Tải bản đầy đủ (.doc) (6 trang)

Tài liệu Mot so phuong phap chung minh bat dang thuc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (98.87 KB, 6 trang )

Một số chuyên đề toán THCS
Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
i/ dùng định nghĩa và tính chất
1/ Định nghĩa:
Khi hai biểu thức A và B nối với nhau bởi một trong các quan hệ >;

;
<;

thì ta bảo có một bất đẳng thức:
A>B,
BA

, A<B,
BA

Khi đó ta viết:
A>B

A-B >0 (đọc là A lớn hơn B) A và B là hai vế của bất
đẳng thức.

0

BABA
(đọc là A lớn hơn hay bằng B)
Ghi nhớ:Một BĐT có thể đúng, có thể sai nhng khi phải cm một BĐT mà
không rõ gì hơn, thì ta hiểu rằng đó là một BĐT đúng.
2/ Các tính chất của bất đẳng thức:
1 Tính phản xạ:
aaRa



:
2 Tính bắc cầu:
baRcba

:,,

cacb

3 Cộng, trừ hai vế của một BĐT với cùng một số thực
mbmabaRmba

::,,
.
Hệ quả:
Chuyển vế đổi dấu:
bcacba
+
Cộng hai BĐT cùng chiều:
dbca
dc
ba
++


Ghi nhớ:Không đợc trừ hai BĐT cho nhau
4 Nhân, chia hai vế của một BĐT với cùng một số thực
0

m




<
>

0;
0;
:,
mbmam
mbmam
baRba





<
>

+
0;
0;
:,
m
m
b
m
a
m

m
b
m
a
Rba
5 Nếu a>b>0 hay 0>a>b
ba
ba
11

(a và b cùng dấu)
6 Nhân hai vế của hai BĐT cùng chiều







+
bdac
dc
ba
Rdcba :,,,
Ghi nhớ: Không đợc chia hai BĐT cho nhau.
Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh
1
Một số chuyên đề toán THCS
Hệ quả:
*

;0






>
n
ba
ba
ba
nn
nn
3/ Ví dụ áp dụng:
Cho x,y,z là 3 số tùy ý. Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
xyzxzzyyxa 6111/
222222
+++++
( ) ( )
zxyzxyzyxb
++++
3/
2
Giải:
a/ Ta luôn có:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

320
220
120
222
2
222
2
222
2
xyzyxzxyz
xyzxzyzxy
xyzzyxyzx
+
+
+
Cộng (1),(2),(3) theo vế và nhóm các đơn thức có nhân tử chung cho ta điều
phải chứng minh:
b/ Ta có:
( ) ( )
zxyzxyzyxzyx +++++=++ 2
222
2
Ngoài ra ta luôn có:
( )
( )
( )
zxxzxz
yzzyzy
xyyxyx
20

20
20
22
2
22
2
22
2
+
+
+
Cộng vế theo vế và rút gọn cho ta:
( )
zxyzxyzyx
++++
222
Do đó:
( ) ( )
zxyzxyzxyzxyzyx
+++++++
2
2
Vậy:
( ) ( )
zxyzxyzyx
++++
3
2
4/ Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1. Chứng minh rằng:

2
1
,
22
+
yxa
8
1
,
44
+
yxb
Bài 2: Cho x+y=2. Chứng minh rằng
2
44
+
yx
Bài 3: Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì
3
1
222
++
zyx
Bài 4: Cho ba số x,y,z tùy ý. Chứng minh rằng:
2
222
33







++

++ zyxzyx
Bài 5: Cho ba số dơng x,y,z và x+y+z=4. Chứng minh rằng:
xyzyx
+
Bài 6: Cho hai số dơng x,y và
yxyx
=+
33
.
Chứng minh rằng:
1
22
<+
yx
Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh
2
Một số chuyên đề toán THCS
Bài 7: Cho ba số dơng x,y,z thỏa mãn điều kiện
3
5
222
=++
zyx
.
Chứng minh rằng:

xyzzyx
1111
<+
ii/ dùng phép biến đổi tơng đơng:
1/ Đ ờng lối chung:
Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh
3
Một số chuyên đề toán THCS
Để chứng minh đẳng thức
BA

là đúng bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng
ta biến đổi:
BA

(1)
11
BA

.............

BnAn

(2)
Theo giả thiết hay theo tính chất cơ bản đã biết ta có (2) cuối cùng hiển nhiên
đúng. Do đó kết luận (1) luôn đúng.
2/ Ví dụ áp dụng:
Cho hai số x, y sao cho
0


xy
. Chứng minh rằng:
( )
( ) ( )
1
4
2
22
yxyx

Giải:
Dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh, ta lần lợt có:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
001
4224
2
22
+
yxyxyxyxyx
( ) ( ) ( )
[ ]
0
222
+
yxyxyx
( ) ( )( )
[ ]
0

2
++++ yxyxyxyxyx
( ) ( )( )
[ ]
( ) ( )
204022
22

yxxyyxyx
Do
0

xy
nên bất đẳng thức (2) hiển nhiên đúng. Vậy (1) luôn đúng.
3/ Các bài tập tự giải:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y ta có bất đẳng thức:
yxxyyxa
++++
1/
22
yxxyyxb
3344
/
+
Bài 2: Cho hai số dơng x,y.
Chứng minh rằng:
3
33
22







+

+
yxyx
Bài 3: Cho bốn số a,b,c,d, bất kỳ.
Chứng minh rằng:
( )( )
2222
dcbabdac
++
Bài 4: Cho ba số a,b,c sao cho
0
++
cba
Chứng minh rằng:
abccba 3
333
++
Bài 5: Chứng minh rằng với năm số c,b.c,d,e bất kỳ, bao giờ ta cũng có:
( )
edcbaedcba
+++++++
22222
Bài 6: Chứng minh rằng nếu a>0, b>0 thì ta có:
cbabaaccb

++
>
+
+
+
+
+
3111
Bài 7: Cho
.1

ab
Chứng minh rằng:
ab
ba
+

+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
Iii/ dùng BĐT trung gian:
1/ Ph ơng pháp chung: Dùng BĐT Côsi với hai số không âm:
Cho hai số

0,0

yx
ta có BĐT Côsi sau:
xy
yx

+
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y.
Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh
4
Một số chuyên đề toán THCS
Ta có thể cm nh sau:

0,0

yx
nên:
( )
xy
yx
xyyxyx

+
++
2
020
2
Dấu = xảy ra

yxyx
==
0
2/ Ví dụ áp dụng:
Cho ba số x, y, z không âm. Chứng minh rằng:
zxyzxyzyx
++++
Giải:

0,0,0

zyx
nên áp dụng BĐT Côsi với hai số không âm cho ta:
zx
xz
yz
zy
xy
yx

+

+

+
2
,
2
,
2

Do đó cộng vế theo vế ba BĐT cùng chiều cho ta
zxyzxy
xzzyyx
++
+
+
+
+
+
222
Vậy:
zxyzxyzyx
++++
3/ Các bài tập tự giải:
Bài 1: Cho bốn số a,b,c,d không âm. Chứng minh rằng:
( )( )( )( )
abcdaddccbba 16
++++
Bài 2: Với
0,0

yx
. Chứng minh đẳng thức:
( )
( )
xyyxyx
++
22
2
Bài 3:Cho

,1

x

1

y
. Chứng minh rằng:
xyxyyx
+
11
iV/ dùng BĐT về ba cạnh của một tam giác:
1/ Ph ơng pháp chung:
Với a,b,c là ba độ dài cạnh của một tam giác
( )
( )
( )





+<
+<
+<

3
2
1
bac

acb
cba
Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh
5

×