Dạy học theo chuẩn kiến thức kỹ năng môn toán ở trường phổ thông (thể hiện qua dạy học khái niệm hình học không gian 11 hiện hành)

1

B GIO DC V O TO
TRƯờNG I HC VINH
--------------------------

HOàNG THị THóY

DẠY HỌC THEO CHUẨN KIẾN THỨC
KĨ NĂNG MƠN TỐN Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG
(THỂ HIỆN QUA DẠY HỌC
KHÁI NIỆM HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 HIỆN HÀNH)

KHĨA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC
NGÀNH SƢ PHẠM TOÁN HỌC

VINH - 2011


2

Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, ThS
Nguyễn Chiến Thắng đã hƣớng dẫn khoa học để tác giả hoàn thành khố luận.
Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cơ, Khoa
Tốn, Đại Học Vinh; Ban Giám Hiệu cùng các thầy cô giáo trƣờng THPT Ba Đình
- Nga Sơn – Thanh Hố đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và
nghiên cứu.
Tác giả xin gửi tới tất cả ngƣời thân và các bạn bè lòng biết ơn sâu sắc.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ q báu đó!
Khố luận khơng tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận đƣợc và

biết ơn các ý kiến đóng góp của q thầy cơ giáo và các bạn.

Vinh, tháng 5 năm 2011
Tác giả
Hoàng Thị Thúy

MỤC LỤC


3
MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1
I. Lí do chọn đề tài. ............................................................................................. 1
II. Đối tƣợng nghiên cứu ..................................................................................... 2
III. Mục đích nghiên cứu. .................................................................................... 2
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu. ................................................................................... 2
V. Giả thuyết khoa học........................................................................................ 2
VI. Phƣơng pháp nghiên cứu. ............................................................................. 3
VII. Cấu trúc của khóa luận. ............................................................................... 3
CHƢƠNG 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY HỌC KHÁI NIỆM THEO CHUẨN
KIẾN THỨC, KĨ NĂNG ........................................................................................ 4
1.1. Kĩ năng. ........................................................................................................ 4
1.1.1. Khái niệm kĩ năng ................................................................................. 4
1.1.2. Sự hình thành kĩ năng. .......................................................................... 5
1.1.3. Các yếu tố ảnh hƣởng tới sự hình thành kĩ năng. ................................. 7
1.2. Chuẩn............................................................................................................ 9
1.2.1. Một số vấn đề về chuẩn......................................................................... 9
1.2.2. Chuẩn kiến thức, kĩ năng trong chƣơng trình hình học 11. .................. 13
1.2.3. Một số loại tốn giải đƣợc dựa vào Chuẩn kiến thức, kĩ năng ở trên ....... 18
1.3. Dạy học khái niệm Toán học. ...................................................................... 26
1.3.1. Đại cƣơng về khái niệm và định nghĩa khái niệm. ............................... 26

1.3.2 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm. .............................. 29
1.3.3. Các con đƣờng tiếp cận khái niệm. ....................................................... 31
1.3.4. Những hoạt động củng cố khái niệm. ................................................... 37
1.3.5. Dạy học phân chia khái niệm ................................................................ 42
CHƢƠNG 2. QUY TRÌNH DẠY HỌC KHÁI NIỆM THEO CHUẨN KIẾN
THỨC, KĨ NĂNG MƠN TỐN............................................................................. 46
2.1. Đổi mới phƣơng pháp dạy học. .................................................................... 46
2.1.1. Định hƣớng............................................................................................ 46
2.1.2. Các giải pháp để đổi mới phƣơng pháp dạy học. .................................. 47
2.2. Một số khó khăn của học sinh khi học hình học khơng gian ....................... 51
2.3.Vai trị của phần mềm trong dạy học hình học khơng gian. ......................... 55
2.3.1. Phần mềm dạy học hỗ trợ học sinh tìm hiểu sâu, nội dung, kiến thức. ........56


4
2.3.2. Rèn luyện kĩ năng, củng cố, ôn tập. ...................................................... 56
2.3.3. Rèn luyện, phát triển tƣ duy thuật toán. ................................................ 57
2.3.4. Hiệu quả PPDH tăng lên rõ rệt.............................................................. 57
2.4. Ứng dụng cơng nghệ thơng tin trong dạy học hình học khơng gian nhằm
góp phần khắc phục khó khăn. ................................................................................ 58
2.5. Quy trình dạy học khái niệm nhằm rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết
vấn đề ...................................................................................................................... 60
2.5.1. Kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học khái niệm. ....... 60
2.5.2. Quy trình dạy học khái niệm nhằm rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải
quyết vấn đề bám sát chuẩn kiến thức, kĩ năng....................................................... 63
2.5.3. Các bài mơ phỏng q trình dạy học khái niệm nhằm rèn luyện kĩ năng
phát hiện và giải quyết vấn đề bám sát chuẩn kiến thức, kĩ năng với sự hỗ trợ của
công nghệ thông tin. ................................................................................................ 77
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ........................................................... 85
3.1.Mục đích thực nghiệm................................................................................... 85

3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ................................................................ 85
3.2.1. Tổ chức và thực nghiệm ........................................................................ 85
3.2.2. Nội dung thực nghiệm. .......................................................................... 86
3.2.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm ................................................ 87
3.2.4. Một số kết quả định lƣợng. ................................................................... 88
3.2.5. Kết luận chung về thực nghiệm. ........................................................... 89
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 91
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 92

MỞ ĐẦU


5
I. Lí do chọn đề tài.
Trong nghị quyết hội nghị lần thứ 2, Ban chấp hành TƢ Đảng cộng sản
Việt Nam (khoá VIII 1997) đã khẳng định “…Phải đổi mới phƣơng pháp Giáo dục
- Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tƣ duy sáng tạo
cho ngƣời học…”. Muốn nhƣ vậy, giáo dục phải chuyển vai trò “Giáo viên làm
trung tâm” sang “học sinh làm trung tâm”. Nhƣ vậy mọi quá trình, hoạt động cần
lấy học sinh làm trung tâm, học sinh cần phải biết con đƣờng khám phá tri thức và
bên cạnh đó HS cần hình thành khả năng tự đánh giá năng lực của chính bản thân
mình. Có nhƣ vậy, HS mới biết mình đang ở mức độ nào, và thiếu những kiến
thức, kĩ năng nào mới đạt đƣợc yêu cầu mà xã hội đặt ra.
Để có thể một phần nào định hƣớng cho GV và HS có thể đánh giá tốt năng
lực học tập của ngƣời học. Ngày 05 tháng 05 năm 2006, Bộ trƣởng Bộ giáo dục và
Đào tạo đã kí quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT về việc ban hành Chƣơng trình
Giáo dục phổ thơng. Đó là một kế hoạch sƣ phạm trong đó có “Chuẩn kiến thức, kĩ
năng và yêu cầu thái độ của từng môn học, cấp học”. Chuẩn kiến thức, kĩ năng
khơng chỉ giúp GV có thể đánh giá chính xác mức độ năng lực của ngƣời học, thiết
kế bài dạy sao cho HS phải đạt đƣợc những kĩ năng tối thiểu hay nói cách khác

định hƣớng nội dung, kĩ năng trung tâm của bài dạy, mà còn giúp HS tự đánh giá
đƣợc khả năng đạt yêu cầu về một mơn học nào đó của bản thân và cịn cách mục
tiêu bao xa nữa. Đây là một trong những nội dung còn chƣa đƣợc phát triển sâu
rộng trong dạy học ở các trƣờng THPT, đặc biệt là trong chủ đề HHKG của mơn
Tốn. HHKG là một trong những chủ đề khó đối với cả q trình dạy và học của
GV và HS, nhiều đối tƣợng học sinh ngay từ đầu đã không thể nắm đƣợc những
khái niệm khá mơ hồ, học sinh khó có thể nắm đƣợc bản chất của khái niệm hay
nói cách khác HS khơng phát hiện đƣợc nội dung ẩn tàng trong các vấn đề trừu
tƣợng của HHKG dẫn đến không thể giải quyết những vấn đề đƣa ra. Nhƣ vậy
trong quá trình dạy học giáo viên cần khắc sâu, làm rõ cho học sinh hiểu những
khái niệm về HHKG. Tuy nhiên, những khái niệm HHKG là những khái niệm


6
mang tính tƣ duy, tƣởng tƣợng cao, điều này gây khó khăn trong giảng dạy, cũng
nhƣ việc xác định những kĩ năng cần thiết cho học sinh từ những khái niệm đó.
Vậy làm thế nào để nâng cao khả năng tƣ duy, giúp học sinh biến những
đối tƣợng trừu tƣợng của HHKG thành kiến thức của bản thân nhằm đạt đƣợc
những kĩ năng tối thiểu, cơ bản nhất, có thể trang bị đầy đủ những khái niệm cơ
bản về các đối tƣợng trong HHKG. Đây là một vấn đề trăn trở của rất nhiều GV
dạy Toán .Từ những vấn đề trên chúng tôi đã lựa chọn đề tài: “Dạy học theo
chuẩn kiên thức, kĩ năng thông qua một số nội dung trong chƣơng trình hình
học 11” (Thể hiện qua dạy học khái niệm hình học khơng gian).
II. Đối tƣợng nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu của đề tài là các yêu cầu về chuẩn kiến thức, kĩ năng
đối với các khái niệm hình học 11 và cách dạy các khái niệm này dựa trên các
chuẩn kiến thức, kĩ năng.
III. Mục đích nghiên cứu.
Nhằm xây dựng đƣợc một quy trình dạy học khái niệm bám sát các chuẩn
kiến thức, kĩ năng đã đƣa ra, đồng thời rèn luyện cho học sinh kĩ năng phát hiện và

giải quyết vấn đề từ việc hình thành các khái niệm.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu.
1. Làm rõ các yêu cầu về chuẩn kiến thức, kĩ năng của các khái niệm hình
học 11.
2. Xây dựng đƣợc quy trình dạy học khái niệm hình học 11 bám sát chuẩn
kiến thức, kĩ năng nhằm rèn luyện cho HS kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
V. Giả thuyết khoa học.
Nếu xây dựng đƣợc quy trình dạy học khái niệm bám sát chuẩn kiến thức,
kĩ năng nhằm rèn luyện cho HS kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề sẽ giúp cho
HS nắm tốt hơn các khái niệm trừu tƣợng của HHKG, khả năng phát hiện các dấu
hiệu bản chất của các đối tƣợng. Đồng thời giúp giáo viên sáng tạo các hình thức
khác nhau trong việc hình thành các khái niệm.
VI. Phƣơng pháp nghiên cứu.


7
1. Nghiên cứu các cơ sở lí luận, cơ sở khoá học nhằm làm sáng tỏ các nội
dung về chuẩn kiến thức, kĩ năng và dạy học khái niệm.
2. Nghiên cứu những yêu cầu về chuẩn kiến thức, kĩ năng đối với các khái
niệm hình học 11.
3. Thiết lập mối quan hệ giữa chuẩn kiến thức kĩ năng với các khái niệm từ
đó hình thành quy trình dạy học khái niệm bám sát chuẩn kiến thức, kĩ năng nhằm
rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
VII. Cấu trúc của khóa luận.
Mở đầu.
Chƣơng 1- Một số vấn đề dạy học theo chuẩn kiến thức, kĩ năng
1.1.Kĩ năng.
1.2. Chuẩn.
1.3.Dạy học khái niệm Toán học.
1.4. Kết luận chƣơng I.

Chƣơng 2 – Quy trình dạy học khái niệm theo chuẩn kiến thức, kĩ
năng mơn Tốn.
2.1. Đổi mới phƣơng pháp dạy học.
2.2. Một số khó khăn của học sinh khi học hình học khơng gian.
2.3. Vai trị của phần mềm trong dạy học hình học hình khơng gian.
2.4.Ứng dụng cơng nghệ thơng tin trong dạy học hình học khơng gian
nhằm góp phần khắc phục khó khăn.
2.5. Quy trình dạy học khái niệm nhằm rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải
quyết vấn đề.
2.6. Kết luận chƣơng 2.
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm.


8
CHƢƠNG 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY HỌC KHÁI NIỆM
THEO CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG
1.1. Kĩ năng.
1.1.1. Khái niệm kĩ năng
Trong cuộc sống, con ngƣời phải thực hiện rất nhiều hoạt động nhằm đáp
ứng những yêu cầu của xã hội nói chung và nhu cầu cuộc sống nói riêng. Tất cả
các hoạt động đó diễn ra đều có sự tác động của tri thức, tức là sự huy động các
kiến thức đã có, những kinh nghiệm đã có của bản thân về vấn đề đó để giải quyết
nó. Sau những q trình lặp lại các hoạt động đó con ngƣời hình thành cho mình
một con đƣờng, khả năng xử lí vấn đề và ngƣời ta gọi đó là kĩ năng. Trong đời
sống hàng ngày chúng ta nghe rất nhiều về kĩ năng nhƣ: kĩ năng giao tiếp, kĩ năng
sống, kĩ năng vi tính,…Nhƣng chắc hẳn rằng để hiểu rõ kĩ năng là gì thì khơng có
nhiều ngƣời biết. Xung quanh các vấn đề về kĩ năng còn tồn tại rất nhiều các quan
điểm khác nhau.
Theo [12] Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận đƣợc

trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế.
Theo quan điểm của V.A. Cruchetxki ông cho rằng “Kĩ năng là các phƣơng
thức thực hiện hoạt động, những cái mà con ngƣời đã nắm vững”. Nhƣ vậy ông
cho rằng chỉ cần nắm vững phƣơng thức của hành động là con ngƣời có kĩ năng,
không cần đến kết quả của hoạt động cá nhân. Cũng có quan niệm giống
V.A.Cruchetxki, tác giả Trần Trọng Thủy cho rằng: “Kĩ năng là mặt kĩ thuật của
hành động. Con ngƣời nắm đƣợc cách thức của hành động tức là kĩ thuật của hành
động là có kĩ năng”. Nếu theo quan điểm trên, kĩ năng chỉ là mặt kĩ thuật của một
thao tác, hành động hay một hoạt động nào đó, một ngƣời thực hiện chỉ cần nắm rõ
các cách thức hành động nhằm mục đích giải quyết vấn đề đó thì có thể nói rằng
ngƣời đó đã có kĩ năng về một vấn đề nào đó.


9
Khác với quan điểm trên, N.D.Lêvitôp lại cho rằng: “Kĩ năng là sự thực
hiện có kết quả một động tác nào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằng cách
lựa chọn và áp dụng những phƣơng thức đúng đắn có tính đến những điều kiện
nhất định”. Tức là kĩ năng không đơn thuần chỉ là mặt kĩ thuật của hành động mà
là sự kết hợp giữa những kĩ thuật đã có với tính linh hoạt mềm dẻo sao cho đạt
đƣợc mục đích. Cùng quan điểm với ơng Pêtrơpxki cũng cho rằng: “Kĩ năng là sự
vận dụng những tri thức, kĩ xảo đã có để lựa chọn và thực hiện những phƣơng thức
hành động tƣơng ứng với mục tiêu đặt ra”. Ngồi ra cịn có một số tác giả nhƣ
Platơnơp, Vũ Dũng cũng cho rằng kĩ năng không chỉ dừng lại ở mức độ sự thành
thục về kĩ năng mà quan tâm nhiều hơn nữa tới tính sáng tạo vận dụng và kết quả
của hành động.
Theo giáo trình Tâm lí học sƣ phạm “Kĩ năng là khả năng vận dụng kiến
thức (khái niệm, cách thức, phƣơng pháp) để giải quyết một nhiệm vụ mới”.
Để trả lời một câu hỏi nào đó ta cần có tri thức và kĩ năng tƣơng ứng khi
vận dụng vào tình huống cụ thể, tức là kĩ năng cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết
(kiến thức). Cơ sở lý thuyết – đó là kiến thức. Sở dĩ nhƣ vậy là vì, xuất phát từ cấu

trúc kĩ năng (phải hiểu đƣợc mục đích, biết cách thức) đi đến kết quả và hiểu
những điều kiện cần thiết để triển khai các cách thức đó.
1.1.2. Sự hình thành kĩ năng.
Để hiểu rõ đƣợc sự hình thành kĩ năng cần làm rõ mối quan hệ giữa kiến
thức và đối tƣợng.
Kiến thức và đối tƣợng là hai phạm trù khác nhau.
Kiến thức là kết quả của sự phản ánh.
Đối tƣợng (sự vật, hiện tƣợng…) tồn tại khách quan.
Nhƣ vậy khám phá một đối tƣợng cần có những dụng cụ trang bị nhất định
mà đó chính là kiến thức. Sự vận dụng kiến thức để khám phá, biến đổi (tất nhiên
qua đó cũng thu đƣợc thơng tin mới) chính là kĩ năng.
Ví dụ 1 Một ngƣời muốn đi khai thác vàng cần biết họ cần có những dụng
cụ nào? Và khai thác nhƣ thế nào.


10
Cũng giống nhƣ học sinh muốn vẽ hình biểu biểu diễn của một hình lập
phƣơng (đây là kiến thức mới từ hình học phẳng sang hình học khơng gian) họ cần
đƣợc trang bị kiến thức thế nào là hình biểu diễn, biết đƣợc cách vẽ nét nhìn thấy,
những cạnh song song thì nhƣ thế nào? cắt nhau thì ra sao?
Nhƣ vậy, sự vận dụng các kiến thức đã có để khám phá, tìm hiểu khám phá
những vấn đề mới giúp họ phần nào thu đƣợc thơng tin mới và hình thành kĩ năng.
Ví dụ 2 Kĩ năng vẽ hình biểu diễn, kĩ năng giải quyết bài toán….
Trong thực tế dạy học, học sinh thƣờng gặp khó khăn khi vận dụng kiến
thức để giải quyết các bài tập, nguyên nhân là do:
- Bài tập đƣa ra không vừa sức với học sinh;
- Học sinh chƣa nắm vững kiến thức về nội dung do đó làm cho học sinh
khơng biết vận dụng các khái niệm đã biết hay các khái niệm đã biết khơng trở
thành cơ sở của kĩ năng.
Ví dụ 3 Trong mp (P) cho hình bình hành ABCD. Lấy S (P). Hãy chỉ ra

giao điểm chung của hai mp (SAC) và (SBC) khác S.
S

D

A
O

B

C

Trong bài toán này học sinh thƣờng gặp khó khăn trong việc xác định giao
điểm O = AC  BD. Nguyên nhân chủ yếu là do học sinh chƣa nắm rõ việc tìm
giao điểm của hai mặt phẳng thực chất là quy về việc tìm giao điểm của hai đƣờng
thẳng lần lƣợt nằm trong hai mặt phẳng dẫn đến việc vận dụng vào việc giải quyết
bài toán cịn chậm và gặp khó khăn.


11
1.1.3. Các yếu tố ảnh hƣởng tới sự hình thành kĩ năng.
Sự dễ dàng hay khó khăn trong sự vận dụng kiến thức là tuỳ thuộc ở khả
năng nhận dạng kiểu nhiệm vụ, bài tập tức là tìm kiếm, phát hiện những thuộc tính
và quan hệ vốn có trong nhiệm vụ hay bài tập để thực hiện một nhiệm vụ nhất
định.
1.1.3.1. Nội dung của bài tập, nhiệm vụ đặt ra đƣợc trừu tƣợng hoá, bị
che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hƣớng tƣ duy hoặc không định hƣớng
đƣợc hƣớng giải quyết.
Ví dụ 4 Cho 3 đƣờng thẳng d1, d2, d3 không cùng nằm trong một mặt
phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh 3 đƣờng thẳng trên đồng quy.

Ở các lớp dƣới, học sinh đã biết cách chứng minh 3 đƣờng thẳng đồng quy
nhƣ sau:
- Chứng minh hai đƣờng thẳng cắt nhau, và chứng minh đƣờng
thẳng thứ 3 đi qua giao điểm của hai đƣờng thẳng cắt nhau đó.
- Quy về các đƣờng thẳng đặc biệt trong tam giác.
Tuy nhiên trong bài toán này, hai định hƣớng trên đều khó có thể thực hiện
đƣợc hay nói cách khác bài toán bị các yếu tố phụ che phủ đó là: cho 3 đƣờng
thẳng khơng cùng nằm trong một mặt phẳng; chứng minh 3 đƣờng thẳng đồng quy.
Điều này làm học sinh không nghĩ đƣợc định hƣớng của bài toán là giải quyết dựa
vào khái niệm giao tuyến của hai mặt phẳng. Bản chất của bài toán trên là ta dựa
vào việc 3 đƣờng thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng, do vậy có thể tìm
giao điểm của hai đƣờng thẳng và chứng minh giao điểm đó nằm trên đƣờng thẳng
cịn lại, trong đó đƣờng thẳng này là giao tuyến của hai mặt phẳng lần lƣợt chứa
hai đƣờng thẳng trên.
Chứng minh 3 đƣờng thẳng
đồng quy



a b  I


a  ( )


b  ( )


( )  (  )  c

12
1.1.3.2. Tâm thế và thói quen.
Tâm thế và thói quen có ảnh hƣởng nhất định tới sự hình thành kĩ năng ở
học sinh. Khi một thói quen đƣợc lặp đi lặp lại nhiều lần sẽ hình thành những phản
xạ có điều kiện đối với đối tƣợng đó tức là sẽ ngay lập tức tƣ duy về đối tƣợng đó
theo một lối mịn nào đó, tức là đã hình thành những kĩ năng giải quyết đối tƣợng
đó.
1.1.3.3. Khả năng khái quát đối tƣợng một cách tồn thể.
Thực chất của việc hình thành kĩ năng là hình thành cho học sinh nắm vững
hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa
đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hoạt động cụ thể
.
Điều này đƣợc thể hiện rất rõ trong q trình dạy học hình học khơng gian.
Khi dạy học về quan hệ song song cần hình thành cho học sinh kĩ năng xác định
giao điểm giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng; giao tuyến giữa mặt phẳng và mặt
phẳng ….và cần làm cho học sinh thấy rõ thực chất của việc xác định giao điểm;
giao tuyến đều quy về việc đi xác định giao điểm của hai đƣờng thẳng.
Nhƣ vậy thực chất của việc hình thành kĩ năng là hình thành cho học sinh
nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ thông
tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chứng với những hành động cụ
thể.
Muốn vậy, khi hình thành kĩ năng cho học sinh cần quan tâm tới các yếu tố
ảnh hƣởng tới sự hình thành kĩ năng cho học sinh, đồng thời:
- Giúp học sinh biết cách tìm tịi để nhận xét ra các yếu tố đã cho, yếu tố
phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành mơ hình khái qt để giải quyết các bài tập, các
đối tƣợng cùng loại.
- Xác lập đƣợc mối liên hệ giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức
tƣơng xứng.

13
1.2. Chuẩn
1.2.1. Một số vấn đề về chuẩn.
1.2.1.1. Khái niệm chuẩn
Trƣớc hết ta cần hiểu “chuẩn” ám chỉ đến chất lƣợng mà ngƣời ta mong
muốn.
Trong kiểm định, có nhiều quan niệm về “chuẩn”.
Ở Mỹ: Chuẩn (Normal) là mức độ yêu cầu nhất định mà các trƣờng Đại
học hoặc chƣơng trình đào tạo cần phải đáp ứng để đƣợc công nhận.
Ở Châu Âu: Chuẩn (Normal) đƣợc xem nhƣ kết quả mong muốn của một
chƣơng trình đào tạo trong giáo dục bao gồm: kiến thức, kĩ năng, thái độ cần có.
Ở Việt Nam khái niệm “Chuẩn” không đƣợc quan tâm nhiều. Ngày 05
tháng 05 năm 2006, Bộ trƣởng Bộ giáo dục và Đào tạo đã kí quyết định số
16/2006/QĐ-BGDĐT về việc ban hành Chƣơng trình Giáo dục phổ thơng. Trong
chƣơng trình Giáo dục phổ thông là một kế hoạch sƣ phạm gồm :
- Mục tiêu giáo dục;
- Phạm vi và cấu trúc nội dung giáo dục;
- Chuẩn kiến thức, kĩ năng và yêu cầu thái độ của từng môn học, cấp học;
- Phƣơng pháp và hình thức tổ chức giáo dục;
- Đánh giá kết quả giáo dục từng môn hcọ ở mỗi lớp, cấp học.
Đây chính là mốc thời gian đánh dấu sự xuất hiện của khái niệm “Chuẩn”
một cách khá phổ biến ở nƣớc ta.
Theo Chuẩn kiến thức, kĩ năng của BGDĐT :
“Chuẩn là những yêu cầu, tiêu chí ( gọi chung là yêu cầu) tuân thủ những
nguyên tắc nhất định, đƣợc dùng làm thƣớc đo đánh giá hoạt động, công việc, sản
phẩm của lĩnh vực nào đó. Đạt đƣợc những yêu cầu của chuẩn là đạt đƣợc mục tiêu
mong muốn của chủ thể quản lí hoạt động, cơng việc, sản phẩm đó.
Chuẩn đƣợc dùng làm thƣớc đo đánh giá hoạt động, cơng việc, sản phẩm

của lĩnh vực nào đó. Điều này đƣợc thể hiện khá rõ trong hoạt động giáo dục, ở
mỗi kì học chúng ta đều có hoạt động kiểm tra cuối kì, trong hoạt động này ln có


14
một khối lƣợng kiến thức mà bắt buộc ngƣời học phải nắm đƣợc, làm đƣợc khối
lƣợng kiến thức đó mới đạt yêu cầu tức là đủ điểm trong kì học đó và từ đó đánh
giá xếp loại năng lực học tập của mỗi cá nhân trong quá trình học tập.
Trong các cơ quan, tổ chức mỗi năm đều có bình bầu, xét duyệt những cá
nhân xuất sắc, việc bình xét đều dựa trên một số tiêu chuẩn nhất định nhƣ: hồn
thành cơng việc, có thành tích nổi bật.
u cầu là sự cụ thể hoá, chi tiết, tƣờng minh chuẩn, chỉ ra những căn cứ
để đánh giá chất lƣợng.
Điều này đƣợc thể hiện khá rõ ràng trong quá trình dạy học, khi học bài
“Đại cƣơng về đƣờng thẳng, mặt phẳng” yêu cầu đặt ra đối với học sinh là:
- Nắm đƣợc các tính chất, cách xác định mặt phẳng, hình chóp, tứ diện.
- Biết đƣợc các tính chất thừa nhận: có 4 điểm khơng thuộc cùng mặt
phẳng , có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng….
Đó chính là sự cụ thể hố về chuẩn trong bài học đó. Những u cầu trên
đƣợc trình bày một cách rõ ràng và chi tiết. Đây đƣợc là những kiến thức trọng
tâm, cơ bản mà giáo viên cần truyền thụ cho học sinh. Đây cũng là những căn cứ
đánh giá chất lƣợng một bài dạy cũng nhƣ kĩ năng của học sinh.
Dựa vào những yêu cầu trên có thể đánh giá đƣợc giáo viên đã thiết kế một
bài dạy có tình huống có vấn đề, tạo đƣợc điểm nhấn vào những nội dụng cơ bản
hay chƣa? Đồng thời cũng là căn cứ đánh giá khả năng tiếp nhận tri thức của học
sinh.
u cầu có thể đƣợc thơng qua chỉ số thực hiện.
Yêu cầu đƣợc xem nhƣ những “chốt kiểm soát” để đánh giá chất lƣợng đầu
vào, đầu ra cũng nhƣ q trình thực hiện.
Cụm từ “chốt kiểm sốt” ta có thể liên tƣởng tới các trạm kiểm sốt giao

thơng khi vận hành từ tỉnh này sang tỉnh khác cần có đầy đủ bằng, đăng kí xe…. Ở
đây u cầu cũng đóng vai trị gần giống nhƣ vậy. Dựa vào những u cầu đặt ra
tƣơng thích với từng hồn cảnh, nghề nghiệp mà có thể đánh giá chất lƣợng.


15
Trong quá trình tuyển sinh Đại học chúng ta rất quen thuộc với cụm từ
“điểm sàn”. Điểm sàn ở đây chính là yêu cầu tối thiểu mà học sinh cần đạt đƣợc để
có thể xét vào các trƣờng đại học. Hay điểm tuyển sinh của một trƣờng đại học
chính là sự cụ thể hoá những yêu cầu về khối lƣợng kiến thức của ngƣời thi, là
chốt kiểm soát đánh giá chất lƣợng đầu vào của một trƣờng. Đồng thời điểm thi đại
học là một trong những yếu tố đánh giá chất lƣợng học tập của học sinh trong suốt
quá trình học tập.
Nhƣ vậy những yêu cầu đƣợc xem là những chốt kiểm soát này thƣờng
xuyên tồn tại trong suốt quá trình dạy và học .
1.2.1.2. Những yêu cầu cơ bản của chuẩn.
Theo [14] “Chuẩn” cần đảm bảo những yêu cầu sau:
- Chuẩn phải có tính khách quan, nhìn chung khơng lệ thuộc vào quan điểm
hay thái độ chủ quan của ngƣời sử dụng Chuẩn.
- Chuẩn phải có hiệu lực ổn định cả về phạm vi lẫn thời gian áp dụng.
- Đảm bảo tính khả thi, có nghĩa là Chuẩn đó có thể đạt đƣợc (là trình độ
hay mức độ dung hồ hợp lí giữa u cầu phát triển ở mức cao hơn với những thực
tiến đang diễn ra).
- Đảm bảo tính cụ thể, tƣờng minh và có chức năng định lƣợng.
- Đảm bảo không mâu thuẫn với các chuẩn khác trong cùng lĩnh vực có liên
quan.
1.2.1.3. Chuẩn kiến thức, kĩ năng
Chuẩn kiến thức, kĩ năng của chƣơng trình giáo dục phổ thông đƣợc đề cập
khá rõ trong “Hƣớng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng” của các lớp 10, 11,
12 năm 2006. Trong đó đã làm rõ Chuẩn kiến thức, kĩ năng và yêu cầu về thái độ

của Chƣơng trình Giáo dục phổ thơng (CTGDPT) đƣợc thể hiện cụ thể trong các
chƣơng trình mơn học, hoạt động giáo dục (gọi chung là mơn học) và chƣơng trình
cấp học.


16
Đối với mỗi môn học, mỗi cấp học, mục tiêu của mơn học, cấp học đƣợc cụ
thể hố thành chuẩn kiến thức, kĩ năng của chƣơng trình mơn học, chƣơng trình
cấp học.
1.2.1.3.1. Chuẩn kiến thức, kĩ năng của chƣơng trình mơn học.
Chuẩn kiến thức, kĩ năng của chươg trình mơn học là các yêu cầu cơ
bản, tối thiểu về kiến thức, kĩ năng của môn học mà học sinh cần phải và có thể đạt
đƣợc sau mỗi đơn vị kiến thức (mỗi bài, chủ điểm, môđun).
Để hiểu rõ về khái niệm này ta cần hiểu rõ: thế nào là chuẩn kiến thức, kĩ
năng của một đơn vị kiến thức và yêu cầu về kiến thức, kĩ năng ?
Chuẩn kiến thức, kĩ năng của một đơn vị kiến thức là các yêu cầu cơ bản,
tối thiểu về kiến thức, kĩ năng của đơn vị kiến thức mà học sinh cần phải và có thể
đạt đƣợc.
Nhƣ vậy nghĩa là sau một bài, một chƣơng nào đó học sinh cần đạt đƣợc
những yêu cầu nhất định về kiến thức trong chƣơng.
Ví dụ 5 Sau khi dạy bài “Đại cƣơng về đƣờng thẳng và mặt phẳng ” học
sinh cần đạt đƣợc những kiến thức:
- Biết các tính chất thừa nhận.
- Biết cách xác định mặt phẳng : qua 3 điểm không thẳng hàng, qua một
đƣờng thẳng và một điểm không thuộc đƣờng thẳng; qua hai đƣờng thẳng cắt nhau.
- Biết đƣợc khái niệm hình chóp, hình tứ diện.
Tức là tất cả học sinh đều phải đạt đƣợc những chuẩn trên sau khi học bài
1. Tuy nhiên có phải chỉ cần dừng lại ở mức độ này là đã đạt yêu cầu hay không,
để trả lời câu hỏi này ta cần làm rõ “yêu cầu về kiến thức, kĩ năng”
Yêu cầu về kiến thức, kĩ năng thể hiện mức độ cần đạt đƣợc về kiến thức,

kĩ năng.
Cụm từ “mức độ” chính là nhằm làm rõ, chuẩn đƣa ra trong từng bài chỉ là
yêu cầu tối thiểu, chúng ta có thể hiểu đó là cái mốc bé nhất mà tất cả mọi ngƣời
đều phải qua đƣợc. Có thể so sánh chuẩn này chính là mức xà thấp nhất trong môn
nhảy cao, và tuỳ theo từng đối tƣợng mà giáo viên có thể điều chỉnh nâng mức xà


17
hay chính là nâng cao yêu cầu cho các đối tƣợng đó nhằm mục đích phát huy hết
khả năng của học sinh.
Ví dụ 6 Trong cùng bài “Đại cƣơng về đƣờng thẳng và mặt phẳng ” giáo
viên có thể điều chỉnh yêu cầu đối với các đối tƣợng học sinh khác nhau. Khi đó
yêu cầu đƣa ra đối với các học sinh khá, giỏi không chỉ dừng lại ở việc biết các
tính chất thừa nhận mà có thể nâng cao hơn đó là vận dụng các khái niệm đó vào
các bài tốn mang tính chất lý thuyết, hoặc thực tế nhƣ “Giải thích vì sao khi ta
dựng xe máy bao giờ cũng tồn tại một mặt phẳng đi qua bánh xe và chân chống?”
Mỗi yêu cầu về kiến thức, kĩ năng có thể đƣợc chi tiết hơn bằng những yêu
cầu về kiến thức, kĩ năng cụ thể, tƣờng minh hơn; minh chứng bằng những ví dụ
thể hiện đƣợc cả nội dung, kiến thức, kĩ năng và mức độ cần đạt về kiến thức, kĩ
năng.
1.2.1.3.2. Những đặc điểm của Chuẩn kiến thức, kĩ năng.
- Chuẩn kiến thức, kĩ năng đƣợc chi tiết, tƣờng minh bằng các yêu cầu cụ
thể, rõ ràng về kiến thức, kĩ năng.
- Chuẩn kiến thức, kĩ năng có tính tối thiểu, nhằm đảm bảo mọi học sinh
cần phải và có thể đạt đƣợc những yêu cầu cụ thể này.
- Chuẩn kiến thức, kĩ năng là thành phần của Chƣơng trình giáo dục phổ
thơng.
1.2.2. Chuẩn kiến thức, kĩ năng trong chƣơng trình hình học 11.
Trong chƣơng trình hình học 11, học sinh bắt đầu làm việc nhiều với hình
học khơng gian, chuyển từ khơng gian 2 chiều sang không gian 3 chiều và tiếp cận

với nhiều khái niệm mới và khó. Do đó giáo viên cần phải hiểu đƣợc đúng nội
dung cũng nhƣ dụng ý, yêu cầu của sách giáo khoa. Do đó việc bám sát chuẩn kiến
thức, kĩ năng là vô cùng cần thiết. Trong cuốn “Hƣớng dẫn thực hiện chuẩn kiến
thức, kĩ năng mơn Tốn lớp 11” đã làm rõ chuẩn kiến thức đối với các khái niệm.
Đồng thời phân rõ các mức độ cần đạt đƣợc đối với từng khái niệm nhƣ sau:


18
Khái niệm
Hh 1.Hình Hình chóp; hình tứ diện

Chuẩn kiến thức, kĩ năng
Biết đƣợc khái niệm hình chóp, hình tứ
diện: vẽ đƣợc hình biểu diễn của hình
chóp và hình tứ diện; gọi tên và chỉ ra
các đặc điểm của 2 loại hình trên.

2.

Hai đƣờng thẳng đồng Phát biểu đƣợc định nghĩa và nhận dạng
phẳng

cũng nhƣ thể hiện đƣợc khái niệm này
trong các hình biểu diễn cũng nhƣ trong
thực tế.

3.

Hai đƣờng thẳng: trùng - Biết đƣợc khái niệm: điều kiện cần để
nhau, song song, cắt hai đƣờng thẳng chéo nhau, xác định vị

nhau, chéo nhau.

4.

trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng.

Đƣờng thẳng song song Phát biểu đƣợc khái niệm và nhận dạng,
với mặt phẳng.

thể hiện đƣợc từ những hình ảnh trực
quan.

5.

Hai mặt phẳng song song Phát biểu đƣợc khái niệm, nhận dạng và
thể hiện đƣợc khái niệm.

6.

Hình lăng trụ, hình hộp

- Nắm đƣợc những nội dung cơ bản của
khái niệm
- Vẽ đƣợc hình biểu diễn của hình lăng
trụ, hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác,
chỉ ra và đọc tên các yếu tố trên hình vẽ.

7.

Hình chóp cụt

- Nắm đƣợc những nội dung cơ bản của
khái niệm.
- Vẽ đƣợc hình biểu diễn của hình chóp
cụt có đáy là tam giác, tứ giác, đọc tên và
chỉ ra các yếu tố trong hình biểu diễn.

8.

Phép chiếu song song

- Biết đuợc phép chiếu song song chính
là “phép đặt tƣơng ứng mỗi điểm M


19
trong không gian với điểm M’ trên mp
chiếu”
- Nắm và xác định đuợc các yếu tố cơ
bản của phép chiếu nhƣ: phƣơng chiếu,
mặt phẳng chiếu song song, ảnh của
điểm, đoạn thẳng, đƣờng thẳng…
9.

Hình biểu diễn của một - Hiểu đƣợc nó là hình chiếu song song
hình trong khơng gian

của hình đã cho hoặc hình đồng dạng với
hình chiếu đó. Từ đó áp dụng các tính
chất của phép chiếu song song để vẽ hình

biểu diễn.

10.

Ba vectơ đồng phẳng - Nhớ khái niệm, nhận dạng và thể hiện
đƣợc khái niệm trong một số bài tốn.

trong khơng gian

- Biết đuợc mối quan hệ giữa 3 vectơ
đồng phẳng với 4 điểm O,A,B,C nằm
trên 3 vectơ (O là điểm chung của 3
vectơ).
11.

Góc giữa hai véc tơ trong - Phát biểu đƣợc nội dung chính của định
nghĩa.

khơng gian

- Biết cách xác định góc giữa hai véctơ.
12.

Tích vơ hƣớng của 2 - Biết đƣợc tích vơ hƣớng của 2 véctơ là
véctơ trong không gian

một số.
- Áp dụng cơng thức vào việc xác định
góc.

13.

Vectơ chỉ phƣơng của - Biết đƣợc khái niệm và chỉ ra đƣợc
đƣờng thẳng.

vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng trong
những trƣờng hợp cụ thể.

14.

Góc
thẳng

giữa

hai

đƣờng - Biết đƣợc góc giữa 2 đƣờng thẳng a,b là
góc giữa 2 đƣờng thẳng cùng đi qua một


20
điểm và song song với 2 a,b. Tức là việc
xác định góc giữa 2 đƣờng thẳng trong
khơng gian quy về xác định góc giữa 2
đƣờng thẳng trong cùng một mặt phẳng
và không phụ thuộc vào điểm chọn.
15.

Hai đƣờng thẳng vuông - Biết khái niệm, nhận dạng và thể hiện

góc.

16.

đƣợc khái niệm trong bài tốn cụ thể.

Đƣờng thẳng vng góc - Biết khái niệm: Phát biểu lại đƣợc nội
với mặt phẳng.

dung của khái niệm theo ngơn ngữ cá
nhân.

17.

Phép chiếu vng góc.

- Biết khái niệm, biết đƣợc phép chiếu
vng góc là một trƣờng hợp đặc biệt của
phép chiếu song song. Xác định đƣợc
hình chiếu của đoạn thẳng, đƣờng thẳng,
tam giác.

18.

Mặt phẳng trung trực

- Phát biểu lại đựơc khái niệm, nắm đƣợc
các yếu tố cần để một mặt phẳng đƣợc
gọi là mặt phẳng trung trực.

19.

Góc giữa đƣờng thẳng và - Biết đƣợc góc giữa đƣờng thẳng và mặt
mặt phẳng.

phẳng trong các trƣờng hợp và việc xác
định góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng
quy về xác định góc giữa đƣịng thẳng đó
với hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Giới hạn góc giữa đƣờng thẳng và mặt
phẳng 0 ≤  ≤ 900

20.

Góc giữa hai mặt phẳng

- Biết đƣợc khái niệm, giới hạn góc giữa
hai mặt phẳng, xác định đƣợc góc giữa
hai mặt phẳng trong trƣờng hợp đặc biệt.

21.

Hai mặt phẳng vng góc - Biết đƣợc khái niệm


21
22.

Hình lăng trụ đứng, hình - Biết đƣợc khái niệm, nắm đƣợc các tính
hộp chữ nhật, hình lập chất đặc trƣng của khái niệm.

phƣơng

- Mối quan hệ giữa các hình lăng trụ
đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập
phƣơng.
- Vẽ đƣợc hình biểu diễn của các hình
trên và giải quyết một số câu hỏi mang
tính lý thuyết, biết cách vận dụng đặc
điểm của từng hình vào giải bài tốn

23.

Hình chóp đều và hình - Nắm đƣợc các đặc điểm đặc trƣng của
chóp cụt đều.

khái niệm, mối quan hệ giữa hai hình
trên.
- vẽ đƣợc hình biểu diễn và vận dụng vào
giải quyết các bài toán lý thuyết và một
số trƣờng hợp cụ thể.

24.

Khoảng cách từ một điểm - Biết khái niệm, nhận dạng và thể hiện
đến

một

mặt

phẳng, đƣợc khái niệm trong bài toán.

đƣờng thẳng.
25.

Khoảng cách giữa đƣờng - Biết khái niệm, hiểu đƣợc khoảng cách
thẳng và mặt phẳng song giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song
song, khoảng cách giữa song , khoảng cách giữa hai mặt phẳng
hai mặt phẳng song song

song song đều quy về khoảng cách từ
một điểm trên đƣòng thẳng hoặc mặt
phẳng đến mặt phẳng kia.

26.

Đƣờng vng góc chung

- Biết khái niệm và xác định đƣợc đƣờng
vng góc chung.

27.

Khoảng cách giữa hai - Biết khái niệm và vận dụng vào tìm
đƣờng thẳng chéo nhau.

khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo
nhau.

22
1.2.3. Một số loại toán giải đƣợc dựa vào Chuẩn kiến thức, kĩ năng ở trên
Trong quá trình dạy học khái niệm GV cần hình thành cho học sinh một số
loại toán mà phƣơng pháp và cách thức giải chỉ cần dựa vào khái niệm. Hoạt động
này không những giúp học sinh hiểu rõ bản chất của khái niệm mà cịn hình thành
cho học sinh tri thức phƣơng pháp, cách giải quyết các bài toán dựa vào khái niệm.
Từ hệ thống khái niệm trong chƣơng trình hình học khơng gian lớp 11, GV
có thể hình thành cho học sinh các loại bài tập sau:
Loại 1 Xác định vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng, đƣờng thẳng và
mặt phẳng.
Bài toán xác định vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng, đƣờng thẳng và
mặt phẳng giải quyết dựa trên các khái niệm đồng phẳng, song song, trùng nhau,
cắt nhau, chéo nhau hoặc các khái niệm song song, cắt nhau tại một điểm, hai
điểm. Đối với dạng bài toán này chỉ nhằm mục đích giúp học sinh nhận dạng một
cách thuần thục các khái niệm này trên hình vẽ, bƣớc đầu làm quen với mơ hình
trừu tƣợng của hình học khơng gian.
Ví dụ 7 Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt thuộc cùng
một đƣờng thẳng AB; P, Q là hai điểm phân biệt thuộc cùng một đƣờng thẳng CD.
Xét vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng MQ, NP và MP, NQ.

A

M

N

D

B
P

Q
C


23
Để giải quyết bài tốn này học sinh khơng có cơng cụ nào khác ngồi các
khái niệm. Ở đây khi xét vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng này GV cần hƣớng
cho học sinh trƣớc hết cần xem xét hai đƣờng thẳng đó đồng phẳng hay khơng
đồng phẳng.
Cắt nhau
Đồng phẳng

Trùng nhau
Song song

Không đồng phẳng

Chéo nhau.

Trong trƣờng hợp đồng phẳng, học sinh đƣa về bài tốn trong phẳng, khi
đó việc xét vị trí tƣơng đối của chúng là dễ dàng. Trong trƣờng hợp không đồng
phẳng kết luận ngay là hai đƣờng thẳng chéo nhau. Nhƣ vậy khó khăn nhất là làm
sao chứng minh đƣợc hai đƣờng thẳng trên là không đồng phẳng. Thơng thƣờng ta
có dùng phƣơng pháp phản chứng. Đối với bài tốn trên ta có thể dùng phản chứng
để chứng minh nhƣ sau:
Giả sử rằng MQ, NP là đồng phẳng MN, PQ là đồng phẳng. Khi đó MN
và PQ có thể song song, trùng nhau hoặc cắt nhau. Tuy nhiên MN, PQ nằm trên
hai cạnh đối của hình tứ diện nên nó là hai đƣịng thẳng chéo nhau.
 Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy MQ, NP là không đồng phẳng.
 MQ, NP chéo nhau.

Trƣờng hợp còn lại chứng minh tƣơng tự.
Đối với dạng tốn này, GV có thể lấy nhiều hình quen thuộc nhƣ hình lập
phƣơng, hình chóp và thêm một số yếu tố nhằm giúp học sinh nhận dạng tốt vị trí
tƣơng đối của các đối tƣợng.
Loại 2 Xác định giao điểm của đƣờng thẳng và mặt phẳng, xác định
giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng.
Bài toán xác định giao điểm của đƣờng thẳng và mặt phẳng và giao tuyến
của hai mặt phẳng quy về bài toán xác định giao điểm của đƣờng thẳng với đƣờng
thẳng tức là vận dụng vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng. Muốn HS có thể thực


24
hiện giải quyết tốt loại toán này, HS cần thành thạo, nắm vững các vị trí tƣơng đối
của 2 đƣờng thẳng trong khơng gian (Nắm vững loại tốn 1)
Ví dụ 8 Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lƣợt là
trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2 PD.
Tìm giao điểm của đƣờng thẳng CD và mặt phẳng

a)
(MNP).

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).

b)

A

S
M
P

B

D

N
C

 S  CD  a
 a  ( MNP)

a) Tìm giao điểm S của CD và (MNP)  

Nhƣ vậy bài tốn quy về việc tìm a trong (MNP) và a cắt CD. Rõ ràng rằng
a và CD cùng thuộc một mặt phẳng. Khi đó học sinh sẽ quan sát những mặt phẳng
chứa CD và nhận ra đƣờng thẳng a đó chính là NP.
 S = NP  CD
Lƣu ý ở đây trong quá trình hƣớng dẫn học sinh làm bài GV cần đƣa ra một
số dấu hiệu nhận biết về mối quan hệ giữa hai đoạn thẳng nhƣ: đó là các đƣờng đặc
biệt trong tam giác nhƣ đƣờng cao, đƣờng trung tuyến, ….Ngoài ra cần lƣu ý đến
các tỉ lệ trong tam giác đề từ đó đƣa ra kết luận về vị trí tƣơng đối của các đoạn
thẳng trong tam giác.
Bài toán xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng thực chất là bài toán xác
định 2 giao điểm. Tuy nhiên ở bài toán này học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc
xác định 2 cặp đƣờng thẳng cắt nhau mà khơng có sự định hƣớng trƣớc một trong


25
hai đƣờng thẳng. Ở bài tốn này, HS đã tìm đƣợc giao điểm S, mà giao điểm này
lại thuộc 2 đƣờng thẳng nằm trong 2 mặt phẳng, do vậy học sinh chỉ cần đi tìm

giao điểm cịn lại.
Dễ dàng nhận thấy giao điểm thứ 2 là M.
 (MNP)  (ACD) = MS.
Loại 3 Chứng minh 3 véctơ đồng phẳng, đƣờng thẳng cùng nằm trong
một mặt phẳng, 4 điểm cùng thuộc một mặt phẳng.
Khái niệm 3 véctơ đồng phẳng: Trong không gian 3 véctơ đƣợc gọi là đồng
phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Đối với khái niệm nằm cần làm rõ cho HS hiểu giá của các đƣờng thẳng đó
cùng song song với một mặt phẳng để tránh trƣờng hợp nhầm lẫn rằng 3 đƣờng
thẳng hoặc 3 véctơ đó cùng nằm trong một mặt phẳng.
GV cần hình thành cho HS tri thức phƣơng pháp về cách chứng minh 3
véctơ đồng phẳng : Chứng minh 3 véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.
Hƣớng dẫn để HS phát hiện ra đƣợc việc chứng minh 3 véctơ đồng phẳng tƣơng
đƣơng chứng minh 3 đƣờng thẳng thuộc cùng một mặt phẳng hay 4 điểm thuộc
cùng một mặt phẳng.
Dạng toán này vận dụng khái niệm “3 véctơ đồng phẳng” tuy nhiên cũng
đòi hỏi HS phải nắm vững các kiến thức về quan hệ song song, cũng nhƣ các tính
chất trong mặt phẳng.
Ví dụ 9 Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên
đoạn SA lấy điểm M sao cho MS  2MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho

NB 

1
NC . Chứng minh rằng ba véctơ AB, MN , SC đồng phẳng.
2
S

M

A

C

K
P

N
B