De thi HSG mon Toan lop 12 tinh Quang Nam 20132014

<span class='text_page_counter'>(1)</span>. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC. Câu 1 (5,0 điểm). a) iải phương trình:. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 - 2014 Ngày thi : 02/10/2013 Môn thi : TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề). 3x  2  x  1  2x 2  x  3 .. 8 8  3 2 x  3x  13x  15    y3 y (x, y  ) . b) iải hệ phương trình:   2 2 2  y  4  5y (x  2x  2) Câu 2 (4,0 điểm). 2014  u1  2013 a) Cho dãy số (un) xác định bởi:  2 2u  n 1  u n  2u n , n  * 1 1 1 Đặt Sn  . Tính: limSn .  ... u1  2 u 2  2 un  2 b) Tìm tất cả các hàm số f liên tục trên thỏa mãn: f(3x – y + ) = 3f(x) – f(y),  x, y  trong đó  là số thực cho trước.. Câu 3 (5,0 điểm). a) Cho tam giác phẳng chứa tam giác. C có diện tích bằng 1. ọi M là điểm bất kỳ nằm trong mặt C. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T  MA.h a  MB.h b  MC.h c (với ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao vẽ từ , , C). b) Cho tam giác C có hai đỉnh , C cố định và đỉnh thay đổi. ọi và lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác C. ọi E là điểm đối xứng với qua . Tìm tập hợp các điểm , biết rằng điểm E thuộc đường thẳng C. Câu 4 (3,0 điểm). a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho: 3 3 2 a + 2b = c và a + 8b = c . b) Cho đa thức f(x) có bậc n > 1, có các hệ số đều là các số nguyên và thỏa mãn điều kiện f(a + b) = a.b, với a, b là hai số nguyên cho trước (a, b khác 0). Chứng minh rằng f(a) chia hết cho b và f(b) chia hết cho a. Câu 5 (3,0 điểm). TRUNG TÂM 130. EDUFLY. oàng ăn Thái, Thanh Xuân, à ội. Hotline: 0968 58 28 38.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 8. Chứng minh rằng với mọi k  *, ta có: a2. k. (a  b)(a 2  b2 )(a 4  b4 )...(a 2. k 1.  b2. k 1. . b2. k. ) (b  c)(b2  c2 )(b4  c4 )...(b2. k 1.  c2. k 1. . c2. k. ) (c  a)(c2  a 2 )(c4  a 4 )...(c2. k 1.  a2. k 1.  ). 3 2k 1. .. ------------- ết -------------. 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 12 THPT Câu 1.. 5.0. a) Giải PT:. 3x  2  x  1  2x  x  3 (1) 2. + Điều kiện: x  2 (*). Khi đó: 3. 2x  3 (1)   (2x  3)(x  1) 3x  2  x  1 (2)  2x  3  0   1   x  1 (3)  3x  2  x  1 (2)  x = 3/2 (thỏa (*)) 1 2 Vì x  nên < 1 và x + 1 > 1 3 3x  2  x  1  (3) vô nghiệm ậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 3/2. 8 8  3 2  x  3x  13x  15  3  y y b) Giải hệ PT (I):   2 2 2  y  4  5y (x  2x  2) + Điều kiện: y ≠ 0 (*). Khi đó:   2 4 2 (x  1)(x  2x  15)   2  4  y y   (I)   1  4  5[(x  1) 2  1]  y2 . . . a(a  16)  b b  4   2 2  1  b  5(a  1) a 3  b3  16a  4b   2 2 b  5a  4 (1)  a3 – b3 = (b2 – 5a2)(4a – b)  21a3 – 5a2b – 4ab2 = 0 2. 2. 1.0. 2. uk 1 1 2    u k  2 u k (u k  2) u k u k (u k  2) = 1  2  1  1 u k 2u k 1 u k u k 1. 0.25 0.25 0.25. u n 1  (u n2. 0.5. u1 > 1.CM:.  2u n ) / 2  1, n  N*. 0.25  un > 1,  n  N* 2 0.25 Ta có: u n 1  u n  u n / 2  0, n  N*  (un) tăng 0.25 0.25 iả sử (un) bị chặn trên thì (un) tồn tại giới 0.25 hạn hữu hạn: limu = a (a ≥ 1). n  2a=a2 + 2a  a = 0. Mâu thuẫn với a≥1 0.25 2.5  limun = +  lim(1/ u n 1)  0 . 0.25 ậy: limSn  1/ u1  2013/ 2014 .. 0.25 b) f(3x – y + ) = 3f(x) – f(y), x,yR (1). 2.0. Trong (1), thay x  y  3x ' y ' ta được: 2 0.25 .  3x ' y '  , x’, y’R f (3x ' y ' )  2f    2   3x  y  , x, yR (2) f (3x  y  )  2f    2 . Từ (1) và (2) suy ra:  f  3 x  1 y   3 f  x   1 f  y  ,x,yR (3) 2 . 2. 0.25. 2. 0.25. 0.25. 2. 0.25 Thay x = 0, y = 0 vào (3) ta được: f(0) = 3f(0)/2–f(0)/2  f(0) = b, b tùy ý (3)  f  3 x  1 y   f (0) =. 7. 2.0. 0.25  S  1/ u  1/ u n 1 n 1. 2.  a = 0 hoặc a   b hoặc a  4b 3. 4.0. 2014 , 2u n 1  u n2  2u n , n  N * 2.5 a) u1  2013 ới mọi k  N*, ta có : 0.25. Đặt a = x + 1, b  2 (b ≠ 0), hệ trên trở thành: y. Câu 2.. 0.25. 2 . 3 1 [f  x   f (0)]  [f  y   f (0)] , 2 2. x,yR. 0.25 Đặt g(x) = f(x) – f(0), ta có: g(0) = 0 và: 0.25 1  3 1 3 g  x  y   g  x   g  y  ,x,yR 2  2 2 2 0.25 3 3 1     g  x   g  x  , g   y    1 g  y  ,x,yR 0.25. 2 2  2  2  + Thay a = 0 vào (1) được b = 4 và tìm được hai nghiệm (–1 ; –1), (–1 ; 1). 0.25  g  3 x  1 y   g  3 x   g   1 y  ,x,yR       2  2 b 2 2   2  + Thay a   vào (1) được b = 9 và tìm được g(x+y) = g(x) + g(y),x,yR 3 hai nghiệm (–2 ; 2/3), (0 ; – 2/3). ì g liên tục trên R nên: 0.25 g(x) = ax, xR, với g(1) = a (a tùy ý). 0.25 0.25 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  f(x) = ax + b, xR (4) (với a, b tùy ý) 0.25 Thay (4) vào (1) ta được: b = a ậy f(x) = ax + a, với a tùy ý. 0.25. + Thay a  4b vào (1) được : 7. 31 2 b  4 (vô nghiệm). 49 Kết luận đúng. . Câu 3. a) T  MA.h a  MB.h b  MC.h c. 5.0 3.0. Ta có: h a  2S  2 , h b  2S  2 , h c  2S  2 a. a. b. b. c. c.  T  2  MA.GA  MB.GB  MA.GC    b.GB c.GC   a.GA  MA.GA MB.GB MA.GC   3    b.mc c.mc   a.ma 1 1 a.ma  a 2b2  2c2  a 2  3a 2 (2b2  2c2  a 2 ) 2 2 3  a.ma . a 2  b2  c2 2 3. Tương tự. T. b.mb . a 2  b 2  c2 a 2  b 2  c2 , c.mc  2 3 2 3. 6 3. (MA.GA  MB.GB  MC.GC) (1) a  b2  c2 Đẳng thức xảy ra  a = b = c. MA.GA  MB.GB  MC.GC  MA.GA  MB.GB  MC.GC  (MG  GA)GA  (MG  GB)GB  (MG  GC)GC 2. 4 a 2  b 2  c2  GA 2  GB2  GC2  (ma2  m2b  mc2 )  (2) 9 3. Đẳng thức xảy ra  MA, GA cùng hướng, MB, GB cùng hướng,. MC, GC cùng hướng  M trùng G. Từ (1) và (2) suy ra: T  2 3 ậy minT  2 3  . b). C đều và M trùng .. 0.25. Câu 4. a) a + 2b = c (1), a3 + 8b3 = c2 (2). 3.0 2.0 0.25. 2 2 2 0.25 (2)  (a + 2b)(a – 2ab + 4b ) = c (3) Từ (1) và (3) suy ra: 2 2 0.25 (2)  a 2– 2ab + 4b = (a2+ 2b)  4b – 2(a + 1)b + a – a = 0 (4) 2 2 2 0.25 ’ = (a + 1) – 4(a – a) = –3a + 6a + 1 (4) có nghiệm  ’ ≥ 0  3a2 – 6a  1  3(a – 1)2  4  a = 1 hoặc a = 2 (vì a  N*) 0.25 + a = 1  b = 1, c = 3 + a = 2  b = 1, c = 4 ậy (a;b;c) =(1;1;3) hoặc (a;b;c) =(2;1;4) b) 0.25 iả sử: f (x)  a n x n  a n 1x n 1  ...  a1x1  a 0 0,25 Ta có: f(a + b) – f(a) = 0.25 = a [(a+b)n  a n ]  a [(a+b)n 1  a n 1]+...+a b n n 1 1 0.25 n 1 n 2 n 2 n 1.  a n b[(a+b). 0.25. +a n 1b[(a+b).  a(a+b). n 2.  a(a+b). +...+a. n 3. +...+a. (a  b)  a. n 3. (a  b)  a. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 1.0. 0.25. ]. n 2. ]. 0.25. Suy ra: f(a + b) – f(a) chia hết cho b 0.25 Mà f(a+b) chia hết cho b nên f(a) chia hết cho b Tương tự, f(b) chia hết cho a. 0.25 Câu 5. 0.25 Đặt P là vế trái của ĐT đã cho và : 2.0. 0.25 0.25. +...+a1b. 3.0. y C. H. A. G O E. x. B. 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Xây dựng hệ tọa độ như hình vẽ. Đặt C = 2b (b>0), ta có: B(0 ; –b), C(0 ; b) iả sử (x0 ; y0) (x0 ≠ 0) Ta có: G(x0/3; y0/3) Tọa độ điểm là nghệm của hệ phương trình:  y  y0   x 0 x  (y0  b)(y  b)  0 b   H  x0  2. E là điểm đối xứng với. qua. 2 y0.  ; y0   .  2x b 2  y02  x E  2x G  x H  0  3 x0   y  2y  y   y / 3 G H 0  E. E  BC  xE = 0  2x 0  b 3.  2x 02.  3y02.  3b  2. Suy ra tập hợp các điểm. x. 2. 2. 3b / 2. . y. 2. b2.  y02 x0. x 02 3b 2 / 2. . a2. . 0.25. b2. k 1.  b2. ) (b  c)(b2  c2 )...(b 2. k 1. a 2  b2. 0.25.  a2. k. c2  a 2. k 1. k 1. ậy tập hợp các điểm. là elip có trục nhỏ C,. trục lớn có độ dài bằng. 3/ 2.BC , loại trừ , C.. ). 0.5.  b2. k 1. b2  c2. . k. ) (b  c)(b2  c2 )...(b2. k 1.  c2. k 1. ). 0.25  a2. k 1. ). 0.25. 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 2(a4 + b4) ≥ (a2 + b2)2 …………………….. k 1. k. a 2  b2. . k 1.  b2. k. (a  b)(a 2  b2 )...(a 2. 0.25. ). Ta có:. k.  1 loại trừ 2 điêm , C.. k 1. k. (c  a)(c2  a 2 )...(c 2. k. 0.25. k 1. k. 2(a 2  b2 )  (a 2. trong mp Oxy là elip:.  c2. .. k. (a  b)(a 2  b2 )...(a 2. 0.25. 1. k 1. 0.5. k. 0.25. k. Ta có: P – Q = (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0  2P  P  Q . 0.25. k 1. c2. . k. (c  a)(c2  a 2 )...(c 2. 0. y02. k. (a  b)(a 2  b2 )...(a 2. . khi và chỉ khi:. 2. 0.25. b2. Q. k 1.  b2. k 1.  ). )2. 0.5. ab 2k. Tương tự với các số hạng khác của P+Q, suy. 0.5. a b bc ca ra: 2P  k  k  k 2 2 2. P. a bc 2k. . 33 abc 2k. . 3. 0.25. 2k 1. 0.25. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2. Ghi chú: ếu thí sinh có cách giải khác nhưng vẫn đúng thì ban giám khảo cần thảo luận thống nhất biểu điểm và cho điểm phù hợp với thang điểm.. 4.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>