20 de on tap toan 11 co dap an chuan

20 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ II TOÁN 11
Đề 1
I. Phần chung cho cả hai ban
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1)

2 − x − x2
x →1
x −1

lim

2)

lim

x→ − ∞

2 x 4 − 3 x + 12

3)

lim+

x →3

7x − 1
x −3

4)

lim

x →3

Bài 2.
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

 x 2 − 5x + 6

f (x) =  x − 3
2 x + 1


khi x ≤ 3

Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

y = x x2 + 1

2) Cho hàm số

y=

9 − x2

khi x > 3

2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :

a)

x +1 − 2

b)

y=

2 x3 − 5x 2 + x + 1 = 0 .

3
(2 x + 5)2

x −1
.
x +1

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ x = – 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d:

y=

x −2
.
2

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA =

a 2.

1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vng.
2) Chứng minh rằng: (SAC) ⊥ (SBD) .
3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)
II . Phần tự chọn.
1 . Theo chương trình chuẩn.

lim

Bài 5a. Tính
Bài 6a. Cho

x3 + 8

x→ − 2

y=

x 2 + 11x + 18

.

1 3
x − 2 x 2 − 6 x − 8 . Giải bất phương trình y / ≤ 0 .
3

2. Theo chương trình nâng cao.
Bài 5b. Tính

lim

x − 2x −1

x →1 x 2

.

− 12 x + 11
x − 3 x + 3 . Giải bất phương trình /
Bài 6b. Cho y =
y >0 .
x −1
2

Đề 2
I . Phần chung cho cả hai ban.
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1)

lim

x→ − ∞

x 2 − x − 1 + 3 x 2) lim (−2 x 3 − 5 x + 1)
x→ + ∞
2x + 7

3)

lim+

x→ 5

2 x − 11
5− x

Bài 2 .

 x3 − 1

khi x ≠ 1 . Xác định m để hàm số liên tục trên R..
1) Cho hàm số f(x) = f ( x ) =  x − 1
2m + 1 khi x = 1

2) Chứng minh rằng phương trình:

(1 − m 2 ) x 5 − 3 x − 1 = 0 ln có nghiệm với mọi m.

Bài 3.

1

4)

lim

x→ 0

x3 + 1 − 1 .
x2 + x

1) Tìm đạo hàm của các hàm số:
a)
2) Cho hàm số

y=

2 − 2x + x2

b)

x2 − 1

y = 1 + 2 tan x .

y = x 4 − x 2 + 3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại điểm có tung độ bằng 3 .
b) Vng góc với d: x + 2 y − 3 = 0 .
Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đơi một vng góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI)
⊥ (ABC).
2) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI).
3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
II . Phần tự chọn.
1 . Theo chương trình chuẩn .

1

lim(

2

+

+ .... +

n −1

).
n2 + 1 n 2 + 1
n2 + 1
Bài 6a. Cho y = sin 2 x − 2 cos x . Giải phương trình y / = 0 .
Bài 5a. Tính

2 . Theo chương trình nâng cao .
Bài 5b. Cho

3 //
y = 2 x − x 2 . Chứng minh rằng: y .y + 1 = 0 .

Bài 6b . Cho f( x ) =

f (x) =

64
x

3

−

60
− 3 x + 16 . Giải phương trình f ′ ( x ) = 0 .
x
Đề 3

Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1)

4)

lim (− x 3 + x 2 − x + 1)

2)

x →−∞

lim

3

2 x − 5x − 2 x − 3

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình
Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau:

5x − 3
x2 + x + 1

2)

3x + 2
x +1
n

5) lim

x →3 4 x 3

y=

x →−1

2

− 13 x 2 + 4 x − 3
 3 3x + 2 − 2

 x−2
Bài 2. Cho hàm số: f ( x ) = 
 ax + 1


4

1)

lim −

3)

lim

x →2

x +2 −2
x +7 −3

n

4 −5

2n + 3.5n

khi x >2
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2.

khi x ≤ 2

x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (–2; 5).

y = ( x + 1) x 2 + x + 1

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vng tại A, góc
Hạ BH ⊥ SA (H ∈ SA); BK ⊥ SC (K ∈ SC).
1) Chứng minh: SB ⊥ (ABC)
2) Chứng minh: mp(BHK) ⊥ SC.
3) Chứng minh: ∆BHK vng .

4) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).

3)

y = 1 + 2 tan x

4)

y = sin(sin x )

µ = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) và (SBC) vng góc với đáy; SB = a.
B

x 2 − 3 x + 2 (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó song song với
x +1
đường thẳng d: y = −5 x − 2 .

Bài 6. Cho hàm số

Bài 7. Cho hàm số
1) Tính

f (x) =

y = cos2 2 x .

y′′ , y′′′ .

2) Tính giá trị của biểu thức:

A = y′′′ + 16 y′ + 16 y − 8 .
Đề 4

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

2


1)

4)

lim (−5 x 3 + 2 x 2 − 3)
x →−∞

2)

lim +

x →−1

3x + 2
x +1

( x + 3)3 − 27
x →0
x

5)

lim

x →2

2− x
x +7 −3

 3 − 4 +1
lim 
÷
 2.4n + 2n ÷


n

lim

3)

n

 x −1

khi x > 1
Bài 2. Cho hàm số: f ( x ) =  x − 1
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
3ax
khi x ≤ 1

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:

x 3 + 1000 x + 0,1 = 0

Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1)

y=

2x2 − 6x + 5
2x + 4

2)

y=

x2 − 2x + 3
2x + 1

3)

y=

sin x + cos x
sin x − cos x

4)

y = sin(cos x )

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a.

1) Chứng minh (SAC ) ⊥ (SBD ) ; (SCD ) ⊥ (SAD )
2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = x 3 − 3x 2 + 2 :

1) Tại điểm M ( –1; –2)
2) Vng góc với đường thẳng d:
Bài 7. Cho hàm số:

1
y = − x+2.
9

x 2 + 2 x + 2 . Chứng minh rằng:
y=
2 y.y′′ − 1 = y′2 .
2
Đề 5

A. PHẦN CHUNG:
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
a)

lim

2n3 − 2n + 3

b)

1 − 4n3

lim

x +3 −2

x →1

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

 x 2 + 3x + 2

f (x) =  x + 2
3


x2 − 1

khi x ≠ −2
khi x = −2

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

y = 2sin x + cos x − tan x

b)

y = sin(3 x + 1)

c) y

Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ·BAD
a) Chứng minh (SAC) vng góc với (ABCD).
b) Chứng minh tam giác SAC vng.
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
B. PHẦN TỰ CHỌN:
1. Theo chương trình chuẩn

= cos(2 x + 1)

y = f ( x ) = 2 x 3 − 6 x + 1 (1)
a) Tính f '(−5) .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm Mo(0; 1)
c) Chứng minh phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).


sin 3 x
cos3 x 
+ cos x − 3  sin x +
÷.
3

3 
Giải phương trình f '( x ) = 0 .

Bài 5b: Cho

f (x) =

Bài 6b: Cho hàm số

f ( x ) = 2 x 3 − 2 x + 3 (C).
3

y = 1 + 2 tan 4 x

= 60 0 và SA = SB = SD = a.

Bài 5a: Cho hàm số

2. Theo chương trình Nâng cao

d)


a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vng góc đường thẳng ∆:

y = 22 x + 2011

1
y = − x + 2011
4

Đề 6
A. PHẦN CHUNG
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
a)

3x2 − 4 x + 1
lim
x →1
x −1

b)

x2 − 9
lim
x →−3 x + 3

 x2 − x − 2

Câu 2: Cho hàm số f ( x ) = 
x −2
 m


c)

khi x ≠ 2

x −2
lim
x →2 x + 7 − 3

d)

lim

x →−∞

x 2 + 2 − 3x
2x + 1

.

khi x = 2

a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3
b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?
Câu 3: Chứng minh rằng phương trình

x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (–2; 5)

Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
b)

2

3

y = ( x − 1)( x + 2)

c)

y=

4

1

d)

( x 2 + 1)2

2

y = x + 2x

 2x2 + 1 
e) y = 
÷
 x2 − 3 ÷



B.PHẦN TỰ CHỌN:
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC=

a 2 , I là trung điểm cạnh AC, AM là đường cao của ∆SAB. Trên đường

thẳng Ix vng góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.
a) Chứng minh AC ⊥ SB, SB ⊥ (AMC).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy ABCD.
a) Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD), (SBD) ⊥ (ABCD).

b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).
c) Dựng đường vng góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC
Đề 7
I. PHẦN BẮT BUỘC:
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a)

lim

x →+∞

(

x2 + 5 − x

)

b)

lim

x →−3

x+3
x2 − 9

 2x + 1
1
khi x ≠ −
 2


2
Câu 2 (1 điểm): Cho hàm số f ( x ) =  2 x + 3 x + 1
1
A
khi x = −


2
1
Xét tính liên tục của hàm số tại x = −
2
Câu 3 (1 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]:
Câu 4 (1,5 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

y = ( x + 1)(2 x − 3)

b)

y = 1 + cos2

x 3 + 5x − 3 = 0 .

x
2

Câu 5 (2,5 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD
a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC. Chứng minh rằng: BC ⊥ (SOK)
b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD).

c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số:

y = 2 x 3 − 7 x + 1 (C).
4

= 60 0 , đường cao SO = a.


a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x = 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k = –1.
Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA

·ACM = ϕ , hạ SH ⊥ CM.

⊥ (ABC), SA= a. M là một điểm trên cạnh AB,

a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB.
b) Hạ AK ⊥ SH. Tính SK và AH theo a và ϕ .
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (1,5 điểm): Cho các đồ thị (P):

x 2 và (C):
x2 x3 .
y = 1− x +
y = 1− x +
−
2

2
6

a) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm.
Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh a; SA = SB = SC = SD =

a 5
. Gọi I và J lần
2

lượt là trung điểm BC và AD.
a) Chứng minh rằng: SO ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh rằng: (SIJ) ⊥ (ABCD). Xác định góc giữa (SIJ) và (SBC).
c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
Đề 8
I. Phần chung
Bài 1:
1) Tìm các giới hạn sau:

1
− x 5 + 7 x 3 − 11
x −1 − 2
lim 3
a)
b) lim
x →+∞ 3 5
x →5
x−5
x − x4 + 2

4
x4 5 3
2) Cho hàm số : f ( x ) =
+ x − 2 x + 1 . Tính f ′(1) .
2 3

c)

lim

4 − x2

x →2 2( x 2

− 5 x + 6)

Bài 2:
1) Cho hàm số

 2
f (x) =  x + x
 ax + 1

2) Cho hàm số

f (x) =

khi x < 1 . Hãy tìm a để f ( x ) liên tục tại x = 1
khi x ≥ 1

x 2 − 2 x + 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f ( x ) tại điểm có hồnh độ bằng 1.
.
x +1

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vng góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến
đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.
1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vng góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vng góc với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
II. Phần tự chọn
A. Theo chương trình chuẩn
Bài 4a: Tính các giới hạn sau:
1)

lim

x →−∞

9x2 + 1 − 4 x
3 − 2x

2)

lim +

x →−2

x
2

x + 5x + 6

Bài 5a:
1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

6 x 3 − 3x 2 − 6 x + 2 = 0 .

2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Tính chiều cao hình chóp.
B. Theo chương trình nâng cao
Bài 4b: Tính giới hạn:

lim

x →+∞

(

x +1 − x )

Bài 5b:
1) Chứng minh phương trình sau ln ln có nghiệm:

(m 2 − 2m + 2) x 3 + 3 x − 3 = 0
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc (ABCD) và SA =

a 3 . Gọi (P) là mặt phẳng

chứa AB và vng góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó.
Đề 9
Bài 1:

5


1) Tính các giới hạn sau:
a) lim
2) Cho

n 4 + 2n + 2
n2 + 1

b) lim
x →2

x3 − 8
x −2

3x + 2
.
x +1

c) lim+
x →−1

y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 . Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

 x2 − x − 2

3) Cho f ( x ) =  x − 2
5a − 3 x


Bài 2: Cho y =

khi x ≠ 2

. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 2.

khi x = 2

y′ .y < 2 x 2 − 1 .

x 2 − 1 . Giải bất phương trình:

·
·
Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, ·
AOB = AOC = 60 0 , BOC = 900 .
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
b) Chứng minh OA vng góc BC.
c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC. Chứng minh IJ là đoạn vng góc chung OA và BC.
Bài 4: Cho

y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) biết tiếp tuyến song song với

d: y = 9x + 2011.
Bài 5: Cho f ( x ) =

x2 − 1
. Tính f ( n ) ( x ) , với n ≥ 2.
x

Đề 10

A. PHẦN BẮT BUỘC:
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a)

lim

x →−3

x +3

b)

x2 + 2x − 3

( x + 1)3 − 1
lim
x →0
x

c)

lim

x →−2

Câu 2:
a) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm:
b) Xét tính liên tục của hàm số

Câu 3:

x+3

f (x) =  x − 1
2


a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số
b) Tính đạo hàm của các hàm số sau:

x2 + 5 − 3
x+2

2 x 3 − 10 x − 7 = 0

, x ≠ −1
, x = −1

trên tập xác định .

y = x 3 tại điểm có hồnh độ x0 = −1 .

•y = x 1 + x 2

• y = (2 − x 2 ) cos x + 2 x sin x

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ABCD là hình thang vng tại A, B . AB = BC = a, ·ADC

= 450 , SA = a 2

.
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vng.
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC.
B. PHẦN TỰ CHỌN:
1. Theo chương trình chuẩn

 1
1 
lim+ 
−
÷
x →2  x 2 − 4 x − 2 
8
b) Cho hàm số f ( x ) = . Chứng minh: f ′(−2) = f ′(2)
x
3
2
Câu 6a: Cho y = x − 3 x + 2 . Giải bất phương trình: y′ < 3 .
uuu r uuu r uuu r
r
r
r
uu
r
Câu 7a: Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB = a , AD = b , AE = c . Gọi I là trung điểm của đoạn BG. Hãy biểu thị vectơ AI qua
r r r
ba vectơ a , b , c .
Câu 5a: a) Tính

2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: a) Tính gần đúng giá trị của
b) Tính vi phân của hàm số

4, 04
y = x.cot 2 x
6


Câu 6b: Tính

lim+

x →3

x 2 − 3x + 1
x −3

Câu 7b 3: Cho tứ diện đều cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện .
Đề 11

II. Phần bắt buộc
Câu 1:
1) Tính các giới hạn sau:
a) xlim
→+∞

1 − 2x
2

x + 2x − 3

b) lim
x →2

c) xlim ( x 2 − x + 3 + x )
→−∞

x 3 + 3x 2 − 9x − 2
x3 − x − 6

2)

Chứng minh phương trình x 3 − 3 x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt .
Câu 2:
1) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
x



a) y =  + 3 x ÷( x − 1)

b) y = x + sin x



c) y =

x2 − 2x

x −1

2) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = tan x
3) Tính vi phân của ham số y = sinx.cosx
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 6 .
1) Chứng minh : BD ⊥ SC , (SBD ) ⊥ (SAC ) .
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
3) Tính góc giữa SC và (ABCD)
II. Phần tự chọn
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x −

1
tại giao điểm của nó với trục hồnh .
x

60 64
−
+ 5 . Giải phương trình f ′( x ) = 0 .
x x3
uuu uuu
r r
Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính AB.EG .

Câu 5a: Cho hàm số f ( x ) = 3 x +

2. Theo chương trình nâng cao
Câu 4b: Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin 2 x.cos 2 x .
Câu 5b: Cho y =

x3 x2
+
− 2 x . Với giá trị nào của x thì y′ ( x ) = −2 .
3
2

Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định đường vng góc chung và tính
khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD′ và B′C.
Đề 12
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
3n +1 − 4 n
a) lim
4n −1 + 3

b) lim

x →3

x +1 − 2
x2 − 9

Bài 2: Chứng minh phương trình x 3 − 3 x + 1 = 0 có 3 nghiệm thuộc
Bài 3: Chứng minh hàm số sau khơng có đạo hàm tại x = −3
 x2 − 9

khi x ≠ −3
f (x) =  x + 3
1
khi x = − 3


Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = (2 x + 1) 2 x − x 2

b) y = x 2 .cos x

x +1
có đồ thị (H).
x −1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại A(2; 3).

Bài 5: Cho hàm số y =

7

( −2;2 ) .


1
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − x + 5 .
8
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA = a, SA vng góc với (ABCD). Gọi I, K
là hình chiếu vng góc của A lên SB, SD.
a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vng.
b) Chứng minh: (SAC) vng góc (AIK).
c) Tính góc giữa SC và (SAB).
d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
Đề 13

Bài 1: Tính các giới hạn sau:
2 x 2 + 3x − 5

x3 + x + 1
a) lim
b) lim
x →1
x −1
x →1+
x2 − 1
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x 3 − 2mx 2 − x + m = 0 ln có nghiệm với mọi m.
Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1.
 x3 − x 2 + 2 x − 2

khi x ≠ 1
f (x) = 
3x + a
3 x + a
khi x = 1

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số:
2
3
1
cos x
x
a) y = + 3 x + 1 − 2 + 4
b) y =
+
x
x
sin x
x

x
Bài 5: Cho đường cong (C): y = x 3 − 3x 2 + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có hồnh độ bằng 2.
1
b) Biết tiếp tuyến vng góc đường thẳng y = − x + 1 .
3
a 3 SO ⊥ ( ABCD ) SB = a
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, OB =
,
,
.
3
a) Chứng minh: ∆SAC vng và SC vng góc với BD.
b) Chứng minh: (SAD ) ⊥ (SAB), (SCB) ⊥ (SCD ).
c) Tính khoảng cách giữa SA và BD.
Đề 14

Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

x →−∞

(

x2 − x + 3 − 2 x

)

b) lim

x →+∞

(

4 x2 + x + 1 − 2 x

)

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình 2 x 3 − 10 x − 7 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài 3: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1
 x2 − 1

f ( x ) =  x + 1 khi x < −1
 mx + 2 khi x ≥ −1

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3x − 2
a) y =
b) y = ( x 2 − 3 x + 1).sin x
2x + 5
1
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = :
x
1
a) Tại điểm có tung độ bằng .
2
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − 4 x + 3 .
8

Bài 6: Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC đều cạnh a, SA ⊥ ( ABC ), SA =

3
a . Gọi I là trung điểm BC.
2

a) Chứng minh: (SBC) vng góc (SAI).
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Đề 15

Bài 1: Tính các giới hạn sau:
2
2 x −3
a) lim
b) lim x + 5 x − 3
x →+∞ 2 − 3 x
x →+∞
x −2
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x 4 + x 3 − 3 x 2 + x + 1 = 0 có nghiệm thuộc (−1;1) .
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 x 2 + 3x + 2

khi x ≠ −2
f (x) =  x + 2
3
khi x = −2

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
sin x + cos x

a) y =
b) y = (2 x − 3).cos(2 x − 3)
sin x − cos x
2x2 + 2x + 1
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =
x +1
a) Tại giao điểm của đồ thị và trục tung.
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2011 .
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ·BAD = 60 0 , SO ⊥ (ABCD),
a 13
. Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE.
4
a) Chứng minh: (SOF) vng góc (SBC).
b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
c) Gọi ( α ) là mặt phẳng qua AD và vng góc (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi ( α ).
Tính góc giữa ( α ) và (ABCD).
Đề 16
I. Phần chung
Bài 1:
1) Tìm các giới hạn sau:
1
− x 5 + 7 x 3 − 11
4 − x2
x −1 − 2
3
a) lim
b) lim
c) lim
x →+∞ 3 5
x →2 2( x 2 − 5 x + 6)

4
x →5
x −5
x −x +2
4
x4 5 3
2) Cho hàm số : f ( x ) =
+ x − 2 x + 1 . Tính f ′(1) .
2 3
Bài 2:
x2 + x
khi x < 1
1) Cho hàm số f ( x ) = 
. Hãy tìm a để f ( x ) liên tục tại x = 1
khi x ≥ 1
 ax + 1
SB = SD =

2) Cho hàm số f ( x ) =

x2 − 2x + 3
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x +1

f ( x ) tại điểm có

hồnh độ bằng 1.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng
cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.
1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vng góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.

2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vng góc với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
II. Phần tự chọn
9


A. Theo chương trình chuẩn
Bài 4a: Tính các giới hạn sau:
1)

lim

x →−∞

9x2 + 1 − 4x
3 − 2x

2)

lim +

x →−2

x
x 2 + 5x + 6

Bài 5a:
1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 6 x 3 − 3 x 2 − 6 x + 2 = 0 .
2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Tính chiều cao hình chóp.
B. Theo chương trình nâng cao

Bài 4b: Tính giới hạn:

lim

x →+∞

(

x +1 − x )

Bài 5b:
1) Chứng minh phương trình sau ln ln có nghiệm:
(m 2 − 2m + 2) x 3 + 3 x − 3 = 0
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc (ABCD) và SA = a 3 . Gọi
(P) là mặt phẳng chứa AB và vng góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tính diện
tích thiết diện đó.
Đề 17
I. Phần chung
Bài 1:
3n +2 − 3.5n +1
x2 − x − 2
1) Tính các giới hạn sau: a) lim
b) lim
x →−1 2 x + 2
4.5n + 5.3n +1
cos x + x
2) Tính đạo hàm của hàm số: y =
sin x − x
Bài 2:
1) Cho hàm số: y = x 3 + x 2 + x − 5 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với

đường thẳng 6x − y + 2011 = 0 .
5 x 2 − 6 x + 7 khi x ≥ 2

f ( x) =  2
2) Tìm a để hàm số:
liên tục tại x = 2.
khi x < 2
ax + 3a

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SAC) cùng vng góc với (ABC), tam giác ABC vng
cân tại C. AC = a, SA = x.
a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).
b) Chứng minh ( SAC) ⊥ ( SBC) . Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB).
d) Xác định đường vng góc chung của SB và AC
II. Phần tự chọn
A. Theo chương trình Chuẩn
Bài 4a:
1) Cho f ( x ) = x 2 sin( x − 2) . Tìm f ′(2) .
2) Viết thêm 3 số vào giữa hai số

1
và 8 để được cấp số cộng có 5 số hạng. Tính tổng các số hạng của cấp
2

số cộng đó.
Bài 5a:
1) CMR phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2 x 3 − 10 x = 7 .
2) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 300. Tính chiều cao hình
chóp.

B. Theo chương trình Nâng cao
Bài 4b:
1) Cho f ( x ) = sin 2 x − 2sin x − 5 . Giải phương trình f ′( x ) = 0 .
2) Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân.
10


Chứng minh rằng: (a2 + b2 )(b2 + c2 ) = (ab + bc)2
Bài 5b:
1) Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau ln có ít nhất 2 nghiệm: (m2 + 1) x 4 − x 3 = 1 .
2) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′, có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng

a
. Tính góc giữa 2 mặt
2

phẳng (A′BC) và (ABC) và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A′BC).
Đề 18
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu 1: (1,5 điểm) Tìm giới hạn của các hàm số sau:
2
x −3
x 2 − 5x + 6
a) lim
b) lim
c) lim x + 2 x − 1
x →3 x + 1 − 2
x →2
x −2
x →−∞

x
 x 2 − 25

khi x ≠ 5 . Tìm A để hàm số đã cho liên tục tại x = 5.
Câu 2: (1 điểm) Cho hàm số f ( x ) =  x − 5
A
khi x = 5

Câu 3: (1,5 điểm) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
3x 2 + 2 x − 1
a) y =
b) y = x .cos3 x
x2 − 1
Câu 4: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B và có SA vng góc với mặt phẳng
(ABC).
a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB).
b) Giả sử SA = a 3 và AB = a, tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).
c) Gọi AM là đường cao của ∆SAB, N là điểm thuộc cạnh SC. Chứng minh: (AMN) ⊥ (SBC).
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần.
Phần A: (theo chương trình chuẩn)
Câu 5a: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng
(–2; 5).
4
x2
Câu 6a: (2 điểm) Cho hàm số y = x 3 +
− 5 x có đồ thị (C).
3
2
a) Tìm x sao cho y′ > 0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ x = 0.

Phần B: (theo chương trình nâng cao)
Câu 5b: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình 2 x 3 − 6 x + 1 = 0 có ít nhát hai nghiệm.
Câu 6b: (2 điểm) Cho hàm số y = 4 x 3 − 6 x 2 + 1 có đồ thị (C).
a) Tìm x sao cho y′ ≤ 24 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(–1; –9).
Đề19
A. Phần chung: (8 điểm)
Câu 1: (2 điểm) Tìm các giới hạn sau:
2 x 2 − 3x + 1
x2 + 2x + 2 − x2 − 2 x + 3
1) lim
2) lim
2
x →−∞
x →1 4 − 3 x − x
 4 − x2

khi x > 2
Câu II: (1 điểm) Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  x + 2 − 2
tại điểm x = 2.
2 x − 20
khi x ≤ 2

Câu III: (2 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3 − 5x
2
1) f ( x ) = 2
2) f ( x ) = sin(tan( x 4 + 1))
x − x +1

(

)

(

11

)


a 6
Câu IV: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh bằng a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA =
.
2
1) Chứng minh rằng: mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (SBC).
2) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng SC.
3) Tính góc giữa mặt phẳng (SBD) với mặt phẳng (ABCD).
B. Phần riêng: (2 điểm)
Câu Va: Dành cho học sinh học chương trình Chuẩn
Cho hàm số: y = x 3 − 3x 2 + 2 x + 2 .
1) Giải bất phương trình y ′≥ 2 .
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d:
x + y + 50 = 0 .
Câu Vb: Dành cho học sinh học chương trình Nâng cao
1) Tìm 5 số hạng của một cấp số nhân gồm 5 số hạng, biết u3 = 3 và u5 = 27 .
2) Tìm a để phương trình f ′( x ) = 0 , biết rằng f ( x ) = a.cos x + 2sin x − 3 x + 1 .
Đề 20
A. Phần chung: (7 điểm)
Câu I: (2 điểm) Tính các giới hạn sau:

3n + 2.4 n
 2

a) lim
b) lim  n + 2n − n ÷


4 n + 3n
 3 x 2 − 10 x + 3 
lim 
÷
c)
x →3  x 2 − 5 x + 6 ÷


Câu II: (2 điểm)

 x 2 + 3 x − 18

a) Cho hàm số f ( x ) = 
x −3
a + x


 3x + 1 − 2 
÷
d) lim 
x →1 
x −1 ÷




khi x ≠ 3 . Tìm a để hàm số liên tục tại x = 3 .
khi x = 3

b) Chứng minh rằng phương trình x 3 + 3 x 2 − 4 x − 7 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (–4; 0).
Câu III: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O cạnh a, SA = SB = SC = SD = 2a.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO. Kẻ OP vng góc với SA.
a) CMR: SO ⊥ (ABCD), SA ⊥ (PBD).
b) CMR: MN ⊥ AD.
c) Tính góc giữa SA và uur (ABCD).
uuur mp uuuu
r
d) CMR: 3 vec tơ BD, SC , MN đồng phẳng.
B. Phần riêng. (3 điểm)
Câu IVa: Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn.
a) Cho hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x + 4 . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 2).
b) Tìm đạo hàm của hàm số y = sin 2 x .
Câu IVb: Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao.
a) Cho hàm số f ( x ) = x 3 + 3 x − 4 . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó đi
qua điểm M(1; 0).
b) Tìm đạo hàm của hàm số y = sin(cos(5 x 3 − 4 x + 6)2011 )

12


ĐÁP ÁN
ĐỀ 1
Bài 1.

2 − x − x 2 = lim (− x − 2)( x − 1) = lim(− x − 2) = −3
x →1
x →1
( x − 1)
x →1
x −1
3 12
2 x 4 − 3 x + 12 = lim x 2 2 + +
2) lim
= +∞
x→ − ∞
x →−∞
x x4
1)

lim

7x − 1
x →3 x − 3
Ta có: lim+ ( x − 3) = 0, lim+ (7 x − 1) = 20 > 0; x − 3 > 0 khi x → 3+ nên I = +∞
x →3
x →3
3)

lim+

4)

lim

x +1 − 2

x →3

Bài 2.

9 − x2

=

x −3

lim

x →3 (3 +

x )(3 − x )( x + 1 + 2)

−1

= lim

x →3 ( x + 3)(

x + 1 + 2)

 x 2 − 5x + 6

1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: f ( x ) = 
x −3

2 x + 1


=−

1
24

khi x > 3
khi x ≤ 3

• Hàm số liên tục với mọi x ≠ 3.
• Tại x = 3, ta có:
+ f (3) = 7
+

lim− f ( x ) = lim− (2 x + 1) = 7

x →3

x →3

⇒ Hàm số không liên tục tại x = 3.
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng

+

lim+ f ( x ) = lim+

x →3

x →3

(−∞;3), (3; +∞) .

2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :
Xét hàm số:

( x − 2)( x − 3)
= lim+ ( x − 2) = 1
( x − 3)
x →3

2 x3 − 5x 2 + x + 1 = 0 .

f ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + x + 1 ⇒ Hàm số f liên tục trên R.

Ta có:
+

f (0) = 1 > 0 
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ (0;1) .
f (1) = −1 


+

f (2) = −1 < 0 
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (2;3) .
f (3) = 13 > 0 



Mà c1
Bài 3.
1) a)

2)

≠ c2 nên PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm.

y = x x2 + 1 ⇒ y ' =

2x2 + 1
x2 + 1

b)

y=

3
(2 x + 5)2

⇒ y' = −

12
(2 x + 5)3

2
x −1
( x ≠ −1)

⇒ y′ =
x +1
( x + 1)2
a) Với x = –2 ta có: y = –3 và y′ (−2) = 2 ⇒ PTTT: y + 3 = 2( x + 2) ⇔ y = 2 x + 1 .

y=

13


x −2
1
1
có hệ số góc k =
⇒ TT có hệ số góc k = .
2
2
2
1
2
1
x = 1
= ⇔ 0
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có y′ ( x 0 ) = ⇔
2
2
2
( x0 + 1)
 x 0 = −3
1

1
+ Với x0 = 1 ⇒ y0 = 0 ⇒ PTTT: y = x − .
2
2
1
7
+ Với x0 = −3 ⇒ y0 = 2 ⇒ PTTT: y = x + .
2
2
y=

b) d:

Bài 4.
1) • SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB, SA ⊥ AD
⇒ Các tam giác SAB, SAD vng tại A.
• BC ⊥ SA, BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B.
• CD ⊥ SA, CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vuông tại D.
2) BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC).
• BC ⊥ (SAB) ⇒

3)

(·SC,(SAB)) = ·BSC

SB 2 = SA2 + AB 2 = 3a2 ⇒ SB = a 3
BC
1
·
=

• ∆SBC vuông tại B ⇒ tan BSC =
⇒ ·BSC = 60 0
SB
3
• ∆SAB vng tại A ⇒

Bài 5a.

x2 + 8

I = lim

x →−2

x 2 + 11x + 18
2

lim ( x + 11x + 18) = 0 ,

Ta có:

x →−2

Từ (1) và (*) ⇒ I1

= lim −

Từ (2) và (*) ⇒ I 2

= lim +

Bài 6a.

y=

BPT

x2 + 8
x 2 + 11x + 18
x2 + 8

x →−2

x 2 + 11x + 18

khi x < −2
khi x > −2

= −∞ .
= +∞

1 3
x − 2 x 2 − 6 x − 18 ⇒ y ' = x 2 − 4 x − 6
3

y ' ≤ 0 ⇔ x 2 − 4 x − 6 ≤ 0 ⇔ 2 − 10 ≤ x ≤ 2 + 10

Bài 5b.

Bài 6b.

y=

x − 2x −1

lim

x →1 x 2

BPT

x →−2

 x 2 + 11x + 18 = ( x + 2)( x + 9) < 0,
 2

 x + 11x + 18 = ( x + 2)( x + 9) > 0,
 lim ( x 2 + 8) = 12 > 0
(*)
 x →−2


− 12 x + 11

= lim

( x − 2 x − 1) ( x + 2 x + 11 )

x →1 ( x 2

− 12 x + 11) ( x +

=

2x −1)

lim

( x − 1)

x →1 ( x − 11)

( x+

2x −1)

=0

x 2 − 3x + 3
x2 − 2x
⇒ y' =
x −1
( x − 1)2

 2
x2 − 2x
x < 0
y′ > 0 ⇔
> 0 ⇔ x − 2x > 0 ⇔ 
.

x > 2
x ≠ 1
( x − 1)2
ĐÁP ÁN ĐỀ 2

Bài 1:

1)

lim

x →−∞



1 1
1 1
x  − 1− −
+ 3÷
x 1− −
+ 3x

÷
x x2
x x2
x 2 − x − 1 + 3x
 =1
= lim
= lim 
x →−∞

x →−∞
2x + 7


7
7
x2+ ÷
x2+ ÷
x
x


14

(1)
(2)


2)


5
1 
lim ( −2 x 3 − 5 x + 1) = lim x 3  −2 −
+ ÷ = −∞
x →+∞
x →+∞
x 2 x3 


2 x − 11
x →5 5 − x
 lim ( 5 − x ) = 0
 x →5+

Ta có:  lim ( 2 x − 11) = −1 < 0
+
 x →5
x > 5 ⇔ 5 − x < 0

3)

4)

lim+

x3 + 1 − 1

lim

x2 + x

x →0

= lim

x →0

⇒ lim+
x →5

x3

x ( x + 1) ( x 3 + 1 + 1)

2 x − 11
= +∞
5− x

= lim

x →0

x2

( x + 1) ( x 3 + 1 + 1)

=0

Bài 2:
1) • Khi x ≠ 1 ta có
• Khi x = 1, ta có:

x3 − 1
f (x) =
= x 2 + x + 1 ⇒ f(x) liên tục ∀ x ≠ 1 .
x −1


f (1) = 2m + 1


f (1) = lim f ( x ) ⇔ 2m + 1 = 3 ⇔ m = 1
2
lim f ( x ) = lim( x + x + 1) = 3 ⇒ f(x) liên tục tại x = 1 ⇔
x →1

x →1
x →1

Vậy: f(x) liên tục trên R khi m = 1.

f ( x ) = (1 − m 2 ) x 5 − 3 x − 1 ⇒ f(x) liên tục trên R.

2) Xét hàm số

f (−1) = m 2 + 1 > 0, ∀ m; f (0) = −1 < 0, ∀ m ⇒ f (0). f (1) < 0, ∀m
⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm c ∈ (0;1) , ∀m
Ta có:
Bài 3:
1) a)

y=

2) (C):

−2 − 2 x + x 2
x2 − 1
4

⇒ y' =

2

2x2 + 2x + 2

b)

( x 2 − 1)2

y = 1 + 2 tan x ⇒ y ' =

1 + tan2 x
1 + 2 tan x

3

y = x − x + 3 ⇒ y′ = 4 x − 2 x

x = 0
a) Với y = 3 ⇔ x − x + 3 = 3 ⇔  x = 1

 x = −1
4

2

• Với

x = 0 ⇒ k = y′ (0) = 0 ⇒ PTTT : y = 3

• Với

x = −1 ⇒ k = y′ (−1) = −2 ⇒ PTTT : y = −2( x + 1) + 3 ⇔ y = −2 x + 1

• Với

x = 1 ⇒ k = y′ (1) = 2 ⇒ PTTT : y = 2( x − 1) + 3 ⇔ y = 2 x + 1

1
⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 .
2
3
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: y′ ( x 0 ) = 2 ⇔ 4 x 0 − 2 x0 = 2 ⇔ x0 = 1 ( y0 = 3 )
b) d:

x + 2 y − 3 = 0 có hệ số góc kd = −

⇒ PTTT:
Bài 4:
1)

y = 2( x − 1) + 3 ⇔ y = 2 x + 1 .

2)

• OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC
(1)
• ∆OBC cân tại O, I là trung điểm của BC ⇒ OI ⊥ BC
Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (OAI) ⇒ (ABC) ⊥ (OAI)
Từ câu 1) ⇒ BC ⊥ (OAI)

3)

• BC ⊥ (OAI) ⇒
•

BI =

(·AB,( AOI )) = ·BAI

BC a 2
=
2
2

• ∆ABC đều ⇒

AI =
15

BC 3 a 2 3 a 6
=
=
2
2
2

(2)

(

)

AI
3 ·
=
⇒ BAI = 300 ⇒ ·AB,( AOI ) = 30 0
AB
2
4) Gọi K là trung điểm của OC ⇒ IK // OB ⇒ (·AI , OB ) = (·AI , IK ) = ·AIK
• ∆ABI vng tại I ⇒

cos·BAI =

• ∆AOK vng tại O ⇒

5a2
AK = OA + OK =
4
2

2

2

IK
1
·
6 a2

a2
=
• IK 2 =
• ∆AIK vng tại K ⇒ cos AIK =
AI =
AI
6
4
4
 1
2
n −1 
1
+
+ ...
(1 + 2 + 3 + ... + (n − 1))
Bài 5a: lim 
÷ = lim 2
n2 + 1 
n +1
 n2 + 1 n2 + 1
1
1−
1 (n − 1) ( 1 + (n − 1) )
(n − 1)n
n =1
= lim
= lim
= lim 2
2 2

2
n +1
2(n2 + 1)
2+
n2
Bài 6a: y = sin 2 x − 2 cos x ⇒ y′ = 2 cos 2 x + 2sin x
•

2


π
 x = 2 + k 2π
sin x = 1

π
2

PT y ' = 0 ⇔ 2 cos 2 x + 2sin x = 0 ⇔ 2sin x − sin x − 1 = 0 ⇔
1 ⇔  x = − + k 2π
sin x = −

6

2

7π
 x = 6 + k 2π

Bài 5b:

y = 2x − x2 ⇒ y ' =

1− x
2x − x

2

−1

⇒ y" =

2

2

⇒ y3 y "+ 1 = 0

(2 x − x ) 2 x − x
64 60
192 60
− − 3 x + 16 ⇒ f ′( x ) = −
+
−3
Bài 6b: f ( x ) =
x3 x
x4 x2
2
 4
192 60

 x = ±2
+
− 3 = 0 ⇔  x − 20 x + 64 = 0 ⇔ 
PT f ′( x ) = 0 ⇔ −
 x = ±4
x4 x2
x ≠ 0
Đề 3
Bài 1:


1 1
1 
lim (− x 3 + x 2 − x + 1) = lim x 3  −1 + −
+ ÷ = +∞
2
x →−∞
x →−∞
x x
x3 

 lim ( x + 1) = 0
 x →−1−

3x + 2
3x + 2
2) lim
. Ta có:  lim (3 x + 1) = −2 < 0 ⇒
lim −
= +∞

−
−
x →−1 x + 1
x →−1 x + 1
 x →−1
 x < −1 ⇔ x + 1 < 0

1)

3)

4)

lim

x →2

lim

x +2 −2
x +7 −3

= lim

( x − 2) ( x + 7 + 3)

x →2 ( x − 2)

2 x3 − 5x 2 − 2 x − 3

x →3 4 x 3

− 13 x 2 + 4 x − 3

(

2x2 + x + 1

x →2

x +7 +3
x+2+2

11
x →3 4 x 2 − x + 1 17

= lim
n

x + 2 + 2)

= lim
=

4
 5 ÷ −1
n
n
4 −5
−1

= lim  
=
5) lim
n
3
2 n + 3.5n
2
+3
5÷
 

16

=

3
2


 3 3x + 2 − 2

 x−2
Bài 2: f ( x ) = 
 ax + 1


4
•

Ta có:

khi x >2
khi x ≤ 2

f (2) = 2a +

• lim+ f ( x ) = lim+
x →2

3

x →2

Hàm số liên tục tại x = 2 ⇔

1
4

•


1
1
lim− f ( x ) = lim−  ax + ÷ = 2a +
4
4
x →2
x →2 

3x + 2 − 2

= lim+
x−2
x →2
( x − 2)

(

3( x − 2)
3

(3 x − 2)2 + 2 3 (3 x − 2) + 4

)

=

1
4

f (2) = lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) ⇔ 2a + 1 = 1 ⇔ a = 0
x →2
x →2
4 4

f ( x ) = x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 ⇒ f liên tục trên R.
f (0) = −2, f (1) = 1, f (2) = −8, f (4) = 16
Ta có:
⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (0;1)

Bài 3: Xét hàm số

f (1). f (2) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (1;2)
f (2). f (4) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3 ∈ (2; 4)
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).
Bài 4:

5x − 3

⇒ y′ =

−5 x 2 + 6 x + 8

1)

y=

3)

y = 1 + 2 tan x ⇒ y ' =

x2 + x + 1

( x 2 + x + 1)2
1 + 2 tan 2 x
1 + 2 tan x

4 x 2 + 5x + 3

2)

y = ( x + 1) x 2 + x + 1 ⇒ y′ =

4)

y = sin(sin x ) ⇒ y ' = cos x.cos(sin x )

2 x2 + x + 1

Bài 5:
1)

2)

3)
4)

( SAB ) ⊥ ( ABC ) 

( SBC ) ⊥ ( ABC )  ⇒ SB ⊥ ( ABC )
( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB 


CA ⊥ AB, CA ⊥ SB ⇒ CA ⊥ (SAB) ⇒ CA ⊥ BH
Mặt khác: BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ SC
Mà BK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BHK)
Từ câu 2), BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ HK ⇒ ∆BHK vng tại H.
Vì SC ⊥ (BHK) nên KH là hình chiếu của SA trên (BHK)
⇒

(·SA,(BHK )) = (·SA, KH ) = ·SHK

Trong ∆ABC, có:

AC = AB tan µ = a 3; BC 2 = AB 2 + AC 2 = a2 + 3a2 = 4a2
B
Trong

SK =
Trong ∆SAB, có:

SH =

∆SBC,

SB 2 a 5
=
SC
5

có:

SB 2 a 2
=
SA
2

3a2 ⇒
a 30
HK =
10

10
HK
60
15
⇒ cos ·SA,( BHK ) = cos·BHK =
=
=
SH
10
5
Trong ∆BHK, có:

(

HK 2 = SH 2 − SK 2 =

)

17

SC 2 = SB 2 + BC 2 = a2 + 4a2 = 5a2 ⇒ SC = a 5 ;


2
x 2 − 3x + 2 ⇒ f ′ ( x ) = x + 2 x − 5
f (x) =
x +1
( x + 1)2
Tiếp tuyến song song với d: y = −5 x − 2 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = −5 .

Bài 6:

Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: f ′( x0 ) = −5 ⇔
• Với

( x0 + 1)2

x = 0
= −5 ⇔  0
 x 0 = −2

x0 = 0 ⇒ y0 = 2 ⇒ PTTT: y = −5 x + 2

• Với

2
x0 + 2 x0 − 5

x0 = −2 ⇒ y0 = −12 ⇒ PTTT: y = −5 x − 22

1 cos 4 x
+
2
2
1) y′ = −2sin 4 x ⇒ y " = −8cos 4 x ⇒ y '" = 32sin 4 x

Bài 7:

y = cos2 2 x =

A = y′′′ + 16 y′ + 16 y − 8 = 8cos 4 x

2)

Đề 4
Bài 1:


2
3 
lim (−5 x 3 + 2 x − 3) = lim x 3  −1 +
− ÷ = +∞
2
x →−∞
x →−∞
x
x3 

 lim ( x + 1) = 0
 x →−1+

3x + 2
3x + 2
2) lim
. Ta có:  lim (3 x + 1) = −2 < 0 ⇒ lim
= −∞
+
+
+
x →−1 x + 1

x →−1 x + 1
 x →−1
 x > −1 ⇒ x + 1 > 0

1)

4)

2− x

lim

3)

x +7 −3

x →2

(2 − x ) ( x + 7 + 3 )
= lim − ( x + 7 + 3 ) = −6
x →2
x →2
x −2

= lim

( x + 3)3 − 27
x 3 + 9 x 2 + 27 x
= lim
= lim ( x 2 + 9 x + 27) = 27

x →0
x →0
x →0
x
x

4) lim

n

n

3
1
 4 ÷ −1+  4 ÷
n
n
3 − 4 +1
  =−1
= lim  
5) lim
n
2
2.4n + 2 n
1
2+ ÷
2
 x −1

khi x > 1

Bài 2: f ( x ) =  x − 1
3ax
khi x ≤ 1

•

Ta có:
•

f (1) = 3a

lim+ f ( x ) = lim+

x →1

x →1

•

x −1
= lim
x − 1 x →1+

Hàm số liên tục tại x = 1 ⇔

Bài 3: Xét hàm số

lim f ( x ) = lim− 3ax = 3a

x →1−

1
x +1

x →1

=

1
2

f (1) = lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) ⇔ 3a = 1 ⇔ a = 1
x →1
x →1
2
6

f ( x ) = x 3 + 1000 x + 0,1 ⇒ f liên tục trên R.


f (0) = 0,1 > 0
⇒ f (−1). f (0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c ∈ (−1; 0)
f (−1) = −1001 + 0,1 < 0 

Bài 4: 1)

y=

2x2 − 6x + 5
4 x 2 + 16 x − 34 2 x 2 + 8 x − 17

⇒ y' =
=
2x + 4
(2 x + 4)2
2( x + 2)2
18


y=

2)

y =

4)

x2 − 2x + 3
3x − 7
⇒ y' =
2x + 1
(2 x + 1)2 x 2 − 2 x + 3


sin x + cos x
π
⇒ y = − tan  x + ÷⇒ y ' = −
sin x − cos x
4


y = sin(cos x ) ⇒ y ' = − sin x.cos(cos x )

1

cos2  x




π 
= −  1 + tan 2  x + ÷÷
4 
π


+ ÷
4

Bài 5:
1) • BD ⊥ AC, BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC)
• CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ (DCS) ⊥ (SAD)
2) • Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)

(

SA ⊥ (ABCD) ⇒ · ,( ABCD )
SD

) = ·SDA

SA 2a
=
=2
AD a

tan ·SDA =

• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)
AB ⊥ (ABCD) ⇒

tan ·BSA =

(·SB,(SAD)) = ·BSA

AB a 1
=
=
SA 2a 2

• Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAC).
BO ⊥(SAC) ⇒

OB =

(·SB,(SAC )) = ·BSO .

OB 1
a 2,
3a 2 ⇒
tan·BSO =

=
SO =
OS 3
2
2

3) • Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Trong ∆SAD, vẽ đường cao AH. Ta có: AH ⊥ SD, AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ d(A,(SCD)) = AH.

1
AH

2

=

1
SA

2

+

1
AD

2

=

• Tính khoảng cách từ B đến (SAC)

1
4a

2

+

1
a

BO ⊥ (SAC) ⇒ d(B,(SAC)) = BO =
Bài 6:

2

⇒ AH =

2a 5
2a 5
⇒ d ( A,(SCD )) =
5
5

a 2
2

(C ) : y = x 3 − 3 x 2 + 2 ⇒ y′ = 3 x 2 − 6 x

1) Tại điểm M(–1; –2) ta có:

y′ (−1) = 9 ⇒ PTTT: y = 9 x + 7

2) Tiếp tuyến vng góc với d:
Gọi

1
y = − x + 2 ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 .
9

( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm.

 x = −1
2
2
y′ ( x0 ) = 9 ⇔ 3 x0 − 6 x0 = 9 ⇔ x0 − 2 x0 − 3 = 0 ⇔  0
 x0 = 3
• Với x0 = −1 ⇒ y0 = −2 ⇒ PTTT: y = 9 x + 7
Ta có:

• Với

x0 = 3 ⇒ y0 = 2 ⇒ PTTT: y = 9 x − 25

x2 + 2x + 2
⇒ y′ = x + 1 ⇒ y′′ = 1
2
 x2


⇒ 2 y.y′′ − 1 = 2 
+ x + 1÷.1 − 1 = x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1)2 = y′
 2


Bài 7:

y=

( )

Đề 5
Bài 1:

19

2


a)

b)

lim

lim

x →1

3

2n − 2n + 3
1 − 4n3
x +3 −2
2

x −1

= lim

= lim

(

2−

2
n
1

n3

+

3

n3 = − 1
2
−4

2

x + 3 − 2) ( x + 3 + 2)

x →1 ( x − 1)( x + 1)

 x 2 + 3x + 2

Bài 2: f ( x ) = 
x+2
3


(

x + 3 + 2)

= lim

x →1 ( x + 1)

(

1

x + 3 + 2)

=

1

8

khi x ≠ −2
khi x = −2

( x + 1)( x + 2)
= x + 1 ⇒ f(x) liên tục tại ∀x ≠ −2
x+2
• Tại x = −2 ta có: f (−2) = 3, lim f ( x ) = lim ( x + 1) = −1 ⇒ f (−2) ≠ lim f ( x )
x →−2
x →−2
x →−2
• Khi

x ≠ −2 ta có f ( x ) =

⇒ f(x) không liên tục tại x = –2.
Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng
Bài 3:

(−∞; −2), (−2; +∞) .

y = 2sin x + cos x − tan x ⇒ y ' = 2 cos x − sin x − 1 − tan 2 x
b) y = sin(3 x + 1) ⇒ y ' = 3cos(3 x + 1)
c) y = cos(2 x + 1) ⇒ y = −2sin(2 x + 1)
a)

d)

y = 1 + 2 tan 4 x ⇒ y ' =

8

1

.
=
cos2 4 x 2 1 + 2 tan 4 x

4 ( 1 + tan2 4 x )
1 + 2 tan 4 x

Bài 4:
a)
Vẽ SH ⊥ (ABCD). Vì SA = SB = SC = a nên HA = HB = HD
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
Mặt khác ∆ABD có AB = AD và ·BAD

= 60 0 nên ∆ABD đều.
Do đó H là trọng tâm tam giác ABD nên H ∈ AO ⇒ H ∈ AC
 SH ⊂ (SAC )
⇒ (SAC ) ⊥ ( ABCD )
Như vậy, 
 SH ⊥ ( ABCD )
Ta có ∆ABD đều cạnh a nên có

AO =

Tam giác SAC có SA = a, AC =

b)

a 3
⇒ AC = a 3
2

a 3

2
1
a 3
a2
2
AH = AO = AC =
⇒ AH =
3
3
3
3
2
2
a
2a
Tam giác SHA vuông tại H có SH 2 = SA2 − AH 2 = a2 −
=
3
3
2
2
2a 3

4a
4a 2 2 a2
HC = AC =
⇒ HC 2 =
⇒ SC 2 = HC 2 + SH 2 =
+
= 2a 2
3
3
3
3
3
Trong ∆ABC, ta có:

SA2 + SC 2 = a2 + 2a2 = 3a2 = AC 2 ⇒ tam giác SCA vuông tại S.
c)
Bài 5a:
a)

SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ d (S ,( ABCD )) = SH =

a 6
3

f ( x ) = 2 x 3 − 6 x + 1 ⇒ f ′( x ) = 6 x 2 − 6
f ′(−5) = 144

f ′(0) = −6 ⇒ PTTT: y = −6 x + 1
c) Hàm số f(x) liên tục trên R. f (−1) = 5, f (1) = −3 ⇒ f (−1). f (1) < 0
⇒ phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).

b) Tại điểm Mo(0; 1) ta có:

20

⇒ H là


Bài 5b:

f (x) =


sin 3 x
cos3 x 
+ cos x − 3  sin x +
÷ ⇒ f ′( x ) = cos3 x − sin x − 3(cos x − sin 3 x )
3

3 

1
3
1
3
f ′( x ) = 0 ⇔ cos3 x − 3 sin 3 x = sin x − 3 cos x ⇔ cos3 x −
sin 3 x = sin x −
cos x
2
2
2

2


π
π
π
 4 x = 2 + k 2π
x = 8 + k 2
π



π
⇔
⇔ sin  − 3 x ÷ = sin  x − ÷ ⇔ 
7π
3
6


2 x = −
 x = − 7π + kπ
+ k 2π

6

12
3
2
Bài 6b: f ( x ) = 2 x − 2 x + 3 ⇒ f ′( x ) = 6 x − 2

PT

a) Tiếp tuyến song song với d:

y = 22 x + 2011 ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 22 .

 x = −2
2
2
( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có f ′( x0 ) = 22 ⇔ 6 x0 − 2 = 22 ⇔ x0 = 4 ⇔  0
 x0 = 2
• Với x0 = −2 ⇒ y0 = −9 ⇒ PTTT : y = 22 x + 35
Gọi

• Với

x0 = 2 ⇒ y0 = 15 ⇒ PTTT : y = 22 x − 29

b) Tiếp tuyến vng góc với ∆:

1
y = − x + 2011 ⇒ Tiếp tuyến có hệ số góc k = 4 .
4

 x = −1
2
2
( x1; y1 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có f ′( x1 ) = 4 ⇔ 6 x1 − 2 = 4 ⇔ x1 = 1 ⇔  1
 x1 = 1
• Với x1 = −1 ⇒ y1 = 3 ⇒ PTTT : y = 4 x + 7

Gọi

• Với x1

= 1 ⇒ y1 = 3 ⇒ PTTT : y = 4 x − 1
Đề 6

Câu 1:

3x2 − 4 x + 1
( x −1)(3 x −1)
= lim
= lim (3 x − 1) = 2
x →1
x →1
x −1
x −1
2
b) lim x − 9 = lim ( x − 3) = −6
x →−3 x +3 x →−3
x −2
= lim ( x + 7 + 3) = 6
c) lim
x →2 x + 7 −3 x →2
a)

lim
x →1





2 
2
x  1+
− x  1+ + 3 ÷
÷−3 x

÷

÷
d)
x 2 + 2 −3 x
x2 
x2 


lim
= lim
= lim
x →−∞
x →−∞
x →−∞
2 x +1
2 x +1
2 x +1


2
− 1+ +3 ÷


÷
x2 

= lim
= −2
1
x →−∞
2+
x
 x2 − x − 2

khi x ≠ 2
Câu 2: f ( x ) = 
x −2
 m
khi x = 2

• Ta có tập xác định của hàm số là D = R
a) Khi m = 3 ta có

 ( x + 1)( x − 2)

, khi x ≠ 2 =  x + 1, khi x ≠ 2
f (x) = 
3 , khi x = 2 ⇒ f(x) liên tục tại mọi x ≠ 2.
x −2
3
, khi x = 2 


Tại x = 2 ta có:
f(2) = 3; lim f ( x ) = lim ( x + 1) = 3 ⇒ f(x) liên tục tại x = 2.
x →2
x →2
21


Vậy với m = 3 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

 x2 − x − 2

b) f ( x ) = 
x −2
 m


khi x ≠ 2
khi x = 2

x +1
=
m

khi x ≠ 2
khi x = 2

lim f ( x ) = 3
x →2
Hàm số f(x) liên tục tại x = 2 ⇔ f (2) = lim f ( x ) ⇔ m = 3
x →2

Tại x = 2 ta có:

f(2) = m ,

f ( x ) = x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 ⇒ f liên tục trên R.
f (0) = −2, f (1) = 1, f (2) = −8, f (4) = 16
Ta có:
⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (0;1)

Câu 3: Xét hàm số

f (1). f (2) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (1;2)
f (2). f (4) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3 ∈ (2; 4)
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).
Câu 4:
a)

y ' = 5x 4 − 3x 2 + 4 x

b) y ' =

−4 x

c)

( x 2 + 1) 3

x +1

y' =

x2 + 2x

3

 2x2 + 3 
d) y ' = −

÷
( x 2 − 3) 2  x 2 − 3 ÷


56 x

Câu 5a:
a)
• AC ⊥ BI, AC ⊥ SI ⇒ AC ⊥ SB.
• SB ⊥ AM, SB ⊥ AC ⇒ SB ⊥ (AMC)
b)

SI ⊥ (ABC) ⇒

(·SB,( ABC )) = ·SBI

AC = 2a ⇒ BI = a = SI ⇒ ∆SBI vuông cân ⇒
c)

SB ⊥ (AMC) ⇒

·SC ,( AMC ) ) = ·SCM

(

Tính được SB = SC =

·SCM = 300

·SBI = 450

a 2 = BC ⇒ ∆SBC đều ⇒ M là trung điểm của

SB

⇒

Câu 5b:
a)

• Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều nên

 SO ⊥ ( ABCD )
 AC ⊥ BD


 SO ⊥ BD
 AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (SAC ) ⇒ (SAC) ⊥ (SBD)

 SO ⊥ (ABCD )
• 
⇒ (SBD) ⊥ (ABCD)
 SO ⊂ (SBD )

• Tính d (S ,( ABCD ))
SO ⊥ (ABCD) ⇒ d (S,( ABCD )) = SO
⇒

b)

Xét

OB =

tam

giác

SOB
2

a 2
7a
a 14
, SB = 2a ⇒ SO 2 = SA2 − OB 2 =
⇒ SO =
2
2
2

• Tính d (O,(SBC ))
Lấy M là trung điểm BC ⇒ OM ⊥ BC, SM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SOM) ⇒ (SBC) ⊥ (SOM).
Trong ∆SOM, vẽ OH ⊥ SM ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒ d (O,(SBC )) = OH
Tính OH:


a 14
2
2
2
 SO =

2 ⇒ 1 = 1 + 1 ⇒ OH 2 = OM .OS = 7a ⇒ OH = a 210
∆SOM có 
30
30
OH 2 OM 2 OS 2
OM 2 + OS 2
OM = a


2
d ( BD, SC )
c) Tính
22

có


Trong ∆SOC, vẽ OK ⊥ SC. Ta có BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ OK ⇒ OK là đường vuông góc chung của BD và SC ⇒
d ( BD, SC ) = OK .
Tính OK:



a 14
2
2
2
 SO =

2 ⇒ 1 = 1 + 1 ⇒ OK 2 = OC .OS = 7a ⇒ OK = a 7
∆SOC có 
4
OK 2 OC 2 OS 2
OC 2 + OS 2 16
OC = a 2


2
Đề 7
Câu 1:

lim

a) x →+∞

b)

lim

(

)

x 2 + 5 − x = lim

x +3
2

x →+∞

5
x2 + 5 + x

= lim

x →+∞

5


5
x  1+
+ 1÷

÷
x2



=0

1
1

=−
x →−3 x − 3
6

= lim

x −9
 2x + 1
1  1
1
khi x ≠ −
 2
 x + 1 khi x ≠ − 2

2 =
Câu 2: f ( x ) =  2 x + 3 x + 1

1
1
A
A
khi x = −
khi x = −



2

2
1

 1
1
lim
=2
Tại x = − ta có: f  − ÷ = A ,
1 x +1
2
x →−
2

2
x →−3

f ( x ) liên tục tại x = −

 1
1
1
f  − ÷ = lim
⇔ A=2
⇔
 2  x →− 1 x + 1
2
2

f ( x ) = x 3 + 5 x − 3 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.
f (0) = −3, f (1) = 3 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1) .

Câu 3: Xét hàm số

Câu 4:

y = ( x + 1)(2 x + 3) = 2 x 2 − x − 3 ⇒ y′ = 4 x − 1
x
x
−2sin cos
x
sin x
2
2
2 =−
⇒ y' =
b) y = 1 + cos
2
x
x
4. 1 + cos2
4. 1 + cos2
2
2
a)

Câu 5:

• AB = AD = a, ·BAD

a)

= 60 0 ⇒ ∆BAD đều ⇒ BD = a

• BC ⊥ OK, BC ⊥ SO ⇒ BC ⊥ (SOK).
Tính góc của SK và mp(ABCD)

b)

• SO ⊥ (ABCD)

(

)

⇒ ·SK ,( ABCD ) = ·SKO

a
a 3
OB = , OC =
2
2
1
1
1
a 3
=
+
⇒ OK =
2
2
2
4
OK

OB
OC

• ∆ BOC có

tan·SKO =

SO 4 3
=
OK
3

c) Tính khoảng cách giữa AD và SB
• AD // BC ⇒ AD // (SBC) ⇒ d ( AD , SB ) = d ( A,(SBC ))
• Vẽ OF ⊥ SK ⇒ OF ⊥ (SBC)
• Vẽ AH // OF, H ∈ CF ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d ( AD , SB ) = d ( A,(SBC )) =
• ∆CAH có OF là đường trung bình nên AH = 2.OF

23

AH .

⇒


• ∆SOK có OK =

Câu 6a:

1

1
a 57
a 3 , OS = a ⇒ 1
⇒ AH = 2OF = 2a 57
=
+
⇒ OF =
2
2
2
19
4
19
OF
OS
OK

y = 2 x3 − 7x + 1 ⇒ y ' = 6 x2 − 7

a) Với

x0 = 2 ⇒ y0 = 3, y′ (2) = 17 ⇒ PTTT : y = 17 x − 31

 x = −1
2
( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: y′ ( x0 ) = −1 ⇔ 6 x0 − 7 = −1 ⇔  0
 x0 = 1
• Với x0 = −1 ⇒ y0 = 6 ⇒ PTTT : y = − x + 7
b) Gọi

• Với

x0 = 1 ⇒ y0 = −4 ⇒ PTTT : y = − x − 5

Câu 7a:
a)

Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên AB
• SA ⊥ (ABC) ⇒ AH là hình chiều của SH trên (ABC).
Mà CH ⊥ SH nên CH ⊥ AH.

• AC cố định, ·AHC = 90 0 ⇒ H nằm trên đường trịn đường kính AC nằm
trong mp(ABC).
Mặt khác:
+ Khi M → A thì H ≡ A
+ Khi M → B thì H ≡ E (E là trung điểm của BC).
Vậy quĩ tích các điểm H là cung ¼
AHE của đường trịn đường kính AC nằm
trong mp(ABC).
b) Tính SK và AH theo a và ϕ
• ∆AHC vuông tại H nên AH =

AC.sin·ACM = a sin ϕ

SH 2 = SA2 + AH 2 = a2 + a2 sin2 ϕ ⇒ SH = a 1 + sin 2 ϕ
∆SAH
•
vng
tại
A

SA2
a
SA2 = SK .SH ⇔ SK =
⇔ SK =
SH
1 + sin 2 ϕ
•

Câu

x2
y = f (x) = 1 − x +
2
2
3
x
x .
y = g( x ) = 1 − x +
−
2
6
2
x
a) f ( x ) = 1 − x +
⇒ f ′ ( x ) = −1 + x ;
2
x2 x3
x2
g( x ) = 1 − x +
−

⇒ g ′( x ) = −1 + x −
2
6
2
• f ′( x ) = g ′( x ) ⇔ x = 0
6b:

(P):

và

có

(C):

f (0) = g(0) = 1 ⇒ đồ thị hai hàm số có ít nhất một tiếp tuyến
chung tại điểm M(0;1) hay tiếp xúc nhau tại M(0;1) .
•

M(0;1) : y = − x + 1
Câu 7b:
a)
Vì SA = SC nên SO ⊥ AC, SB = SD nên SO ⊥ BD
⇒ SO ⊥ (ABCD).
b) • I, J, O thẳng hàng ⇒ SO ⊂ (ABCD).
SO ⊥ (ABCD) ⇒ (SIJ) ⊥ (ABCD)
• BC ⊥ IJ, BC ⊥ SI ⇒ BC ⊥ (SIJ) ⇒ (SBC) ⊥ (SIJ)

(

⇒ · SBC ),(SIJ )
(

c)

) = 900

Vẽ OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SBC) ⇒

b) Phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm

d (O,(SBC )) = OH

24


∆SOB có

OH =

SB =

a 5
a 2 ⇒
3a2 ∆SOI có 1 = 1 + 1 ⇒
3a2 ⇒
, OB =
SO 2 = SB 2 − OB2 =
OH 2 =
2

2
4
16
OH 2 SO 2 OI 2

a 3
4
Đề 8

Bài 1:

1
− x 5 + 7 x 3 − 11
3
= lim
1) a) lim
x →+∞ 3 5
x →+∞
4
x −x +2
4
b)

c)

2)

x −1 − 2
x −5
1

1
= lim
= lim
=
x →5 ( x − 5) ( x − 1 + 2 )
x →5 x − 1 + 2
x −5
4

lim

x →5

4 − x2

lim

x →2 2( x

f (x) =

−1 7 11
+
−
4
3 x2 x5
=−
3 1 2
9
− +

5
4 x x

2

− 5 x + 6)

(2 − x )(2 + x )
−( x + 2)
2
= lim
=−
x →2 2( x − 2)( x − 3) x →2 2( x + 3)
5

= lim

4

x
5
1
1
.
+ x 3 − 2 x + 1 ⇒ f ′( x ) = 2 x 3 + 5 x 2 +
⇒ f ′(1) = 5 +
2 3
2 2x
2 2

Bài 2:
1)

 2
f (x) =  x + x
 ax + 1

khi x < 1
khi x ≥ 1

lim− f ( x ) = lim− ( x 2 + x ) = 2, lim+ f ( x ) = a + 1 = f (1)

•

f (1) = a + 1

•

f ( x ) liên tục tại x = 1 ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1) ⇔ a + 1 = 2 ⇔ a = 1

•

x →1

x →1

x →1

2

x →1

x →1
2

x − 2 x + 3 ⇒ f ′( x ) = x + 2 x − 5
x +1
( x + 1)2
1
1
3
Với x0 = 1 ⇒ y0 = 1 , f ′(1) = − ⇒ PTTT: y = − x +
2
2
2
2)

f (x) =

Bài 3:
1) CMR: BC ⊥ (ADH) và DH = a.
∆ABC đều, H là trung điểm BC nên AH ⊥ BC, AD ⊥ BC
⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH ⇒ DH = d(D, BC) = a
2) CMR: DI ⊥ (ABC).
• AD = a, DH = a ⇒ ∆DAH cân tại D, mặt khác I là trung điểm
DI ⊥ AH
• BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI
⇒ DI ⊥ (ABC)
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
• Trong ∆ADH vẽ đường cao HK tức là HK ⊥ AD (1)

Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra d ( AD, BC ) = HK
• Xét ∆DIA vng tại I ta có:
2

a 3
a2 a
DI = AD − AI = a − 
=
÷ =
 2 ÷
4 2


2

• Xét ∆DAH ta có: S =

2

2

a 3 a
1
1
.
= AD.HK ⇒
AH .DI
AH .DI

2 2=a 3
d ( AD, BC ) = HK =
=
2
2
AD
a
4

Bài 4a:

25

AH nên