Lý thuyết luyện thi đại học môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.17 MB, 56 trang )
Trường………………………………
Khoa…………………………
Lý thuyết luyện thi
đại học môn toán
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 1
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vấn đề 1: ÔN TẬP – CÔNG THỨC
I. Tam thức bậc hai:
x
,
2
ax bx c 0
a b 0
c0
a0
0
x
,
2
ax bx c 0
a b 0
c0
a0
0
2
+ bx + c = 0
Gi s g trình có 2 nghim
12
x ;x
thì:
12
b
S x x ;
a
12
c
P x .x
a
Pt có 2 nghim phân bit
a0
0
Pt có nghim kép
a0
0
Pt vô nghim
a0
a0
b0
0
c0
Pt có 2 nghim trái du
P0
Pt có 2 nghim cùng du
0
P0
Pt có 2 nghim phân bi
0
P0
S0
Pt có 2 nghim phân bit cùng âm
0
P0
S0
II. Đa thức bậc ba:
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
Gi s m
1 2 3
x ;x ;x
thì:
1 2 3
b
S x x x ;
a
1 2 2 3 3 1
c
x .x x .x x .x ;
a
1 2 3
d
P x .x .x
a
III. Đạo hàm:
BẢNG ĐẠO HÀM
(kx)' k
(ku)' k.u'
1
(x )' .x
1
(u )' .u'.u .
1
( x)'
2x
u'
( u)'
2u
'
2
11
xx
'
2
1 u'
uu
(sinx)' cosx
(sinu)' u'.cosu
(cosx)' sin x
(cosu)' u'.sinu
2
1
(tan x)'
cos x
2
u'
(tanu)'
cos u
2
1
(cot x)'
sin x
2
u'
(cotu)'
sin u
xx
(e )' e
uu
(e )' u'.e
1
(ln x)'
x
u'
(lnu)'
u
a
1
log x '
xlna
a
u'
log u '
ulna
xx
(a )' a .lna
uu
(a )' u'.a .lna
Quy tắc tính đạo hàm
(u v) = u v (uv) = uv + vu
2
u u v v u
vv
(v 0)
x u x
y y .u
Đạo hàm của một số hàm thông dụng
1.
2
ax b ad bc
y y'
cx d
cx d
2.
22
2
ax bx c adx 2aex be cd
y y'
dx e
dx e
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 2
Vấn đề 2: CÁC BƢỚC KHẢO SÁT
HÀM SỐ.
1. Các bƣớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số
Tìm tnh ca hàm s.
Xét s bin thiên ca hàm s:
o Tính y.
o m to hàm y bng 0
hoc không xnh.
o Tìm các gii hn ti vô cc, gii hn
vô cc và tìm tim cn (nu có).
o Lp bng bin thiên ghi rõ du co
hàm, chiu bin thiên, cc tr ca hàm s.
V th ca hàm s:
o m un c th i vi hàm
s bc ba và hàm s ).
Tính y.
m t = 0 và xét du y.
o V ng tim cn (nu có) c
th.
o nh mt s c bit c
th m c th vi các trc to
ng h th không ct các trc to
hoc vic tìm to m phc tp thì có th
b qua). Có th tìm thêm mt s m thu
th có th v
o Nhn xét v th: Ch ra tr i
xi xng (nu có) c th.
2. Hàm số bậc ba
32
y ax bx cx d (a 0)
:
Tnh D = R.
th luôn có mm un và nhm un
i xng.
Các d th:
m phân bit
2
3ac > 0
a > 0 a < 0
m kép
2
3ac = 0
a > 0 a < 0
m
2
3ac < 0
a > 0 a < 0
3. Hàm số trùng phƣơng
42
y ax bx c (a 0)
:
Tnh D = R.
th luôn nhn trc tung làm tri xng.
Các d th:
m phân bit ab < 0
a > 0 a < 0
1 nghim phân bit ab > 0
a > 0 a < 0
4. Hàm số nhất biến
ax b
y (c 0,ad bc 0)
cx d
:
Tnh D =
d
R\
c
.
y
x
0
I
y
x
0
I
y
x 0
I
y
x 0
I
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 3
th có mt tim cng là
d
x
c
và mt
tim cn ngang là
a
y
c
m ca hai tim
ci xng c th hàm s.
Các d th:
ad – bc > 0 ad – bc < 0
5. Hàm số hữu tỷ
2
ax bx c
y
a'x b'
(
a.a' 0,
t không chia ht cho mu)
Tnh D =
b'
R\
a'
.
th có mt tim cng là
b'
x
a'
và mt
tim cm ca hai tim cn là tâm
i xng c th hàm s.
Các d th:
y = 0 có 2 nghim phân bit
a0
a0
y = 0 vô nghim
a0
a0
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vấn đề 1. SỰ TIẾP XÚC GIỮA HAI
ĐƢỜNG, TIẾP TUYẾN CỦA
ĐƢỜNG CONG
Ý nghĩa hình học của đạo hàm o hàm ca
hàm s y = f(x) tm x
0
là h s góc ca tip
tuyn v th (C) ca hàm s t m
0 0 0
M x ;f(x )
. p tuyn
ca (C) tm
0 0 0
M x ;f(x )
là:
y y
0
= f (x
0
).(x x
0
) (y
0
= f(x
0
))
Dạng 1: Lập phƣơng trình tiếp tuyến của
đƣờng cong (C): y = f(x)
Bài toán 1: Vip tuyn ca
(C): y =f(x) tm
0 0 0
M x ;y
Nu cho x
0
thì tìm y
0
= f(x
0
).
Nu cho y
0
thì tìm x
0
là nghim c
trình f(x) = y
0
.
Tính y = f (x). Suy ra y(x
0
) = f (x
0
).
p tuyn là:
y y
0
= f (x
0
).(x x
0
)
Bài toán 2: Vip tuyn ca
(C): y =f(x), bit có h s c.
Cách 1: Tìm to tim.
Gi M(x
0
; y
0
) là tim. Tính f (x
0
).
có h s góc k f (x
0
) = k (1)
Gic x
0
và tính y
0
= f(x
0
). T a .
Cách 2: u kin tip xúc.
ng thng có dng:
y = kx + m.
tip xúc vi (C) khi và ch khi h
trình sau có nghim:
f(x) kx m
f '(x) k
(*)
Gii h c m. T
trình ca .
0
x
y
0
x
y
Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 4
Chỳ ý: H s gúc k ca tip tuyn cú th
c cho giỏn ti
to vi chic honh gúc thỡ
k = tan
song song vng thng
d: y = ax + b thỡ k = a
vuụng gúc vng thng
d: y = ax + b (a 0) thỡ k =
1
a
to vng thng d: y = ax + b mt
gúc thỡ
ka
tan
1 ka
Bi toỏn 3: Vip tuyn ca
(C): y = f(x), bit i qua m
AA
A(x ;y )
.
Cỏch 1: Tỡm to tim.
Gi M(x
0
; y
0
) l tiú:
y
0
= f(x
0
), y
0
= f (x
0
).
p tuyn ti M:
y y
0
= f (x
0
).(x x
0
)
AA
A(x ;y )
nờn:
y
A
y
0
= f (x
0
).(x
A
x
0
) (1)
Gi1c x
0
. T
via .
Cỏch 2: Dựng u kin tip xỳc.
ng thng
AA
A(x ;y )
v cú h s gúc k: y y
A
= k(x x
A
)
tip xỳc vi (C) khi v ch khi h
trỡnh sau cú nghim:
AA
f(x) k(x x ) y
f '(x) k
(*)
Gii h c x (suy ra k). T t
p tuyn .
Dng 2: Tỡm iu kin hai ng tip xỳc
u kin c ng (C
1
): y = f(x)
v (C
2
): y = g(x) tip xỳc nhau l h
trỡnh sau cú nghim:
f(x) g(x)
f '(x) g'(x)
(*)
Nghim ca h (*) l ca ti m
c
Dng 3: Tỡm nhng im trờn ng thng d
m t ú cú th v c 1, 2, 3, tip
tuyn vi th (C): y = f(x)
Gi s d: ax + by +c = 0. M(x
M
; y
M
) d.
ng thng qua M cú h s
gúc k: y = k(x x
M
) + y
M
tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim:
MM
f(x) k(x x ) y (1)
f '(x) k (2)
Th k t c:
f(x) = (x x
M
).f (x) + y
M
(3)
S tip tuyn ca (C) v t M = S nghim
x ca (3)
Dng 4: Tỡm nhng im m t ú cú th v
c 2 tip tuyn vi th (C): y = f(x)
v 2 tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau
Gi M(x
M
; y
M
).
ng thng qua M cú h s
gúc k: y = k(x x
M
) + y
M
tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim:
MM
f(x) k(x x ) y (1)
f '(x) k (2)
Th k t (2) vc:
f(x) = (x x
M
).f (x) + y
M
(3)
Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) (3)
cú 2 nghim phõn bit x
1
, x
2
.
Hai tip tuyi nhau
f (x
1
).f (x
2
) = 1
T c M.
Chỳ ý: Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) sao
cho 2 tim nm v hai phớa vi trc honh
thỡ
12
(3)coự2 nghieọm phaõn bieọt
f(x ).f(x ) < 0
Vn 2. S TNG GIAO CA
CC TH
1. th (C
1
): y = f(x) v (C
2
): y = g(x).
m ca (C
1
) v (C
2
)
ta gii l
m).
S nghim cng s giao
Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 5
m c th.
2. th hm s bc ba
32
y ax bx cx d (a 0)
ct trc honh ti 3
m phõn bit
32
ax bx cx d 0
cú 3
nghim phõn bit.
Hm s
32
y ax bx cx d
cú ci, cc
tiu v
Cẹ CT
y .y 0
.
Vn 3. BIN LUN S NGHIM
CA PHNG TRèNH BNG
TH
c
f(x) = g(x) (1)
S nghim c giao
m ca (C
1
): y = f(x) v (C
2
): y = g(x)
Nghim c
m ca (C
1
): y = f(x) v (C
2
): y = g(x)
bin lun s nghim c
F(x, m) = 0 (*) b th ta bii (*) v mt
trong cỏc dng sau:
Dng 1: F(x, m) = 0 f(x) = m (1)
m cng: (C): y = f(x) v d: y
= m
ng thi Ox
D th (C) ta bin lun s m
ca (C) v d. T nghim ca (1)
Dng 2: F(x, m) = 0 f(x) = g(m) (2)
Thc hi, cú th t g(m) = k.
Bin lun lun theo m.
c bit: Bin lun s nghim ca phng
trỡnh bc ba bng th
c
c ba:
32
ax bx cx d 0
(a 0) (1) th (C)
S nghim ca (1) = S m ca (C)
vi trc honh
Bi toỏn 1: Bin lun s nghim ca phng
trỡnh bc 3
Trng hp 1: (1) ch cú 1 nghim (C) v
m chung
Cẹ CT
f khoõng coự cửùc trũ (h.1a)
f coự 2 cửùc trũ
(h.1b)
y .y >0
Trng hp 2m (C)
tip xỳc vi Ox
Cẹ CT
f coự 2 cửùc trũ
(h.2)
y .y =0
Trng hp 3: (1) cú 3 nghim phõn bit
(C) ct Ox tm phõn bit
Cẹ CT
f coự 2 cửùc trũ
(h.3)
y .y <0
Bi toỏn 2: Phng trỡnh bc ba cú 3 nghim
cựng du
Trng hp 1: (1) cú 3 nghi
bit (C) ct Ox tm phõn bit cú honh
Cẹ CT
Cẹ CT
f coự 2 cửùc trũ
y .y < 0
x > 0, x > 0
a.f(0) < 0 (hay ad < 0)
Trng hp 2: (1) cú 3 nghim cú õm phõn
y
c.
x
m
c.
A
c.
(C)
c.
(d) : y = m
c.
y
C
y
CT
x
A
c.
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 6
bit (C) ct Ox tm phân bit có hoành
âm
CÑ CT
CÑ CT
f coù 2 cöïc trò
y .y < 0
x < 0, x < 0
a.f(0) > 0 (hay ad > 0)
Vấn đề 4. HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Đồ thị hàm số
y = f x
(hàm số chẵn)
Gi
(C): y f(x)
và
1
(C ): y f x
ta thc hin
c sau:
Bƣớc 1. V th (C) và ch gi li ph
th nm phía bên phi trc tung.
Bƣớc 2. Li xng ph th c 1
qua tr th (C
1
).
2. Đồ thị hàm số
y = f(x)
Gi
(C): y f(x)
và
2
(C ): y f(x)
ta thc hin
c sau:
Bƣớc 1. V th (C).
Bƣớc 2. Gi li ph th ca (C) nm phía
trên trc hoành. Li xng ph th nm
i trc hoành ca (C) qua trc hoành ta
th (C
2
).
3. Đồ thị hàm số
y = f x
Gi
1
(C ): y f x
,
2
(C ): y f(x)
và
3
(C ): y f x
. D th v (C
3
) ta thc hin
c v (C
1
) ri (C
2
) (hoc (C
2
) ri (C
1
)).
Vấn đề 5. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tìm cặp điểm trên đồ thị
(C): y = f(x) đối xứng qua đƣờng thẳng
d: y = ax + b
Cơ sở của phƣơng phápi xng nhau
qua d d là trung trc cn AB
ng thng vuông góc
vi d: y = ax + b có dng: :
1
y x m
a
m ca và
(C): f(x) =
1
xm
a
(1)
u kin c ct (C) ti 2
m phân bi
A
, x
B
là các
nghim ca (1).
Tìm to m I ca AB.
T u kii xng qua d I
c m x
A
, x
B
y
A
, y
B
A, B.
Chú ý:
i xng nhau qua trc hoành
AB
AB
xx
yy
i xng nhau qua trc tung
AB
AB
xx
yy
i xng thng y = b
AB
AB
xx
y y 2b
i xng thng x = a
AB
AB
x x 2a
yy
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 7
Dạng 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị
(C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)
Cơ sở của phƣơng pháp: i xng nhau
qua I m ca AB.
ng thng d qua I(a; b), có
h s góc k có dng:
y k(x a) b
.
m ca (C)
và d: f(x) =
k(x a) b
(1)
u ki d ct (C) tm phân
bit
A
, x
B
là 2 nghim ca (1).
T u kii xng qua I I là
m cc k x
A
, x
B
.
Chú ý:
i xng qua gc to O
AB
AB
xx
yy
Dạng 3: Khoảng cách
Kiến thức cơ bản:
1. Khong cách gim A, B:
AB =
22
B A B A
(x x ) (y y )
2. Khong cách t m M(x
0
; y
0
ng
thng : ax + by + c = 0:
d(M, ) =
00
22
ax by c
ab
3. Din tích tam giác ABC:
S =
2
22
11
AB.AC.sinA AB .AC AB.AC
22
Nhận xét: Ngoài nh
tp phng kt hp vi phn hình hc
gii tíchnh lý Vi-et nên cn chú ý xem li các
tính cht hình hc, các công c gii toán trong
hình hc gii tích, áp dng thành thnh lý
Vi-et trong tam thc bc hai.
LƢỢNG GIÁC
Vấn đề 1: ÔN TẬP
I. Góc và cung lƣợng giác:
1. Giá trị lượng giác của một số góc:
Α 0
6
4
3
2
Sinα 0
1
2
2
2
3
2
1
Cosα 1
3
2
2
2
1
2
0
Tanα 0
3
3
1
3
Cotα
3
1
3
3
0
2. Cung liên kết: (cos đối, sin bù, phụ chéo)
x
x
2
x
+ x
2
+ x
Sin sinx sinx cosx sinx cosx
Cos cosx cosx sinx
cosx
sinx
Tan tanx tanx cotx tanx cotx
Cot cotx cotx tanx cotx tanx
II. Công thức lƣợng giác:
1. Công thức cơ bản:
22
sin a cos a 1
tana.cota 1
2
2
1
1 tan a
cos a
2
2
1
1 cot a
sin a
2. Công thức cộng:
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sins .cos cos .sin
sin( ) sins .cos cos .sin
tan tan
tan( )
1 tan .tan
tan tan
tan( )
1 tan .tan
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 8
3. Công thức nhân đôi, nhân ba:
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
(cos sin )(cos sin )
sin2 2sin .cos
3
cos3 4cos 3cos
3
sin3 3sin 4sin
4. Công thức hạ bậc:
22
1 cos2x
cos x 1 sin x
2
(1 cosx)(1 cosx)
22
1 cos2x
sin x 1 cos x
2
(1 cosx)(1 sin x)
5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
x y x y
cosx cos y 2cos cos
22
x y x y
cosx cosy 2sin sin
22
x y x y
sin x sin y 2sin cos
22
x y x y
sin x sin y 2cos sin
22
6. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
Một số chú ý cần thiết:
4 4 2 2
sin x cos x 1 2.sin x.cos x
6 6 2 2
sin x cos x 1 3.sin x.cos x
8 8 4 4 2 4 4
2 2 2 4 4
42
sin x cos x (sin x cos x) 2sin x.cos x
(1 2sin x.cos x) 2sin x.cosx
1
sin 2x sin 2x 1
8
Trong một số phương trình lượng giác, đôi
khi ta phải sử dụng cách đặt như sau:
Đặt
t tanx
:
2
22
2t 1 t
sin2x ; cos2x
1 t 1 t
Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG
GIÁC
I. Phƣơng trình cơ bản:
x k2
sin x sin k
x k2
x k2
cosx cos k
x k2
tanx tan x k k
cot x cot x k k
Trường hợp đặc biệt:
sinx 0 x k ,k
sinx 1 x k2 k
2
sinx 1 x k2 k
2
cosx 0 x k k
2
cosx 1 x k2 k
II. Phƣơng trình bậc hai hay bậc n của một
hàm lƣợng giác:
2
asin x bsinx c 0
(1)
2
acos x bcosx c 0
(2)
2
a tan x btanx c 0
(3)
2
acot x acot x c 0
(4)
Cách giải:
-
III. Phƣơng trình
a.sinx b.cosx c
Cách giải:
-
2 2 2
a b c
:
-
2 2 2
a b c
:
22
ab
2 2 2 2 2 2
a b c
sinx cosx
a b a b a b
22
c
cos .sin x sin .cosx
ab
22
c
sin(x )
ab
Lƣu ý:
2 2 2 2
ba
sin ;cos
a b a b
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 9
Biến thể:
a.sinx b.cosx csin y dcosy
2 2 2 2
a b c d
a.sinx b.cosx csin y
c.cosy
)
2 2 2
a b c
IV. Phƣơng trình
22
a.sin x b.sinx.cosx c.cos x d
Cách giải:
Cách 1:
- Xét
cosx 0 x k2 ,k
2
cosx 0
hay không?)
- Xét
cosx 0 x k2 ,k
2
2
cos x
. P
trình
22
a.tan x b.tanx c d(1 tan x)
t tan x
p.
Cách 2:
Chú ý: phƣơng trình thuần
nhất bậc 3 hay bậc 4 đối với sin và cos
V. Phƣơng trình
a(sinx cosx) b.sinx.cosx c 0
Cách giải:
t sinx cosx
t 2 Do t 2sin x
4
Ta có:
2 2 2
t sin x cos x 2sinx.cosx
2
t1
sin x.cosx
2
2
t1
a.t b c 0
2
Chú ý:
a(sinx cosx) b.sinx.cosx c 0
t sin x cosx 2 sin x
4
.
VI. Phƣơng trình
A.B 0
Cách giải:
-
A.B 0
A0
A.B 0
B0
Vấn đề 3: KĨ THUẬT NHẬN BIẾT
Xut hin
3
Xut hin
3
và góc ng giác ln
dng bin th c
Xut hin góc ln thì dùng công thc tng
các góc nh.
Xut hin các góc có cng thêm
k ,k ,k
42
thì có th dùng công thc tng thành
tích, tích thành tng hoc cung liên kt, hoc
công thc c làm mt các
k ,k ,k
42
Xut hin
2
ho còn li nhóm
c
(sinx cosx)
trit
2
vì
t sin x cos x 2 sin x
4
c n
kh kh
c hai theo sin (hoc
cos) v tích c nht.
Chú ý: Góc ln là góc có s
Ta ch s dng công th bài
toán v sinx,
2
sin x
hoc cosx,
2
cos x
.
Vấn đề 4: GIẢI TAM GIÁC
I. Công thức sin, cos trong tam giác:
Do
A B C
nên:
a.
sin(A B) sinC
b.
cos(A B) cosC
Do
A B C
2 2 2 2
nên:
a.
A B C
sin( ) cos
2 2 2
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 10
b.
A B C
cos( ) sin
2 2 2
II. Định lí hàm số sin:
a b c
2R
SinA SinB SinC
III. Định lí hàm số cosin:
2 2 2
a b c 2bccosA
IV. Công thức đƣờng trung tuyến:
2 2 2
2
a
2b 2c a
m
4
V. Công thức đƣờng phân giác:
a
A
2bc.cos
2
l
bc
VI. Các công thức tính diện tích tam giác:
a
1 1 abc
S ah bcsin A pr
2 2 4R
p(p a)(p b)(p c)
ĐẠI SỐ
Vấn đề 1: PHƢƠNG TRÌNH BẬC
HAI
I. Phƣơng trình bậc hai
c hai
2
ax bx c 0
(a 0)
có
2
b 4ac
.
0
vô nghim.
0
: có nghim kép
b
x
2a
.
0
: (3) có hai nghim phân bit
2
1,2
b b b 4ac
x
2a 2a
II. Định lý Vi–et (thuận và đảo)
2
ax bx c 0
có hai
nghim
12
x , x
thì
12
12
b
S x x
a
c
P x .x
a
Nu bit
S x y
P x.y
thì
x, y
là nghim ca
ình
2
X SX P 0
.
III. Bảng xét dấu của tam thức bậc hai
f(x) = ax
2
+ bx + c
(a 0)
0:
x
y Cùng du a
0:
x
0
x
y Cùng du a 0 Cùng du a
0:
x
1
x
2
x
y Cùng 0 trái 0 Cùng
IV. Cách xét dấu một đa thức:
Tìm nghim cc gm c nghim
t và nghim mu (nc là phân thc)
Lp bng xét du
Xét du theo quy tng cùng, l
i, ch
Chú ý: Không nhn nhm mà hàm s
nh.
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 11
Vấn đề 2: PHƢƠNG TRÌNH BẬC
CAO
I. Phƣơng trình bậc 3:
32
ax bx cx d 0(a 0)
c 1: nhm 1 nghim
x
c 2: chia
32
ax bx cx d
cho
(
x
) (dùn
trình tích
2
(x )(ax Bx C) 0
.
Chú ýng hp nghic ln
gi.
Cách nhẩm nghiệm hữu tỉ: Nghim là
mt trong các t s c ca d vc ca a)
II. Phƣơng trình bậc 4 đặc biệt:
1. Phƣơng trình trùng phƣơng:
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (
a0
)
t t = x
2
,
t0
. (5)
at
2
+ bt + c = 0.
2. Phƣơng trình đối xứng:
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
bx + a = 0 (
a0
)
c 1: Chia 2 v cho x
2
,
2
2
11
pt a x b x c 0
xx
.
c 2t
1
tx
x
bc hai theo t.
3. Phƣơng trình trùng phƣơng tịnh tiến:
(x + a)
4
+ (x + b)
4
= c
t
ab
tx
2
4. Phƣơng trình cân bằng hệ số theo phép
cộng:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e vi a + c = b + d
trình bc 2 theo t
5. Phƣơng trình cân bằng hệ số theo phép
nhân:
2
x a x b x c x d mx
với ab=cd=p
t
ad
tx
2
hoc
t (x a)(x d)
6. Phƣơng pháp hệ số bất định:
Gi s c 4:
x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
và có phân tích thành
(x
2
+ a
1
x + b
1
) ( x
2
+ a
2
x + b
2
) = 0
L
12
1 2 1 2
1 2 2 1
12
a a a
a a b b b
a b a b c
b b d
Tip theo tin hành nhm tìm các h s a
1
; b
1
;
a
2
; b
2
. Bu t b
1
b
2
= d và ch th vi các giá
tr nguyên.
Chú ý s bnh này còn
áp dng rt nhiu các di nhóm
t tha s chung hay phân chia phân s.
III. Phƣơng pháp tham số, hằng số biến thiên:
: Coi các giá tr tham s, hng s là
bin. Còn bic coi làm hng s.
IV. Phƣơng trình
22
a f(x) b.f(x).g(x) c g(x) 0
c f(x) và g(x)
2.
Xét g(x) = 0 th
Xét g(x)
0 chia hai v cho
2
g(x)
t
f(x)
t
g(x)
.
Vấn đề 3: PHƢƠNG TRÌNH – BẤT
PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ.
I. Các công thức:
1. Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
2
A, A 0
AA
A, A 0
2
2
22
B 3B
A AB B A
24
3 3 3
(A B) A B 3AB A B
2
2
b
ax bx c a x
2a 4a
2. Phƣơng trình – bất phƣơng trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối:
22
A B A B A B
B0
AB
AB
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 12
A B B A B
B0
AB
B A B
AB
B0
B0
A B A B
3. Phƣơng trình – bất phƣơng trình vô tỷ:
A 0 B 0
AB
AB
2
A B B 0 A B
A B 0 A B 0
B0
AB
AB
2
A 0 B 0
AB
AB
2
B0
B0
AB
A0
AB
33
A B A B
2n 1
2n 1
A B A B
2n 2n
A 0 B 0
AB
AB
2n
2n
B0
AB
AB
II. Các dạng toán thƣờng gặp:
1. Phƣơng trình vô tỷ:
a. Dạng cơ bản:
f x g x f x g(x) 0
f x g x
2
g x 0
f x g x
f x g x h x
. u kin
Chú ý: có th không u kin,
c m
m qu c
i tìm nghim ta phi th li.
f x g x h x k x
Vi
f x h x g x k x
Ta bi dng
f x h x k x g x
Bình , gi qu.
33
3
A B C
33
3
A B 3 A.B A B C
S dng phép th :
33
A B C
T
3
A B 3 A.B.C C
Th li nghim.
b. Đặt ẩn phụ:
Dạng 1: Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình 1 ẩn
mới:
22
ax bx c px qx r
ab
pq
Cách giit
2
t px qx r
u kin
t0
Dạng 2: Phƣơng trình dạng:
22
P x Q x P x Q x
2 P x .Q x 0 0
Cách gii: t
t P x Q x
2
t P x Q x 2 P x .Q x
Dạng 3: Phƣơng trình dạng:
P(x) Q(x) P(x).Q(x) 0
0
Cách gii:
* Nu
P x 0
P x 0
pt
Q x 0
* Nu
P x 0
chia hai v cho
Px
t
Qx
t
Px
vi
t0
Dạng 4: Phƣơng trình đối xứng với hai căn
thức:
a cx b cx d a cx b cx n
Cách gii: t
t a cx b cx
a b t 2 a b
Dạng 5: Phƣơng trình dạng:
22
x a b 2a x b x a b 2a x b
cx m
Cách giit
t x b
u kin:
t0
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 13
v dng:
2
t a t a c(t b) m
Dạng 6: Phƣơng pháp tham số, hằng số biến
thiên.
22
6x 10x 5 4x 1 6x 6x 5 0
c. Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng, hệ
nửa đối xứng:
Dạng 1: Phƣơng trình dạng
n
n
x a b bx a
Cách gii: t
n
y bx a
:
n
n
x by a 0
y bx a 0
Dạng 2: Phƣơng trình dạng:
2
ax b r ux v dx e
a,u,r 0
và
u ar d,v br e
Cách gii: t
uy v ax b
:
2
2
uy v r ux v dx e
ax b uy v
Dạng 3: Phƣơng trình dạng:
nm
a f x b f x c
Cách gii: t
nm
u a f x ,v b f x
K:
nm
u v c
u v a b
d. Nhân lượng liên hiệp:
Dạng 1nh có dng:
f x a f x b
Cách gii: ng liên hp ca v
ta có h:
f x a f x b
a
f x a f x
b
Dạng 2ng:
f x g x a f x g x
Chú ý: Bài toán nhân liên hing dùng nu
ta nhc nghim ca bài toán và nghi
là nghim duy nht.
Ta nên bi ng liên hip
tng vic chng minh nghim duy nhc
d dàng.
e. Phương pháp hàm số:
Dạng 1: Chứng minh nghiệm duy nhất
ch
có nghim duy nht, ta thc hic sau:
Chc nghim x
0
c
Xét các hàm s y = f(x) (C
1
) và y = g(x)
(C
2
). Ta cn chng minh mt hàm s ng bin
và mt hàm s nghch bi
1
) và (C
2
)
giao nhau ti mm duy nh x
0
.
ó chính là nghim duy nht cng trình.
Chú ý: Nu mt trong hai hàm s là hàm
hng y = C thì kt lun trên v
Dạng 2: Biện luận tham số m
t n ph
Chuyn m theo n ph m
Dùng công c nh m tha bài
toán.
f. Phương pháp đánh giá:
yu da vào các bt
ng th dánh giá so sánh v trái và
v phi. Nghii quyt
du bng xy ra khi nào cng thc trái và
phi.
2. Bất phƣơng trình vô tỷ:
pháp gii b
c chia thành các dng gi gii
trình.
Chú ý:
u ki
Mt s công thc b sung:
a.
f(x) 0
f(x)
0
g(x) 0
g(x)
hoặc
f(x) 0
g(x) 0
b.
f(x) 0
f(x)
0
g(x) 0
g(x)
hoặc
f(x) 0
g(x) 0
c.
2
B0
A
1
B
AB
d.
B0
A
1
A0
B
hoặc
2
B0
A0
AB
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 14
Vấn đề 4: HỆ PHƢƠNG TRÌNH
I. Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn:
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
Cách gii:
t
11
22
ab
D
ab
,
11
x
22
cb
D
cb
,
11
y
22
ac
D
ac
1.
D0
: H m duy
nht
x
y
x D / D
y D / D
.
2.
x
D 0, D 0
hoc
y
D0
: H
trình vô nghim.
3. D = D
x
= D
y
= 0: H có vô s nghim tha
a
1
x + b
1
y = c
1
hoc a
2
x + b
2
y = c
2
.
II. Hệ chứa một phƣơng trình bậc nhất:
1
y c ax
ax by c
b
1
f(x, y) d
f x, c ax d
b
III. Hệ đối xứng loại 1:
f(x, y) 0
g(x,y) 0
vi
f(x,y) f(y,x)
g(x, y) g(y,x)
Cách giit
u x y
v xy
vi
2
u 4v
IV. Hệ đối xứng loại 2:
Dạng 1:
f(x, y) 0
g(x,y) 0
vi
f(x,y) g(y,x)
g(x, y) f(y,x)
Cách gii:
f(x;y) g(x;y) 0 (x y)h(x;y) 0
f(x;y) 0 f(x;y) 0
x y 0
f(x;y) 0
h(x;y) 0
f(x;y) 0
Dạng 2:
f(x, y) 0
g(x,y) 0
có m
i xng.
Cách gii:
Cách 1i xng v dng
tích gii y theo x ri th i.
Cách 2: i xng v dng
f(x) f(y) x y
v u.
V. Hệ đẳng cấp bậc 2:
22
1 1 1 1
22
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
Cách gii:
Xét y = 0.
Xét
y0
t
x ty
và gii
c hai n t
VI. Hệ bậc hai mở rộng:
f(x, y) 0 f(x, y) 0
g(x, y) 0 .f(x, y) .g(x, y) 0
f(x, y) 0
(ax by c)(px qy r) 0
Chú ý: Mt s bài toán cn pht n ph
chuyn v các dt.
th gii.
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 15
MŨ - LOGARIT
Vấn đề 1: CÔNG THỨC
I. Hàm số mũ y = a
x
(a > 0)
1. Tập xác định:
D
2. Tập giá trị:
G (0; )
3. Tính đơn điệu:
0 < a < 1: Hàm nghch bin trên
a > 1: Hàm s ng bin trên
4. Một số công thức cơ bản:
0
a 1 (a 0)
n
n
1
a
a
m n m n
a .a a
m n m n
a :a a
n
m m.n
aa
m m m
(ab) a .b
m
m
m
aa
bb
m
m
n
n
aa
II. Hàm số logarit y = log
a
x
(0 a 1)
: y = log
a
x
x = a
y
1. Tập xác định:
D (0; )
2. Tập giá trị:
G
3. Tính đơn điệu:
0 < a < 1: Hàm nghch bin trên D
a > 1: Hàm s ng bin trên D
4. Một số công thức cơ bản:
a
log x
ax
lnx
ex
bb
log c log a
ac
2n
aa
log x 2nlog x
a
a
log b log b
a
b
1
log b
log a
c
a
c
log b
log b
log a
a b a
log b.log c log c
a a a
log (bc) log b log c
a a a
b
log log b log c
c
III. Phƣơng trình và bất phƣơng trình mũ cơ
bản:
1.
f (x)
a
b0
ab
f(x) log b
0 a 1
2.
f (x) g(x)
aa
a1
x :f(x),g(x)
0 a 1
f(x) g(x)
3.
f (x)
a
b0
f(x) log b
ab
0 a 1
b0
x :f(x)
4.
f (x)
a
b0
f(x) log b
ab
a1
b0
x :f(x)
5.
f (x) g(x)
aa
f(x) g(x)
0 a 1
6.
f (x) g(x)
aa
f(x) g(x)
a1
IV. Phƣơng trình và bất phƣơng trình logarit
cơ bản:
1.
a
b
log f(x) b
f(x) a
0 a 1
2.
aa
log f(x) log g(x)
f(x) 0
f(x) g(x)
0 a 1
3.
a
b
log f(x) b
0 f(x) a
0 a 1
4.
a
b
log f(x) b
f(x) a
a1
5.
aa
log f(x) log g(x)
0 a 1
0 < f(x) < g(x)
6.
aa
log f(x) log g(x)
a1
f(x) > g(x) > 0
V. Các dạng toán thƣờng gặp:
1. Phƣơng trình mũ:
a. Đưa về cùng cơ số:
Vi a > 0, a 1:
f (x) g(x)
a a f(x) g(x)
Chú ý: ng h có cha n s thì:
MN
a a (a 1)(M N) 0
b. Logarit hoá:
f (x) g(x)
a
a b f(x) log b .g(x)
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 16
c. Đặt ẩn phụ:
Dạng 1:
f (x)
P(a ) 0
f (x)
t a , t 0
P(t) 0
,
c theo t.
Dạng 2:
2f (x) f (x) 2f (x)
a (ab) b 0
Cách gii:
Chia 2 v cho
2f (x)
b
, rt
f (x)
a
t
b
Dạng 3:
f (x) f (x)
a b m
, vi
ab 1
.
Cách gii: t
f (x) f (x)
1
t a b
t
d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
f(x) = g(x) (1)
n x
0
là mt nghim ca (1).
Dng bin, nghch bin ca f(x)
kt lun x
0
là nghim duy nht.
Nng bin (hoc nghch bin) thì
f(u) f(v) u v
e. Đưa về phương trình các phương trình
đặc biệt:
: A.B = 0
A0
B0
22
A0
A B 0
B0
f. Phương pháp đối lập:
f(x) = g(x) (1)
Nu ta chc:
f(x) M
g(x) M
thì
(1)
f(x) M
g(x) M
2. Bất phƣơng trình mũ:
Cách gii
Chú ý: ng h a có cha n
s thì:
MN
a a (a 1)(M N) 0
3. Phƣơng trình logarit:
a. Đưa về cùng cơ số
Vi a > 0, a 1:
aa
f(x) g(x)
log f(x) log g(x)
f(x) 0 (g(x) 0)
b. Mũ hóa
Vi a > 0, a 1:
a
log f (x)
b
a
log f(x) b a a
c. Đặt ẩn phụ
d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e. Đưa về phương trình đặc biệt
f. Phương pháp đối lập
Chú ý:
t kê không nêu cách
gii có cách gi
Khi gi u
ki biu thc c
Vi a, b, c > 0 và a, b, c 1 thì:
bb
log c log a
ac
4. Bất phƣơng trình logarit:
Cách gii
Chú ý: ng h a có cha n
s thì:
a
log B 0 (a 1)(B 1) 0
;
a
a
log A
0 (A 1)(B 1) 0
log B
5. Hệ phƣơng trình mũ – logarit:
Cách gii: Kt hp các cách gii c
logarit trên và phn gi
h i s.
Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 17
NGUYấN HM TCH PHN
BNG NGUYấN HM
Haứm
soỏ f(x)
Hoù nguyeõn
haứm F(x)
Haứm soỏ
f(x)
Hoù nguyeõn haứm
F(x)+C
a ax + C
x
+1
x
+C
+1
(ax b)
1
a
1
(ax b)
C
1
1
x
ln x C
1
ax b
1
ln ax b C
a
x
a
x
a
C
lna
x
e
x
eC
ax b
e
ax b
1
eC
a
sinx -cosx + C
sin(ax+b)
1
cos(ax b) C
a
cosx sinx + C
cos(ax+b)
1
sin(ax b) C
a
2
1
cos x
tgx + C
2
1
cos (ax b)
1
tg(ax b) C
a
2
1
sin x
-cotgx + C
2
1
sin (ax b)
1
cotg(ax b) C
a
'
u (x)
u(x)
ln u(x) C
22
1
xa
1 x a
ln C
2a x a
tgx
ln cosx C
22
1
xa
22
ln x x a C
cotgx
ln sinx C
Vn 1: NGUYấN HM
I. nh ngha:
Hm s
Fx
gi l nguyờn hm ca hm s
fx
trờn
a,b
nu
F x f x , x a,b
.
Chỳ ý: Nu
Fx
l nguyờn hm ca
fx
thỡ
mi hm s cú dng
F x C
(
C
l hng s
l nguyờn hm ca
fx
v ch nhng hm s cú
dng
F x C
mi l nguyờn hm ca
fx
. Ta
gi
F x C
l h nguyờn hm hay tớch phõn bt
nh ca hm s
fx
v ký hiu l
f x dx
.
y:
f x dx F x C
II. Tớnh cht:
1.
kf x dx k f x dx; k 0
2.
f x g x dx f x dx g x dx
3.
f x dx F x C
thỡ
f u du F u C
Vn 2: TCH PHN
I. nh ngha:
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
II. Tớnh cht:
1.
ba
ab
f x dx f x dx
2.
bb
aa
kf x dx k f x dx (k 0)
3.
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4.
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
5. Nu
f x 0, x a;b
thỡ
b
a
f x dx 0
6. Nu
f x g x
thỡ
bb
aa
f x dx g x dx ,
x a;b
7. Nu
m f x M, x a;b
thỡ
b
a
m b a f x dx M b a
Chỳ ý:
- Mun tớnh tớch phõn bni
bii hm s i du tớch phõn thnh tng
hoc hiu ca nhng hm s t nguyờn hm.
- Nu hm s i du tớch phõn l hm s
hu t cú bc ca t lc bng bc ca
mu ta phi thc hin phộp chia t cho mu.
Lí THUY Cao Hong Nam
Trang 18
Vn 3: TCH PHN I BIN S
I. Cụng thc:
.
b
a
f x x dx f t dt
II. Nhng phộp i bin ph thụng:
Hm s cú cha
n
(x)
t
t (x)
Hm s cú mu s t t l mu s
Hm s cú cha
(x)
t
t (x)
hay
t (x)
Tớch phõn cha
dx
x
t
t ln x
Tớch phõn cha
x
e
t
x
te
Tớch phõn cha
dx
x
t
tx
Tớch phõn cha
2
dx
x
t
1
t
x
Tớch phõn cha
cosxdx
t
t sinx
Tớch phõn cha
2
dx
cos x
t
t tgx
Tớch phõn cha
2
dx
sin x
t
t cotgx
.
Tớch phõn cha
22
ax
t x = asint,
t
;
22
Tớch phõn cha
22
1
ax
t x = atant,
t
;
22
Vn 4: TCH PHN TNG PHN
I. Cụng thc:
bb
b
a
aa
uv dx uv vu dx
hay
bb
b
a
aa
udv uv vdu
c thc hin:
c 1:
u u(x) du u (x)dx (ẹaùohaứm)
ẹaởt
dv v (x)dx v v(x) (nguyeõn haứm)
c 2: Th vo cụng thc (1).
c 3: Tớnh
b
a
uv
tớnh tip
b
a
vdu
II. Nhng cỏch t thụng thng:
u dv
x
P(x).e dx
P(x)
x
e dx
P(x).cosxdx
P(x)
cosxdx
P(x).sin xdx
P(x)
sinxdx
P(x).lnxdx
lnx P(x)
Chỳ ý :
Tớch phõn hm hu t:
- Nu mu l bc nht thỡ ly t chia mu
- Nu mu l bc hai cú nghi
hng thc
- Nu mu l bc hai cú hai nghing
nht thc
- Nu mu l bc hai vụ nghim ti bin s.
Tớch phõn hm lng giỏc:
- Nu sinx,cosx cú s n thỡ h bc
22
1 cos2x 1 cos2x
sin x ;cos x
22
- Nu sinx,cosx cú s thỡ tỏch ra rt t
- Nu cú tan
2
x hoc cot
2
x thỡ thờm bt 1
- Nu cú tanx,cotx cú th sinx,cosx ri
t t
- Nu cú sina.cosb,sina.sinb,cosa.cosb thỡ dựng
cụng thc bii tớch thnh tng.
- Nhiu bi chỳng ta phi bii cỏc hm
cỏc dng cú kh
c.
Chỳ ý: i hc ng
i dng kt nhiu dng tớnh tớch phõn. Vỡ
th, t u ta bii v tng hoc
hing tớch phõn d
c b
ng l mi bin v mt tớch
phõn tng phn).
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 19
Vấn đề 5: TÍCH PHÂN CÓ CHỨA
DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
Gi s cn tính tích phân
b
a
I f (x) dx
.
Bƣớc 1. Lp bng xét du (BXD) ca hàm s f(x)
n [a; b], gi s f(x) có BXD:
X a x
1
x
2
b
f(x) + 0 0 +
Bƣớc 2. Tính
12
12
xx
bb
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx
.
Chú ý: Nu trong kho
f(x) = 0 không có nghim thì:
bb
aa
f(x) dx f(x)dx
Vấn đề 6: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH
PHÂN
I. Tính diện tích hình phẳng:
1. Trƣờng hợp 1:
Din tích hình phng S gii hn bi các
ng
y f(x), y g(x), x a, x b
là:
b
a
S f(x) g(x) dx
2. Trƣờng hợp 2:
Din tích hình phng S gii hn bi các
ng
y f(x), y g(x)
là:
S f(x) g(x) dx
,
là nghim nh nht và ln
nht ca f(x) = g(x).
Chú ý:
Nu trong khong
;
f(x) g(x)
không có nghim thì:
f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
Nu tích S gii hn bi x = f(y) và x = g(y) thì
i vai trò x cho y trong công thc trên.
II. Tính thể tích khối tròn xoay:
1. Trƣờng hợp 1.
Th tích khi tròn xoay V do hình phng gii
hn bng
y f(x) 0
x a; b
, y = 0, x = a và x = b
(a < b) quay quanh trục Ox là:
b
2
a
V f (x)dx
2. Trƣờng hợp 2.
Th tích khi tròn xoay V do hình phng gii
hn bi các ng
x g(y) 0
y c; d
, x = 0, y = c và y = d
(c < d) quay quanh trục Oy là:
d
2
c
V g (y)dy
3. Trƣờng hợp 3. Th tích khi tròn xoay V
do hình phng gii hn bng
y = f(x),
y g(x)
, x = a và x = b
a b, f(x) 0, g(x) 0 x a; b
quay
quanh trục Ox là:
b
22
a
V f (x) g (x) dx
4. Trƣờng hợp 4. Th tích khi tròn xoay V
do hình phng gii hn bng x = f(y),
x g(y)
, y = c và y = d
c d, f(y) 0, g(y) 0 y c; d
quay
quanh trục Oy là:
d
22
c
V f (y) g (y) dy
Chú ý: Cách gii tích phân có du giá tr
tuy trên.
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 20
Chuyên đề: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. Kiến thức cơ bản:
1. Kiến thức hình học 9 – 10:
1.1 Hệ thức lƣợng trong tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tng trung tuyn AM. Ta có:
2 2 2
AB AC BC
2
AH BH.CH
2
AB
= BH.BC
2
AC CH.BC
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
AH.BC AB.AC
b c b c
sinB , cosB , tanB ,cot B
a a c b
M là trung điểm BC nên MA = MB = MC và M là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
1.2 Hệ thức lƣợng trong tam giác thƣờng:
Cho tam giác ABC có các cnh lng trung tuyn AM.
Định lý hàm cos:
a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc.cosA
2 2 2
b c a
cosA
2bc
Định lý hàm sin:
a b c
2R
sinA sinB sinC
Định lý đƣờng trung tuyến:
2 2 2
22
a
2(b c ) a
m AM
4
1.3 Các công thức tính diện tích:
Tam giác ABC:
ABC
1
S BC.AH p.r
2
abc 1
.AB.AC.SinA
4R 2.
p(p a)(p b)(p c)
Hình thang ABCD
(AB // CD), đƣờng cao DH:
ABCD
1
S (AB CD).DH
2
Hình vuông ABCD cạnh a:
ABCD
2
S AB.AC
1
AC.BD a
2
Hình chữ nhật ABCD:
ABCD
S AB.AD
Diện tích hình thoi ABCD:
ABCD
1
S AC.BD
2
Diện tích hình tròn:
2
(O;R)
S .R
Diện tích hình bình hành:
S = cx chiu cao
Diện tích tam giác đều:
2
ABC
a3
S
4
Tam giác vuông tại A:
1
S AB.AC
2
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 21
1.4 Tam giác - Các trường hợp bằng nhau - đồng dạng của tam giác:
a. Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác thường:
Tam giác ABC có các góc A;B;C các ci ding a;b;c. Chu vi 2p.
Din tích S
Tính chất:
Hai tam giác bng nhau thì các yu t ng bng nhau.
Hai ng dng thì :
T s gia các yu t( không k góc; và ding bng nhau và bng t
s ng dng.
T s din tích b s ng dng.
Hai ng dng nu có 1 yu t v ng bng nhau thì bng nhau.
b. Trường hợp bằng nhau và đồng dạng của tam giác vuông:
Do 2 tam giác vuông có góc vung bng nhau nên có s c bit so vi
ng:
Hai cnh góc vuông bng nhau (t l ).
Mt góc nhng bng nhau và 1 cnh góc vuông bng nhau (t l).
Mt cnh góc vuông và cnh huyn bng nhau (t l).
1.5 Định lý Thalet:
Nhng thnh ra trên 2 cát tuyn nhn thng t l.
ng thng song song vi c nh ra trên 2
cnh kia nhn thng t l.
ng thng song song vi mt cnh thì to vi 2 cnh kia 1 tam giác
ng dng vu.
1.6 Các yếu tố cơ bản trong tam giác:
Ba ng trung tuyng quy tm: trnh bng
2
3
mng.
Mng trung tuyn chia tam giác thành hai phn có din tích bng nhau.
Ba ng quy ti mt m: trc tâm H.
Ba ng trung trng quy ti mt m gng tròn ngoi tip, còn gi là
tâm ca tam giác.
Ba ng quy ti mt m gi là tâm ng tròn ni tip.
Mng phân giác chia ci din thành hai phn t l vi hai cng.
1.7 Các tính chất đặc biệt:
Cho tam giác nhn ABC, ni ting kính
m BC, H là tri xng vi H qua BC.
Ta có:
- BH là i xng
ca H qua M
- ng tròn tâm O.
- m gm 3 cm AH, BH, CH,
ng cao nm trên mm
c gng tròn Euler.
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 22
2. Kiến thức hình học 11:
Quan hệ song song:
Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Định nghĩa:
Mng thng và mt mt phng
c gi là song song nu chúng
m chung.
a / /(P) a (P)
a
(P)
Định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d không
nằm trên mặt phẳng (P) và song
song với đường thẳng a nằm trên
mặt phẳng (P) thì đường thẳng d
song song với mặt phẳng (P)
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)
d
a
(P)
ĐL2: Nu mng thng song
song vi mt phng thì nó song
song vi giao tuyn ca mt phng
t phng bt k cha nó.
a / /(P)
a (Q) d / /a
(P) (Q) d
d
a
(Q)
(P)
ĐL3: Nu mng thng song
song vi 2 mt phng ct nhau thì
nó song song vi giao tuyn ca hai
mt ph
(P) (Q) d
(P) / /a d / /a
(Q) / /a
a
d
Q
P
Bài 2: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Định nghĩa:
Hai mt phc gi là song
song nm
chung.
(P)/ /(Q) (P) (Q)
Q
P
Định lý:
ĐL1: Điều kiện cần và đủ để 2 mặt
phẳng song song là trong mặt
phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt
nhau cùng song song với mặt
phẳng kia.
a,b (P)
a b I (P) / /(Q)
a / /(Q),b / /(Q)
I
b
a
Q
P
ĐL2: Nếu 2 mặt phẳng song song
với nhau thì mọi đường thẳng nằm
trong mặt phẳng này đều song song
với mặt phẳng kia.
(P) / /(Q)
a / /(Q)
a (P)
a
Q
P
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 23
ĐL3: Cho 2 mt phng song song.
Mt phng nào ct mt phng này
t mt phng kia và 2
giao tuyn song song vi nhau.
(P) / /(Q)
(R) (P) a a / /b
(R) (Q) b
b
a
R
Q
P
Quan hệ vuông góc:
Bài 1: ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Định nghĩa:
ng thng vuông góc vi mt
phng khi và ch khi nó vuông góc
vi mng thng nm trong
mt ph
a (P) a c, c (P)
P
c
a
Định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông
góc với hai đường thẳng cắt nhau a
và b cùng nằm trong mp(P) thì
đường thẳng d vuông góc với
mp(P).
d a, d b
a,b (P) d (P)
a b A
d
a
b
P
ĐL2: (định lý 3 đƣờng vuông
góc): Cho đường thẳng a có hình
chiếu trên mặt phẳng (P) là đường
thẳng a’. Khi đó một đường thẳng b
chứa trong (P) vuông góc với a khi
và chỉ khi nó vuông góc với a’.
a (P),b (P)
b a b a'
a' a / (P)
a'
a
b
P
Bài 2: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Định nghĩa:
Hai mt phc gi là vuông
góc vi nhau nu góc gia chúng
bng 90
0
.
0
(P) (Q) ((P),(Q)) 90
Định lý:
ĐL1: Nếu một mặt phẳng chứa một
đường thẳng vuông góc với một
mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng
đó vuông góc với nhau.
a (P)
(Q) (P)
a (Q)
Q
P
a
ĐL2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau thì bất cứ
đường thẳng a nào nằm trong (P),
vuông góc với giao tuyến của (P)
và (Q) đều vuông góc với (Q).
(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)
a (P),a d
d
Q
P
a
LÝ THUY Cao Hoàng Nam
Trang 24
ĐL3: Nu hai mt phng (P) và (Q)
vuông góc vi nhau và A là mt
ng th
m A và vuông góc vi (Q)
s nm trong (P)
(P) (Q)
A (P)
a (P)
Aa
a (Q)
A
Q
P
a
ĐL4: Nu hai mt phng ct nhau
và cùng vuông góc vi mt phng
th ba thì giao tuyn ca chúng
vuông góc vi mt phng th ba.
(P) (Q) a
(P) (R) a (R)
(Q) (R)
a
R
Q
P
Bài 3: MỐI LIÊN HỆ QUAN HỆ SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC
1.
a / /b
bP
aP
2.
aP
a / /b
bP
3.
P / / Q
aQ
aP
4.
aP
P / / Q
aQ
5.
ab
a / / P haya P
Pb
Bài 4: KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đƣờng thẳng, đến 1
mặt phẳng:
Khong cách t ng thng a (hon
mt phng (P)) là khong cách gim O và H,
u cng thng a
(hoc trên mt phng (P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
a
H
O
H
O
P
2. Khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng
song song:
Khong cách ging thng a và mt phng (P)
song song vng thng a là khong cách t m O
bt k thung thn mt phng (P)
a
H
O
P
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
Khong cách gia hai mt phng song song là khong
cách t m thuc mt phn mt phng kia.
H
O
Q
P
4. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau :
Khong cách ging th dài
n vuông góc chung cng th
B
A
b
a
