TOAN GIA LOC 1516

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIA LỘC ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang). Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức: 1). A. x2 x 1   x x  1 x  x 1. B. 1 x  1 với x 0, x 1. 2 3  5  13  48. 6 2 2) Câu 2. (2,0 điểm) Giải phương trình:. 1). 2 x 4  7 x 3  9 x 2  7 x  2 0. 2 3 x  10  x 2  9 x  20 2) Câu 3. (2,0 điểm) 2 1) Giải phương trình nghiệm nguyên : x  xy  2014 x  2015 y  2016 0. 2 2 2) Tìm số nguyên tố k để k  4 và k  16 đồng thời là các số nguyên tố. Câu 4. (3,0 điểm). Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Goïi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. 1) Chứng minh tam giác OME vuông cân. 2) Chứng minh ME // BN. 3) Gọi H là giao điểm của OM và BN. Chứng minh CH  BN. Câu 5. (1,0 điểm) 1 1 1   4 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z . 1 1 1   1 Chứng minh rằng: 2 x  y  z x  2 y  z x  y  2 z. ................................. Hết ................................... * Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Không vẽ hình bằng bút chì. Họ và tên thí sinh: ……………………………….....Số báo danh: ..……..….................. Chữ ký của giám thị 1 ………………...Chữ ký của giám thị 2…………….....................

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIA LỘC. Câu 1 (2 điểm). HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Đáp án. Biểu điểm. 1.( 1điểm ) A. x 2. . . . . . x  1 x  x 1 x  2  x  1 x . . x 1  x  x 1. 0.25. x1. . 0.25. . x. . 0.25. . x  1 x  x 1.  x  1   x  1  x  x 1 x  x. . 1 x1. x  1 x  x 1 x. . . Vậy với x 0, x 1 thì. A. x x 1 x x  x 1. 0.25. 2. (1 điểm ) Ta có : A. 2 3  5  13  48 6 2. . 2 3 5. (2 3  1) 2. 6 2. 2 2 3  5  2 3  1 2 3  ( 3  1)   6 2 6 2.  . 2 (2điểm ). 2 2 3 84 3  6 2 6 2 ( 2  6) 2. . 6 2 1 6 2. 6 2 Vậy A = 1 1.( 1 điểm ) Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình nên x 0. 2 Chia hai vế của phương trình cho x ta được: 1   2  x2  2   x  . 1  7  x    9 0 x  1 1 y x  y 2  2 x 2  2 x thì x . Đặt. 0,25 0,25 0,25. 0,25. 0,25. Do đó ta có phương trình: 2( y 2  2)  7 y  9 0. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  y  1 0   2y2-7y+5=0  (y-1)(2y-5) = 0  2 y  5 0 1 x x -1 = 0  x2-x+1 = 0 vô nghiệm vì *Với y-1 = 0 ta có 2. 1 3  x     0, x  2 4 x2- x + 1=  1  x  x  -5 = 0  2x2 -5x + 2 = 0 *Với 2y-5 = 0 ta có 2.   x 2   x 1  (2x - 1).(x - 2) = 0  2 1 Vậy x = 2 và x = 2 là nghiệm của phương trình. 0,25. 0,25. 2.( 1 điểm ) 2. 2 3 x 10  x  9 x  20 Điều kiện xác định: 2 3x  10 x 2  9 x  20 2  x  9 x  20  2 3x  10 0 2  ( x  6 x  9)  3 x 10  2 3 x  10  1 0. x.  10 3. 2 2  ( x  3)  ( 3 x  10  1) 0 2 ( x  3) 0  2 2 2  ( 3 x  10  1) 0 (vì ( x  3) 0 và ( 3 x  10  1) 0 )  x  3 0    3 x  10  1 0  x  3 (thỏa mãnđiều kiện). Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = - 3 3 (2 điểm). 0,25 0,25 0,25. 0,25. 2 1) Ta có : x  xy  2014 x  2015 y  2016 0 2  x  xy  x  2015 x  2015 y  2015 1  x( x  y  1)  2015( x  y  1) 1  ( x  2015)( x  y  1) 1 Vì x, y  Z nên x-2015 và x + y + 1  Z và là ước của 1.. 0,25. Ta có các trường hợp sau:  x  2015 1  x 2016   x  y  1  1   y  2016 *  x  2015  1  x 2014   *  x  y  1  1  y  2016. Vậy phương trình có nghiệm là (2016;-2016); (2014; -2016). 0,25 0,25 0,25. 2 2 2) Vì k là số nguyên tố suy ra k  4  5; k  16  5. n N  -Xét k = 5n  mà k là số nguyên tố nên k = 5.. Khi đó k2 + 4 = 29; k2 +16 = 41 đều là các số nguyên tố. n  N   k 2 25n 2  10n  1  k 2  45 -Xét k = 5n+1 . 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  k 2  4 không là số nguyên tố. n  N  k 2 25n 2 20n  4  k 2  165.  - Xét k = 5n + 2   k 2  16 không là số nguyên tố.. n  N  k 2 25n 2  30n  9  k 2  165.  - Xét k = 5n +3   k 2  16 không là số nguyên tố.. 0,25 0,25. n  N  k 2 25n 2  40n  16  k 2  45.  - Xét k = 5n+4   k 2  4 không là số nguyên tố. Câu 4 (3điểm ). 0,25. 2 2 Vậy để k  4 và k  16 là các số nguyên tố thì k = 5. 1. (1 điểm ). Hình vẽ. E. _. A. 0,25. B 1. 1. O. 2. M. 3. H 1. D. C. N. Xét ∆OEB và ∆OMC, ta có: OB = OC(vì ABCD là hình vuông)  1 C  1 45 B. BE = CM (gt) Suy ra ∆OEB = ∆OMC (c.g.c). 0,25.  1 O  3  OE = OM và O     Lại có O 2  O3 BOC 90 (vì tứ giác ABCD là hình vuông)  2 O  1  EOM   O 90. 0,25. kết hợp với OE = OM  ∆OEM vuông cân tại O.. 0,25. 2. (1 điểm ) Vì ABCD là hình vuông  AB = CD và AB // CD AM BM   AB // CN  MN MC (Theo hệ quả ĐL Ta- lét) (*). 0,25. Mà BE = CM (gt) và AB = BC  AE = BM. 0,25. AM AE  Thay vào (*) ta có : MN EB. 0,25. AM AE  ∆ABN có MN EB  ME // BN. 0,25. (theo ĐL Ta-lét đảo).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 3. (1 điểm )   Từ ME // BN  OME OHB ( cặp góc đồng vị)   Mà OME 45 vì ∆OEM vuông cân tại O.    MHB 450 C 1  ∆OMC ∆BMH (g.g). 0,25. OM MC  MB MH   kết hợp OMB CMH (hai góc đối đỉnh)  ∆OMB ∆CMH (c.g.c) . 5 (1 điểm ).    OBM MHC 450 0 0 0    Ta có BHC BHM  MHC 45  45 90 Do đó CH  BN 1 1 1 1     Chứng minh được BĐT : a  b 4  a b . 0,25 0,25 0,25. (*). Dấu bằng xảy ra khi a = b. 0,25. Áp dụng BĐT (*) vào bài toán ta có: 1 1 1 1 1       2x  y  z x  y  x  z 4  x  y x  z  1 1 1 1 1       x  2y  z x  y  y  z 4  x  y y  z  1 1 1 1 1       x  y  2z x  z  y  z 4  x  z y  z . 0,25. Suy ra 1 1 1 1  1 1 1     .2     2x  y  z x  2 y  z x  y  2z 4  x  y y  z z  x . Tiếp tục áp dụng BĐT (*) ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1             x y 4 x y; yz 4 y z  ; zx 4 z x 1 1 1 1 1  1 1 1    .2. .2.     1 Suy ra 2 x  y  z x  2 y  z x  y  2 z 4 4  x y z  1 1 1   1 2x  y  z x  2 y  z x  y  2z 3 x  y z  4 Dấu bằng xảy ra khi. Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. ----------------------Hết------------------------. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>

<span class='text_page_counter'>(7)</span>