Tài liệu Mot so phuong phap chung minh bat dang thuc

Một số chuyên đề toán THCS
Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
i/ dùng định nghĩa và tính chất
1/ Định nghĩa:
Khi hai biểu thức A và B nối với nhau bởi một trong các quan hệ >;

;
<;

thì ta bảo có một bất đẳng thức:
A>B,
BA

, A<B,
BA

Khi đó ta viết:
A>B

A-B >0 (đọc là A lớn hơn B) A và B là hai vế của bất
đẳng thức.

0

BABA
(đọc là A lớn hơn hay bằng B)
Ghi nhớ:Một BĐT có thể đúng, có thể sai nhng khi phải cm một BĐT mà
không rõ gì hơn, thì ta hiểu rằng đó là một BĐT đúng.
2/ Các tính chất của bất đẳng thức:
1 Tính phản xạ:
aaRa

:
2 Tính bắc cầu:
baRcba

:,,
và
cacb

3 Cộng, trừ hai vế của một BĐT với cùng một số thực
mbmabaRmba

::,,
.
Hệ quả:
Chuyển vế đổi dấu:
bcacba
+
Cộng hai BĐT cùng chiều:
dbca
dc
ba
++


Ghi nhớ:Không đợc trừ hai BĐT cho nhau
4 Nhân, chia hai vế của một BĐT với cùng một số thực
0

m

<
>

0;
0;
:,
mbmam
mbmam
baRba





<
>

+
0;
0;
:,
m
m
b
m
a
m

m
b
m
a
Rba
5 Nếu a>b>0 hay 0>a>b
ba
ba
11

(a và b cùng dấu)
6 Nhân hai vế của hai BĐT cùng chiều







+
bdac
dc
ba
Rdcba :,,,
Ghi nhớ: Không đợc chia hai BĐT cho nhau.
Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh
1
Một số chuyên đề toán THCS
Hệ quả:
*

;0






>
n
ba
ba
ba
nn
nn
3/ Ví dụ áp dụng:
Cho x,y,z là 3 số tùy ý. Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
xyzxzzyyxa 6111/
222222
+++++
( ) ( )
zxyzxyzyxb
++++
3/
2
Giải:
a/ Ta luôn có:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

320
220
120
222
2
222
2
222
2
xyzyxzxyz
xyzxzyzxy
xyzzyxyzx
+
+
+
Cộng (1),(2),(3) theo vế và nhóm các đơn thức có nhân tử chung cho ta điều
phải chứng minh:
b/ Ta có:
( ) ( )
zxyzxyzyxzyx
+++++=++
2
222
2
Ngoài ra ta luôn có:
( )
( )
( )
zxxzxz
yzzyzy

xyyxyx
20
20
20
22
2
22
2
22
2
+
+
+
Cộng vế theo vế và rút gọn cho ta:
( )
zxyzxyzyx
++++
222
Do đó:
( ) ( )
zxyzxyzxyzxyzyx
+++++++
2
2
Vậy:
( ) ( )
zxyzxyzyx
++++
3
2

4/ Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1. Chứng minh rằng:
2
1
,
22
+
yxa
8
1
,
44
+
yxb
Bài 2: Cho x+y=2. Chứng minh rằng
2
44
+
yx
Bài 3: Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì
3
1
222
++
zyx
Bài 4: Cho ba số x,y,z tùy ý. Chứng minh rằng:
2
222
33

++

++
zyxzyx
Bài 5: Cho ba số dơng x,y,z và x+y+z=4. Chứng minh rằng:
xyzyx
+
Bài 6: Cho hai số dơng x,y và
yxyx
=+
33
.
Chứng minh rằng:
1
22
<+
yx
Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh
2
Một số chuyên đề toán THCS
Bài 7: Cho ba số dơng x,y,z thỏa mãn điều kiện
3
5
222
=++

zyx
.
Chứng minh rằng:
xyzzyx
1111
<+
ii/ dùng phép biến đổi tơng đơng:
1/ Đ ờng lối chung:
Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh
3
Một số chuyên đề toán THCS
Để chứng minh đẳng thức
BA

là đúng bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng
ta biến đổi:
BA

(1)
11
BA

.............

BnAn

(2)
Theo giả thiết hay theo tính chất cơ bản đã biết ta có (2) cuối cùng hiển nhiên
đúng. Do đó kết luận (1) luôn đúng.
2/ Ví dụ áp dụng:

Cho hai số x, y sao cho
0

xy
. Chứng minh rằng:
( )
( ) ( )
1
4
2
22
yxyx

Giải:
Dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh, ta lần lợt có:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
001
4224
2
22
+
yxyxyxyxyx
( ) ( ) ( )
[ ]
0
222
+
yxyxyx

( ) ( )( )
[ ]
0
2
++++ yxyxyxyxyx
( ) ( )( )
[ ]
( ) ( )
204022
22

yxxyyxyx
Do
0

xy
nên bất đẳng thức (2) hiển nhiên đúng. Vậy (1) luôn đúng.
3/ Các bài tập tự giải:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y ta có bất đẳng thức:
yxxyyxa
++++
1/
22
yxxyyxb
3344
/
+
Bài 2: Cho hai số dơng x,y.
Chứng minh rằng:
3

33
22






+

+
yxyx
Bài 3: Cho bốn số a,b,c,d, bất kỳ.
Chứng minh rằng:
( )( )
2222
dcbabdac
++
Bài 4: Cho ba số a,b,c sao cho
0
++
cba
Chứng minh rằng:
abccba 3
333
++
Bài 5: Chứng minh rằng với năm số c,b.c,d,e bất kỳ, bao giờ ta cũng có:
( )
edcbaedcba
+++++++

22222
Bài 6: Chứng minh rằng nếu a>0, b>0 thì ta có:
cbabaaccb
++
>
+
+
+
+
+
3111
Bài 7: Cho
.1

ab
Chứng minh rằng:
ab
ba
+

+
+
+
1
2
1
1
1
1
22

Iii/ dùng BĐT trung gian:
1/ Ph ơng pháp chung: Dùng BĐT Côsi với hai số không âm:
Cho hai số
0,0

yx
ta có BĐT Côsi sau:
xy
yx

+
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y.
Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh
4
Một số chuyên đề toán THCS
Ta có thể cm nh sau:
Vì
0,0

yx
nên:
( )
xy
yx
xyyxyx

+
++
2

020
2
Dấu = xảy ra
yxyx
==
0
2/ Ví dụ áp dụng:
Cho ba số x, y, z không âm. Chứng minh rằng:
zxyzxyzyx
++++
Giải:
Vì
0,0,0

zyx
nên áp dụng BĐT Côsi với hai số không âm cho ta:
zx
xz
yz
zy
xy
yx

+

+

+
2
,

2
,
2
Do đó cộng vế theo vế ba BĐT cùng chiều cho ta
zxyzxy
xzzyyx
++
+
+
+
+
+
222
Vậy:
zxyzxyzyx
++++
3/ Các bài tập tự giải:
Bài 1: Cho bốn số a,b,c,d không âm. Chứng minh rằng:
( )( )( )( )
abcdaddccbba 16
++++
Bài 2: Với
0,0

yx
. Chứng minh đẳng thức:
( )
( )
xyyxyx
++

22
2
Bài 3:Cho
,1

x
và
1

y
. Chứng minh rằng:
xyxyyx
+
11
iV/ dùng BĐT về ba cạnh của một tam giác:
1/ Ph ơng pháp chung:
Với a,b,c là ba độ dài cạnh của một tam giác
( )
( )
( )





+<
+<
+<

3

2
1
bac
acb
cba
Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh
5