Các dạng bài toán hình học trong đề thi học sinh giỏi toán 8 (có lời giải chi tiết)

TUYỂN TẬP CÁC DẠNG BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ HSG
LỚP 8
(CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT)
Câu1.

ABCD.

Cho hình chữ nhật
điểm đối xứng của
a) Tứ giác
E

b) Gọi

minh

AMDB

và

F

C

Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là

qua P.

là hình gì ?

lần lượt là hình chiếu của điểm M lân AB, AD. Chứng

EF / /A C

và ba điểm

E,F,P

thẳng hàng

c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật

phụ thuộc vào vị trí điểm
d) Giả sử

CP ⊥ BD

không

P

CP = 2,4cm,

và

MEA F

PD 9
= .
PB 16

Tính các cạnh của hình chữ

nhật ABCD.
Lời giải

a) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD
⇒ PO

là đường trung bình tam giác

⇒ A M / /PO ⇒ A MDB

b) Do

A M / /BD

Tam giác

AOB

nên

CA M

là hình thang

·
·
OBA
= MAE

cân ở O nên

(đồng vị)

·
·
OBA
= OAB

Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì
cân ở I nên

·
·
IAE
= IEA

∆AIE


Từ chứng minh trên : có
Mặt khác

IP

·
·
FEA
= OAB,

là đường trung bình của

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm
∆MAF : ∆DBA(g.g) ⇒

c)
d) Nếu

Nếu

MF AD
=
FA AB

nên

(1)

IP / /AC

(2)

thẳng hàng

Không đổi

∆CBD : ∆DCP(g.g) ⇒

thì

( 2,4)

CP = PB.PD hay
2

PD = 9k = 1,8(cm);

Chứng minh
Câu2.

B,D

2

CP PB
=
PD CP

= 9.16k 2 ⇒ k = 0,2

PB = 16k = 3,2(cm) BD = 5(cm)

BC 2 = BP.BD = 16

Cho hình bình hành
của

E,F,P

∆MAC

EF / /AC

PD 9
PD PB
=
⇒
=
= k ⇒ PD = 9k,PB = 16k
PB 16
9
16

CP ⊥ BD

Do đó:

do đó:

, do đó:

BC = 4cm,

ABCD ( AC > BD ) .

CD = 3cm.

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu

lên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AC

a) Tứ giác

DFBE

b) Chứng minh:
c) Chứng minh:

là hình gì ? Vì sao ?
∆CHK : ∆BCA

AC 2 = AB.AH + AD.A K

Lời giải


a)

DF / /BE

∆AFD = ∆CEB

⇒ DFBE

b)

(vì cùng vng góc với AC)
(Cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ DF = BE

là hình bình hành

·
BC / /AK ⇒ BCK
= 900
·
·
ABC
= 900 + BCH

(góc ngồi của

∆CHB)

·
·
·
·
HCK
= 900 + BCH
⇒ ABC
= HCK

Có:

·
·
·

CKD
= ACD
+ DAC

·
·
·
HBC
= BAC
+ BCA

mà

⇒ ∆CKD : ∆CBH ⇒

(góc ngồi của

∆DKC)

·
·
·
·
BCA
= DAC;BAC
= DCA

CD CK
A B CK
=

⇒
=
⇒ ∆CHK : ∆BCA ( c.g.c)
BC CH
BC CH

∆AEB : ∆A HC ⇒

AB AE
=
⇒ AE.A C = AB.A H ( 1)
AC AH

∆A FD : ∆AKC ⇒

AF A D
=
⇒ A F.A C = AD.AK ( 2)
AK AC

c)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:
Mà

A E.A C + A F.A C = AB.A H + A D.A K(3)

∆AFD = ∆CEB( cmt) ⇒ AF = CE

( 3) ⇔ AC.( A E + EC ) = A B.A H + AD.A K ⇔ A C

Câu 3.
Cho tam giác

A BC

2

= A B.A H + A D.AK

vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên

AC. Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia
tia

BA

tại O. Chứng minh rằng:

a)OA.OB = OC.OH

b)

·
OHA

có số đo khơng đổi

c) Tổng

BM.BH + CM.CA

không đổi
Lời giải

BM

cắt tia

BM

tại H, cắt


∆BOH : ∆COA ( g.g) ⇒

a)
b)

OB OH
OA OH
=
⇒
=
OC OA
OC OB

·
·
⇒ OHA

= OBC

c) Vẽ
⇒

OB OH
=
⇒ OA.OB = OH.OC
OC OA

và

µ
O

chung

⇒ ∆OHA : ∆OBC

(không đổi)

MK ⊥ BC; ∆BKM : ∆BHC(g.g)

BM BK
=
⇒ BM.BH = BK.BC (3)
BC BH

∆CKM : ∆CAB( g.g) ⇒

CM CK
=
⇒ CM.CA = BC.CK(4)
CB CA

Cộng từng vế của (3) và (4) ta có:

BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK = BC.( BK + KC ) = BC 2

Câu4.
Cho hình thang
BC = a 2

ABCD

vng tại

.Gọi E là trung điểm của

a) Tứ giác

A BED

I

c) Gọi là trung điểm của

xuống

và

D.

Biết

CD = 2AB = 2AD

và

CD.

là hình gì ? Tại sao ?

b) Tính diện tích hình thang

AC.

A

(Khơng đổi)

Tính góc

A BCD

BC,H

theo

a

là chân đường vng góc kẻ từ

·
HDI

Lời giải

D


a) Chỉ ra

( A B/ /DE,AB = DE )

A BED

là hình bình hành
Chỉ ra ABED là hình thoi (AB=AD)

· D = 90
)
( BA
0

Chỉ ra
b) Chỉ ra

A BED

là hình vng

∆BEC

vng cân

Từ đó suy ra

A B = A D = a,DC = 2a

Diện tích của hình thang
S=

c)

ABCD

là :

( AB + CD ) .A D = ( a + 2a) .a = 3a

2

2

2

·
·
ACH

= ACD
(1)

Xét

∆ADC

và

2

(cùng phụ với góc
∆IBD

HDC)

vng tại D và B có:

AD IB 1
=
= ⇒ ∆A DC : ∆IBC
DC BD 2

Suy ra
Từ
Mà

( 1)

·

·
ACD
= BDI

và

( 2)

( 2)

suy ra

·
·
ADH
= BDI

·
·
·
·
ADH
+ BDI
= 450 ⇒ BDI
+ BDH
= 450

hay

·

HDI
= 450

Câu 5.
Cho tam giác
Gọi

E,F

ABC

vuông tại

A ,D

là điểm di động trên cạnh BC.

lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm

D

lên

A B,A C


a) Xác định vị trí của điểm
b) Xác định vị trí của điểm

a) Tứ giác

A EDF

Để tứ giác
b) Do tứ giác

D

để tứ giác

A EDF
A EDF

nhỏ nhất

là hình vng

sao cho
Lời giải

là hình vng thì

nhỏ nhất

⇔D

đạt giá trị nhỏ nhất.

$= A
µ =F

$ = 900 )
E
AD

là hình chữ nhật nên

⇔ AD

A EDF

3AD + 4EF

là hình chữ nhật (vì

⇒ 3A D + 4EF = 7AD

3AD + 4EF

D

là tia phân giác của

·
BAC

A D = EF

là hình chiếu vng góc của

BC

lên
Câu 6.

Trong tam giác
cạnh

BC,CA ,AB

ABC,

sao cho

a) Chứng minh rằng:
b) Cho

các điểm

A ,E,F

tương ứng nằm trên các

·
·
·
·
·
·
AFE
= BFD;BDF

= CDE;CED
= AEF
·
·
BDF
= BAC

A B = 5,BC = 8,CA = 7.

Tính độ dài đoạn
Lời giải

BD.

A


a) Đặt

·
·
·
·
·
·
AFE
= BFD
= ω,BDF
= CDE
= α;CED

= AEF
=β

Ta có:

·
BAC
+ β + ω = 1800 ( *)

D,E,F

BC,A C,AB

Qua
lần lượt kẻ các đường thẳng vng góc với
cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của
tam giác

DEF

·
·
·
⇒ OFD
+ OED
+ ODF
= 900(1)

Ta có:

·
·
·
OFD
+ ω + OED
+ β + ODF
+ α = 2700(2)

( 1) & ( 2) ⇒ α + β + ω = 180 ( **)
0

·
·
= α = BDF
( *) & ( **) ⇒ BAC

Từ
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
µ = β ,C
µ = ω ⇒ ∆AEF : ∆DBF : ∆DEC : ∆A BC
B

⇒
 BD BA 5 
5BF

5BF

5BF
 BF = BC = 8

 BD = 8
BD = 8
BD = 8




7CE
7CE
7CE
 CD CA 7 


=
= ⇒ CD =
⇒ CD =
⇒ CD =

8
8
8
 CE CB 8 


AE
AB
5
7AE
=
5AF

7CE
−
5BF
= 24


7( 7 − CE ) = 5( 5− BF )

=
=
 A F AC 7 






⇒ CD − BD = 3
(3)

Ta lại có:

CD + BD = 8 (4)

Từ (3) và (4)

⇒ BD = 2,5


Câu 7. Cho tam giác

·
AHB

và phân giác

góc với

Hy

ABC,

của

đường cao AH, vẽ phân giác

·
AHC

Hx

. Kẻ AD vng góc với

Hx

của góc

, AE vng

Hy

Chứng minh rằng tứ giác

A DHE

là hình vng.

Lời giải

Tứ giác
Hx

A DHE

là hình vng

là phân giác của

hai góc kề bù nên
·
DHE
= 900

Hay
nhật (1)

Hay

là phân giác của

·

AHC

mà

·
AHB

và

·
AHC

, Do

là phân giác

·
·
AHD
= AEH
= 900

nên tứ giác

A DHE

là hình chữ

·
AHC

900
·
AHE
=
=
= 450
2
2

·
DHE
(2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác

A DHE

là hình vng.

Câu 8.
Cho tam giác đều
600

ABC,

gọi

M

là trung điểm của BC. Một góc

bằng
quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh
AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh:
BD.CE =

a)

BC2
4

là

Hx ⊥ Hy

, mặt khác:

·
AHB
900
·
AHD
=
=
= 450
2
2
HA

·

AHB;Hy

Mx,My

·
xMy

luôn cắt cạnh


b)

DM ,EM

BDE

lần lượt là tia phân giác của các góc

c) Chu vi tam giác

A DE

và

CED

khơng đổi
Lời giải

a) Trong tam giác

Vì

¶ = 600
M
2

Suy ra
Suy ra
Vì

BDM

ta có:

nên ta có:

¶ =M
¶
D
1
3

BC
BM = CM =
2

Chứng minh

¶ = 1200 − M

¶
M
3
1

. Chứng minh

BD CM
=
BM CE

b) Từ (1) suy ra

¶ = 1200 − M
¶
D
1
1

, Từ đó

∆BMD : ∆CEM

(1)

BD.CE = BM.CM

, nên ta có:

BC 2

BD.CE =
4

BD MD
=
CM EM

¶ =D
¶ ,
∆BMD : ∆MED ⇒ D
1
2

do đó

DM

là tia phân giác

·
BDE

Chứng minh tương tự ta có :
c) Gọi

H ,I ,K

là hình chiếu của

Chứng minh

DH = DI ,EI = EK

Tính chu vi tam giác bằng
Câu 9. Cho hình vng
BD.

Kẻ

A BCD,

M

EM

là tia phân giác

trên

2A H

A B,DE,AC

·
CED

.

- không đổi

M là một điểm tùy ý trên đường chéo

ME ⊥ A B, MF ⊥ AD.

a) Chứng minh:

DE = CF

b) Chứng minh ba đường thẳng :

DE,BF,CM

đồng quy


c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác

A EMF

lớn nhất.

Lời giải

a) Chứng minh:
b)

DE,BF,CM

AE = FM = DF ⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ dfcm

là ba đường cao của

c) Có chu vi hình chữ nhật
⇒ ME + MF = a

A EMF = 2a

lớn nhất

là trung điểm của

Câu10.
Cho đoạn thẳng

A B = a.

⇔ ME = MF A EMF

(

BD.

là C, D. Gọi I là trung điểm của
a) Tính khoảng cách từ
M

I

là hình vng)

Gọi M là một điểm nằm giữa

về một phía của AB các hình vng

b) Khi điểm

khơng đổi

khơng đổi

⇒ SAEMF = ME.MF
⇒M

∆EFC ⇒ dfcm

AM NP,BM LK

A

và B. Vẽ

có tâm theo thứ tự

CD.

đến

AB

di chuyển trên đoạn thẳng

trên đường nào ?
Lời giải

AB

I

thì điểm di chuyển


a) Kẻ

CE,IH ,DF

cùng vng góc với
thang vng.
CE =

AB

suy ra tứ giác

CDFE

là hình

AM
BM
AB a
a

,DF =
⇒ CE + DF =
= ⇒ IH =
2
2
2
2
4

Chứng minh được:
b) Khi M di chuyển trên AB thì I di chuyển trên đoạn RS song song
với AB và cách AB một khoảng bằng
Q

S là trung điểm của BQ,
Câu11.
Cho tam giác

ABC

b) Biết

A PQR

(R là trung điểm của

là giao điểm của

BL

và

AN)

vuông tại A, phân giác BD. Gọi P, Q, R lần

lượt là trung điểm của
a) Chứng minh

a
4

BD,BC,DC

là hình thang cân

A B = 6cm,A C = 8cm.

Tính độ dài của
Lời giải

AR

AQ)


a)

PQ

là đường trung bình tam giác
hình thang.
AQ =

1
BC
2

1
PR = BC
2

Suy ra

BDC,

PQ / /AR

nên

A PQR

là

(trung tuyến tam giác vuông ABC)

(đường trung bình tam giác DBC)

AQ = PR ⇒ A PQR

b) Tính được

BC = 10cm

là hình thang cân

Tính chất đường phân giác trong của
⇒

suy ra

∆A BC

DA BA
DA
BA
=
⇒
=
DC BC
A C BC + BC

Thay số tính đúng
Kết quả
Câu12.

A D = 3cm,DC = 5cm,DR = 2,5cm

A R = 5,5cm

ABCD.

Cho hình bình hành
Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD
tại M, cắt đường chéo AC tại N và cắt đường thẳng AD tại K.
Chứng minh:
1
1
1
=
+
BN BM BK

Lời giải

AB//AC (hai cạnh đối diện hình bình hành). Theo định lý Talet
có:
MN NC MN
MC + AB MN + NB BM
=
=
⇒
=
=
(1)
AB AN NB
AB
BN
BN
KM KD MD

BK − KM AB − MD
BM AB − MD
=
=
⇒
=
⇒
=
(2)
BK KA AB
BK
AB
BK
AB


⇒

Từ (1) và (2)
Mà

BM BM AB + MC AB − MD MC + MD
−
=
−
=
BN BK
AB
AB
AB

MC + M D = CD = AB

nên

BM BM
−
=1
BN BK

(Đpcm)

Câu13.Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn
hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
Lời giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD.
Đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.
∆

Xét AOB, ta có: OA + OB > AB (Quan hệ giữa ba cạnh của tam
giác).
∆

Xét COD, ta có: OC + OD > CD (Quan hệ giữa ba cạnh của tam
giác).
Suy ra: OA + OB + OC + OD > AB + CD
⇒
⇒

AC + BD > AB + CD
AC + BD > a + c

(1)

Chứng minh tương tự:
AC + BD > AD + BC
⇒

AC + BD > d + b

(2)

Từ (1) và (2) suy ra 2(AC + BD) > a + c + d + b
⇒

A C +BD >

Xét
Xét

∆
∆

a + c + d + b
(*)
2

ABC, ta có: AC < a + b
ADC, ta có: AC < d + c

Suy ra:
⇒

AC <

2AC < a +b + c + d

a + c + d + b
2

(3)
BD <

Chứng minh tương tự:

a + c + d + b
(**)
2

(4)

Từ (3) và (4) suy ra: AC + BD < a +b + c +d.
Từ (*) và (**) suy ra

a + c + d + b
2

Câu 14.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm
của cạnh BC. Qua I vẽ IM vng góc với AB tại M và IN vng góc
với AC tại N.
a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật.
b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác
ADCI là hình thoi.
DK =

c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng
Lời giải

a) Xét tứ giác AMIN có:
MAN = 900 (vì tam giác ABC vng ở A)
AMI = 900 (vì IM vng góc với AB)
ANI = 900 (vì IN vng góc với AC)
Vậy tứ giác AMIN là hình chữ nhật (Vì có 3 góc vng)

1
DC
3


b)

∆ABC

Do đó

AI = IC =

vng tại A, có AI là trung tuyến nên

∆AIC

1
BC
2

cân tại I, có đường cao IN đồng thời là trung tuyến

⇒ NA = NC

Mặt khác: NI = ND (tính chất đối xứng) nên ADCI là hình bình
hành (1)
Mà

AC ⊥ ID

(2)

Từ (1) và (2) suy ratứ giác ADCI là hình thoi.
c) Kẻ qua I đường thẳng IH song song với BK cắt CD tại H
⇒
⇒

IH là đường trung bình

∆BKC

H là trung điểm của CK hay KH = HC(3)

Xét

∆DIH

có N là trung điểm của DI, NK // IH (IH // BK)

Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH (4)
⇒ DK =

Từ (3) và (4) suy ra DK = KH = HC
Câu15.
Cho hình thang cân
đường chéo. Gọi
giác

EFG

E,F,G

ABCD

có

·
ACD
= 600 ,O

1

DC
3

là giao điểm của hai

theo thứ tụ là trung điểm của

là tam giác gì ? Vì sao?
Lời giải

OA ,OD,BC.

Tam


ABCD

Do
là hình thang cân và
tam giác đều
Chứng minh
Xét

∆BFC

∆BFC

·
ACD
= 600

vng tại F có:
∆BEC

EG =

vng tại E có

Xét EF là đường trung bình
hthang cân)
EF = EG = FG ⇒ ∆EFG

Câu16
Cho hình bình hành

A BCD

b) Gọi giao điểm của
EMFN

∆OCD

là các

1
BC
2

có

AC

1
1
A D ⇒ EF = BC
2
2

(ABCD

đều
E,F

thứ tự là trung điểm của

a) Chứng minh rằng các đường thẳng

minh rằng

và

1
BC
2

∆AOD ⇒ EF =

Suy ra

∆OAB

vuông tại F
FG =

Chứng minh

suy ra

với

DE

và

BF

là hình bình hành
Lời giải

AC,BD,EF

A B,CD.

đồng quy

theo thứ tự là

M

và

N.

Chứng


a) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành
O

có
Có

O

Vậy

là trung điểm của BD.Chứng minh

BEDF

A BCD,

ta

là hình bình hành

là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của EF

EF,BD,A C

a) Xét

Xét
Mà

∆A BD

∆BCD

nên

EMFN

. Gọi

a) Tứ giác

ON =

1
OC
3

OM = ON

có

OM = ON ,OE = OF

M ,N ,P,Q

M NPQ

nên là hình bình hành

D,E,F

theo thứ tự là trung điểm của

theo thứ tự là trung điểm của

A BC

A D,AF,EF,ED

là hình gì ? Tại sao ?

b) Tam giác ABC có điều kiện gì thì
c) Tam giác

1
OA
3

có N là trọng tâm, nên

Câu17. Cho tam giác ABC. Gọi
A B,BC,CA

OM =

có M là trọng tâm, nên

OA = OC

Tứ giác

đồng quy tại O

M NPQ

M NPQ

có điều kiện gì thì
Lời giải

là hình chữ nhật ?

là hình thoi ?


1 
DF 

2
 ⇒ MN / /PQ;MN = PQ.
1
PQ / /DF;PQ = DF 

2


MN / /DF;MN =

a)

hành
b) Giả sử

MNPQ

là hình chữ nhật thì

Vậy MNPQ là hình bình

MP = NQ

AC 

2 
 ⇒ A C = AB
AB 
NQ = AD =
2 


MP = A F =

Mà
Vậy

∆A BC

cân tại A thì

MNPQ

c) Giả sử MNPQ là hình thoi thì
MN = MQ ⇔

là hình chữ nhật
M N = MQ

BC A E
1
=
⇔ A E = BC
4
2
2

Vậy tam giác ABC vng tại
Câu18. Cho tam giác

ABC

A

thì

MNPQ

vng tại A có

Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của
a) Tứ giác
b) Cho

A MNI

AB = 4cm,

AD =

AN = MI

A MNI

, phân giác BD.

BD,BC,CD

Tính các cạnh của tứ giác
Lời giải

Chứng minh được
cân
b) Tính được:

·
ABC

= 600

là hình gì ? Chứng minh

a) Chứng minh được tứ giác

là hình thoi

A MNI

là hình thang

, từ đó suy ra tứ giác

A MNI

là hình thang

4 3
8 3
1
4 3
cm;BD = 2AD =
cm;AM = BD =
cm
3
3
2
3

NI = AM =

4 3
8 3
1
4 3
8 3
cm,DC = BC =
cm,MN = DC =
cm,AI =
cm
3
3
2
3
3

Câu 19. Cho hình vng
BD. Kẻ

A BCD,M

là một điểm tùy ý trên đường chéo

M E ⊥ A B, MF ⊥ AD

a) Chứng minh

DE = CF

b) Chứng minh ba đường thẳng
c) Xác định vị trí của điểm

a) Chứng minh
b)

DE,BF,CM

để diện tích tứ giác
Lời giải

là ba đường cao của

⇒ ME + M F = a

đồng quy

A EMF

lớn nhất.

AE = FM = DF ⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ dfcm

c) Có chu vi hình chữ nhật

∆EFC ⇒ dfcm

A EMF = 2a

không đổi

không đổi

⇒ SAEMF = ME.MF
⇒M

M

DE,BF,CM

lớn nhất

⇔ ME = MF

là trung điểm của BD.
Câu 20.

(AEMF là hình vng)


ABC

Cho tam giác
của

·
BAC

vng tại A

có

AD

là tia phân giác

. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên

giao điểm của

BN

DM , F

và

1) Chứng minh tứ giác
2) Gọi

với

( AB < A C )

H

là giao điểm của CM và

AMDN

là giao điểm của

∆NFA

BN

và H là trực tâm

3) Gọi giao điểm của

giao điểm của

BK

AH

và

là hình vng và
và

CM.

AB

và

AC,E

là

DN.

EF / /BC.

Chứng minh

∆A NB

đồng dạng

∆A EF

DM

và AD là

I.

là K, giao điểm của

Chứng minh :

AH

và BC là O,

BI A O DM
+
+

>9
KI KO KM

Lời giải

1) *Chứng minh tứ giác AMDN là hình vng
·
· ND = 900 ;MAN
·
AMD
= 900 ;A
= 900

+) Chứng minh
Suy ra tứ giác

AMDN

+)Hình chữ nhật

là hình chữ nhật

AMDN

có AD là phân giác của

AMDN

là hình vng.
*Chứng minh EF // BC

+) Chứng minh :
Chứng minh:

FM DB
=
FC DC

DB MB
=
DC MA

(2)

(1)

·
MAN

nên tứ giác


AM = DN ⇒

MB MB
=
MA DN

MB EM
=
DN ED

(4)

Chứng minh
Chứng minh

( 1) ,( 2) ,( 3) ,( 4)

Từ

2) Chứng minh

Chứng minh
Chứng minh
Chứng minh
Chứng minh

suy ra

(3)

EM FM
=
⇒ EF / /BC
ED FC

∆ANB : ∆NFA

A N = DN.

suy ra

DN CN
=
AB CA

(6)

CN FN
=
CA A M

(7)

AM = AN.

Suy ra

A N DN
=
AB AB

(5)

FN
FN
=
A M AN

(8)

A N FN
=
⇒ ∆ANB : ∆NFA ( c.g.c)
A B AN

Từ (5) (6) (7) (8) suy ra
*chứng minh H là trực tâm tam giác AEF
Vì

∆A NB : ∆NFA

Mà

·
·
·
·
BAF
+ FAN
= 900 ⇒ NBA
+ BAF
= 900

Suy ra
3) Đặt

nên

·

·
NBA
= FAN

EH ⊥ A F

, Tương tự:

SAKD = a,SBKD = b,SAKB = c.

FH ⊥ A E

, suy ra H là trực tâm

Khi đó:

SABD SABD SABD a + b + c a + b + c a + b + c
+
+
=
+
+
SAKD SBDK SAKB
a
b
c
 b a  a c  b c
= 3+  + ÷+  + ÷+  + ÷
 a b  c a  c b

Theo định lý AM-GM ta có:
Tương tự :
Suy ra

a c
+ ≥2
c a

BI A O DM
+
+
≥9
KI KO KM

b a
+ ≥2
a b

b c
; + ≥2
c b

∆A EF


"= "

Dấu
xảy ra khi và chỉ khi
với giả thiết.

Câu21.
Cho hình bình hành

A BCD

∆A BD

có góc

là tam giác đều, suy ra trái

ABC

BCE

hình bình hành các tam giác đều
và
Lời giải

Chứng minh được
Chứng minh được

nhọn. Vẽ ra phía ngoiaf

DCF.

Tính số đo

·
EAF

·
·
ABE
= ECF
∆A BE = ∆FCE ( c.g.c) ⇒ A E = EF

A F = EF

Tương tự:

⇒ A E = EF = A F ⇒ ∆A EF

Câu22.
Cho tam giác
trực tâm
a) Chứng minh

ABC

đều

·
⇒ EAF
= 600

nhọn có các đường cao

A A ',BB',CC '

và H là

BC '.BA + CB'.CA = BC 2
HB.HC HA.HB HC.HA
+
+
=1
A B.A C BC.AC BC.A B

b) Chứng minh rằng:
c) Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vng góc

với DH cắt
điểm của

A B,A C

lần lượt tại M và N. Chứng minh H là trung

MN.

Lời giải


∆BHC' : ∆BAB' ⇒

BH BC '
=
⇒ BH.BB' = BC '.BA
A B BB'

(1)

∆BHA ' : ∆BCB' ⇒

BH BA '
=
⇒ BH.BB' = BC.BA '
BC BB'

(2)

a) Chứng minh

Chứng minh
Từ (1) và (2)
Tương tự :

⇒ BC'.BA = BA '.BC

CB'.CA = CA '.BC

⇒ BC '.BA + CB'.CA = BA '.BC + CA '.BC = ( BA '+ A 'C ) .BC = BC 2

b) Có

BH BC'
BH.CH BC'.CH SBHC
=
⇒

=
=
AB BB'
A B.AC BB'.A C SABC

Tương tự:
⇒

AH.BH SAHB AH.CH SAHC
=
;
=
CB.CA SABC CB.AB SABC

HB.HC HA.HB HC.HA SABC
+
+
=
=1
AB.AC AC.BC BC.A B SABC
∆AHM : ∆CDH ( g.g) ⇒

HM AH
=
HD CD

(3)

∆AHN : ∆BDH ( g.g) ⇒

A H HN
=
BD HD

(4)

c) Chứng minh

Chứng minh
Mà
Từ

CD = BD

(gt)

(5)

HN
=
⇒ HM = HN
( 3) ,( 4) ,( 5) ⇒ HM
⇒H
HD HD

Câu23. Cho tam giác
lượt là trung điểm của
c) Chứng minh
d) Biết

ABC

A PQR

là trung điểm của MN

vuông tại A, phân giác BD. Gọi P, Q, R lần

BD,BC,DC

là hình thang cân

A B = 6cm,A C = 8cm.

Tính độ dài của
Lời giải

AR


a)

PQ

là đường trung bình tam giác
hình thang.
AQ =

1
BC

2

1
PR = BC
2

Suy ra

BDC,

PQ / /AR

nên

A PQR

là

(trung tuyến tam giác vuông ABC)

(đường trung bình tam giác DBC)

A Q = PR ⇒ A PQR

b) Tính được

BC = 10cm

là hình thang cân

Tính chất đường phân giác trong của
⇒

suy ra

∆A BC

DA BA
DA
BA
=
⇒
=
DC BC
AC BC + BC

Thay số tính đúng
Kết quả
Câu24.

A D = 3cm,DC = 5cm,DR = 2,5cm

A R = 5,5cm

ABCD.

Cho hình bình hành
Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD
tại M, cắt đường chéo AC tại N và cắt đường thẳng AD tại K. Chứng
minh:

1
1
1
=
+
BN BM BK

Lời giải


AB//AC (hai cạnh đối diện hình bình hành). Theo định lý Talet có:
MN NC MN
MC + AB MN + NB BM
=
=
⇒
=
=
(1)
AB AN NB
AB
BN
BN
KM KD MD
BK − KM AB − MD
BM AB − MD
=
=
⇒

=
⇒
=
(2)
BK KA AB
BK
AB
BK
AB
⇒

Từ (1) và (2)
Mà

BM BM A B + MC A B − MD MC + MD
−
=
−
=
BN BK
AB
AB
AB

MC + M D = CD = AB

Câu25. Cho tam giác
tại H.
a) Tính tổng

nên

ABC

BM BM
−
=1
BN BK

(Điều phải chứng minh)

nhọn có các đường cao

AD,BE,CF

cắt nhau

HD HE HF
+
+
A D BE CF

b) Chứng minh:

BH.BE + CH.CF = BC 2

c) Chứng minh: Điểm H cách đều ba cạnh của tam giác
d) Trên các đoạn

HB,HC

lấy tương ứng các điểm

HM = CN.

M ,N

DEF

tùy ý sao cho

Chứng minh : Đường trung trực của đoạn MN luôn đi
qua một điểm cố định .
Lời giải

a) Trước hết chứng minh :

HD SHBC
=
AD SABC