Giáo án dạy thêm: CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH

www.vnmath.com
CHUN ĐỀ THỂ TÍCH
Bài 1
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vng ở B,cạnh
SA ⊥ (ABC) . Từ A kẻ AD ⊥ SB và AE ⊥ SC . Biết AB = a, BC = b, SA =
c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE?
• Phân tích - tìm lời giải
AD,AE là các đường cao trong tam giác SAB,SAC
S

D
E

A

C

B

Tính đường cao:
∆ABC vng tại B nên AB ⊥ BC
Giả thiết cho : SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (ABC) ⇒ AD ⊥ BC
AD là đường cao trong tam giác SAB
⇒ AD ⊥ SB
⇒ AD ⊥ (SBC) ⇒ AD ⊥ SC
Mặt khác : AE ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (ADE)
Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE
Độ dài SE:
AS.AB
AS.AB
a.c

⇒ AD =
=
=
SB
AS2 + AB2
a 2 + c2
AS.AC
SA.AC
c. a 2 + b 2
=
=
SB
SA 2 + AC2
a 2 + b2 + c2
Áp dụng Pytago trong tam giác SAE có:
c2
c2 (a 2 + b 2 )
2
2
2
=
SE = AS − AE = c − 2
a + b2 + c2
a 2 + b 2 + c2
AE =


www.vnmath.com
Diện tích tam giác ADE:
DE =

AE + AD =
2

2

c 2 .b 2
(a 2 + b 2 + c 2 ).(a 2 + c 2 )

1
c 2 .b 2
ac
1
.
S = .AD.AE = .
2 (a 2 + b 2 + c 2 ).(a 2 + c 2 ) a 2 + c 2
2
1
a.c3 .b3
= .
2 (a 2 + b 2 + c 2 ).(a 2 + c 2 )
Thể tích:
1
c
1
a.c3 .b3
1
1
.
V = .SE. .AD.DE = . 2

3 a + b 2 + c 2 2 (a 2 + b 2 + c 2 ).(a 2 + c 2 )
3
2
1
a.b 2 .c 4
= . 2 2 2
6 (a + c )(a + b 2 + c 2 )
• Xét một cách giải khác như sau:
DE ⊥ (SAB)
BC ⊥ (SAB) => DE // BC
Pytago trong các tam giác vuông:
SD2 = AS2 - AD2; SE2 = AS2 - AE2
SB2 = SA2+AB2
SC2 = SA2+AC2 = SA2 + AB2 + AC2
Lập các tỷ số:
c
SA 2 − AD 2
SA 2 − AE 2
SA 2 + AE 2 =
=
.
SA 2 + AB2 SA 2 + SB2 + SC 2
a 2 + b2 + c2
c2 .a 2
c 2 (a 2 + b 2 )
c4
b 2 .c2
c2 − 2 2 c2 − 2
2
2 =

.
a +c .
c +a +b
=
(a 2 + c 2 ) 2 (c 2 + a 2 + b 2 ) 2
2
2
2
2
2
a +c
c +a +b
SA SD SE
b.c3
. .
=
=>
SA SB SC (c 2 + a 2 + b 2 )(a 2 + c 2 )
VSADE SA SD SE
b.c3
=
. .
=
VSABC SA SB SC (c2 + a 2 + b 2 )(a 2 + c 2 )
b.c3
=> VSADE = 2
. VSABC
(c + a 2 + b 2 )(a 2 + c 2 )
1
1

b.c3
1
a.b 2 .c 4
= 2
. .SA. .AB.BC = . 2
(đvtt)
(c + a 2 + b 2 )(a 2 + c 2 ) 3
2
6 (c + a 2 + b 2 )(a 2 + c 2 )


www.vnmath.com

Bài 2:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh
·
a.Cạnh SA ⊥ (ABC) , góc BAC
= 1200 . Tìm thể tích của khối chóp S.ABC?

S

A

C
B

D

• Trình bày lời giải:
Xét hai tam giác vng SAB và SAC có:

SA chung
SB = SC
=> ∆ SAB = ∆ SAC (c.c) => AB = AC => ∆ ABC là tam giác cân
Gọi D là trung điểm của BC ta có :
CD
a
CD
·
=
tan CAD
=
=> AD =
·
2. 3
AD
tan CAD
1
a 2. 3
Diện tích đáy: S∆ABC = AD.BC =
2
4
a 3
SD là đường cao trong tam giác đều SBC cạnh a nên : SD =
2
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có:


www.vnmath.com
a 2
3.a 2 a 2 2a 2

− =
SA = SD - AD =
=>SA =
4 12
3
3
Thể tích cần tính:
1
a 3. 2
SA.S
V=
(đvtt)
∆ABC =
3
36
• Tổng qt hóa ta có bài tốn sau:
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, góc
·BAC = α(0 ≤ α ≤ 900 ) . Biết SA vng góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích
của khối chóp S.ABC theo a và α ?
Một cách hồn tồn tương tự ta có lời giải như sau:
2

AD =

2

2

AD
a

=
·
2.tan α
tan CAD

1
1
a
a2
=
Diện tích tam giác: S∆ABC = AD.BC = a
2
2 2.tan α 4.tan α
a 3
SD là đường cao trong tam giác đều SBC nên SD =
2
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có:
3.a 2 a 2 2a 2
a 2
2
2
2
− =
SA = SD - AD =
=>SA =
4 12
3
3
Thể tích cần tìm:
1

1
1
1
a3 2
V = SA.S∆ABC = .B.h = .SA. .AD.BC =
(đvtt)
3
3
3
2
12 3.tan α
Bài 3
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình thoi. AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Điểm A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2
2 ). Gọi M là trung điểm của SC và mặt phẳng (ABCD) cắt cạnh SD tại
N. Tính thể tích của khối chóp S.ABMN?


www.vnmath.com

S

N
M

D
C

O
A

B

• Lời giải
Ta nhận thấy mặt phẳng (SBN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối
chóp S.ABN và S.MBN
Theo định nghĩa về thể tích ta có: VS.ABMN = VS.ABN + VS.MBN
VS.ABN SN 1
=
= => VS.ABN = 1 VS.ABD = 1 VS.ABCD
VS.ABD SO 2
2
4
Tương tự ta có:
VS.MBN SM SN 1
1
=
.
= => VS.MBN = 1 VS.BCD = VS.ABCD
VS.BCD SC SD 4
8
4
Do vậy:
1
8
1
VS.ABMN = VS.ABCD + VS.ABCD = VS.ABCD
8
3
4

Thể tích khối chóp S.ABCD
1
1
8
V = .SO.SABCD = .SO.AC.BD =
2
3
6
3
Thể tích cần tính: VS.ABMN = 2 (đvtt)
• Nghiên cứu lời giải
Gọi V1 là thể tích khối đa diện nằm dưới (ABMN): V1 = VS.ABMN
Khi đó:


www.vnmath.com
VS.ABCD = VS.ABMN + VABCMN hay V = V1 + VS.ABMN
Ta có :V1 = VN.ABD + VB.CDMN
1
V
VN.ABD = VS.ABD =
2
4

S

N
M

D

C

O
A

B

Hai hình chóp B.SCD và B.DCMN có chung đỉnh và mặt phẳng chứa
đáy nên:
3
SDCMN = .S∆SDC
4
Thể tích của chóp S.ABCD là:
1
1
8
V = .SO.SABCD = .SO.AC.BD =
3
6
3
Thể tích cần tính:
Bài 4

2


www.vnmath.com
Cho hình vng ABCD có cạnh a, các nửa đường thẳng Ax và Cy vng
góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía so với mặt phẳng đáy. Lấy
điểm M ≠ A trên Ax, lấy N ≠ C trên Cy. Đặt AM = m ; BN = n.

Tính thể tích của khối chóp B.AMNC theo a, m, n?
• Trình bày lời giải
Theo giả thiết ta có: CN ⊥ (ABCD) ⇒ CN ⊥ CB , O là tâm đáy nên
OB ⊥ AC ⇒ OB ⊥ (ACMN) hay OB là đường cao
MA ⊥ AC
AC a 2
⇒ MA // NC nên tứ giác
Độ dài OB =
=
. Mặt khác 
2
2
 NC ⊥ AC
ACMN là hình thang ⇒ S
ACMN

MA + NC
2
× AC = a(m + n)
2
2

=

Thể tích khối chóp:

1
a2
V = OB.SACMN = (m + n) ( đvtt )
3

6
• Nghiên cứu lời giải
Nhận thấy do AM ⊥ AB , AM ⊥ AD , AB ⊥ AD nên ta đưa vào hệ trục
tọa độ Oxyz sao cho A(0;0;0), B(a;0;0), M(0;0;m), D(0;a;0) từ đó ta xác
định được tọa độ đỉnh C(a;a;0) sau đó áp dụng cơng thức tính thể tích của
r
1 uuur uuur uuuu
a
khối hộp: V =  AB, AC  AM = (m + n) (đvtt)
6
6
Bài 5:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh
SA ⊥ (ABC) , SA = 2a. Gọi M, N là hình chiếu vng góc của A lên các
cạnh SB, SC. Tính thể tích của khối chóp ABCMN?
2


www.vnmath.com
S

M

N

A

C

B

• Trình bày lời giải
Xét ∆ SAB và ∆ SAC có AB = AC, SA chung, A = 900
⇒ ∆ SAB = ∆ SAC ⇒ SB =SC ⇒ mặt bên SBC là tam giác

cân.
Áp dụng định lý đường cao trong các tam giác SAB và SAC ta có:
AB.AS
AC.AS
2a
2a
AM =
AN =
=
=
2
2
2
2
5
5
AB + AS
AC + AS
Áp dung định lý Pytago:
4a
2
2
SM = SA − AM =
5
4a

SN = SA 2 − AN 2 =
5
VS.AMN
SM SN
4
16
Ta có các tỷ số:
=
= ⇒
=
VS.ABC
SB
SC
5
25
3
16
⇒ VS.AMN =
VS.ABC = 8a 3
25
75
Thể tích :
3
3
3
VABCNM = VS.ABC - VS.AMN = a 3 - 8a 3 = 3a 3 (đvtt)
6
75
50
• Nghiên cứu lời giải

Ta có thể giải bài tốn trên bằng phương pháp tọa độ bằng việc đưa vào
hệ trục tọa độ Oxyz trong đó A(0;0;0), B(a;0;0), S(0;0;2a). Ta xác định
được tọa độ của C, M, N, sau đó sử dụng cơng thức sau:


www.vnmath.com
r uuur uuu
r
1 uuuu
·
 AM,AN  AS 600 = BAC


6
u
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
1
3a 3 3
=  AM,AN  AS ⇒ VABCNM = VS.ABC - VS.AMN =

(đvtt)
6
50
VS.AMN =

VS.AMN

Bài 6:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF có BE = a, góc giữa đường thẳng
BE với mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tam giác ABC vuông tại C, góc
·
, hình chiếu vng góc của E lên (ABc) trùng với trọng tâm của
600 = BAC
tam giác ABC. Tính thể tích của tứ diện D.ABC?

E

D
F

G
B

M

A

C

• Trình bày lời giải

Ta có: EG ⊥ (ABC) nên EG là đường cao của chóp
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng EGB ta có:
EG = EBsinB = asin 600 =
Áp dụng pytago:

a 3
2

2
a
3
3a
mà BG = BM ⇒ BM = BG =
3
2
2
4
Áp dung Pytago trong tam giác BMC:
BG = BE 2 − EG 2 =


www.vnmath.com
3a
3a
sin150 , AC = 2MC =
sin150 ,
4
2
3a

BC = ACtan 600 =
sin150 3
2
Thể tích của khối chóp:
1
3 3
V = EG.S∆ABC = a . sin 2 150 (đvtt)
3
4
MC = MBsin150 =

Bài 7:
Cho tứ diện ABCD gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
CD, α là góc giữa hai đường thẳng đó. Tính thể tích của tứ diện ABCD?
A

E

C

B
D

• Trình bày lời giải

Dụng hình bình hành ABDE, do AE // (BCD) nên
1
VABCD = VE.BCD = VB.ECD = S∆ECD .d(B,CDE)
3
1 1

1
·
= AB.CD.d.sin (vtt)
= ì CE.CD.sinECD
3 2
6
ã Nghiờn cu li gii
Ta xét một cách giải khác như sau:


www.vnmath.com

F
A
B
E

C
M

N
D

Dựng hình hộp chữ nhật AEBF.MDNC ngoại tiếp tứ diện ABCD ,
AB ∈ (ABEF) , CD ∈ (CDMN)
Vì (ABEF) // (CDMN) nên chiều cao của hộp bằng d
Thể tích cần tính:
1
1
1 1

1
VABCD = Vhơp = SMDNCd = × MN.CD.d.sin α = AB.CD.d.sin α
3
3
3 2
6
Bài 8:
Trong khơng gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đỉnh A trùng
với gốc tọa độ, điểm B(a;0;0), D(0;a;0), E(0;0;b), M là trung điểm của
CG.tính thể tích của khối tứ diện BDEM theo a và b?


www.vnmath.com
E(0,0,b)
H
F

G

M
A(0,0,0)

D (0,a,0)
B (a,0,0)
C

• Trình bày lời giải

xC + xG


x
=
=a
M

2

y + yG

=a
M là trung điểm của CG nên:  y M = C
2

zC + zG b

=
 z M =
2
2
uuur
uuu
r
b uuur
Tọa độ các vectơ: BM (0;a; ), BD (-a;a;0), BE (-a;0;b)
2
Xét tích hữu hướng:
uuur uuur  a b b 0 0 a   −ab −ab 2 
÷=
 MB,BD  = 
,

,
,a ÷
2,2


 
÷
−
a
a
2
2


 a 0 0 −a
÷


Tích vơ hướng:
2
uuur uuur uuu
r
 MB,BD  BE = 3a b


2
u
u
u
r

u
u
u
r
u
u
u
r
1
1 3a 2 b a 2 b


Thể tích: V =  MB,BD  BE =
=
(đvtt)
6
6 2
4
• Nghiên cứu lời giải
Kẻ CO ⊥ BD , kéo dài EM cắt SO tại N, mặt phẳng (BDM) chia khối chóp
1
thành hai khối chóp E.BDM và N.BDM nên VE.BDM = VE.BDN
2


www.vnmath.com
Vì M là trung điểm của SG nên: CN = CA
Diện tích tam giác BDN:
1
1

3 2a 3a 2
S = BD.NO = a 2.
=
2
2
2
2
E

F

H

G

M

A

B

O
D
C

N

Thể tích: VE.BDM

1

1 1 3a 2
a 2b
= VE.BDN = ×
2b =
(đvtt)
2
2 6 2
4

Bài 9:
Tính thể tích của khối tứ diện ABCD có các cạnh đối bằng nhau AB =
CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c?
• Trình bày lời giải
Dựng tứ diện APQR, đây là tứ diện vuông tại đỉnh A, thật vậy:
PQ
⇒ BC là đường trung bình của tam giác PQR
AD = BC =
2
⇒ BC = QD = DP ⇒ AD = QD = PD ⇒ AQ ⊥ AP
Hoàn toàn tương tự ta có: AQ ⊥ AR , AR ⊥ AP
Ta có: VAPQR = VADBQ + VABCD + VACDP + VACBR


www.vnmath.com
1
1 1
1
VABCD = VAPQR = × AP.S∆AQR =
AP.AQ.AR
4

4 3
24
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác APQ, AQR, APR
AP 2 + AQ 2 = QP 2 = 4BC 2 = 4a 2
AQ 2 + AR 2 = QR 2 = 4CD 2 = 4c 2
⇒

⇒ AP =

2(a 2 + b 2 − c2 ) , AQ =

Thể tích:

2(b 2 + c 2 − a 2 ) , AR =

2(a 2 + c 2 − b 2 )

( )

3
1
2
(b 2 + c 2 − a 2 )(a 2 + c 2 − b 2 )(a 2 + b 2 − c 2 )
24
2
=
(b 2 + c 2 − a 2 )(a 2 + c 2 − b 2 )(a 2 + b 2 − c 2 ) (đvtt)
2
Bài tập đề nghị
Bài 1 ( khối A - 2007)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, mặt bên SAD là
tam giác đều, (SAD) ⊥ (ABCD) , gọi M, N, P là trung điểm của SB,BC,CD.
Tính thể tích của khối chóp CMNP theo a?
Bài 2 ( Khối A - 2009)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng tại A và D, AD =
AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600 , gọi I là trung
điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SDI) cùng vng góc với mặt phẳng
(ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a?
Bài 3 (Khối B - 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a 2 , SA
= a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N là trung điểm của
AD, SC, I là giao điểm của AC và BM. Tính thể tích của tứ diện ANIB?

V=

Bài 4 (Khối A - 2008)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.DEF có độ dài cạnh bên bằng 2a. Đáy
ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a 3 . Hình chiếu vuong góc
của D lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm G của cạnh BC. Tính thể tích của
khối chóp G.ABC?
2. Thể tích của khối lăng trụ
Trong mục này ta sử dụng định lý sau: Thể tích của hình lăng trụ bằng
một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao
V = B.h trong đó : B là diện tích đáy
h là chiều cao


www.vnmath.com
Bài 1
Cho hình tứ giác đều ABCD.EFGH có khoảng cách giữa hai đường

thẳng AD và ED bằng 2. Độ dài đường chéo mặt bên bằng 5. Tính thể tích
khối lăng trụ ?
F
E
G
H

K
B
A

C
D

• Trình bày lời giải

Gọi K là hình chiếu vng góc của A lên ED ⇒ AK ⊥ ED , AB //
EF ∈ (EFD) do đó AB // (EFD) nên ⇒ d(A,EFD) = d(AB,ED)
Mà EF ⊥ (EFDA) nên EF ⊥ AK ⇒ AB ⊥ AK ⇒ AK = d(A,EFD) =
d(AB,ED) = 2
Đặt EK = x ( 0 ≤ x ≤ 5 ). Trong tam giác vng AED ta có: AK2 = KE.KD
 x =1
⇒ 4 = x(5-x) ⇔ x2 - 5x + 4 = 0 ⇒ 
x = 4
Với x = 4 ta có AE = AK 2 + KE 2 = 5 ⇒ V = AE. SABCD = 5 ( đvtt)
Với x = 4 ta có AE = 2 5 ⇒ V = 10 5 ( đvtt)
Bài 2
Đáy của khói lăng trụ đứng ABC.DEF là tam giác đều. Mặt phẳng đáy
tạo với mặt phẳng (DBC) một góc 300 . Tam giác DBC có diện tích bằng 8.
Tính thể tích khối lăng trụ đó?

www.vnmath.com

D

F
E

A

C
K
B

• Trình bày lời giải

·
Đặt CK = x, DK vuong góc với BC nên DKA
= 300
AK
⇒ AK = x 3 , DK = 2x
Xét tam giác ADK có: cos 300 =
DK
Diện tích tam giác BCD: S = CK.Dk = x.2x = 8, do đó x = 2
⇒ AD = AK.tan 300 = x 3 × 3 = 2
3
Thể tích khối lăng trụ:
8
1

V = AD.CK.AK =
(đvtt)
3
3
Bài 3
·
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy là hình bình hành và BAD
=
0
0
0
45 , các đường chéo EC và DF tạo với đáy các góc 45 và 60 . Chiều cao
của lăng trụ bằng 2. Tính thể tích của lăng trụ đó?
• Trình bày lời giải
2
·
·
Từ giả thiết: GAC
= 450 , BDF
= 600 , AC = AG = 2, BD = 2.cot 600 =
3
Áp dụng định lý cosin trong tam giác:
BD 2 = AB2 + AD 2 − 2.AB.AD. cos 450
AC2 = AD 2 + CD 2 − 2.AD.CD.cos1350
⇒ BD 2 − AC2 = −2.AD.AB.cos450 + 2.CD.AD.cos1350


www.vnmath.com
= -2 2 AB.AD
4

4
- 4 = -2 2 AB.AD ⇒ AB.AD =
3
3 2
- Thể tích cần tìm:
V = AB.AD.EA.sin 450
4
× 2 × 2 (đvtt)
=
3 2
2
Bài 4
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EGH có đáy ABC là tam giác vng
cân, cạnh huyền bằng 2 . Biết mặt phẳng (AED) vng góc với mặt phẳng
·
(ABC), AE = 3 . Góc AEB
là góc nhọn, góc giũa mặt phẳng (AEC) với
(ABC) bằng 600 . Tính thể tích của lăng trụ?

G

E
H

K
B

A
M
C

• Trình bày lời giải


www.vnmath.com
·
Hạ EK ⊥ AB(K ∈ AB) ⇒ EK ⊥ (ABC) . Vì AEB
là góc nhọn nên K thuộc
đoạn AB
Kẻ KM ⊥ AC ⇒ EM ⊥ AC ( theo định lý ba đường vng góc )
·
= 600 . Giả sử EK = x , EK = EA 2 + EK 2 = 3 − x 2
EMK
2
·
MK = AK.sin KAM
=
× 3 − x2
2
x
x
3
2
⇒x =
Mà MK = EKcot 600 =
, do đó:
× 3 − x2 =
3
3
5

2
1
3 5
Vậy V = EK. S∆ABC = AC.CB.EK =
( đvtt)
2
10
Bài tập đề nghị
Bài 1
Cho lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH có đáy là hình thoi có độ dài cạnh
·
bằng a. Góc BAD
= 600 , AF ⊥ BH . Tính thể tích của khối lăng trụ đó?
Bài 2
Cho lăng trụ ABC.DEF có đáy là tam giác vng cân tại A, BC = 2a. M
·
là trung điểm của AD, góc BMC
= α . Tính thể tích của lăng trụ đó?
3. Thể tích của khối hộp chữ nhật
Trong mục này ta sẽ sử dụng định lý sau:
thể tích của khối hộp bằng tích độ dài ba kích thước
V = a.b.c = B.h trong đó: a, b, c là ba kích thước
B là diện tích đáy
h là chiều cao
Bài 1
·
Cho khối hộp ABCD.EFGH có tất cả các cạnh đều bằng a, BAD
=
·
= α ( 0 ≤ α ≤ 900 ). Tính thể tích khối hộp đó?

EAD


www.vnmath.com

F
G
E

H

D
M
A

C
K

B

• Trình bày lời giải

Hạ EM ⊥ AC(M ∈ AC)
(1)
tam giác EBD cân tại E ( do EB = ED ) BD ⊥ EO
Mà BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (BAO) ⇒ BD ⊥ EM
(2)
Từ (1) và (2) ta có: EM ⊥ (ABCD) hay EM là đường cao
·
Đặt EAO

= ϕ , hạ EK ⊥ AB ⇒ MK ⊥ AK (định lý ba đường vng góc)
α
AM AK
AK
cos cos ϕ =
×
=
= cos α
2
AE AM
AE
cosα
a
cos 2α
2 α
cos
− cos 2α
a
1
−
ϕ
ϕ
α ⇒ EM = a.sin =
cos =
=
α
α
2
cos
cos

cos 2
2
2
2

Thể tích cần tính: V = AB.AD.EM.sin α = a .sin α

a

2

= a 3 .sin

α
2

cos

α
2

cos 2

cos 2

α
− cos 2α
2

α

− cos 2α (đvtt)
2


www.vnmath.com
Bài 2:
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đáy là hình chữ nhật có
AB = 3 , AD = 7 , hai mặt bên (ABDE) và (ADEH) lần lượt tạo với đáy
các góc 450 và 600 , độ dài tất cả các cạnh bên đều bằng 1. Tính thể tích của
khối hộp đó?

F
G

E
H

B

N
K
A

C
M
D

• Trình bày lời giải

Kẻ EK ⊥ (ABCD),(K ∈ ABCD) , KM ⊥ AD(M ∈ AD) , KN ⊥ AB(N ∈ AB)

Theo định lý ba đường vng góc ta có: AD ⊥ EM,AB ⊥ NK
2x
x
·
·
Ta có: EMK
= 600 , ENK
= 450 ,đặt EK = x khi đó: EM =
0 =
sin 60
3
3 − 4.x 2
= KN mà KN = x.cot 450
3
3
3 − 4.x 2
Nên x =
do đó x =
7
3
Thể tích khối hộp chữ nhật:
3
V = AB.AD.x = 7 . 3 .
= 3 (đvtt)
7
Bài 3
AM =

EA − EM =
2

2


www.vnmath.com
Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo bằng d, đường chéo tạo với
đáy góc α , tạo với mặt bên lớn góc β ,tính thể tích của khối hộp đó?
H
E
G
F

D
A
C
B

• Trình bày lời giải

Đường chéo AG có hình chiếu lên (ABCD) là AC,lên mặt phẳng (BCGF0 là
·
·
BG nên: GAC
=β
= α , AGB
Áp dụng định lý Pytago trong các tam giác: ACG, GBA, ABC có
CG = d.sin α , AC = d.cos α ,AB = d.sin β ,
BC = AC2 − AB2 = d. cos 2α − sin 2 β
V = AB.BC.CG = d3.sin α .sin β . cos 2α − sin 2 β
1 + cos2α 1 − cos2β 1

−
= ( cos2α + cos2β ) = cos( α + β ).cos( α - β )
Mà:
2
2
2
3
Vậy V = d .sin α .sin β . cos(α + β).cos(α − β) (đvtt)
Bài tập đề nghị
Bài 1
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a, AD = b, góc
·
BAD
= α , đường chéo AD tạ với đáy góc β . Tính thể tích khối hộp chữ
nhật đó?
Bài 2
ta có


www.vnmath.com
Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC, qua mỗi cạnh của tứ
diện kẻ mặt phẳng song song với cạnh đối diện, các mặt phẳng nhận được
xác định một hình hộp:
1) Chứng minh hình hộp nói trên là hình hộp chữ nhật?
2) CMR Vhhcn = 3VABCD
3) Gọi IJ, EF, MN là các dường trung bình của tứ diện.
1
CMR: VABCD = IJ.MN.EF
3
Bài 3

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH, M là trung điểm của AD, mặt
phẳng (ABM) cắt đường chéo AG tại I, tính tỷ số thể tích của hai khối đa
diện được tạo bởi mặt phẳng (EBM) cắt hộp?
4. Bài tốn cực trị thể tích
Bài 1
Cho hình chóp S.ABC có SA = x, SB = y, các cạnh còn lại bằng 1,với giá
trị nào của x, y thì thể tích của khối chóp là lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó?
S

M

A
B
N
C

• Trình bày lời giải

Gọi M, N là trung điểm của SA, BC, ta có: VS.ABC = 2. VS.MBC , các tam giác
ABS, ACS có: BA = BS, CA = CS ⇒ ∆ ABS = ∆ ACS và là các tam giác
cân
Ta có: BM ⊥ SA,CM ⊥ SA ⇒ SA ⊥ (MBC) ⇒ SM ⊥ (MBC) ,


www.vnmath.com
SM là đường cao, SM =
Tính diện tích đáy:

x
2

x2
BC2
x 2 + y2
2
MB = MC = 1 −
, MN = BM −
= 1−
4
4
4
2
2
1
S∆MBC = MN.BC = y 1 − x + y
2
2
4
1 x y
xy
x 2 + y2
xy
x 2 + y2
V
Thể tích: VS.MBC = × ×
=
,
=
1−
1−

S.ABC
3 2 2
12
4
6
4
2
2
x +y
xy
Ta có: ( x-y)2 ≥ 0 ⇔ x2 + y2 ≥ 2xy ⇔
≥
4
2
2
2
xy
1
xy
2 − xy
VS.ABC = xy 1 − x + y ≤
≤
1−
(xy) 2
6
6
2
2
6
4

1
xy xy
≤
2
(2 − xy)
6
2 2
xy xy
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số
,
, (2-xy) ta có:
2 2
3
xy xy


16
xy xy
+
+ (2 − xy) ÷
(2-xy) ≤  2
=
2

27
2 2
3
3

V≤

1
6

 x 2 + y 2 = 2xy
2

16
2 3
⇒ x=y=
=
, dấu bằng xảy ra khi  xy
3
= 2 − xy
27
27

2

Bài 2
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt
phẳng (SBC) bằng 2a, gọi là góc giữa mặt bên với mặt đáy, với giá trị nào
của α thì thể tích của khói chóp là lớn nhất?


www.vnmath.com
S

D

H

C

N
I
A

• Trình bày lời giải

M
B

·
M, N là trung diểm của BC và AD nên SMN
= α , vì AD // BC suy ra AD //
(SBC) ⇒ d(A,SBC) = d(N,SBC) (1)
Mặt khác: MN ⊥ BC,SM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SMN) ⇒ (SBC) ⊥ (SMN)
Do SM = (SBC) ∩ (SMN) , kẻ NH ⊥ SM ⇒ NH ⊥ (SBC) ,
d(N,SBC) = NH (2)
từ (1) và (2) ta có NH = 2a
NH
2a
Hệ thức lượng trong tam giác vng MNH ta có: MN =
=
sin α sin α
2
4a
Diện tích đáy : SABCD = AB2 = MN 2 =
sin α

Gọi I là tâm đáy thì ta có
a
a
tan α =
SI = MI.tan α =
sin α
cosα
Thể tích:
1
4a 3
thể tích V = SI. SABCD =
3
3sin 2 α.cosα
Vmin ⇔ sin 2 α.cosα đạt GTLN ⇔ cos α (1 - cos 2α ) đạt
GTLN
Đặt x = cos α , xét hàm số y = x - x3 trên (0,1), xét dấu hàm y ta được


www.vnmath.com
y max = y( 3 ) = 2 3 khi và chỉ khi x = 3 ⇔ cos α = 3
3
9
3
3
Vậy Vmin = 2a 3 3 ( đvtt )
Bài 3
Cho tam giác đều OAB có AB = a, trên đường thẳng đi qua O và vng
góc với mặt phẳng(OAB) lấy điểm M, đặt OM = x,Gọi E, F lần lượt là các
hình chiếu vng góc của A lên MB và OB.Đường thẳng EF cắt d tại N. Xác
định x để thể tích khối chóp ABMN là nhỏ nhất?

M

E

B
A

F
O

N

• Trình bày lời giải

Gọi V là thể tích khối tứ diện ABMN ta có
1
1
1
V = VM.OAB + VN.OAB = OM.S∆OAB + ON.S∆OAB = (OM + ON).S∆OAB
3
3
3
Do đó thể tích V nhỏ nhất ⇔ ( OM + ON ) đạt GTNN
Hai tam giác ∆ OMB : ∆ OFN suy ra: OM.ON = OF.OB = hằng số vì O,
F, B cố định, ta có: OM + ON ≤ 2 OM.ON dấu “ = ” xảy ra ⇔ OM = ON
nên ( OM + ON ) đạt GTNN ⇔ OM = ON = x
a
a2 ⇒
a 2
2

⇔
Vì OM.ON = OF.OB
( OF = , OB = a )
x =
x=
2
2
2