Khảo sát động lực học máy bào với ma sát Coulomb

 

Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 332-337, DOI 10.15625/vap.2019000298

Khảo sát động lực học máy bào với ma sát Coulomb
Đỗ Đăng Khoa1),Ngô Hồng Đăng2),Phan Đăng Phong2) ,Đỗ Sanh1)
1)

Trường Đại Học Bách khoa Hà nội,2) Viện Nghiên cứu Cơ Khí
Email:

Tóm tắt
Trong bài báo khảo sát động lực học của máy bào khi có
ma sát Coulomb tại các khớp trượt. Đây thuộc trường hợp cơ hệ
chịu liên kết khơng lý tưởng cho đến nay chưa có phương pháp
tổng quát để xử lý vì rằng phản lực tiêu hao năng lượng [5]. Do
phản lực liên kết tiêu hao công nên việc xác định lực suy rộng
để thành lập phương trình chuyển động gặp khó khăn. Điều này
gây khó khăn trong việc tính lực suy rộng của phản lực liên kết.
Phản lực liên kết tiêu hao công phụ thuộc vào các thông số vật
lý môi trường tiếp xúc nên rất khó xác định. Một trong hướng
này là mơ phỏng lực ma sát theo định luật ma sát Coulomb
[15]. Việc khảo sát bài tốn khó khăn vì đây là vấn đề không
thể tránh khỏi đặc biệt trong động lực các máy vì độ chính xác
gia cơng dù hồn hảo đến đâu cũng khơng thể loại trừ hồn tồn
sự xuất hiên ma sát. Bài tốn này càng gặp khó khăn trong
trường hợp không chỉ đối với trường hợp ma sát ngoài mà cả
ma sát trong. Trường hợp sau gặp phổ biến đối với động lực các
máy.
Trong báo cáo khảo sát bài tốn khi có xuất hiện cả ma sát

ngồi và trong. Dựa vào Nguyên lý Phù hợp để đưa các lực ma
sát Coulomb vào các lực hoạt động trong việc thiết lập các
phương trình chuyển động của cơ hệ và tách vật sử dụng
phương pháp Tĩnh hình học - động lực và phương pháp ma trận
truyền để xác định các định các lực ma sát nhờ đó tính được lực
suy rộng của các lực ma sát và nhờ đó nhận được hệ đầy đủ mơ
tả chuyển động cơ hệ có xuất hiện ma sát [2,9,11,12].
Từ khóa: Định luật ma sát Coulomb, Nguyên lý Phù hợp, Liên
kết không lý tưởng, Phương pháp ma trận truyền, Phương trình
chuyển động dạng ma trận

1. Mở đầu
Khảo sát các cơ hệ có tương tác các lực ma sát theo
Định luật Coulomb. Khó khăn trong trường hợp này là hệ
được khảo sát chịu liên kết không lý tưởng nên phản lực
cả nội và ngoại liên kết đều tiêu hao năng lượng và do đó
khơng thể tính được lực suy rộng. Tuy lực ma sát được
mô phỏng theo Định luật Coulomb nhưng công thức này
mô phỏng lực ma sát qua lực chưa xác định khác là phản
lực pháp tuyến. Hơn nữa công thức mô phỏng chỉ cho
biết quan hệ về giá trị tuyệt đối. Đối với ma sát trong thì
lực ma sát xuất hiện từng đơi một trực đối nhưng tổng
công của chúng khác không. Để giải quyết bài tốn này
theo có thể thực hiện theo hai hướng. Hướng thứ nhất
theo phương pháp tính gần đúng liên tiếp; bước đầu xem
chỗ tiếp xúc khơng có ma sát, chỉ có phản lực pháp, và
tính được phản lực pháp, dùng kết quả này dựa vào Định
luật Coulomb để tính lực ma sát và trong bước tiếp dùng
lực ma sát tính được cho các bước tiếp theo trong đó lực
ma sát đã biết. Hướng thứ hai là khảo sát môi trường từ

các thông số vật lý của môi trường đo được qua thực
nghiệm đưa ra mô phỏng lực ma sát và đưa chúng vào
“Sổ tay kỹ sư”. Trong bài báo này sử dụng Nguyên lý
Phù hợp đưa lực ma sát vào biểu thức các lực suy rộng và
tìm cách (bằng cách tách vật và sử dụng phương pháp
Tĩnh hình học với sự trợ giúp của phương pháp ma trận
truyền) tính lực ma sát và đưa chúng vào hệ phương trình
mơ tả chuyển động. Trong cách như vậy có thể nhận
được phương trình đầy đủ để mơ tả chuyển động cơ hệ.
Phương pháp được chứng minh qua việc thiết lập phương
trình chuyển động với các khớp trượt có ma sát Coulomb
của máy bào. [2,9,11,12].

2. Cơ sở lý thuyết
Khảo sát cơ hệ vị trí của nó được xác định bởi các
tọa độ xk,yk,zk (𝑘 1, 𝑁) chịu liên kết ma sát [8,9,10,15]:

f   f  ( t , xk , y k , z k )  0

(1)

Phương trình chuyển động cơ hệ được viết trong
dạng

mk 
rk  N k  Fkms ; k  1, N

(2)

Trong đó: N k - phản lực pháp tuyến tác dụng lên chất
điểm Mk, còn Fk lực ma sát Coulomb, nó được xác định
từ biểu thức:

Fkms  fNk

(3)
Ở đây và tiếp sau ma trận được viết đậm nét và véctơ
được đồng nhất với ma trân cỡ (3x1)
Trong tọa độ suy rộng dư ( q1 , q2 ,.., qm ) , các phương
trình có thể viết trong hệ tọa độ suy rộng:

f (t , q1 , q2 ,.., qm )  0;   1, r  m  k

(4)
trong đó k là số tọa độ suy rộng độc lập.
Phương trình chuyển động của cơ hệ trong trường hợp
lý tưởng có dạng [8,9,10]

DAq = D(Q 0 + Q qt )

(5)

Trong đó, Q 0 - lực suy rộng của lực hoạt động ; Qqt- lực
suy rộng của các lực quán tính, chúng được xác định từ
ma trận quán tính A.


 

 

 

Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh

 
Ma trận D cỡ ( k  m ) được xác định từ các hệ số nhận
được khi viết các phương trình liên kết trong dạng đạo
hàm bậc hai theo thời gian và tính các gia tốc suy rộng
qua các gia tốc suy rộng độc lập từ việc giải hệ phương
trình này.
Nói cách khác ma trận D sẽ gồm các hệ số d j

 
 

     

k

qj   d j q ...; (  1, k ; j  1, m, k  m  r )

(6)

   

 1

Trong trường hợp liên kết khơng lý tưởng, phương trình

chuyển động của cơ hệ có thể được viết trong dạng:

DAq = D(Q 0 + Q qt + Q lk )

(7)

Trong đó Qlk là lực suy rộng của các phản pháp tuyến và
lực ma sát.
Do các phản lực pháp tuyến không tiêu hao công, nên lực
suy rộng Qlk của các lực liên kết, là ma trận cỡ (mx1), các
thành phần của chúng có biểu thức:


m 
r
Q lkj   Fkms k ; j  1, m
q j
j 1

  

(8)

Trong trường hợp liên kết (1) có ma sát, nên liên kết là
khơng lý tưởng, hệ phương trình (9), (10) là hệ phương
trình chưa đầy đủ do xuất hiện các lực ma sát trong biểu
thức (8). Để mô tả chuyển động cơ hệ trong trường hợp
này (trường hợp liên kết không lý tưởng) cần thiết lập
các điều kiện bổ sung từ giả thiết ma sát thỏa mãn Định
luật ma sát Coulomb để tính các lực ma sát. Cho mục

đích này có thể thực hiện theo hai bước sau:
- Bước đầu tiên: viết phương trình (7) cho cơ hệ với liên
kết không lý tưởng.
- Bước tiếp theo: tách vật và sử dụng Định luật ma sát
Coulomb để tính lực ma sát chỉ liên quan đến các yếu tố
động lực tác dụng lên cơ hệ cùng trạng thái chuyển động
cơ hệ (gia tốc,vận tốc, tọa độ) trong đó đã loại trừ các
phản lực pháp tuyến nhờ Định luật Coulomb và từ đó
tính được các lực suy rộng của các lực ma sát qua biểu
thức (8), thay chúng vào (7), từ đó nhận được một hệ
phương trình đầy đủ cùng với điều kiện đầu. Tích phân
chúng xác định được chuyển động của cơ hệ được khảo
sát.

3. Khảo sát động lực học của máy bào chịu
tương tác ma sát Coulomb
Khảo sát động lực học máy bào được cho trên Hình 1.
Tay quay OA có độ dài l1, được cân bằng và có mơ men
qn tính đối với trục quay 0 bằng J1. Cần lắc 01B là
thanh đồng chất, có khối lượng m2, có mơmen qn tính
(khối) đối với khối tâm C2 bằng J2. Thân máy bào trượt
theo phương ngang có khối lượng m. Con trượt A và B
được xem là các vật có khối lượng tương ứng 11 là m3 và
m4. Thanh 0A chịu tác dụng ngẫu lực M và đầu bào C
chịu tác dụng lực tải F. Hệ số cản nhớt các khâu OA,

Hình 1. Mơ hình máy bào khảo sát
O1B tương ứng b1,b2. Ma sát trượt giữa các khâu có hệ số
ma sát fms. Xác định chuyển động máy bào khi có tải F.
Để xác định vị trí của máy bào ta chọn các tọa độ suy

rộng 1 ,  2 , 3 y ,trong đó 1 ,  2 là các góc định vị của
các khâu 0A và 01B đối với phương ngang, 3 -góc giữa
khâu 0B và 0A ,cịn y là tọa độ của đầu bào như trên
hình 1. Hệ có một bậc tự do nên có 3 phương trình liên
kết:
f1  h1 cos 2  l1 sin(2  1);
f 2  l2 sin  2  y  h1  h2  0;

(9)

f 3   2  3  0.5  0
Chọn tọa độ suy rộng độc lập, từ đó ta dễ dàng xác định
biểu thức các gia tốc qua gia tốc độc lập này. Đó là:
l1 cos(1  2 )
2 
1 ;
h1 sin 1  l1 cos(1  2 )

        3 

y  

l1 cos(1   2 )
1 ;
h1 sin 1  l1 cos(1   2 )

(10) 

l1l 2 cos  2 cos(1  2 )
h1 sin 1  l1 cos(1  2 )

Xét trường hợp tại các khớp trượt A, B và C đề có các

  

lực ma sát trượt, được ký hiệu qua F2 , F3 , F4 .
Để tính các thông số động học sử dụng các ma trận sau:
cos 1  sin 1 0 
cos  2  sin  2 0 


t1   sin 1 cos 1 0  ; t2   sin 2 cos  2  h1  ;
 0
 0
0
1 
0
1 

 cos 3
t3   sin 3
 0

 sin 3 l2 
1 0 y 

cos 3 0  : t4  0 1 0  ;
 0 0 1 
0
1 

 

Khảo sát động lực học máy bào với ma sát Coulomb

1 0 y 
 cos 1 sin 1 0 
T4   0 1 0  ; T1    sin 1 cos 1 0  ;
0
1 
 0 0 1 
 0

 cos 1 0 
cos

sin

0
sin




2
2
1




T2    sin 2 cos  2 0  ; t11   cos   sin 1 0  ;
 0
 0
0
1 
0
0 
  sin 1  cos 1 0 
  sin 1  cos 1 0 
t21   cos   sin 1 0  t31   cos   sin 1 0  ;
 0
 0
0
0 
0
0 
0 0 1 
l1 
c2 
c3 
0 









t41   0 0 0  ; r   0  ; r2   0  ; r3   0  ; r  0  ;
 0 0 0 
 1 
 1 
 1 
1 

(11)
Để viết phương trình chuyển động của máy bào phương
trinh chuyển động cơ hệ dạng ma trận được sử dụng. Đó
là [9,10,12-14]:

DAq = D(Q + Q qt  Q ms )

(12)
Đầu tiên tính ma trận D. Từ các hệ thức (10) có các biểu
thức sau:
(13)
1  1 ;2  d 211 ;3  d 31; y  d 411
Trong đó:

l1 cos(1  2 )
; 
h1 sin 1  l1 cos(1  2 )
l1 cos(1  2 )
; 
d31=
h1 sin 1  l1 cos(1  2 )
l1l 2cos  2cos(1  2 )
 

d41=  
h1 sin 1  l1 cos(1  2 )

 

(14)   

 

(15)

có các hệ số quán tính aij (i, j  1,3) :

a11  mr T t T 11t11r  J1  ml12  J1 :
a12  0; a13  0; a14  0;
T
T
T
a22  m2 r2T t21
t21r2  m3r3T t3T t21
t21t3 r3  m4 r4T t3T t21
t21t3 r4 
J1  J 2

 m2c2 2  m3l22  m4l22  J1  J 2
T T
T T
a23  m3 r3T t31
t2 t21t3 r3  m4 r4T t4T t31
t2 t21t3t4 r4

T T T
a24  m4 r4T t41
t3 t2 t21t3t4 r4  m4l2 sin 3 ;

(16)
Ở đây và tiếp sau, ký hiệu T ở góc phải cao của ký tự ký
hiệu phép tính chuyển vị của ma trận
Thế năng cơ hệ có dạng:

  mgl1 sin   m2 gc2 sin  2  m3 gl2 sin  2 (17)
Các lực suy rộng của các lực khơng thế được tính qua
cơng suất W1 của chúng [12-14]:

W1  M 1  Fv4

(18)

Trong đó:

v4  l2 sin  22

(19)

Do đó:

W1  M 1  Fl2 sin  22

Q01 

(20)

W1
W1
W1
W1
; Q02 
; Q03 
; Q04 
(21)
1
2
3
y

Q qt  Q1qt  Q2qt

Ma trận quán tính A cỡ (4x4) đối xứng, không suy biến,

 m4 y 2  m4l2 cos 3 y

T T T
a44  m4 r4T t41
t3 t2 t2t3t41r4  m4

Lực suy rộng Q0 là ma trân (4x1) gồm các phần tử:

  

 
Từ đây tính được ma trận D:

 

T T T
a34  m4 r4T t4T t41
t3 t2 t2t3t41r4  0;

Do đó:

d21=

1 0 d 31 
D
   
 0 1 d 32 

T T
a33  m3 r3T t3`T t2T t2t31r3  m4 r4T t31
t2 t2t31t4 r4  m4 y 2 ;

(22)

Các lực Q1qt , Q2qt được tính dựa vào ma trận quán tính A.
Cho mục đích này ta tính các đại lượng sau:

 a11
 
 i
 a12
 
i

i A  
 a12

 i
 a14

 i

a12
i
a22
i
a23
i
a24
i

a13
i
a23
i
a33
i
a34
i

a14 
i 

a24 

i 
;(i  1,3); (23)
a34 

i 
a44 

i 


 

 

 

Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh

 
 a11
 y

 a12
 y
4 A  
 a12

 y
 a14


 y

a12
y
a22
y
a23
y
a24
y

a13
y
a23
y
a33
y
a34
y

X  1 2 3

y  ;

Y  1 2 3

y  ;

a14 
y 


a24 
y 
a34 

y 
a44 

y 

T

Y1  12 12 13

y1  ;

Y2  12  22 23
Y3  13 23  32

y2  ;

Y4  1 y 2 3 y

Q43 

(24)

y3  ;
y 2 

Từ đây ta tính được:

a2 y  c2 cos  22  c2 sin 2 22 ;
(25)

(29)

2
2

Lực ma sát xuất hiện tại các khớp trượt tại A,B và C,
chúng được ký hiệu tương ứng F2ms ,F3ms ,F4ms . Lực suy
rộng của các lực ma sát được tính dựa vào biểu thức công
suất của chúng. Công suất của các lực ma sát có biểu
thức:
(26)

Trong đó v2r, v3r, v4r là vận tốc tương đối tại các khớp
trượt A, B, C. Nhờ phương pháp ma trận truyền tính
được:

v2 r  l1 sin( 2  1)1 ; v3 r  y ;
v4 r  2l1 sin( 2  1 )3 :
W2   F2l1 sin( 2  1 )1  2 F4 l1 sin( 2  1 )2  F3 y :
(27)
Lực suy rộng của các lực ma sát của các lực ma sát có
biểu thức:

W
 F2ms l1 sin(1   2 );


1
W
 2l1 sin  2 F4ms ;
Q42 
2

a3 x  l2 sin 22  l2 cos 2 22 ;
a3 y  l2 cos 22  l2 sin  ;

Q2qt  1 AY1 +  2 AY2 +  3 AY3 +  4 AY4

W2   F2ms v2 r  F3ms v3r  F4ms v4 r

Khi thay các đại lượng tính được vào phương trình (12)
để mơ tả chuyển động của máy bào khảo sát. Tuy nhiên
trong những phương trình này cịn chứa các đại lượng
chưa được xác định là những lực ma sát. Nói cách khác,
chuyển động của đối tượng khảo sát phụ thuộc vào các
lực ma sát, chúng phụ thuộc vào các thông số vật lý của
môi trường trường tương tác. Các thông số này chỉ được
xác định nhờ các thực nghiệm, hoặc nhờ qua kinh
nghiệm và dựa vào đó để mô phỏng. Một trong các
hướng này là lực ma sát được mô phỏng nhờ Định luật
Coulomb.
Trong bài báo này dựa vào mô phỏng lực ma sát theo
Định luật Coulomb để xác định các lực ma sát và thay
chúng vào các lực suy rộng.
Để tính ma trận quán tính A và đại lượng Q qt sử
dụng phương pháp ma trận truyền để xác định các gia tốc

khối tâm của các khâu, 0A, 01B, và CD, ký hiệu chúng
tương ứng qua a2(a2x,a2y), a3(a3x,a3y), a3(a3x,a3y):

a2 x  c2 sin  22  c2 cos  2 22 ;

Q11qt  0.5 X 1 AY ; Q12qt  0.5 X  2 AY :
Q13qt  0.5 X  3 AY ; Q14qt  0.5 X  4 AY;

W
W
 0; Q44 
  F3ms ;
3
y

Q41 

(28)

a4 x  l2 sin  22  l2 cos 2 22 ;
Dựa vào đây tính lực quán tính của các khâu và viết các
phương trình theo phương pháp Tĩnh hình học –động lực:

 J11  J 1  M  b11  F2 ms l1 sin(2  1 ) 
mgl1 cos 1  ml121  0;
F2 ms cos 1
F
l1  3ms l2 sin 2 
f ms cos 2
f ms

F3ms l2 cos 2  m2 a2 x c2 sin 2

 J 22 

(30)

m2 c2 a2 y cos 2  m3 a3 x l2 sin 2 
m3 a3 y l2 cos 2  m3 gl2 cos 2  0;
F4 ms
 F3ms  m4 g  0
f ms
Từ hệ 3 phương trình (30) tính được các lực ma sát và
thay chúng vào biểu thức (27) và tiếp thay vào phương
trình (12) nhận được hệ phương trình đầy đủ với điều
kiện đầu xác định chuyển động của máy bào khảo sát, tức
tìm được:

1 (t ), 2 (t ),3 (t ), y (t )

Kết quả xử lý bài toán bằng phương pháp số:


 

Khảo sát động lực học máy bào với ma sát Coulomb

Số liệu:

l1  0.2(m); l2  3l1 ( m); h1  l1 3(m); h2  l1 (3  3)(m);
m2  m  m3  1; m4  5(kg ); J1  10( kgm 2 ; J  2( kgm 2 );

b1  b2  b3  0.1( Nms / rad ); b4  0.1( Ns / rad );
M  2.5( Nm); g  10( m / s 2 ); F  25( N );
f ms  0.1; c2  0.5l2 ( m);
Điều kiện đầu:

1 (0)  0;2 (0)   / 3;3 (0)   / 6;1 (0)  0;
2 (0)  0;3 (0)  0; y (0)  0 y (0)  l1 (3  1.5 3);
Kết quả cho bài tốn vị trí các khâu được thể hiện trên
Hình 2, trong đó: q1=1(t), q2=2(t); q3=3(t); q4=y(t),
vận tốc các khâu tương ứng được thể hiện trên Hình 3.
Các lực ma sát trượt tại các khớp A, B, và C cũng được
tính tốn với kết quả được thể hiện như trên Hình 4. Sai
lệch quỹ đạo được thể hiện trên Hình 5 cho thấy sai số
quỹ đạo đặt được chỉ khoảng 10-8.

 
Hình 4. Lực ma sát trượt tại các khớp A, B, và C

 

 
 
Hình 2. Đồ thị xác định vị trí chuyển động của máy bào

Hình 5. Sai lệch quỹ đạo

4. Kết luận
Trong bài báo đã xây dựng một lộ trình khảo sát động lực
học của cơ cấu máy với ma sát Coulomb. Khảo sát
trường hợp lực ma sát xuất hiện tại cả liên kết ngoài và

liên kết trong. Để giải quyết bài tốn phải tính lực suy
rộng của các lực ma sát. Điều này gặp khó khăn đối với
các lực ma sát trong vì chúng xuất hiện từng đơi một trực
đối. Bài toán được giải quyết nhờ sử dụng dạng phương
trình chuyển động được viết trong dạng ma trận kết hợp
với phương pháp Tĩnh hình học-Động lực. Phương pháp
được áp dụng vào việc khảo sát máy bào và các kết quả
được minh họa nhờ sử dụng phần mềm Maple.
 
 
Hình 3. Đồ thị vận tốc chuyển động các khâu của máy
bào

Tài liệu tham khảo
[1]

Galiulin F.R., Constructing Systems of Controlled Motion
Controlled motion, Publish, “Nauka” (in Rusian), 1971.


 

 

 
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]

[7]
[8]
[9]

[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]

 

Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh
Do Sanh, On the principle of Compatibility and the
Equations of Motion of a Constrained Mechanical
System, ZAMM, pp. 210-212, 1980.
DoSanh, On the Problem of First Integrals of Mechanical
Systems, Problems of Nonlinear Vibration, Vol. 20, pp.
55-70, Varsaw.
Erughin N.P., Construting a Set of Differential Equations
Having Given Trajectory, Applied Matematics and
Mechanics (PMM), No 6, Russia, 1952.
Rumantsep V.V., Về chuyển động các hệ với liên kết
không lý tưởng, Vestnist MGU N04 (tiếng Nga)., 1961.
Rumantsep V.V., Cơ hệ với ma sát, PMM, N06, 1961.
Đỗ Sanh, Luận án Tiến sỹ khoa học, Đại học Bách khoa
Hà Nội, 1984.
Gutowski R., Analytical Mechanics, PWN, 1995.

Do Sanh, Dinh Van Phong, Do Dang Khoa, Tran Duc, A
Method for Solving the Motion of Constrained Systems,
Proceedings of the 16th Asian Pacific Vibration
Conference APVC 2015, Hanoi, Vietnam.
Đỗ Sanh, Cơ học kỹ thuật, NXB Giáo dục, 2008.
Đỗ Sanh, Đỗ Đăng Khoa, Quy luật nhân quả - cơ sở của
Cơ học Newton và Nguyên lý Phù hợp, Kỷ yếu Hội nghị
Toàn quốc về Cơ kỹ thuật, Đà Nẵng, 2015.
Do Sanh, Analytical Mechanics, Publs. Bach khoa, Hanoi
2008 (in Vietnamese).
Do Sanh, Do Dang Khoa, Điều khiển tối ưu các hệ động
lực - Điều khiển chương trình và Điều khiển tối ưu.
DoSanh, Do Dang Khoa, Analytical Dynamics, Publ.
Bachkhoa, pp. 52-61, 2017.
Le Xuan Anh, Dynamics of Mechanical Systems with
Coulomb Friction, Springer-Verlag Berlin Heidelberrg,
2003.
Vu Duc Binh, Do Dang Khoa, Phan Dang Phong, Do
Sanh, Analysics of Manipulator Dynamics in Interaction
with Environment, Vietnam Journal of Science and
Technology, Vol l, N0, June, 2019.