B ∈ M, ta có

th

1. Biến cố tổng A ∪ B: chỉ cho biến cố ít nhất một trong các biến cố A, B
xảy ra,

ng

2. Biến cố tích A ∩ B: chỉ cho biến cố cả hai biến cố A, B đều xảy ra,

du
o

3. Biến cố đối A: chỉ cho biến cố A không xảy ra,
4. Biến cố Ω: biến cố chắc chắn,

cu

u

5. Biến cố ∅: biến cố không bao giờ xảy ra.

Định nghóa. Xác suất của một biến cố A ∈ M là một con số P(A) xác định
khả năng xảy ra A. Xác suất của A thỏa các tính chất sau:
1. P(A) ≥ 0 với mọi biến cố A ∈ M,
2. Với A1, A2 , . . . ∈ M ta coù
P

∞

An

n=1

=

∞

P(An ),

n=1

3. P(Ω) = 1.
1

CuuDuongThanCong.com

/>

Định lý. (a) Cho A ∈ M ta có 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(∅) = 0.
(b) Neáu A1, . . . , An ∈ M, ta có
n

n

Aj

P

=

j=1

P(Aj ).
j=1

.c
om

Từ đó ta coù P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) với mọi A, B ∈ M.
(c) P(A) = 1 − P(A).

ng

Định nghóa. Cho hai biến cố A, B ∈ M. Ta định nghóa xác suất xảy ra của
A khi biết B xảy ra là
P(A ∩ B)
.
P(A|B) =
P(B)

an

co

Ta nói A, B là hai biến cố độc lập nếu khả năng xảy ra của biến cố A khi
B xảy ra bằng với khả năng xảy ra của biến cố A khi B không xảy ra. Ta
có thể suy ra hai biến cố độc lập khi và chỉ khi

th

P(A ∩ B) = P(A)P(B).

du
o

ng

Định lý (xác suất toàn phần) Cho một họ các biến cố B1 , . . . , Bn . Ta nói
họ biến cố này đầy đủ nếu Bi ∩ Bj = ∅ khi i = j vaø Ω = B1 ∪ . . . ∪ Bn . Khi
đó với mọi biến cố A ta có
n

P(A) =

P(Bi )P(A|Bi ).
j=1

cu

u

Định lý (công thức Bayes) Với các giả thiết của định lý trên ta có
P(Bk |A) =

P(Bk ∩ A)
=
P(A)

P(A|Bk )P(Bk )
P(Bi )P(A|Bi )

n
j=1

Bài tập
1. Một thí nghiệm bao gồm việc thực hiện 20 quan sát về chất lượng của
chip máy tính. Mỗi quan sát được ghi nhận là G hay D. Tìm không

gian mẫu S của thí nghiệm này. Có bao nhiêu biến cố sơ cấp trong S.
Đặt An , n = 0, . . . , 20 là biến cố có đúng n quan sát loại G được thực
hiện. Hỏi An có bao nhiêu phần tử.
2

CuuDuongThanCong.com

/>

2. Một thí nghiệm bao gồm 10 phép đo w1 , . . . , w1 0 trọng lượng của các
gói. Tấ cả các gói có trọng lượng từ 10 đến 20 Kg. Tì m không gian
mẫu S. Đặt A = {(w1, . . . , w10) : w1 + w2 = 25}, B = {(w1, . . . , w1 0) :
w1 + w2 ≤ 25}. Mô tả các biến cố bằng hình vẽ.

.c
om

3. Xét các chuỗi tín hiệu chiều dài 30 gồm các ký tự nhị phân 0.1. Mô
tả không gian mẫu. Cho A10 là biến cố mà 10 tín hiệu truyền đầu tiên
là 1. Tính số phần tử của A10. Cho B10 là biến cố truyền có đúng 10
tín hiệu là 1. Tìm số phần tử của B10.
4. Giả sử A1 , ..., An là một họ biến cố đầy đủ của S. CM B = ∪nj=1 B ∩ Aj
n
với mọi biến cố B. Từ đó suy ra P(B) = j=1 P(BAj ).

ng

5. Tìm công thức xác suất cho P(A ∩ B ∩ C).

co

6. Xét 1 xúc xắc cân bằng. Tung xúc xắc 2 lần. Tính xác suất để tổng
số nốt xuất hiên là 10.

th

an

7. Một khối tín hiệu 100 bit được truyền đi, xác suất của môt bit bị lỗi là
10−3 . Biết khả năng các bit bị lỗi là độc lập nhau. Tính xác suất để
khối tín hiệu đó có ít nhất 3 lỗi.

ng

8. CMR nếu A, B độc lập thì các cặp biến cố Ac , B hay Ac , B c cũng độc
lập.

cu

u

du
o

9. Một máy dùng để kiểm tra tình trạng lỗi của 1 món hàng (G là biến cố
tốt, D là biến cố lỗi). Gọi A là biến cố món hàng được xem là tốt sau
khi kiểm tra. Cho P(A|G) = 0, 95, P(A|D) = 0.1, P(G) = 0.99. Tìm
xác suất của D khi biết A.
10. Một cây que được bẻ ngẫu nhiên thành 3 khúc. Tính xác suất để 3
khúc đó tạo thành 1 tam giác.

11. Hai nhà sản xuất X,Y cung cấp tấm gốm để sản xuất vi mạch. Tỉ lệ
tấm gốm hỏng của nhà sản xuất X là 0.1. Tỉ lệ tấm gốm hỏng của nhà
sản xuất Y là 0.05. Một lô hàng tấm gốm được gửi đến, kiểm tra trực
tiếp 20 tấm thì thấy có 3 tấm bị hỏng. Dự đoán xem lô hàng này có
thể của nhà sản xuất X hay Y?
12. Một phép thử T vi khuẩn E-coli gọi là dương tính sai nếu trong mẫu
thử không có E. coli nhưng phép thử khẳng định có E. coli, âm tính sai
3

CuuDuongThanCong.com

/>

nếu trong mẫu thử có E. coli nhưng phép thử khẳng định không có E.
coli. Giả sử thử 10 000 mẫu thịt đã nhiễm E.coli thì phép thử báo có
9500 mẫu nhiễm; 10 000 mẫu không nhiễm E.coli thì phép thử báo có
9900 mẫu không nhiễm.

.c
om

(a) Độ nhạy (sentivity) của phép thử T là tỉ lệ dương tính đúng, độ
đặc hiệu (specificity) của phép thử T là tỉ lệ âm tính sai. Tìm độ
nhạy và độ đặc hiêu của phép thử E.coli.
(b) Cho một số mẫu thịt biết có tỉ lệ nhiễm E. coli thực sự là 4.5%.
Hỏi nếu chỉ dùng phép thử T ta có thể khẳng dịnh bao nhiêu %
thịt thực sự bị nhiễm.

th

an

co

ng

13. Một câu lạc bộ sách phân loại thành viên thành 3 loại: đọc nhiều, đọc
vừa và đọc ít và tách các thông báo gửi cho ba nhóm khác nhau. Theo
thống kê, có 20% thành viên là loại đọc nhiều; 30% đọc vừa và 50%
đọc ít. Một thành viên chỉ được phân loại vào các nhóm sau 18 tháng
gia nhập câu lạc bộ, tuy nhiên số liệu mua sách của 3 tháng đầu được
dùng để phân loại. Bảng sau cho biết tỉ lệ phần trăm sách mà các
thành viên đã được phân loại mua trong các tháng 0,1,2 và từ 3 tháng
trở lên

du
o

ng

Thời gian Nhóm (%)
0
5
15 60
1
10 30 20
2
30 40 15
+
3

55 15
5

cu

u

Nếu một thành viên chưa mua sách trong 3 tháng đầu thì khả năng
thành viên này nằm trong nhóm đọc ít là bao nhiêu?

14. Một công ty cho vay tài chính có tỉ lệ khách hàng không hoàn thành
trả nợï là 1%. Công ty kiểm tra về tín dụng của các khách hàng. Với
khách hàng không hoàn thành trả nơ công t phát hiện 30% có rủi ro
tín dụng thấp, 40% rủi ro vừa, 30% rủi ro cao. Với khách hàng hoàn
thành trả nơ công t phát hiện 10% có rủi ro tín dụng thấp, 40% rủi ro
vừa, 50% rủi ro cao. Tìm xác suất để một khách hàng rủi ro thấp hoàn
thành trả nợ.

1. Độ đo
4

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
om

Định nghóa. Cho M là một họ các tập con của tập X. Ta nói M là một
σ-đại số nếu M thỏa

a) X ∈ M,
b) Nếu A ∈ M thì Ac ∈ M
c) Neáu An ∈ M n = 1, 2, ... thì ∪∞
n=1 An ∈ M.
Khi đó (X, M) gọi là một không gian đo được và phần tử của M gọi là
các tập đo được.

ng

Hệ quả. Cho (X, M) là một không gian đo được. Ta có
a) ∅ ∈ M,
b) Neáu An ∈ M n = 1, 2, ... thì ∩∞
n=1 An ∈ M.

Ai =
i∈I

i∈I

(A \ Ai ), A \

Ai =

i∈I

i∈I

(A \ Ai ).

an

A\

co

Bài tập. Chứng minh hệ quả bằng cách sử dụng luật De Morgan

du
o

ng

th

Mệnh đề. a) Nếu Mi (i ∈ I) là một họ các σ-đại số trên X thì ∩i∈I Mi là
một σ-đại số. Cho F ⊂ P(X).
b) Đặt σ(F ) = {A : A ∈ M, ∀F ⊂ M}. Khi đó, σ(F ) là sigma-đại số
nhỏ nhất chứa F , nghóa là cho sigma-đại số M,
F ⊂ M ⇒ σ(F ) ⊂ M.

cu

u

Ta nói σ(F ) là σ-đại số sinh ra bởi F .
Bài tập. a) Chứng minh ba tính chất của σ-đại số. b) CM tính nhỏ nhất của
σ(F ).
Định nghóa. Cho τ là họ các tập mở của Rn . Khi đó σ-đại số nhỏ nhất trên
Rn chứa τ gọi là σ-đại số Borel và ký hiệu là B(Rn ). Các phần tử của B(Rn )
gọi là các tập Borel. Các tập Borel thông thường là các tập mở trong Rn , các

tập đóng trong Rn , giao đếm được các tập mở, hội đếm được các tập đóng.
Định nghóa. Cho (X, M) là một không gian đo được. Một ánh xạ µ : M →
[0, ∞] gọi là một độ đo (dương) nếu
a) Tồn tại A ∈ M sao cho µ(A) < ∞,
5

CuuDuongThanCong.com

/>

b) Neáu An ∈ M, n = 1, 2, ... và Ai ∩ Aj = ∅ (i = j) thì
∞

µ

An

=

n=1

∞

µ(An ).

n=1

Khi đó (X, M, µ) gọi là một không gian đo. Nếu µ(X) = 1 thì µ gọi là một
độ đo xác suất và (X, M, µ) gọi là một không gian xác suất.

F+ (b) − F− (a),
F− (b) − F+ (a),
F− (b) − F− (a),
F+ (b) − F+ (a),

ng

=
=
=
=

co

µF ([a, b])
µF ((a, b))
µF ([a, b))
µF ((a, b])

.c
om

Mệnh đề. Với mỗi hàm tăng F : R → R tồn tại một độ đo ký hiệu µF , gọi là
độ đo Stieljes, xác định trên σ-đại số Borel B(R) sao cho với mọi a < b ta có

an

trong đó F+ (x) = limt→x+ F (t) vaø F− (x) = limt→x− F (t).

ng

th

Định nghóa. Nếu chọn F (x) = x thì µF được gọi là độ đo Lebesgue trên R
và ký hiệu là m hay m1. Với độ đo Lebesgue, ta có m({a}) = 0, m((a, b)) =
m([a, b)) = m((a, b]) = m([a, b]) = b − a với a, b ∈ R, a < b.

cu

u

du
o

Định lý. Cho (X, M, µ) là một không gian đo. Ta có
a) µ(∅) = 0,
b) Neáu An ∈ M, n = 1, 2, ..., m và Ai ∩ Aj = ∅ (i = j) thì
m

µ

m

An

=

n=1

µ(An ).

n=1

c) Nếu A, B ∈ M và A ⊂ B thì µ(A) ≤ µ(B).
d) Nếu An ∈ M và An ⊂ An+1 , , n = 1, 2, ... thì
lim µ(An ) = µ

n→∞

∞

An

n=1

e) Neáu An ∈ M, An+1 ⊂ An , và µ(A1 ) < ∞, n = 1, 2, ... thì
lim µ(An ) = µ

n→∞

∞

An

n=1

6

CuuDuongThanCong.com

/>

f) Neáu An ∈ M, n = 1, 2, ... thì
µ

∞

An

n=1

≤

∞

µ(An ).

n=1

ng

.c
om

Bài tập CM tính chất d) theo các bước sau
i) Đặt B1 = A1 , Bn = An \ An−1 , n = 2, 3, ... CM B i ∩ Bj = ∅ khi i = j.
ii) CM A n = ∪ni=1 Bi .
iii) CM A = ∪ ∞
i=1 Bi .
iv) Tính µ(A n ) và µ(A) theo µ(Bi ).
v) Suy ra đpcm.

BÀI TẬP

co

1. Cho X = {a}. Hỏi P(X) là gì? Tương tự với X = {a, b}, X = {a, b, c}.
Liệt kê các σ−đại số trên X.

ng

th

an

2. Cho X = {a, b, c}. Đặt F = {A}. Hỏi (i) F có là σ−đại số không?
(ii) Nếu M là một σ-đại số trên X và M ⊃ F thì M chứa các tập
con nào? (iii) σ-đại số nhỏ nhất σ(F ) là gì? (iv) Chỉ ra các tập hợp đo
được, các tập hợp không đo được theo σ(F ).

du
o

3. Bài tương tự với X = {a, b, c} vaø F = {{a, b}}, F = {{a, b}, {a}},
F = {{a, b}, {c}}.
4. Bài tương tự với X = {a, b, c, d}, B = {a, b}. Đặt F = {B}.

cu

u

5. Trên R, tìm σ(F ) với F = {[0, 1], (2, 4)}. Tập hợp [0, 3] có σ(F )-đo

được không? Tương tự, cho tập X và các tập hợp A1, ..., An ⊂ X,
Ai ∩ Aj = ∅ với i = j. Mô tả σ(F ) với F = {A1, ..., An}.
6. Cho a, b ∈ R, a < b. CMR các tập hợp (a, ∞), [a, ∞), (−∞, b], (−∞, b),
[a, b), (a, b], [a, b], (a, b) là các tập Borel. Tập hợp {a} với a ∈ R có phải
là tập Borel không?
7. Cho a, b ∈ R, a < b. Cho F 0 = {(a, ∞) : a ∈ R}.
(a) CMR σ(F 0) ⊂ B(R).

7

CuuDuongThanCong.com

/>

(b) Cho M là một σ-đại số trên R và giả sử (a, ∞) ∈ M với mọi a ∈
1
R. Sử dụng đẳng thức [a, ∞) = ∞
n=1 a − n , ∞ CMR [a, ∞) ∈
M . Suy ra (−∞, b), (−∞, b], (a, b), [a, b), (a, b] là các tập hợp
trong M. Từ đó suy ra σ(F0) cũng có tính chất như M.

(d) Sử dụng điều trên CMR σ(F 0) = B(R).

.c
om

(c) Cho tập hợp U mở trong R. Lý thuyết tập hợp cho biết: tập hợp
các khoảng I := (a, b) ⊂ U (với a, b ∈ Q) là đếm được, do đó, ta
có thể viết các khoảng này dưới dạng dãy (In ), n = 1, 2, ... CMR
U= ∞

n=1 In . Từ đó suy ra U ∈ σ(F0 ) với mọi tập mở U ⊂ R.

(e) Tìm các họ tập hợp F khác thỏa σ(F ) = B(R) .

co

ng

2. Hàm đo được

là một σ-đại số trên Y .

th

an

Mệnh đề. Cho (X, M) là một không gian đo được và f : X → Y . Khi đó
tập
Nf = {W ⊂ Y : f −1 (W ) ∈ M}

du
o

ng

Định nghóa.
Cho (X, M), (Y, N ) là hai không gian đo được. Ánh xạ
f : X → Y gọi làđo được nếu f −1 (W ) ∈ M với mọi W ∈ N . Nếu
(X, M) = (Rn , B(Rn)), (Y, N ) = (Rk , B(Rk )) thì f được gọi là Borel đo
được hay gọi vắn tắt là hàm Borel.

cu

u

Định lý. Cho (X, M), (Rk , B(Rk )) là không gian đo được. Ánh xạ f : X → Rk
là đo được nếu và chỉ nếu f −1 (U) ∈ M với mọi U là tập mở trong Rn .
Bài tập CM Định lý theo các bước sau:
i) Đặt Nf = {W ⊂ Rk : f −1 (W ) ∈ M}. CM N f là một σ-đại số trong
Rk .
ii) CM B(R k ) ⊂ Nf .
Hệ quả. Mọi ánh xạ liên tục f : Rn → Rk đều là một hàm Borel đo được.
Bài tập. Sử dụng tính chất ảnh ngược liên tục của một tập mở là một tập
mở và tính chất nếu F ⊂ σ−đại số M thì σ(F ) ⊂ M để chứng minh mệnh
8

CuuDuongThanCong.com

/>

đề.
Mệnh đề a) Nếu X,Y,Z là các không gian đo được và f : X → Y , g : Y → Z
là đo được thì g ◦ f là đo được.
b) Nếu X là không gian đo được, f : X → Rn đo được và g : Rn → Rk đo
được Borel thì g ◦ f là đo được.

.c
om

Bài tập. a) Chứng minh tính chất (g ◦ f) −1 (A) = f −1 (g −1 (A)) với A ⊂ Z.

b) CM mệnh đề.

an

co

ng

Mệnh đề. Hàm f : X → [−∞, ∞] đo được nếu và chỉ nếu một trong các
điều sau là đúng với mọi a ∈ R
a) (f ≥ a) := f −1 ([a, ∞]) đo được.
b) (f > a) := f −1 ((a, ∞]) đo được.
c) (f ≤ a) := f −1 ([−∞, a]) đo được.
d) (f < a) := f −1 ([−∞, a)) đo được.
e) (f ∈ (a, b)) := f −1 ((a, b)) ño được với mọi a < b.
f) (f ∈ V ) := f −1 (V ) đo được với mọi tập mở V ⊂ R.

cu

u

du
o

ng

th

Bài tập. Cm mệnh đề trên theo các bước sau
1

i) CM (f > a) = ∪ ∞
n=1 f ≥ a + n . Từ đó CM a) ⇒ b).
ii) CM b) ⇒ c).
1
iii) CM (f < a) = ∪ ∞
n=1 f ≤ a − n . Từ ñoù CM c) ⇒ d).
iv) CM (f ∈ [a, b)) = (f < b) \ (f < a). Từ đó CM (f ∈ [a, b)) đo được.
CM a + δ n < b với δn = b−a
và (f ∈ (a, b)) = ∪∞
n=1 (f ∈ [a + δn , b). Từ đó
2n
CM d) ⇒ e).
v) Sử dụng tính chất: mọi tập mở V trong R đều có thể viết dưới daïng
V = ∪∞
n=1 (an , bn ), an < bn , CM e) ⇒ f).
Mệnh đề. Cho u, v : X → R là các hàm số đo được và Φ : R2 → R liên tục
thì h : X → R với h(x) = Φ(u(x), v(x)) là một ánh xạ đo được.
Mệnh đề. Cho dãy hàm fn : X → [−∞, ∞] đo được thì sup fn , inf fn ,
lim sup fn , lim inf fn là đo được.
Bài tập. Đặt g(x) = supn fn (x), h(x) = inf n fn (x). CM
∞
(g > a) = ∪∞
n=1 (fn > a), (h < a) = ∪n=1 (fn < a).

9

CuuDuongThanCong.com

/>

Từ đó CM mệnh đề.
Định nghóa Cho H là một tập hợp, A ⊂ H. Khi đó ta định nghóa
IA (x) =
Hàm này còn được ký hiệu là χA .

1 (x ∈ A)
0 (x ∈ H \ A)

.c
om

Mệnh đề Cho X là không gian đo được, A ⊂ X. Khi đó IA đo được khi và
chỉ khi A đo được.

ng

Bài tập. CM mệnh đề trên bằng cách tìm I−1
A (V ) với V mở. Xét các trường
hợp a) 1 ∈ V, 0 ∈ V ; b) 1 ∈ V, 0 ∈ V ; c) 1 ∈ V, 0 ∈ V ; d) 1 ∈ V, 0 ∈ V .

co

Định nghóa Cho X là không gian đo được. Cho s : X → R. Hàm s gọi là
hàm đơn nếu s(X) chỉ có hữu hạn giá trị.

ng

th

an

Mệnh đề. Cho hàm s : X → R coù s(X) = {α1 , ..., αn} với αi = αj với i = j.
Đặt Ai = s−1 (αi ), ta coù
a) Ai ∩ Aj = ∅ với i = t và ni=1 Ai = X.
b) s = ni=1 αi IAi ,
n
c) với mọi g : R → R ta coù g(s(x)) = i=1 g(αi )IAi
d) hàm s đo được khi và chỉ khi Ai đo được với mọi i = 1, 2, ...

du
o

Bài tập. Chứng minh mệnh đề trên.

cu

u

Định lý. Với mọi hàm đo được f : X → [0, ∞] tồn tại các hàm đơn đo được
không âm sn trên X sao cho
a) 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ ... ≤ f,
b) sn (x) → f(x) khi n → ∞ với mọi x ∈ X.
Bài tập. i) Ký hiệu [α] là số nguyên lớn nhất không vượt quá α ∈ R. CM
α − 1 ≤ [α] ≤ α và nếu α ≤ β thì [α] ≤ [β].
n
ii) Đặt ϕn (t) = [22nt] (0 ≤ t ≤ n) và ϕn (t) = n với t > n. CM t − 2−n ≤
ϕn (t) ≤ t với mọi 0 ≤ t ≤ n. Từ đó suy ra limn→∞ ϕn (t) = t.
iii) CM ϕ n (t) ≤ ϕn+1 (t).
iv) CM
n2n −1

k
ϕn (t) =
I k k+1 (t) + nI[n,∞) (t).
2n [ 2n , 2n )
k=0

10

CuuDuongThanCong.com

/>

v) Đặt sn (x) = ϕn (f(x)). CM (s n ) thỏa định lý.
BÀI TẬP
1. Sử dụng tính chất (D): Hàm f : X → [−∞, ∞] đo được khi và chỉ khi
f −1 ((a, ∞]) đo được với mọi a ∈ R CMR hàm f(x) = 2x là đo được
Borel trên R. Có cách chứng minh nào khác không?

3. Bài tập tương tự với

ng

(a) f(x) = x−2 (x = 0) vaø f(0) = +∞.

.c
om

2. Cho f(x) = x2 . Hỏi f có đo được Borel hay không? hãy kiểm tra trực
tiếp bằng tính chất (D).

(b) f(x) = x−4 (x = 0) vaø f(0) = −∞.

co

(c) f(x) = x−1 (x = 0) và f(0) = 1.

th

an

3. Tích phân Lebesgue của hàm không âm

du
o

ng

Định nghóa. Cho không gian đo (X, M, µ), E ∈ M. Cho hàm đơn đo được
s : X → R, s(X) = {α1 , ..., αn} với αi ≥ 0 (i = 1, ..., n). Ta định nghóa
n

s(x)dµ(x) =

E

i=1

αi µ(Ai ∩ E)

cu

u

trong đó Ai = (s = αi ) := s−1 (αi ). Neáu f : X → R đo được, ta định nghóa
f(x)dµ(x) = sup
E

0≤s≤f

s(x)dµ(x)
E

trong đó s là các hàm đơn đo được.
Mệnh đề. Cho không gian đo (X, M, µ), A, B, E ∈ M, f, g : X → R là các
hàm đo được.
a) nếu 0 ≤ f ≤ g thì E fdµ ≤ E gdµ.
b) nếu A ⊂ B và f ≥ 0 thì A fdµ ≤ B fdµ.
c) nếu f ≥ 0 và 0 ≤ c < ∞ thì E cfdµ = c E fdµ.
d) nếu f ≥ 0 thì E fdµ = X fIE dµ.
11

CuuDuongThanCong.com

/>

e) nếu f(x) = c ≥ 0 với mọi x ∈ E thì
f) nếu µ(E) = 0, f ≥ 0 thì E fdµ = 0

E

f(x)dµ = cµ(E).

co

ng

.c
om

Bài tập. Chứng minh mệnh đề theo các hướng dẫn sau
a) Lấy s đơn, đo được và 0 ≤ s ≤ f. CM E s(x)dµ ≤ E g(x)dµ. Từ đó
suy ra đpcm.
b) Lấy s đơn, đo được và 0 ≤ s ≤ f. CM A s(x)dµ ≤ B s(x)dµ. Từ đó
cm mệnh đề.
c) Lấy s ≥ 0 đơn, đo được. CM c E s(x)dµ = E cs(x)dµ. Suy ra: nếu
0 ≤ s ≤ f thì c E s(x)dµ ≤ E cf(x)dµ. Từ đó CM c E f(x)dµ ≤ E cf(x)dµ
và suy ra E cf(x)dµ ≤ c E f(x)dµ.
d) Lấy s ≥ 0 đơn, đo được. CM E s(x)dµ = X s(x)IE (x)dµ. Từ đó suy
ra nếu 0 ≤ s ≤ f thì E s(x)dµ ≤ X f(x)IE (x)dµ. Mặt khác, nếu s đơn và
0 ≤ s ≤ fIE thì X s (x)dµ ≤ E f(x)dµ. Từ đó suy ra đpcm.
e) Áp dụng câu d).
f) Lấy s đơn, đo được và 0 ≤ s ≤ f. CM E s(x)dµ = 0. Suy ra f).

ng

th

an

Mệnh đề. Cho s,t là hai hàm đơn đo được không âm trên (X, M, µ), E ∈ M.

Ta có
a) Hàm ϕ : M → [0, ∞) xác định bởi

du
o

là một độ đo dương trên M.
b) E (s + t)dµ = E sdµ +

φ(E) =

sdµ
E

E

tdµ.

cu

u

Bài tập. a) Giả sử s = ni=1 αi IAi với s(X) = {α1 , ..., αn} và Ai = s−1 (αi ).
Viết biểu thức của φ(E). Từ đó CM các tính chất của độ đo.
k
b) Giả sử thêm t = i=1 βi IBj với t(X) = {β1, ..., βk} vaø Bj = t−1 (βj ).
CM E∩Ai ∩Bj (s + t)dµ = E∩Ai ∩Bj sdµ + E∩Ai ∩Bj tdµ. Từ đó suy ra mệnh đề.
Định lý hội tụ đơn điệu. Cho không gian đo (X, M, µ), E ∈ M. Cho (f n )
là dãy các hàm đo được trên X sao cho
a) 0 ≤ fn (x) ≤ fn+1 (x) với mọi n ≥ n0

b) fn (x) → f(x) khi n → ∞ với mọi x ∈ X
Khi đó f là hàm đo được không âm và
lim

n→∞

fn dµ =
E

lim fn dµ =

E n→∞

fdµ
E

12

CuuDuongThanCong.com

/>

ho

.c
om

Bài tập. Chứng minh định lý hội tụ đơn điệu theo các câu sau:
a) CM L = limn→∞ E fn dµ tồn tại và L ≤ E fdµ.
b) Cho c ∈ (0, 1), s là hàm đơn đo được thỏa 0 ≤ s ≤ f. Đặt An = {x ∈

X : fn (x) ≥ cs(x)}. CM A n ⊂ An+1 và X = ∞
n=1 An .
c) CM c E∩An sdµ ≤ E fn dµ.
d) CM limn→∞ E∩An sdµ = E sdµ.
e) suy ra E sdµ ≤ L. Từ đó E fdµ ≤ L.

(g + h)dµ =

ng

Mệnh đề. Cho fn , g, h : X → [0, ∞] là các hàm đo được không âm trên
(X, M, µ). Ta có
gdµ +
X
∞

fn dµ =

n=1

fn dµ.
X

th

X n=1

∞

an

và

hdµ

X

co

X

du
o

ng

Bài tập. Chọn hai dãy hàm đơn đo được sn , tn thỏa 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ ...,
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ... vaø limn→∞ sn = g, limn→∞ tn = h. Dùng định lý hội tụ đơn
điệu để CM mệnh đề.

cu

u

Bổ đề Fatou. Cho f n : X → [0, ∞] là các hàm đo được không âm. Khi đó
lim inf
n→∞

X

fn dµ ≥

lim inf fn dµ.
X

X

Bài tập. Đặt gn (x) = inf k≥n fk (x).
a) CM gn ≤ gn+1 .
b) CM X gn dµ ≤ X fn dµ.
c) Sử dụng định lý hội tụ đơn điệu suy ra kết quả.
Mệnh đề. Cho f : X → [0, ∞] là hàm đo được, Với E ∈ M, đặt
ϕ(E) =

fdµ.
E

13

CuuDuongThanCong.com

/>

Khi đó ϕ là một độ đo dương trên M. Hơn nữa
gdϕ =

gfdµ

X

X

với mọi hàm đo được không âm g : X → [0, ∞].

.c
om

Lưu ý Để chứng minh một số tính chất của tích phân Lebesgue đúng với mọi
hàm f chúng ta có thể dùng kỹ thuật 4D: 1) CM cho hàm đặc trưng, 2) CM
cho hàm đơn đo được, 3) CM cho hàm dương đo được, 4) CM cho hàm đo
được có dấu bất kỳ.

th

an

co

ng

Bài tập. Lấy Ai , i = 1, 2, ... là các tập đo được rời nhau trên X.
a) Sử dụng tính chất ISni=1 Ai = ni=1 IAi , CM ϕ( ni=1 Ai ) = ni=1 ϕ(Ai ).
b) Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu suy ra tính chất cộng tính đếm được
của ϕ.
c) CM công thức X gdϕ = X gfdµ đúng nếu g là hàm đơn, đo được
không âm.
d) Với hàm g ≥ 0, chọn dãy sn các hàm đơn đo được thỏa 0 ≤ s1 ≤ s2 ...
và limn→∞ sn = g. Sử dụng định lý hội tụ đơn điệu CM công thức X gdϕ =
gfdµ.
X

du
o

ng

Định nghóa. Cho (X, M) là một không gian đo được. Độ đo λ : M → [0, ∞]
gọi là liên tục tuyệt đối so với độ đo µ : M → [0, ∞] nếu với mọi E ∈ M
và µ(E) = 0 thì λ(E) = 0. Ta ký hiệu λ
µ.

cu

u

Định lý Radon-Nikodym Cho (X, M, µ là một không gian đo. Giả sử µ là
σ-hữu hạn, nghóa là tồn tại Ei ∈ M với µ(Ei ) < ∞ vaø X = ∞
n=1 Ei . Nếu λ
là một độ đo dương trên M thỏa λ
µ thì tồn tại một hàm đo được không
âm h sao cho
λ(E) =
hdµ
E

với mọi E ∈ M. Ta nói h là đạo hàm Radon-Nikodym của λ đối với µ và ký
hiệu h = dλ
hay hdµ = dλ.
dµ
BÀI TẬP

1. Tìm độ đo Lebesgue của các tập hợp sau: (0, 3), [−3, 4), (−1, 5)∪(8, 9],
∞
−n
].
n=1 (n, n + 2
14

CuuDuongThanCong.com

/>

2. Cho hàm s(x) = 2I(0,2] + 3I[3,6). a) Tìm s(R), b) vẽ đồ thị hàm số, c)
Tính E s(x)dm(x) với E = (1, 4), E = [2, 5), E = [1, 3] , d) Cho biết
ý nghóa hình học của tích phân này.
3. Bài tương tự với s = 2I(−3,1] + 4I[2,4]. E = (−2, 3), E = [−2, 2],
E = [1, 3].

.c
om

4. Bài tương tự với s = I(−3,0] +4I[−1,4] .E = (−2, 3), E = [−2, 2], E = [1, 3].
5. Bài tương tự với s = I(−3,4] +4I[−1,2] .E = (−2, 3), E = [−2, 2], E = [1, 3].

ng

4. Tích phân Lebesgue của hàm tổng quát

co

Định nghóa. Cho không gian đo được (X, M, µ) và cho f : X → [−∞, ∞]

là đo được. Ta nói f khả tích Lebesgue với độ đo µ nếu
|f(x)|dµ(x) < ∞.

an

X

th

Ta ký hiệu tập các hàm khả tích Lebesgue là L1 (X, M, µ) hay vắn tắt L1 (µ).

du
o

ng

Hệ quả. Cho f, g đo được trong (X, M, µ). Nếu g khả tích và |f(x)| ≤ g(x)
với mọi x ∈ X thì f khả tích.
Bài tập. Chứng minh tính chất này.

cu

u

Định nghóa. Nếu f ∈ L1 (µ), ta định nghóa
fdµ =
E

E

f + dµ −

f − dµ
E

với mọi E ∈ M. Trong đó f + := max{f, 0}, f − = max{−f, 0}.
Bài tập. Chứng minh các đẳng thức
a) f(x) = f + (x) − f − (x), |f(x)| = f + (x) + f − (x).
b) (−f(x))+ = f − (x), (−f(x))− = f + (x).
c) Neáu c > 0 thì (cf(x))+ = cf + (x), (cf(x))− = cf − (x).
d) Nếu c < 0 thì (cf(x))+ = −cf − (x), (cf(x))− = −cf + (x).
Định lý. Cho f, g ∈ L1 (µ). Khi đó
15

CuuDuongThanCong.com

/>

a) αf + βg ∈ L1(µ) và
(αf + βg)dµ = α

+β

X

X

b) nếu f ≤ g thì X fdµ ≤
c) X fdµ ≤ X |f|dµ.

X

gdµ.
X

gdµ.

.c
om

Bài tập. i) Đặt h = f + g. CM h + + f − + g − = h− + f + + g + .
ii) CM X (f + g)dµ = X fdµ + X gdµ.
iii) Cho c ∈ R. CM X cfdµ = c X fdµ.
iv) CM b), c).

an

Bài tập. Chứng minh mệnh đề trên.

co

ng

Mệnh đề. a) Nếu f đo được, g ∈ L1 (µ) và |f| ≤ g thì f ∈ L1 (µ).
b) Nếu f, g ∈ L1(µ) và f ≤ g thì X fdµ ≤ X gdµ.
c) Nếu f ∈ L1 (µ) thì |f| ∈ L1 (µ) và X fdµ ≤ X |f|dµ.

du
o

ng

th

Định lý hội tụ bị chận của Lebesgue. Cho g, (f n ) là đo được trên (X, M, µ)
sao cho
a) |fn (x)| ≤ g(x) với mọi x ∈ X, n = 1, 2, ...
b) g khả tích,
c) f(x) = limn→∞ fn (x) tồn tại với mọi x ∈ X.
Khi đó f ∈ L1 (µ) và
lim

fn dµ =
X

lim fn dµ.

X n→∞

u

n→∞

cu

Bài tập. Chứng minh định lý hội tụ bị chặn theo các câu sau
i) Đặt Fn (x) = 2g(x) − |fn (x) − f(x)|. CM F n (x) ≥ 0 với mọi x ∈ X.
ii) Tìm lim inf n Fn (x).
iii) Cho dãy số thực (αn ) và c ∈ R. CM
lim inf (c + αn ) = c + lim inf αn , lim inf (−αn ) = − lim sup αn .

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

iv) Dùng iii) để biến đổi lim inf n X Fn (x)dµ(x).
v) CM limn→∞ X |fn (x) − f(x)|dµ(x) = 0 rồi suy ra định lý.

5. Tập có độ đo không
16

CuuDuongThanCong.com

/>

Mệnh đề. Cho không gian đo (X, M, µ).
a) Nếu A, B ∈ M, A ⊂ B và µ(B) = 0 thì µ(A) = 0.
b) Nếu An ∈ M và µ(An ) = 0, n = 1, 2, ..., thì µ ( ∞
n=1 An ) = 0.

.c
om

Định nghóa. Cho (X, M, µ). Ta nói độ đo µ là đầy đủ nếu với mọi A ∈ M,
µ(A) = 0 và cho B ⊂ A thì B ∈ M. Trong trường hợp này, σ-đại số M
cũng gọi là đầy đủ.

ng

Mệnh đề. Cho (X, M, µ). Gọi M∗ là họ các tập E ⊂ X sao cho tồn tại
các tập A, B ∈ M sao cho A ⊂ E ⊂ B và µ(B \ A) = 0. Khi đó đặt
µ∗ (E) = µ(A). Ta được M∗ là một σ-đại số đầy đủ trên X và µ∗ là một độ
đo đầy đủ trên M∗ .

ng

th

an

co

Bài tập. Chứng minh mệnh đề trên theo các bước sau
i) Giả sử A ⊂ E ⊂ B và µ(B \ A) = 0, A1 ⊂ E ⊂ B1 vaø µ(B1 \ A1 ) = 0
với A, A1, B, B1 ∈ M. CM µ(A) = µ(A 1 ). Từ đó suy ra định nghóa của µ∗
hoàn toàn xác định.
ii) CM M ∗ là một σ-đại số.
iii) CM µ ∗ là một độ đo.
iv) CM tính đầy đủ của (X, M∗ , µ∗ ).

du
o

Định nghóa. Cho tập (X, M, µ), cho E ∈ M thỏa µ(E c ) = 0. Hàm f : E →
Rk gọi là đo được hầu hết trên X nếu f −1 (V ) ∩ E ∈ M với mọi V mở trong
Rk .

cu

u

Định nghóa. Trên (X, M, µ), xét hàm mệnh đề P (x), x ∈ X. Ta nói P
đúng hầu hết trên E ∈ M nếu tồn tại một tập hợp A ∈ M, µ(A) = 0 sao
cho P (x) đúng trên E \ A. Ta viết P đúng hầu hết khắp nơi (hkn hay a.e.)
trên E. Nếu µ là độ đo xác suất, ta còn nói P đúng hầu chắc chắn (hcc hay
a.s.) trên E .
Bài tập. Cho (X, M, µ). Cho f, g, f n , gn : X → R.
i) Neáu f1 = g1 , f2 = g2 hkn thì f1 ± f2 = g1 ± g2 , f1 f2 = g1 g2 hkn.
ii) Nếu fn = gn hkn với mọi n = 1, 2, ... và nếu limn→∞ fn = f hkn,
limn→∞ gn = g thì f = g hkn.
iii) Nếu tồn tại M > 0 sao cho |f(x)| ≤ M hkn thì ta nói f bị chặn hkn.
CMR nếu f, g bị chặn hkn thì f ± g, fg bị chaën hkn.
17

CuuDuongThanCong.com

/>

iv) Nếu f bị chặn hkn. Đặt f ∞ = inf{M : |f(x)| ≤ M hkn}. CM
|f(x)| ≤ f ∞ hkn.
v) Nếu f, g bị chặn hkn thì f + g ∞ ≤ f ∞ + g ∞ .

X

co

thì |f| = f hay |f| = −f h.h. trên X.

|f|dµ

ng

fdµ =
X

.c
om

Mệnh đề. Trên (X, M, µ) cho E ∈ M.
a) Nếu f, g : X → [0, ∞] đo được và f = g h.h. thì E fdµ = E gdµ.
b) Nếu f, g : X → [−∞, ∞], f khả tích và f = g h.h. thì g khả tích và
fdµ
= E gdµ.
E
c) Nếu f : X → [0, ∞] đo được và E fdµ = 0 thì f=0 h.h. trên E.
d) Cho f khả tích. Nếu E fdµ = 0 với mọi E ∈ M thì f = 0 h.h.
e) Cho f khả tích. Nếu

du
o

ng

th

an

Bài tập Chứng minh mệnh đề trên
i) CM a) bằng cách CM X f(x)dµ = Ac f(x)dµ.
ii) Theo giả thiết, tồn tại A ∈ M, µ(A) = 0, sao cho f(x) = g(x) với mọi
x ∈ Ac . CM X f + (x)dµ = Ac f(x)dµ. Từ đó suy ra đpcm.
iii) CM c). Đặt E n = {x ∈ X : f(x) ≥ n1 }, E = {x ∈ X : f(x) > 0}. CM
µ(En ) = 0 và E = ∞
n=1 En . Từ đó suy ra c).
iv) CM d). Đặt E = {x ∈ X : f(x) > 0}. CM X f + (x)dµ = E f(x)dµ.
Từ đó suy ra f + = 0 hkn. CM f − = 0 hkn. Từ đó suy ra f = 0 hkn.

u

Định lý. Các định lý hội tụ đơn điệu, bổ đề Fatou, định lý hội tụ bị chặn vẫn
đúng nếu các tính chất được thay bằng tính chất h.h.

cu

Định lý. Giả sử (fn ) là một dãy hàm đo được xác định h.h. trên X sao cho
∞
n=1

X

|fn |dµ < ∞.

Khi đó chuỗi
f(x) =

∞

fn (x)

n=1

hội tụ với h.h. x và f khả tích. Ngoài ra
∞

fn dµ =

X n=1

∞
n=1

fn dµ
X

18

CuuDuongThanCong.com

/>

Định nghóa Cho đoạn (a, b) và cho x0 = a < x1 < ... < xn = b. Taäp
P = {x0, ..., xn} gọi là một phân hoạch của (a, b]. Cho hàm f : (a, b) → R.
Đặt mn = inf (xn−1 ,xn ) f(x), Mn = sup(xn−1 ,xn) f(x)
inf

(xi−1 ,xi ]

f(x), Mi = sup f(x), i = 1, ..., n − 1.
(xi−1 ,xi ]

Toång
n

L(P, f) =

n

mi (xi − xi−1 ), U(P, f) =

Mi (xi − xi−1 )

i=1

ng

i=1

.c
om

mi =

co

gọi lần lượt là tổng dưới và tổng trên của f theo phân hoạch P. Hàm số f
gọi là khả tích Riemann trên khoảng (a, b) nếu
sup L(P, f) = inf U(Q, f).

Q

an

P

b

th

Định lý. Hàm f khả tích Riemann trên (a, b) thì f cũng khả tích Lebesgue
trên (a, b) và
f(x)dm(x).

ng

f(x)dx =

a

(a,b)

cu

u

du
o

Bài tập Dùng các câu gợi ý, CM mệnh đề trên cho trường hợp f là hàm đo

được Lebesgue trên (a, b] và f ≥ 0. Nhắc lại, độ đo Lebesgue m trên R thỏa
m((α, β)) = β − α với α, β ∈ R, α < β. Ngoài ra m({α}) = 0.
i) Với mọi phân hoạch P : x0 = a < x1 < ... < xn = b, đặt
mi =

inf

xi−1
f(x), Mi =

sup

n

sP (x) =

i=1

f(x).

xi−1 n

mi I(xi−1 ,xi ] (x), SP (x) =

Mi I(xi−1 ,xi ] (x)
i=1

CM

(a,b)

sP (x)dm(x) = L(P, f),

(a,b)

SP (x)dm(x) = U(P, f)

ii) Cho P, Q là hai phân hoạch của khoảng (a, b]. CM sP ≤ f ≤ SQ .
iii) Suy ra L(P, f) ≤ (a,b] f(x)dm(x) ≤ U(Q, f) và ta có đpcm.
19

CuuDuongThanCong.com

/>

Phương pháp chứng minh hàm f khả tích Riemann
Hàm f khả tích Riemann trên R khi và chỉ khi các điều sau thỏa:
a) Tồn tại khoảng (a, b) bị chặn sao cho f(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b).
b) Tồn tại số M sao cho |f(x)| ≤ M với mọi x ∈ (a, b).
c) Hàm f liên tục trên (a, b) \ A với A ⊂ R là tập có m(A) = 0.
Lưu ý. Tập A hữu hạn hay A đếm được (A = {x1, x2, ...}) có độ đo 0 trên
R.

b

b

f(x)dx = (L)

f(x)dm(x)

a

co

a

ng

(R)

.c
om

Phương pháp chứng minh hàm f khả tích Lebesgue bằng tích phân Riemann
Hàm f khả tích Riemann thì f khả tích Lebesgue và

BÀI TẬP

sin x
x

2. f(x) =

√

trên (0, 1)

th

1. f(x) =

an

Khảo sát tính khả tích Lebesgue của f trên khoảng được cho

ng

x trên khoảng (0, 2)

u

du
o

Phương pháp chứng minh một hàm f không khả tích Lebesgue trên (a,b)
Cách 1: CMR |f| ≥ g ≥ 0 và g không khả tích Lebesgue trên (a, b).
b
Cách 2: Tìm hàm fn thỏa 0 ≤ fn ≤ |f| và limn→∞ a fn dx → ∞.
Cách 3: Chứng minh hàm f không khả tích trên khoảng (c, d) ⊂ (a, b).

cu

Ghi nhớ. Hàm f(x) = x1α không khả tích trên (0, b) (b > 0) nếu α ≥ 1.
Hàm f(x) = x1β không khả tích trên (b, ∞) nếu β ≤ 1.
BÀI TẬP
Khảo sát tính khả tích Lebesgue của f trên khoảng được cho
1. f(x) = 1 trên khoảng (0, ∞)
2. f(x) = x trên khoảng (0, ∞)

3. f(x) =

1
xα

(α < 1) treân (1, ∞)
20

CuuDuongThanCong.com

/>

4. f(x) =

1
x

5. f(x) =

e−x
xα

6. f(x) =

1
xβ

7. f(x) =

1

x

8. f(x) =

e−x
xβ

9. f(x) =

cos
√x
x x

treân (0, ∞)

10. f(x) =

sin x
x

treân (0, ∞)

treân (1, ∞)
(α < 1) treân (0, ∞)
(β > 1) trên (0, 1)
trên (0, 1)

ng

.c

om

(β > 1) trên (0, ∞)

th

an

co

Phương pháp chứng minh hàm f khả tích bằng tích phân Riemann suy
rộng
Cách 1 (trực tiếp): Sử dụng định lý hội tụ đơn điệu ta có thể CMR nếu
a) hàm f ≥ 0
b) hàm f khả tích Riemann trên mọi khoảng bị chặn [c, d] ⊂ (a, b)
c)
d

lim

ng

c→a+ ,d→b−

c

f(x)dx < ∞

b

b

f(x)dm(x) =
a

f(x)dx
a

u

du
o

Thì hàm f khả tích Lebesgue trên (a, b) và

cu

Ghi nhớ. Hàm

f(x) =

A
xα
B
xβ

(0 < x < 1)
(x ≥ 1)

khả tích Lebesgue khi và chỉ khi α < 1 < β.

Cách 2 (gián tiếp): Hàm f khả tích nếu
a) f đo được Lebesgue,
b)|f| ≤ g và
c) g khả tích Lebesgue (chứng minh bằng cách dùng cách 1).

21

CuuDuongThanCong.com

/>

Cách 3 (chia nhỏ): Chia khoảng (a, b) = A ∪ B sau đó chứng minh f khả
tích trên A và trên B.
BÀI TẬP
Khảo sát sự khả tích của
1. f(x) = e−x xα−1 trên (0, ∞). HD: ta có BĐT e x ≥
treân (0, 1).

sin x
x3/2

khi x > 0.

.c
om

2. f(x) =

xk
k!

3. f(x) = e−|x| sin x treân R
2

ng

4. f(x) = e−kx (k > 0) trên R

ng

th

an

co

Phương pháp chứng minh tích phân phụ thuộc liên tục vào tham số
Mệnh đề Cho hàm số f : I × (a, b). Giả sử
a) với mỗi λ ∈ (a, b) hàm x → f(x, λ) đo được theo x
b) tồn tại limλ→λ0 f(x, λ) = h(x)
c) tồn tại hàm g khả tích trên I và khoảng [a0, b0] ⊂ (a, b) sao cho λ0 ∈
[a0, b0] sao cho |f(x, λ)| ≤ g(x) với mọi x ∈ I và λ ∈ [a0, b0].
Đặt H(λ) = I f(x, λ)dx. Khi đó ta có
f(x, λ)dx =

du
o

lim

λ→λ0

I

lim f(x, λ)dx =

I λ→λ0

h(x)dx.
I

u

Neáu limλ→λ0 f(x, λ) = f(x, λ0 ) với mọi x ∈ I thì limλ→λ0 H(λ) = H(λ0 ),
nghóa là F liên tục tại λ0 .

cu

BÀI TẬP

1. CM mệnh đề trên theo các bước sau
i) Cho dãy tn → t0. Đặt Fn (x) = f(x, tn ). Sử dụng định lý hội tụ bị
chặn CM
lim

n→∞

Fn (x)dx =
I

lim Fn (x)dx.

I n→∞

ii) Suy ra kết quả cần CM.
2. Chứng minh các hàm sau liên tục
22

CuuDuongThanCong.com

/>

1
sin(λf(s))ds với f là hàm đo được trên (0,1).
0
1
F (λ) = 0 sin(λs)f(s)ds với f là hàm khả tích trên (0,1).
∞
F (λ) = −∞ cos(λs)f(s)ds với f là hàm khả tích trên R.
1
F (λ) = 0 sin√λs
ds
s
∞
Γ(α) = 0 tα−1e−t dt, α > 0. HD: Xét hàm f(t, α) = t α−1e−t dt.
Giả sử α1 ≥ α ≥ α0 > 0, CM |f(t, α)| ≤ g(t) với g(t) = t α0 −1
α1−1 −t

(a) F (λ) =

(e)

(0 < t ≤ 1) và g(t) = t

(f) Cho g khả tích trên R,
trên R. CMR

∞

lim
→0

1

3. Tính các giới hạn sau

x−t

dt = f(x).

−∞

∞
dt
0 (1+ nt )n t1/n
n
n
1 + xn e−2xdx
0
n

n
1 − nx ex/2dx
0

du
o

(b) limn→∞

f(t)g

ng

(a) limn→∞

∞

g(y)dy = 1, cho f liên tục và bị chặn

th

→0

∞
−∞

an

lim

g(y)dy = 1, cho f liên tục và bị chặn

f(x − y)g(y)dy = f(x)

−∞

(g) Cho g khả tích trên R,
trên R. CMR

nếu t > 1.

e

∞
−∞

.c
om

(d)

ng

(c)

co

(b)

(c) limn→∞

cu

u

Phương pháp tìm đạo hàm của tích phân phụ thuộc tham số
Mệnh đề. Cho f : I × (a, b) → R. Giả sử
a) với mỗi λ ∈ (a, b) hàm x → f(x, λ) khả tích theo x
b) với mỗi x ∈ I hàm λ → f(x, λ) có đạo hàm theo λ
(x,λ)
c) tồn tại hàm g khả tích sao cho ∂f∂λ
≤ g(x) với mọi x ∈ I
Đặt F (λ) =

I

f(x, λ)dx. Khi đó
dF
=
dλ

I

∂f(x, λ)
dx.
∂λ

BÀI TAÄP
23

CuuDuongThanCong.com

/>

1. CM mệnh đề trên theo các bước
i) Đặt F (x, h) =

f (x,λ+h)−f (x,λ)
.
h

Sử dụng định lý Lagrange CM

|F (x, h)| ≤ g(x).

∞
−∞

2. Tìm đạo hàm của F (t) =
các hàm khả tích trên R.
3. Tìm đạo hàm của F (t) =

1
0

.c
om

ii) Dùng mệnh đề về giới hạn của tích phân theo tham số để CM mệnh
đề trên.

f(x) sin txdx với f(x), g(x) = xf(x) là

f(x) sin txdx với f(x) khả tích trên (0, 1).

co

ng

4. Tìm đạo hàm của Γ(α). HD: Choïn α0, α1 sao cho 0 < α0 ≤ α ≤ α1 .CM
|tα−1e−t ln t| ≤ g(t) với g là một hàm khả tích cần tìm.

th

an

Phương pháp lấy tích phân của chuỗi
Mệnh đề. Nếu
a) fn là các hàm đo được không âm trên (a,b) hay
b) nếu fn là các hàm đo được trên (a,b) thỏa

n=1

b ∞

u

thì

du
o

ng

∞

b
a

|fn (x)|dx < ∞
∞

fn (x)dx =

a n=1

n=1

b

fn (x)dx
a

cu

Ghi nhớ. Một số khai triển thông dụng

24

CuuDuongThanCong.com

/>

sin x =
cos x =
1
=
1+x
ln(1 + x) =

n=0
∞
n=0
∞
n=0
∞
n=0
∞

(−1)n x2n+1
(2n + 1)!
(−1)n x2n
(2n)!
(−1)n xn

(|x| < 1)

(−1)n+1 xn
n

an

BÀI TẬP

sin x
dx
x

xp−1
dx.
1+xq

cu

u

(c)

ex −1
dx
x

du
o

(b)

1
0
1
0

1
0

|fk (x)|.

ng

2. Viết dưới dạng chuỗi

∞
k=1

th

1. CM mệnh đề trên bằng cách đặt g(x) =

(a)

(|x| < 1).

co

n=1

xn
n!

.c
om

=

∞

ng

e

x

HD:

xp−1
1+xq

=

∞
n=0

xp−1 (x2n − x2n+1 )

6. Biến ngẫu nhiên

Định nghóa. Trên không gian xác suất (Ω, M, P), ánh xạ đo được X : Ω →
Rk gọi là biến ngẫu nhiên.
Mệnh đề. Cho biến ngẫu nhiên X và tập Borel B ⊂ Rk , ta đặt PX (B) =
P(X ∈ B). Khi đó, PX là một độ đo xác suất trên Rk . Hơn nữa, với mọi haøm
Borel g : Rk → R sao cho g ◦ X ∈ L1 (P) thì
g(X(ω))dP(ω) =

X∈B

g(x)dPX (x).
B

25

CuuDuongThanCong.com

/>