TONG HOP DE THI KI SU TAI NANG MON TOAN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 ĐỂ ĐĂNG KÝ KHÓA HỌC ÔN THI KSTN 2016, CÁC BẠN CÓ THỂ LIÊN HỆ: NGUYỄN XUÂN TÙNG, KSTN CNTT K59. Facebook: Số điện thoại: 0168 686 6806. Tham khảo Fanpage: 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 1999 Bài 1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f  x  xác định trên. f x  x . x 1 e. 1 x. sao cho:. với x  0 và f  0   0. Bài 2. Tìm các số thực a , b , c thỏa mãn điều kiện a  2b  3c  16  0 sao cho biểu thức: F  2 a2  2b2  2c 2  4a  4b  4c  15. đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3. Chứng minh rằng phương trình:. a cos x  b sin 2x  c cos 3x  x luôn có nghiệm trên đoạn  ;  với mọi số thực a , b , c . Bài 4. Tìm hàm số f  x  xác định trên đoạn  0; 1 biết rằng:. 0  f  x   1 với mọi x   0; 1 và f  x1   f  x2   x1  x2 với mọi x1 , x2   0; 1. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2000 Bài 1. Cho dãy số xn n 1 xác định như sau: .   x1  0   xn  1  ln  1  xn  n  1. Chứng minh rằng dãy hội tụ đến một giới hạn hữu hạn a và tìm giá trị a đó. Bài 2. Chứng minh rằng nếu hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện:. f  x1   f  x2   x1  x2 với mọi x1 , x2  3. thì f  x  là hàm hằng. Bài 3. Cho f  x  là hàm số xác định và liên tục tại mọi x  0 , lấy giá trị không âm thỏa mãn tồn tại hằng số k  0 sao cho: x. f  x   k  f  t  dt với mọi x  0 0. Chứng minh rằng f  x   0 x  0 . Bài 4. Cho hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện f ''  x   0 x . . Chứng minh rằng:. f  tx   1  t  y   tf  x    1  t  f  y  x , y  , t   0; 1  Bài 5. Cho các số thực k1 , k2 ,..., kn khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng: a1 ek1x  a2 ek2 x  ...  an e knx  0 x . khi và chỉ khi a1  a2  ...  an  0 .. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2001. ex. Bài 1. Cho hàm số f  x  .  x  1. 2. và dãy số un  xác định bởi:. u0  1, un1  f  un  n  0, 1, 2,... 1  1. Chứng minh rằng phương trình f  x   x có nghiệm duy nhất    ; 1  . 2  1  2. Chứng minh rằng un   ; 1 n 2  1  3. Chứng minh rằng f '  x  tăng trên đoạn  ; 1 , từ đó suy ra tồn tại số k   0, 1  sao cho: 2 . un1    k un   với mọi n nguyên dương. 4. Chứng minh rằng lim un   . n . Bài 2. Với hai số thực x , y , ta đặt d  x , y  . xy 1 x  y. .. Chứng minh rằng với ba số thực x , y , z tùy ý, ta luôn có: d  x , y   d  x , z   d  z , y  . Bài 3. Cho hàm số f  x  có f ''  x   0 và a  b là các số thực. Chứng minh rằng: 1.. f  tx   1  t  y   tf  x    1  t  f  y  x , y   a , b  , t   0; 1  b. 2..  ab  2 .  f  x  dx   a  b  f  a. Bài 4. Cho a  b là các số thực và f  x  làm hàm số có đạo hàm liên tục trên. f  a   f  b   0 và. b.  f '  x  dx  m a. Chứng minh rằng: f  x  . m x   a , b  . 2. 4. thỏa mãn:.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2002 Bài 1. Cho bất phương trình: x  mx 2  x (1) 1 x. 1. Giải bất phương trình (1) với m  2 . 2. Tìm số thực m lớn nhất sao cho (1) nghiệm đúng với mọi x . .. Bài 2. Cho dãy số xn  xác định như sau:. 1  x   1  3  2 x  xn n  1  n1 2 Chứng minh rằng dãy số xn  có giới hạn khi n   và tìm giới hạn đó. Bài 3. Cho các số thực a1 , a2 ,..., a2002 thỏa mãn: a0  0 và a0 . a a1 a2   ...  2002  0 2 3 2003. Chứng minh rằng phương trình: a0  a1x  a2 x2  ...  a2002 x 2002  0 có nghiệm trên  0; 1 . Bài 4. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai f ''  x   0 trên trị lớn nhất của hàm số: g  x   f  x    a  x  f '  x  trên. 5. .. và a là một số thực cố định. Tìm giá.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2003 Bài 1. Tìm đa thức P  x  có bậc bé nhất, đạt cực đại tại x  1 với P  1   6 và đạt cực tiểu tại x  3 với. P  3  2 . Bài 2. Có tồn tại hay không một đa thức P  x  thỏa mãn hai điều kiện sau: i.. P  x   P ' x . ii.. P '  x   P ''  x . với mọi giá trị của x . Bài 3. 1. Cho hàm số f  x  xác định và f '  x   0 x .  . . Biết rằng tồn tại x0 . . f f f  f  x0    x0. Chứng minh rằng f  x0   x0 .. x  y 3  2 y  2  3 y  z  2 z  2 2. Giải hệ phương trình:  3  z  t  2t  2 t  x 3  2 x  2  Bài 4. Cho dãy số xn  thỏa mãn:.  x1  2  2 x1  x2  ...  xn  n xn Tìm giới hạn lim  n 2 xn  . n . 6. sao cho:.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2004 Bài 1. Tìm các số a , b , c sao cho: lim. x . a  2 x 3  x 2   b  x 3  5x 2  1   c  3x 3  x 2  a  5x 4  x   bx 4  c  4x 4  1   2 x 2  5x. 1. Bài 2. Chứng minh rằng với mọi tham số m thì phương trình: x 3  9x  m  x 2  1   0. luôn có 3 nghiệm. Bài 3. Cho hàm số f  x  xác định trên  0; 1 và nhận giá trị trên đoạn  0; 1 thỏa mãn: f  x   f  y   x  y với mọi x , y   0; 1. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một điểm x0   0; 1 sao cho: f  x0   x0 . Bài 4. 1. Chứng minh rằng nếu hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a ; b  thì: b. b. a. a.  f  x  dx   f  x  dx 2. Chứng minh rằng nếu hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  a ; b  và thỏa mãn điều kiện. f  a   f  b   0 thì: b.  f  x  dx a. với M  max f '  x   a ;b . 7. b  a  4. 2. M.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2005 Bài 1. Cho dãy số un  xác định như sau: u0  1, un  un1 . 1 un1. n  1. 1. Chứng minh rằng dãy số trên không dần tới một giới hạn hữu hạn khi n   . 2. Chứng minh rằng lim un   . n . Bài 2. Cho hàm số f  x  liê tục đơn điệu giảm trên đoạn  0; b  và a   0; b  . Chứng minh rằng: a. b. 0. 0. b  f  x  dx  a  f  x  dx   Bài 3. Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn 0;  thỏa mãn:  2. f  0   0 và.  2.  f  x  dx  1 0.   Chứng minh rằng phương trình f  x   sin x có ít nhất một nghiệm trong khoảng  0;  .  2 1 Bài 4. Cho hàm số: f  x   x  sin   với x  0 và f  0   0 (  là hằng số dương ). x. Với giá trị nào của  thì hàm số f  x  có đạo hàm tại mọi x . Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên. và thỏa mãn:. f  x  y   f  x   f  y   2 xy với mọi x , y . 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2006 Bài 1. Tìm số nghiệm của phương trình: x 3  ax 2  4  0. trong đó a là tham số. Bài 2. Cho dãy số un  xác định như sau: 1. và un1  un   t  un dt n  0. u0 . 0. 1 1. Chứng minh rằng nếu u0  1 thì un  là một dãy tăng và un 1  2un  n  0 . 2 Từ đó chứng minh rằng: lim un   . n . 2. Chứng minh rằng nếu u0  1 thì ta cũng có lim un   . n . 1. Bài 3. Với mỗi n nguyên dương đặt: I n   x n ln  1  x 2  dx . 0. 1. Tìm lim un   n . 2. Giả sử c   0; 1  . c. 1. Đặt An   x ln  1  x  dx , Bn   xn ln  1  x 2  dx . n. 2. 0. c. An   . n  B n. Chứng minh rằng: lim Bài 4.. 1. Tìm tất cả các hàm số f  x  xác định trên. , liên tục tại 0, sao cho:. f  2 x   f  x  x  2. Tìm tất cả các hàm số g  x  xác định trên. , có đạo hàm tại 0, sao cho:. g  2 x   2 g  x  x  Bài 5. Cho x , y là hai đường thẳng chéo nhau. A , B là hai điểm cố định trên x . CD là đoạn thẳng có chiều dài l cho trước trượt trên y . Tìm vị trí của CD sao cho diện tích toàn phần tứ diện ABCD là nhỏ nhất.. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2007 Bài 1. Cho phương trình:. . 1x  x. . 3.  x  1  x   m (1) với m là tham số.. 1. Giải phương trình (1) khi m  1 . 2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. Bài 2. Với n là số nguyên dương, đặt:  4.  4. Un   x 2 n1  sin x  dx và Vn   x 2 n1  cos2 x  2n. 0. 2 n1. dx. 0. Chứng minh rằng: 1. lim Un  lim Vn  0 . n . n . 2. 2U n  Vn  Bài 3. Kí hiệu. . 2 n  1 . 32. là tập các sô thực dương. Giả sử f : f  f  x  . 5. . .  x  1. 5. . là một hàm số liên tục thỏa mãn:. 1. Chứng minh rằng: 1. Nếu f  x1   f  x2  thì x1  x2 . 2. Hàm số f  x  đơn điệu tăng và lim. x . f  x  1 f x.  1.. Bài 4. Cho mặt phẳng  P  và hai điểm C , D ở về hai phía đối với  P  sao cho CD không vuông góc với. P .. Xác định vị trí hai điểm A , B thuộc  P  sao cho AB  a ( a  0 cho trước ) và tổng độ dài. CA  AB  BD đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5. Cho k1 , k2 ,..., kn là các số thực dương khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng nếu: a1 cos k1 x  a2 cos k2 x  ...  an cos kn x  0 với mọi x . thì a1  a2  ...  an  0 .. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2008 Bài 1. Cho dãy số an  thỏa mãn: a1  2 và a1  a2  ...  an  n2 an n  1. Tìm lim n2 an . n. . sin nx dx với n sin x 0. Bài 2. Tính tích phân I n  . .. Bài 3. Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0; 1 thỏa mãn:. f  0   0 và. 1. 1.  f  x  dx  2008 0. Chứng minh rằng phương trình f  x   x 2007 có ít nhất một nghiệm thuộc  0; 1  . Bài 4. Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0; 1 thỏa mãn:. f  0   0, f  1   1 Chứng minh rằng tốn tại hai số phân biệt a , b thuộc  0; 1 sao cho:. f ' a f 'b  1 Bài 5. Cho hàm số f :  a ; b    a ; b  thỏa mãn: f  x   f  y   x  y với mọi x , y   a , b  , x  y. Chứng minh rằng phương trình f  x   x có nghiệm duy nhất trên  a ; b  . Bài 6. Cho IK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a , b.  I  a, K  b  .. M , N là hai. điểm bất kỳ lần lượt thuộc a và b sao cho IM  KN  MN . Trong số các điểm cách đều hai đường thẳng a , b , hãy tìm điểm có khoảng cách đến mỗi đường thẳng trên là ngắn nhất.. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2009 Bài 1. Cho phương trình: x 4  x 2  mx  4  0 ( 1), trong đó m là tham số. 1. Giải phương trình (1) khi m  6 . 2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. Bài 2. 1. Chứng minh rằng với mọi số thực a cho trước thì hàm số f  x   x  a có đạo hàm tại mọi điểm. x  a và không có đạo hàm tại điểm x0  a . 2. Cho trước các số thực a1 , a2 ,..., an khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng:. k1 x  a1  k2 x  a2  ...  kn x  an  0 x  khi và chỉ khi k1  k2  ...  kn  0 . Bài 3. 1. Tìm tất cả các số thực x , y , z, p, q , r thỏa mãn: 2 2 2  x  y  z  2 x  2 z  7  0  2 2 2   p  q  r  10 p  16q  14r  47  0. sao cho biểu thức A  x2  y 2  z2  p2  q 2  r 2  2xp  2yq  2zr đạt giá trị lớn nhất. 2. Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax , By và AB  a  0 là đoạn vuông góc chung. Góc giữa. Ax và By bằng 300 . Hai điểm C , D lần lượt chạy trên Ax , By sao cho AC  BD  d  0 không đổi. Xác định vị trí của các điểm C , D sao cho thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất. Bài 4. Tìm hàm số f :. . thỏa mãn:  f  x   x   f  x   f  y   f  x  y . với mọi x , y . .. Bài 5. Cho hàm số f :. . liên tục thỏa mãn:. f  tx   1  t  y   tf  x    1  t  f  y  x , y  , t   0; 1  b. Chứng minh rằng:.  ab . 2 .  f  x  dx   a  b  f  a. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2010 Bài 1. 2. 1. Tính.  sin  sin nx  dx  n   . 0. 2. Cho hàm số f  x  xác định trên tập số thực thỏa mãn: f  x   f  y   x  y x , y . . . và f f  f  0    0. Chứng minh rằng: f  0   0 . Bài 2. 1. Cho hàm số f  x  khả vi liên tục cấp hai trên  0; 1 thỏa mãn:. f ''  0   1, f ''  1   0 Chứng minh rằng tồn tại c   0; 1 sao cho f ''  c   c . 2. Tìm giới hạn lim 30  30  ...  30 ( n dấu căn ). n. Bài 3. 1. Hàm số f  x  khả vi tại x 0 được gọi là lồi (lõm) tại điểm này nếu tồn tại lân cận của điểm x 0 là. U  x0  sao cho với mọi x  U  x0  ta có: f  x   f  x0   f '  x0  x  x0  ( tương ứng f  x   f  x0   f '  x0  x  x0  ). Chứng minh rằng hàm số bất kỳ khả vi trên đoạn  a ; b  sẽ lồi (lõm) tại ít nhất một điểm x0   a ; b  . 2. Số nào lớn hơn trong hai số sau: 11  2 2  33  ...  10001000 và 2 2. 22. 2. Bài 4. Trong một phòng có 5 người, giữa 3 người bất lỳ luôn tìm được 2 người quen nhau và 2 người không quen nhau. Chứng minh rằng nhóm này có thể ngồi quanh một bàn tròn sao cho mỗi người đều quen với 2 người ngồi cạnh mình. Bài 5. Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác nhọn. Chứng minh rằng: tan n A  tan n B  tan n C  3 . 13. 3n 2.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2011 Bài 1.  2. 1. Tính   cos2  cos x   sin 2  sin x   dx . 0. 2. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  0; 1 thỏa mãn: f  x   1 x   0; 1. Chứng minh rằng:. 1  1  f  x dx  1    f  x  dx  0 . 1. . 2. 2. 0. Bài 2. Giải các phương trình sau: 1. 2.. 2  1x    x  3 . 2. 2. 2  2 . sin 2 x. .  2 2. . cos 2 x. .  2 2. . cos2x.  2   1   2  . cos2x. Bài 3. 1. Tìm a để phương trình sau có nghiệm. 2x  1  a. . 1x 1. . 2. Cho hàm số f  x   1  a cos x  b cos 2 x  c cos 3x . Chứng minh rằng nếu. f  x   0 x . thì a  b  0. Bài 4. Cho tam giác ABC có các cạnh là a , b , c với a  b và các đường cao là ha , hb , hc . Chứng minh rằng: a  b  hb  ha. Bài 5. Một phân xưởng cắt théo chỉ có những thanh thép dài 6m , nhưng cần phải cắt 40 đoạn 2, 5m và 60 đoạn 1, 6m . Hỏi cần dùng bao nhiêu thanh và cắt như thế nào để tổng số thanh là ít nhấ. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2012 Bài 1. 1. Tính I  lim n n 2012  2012 n n . 2. Cho cấp số cộng a1 , a2 ,..., an ,... và cấp số nhân b1 , b2 ,..., bn ,... thỏa mãn ak  0 k và a1  b1  a2012  b2012 . Chứng minh rằng ak  bk 1  k  2012 .. Bài 2. 1. Giải phương trình:. 2 x 2  10x  12  x 2  2 x  3  2 x  2 2. Hàm số y  sin  x 2  4x  4  có phải là một hàm số tuần hoàn không? 3. Tìm điều kiện của a , b để phương trình: x 3  ax  b  0 có nghiệm duy nhất. Bài 3. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có: sin 4. A B C 3  sin 4  sin 4  2 2 2 16. Bài 4. Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, một câu hỏi có 3 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Một thí sinh chọn ngẫu nhiên các câu trả lời. Hỏi xác suất thí sinh đó đạt điểm nào là cao nhất, biết rằng một câu trả lời đúng được 1 điểm và trả lời sai không được điểm nào.. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2013 Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: A  sin 3 x  cos3  sin x cos x  sin x  cos x. Bài 2. Cho cấp số cộng a1 , a2 ,..., an ,... với công sai d và cấp số nhân b1 , b2 ,..., bn ,... với công bội q . Tính giá trị biểu thức: A  a1b1  a2 b2  ...  anbn. qua a1 , b1 , d , q . Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  c , AC  BD  b , AD  BC  a . Xác định tâm và mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Bài 4. Giải hệ phương trình:.  5x  2 y 2  4 y  7  2 5y  2 z  4 z  7 5z  2 x 2  4x  7  1. Câu 5. Cho hàm số f  x  khả tích thỏa mãn:  f  x  dx  2013 và 0. f  x1   f  x2   x13  x23  x12 x2  x1 x22. Xác định hàm số đã cho. Câu 6. Một cửa hàng bán hóa có 5 loại: hoa hồng, hoa lan, hoa cúc, hoa ly, hoa huệ với số lượng lơn. Một khách hàng đến mua 20 bông hoa. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa.. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2014 Bài 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:. m  9  x  9  x  81  x 2  0 Bài 2. Tính đạo hàm cấp 2014 tại x  0 của hàm số: y  sin x sin 2 x sin 3x. Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang và: SA  SB  SC  AD  2 a , AB  BC  CD  a. 1. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD .. 2. Mặt phẳng    qua BC và tạo với đáy một góc 300 . Tính theo a thể tích thiết diện của hình chóp. S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng    . Bài 4. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: y  x 2  2 x  3  2 x 2  8x  15. Bài 5. Chứng minh rằng: 2014 . sin 2014 x  1  2014x dx  1007  2014 . Bài 6. Cho một mảnh đất hình vuông kích thước 10m  10m và những viên gạch hình chữ T như bên dưới. hỏi có thể lát kín mảnh đất bằng 25 viên gạch hay không? Vì sao?. Mảnh đất. 10m  10m. Viên gạch hình chữ T Gồm 4 ô vuông 1m  1m. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Biên soạn: NGUYỄN XUÂN TÙNG - KSTN CNTT K59 2015 Bài 1. Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:. x 3  3  m  1 x 2   6m  3  x  4m3  3m  0 (trong đó m là tham số) Bài 2. Giải phương trình x 2  2  5x 2  6x Bài 3. Cho khai triển  3  2 x  x 2 . 20.  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a39 x 39  a40 x 40 . Xác định hệ số a5 .. Bài 4. Cho một hình chóp đều có 10 cạnh và các cạnh đều có độ dài bằng a. Tính thể tích hình chóp. 1. Bài 5. Tính tích phân.   1  x   1  x  dx 2 2015. 0. Bài 6. Các học sinh của một khối 12 bắt buộc phải đăng kí thêm một trong 3 môn: Toán, Lý, Văn. Sau khi kết thúc đăng ký có 23 học sinh chỉ đăng ký môn Toán, có 76 học sinh đăng ký ọc Văn, có 76 học sinh đăng ký học Lý, có 79 học sinh đăng ký học Toán, có 35 học sinh đăng ký hai môn Lý và Văn, có 36 học sinh đăng ký học Toán và Văn, có 37 học sinh đăng ký hai môn Lý và Toán. Hỏi khối 12 kể trên có bao nhiêu học sinh?. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span>