Tài liệu Toán xác suất_ Chương 3 docx

Gv. Cao Hào Thi

CHƯƠNG 3
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
(Random Variables and Probability Distributons)
3.1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN NGẪU NHIÊN
3.1.1. Đònh nghóa
• Biến ngẫu nhiên là những biến mà giá trò của nó được xác đònh một cách ngẫu
nhiên.
• Về mặt toán học, nếu mỗi biến cố sơ đẳng A thuộc tập hợp biến cố ω nào đấy
có thể đặt tương ứng với một đại lượng xác đònh X = X(A) thì X được gọi là một
biến cố ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên X có thể xem như hàm của biến cố A với
miền xác đònh là ω.
• Các biến ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các chữ lớn X, Y, Z,… còn các giá trò
của chúng được ký hiệu bằng các chữ nhỏ x, y, z...
3.1.2. Phân loại
Biến ngẫu nhiên được chia làm hai loại biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên
liên tục.
3.1.2.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc (Discrete Random Variable)
Nếu giá trò của biến ngẫu nhiên X có thể lập thành dãy rời rạc các số x
1
, x
2
, …, x
n

(dãy hữu hạn hay vô hạn) thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.
3.1.2.2. Biến ngẫu nhiên liên tục (Continuous Random Variable)
Nếu giá trò của biến ngẫu nhiên X có thể lấp đầy toàn bộ khoảng hữu hạn hay vô
hạn (a,b) của trục số 0x thì biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.

Thí dụ
• Lượng khách hàng đến cửa hàng trong ngày là biến ngẫu nhiên rời rạc.
• Nhiệt độ trong ngày ở Sài Gòn là biến ngẫu nhiên liên tục.
3.2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
(Probability Distribution for Discrete Variable)
3.2.1. Hàm xác suất (Probability Function)
Hàm xác suất P
x
(x) của biến ngẫu nhiên rời rạc X dùng diễn tả xác suất để cho
biến ngẫu nhiên X đạt giá trò x. P
X
(x) là hàm của giá trò x
P
X
(x) = P(X=x)
Thí dụ
Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc, ta có

Gv. Cao Hào Thi
2
P(X=1) = P(X=2) = … = P(X=6) = 1/6
Ỵ Hàm xác suất là
P
X
(x) = P(X=x) = 1/6 với x =1, 2, 3, 4, 5, 6
3.2.2. Phân phối xác suất (Probability Distribution)
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X thể hiện sự tương quan giữa các giá trò x
i
của X và các xác suất của x
i

, sự tương quan có thể trình bày bằng bảng đồ thò hoặc
bằng biểu thức.
Thí dụ
Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc, phân phối xác suất là:
Trình bày bằng bảng:
X 1 2 3 4 5 6
P
X
(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Trình bày bằng đồ thò :








3.2.3. Hàm xác suất tích lũy (Cumulative Probalility Function).
3.2.3.1. Đònh nghóa
Hàm xác suất tích lũy F
X
(x
o
) của biến ngẫu nhiên rời rạc x thể hiện xác suất để X
không vượt quá giới hạn x
o
. F
X
(x

o
) là hàm của x
o
F
X
(x
o
) = P (X≤x
o
)
3.2.3.2. Tính chất
Ta có các tính chất sau:
a. F
X
(x
o
) =
∑
≤xox
X
)x(P

P
X
(x)


1/6

0 1 2 3 4 5 6 x

Gv. Cao Hào Thi
3
∑
≤xox
X
)x(P
: tổng của tất cả các giá trò có thể có của x với điều kiện x≤x
o

b. 0 ≤ F
X
(x
o
) ≤ 1 ∀x
o


c. Nếu x
1
< x
2
thì F
X

(x
1
) ≤ F
X
(x
2
)
Thí dụ
Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc, ta có hàm xác suất tích lũy như sau
F
X
(x
o
) =







≥
=+<≤
<
61
5211
6
10
0
0

0
x nếu
),...,,j(jx j nếu
j
x nếu










F
X
(x≤ 2.5) = P
X
(1) + P
X
(2) = 1/6 + 1/6 = 1/3
• Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc hàm xác suất tích lũy luôn có dạng bậc thang
bắt đầu từ 0 và tận cùng bằng 1.
3.2.4. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc (Expected Value of Discrete Random
Variable)
3.2.4.1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
• Kỳ vọng, E(X), của biến ngẫu nhiên rời rạc X được đònh nghóa như sau:
E(X) =
∑

x
x
)x(P.x

1
5/6
4/6
3/6
2/6
1/6

F
X
(x
o
)
0 1 2 3 4 5 6
x

Gv. Cao Hào Thi
4
•
∑
x
:
Tổng tất cả các giá trò có thể có của x
• Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên được gọi là số trung bình (mean) và được ký hiệu
là µ
x

E(X) = µ
x
Thí dụ
Gọi X là số lỗi có trong 1 trang sách. Hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X được
cho bởi: P
X
(0) = 0.81, P
X
(1) = 0.17, P
X
(2) = 0.02.
Tìm số lỗi trung bình có trong 1 trang sách ?
Giải
µ
x
= E(X) =
∑
x
X
)x(P*x

= 0 * 0.81 + 1 * 0.17 + 2 * 0.02
= 0.21 lỗi /1 trang

3.2.4.2 Kỳ vọng của hàm số của biến ngẫu nhiên
Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm xác suất P
X
(x)
g(X) là một hàm số của biến ngẫu nhiên X
Kỳ vọng của hàm số g(X) được đònh nghóa như sau :
E[g(x)] =
∑
x
X
)x(P)x(g

3.2.5. Phương sai (Variance)
Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc.
P
X
(x)


0.8


0.4


0
0 1 2 x

µ
x
= 0.21

Gv. Cao Hào Thi
5
Gọi µ
X
là số trung bình của biến ngẫu nhiên
• Phương sai của biến ngẫu nhiên X chính là kỳ vọng của (X -
µ
x
)² và được ký
hiệu
2
X
σ
.
2
X
σ
= E[(X -
µ
X
)²] =
( )
∑
µ−
x

XX
)x(P*x
2


•
Phng sai
2
X
σ
có thể tính theo công thức :
2
X
σ
= E(X²) -
2
X
µ
=
22
X
x
X
)x(Px µ−
∑

Chứng minh
2
X
σ =

)x(P)x(
XX
x
2
µ−
∑
=
∑∑∑∑
µ+µ+µ−
xx
X
x
XX
x
X
Px)x(P.x)x(Px
222
2
2
X
σ
=
22
X
x
X
)x(Px µ−
∑

3.2.6. Độ lệch chuẩn

σ
x
(Standard Deviation)
Độ lệch chuẩn được ký hiệu σ
x

σ
X
=
2
X
σ

Thí dụ
Cho hàm xác suất của số lỗi X có trong 1 trang sách là
P
X
(0) = 0.81, P
X
(1) = 0.17, P
X
(2) = 0.02
Tìm độ lệch chuẩn của số lỗi có trong 1 trang sách ?
Giải

Trong thí dụ trước ta có µ
X
= 0.21
•

Kỳ vọng của X²
E(X²) =
∑
x
X
)x(Px
2

= 0² * 0.81 + 1² * 0.17 + 2² * 0.02
E(X²) = 0.25
•

Phương sai
2
X
σ = E(X²) -
2
X
µ = 0.25 - (0.21)² = 0.2059
•

Độ lệch chuẩn
σ
x
=
4538020590
2
..
X
==σ

Gv. Cao Hào Thi
6
MOMEN
Momen gốc cấp k
(Momen of Order k)
m
k
= E [X
k
] =
)x(Px
X
x
k
∑

•

k = 1
m
1
= E[X] =
XX
x
)x(Px
µ=
∑

m
1
= µ
X

•

k = 2
m
2
= E[X²]
Momen trung tâm cấp k
(Central Momen of Order k)
M
k
= E[(X-µ
X
)
k
] =
)x(P.)x(
X
k
X
µ−
∑

•

k = 2

2
X
σ = E[(X - µ
X
)²]
2
X
σ = m
2
-
2
1
m
•

M
1
= E [(X -
µ
)] = 0
M
2
= E [(X -
µ
)² ] =
σ
² (Variance)
M
3
= E [(X -

µ
)³] =
γ
(Skewness : độ lệch)
M
4
= E [(X -
µ
)
4
] = KM
2
² = K
σ
4

K : hệ số Kurtorsis







Gv. Cao Hào Thi
7
3.2.7. Phân phối xác suất nhò thức
(Binomial Probability Distubutions)
3.2.7.1 Hàm xác suất của phân phối nhò thức
(Probability Function of Binomial

Distribution).
Tiến hành n phép thử độc lập.
Gọi p là
xác suất thành công
trong mỗi phép thử độc lập => q = (1-p) là
xác suất
thất bại
trong mỗi phép thử độc lập.
Xác suất để có số lần phần thử thành công là x trong những phép thử độc lập được
cho bởi hàm xác suất như sau :
Px(x) = [n!/ (x!(n - x)!)].[p
x
(1 - p)
n-x
]

với x = 0,1,2,…, n
hay
P
x
(x) =
x
n
Cp
x
q
n-x
với q = 1 - p

Ghi chú
•

Phân phối của số lần phép thử thành công là x được gọi là phân phối nhò thức..
•

Hàm xác suất P
X
(x) là hàm xác suất của phân phối nhò thức.
3.2.7.2. Số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của phân phối nhò thức
Gọi X là số lần thành công trong n phép thử, mỗi phép thử có xác suất thành công
là p. X tuân theo phân phối nhò thức với số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn
được tính theo các công thức sau:
Số trung bình

µ
X
= E(X) = np

Phương sai
2
X
σ

= E[(X -
µ
x
)²] = np(1-p)

Hay
2
X
σ

= npq với q = 1-p

Độ lệch chuẩn


σ
x
=
npq

Thí dụ

Một người đi bán hàng đi tiếp xúc để chào hàng với 5 khách hàng. Xác suất để bán
được hàng trong mỗi lần chào hàng là 0.4.
a)
Tìm phân phối xác suất của số lần bán được hàng.

b)
Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của số lần bán được hàng.

c)
Tìm xác suất của số lần bán được hàng trong khoảng 2 đến 4 lần.


Gv. Cao Hào Thi

8
Giải

a. Xác suất của số lần bán được hàng tuân theo phân phối nhò thức :

P
X
(x) =
x
n
C P
x
q
n-x
P
X
(x) =
x
C
5
* (0.4)
x
* (0.6)
5-x
P
X
(x) =
)!x(!x
!
−

5
5
* (0.4)
x
* (0.6)
5-x
x = 0 => P
X
(0) = 0.078
(không bán được)
x = 1 => P
X
(1) = 0.259
x = 2 => P
X
(2) = 0.346
x = 3 => P
X
(3) = 0.230
x = 4 => P
X
(4) = 0.077
x = 5 => P
X
(5) = 0.010
(trong 5 lần bán được cả 5)


b. Số trung bình của số lần bán được hàng
µ

x
= np = 5 * 0.4 = 2
Phương sai
2
X
σ
= np(1-p) = 5 * 0.4 * 0.6 = 1.2
Độ lệch chuẩn
σ
x
=
12.
= 1.10
c. P(2 < X < 4) = P
X
(2) + P
X
(3) + P
X
(4) = 0.653

3.2.8 Phân phối xác suất Poisson

3.2.8.1. Phân phối Poisson

Biến ngẫu nhiên X được gọi tuân theo phân phối Poisson nếu hàm xác suất của X
có dạng
P
X
(x) =

!x
e
x
λ
λ−
với
λ
> 0,
∀λ

x = 0,1,2,…

3.2.8.2. Số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của phân phối Poisson

•

Số trung bình của phân phối Poisson

µ
x
= E(x) =
λ


P
X
(x)
0.4
0.2
0

0 1 2 3 4 5 X
số lần thành công

Gv. Cao Hào Thi
9

•

Phương sai.

σ
²
x
= E[(x-
µ
x
)²] =
λ

•

Độ lệch chuẩn

σ
x
=
λ

Thí dụ
Một trạm điện thoại tự động nhận được trung bình 300 lần gọi trong 1 giờ. hỏi xác

suất để trạm đó nhận được đúng 2 lần gọi trong 1 phút cho trước.
Giải

Số lần nhận được trung bình trong 1 phút
300/60 = 5 lần/1phút =>
λ
= 5
Xác suất để nhận được đúng 2 lần trong 1 phút.
P
X
(2) = (5² * e
-5
)/2! = 25/2e
5

≈
0.09
3.3. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
(Probability Distributions For Continuous Random Variables)
Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục được xác đònh bởi hàm mật độ xác suất.
3.3.1. Hàm mật độ xác suất
(Probability Density Function)
Gọi X là biến ngẫu nhiên liên tục, gọi x là giá trò bất kỳ nằm trong miền các giá trò
có thể có của X.
Hàm mật độ xác suất f
X
(x) của biến ngẫu nhiên liên tục là hàm có những tính chất
sau :
•

f
X
(x)
≥
0 ,
∀
x

•

Xác suất P(a<X<b) để giá trò của biến ngẫu nhiên X rơi vào khoảng (a,b) được
xác đònh bởi đẳng thức.

P(a<X<b) =
∫
b
a
X
dx)x(f
Ghi chú

•

Đồ thò của hàm mật độ xác suất f
X
(x) được gọi là đường cong mật độ xác suất
(probability density curve) hay đường cong tần số (frequency curve) hay cũng
còn được gọi đường cong phân phối xác suất đối với biến ngẫu nhiên liên tục.
Tung độ của mỗi điểm trên đường cong gọi là mật độ xác suất.

•

Về mặt hình học xác suất để biến ngẫu nhiên rơi vào khỏang (a,b) bằng diện
tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong phân phối xác suất, trục 0x, x = a,
x = b.