NỘI DUNG ÔN TẬP GIỮA KÌ II TOÁN LỚP 9

TRƯỜNG THCS DỊCH VỌNG

NỘI DUNG ƠN TẬP GIỮA KÌ II

TỔ TỐN - LÍ - CƠNG NGHỆ

MƠN: TỐN 9
NĂM HỌC 2020 – 2021

A. LÝ THUYẾT
ĐẠI SỐ:
1) Rút gọn biểu thức và bài tốn tổng hợp.
2) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải hệ phương trình, hệ phương trình chứa tham số.
3) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
4) Phương trình bậc hai một ẩn.
HÌNH HỌC:
1) Hệ thức lượng trong tam giác vng.
2) Các góc trong đường trịn.
3) Tứ giác nội tiếp.
B. BÀI TẬP THAM KHẢO
PHẦN I. BIỂU THỨC
Bài 1 :

Cho 2 biểu thức P =

x
x −2

−

x +1

x +2

+

3− x
x +4
+ 1 với x  0; x  4 .
và Q =
4− x
x −2

a) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 9 .
b) Rút gọn biểu thức S = P : Q .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của S .
Bài 2 : Cho 2 biểu thức : M =

x +2
x −2
+
và N =
x + 2 x +1 1− x

x +1
với ( x  0, x  1)
x

a) Tính giá trị của N khi x = 25 .
b) Rút gọn biểu thức S = M .N .
c) Tìm x để S  −1.
Bài 3 : Cho biểu thức A =

x −1 x x +1
−
và B =
x −1
x −1

x −2
với x  0, x  1, x  4 .
x +1

a) Tính giá trị của biểu thức B với x = 2 .
b) Rút gọn biểu thức P = B : A .
c) Tìm các giá trị của x để
Bài 4 : Cho biểu thức A =

P

2
.
3

x +2
x
1
1
và B =
với x  0, x  4 .
+
+

x−4
x
x −2
x +2

a) Tính giá trị của A khi x = 64 .
b) Rút gọn B .
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


c) Cho P =

A
. Tìm x thỏa mãn x.P  10 x − 29 − x − 25 .
B

PHẦN II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

15 7
 x − y =9

1) 
.
 4 + 8 = −5
 x y

1
5
 1

x+ y + x− y = 8

2) 
.
 1 − 1 =−3
 x + y x − y
8

 3
 x −1 +

3) 
 2 −
 x − 1

3
3
 2x + 2 y = 1

4) 
.
1 + 1 =1
 3x 4 y 5

 2
 x + 4 − ( y − 1) = 1
5) 
.
 1 + 2y − 2 = 4
 x + 4

1
 8
 x − 3 + 2 y −1 = 5

.
6) 
 4 − 1 =3
 x − 3 1 − 2 y

3

2 x + y − 2 = 3

7) 
3x − 1 = 10

y−2

1
=4
y+2
.
1
=1
y+2

( x − 3)(2 y + 5) = (2 x + 7)( y − 1)
8) 
9)

(4 x − 1)(3 y − 6) = (6 x − 1)(2 y + 3)

2 x − 1 − y − 1 = 1

 x − 1 + y − 1 = 2

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1
5
1
+
−
=0
x −1 x + 1 x −1

a) 3x 2 − 5 x + 2 = 0

e)

b) −4 x 2 + 25 = 0

f)

c) 11x − 2 x 2 = 0

h) 6 x 4 − 7 x 2 + 1 = 0

2

x2 − x + 9 = 2x + 1

d) x 2 + 5x + 7 = 0
Bài 3 : Cho phương trình x 2 − 3 ( m − 1) x + 2m − 4 = 0 .Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 2 và tìm
nghiệm cịn lại .
Bài 4 : Cho x 2 − 2 ( m + 3) x + m 2 + 2 = 0 (1) . Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 3 và tìm nghiệm cịn
lại.
Bài 5. Tìm giá trị của a và b :
3ax − (b + 1) y = 93
a) Để hệ phương trình 
có nghiệm ( x ; y) = (1 ; −5)
bx + 4ay = −3

b) Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A ( −5;3) và B (1,5; − 1)
c) Để đường thẳng

( d1 ) : (3a − 1) x + 2by = 56

và

( d 2 ) : 0,5ax − (3b + 2) y = 3

cắt nhau tại điểm

M ( 2; −5) .
 x + my = m + 1
Bài 6. Cho hệ phương trình: 
.
mx + y = 3m − 1

1. Giải hệ phương trình khi m = 2 .
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) thỏa mãn:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


a) x  3 ; y  0 .
b) x + y =

8
. Khi đó hãy tìm các giá trị của x, y .
m −1
2

c) Tìm các giá trị nguyên của m sao cho x và y là các số nguyên.
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y khơng phụ thuộc vào m .
e) xy có giá trị nhỏ nhất.
f) M ( x; y ) thuộc góc phần tư thứ nhất hoặc thứ ba.
PHẦN III. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Hai máy xúc cùng làm chung cơng việc thì hồn thành sau 10 giờ. Nếu máy thứ nhất làm trong 6 giờ và máy
thứ hai làm trong 3 giờ thì mới làm được 40% cơng việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi máy phải làm trong bao
lâu để hồn thành cơng việc.
Bài 2. Hai vịi nước chảy vào một bể cạn thì sau 5 giờ 50 phút thì đầy bể. Nếu hai vịi chảy vào bể trong 5 giờ rồi
khóa vịi thứ nhất lại thì vịi thứ hai phải chảy trong 2 giờ nữa mới đầy bể. Hỏi mỗi vịi chảy một mình thì
bao lâu sẽ đầy bể.
Bài 3. Hai đội cơng nhân đào chung con mương trong 10 ngày sẽ hoàn thành. Họ làm chung với nhau được 6 ngày
thì đội I được điều động đi chỗ khác. Với tinh thần thi đua đội II làm với năng suất gấp đôi nên sau 3 ngày
nữa đã đào xong con mương. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì phỉa mất bao lâu mới đào xong con mương
Bài 4. Nếu hai người cùng làm chung một cơng việc thì trong

12

giờ xong cơng việc. Nếu mỗi người làm
5

một mình thì người thứ nhất hồn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một
mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc
Bài 5. Một ô tô đi quãng đường AC dài 195 km gồm hai đoạn đường: đoạn đường nhựa AB và đoạn đường đá

BC . Biết thời gian ô tô đi trên đoạn đường nhựa là 2h15 ph , thời gian ô tô đi trên đường đá là 1h30 ph .
Vận tốc ô tô trên đường nhựa lớn hơn trên đường đá là 20 km/h. Tính vận tốc ơ tơ trên mỗi đoạn đường.
Bài 6. Một ca nô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu ca nơ tăng vận tốc thêm 3 km/h thì đến sớm
2 h. Nếu ca nô giảm vận tốc đi 3 km/h thì đến muộn 3 h. Tính vận tốc và thời gian dự định.

Bài 7. Một chiếc thuyền đi trên dòng sơng dài 50 km. Tổng thời gian xi dịng và ngược dịng là 4 giờ 10 phút.
Tính vận tốc thực của thuyền, biết rằng một chiếc bè thả trôi phải mất 10 giờ mới xi hết dịng sơng.
Bài 8. Một ca nơ chạy trên dịng sơng trong 7 giờ, xi dòng 108 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác, ca nơ
cũng chạy trên dịng sơng trong 7 giờ nhưng xi dịng 81 km và ngược dịng 84 km. Tính vận tốc của dịng
nước và vận tốc riêng của ca nô, biết rằng vận tốc riêng của ca nôkhông đổi và lớn hơn vận tốc dòng nước.
Bài 9. Hai tổ sản xuất của một xí nghiệp dệt trong một ngày dệt được 800 mét vải. Ngày hôm sau do cải
tiến kĩ thuật nên tổ I vượt mức 20% , tổ II dệt vượt mức 15% nên ngày hơm đó cả hai tổ dệt được

945 mét vải. Hỏi ngày hôm trước mỗi tổ dệt được bao nhiêu mét vải?
Bài 10. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 . Nếu viết
xen giữa chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số tự nhiên đó tăng lên 630
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122


đơn vị.
Bài 11. Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng 156 , nếu lấy số lớn chia số nhỏ thì được thương là 6 và
dư là 9
Bài 12. Tìm hai số biết rằng tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị. Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ

hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn vị.
Bài 13. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó thêm 1cm thì diện tích của hình chữ nhật tăng
thêm 13cm2 . Nếu giảm chiều dài đi 2cm , chiều rộng đi 1cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm
15cm2 . Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho.

Bài 14. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80m . Nếu tăng chiều dài thêm 3m , chiều rộng thêm 5m thì diện
tích của mảnh đất sẽ tăng thêm 195m2 . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.
Bài 15. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 200m . Sau khi người ta làm một lối đi rộng 2m xung quanh
vườn ( thuộc đất của vườn) thì phần đất cịn lại để trồng cây là một hình chữ nhật có diện tích là 2016m2 .
Tính các kích thước của khu vườn lúc đầu.
Bài 16. Một tam giác có chiều cao bằng

3
cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 3dm
4

thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm 2 . Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.
Bài 17. Một phòng họp có một số dãy ghế, tổng cộng 40 chỗ. Do phải xếp 55 chỗ nên người ta kê thêm một
dãy ghế và mỗi dãy xếp thêm một chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế trong phịng họp.
Bài 18. Trong một phịng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các ghế. Nếu ta bớt đi hai dãy ghế
mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm hai người mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy
được xếp bao nhiêu người.

PHẦN IV. HÌNH HỌC
Bài 1: Cho ( O; R ) đường kính AB cố định. Gọi M là trung điểm của AB . Dây CD vng góc AB tại M . Điểm
E chuyển động trên cùng lớn CD ( E khác A ). Nối AE cắt CD tại K . Nối BE cắt CD tại H .

a) Chứng minh: Tứ giác BMEK nội tiếp đường trịn.
b) Chứng minh: AE. AK khơng đổi.
c) Tính theo R diện tích hình quạt trịn giới hạn bởi OB , OC và cung nhỏ BC .

d) Chứng minh: Tâm I của đường trịn ngoại tiếp ABHK ln thuộc một đường thẳng cố định khi E
chuyển động trên cung CD lớn.
Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn tâm O , đường cao AH . Gọi M và N
lần lượt là hình chiếu của điểm H trên cạnh AB và AC.
a) Chứng minh tứ giác AMNH nội tiếp đường tròn và AM . AB = AN . AC.
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


b) Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại Q . Chứng minh QM .QN = QB.QC
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB, E là trung điểm AH . Chứng minh rằng tứ giác

AOIE là hình bình hành.
Bài 3: Trên đường trịn ( O ) đường kính AB = 2 R , lấy một điểm C sao cho AC = R và lấy điểm D bất kì
trên cung nhỏ BC ( D khơng trùng với B và C ). Gọi E là giao điểm của AD và BC . Đường
thẳng đi qua E và vuông góc với đường thẳng AB tại H cắt AC tại F .
a) Chứng minh BHCF là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh HA.HB = HE.HF và 3 điểm F , B, D thẳng hàng.
c) Gọi M là trung điểm của EF . Chứng minh CM là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) .
Bài 4. Cho đường tròn ( O ) . Một điểm M nằm ngồi đường trịn ( O ) , kẻ tiếp tuyến MA ( A là tiếp điểm).
Kẻ đường kính AOC và dây AB vng góc với OM tại H .
a) Chứng minh BC / / OM .
b) Kẻ dây CN của ( O ) đi qua H . Tia MN cắt ( O ) tại điểm thứ hai D .
Chứng minh MA2 = MN.MD .
c) Chứng minh MOD đồng dạng với MNH
d) Chứng minh B,O,D thẳng hàng.
Bài 5 : Cho đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn tại A .Trên Ax lấy
một điểm M cố định ( M khác A ).Kẻ tiếp tuyến thứ hai MC ( C là tiếp điểm) và cát tuyến MDE với
đường tròn (O ) (tia ME nằm giữa hai tia MB và MO ).Qua A kẻ đường thẳng song song với ME cắt
(O ) tại I , AC cắt MO tại K .

1) Chứng minh : MCD ∽ MEC .
2) Chứng minh : MK .MO = MC 2 .
3) Gọi giao điểm của CI và ME là N .
a) Nếu AIC = 600 ,hãy tính MC theo R .
b) Chứng minh : ON ⊥ ME .
4) Tia BD, BE cắt MO lần lượt tại H và F . Chứng minh rằng: khi cát tuyến MDE quay quanh điểm
M thì trọng tâm của AHF thuộc một đường thẳng cố định.

---HẾT---

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


TRƯỜNG THCS DỊCH VỌNG

NỘI DUNG ƠN TẬP GIỮA KÌ II

TỔ TỐN - LÍ - CƠNG NGHỆ

MƠN: TỐN 9
NĂM HỌC 2020 – 2021

A. LÝ THUYẾT
Đại số:
1) Rút gọn biểu thức và bài tốn tổng hợp.
2) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải hệ phương trình, hệ phương trình chứa tham số.
3) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
4) Phương trình bậc hai một ẩn.
Hình học:
4) Hệ thức lượng trong tam giác vng.

5) Các góc trong đường trịn.
6) Tứ giác nội tiếp.
B. BÀI TẬP THAM KHẢO
PHẦN I. BIỂU THỨC
Bài 1 :

x

Cho 2 biểu thức P =

x −2

x +1

−

x +2

+

3− x
x +4
+ 1 với x  0; x  4 .
và Q =
4− x
x −2

a) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 9 .
b) Rút gọn biểu thức S = P : Q .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của S .

Hướng dẫn
a) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 9 .
Thay x = 9 (TMĐK) vào Q =

Q=

3− 9
9 −2

+1 =

3− x
x −2

+ 1 , ta có:

3−3
+1 = 0 +1 = 1
3−2

Vậy x = 9 thì Q = 1 .
b) Rút gọn biểu thức S = P : Q .

P=
P=

x
x −2
x
x −2

−
−

x +1
x +2
x +1
x +2

+
−

(

x +4
4− x
x +4
x −2

)(

x +2

)

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


x

P=

P=

P=

P=

Q=

(

) ( x + 1)( x − 2) − (
( x − 2)( x + 2)

x +2 −

x +4

)

x+2 x − x+2 x − x +2− x −4

(

x −2

2 x −2

(

x −2
2

(

(

x −2

S = P :Q =

x +2

)

x +2

)

)

x −1

x −2

3− x

)(

)(

)(

x +2

3− x + x −2

+1 =

x −2

2

(

)

(

x −2

)

x −1

)(

x +2

)

1

=

x −2

1

:

x −2

=

2

(

(

)

(

x −1

x −2

)(

)

x − 2 2 x −1
.
=
1
x +2
x +2

)

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của S

S=

2

(

Ta có:

)=2

x −1

x −2

x +2

x +2

−6

= 2+

x +2
1

x  0  x +22 

x +2



1

2

−6
x +2

 −3  2 +

−6
x +2

 2 + ( −3)  S  −1

S đạt giá trị nhỏ nhất bằng −1  x = 0
x +2
x −2
+
và N =
x + 2 x +1 1− x

Bài 2 : Cho 2 biểu thức : M =

x +1
với ( x  0, x  1)
x

a) Tính giá trị của N khi x = 25 .
b) Rút gọn biểu thức S = M .N .
c) Tìm x để S  −1.
Hướng dẫn
a) Thay x = 25 (TMĐK) vào N ta được N =
Vậy N =

25 + 1 6
=
5
25

6
khi x = 25
5



x +2
x − 2  x +1
b) Ta có : S = M .N = 
+
.
x
 x + 2 x +1 1− x 


S=



(

x +2

−

) (

x +1

2


. x +1
x
x +1 


x −2

)(

x −1

)

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122



S=


S=

S=

(

(

x +2

)(
(

) (

x + 1) (

x −1 −
2

2 x

)(

x +1

2

.

)

x −1

x −2

)

)(

x −1

)

x +1  x +1

.

x


x +1
x

2
x −1

c) Để S  −1 thì

2
2
x +1
 −1 
+1  0 
 0  x 1
x −1
x −1
x −1

Vậy 0  x  1 thì S  −1 .

Bài 3 : Cho biểu thức A =

x −1 x x +1
−
và B =

x −1
x −1

x −2
với x  0, x  1, x  4 .
x +1

a) Tính giá trị của biểu thức B với x = 2 .
b) Rút gọn biểu thức P = B : A .
c) Tìm các giá trị của x để

P

2
.
3
Hướng dẫn

a) Với x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ), thay vào B ta có
2 − 2 ( 2 − 2)( 2 − 1) 2 − 2 − 2 2 + 2
=
=
= 4−3 2 .
2 −1
2 + 1 ( 2 + 1)( 2 − 1)

B=

Vậy với x = 2 thì B = 4 − 3 2 .
b) Với x  0, x  1, x  4 , ta có

A=
=

x − 1 x x + 1 x − 1 ( x + 1)( x − x + 1)
−
=
−
x −1
x −1
x −1
( x − 1)( x + 1)

x −1 x − x + 1 x −1 − x + x −1
=
=
−
x −1
x −1
x −1

Do đó P = B : A =
Vậy P =

c)

x −2 x −2
:
=
x +1
x −1

x −1
.
x +1

x −1
với x  0, x  1, x  4 .
x +1

P có nghĩa  P  0 
P

x −2
x −1

2
4
P 
3
9

x −1
 0  x 1
x +1

x −1 4

x +1 9

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122



x −1 4
5 x − 13
169
− 0 
0 x
25
x +1 9
9( x + 1)

Kết hợp các điều kiện ta có 1  x 
Bài 4 : Cho biểu thức A =

169
và x  4 là các giá trị cần tìm.
25

x +2
x
1
1
và B =
với x  0, x  4 .
+
+
x−4
x

x −2
x +2

a) Tính giá trị của A khi x = 64 .
b) Rút gọn B .
c) Cho P =

A
. Tìm x thỏa mãn x.P  10 x − 29 − x − 25 .
B
Hướng dẫn

a) Với x = 64 (thỏa mãn ĐKXĐ), thay vào tính A ta có
A=

64 + 2 8 + 2 10 5
=
= = .
8
8 4
64

Vậy với x = 64 thì A =
b) B =
=

5
.
4

x
1
1
x+ x +2+ x −2
=
+
+
x−4
( x − 2)( x + 2)
x −2
x +2

x ( x + 2)
x+2 x
=
=
( x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2)

Vậy B =

x
.
x −2

x
với x  0, x  4
x −2

c) Điều kiện: x  25 . Biến đổi P =

x−4
. Do đó:
x

x.P  10 x − 29 − x − 25  x − 4  10 x − 29 − x − 25
 x − 10 x + 25 − x − 25  0  ( x − 5)2 + x − 25  0
2

( x − 5) = 0

 x = 25 (Thỏa mãn)
x
−
25
=
0



Vậy x = 25 là giá trị cần tìm.
PHẦN II. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

15 7
 x − y =9

1) 
.
 4 + 8 = −5
 x y

1
5
 1
x+ y + x− y = 8

2) 
.
 1 − 1 =−3
 x + y x − y
8

 3
 x −1 +

3) 
 2 −
 x − 1

1
=4
y+2
.
1
=1
y+2

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

3
3
 2x + 2 y = 1

4) 
.
1 + 1 =1
 3x 4 y 5

 2
 x + 4 − ( y − 1) = 1
5) 
.
 1 + 2y − 2 = 4
 x + 4

3

2 x + y − 2 = 3

7) 
3x − 1 = 10

y−2

1
 8
 x − 3 + 2 y −1 = 5

.

6) 
 4 − 1 =3
 x − 3 1 − 2 y

( x − 3)(2 y + 5) = (2 x + 7)( y − 1)
8) 
9)
(4 x − 1)(3 y − 6) = (6 x − 1)(2 y + 3)

2 x − 1 − y − 1 = 1

 x − 1 + y − 1 = 2

Hướng dẫn

15 7
 x − y =9

1) 
.
 4 + 8 = −5
 x y

1
1
Điều kiện x  0; y  0. Đặt a = ; b = .
x
y
1 1
1


=
a=
x = 4

15a − 7b = 9

 x 4

4



Hệ phương trình trở thành 
−4 (thỏa mãn).
4a + 8b = −5 b = −3  1 = −3
 y = 3

 y 4
4
 −4 
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  4;  .
 3 

1
5
 1
x+ y + x− y = 8

2) 

.
 1 − 1 =−3
 x + y x − y
8
Điều kiện x + y  0; x − y  0. Đặt a =

1
1
;b=
.
x+ y
x− y

5
1 1 1


=
a + b = 8
a = 8  x 8
x = 8



Hệ phương trình trở thành 
(thỏa mãn)
y = 2
a − b = − 3
b = 1  1 = 1



8
2  y 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 8; 2 ) .

 3
 x −1 +

3) 
 2 −
 x − 1

1
=4
y+2
.
1
=1
y+2

Điều kiện x  1; y  −2. Đặt a =

1
1
;b=
.
x −1
y+2

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122

 1
=1
3a + b = 4
a = 1  x − 1
x = 2



Hệ phương trình trở thành 
(thỏa mãn).
 2a − b = 1
b = 1  1 = 1  y = −1
 y + 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2; −1) .

3
3
 2x + 2 y = 1

4) 
.
1 + 1 =1
 3x 4 y 5

1
1
Điều kiện x  0; y  0. Đặt a = ; b = .
x

y
1 2
2
3
5

3

=
a
=
a
+
b
=
1
x=


 2


x 5

5
2
2




Hệ phương trình trở thành 
(thỏa mãn).
1
4
1
1
1
4
15
 a+ b=
b =
 =
y =

 3
 15  y 15
4
5
4
 5 15 
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ;  .
2 4 

 2
 2
− ( y − 1) = 1
− ( y − 1) = 1


 x+4

 x+4
5) 

.
 1 + 2y − 2 = 4
 1 + 2 ( y − 1) = 4


 x+4
 x+4
Điều kiện x  −4. Đặt a =

1
; b = y − 1.
x+4

6
6  1
5
−119



=
a
=
x+4 =
x=





 2a − b = 1


5  x+4 5
6
36




.
Hệ phương trình trở thành 
7
12
12
7
a + 2b = 4
b =
 y −1 =
y =
y =




5
5
5

5
 −119 12 
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = 
; .
 36 5 

1
 8
+
 x − 3 2 y −1 = 5

.
6) 
4
1

−
=3
 x − 3 1 − 2 y
1
Điều kiện x  0; x  9; y = . Đặt a =
2

1
1
;b=
.
2 y −1
x −3

2
 1
2

=
9

a
=


8a + b = 5
 x −3 3
 x=
3
2
Hệ phương trình trở thành 



.
4a − b = 3 b = −1  1 = −1  2 y − 1 = −3(VL)


 2 y − 1 3
3
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Vậy hệ phương trình vơ nghiệm.

3

2 x + y − 2 = 3

7) 
3x − 1 = 10

y−2

x = 3
ĐS: 
y =1

( x − 3)(2 y + 5) = (2 x + 7)( y − 1)
8) 
(4 x − 1)(3 y − 6) = (6 x − 1)(2 y + 3)

125

 x = 553
ĐS: 
 y = −39

79

2 x − 1 − y − 1 = 1
9) 
 x − 1 + y − 1 = 2

x = 2
ĐS 
y = 2

Bài 2: Giải các phương trình sau

1
5
1
+
−
=0
x −1 x + 1 x −1

a) 3x 2 − 5 x + 2 = 0

e)

b) −4 x 2 + 25 = 0

f)

c) 11x − 2 x 2 = 0

h) 6 x 4 − 7 x 2 + 1 = 0

2

x2 − x + 9 = 2x + 1

d) x 2 + 5x + 7 = 0
ĐÁP SỐ

a)

2
S = {1; }
3

5 5
b) S = { ; − }
2 2

5
e) S = { }
4

d) S = 

c) S = {0;

11
}
2

8
f) S = {−1; }
3

f) S = {1; 

6
}
6

Bài 3 : Cho phương trình x 2 − 3 ( m − 1) x + 2m − 4 = 0 .Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 2 và tìm
nghiệm cịn lại .
Hướng dẫn
Điều kiện cần : x = 2 là một nghiệm nên 22 − 3 ( m − 1) 2 + 2m − 4 = 0  m =
Điều kiện đủ :khi m =

3
ta có :
2

3
2

3
3 
x 2 − 3  − 1 x + 2. − 4 = 0
2
2 

x = 2
3
 x2 − x −1 = 0  
x = − 1
2


2
Vậy m =

3
là giá trị cần tìm .
2

Bài 4 : Cho x 2 − 2 ( m + 3) x + m 2 + 2 = 0 (1) .Tìm m để phương trình có một nghiệm x = 3 và tìm nghiệm cịn
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


lại .
Hướng dẫn
m = 7
Điều kiện cần : x = 3 là một nghiệm nên : 32 − 2 ( m + 3) .3 + m 2 + 2 = 0 (1)  
 m = −1

Điều kiện đủ :

m = 3
khi m = 7  
vậy m = 7 thỏa mãn
 m = 17

m = 3
khi m = −1  
vậy m = −1 thỏa mãn
m = 1
m = 7
Vậy 

là giá trị cần tìm .
 m = −1

Bài 5. Tìm giá trị của a và b :
3ax − (b + 1) y = 93
a) Để hệ phương trình 
có nghiệm ( x ; y) = (1 ; −5)
bx + 4ay = −3

b) Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A ( −5;3) và B (1,5; − 1)
c) Để đường thẳng

( d1 ) : (3a − 1) x + 2by = 56

và

( d 2 ) : 0,5ax − (3b + 2) y = 3

cắt nhau tại điểm

M ( 2; −5) .
Hướng dẫn


3a + 5b = 88
3a.1 − (b + 1). ( −5) = 93
a) Để hệ có nghiệm ( x ; y) = (1 ; −5) thì 
hay 
.
−

20
a
+
b
=
−
3
b
.1
+
4
a
.
−
5
=
−
3
(
)



a = 1
Giải hệ trên ta được: 
.
b = 17

3 = −5.a + b
b) Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A ( −5;3) và B (1,5; − 1) thì 

−1 = 1,5.a + b

8

a = − 13
Giải hệ trên ta được: 
.
b = − 1

13
c) Điều kiện để hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) cắt nhau là: 3a − 1  0,5a hay a 

( d1 ) : (3a − 1) x + 2by = 56

2
.
5

và ( d 2 ) : 0,5ax − (3b + 2) y = 3 cắt nhau tại điểm M ( 2; −5)


6a − 10b = 58 a = 8
( 3a − 1) .2 + 2b. ( −5) = 56


.

a
+
15

b
=
−
7
b
=
−
1
0,5
a
.2
−
3
b
+
2
.
−
5
=
3
(
)
(
)




Đối chiếu điều kiện ta thấy thỏa mãn. Vậy a = 8, b = −1 .

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


 x + my = m + 1
Bài 6. Cho hệ phương trình: 
.
mx + y = 3m − 1

1. Giải hệ phương trình khi m = 2 .
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) thỏa mãn:
a) x  3 ; y  0 .

b) x + y =

8
. Khi đó hãy tìm các giá trị của x, y .
m −1
2

c) Tìm các giá trị nguyên của m sao cho x và y là các số nguyên.
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m .
e) xy có giá trị nhỏ nhất.
f) M ( x; y ) thuộc góc phần tư thứ nhất hoặc thứ ba.
Hướng dẫn:

7

x=


x + 2 y = 3

3

1. Khi m = 2 ta có hệ: 
2
x
+
y
=
5

y = 1

3
x = 1
2. TH1: Khi m = 0 ta được: 
.
 y = −1

a) Vô nghiệm. b) Vô nghiệm.
d) x + y = 0 .

e) xy = −1 không đổi.

c) m = 0 .
f) Vô nghiệm.

TH2: Khi m = 1 ta được x + y = 2
a) m = 1.

b) Vô nghiệm.

c) m = 1.

d) x + y = 2 .

e) xy = 1 .

f) m = 1.

TH3: Khi m = −1 hệ phương trình vô nghiệm.

3m + 1

x
=

m +1
TH4: Khi m  0; m  1 ta được: 
.
m
−
1
y =

m +1
 3m + 1
 −2
 m + 1  3  m + 1  0

m − 1  0


 m 1.
a) x  3 ; y  0  
m
−
1
m
−
1
m
+
1

0



0
0
 m + 1
 m + 1
b) x + y =



8
3m + 1 m − 1
8


+
= 2 .
m −1
m + 1 m + 1 m −1
2

4m
8
2
= 2
m=
 m = 2.
m + 1 m −1
m −1

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122


7

 x = 3
Khi đó 
.
y = 1

3
3m + 1
2


 x = m + 1 = 3 − m + 1
c) 
.
 y = m −1 = 1 − 2

m +1
m +1
Để x, y là số nguyên thì m + 1 Ư ( 2 )  m  −2;0; −3 .
d) x − y = 2 .
3m + 1 m − 1 3m2 − 2m − 1  2

.
= 2
=
− 2  − 1  −1 .
m + 1 m + 1 m + 2m + 1  m + 1 
2

e) xy =

Dấu " = " xảy ra khi m = 0 .
f) M ( x; y ) thuộc góc phần tư thứ nhất hoặc thứ ba
m 1


3m + 1)( m − 1)
(
.
 xy  0 
0

2
m  − 1
( m + 1)
3


PHẦN III. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1. Hai máy xúc cùng làm chung cơng việc thì hồn thành sau 10 giờ. Nếu máy thứ nhất làm trong 6
giờ và máy thứ hai làm trong 3 giờ thì mới làm được 40% cơng việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi máy phải
làm trong bao lâu để hồn thành cơng việc.
Hướng dẫn
Gọi thời gian mỗi máy làm riêng để hồn thành cơng việc lần lượt là x và y (giờ). Điều kiện: x, y  10
Coi khối lượng cơng việc là 1 thì:
Một giờ máy thứ nhất làm được
Một giờ máy thứ hai làm được

1
cơng việc.
x

1
cơng việc.
y

Vì hai máy cùng làm thì hồn thành công việc sau 10 giờ nên một giờ cả hai máy làm được
Ta có phương trình:

1 1 1
(1).

+ =
x y 10

Máy thứ nhất làm trong 6 giờ sẽ được
Máy thứ hai làm trong 3 giờ sẽ được

6
cơng việc.
x

3
cơng việc.
y

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122

1
cơng việc.
10


Hai máy làm được 40% cơng việc nên ta có phương trình:

6 3 40 2
+ =
= ( 2) .
x y 100 5

1 1 1
 x + y = 10


Từ (1)( 2 ) ta có hệ phương trình: 
.
6 + 3 = 2
 x y 5
 x = 30
Giải hệ phương trình được 
( thỏa mãn điều kiện)
 y = 15

Kết luận:
Bài 2. Hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 5 giờ 50 phút thì đầy bể. Nếu hai vịi chảy vào bể trong 5 giờ rồi
khóa vịi thứ nhất lại thì vịi thứ hai phải chảy trong 2 giờ nữa mới đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì
bao lâu sẽ đầy bể.
Hướng dẫn
Đổi: 5 giờ 50 =

35
giờ.
6

Gọi thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể là x và y giờ. Điều kiện: x, y 

35
.
6

Coi thể tích bể là 1 thì:
1 giờ vòi I chảy được
1 giờ vòi II chảy được

Cả hai vịi chảy trong

1
bể.
x

1
bể.
y
35  1 1 
35
giờ thì đầy bể nên ta có phương trình:
 +  = 1 (1)
6
6 x y

1 1
Hai vòi chảy trong 5 giờ được 5  +  bể.
x y

Vòi thứ II chảy trong 2 giờ được

2
bể.
y

1 1 2
Ta có phương trình: 5  +  + = 1 ( 2 )
x y y

 35  1 1 
  +  =1
 6 x y
Từ (1)( 2 ) ta có hệ phương trình: 
5  1 + 1  + 2 = 1
  x y  y

 x = 10
Giải hệ được 
( thỏa mãn điều kiện)
 y = 14

Kết luận:
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Bài 3. Hai đội công nhân đào chung con mương trong 10 ngày sẽ hoàn thành. Họ làm chung với nhau được 6 ngày
thì đội I được điều động đi chỗ khác . Với tinh thần thi đua đội II làm với năng suất gấp đôi nên sau 3 ngày
nữa đã đào xong con mương. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì phỉa mất bao lâu mới đào xong con mương
Hướng dẫn
Gọi thời gian đội I và đội II làm một mình để đào xong con mương là x và y ngày. Điều kiện: x, y  10
Coi khối lượng cơng việc là 1 thì:
Một ngày đội I đào được
Một ngày đội II đào được

1
công việc.
x

1
công việc.
y

1 1
Hai đội làm trong 10 ngày thì hồn thành nên ta có phương trình: 10  +  = 1 (1) .
x y
1 1
Hai đội làm trong 6 ngày được 6  +  cơng việc.
x y

Vì đội II tăng năng suất gấp 2 nên trong 3 ngày đội II là được 2.

3 6
= công việc.
y y

1 1 6
Theo bài ra ta có phương trình: 6  +  + = 1 ( 2 )
x y y

 1 1
10  +  = 1
 x y
Từ (1)( 2 ) ta có hệ phương trình: 
6  1 + 1  + 6 = 1
  x y  y

 x = 30
Giải hệ được 

( thỏa mãn điều kiện)
 y = 15

Kết luận:
Bài 4. Nếu hai người cùng làm chung một công việc thì trong

12
giờ xong cơng việc. Nếu mỗi người làm
5

một mình thì người thứ nhất hồn thành cơng việc nhanh hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một
mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc
Hướng dẫn
Gọi thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình hồn thành cơng việc lần lượt là x và y giờ.
Điều kiện: x, y 

12
.
5

Coi khối lượng công việc là 1.
1 giờ người thứ nhất làm được

1
cơng việc.
x

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

1 giờ người thứ hai làm được

1
công việc.
y

Cả hai người làm chung thì xong cơng việc trong

12  1 1 
12
giờ nên ta có phương trình:
 +  = 1 (1)
5 x y
5

Vì người thứ nhất hồn thành cơng việc nhanh hơn người thứ hai là 2 giờ nên ta có phương trình:

x − y = 2 ( 2) .

12  1 1 
+
=1

Từ (1)( 2 ) ta có hệ phương trình:  5  x y 
x − y = 2

x = 6
Giải hệ được 
( thỏa mãn điều kiện)
y = 4

Kết luận:
Bài 5. Một ô tô đi quãng đường AC dài 195 km gồm hai đoạn đường: đoạn đường nhựa AB và đoạn đường đá

BC . Biết thời gian ô tô đi trên đoạn đường nhựa là 2h15 ph , thời gian ô tô đi trên đường đá là 1h30 ph .
Vận tốc ô tô trên đường nhựa lớn hơn trên đường đá là 20 km/h. Tính vận tốc ô tô trên mỗi đoạn đường.
Hướng dẫn
Gọi x km/h là vận tốc ô tô trên đoạn đường AB. ( x  0 ) .
y km/h là vận tốc ô tô trên đoạn đường BC ( y  0 ) .

Theo giả thiết ta có hệ phương trình

3
9
 x + y = 195  x = 60

2
4
 y = 40
 x − y = 20
Bài 6. Một ca nô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu ca nô tăng vận tốc thêm 3 km/h thì đến sớm
2 h. Nếu ca nơ giảm vận tốc đi 3 km/h thì đến muộn 3 h. Tính vận tốc và thời gian dự định.

Hướng dẫn
Gọi x km/h là vận tốc ca nô dự định trên AB. ( x  0 ) .
y h là thời gian dự định đi trên AB ( y  0 ) .

Theo giả thiết ta có hệ phương trình



−2 x + 3 y = 6  x = 15
( x + 3)( y − 2 ) = xy



3
x
−
3
y
=
9
x
−
3
y
+
3
=
xy
(
)(
)

 y = 12


Bài 7. Một chiếc thuyền đi trên dịng sơng dài 50 km. Tổng thời gian xi dịng và ngược dịng là 4 giờ 10 phút.
Tính vận tốc thực của thuyền, biết rằng một chiếc bè thả trôi phải mất 10 giờ mới xi hết dịng sơng.
Hướng dẫn

Gọi x km/h là vận tốc thực của thuyền. ( x  0 ) .

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Chiếc bè thả trôi phải mất 10 giờ mới xuôi hết dịng sơng, suy ra vn = vb =

50
= 5 km/h.
10

Theo giả thiết ta có phương trình

50
50
25
+
=
 v = 25 km/h.
v +5 v −5 6
Bài 8. Một ca nô chạy trên dịng sơng trong 7 giờ, xi dịng 108 km và ngược dịng 63 km. Một lần khác, ca nơ
cũng chạy trên dịng sơng trong 7 giờ nhưng xi dịng 81 km và ngược dịng 84 km. Tính vận tốc của dịng
nước và vận tốc riêng của ca nơ, biết rằng vận tốc riêng của ca nôkhông đổi và lớn hơn vận tốc dòng nước.
Hướng dẫn
Gọi x km/h là vận tốc xi dịng. ( x  0 ) .
y km/h là vận tốc ngược dòng. ( y  0 ) .

Theo giả thiết ta có hệ phương trình

108 63

 x + y =7
 x = 27



 y = 21
 81 + 84 = 7

y
x
Khi đó, ta có v (ca nơ) + v (dịng nước) = 27

v (ca nơ) − v (dịng nước) = 21
Suy ra: v (ca nơ) = 24 km/h, v (dòng nước) = 3 km/h.
Bài 9. Hai tổ sản xuất của một xí nghiệp dệt trong một ngày dệt được 800 mét vải. Ngày hôm sau do cải tiến
kĩ thuật nên tổ I vượt mức 20% , tổ II dệt vượt mức 15% nên ngày hơm đó cả hai tổ dệt được 945 mét
vải. Hỏi ngày hôm trước mỗi tổ dệt được bao nhiêu mét vải?
Hướng dẫn
Gọi số vải tổ I dệt được ngày hôm trước là x, 0Gọi số vải tổ II dệt được ngày hôm trước là y, 0Vì ngày hơm trước hai tổ dệt được 800 mét vải nên ta có phương trình:
x + y = 800

(1)

Ngày hôm sau, tổ I vượt mức 20% tức là x + 20%x
Tổ II vượt mức 15% tức là y + 15% y
Ngày hôm sau cả hai tổ dệt được 945 mét vải nên ta có phương trình:

( x +20% x )

+

( y +15% y )

= 800

1
3
 x+
y = 145
5
20
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
 x + y = 800
 x = 500


(thỏa mãn)
3
1
 y = 300
 5 x + 20 y = 145
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122

(2)


Vậy ngày hôm trước tổ I dệt được 500 mét vải, tổ II dệt được 300 mét vải.
Bài 10. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 . Nếu viết

`xen giữa chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số tự nhiên đó tăng lên 630
đơn vị.
Hướng dẫn
Gọi chữ số hàng chục là x, x  N * , x  9
Gọi chữ số hàng đơn vị là y, y  N , y  9
Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có phương trình:
x− y = 2

(1)

Vì khi viết chữ số chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số tự nhiên đó tăng
lên 630 đơn vị nên ta có phương trình:

(100 x + y ) − (10 x + y ) = 630

 90 x = 630  x = 7

(2)

x − y = 2
x = 7

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
(thỏa mãn)
x = 7
y = 5

Vậy số cần tìm là 75
Bài 11. Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng 156 , nếu lấy số lớn chia số nhỏ thì được thương là 6 và
dư là 9

Hướng dẫn
Gọi số lớn là x , số bé là y , ( x, y  156 )
Vì tổng của hai số bằng 156 nên ta có phương trình:

x + y = 156

(1)

Vì số lớn chia số nhỏ thì được thương là 6 và dư là 9 nên ta có phương trình:
x = 6y + 9  x − 6y = 9

(2)

 x + y = 156
 x = 135

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
(thỏa mãn)
x − 6 y = 9
 y = 21

Vậy hai số cần tìm là 135 và 21
Bài 12. Tìm hai số biết rằng tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị. Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ
hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn vị.
Hướng dẫn
Gọi số thứ nhất là x , số thứ hai là y , ( x, y  17 )
Vì tổng của hai số bằng 17 nên ta có phương trình: x + y = 17

(1)

Vì số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn
vị nên ta có phương trình: ( x + 3)( y + 2 ) = 105

(2)

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


  x = 12

 x + y = 17
y = 5
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
(thỏa mãn)

 x = 5
( x + 3)( y + 2 ) = 105

  y = 12
Vậy hai số cần tìm là 5 và 12
Bài 13. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó thêm 1cm thì diện tích của hình chữ nhật tăng
thêm 13cm2 . Nếu giảm chiều dài đi 2cm , chiều rộng đi 1cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm
15cm2 . Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho.

Hướng dẫn
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho lần lượt là x(cm), y(cm) . Điều kiện: x  2, y  1 .
( x + 1)( y + 1) = xy + 13
 x + y = 12
x = 7



Ta lập được hệ phương trình 
(thỏa mãn).
( x − 2)( y − 1) = xy − 15
 x + 2 y = 17
y = 5

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho lần lượt là 7(cm), 5(cm) .
Bài 14. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80m . Nếu tăng chiều dài thêm 3m , chiều rộng thêm 5m thì diện
tích của mảnh đất sẽ tăng thêm 195m2 . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.
Hướng dẫn
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho lần lượt là x(m), y(m) . Điều kiện: 0  x; y  40 .
 x + y = 40
 x + y = 40
 x = 30


Ta lập được hệ phương trình 
(thỏa mãn).
( x + 3)( y + 5) = xy + 195
5 x + 3 y = 180
 y = 10

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho lần lượt là 30(m), 10(m) .
Bài 15. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 200m . Sau khi người ta làm một lối đi rộng 2m xung quanh
vườn ( thuộc đất của vườn) thì phần đất cịn lại để trồng cây là một hình chữ nhật có diện tích là 2016m2 .
Tính các kích thước của khu vườn lúc đầu.
Hướng dẫn
Gọi các kích thước của hình chữ nhật đã cho là x(m), y(m) . Điều kiện: 4  x; y  100 .
 x + y = 100

 x + y = 100
 y = 100 − x


Ta lập được hệ phương trình 
( x − 4)( y − 4) = 2016
 x. y − 4( x + y ) = 2000
 x(100 − x) = 2400

  x = 40
 y = 100 − x

 y = 100 − x

 y = 60
(thỏa mãn).
 2
   x = 60(t /m)  
  x = 60
− x + 100 x − 2400 = 0
  x = 40(t /m)


  y = 40
Vậy các kích thước của hình chữ nhật đã cho là 60(m), 40(m) .
Bài 16. Một tam giác có chiều cao bằng

3
cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 3dm
4

thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm 2 . Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.
Hướng dẫn
LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


Gọi cạnh đáy tam giác là x (dm) ( x  0)

 Chiều cao tam giác là

3x
(dm)
4

Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 3dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm 2 nên
ta có phương trình:
1
3x
1
 3x

 x  + 12 =  ( x − 3)  + 3 
2
4
2
4





3 2
3
x + 32 ) = ( x − 3)( x + 4 )  x 2 + 32 = x 2 + x − 12  x = 44(TMDK )
(
8
8

Vậy cạnh đáy tam giác là 44 dm , chiều cao tam giác là 33dm .
Bài 17. Một phịng họp có một số dãy ghế, tổng cộng 40 chỗ. Do phải xếp 55 chỗ nên người ta kê thêm một
dãy ghế và mỗi dãy xếp thêm một chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế trong phịng họp.
Hướng dẫn
Goi số chỗ có thể xếp ở mỗi dãy ghế lúc đầu là x ( x  *) (chỗ)

 Lúc đầu phịng họp có

40
(dãy ghế)
x

Do phải xếp 55 chỗ nên người ta kê thêm một dãy ghế và mỗi dãy xếp thêm một chỗ nên ta có
phương trình:

40
 40 
55 = ( x + 1)  + 1  55 = 41 + + x  x 2 − 14 x + 40 = 0
x
 x

 x = 10

 ( x − 10 )( x − 4 ) = 0  
(TMDK )
x = 4

Vậy lúc đầu có thể có 10 dãy ghế hoặc 4 dãy ghế.
Bài 18. Trong một phịng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các ghế. Nếu ta bớt đi hai dãy ghế
mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm hai người mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy
được xếp bao nhiêu người.
Hướng dẫn
Gọi số dãy ghế ban đầu là x ( x  N *) (dãy)

 Lúc đầu mỗi dãy có

80
(ghế)
x

Nếu ta bớt đi hai dãy ghế mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm hai người mới đủ chỗ nên ta có phương
 80

trình: ( x − 2 )  + 2  = 80
 x


 80 −

 x = 10 (TMDK )
160
+ 2 x − 4 = 80  2 x 2 − 4 x − 160 = 0  ( x − 10 )( x + 8 ) = 0  
x

 x = −8( L)

Vậy lúc đầu có 10 dãy ghế và mỗi dãy xếp được 8 người.

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122


PHẦN IV. HÌNH HỌC
Bài 1: Cho ( O; R ) đường kính AB cố định. Gọi M là trung điểm của AB . Dây CD vng góc AB tại M . Điểm
E chuyển động trên cùng lớn CD ( E khác A ). Nối AE cắt CD tại K . Nối BE cắt CD tại H .

a) Chứng minh: Tứ giác BMEK nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh: AE. AK khơng đổi.
c) Tính theo R diện tích hình quạt trịn giới hạn bởi OB , OC và cung nhỏ BC .
d) Chứng minh: Tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABHK luôn thuộc một đường thẳng cố định khi E
chuyển động trên cung CD lớn.
Hướng dẫn

K
E
C
H
A

O

M

B

P

D
a) Xét ( O ) có AB là đường kính
 AEB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 AE ⊥ BE
 BEK = 90

Xét tứ giác BMEK có BMK = BEK = 90

 tứ giác BMEK nội tiếp đường tròn.
b) Xét AEB và AMK có:
AEB = AMK = 90

A góc chung
 AEB ∽ AMK (g.g)


AE AB
=
AM AK

 AE. AK = AB. AM

(1)

Do A; O; B cố định, M là trung điểm OB

 M cố định

 AB; AM không đổi

(2)

Từ (1) và (2)  AE. AK khơng đổi.
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


c) Xét OBC có CM vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

 OBC cân tại C
mà OB = OC (bán kính ( O ) )

 OBC là tam giác đều
 BOC = 60

 Squat OBC =

 R 2 .60
360

=

 R2
6

(đvdt)

d) Gọi P là điểm đối xứng với O qua B . Nối PK

 BP = OB = R

 BP = OA
mà MB = OM (gt)

 BP + MB = OA + OM
 MP = MA
Xét AKP có KM vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

 AKP cân tại K
 A=P

(3)

Xét tứ giác AEHM có AEH = AMH = 90

 tứ giác AEHM là tứ giác nội tiếp
 A = MHB

(4)

Từ (3) và (4)  P = MHB
Xét tứ giác BHKP có P = MHB

 tứ giác BHKP là tứ giác nội tiếp
 đường tròn ngoại tiếp tứ giác BHKP chính là đường trịn ngoại tiếp BHK

 đường tròn ngoại tiếp BHK đi qua hai điểm B; P
 tâm I của đường tròn ngoại tiếp BHK nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BP
Do O; B cố định; P là điểm đối xứng với O qua B

 P cố định
Vậy tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABHK luôn thuộc một đường thẳng cố định là đường trung trực
của đoạn thẳng BP khi E chuyển động trên cung CD lớn.
Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn ( AB  AC ) nội tiếp đường tròn tâm O , đường cao AH . Gọi M và N lần
lượt là hình chiếu của điểm H trên cạnh AB và AC.
a) Chứng minh tứ giác AMNH nội tiếp đường tròn và AM . AB = AN . AC.
b) Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại Q . Chứng minh QM .QN = QB.QC

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122


c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB, E là trung điểm AH . Chứng minh rằng tứ giác

AOIE là hình bình hành.
Hướng dẫn
a)
A

+ Chứng minh tứ giác AMNH nội tiếp đường tròn
AMH = ANH = 900  AMNH là tứ giác nội tiếp

đường tròn đường kính AH .
+ Chứng minh AM . AB = AN . AC.

E

Xét ΔABH vng tại H có:
AH = AM . AB
2

O
N

(1)

Xét ΔACH vng tại H có:
AH 2 = AN . AC

(2)

M
Q

B

C

H

Từ (1), (2)  AM . AB = AN . AC.

I

b) Chứng minh QM .QN = QB.QC
Ta có:

AM AC
=
 AMN ∽ ACB (c.gc)  AMN = ACB

AN AB

Mà: AMN = QMB (đối đỉnh)  QMB = ACB
 ΔQMB ∽ ΔQCN ( g.g )  QM .QN = QB.QC

c) Chứng minh rằng tứ giác AOIE là hình bình hành.

AMNH nội tiếp đường trịn đường kính AH  EM = EN
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB  IM = IN

Do đó: EI là đường trung trực của MN  EI ⊥ MN .
Mà: OAM + AMN = OAB + ACB = 900  OA ⊥ IE
Nên ta có: OA / / MN (3)
+ BMNC nội tiếp đường tròn tâm I nên IB = IC
+ Δ ABC nội tiếp đường trịn tâm O  BO = BC
Do đó OI là đường trung trực của BC  OI ⊥ BC  OI / / AE (cùng vng góc với BC ) (4)
Từ (3) và (4)  tứ giác AOIE là hình bình hành.
Bài 3: Trên đường trịn ( O ) đường kính AB = 2 R , lấy một điểm C sao cho AC = R và lấy điểm D bất kì
trên cung nhỏ BC ( D khơng trùng với B và C ). Gọi E là giao điểm của AD và BC . Đường
thẳng đi qua E và vuông góc với đường thẳng AB tại H cắt AC tại F .
a) Chứng minh BHCF là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh HA.HB = HE.HF và 3 điểm F , B, D thẳng hàng.
c) Gọi M là trung điểm của EF . Chứng minh CM là tiếp tuyến của đường trịn ( O ) .
LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122