Tài liệu độ đo cực hay.

1
Chương 1. ĐỘ ĐODƯƠNG-HÀM SỐĐO ĐƯỢC
1. TẬP ĐO ĐƯỢC
A. Ta nhắclạimộtsố phép toán về họ tậphợp. Cho X là tập khác trống và I là tập
các chỉ số.Nếu ứng vớimột chỉ số i ∈ I, ta có duy nhấtmộttậpconA
i
⊂ X, ta nói
rằng ta có một họ tậphợp ký hiệulàA
i

i∈I
, hay A
i

i∈I
, hay A
i
, i ∈ I, hay A
i
, i ∈ I.
Ta định nghĩa phầngiaocủahọ tậphợp A
i

i∈I
,làtậpconcủa X đượckýhiệulà
i∈I
∩ A
i
và đượcxácđịnh bởi
i∈I
∩ A

i
 x ∈ X : x ∈ A
i
vớimọi i ∈ I.
#
Nói khác đi,
x ∈
i∈I
∩ A
i
 x ∈ A
i
vớimọi i ∈ I.
#
Ta định nghĩa phầnhộicủahọ tậphợp A
i

i∈I
,làtậpconcủa X đượckýhiệulà
i∈I
 A
i
và đượcxácđịnh bởi
i∈I
 A
i
 x ∈ X : x ∈ A
i
vớiítnhấtmột i ∈ I.
#

Nói khác đi,
x ∈
i∈I
 A
i
 ∃i ∈ I : x ∈ A
i
.
#
Trường hợp riêng với
i) I  1,2, ,n : ta viết
i∈I
∩ A
i

i1
n
∩ A
i
 A
1
∩ A
2
∩ ∩A
n
,
i∈I
 A
i


i1
n
 A
i
 A
1
 A
2
 A
n
.
#
ii) I  ℕ : ta viết
i∈I
∩ A
i

i1

∩ A
i
 A
1
∩ A
2
∩ ,
i∈I
 A
i


i1

 A
i
 A
1
 A
2

#
Chú ý:
2
X 
i∈I
∩ A
i

i∈I
 X  A
i
, X 
i∈I
 A
i

i∈I
∩ X  A
i
. #
Nếu không sợ nhầmlẫntacònkýhiệu

A
c
 X  A.
#
Do đó:
i∈I
∩ A
i
c

i∈I
 A
i
c
,
i∈I
 A
i
c

i∈I
∩ A
i
c
.
#
Ví dụ.(Xemnhư bài tập). Xác định
i∈I
∩ A
i

và
i∈I
 A
i
, với A
i
 
−1
i
,
3
2i1
.
B. Ta qui ướcmộtsố ký hiệu và các phép tính
−,    −   
,
−,    ,
−,    −,
#
a      a   nếu 0 ≤ a ≤, và a.  . a 
, nếu 0  a ≤,
0, nếu a  0.
#
Các qui tắcvề dấu(âm,dương) tương tự như phép nhân thông thường), chẳng
hạn
a.  . a 
− nếu − ≤ a  0,
0nếu a  0.
#
C. Giớihạntrênlimsup và giớihạndưới liminf.

C1. Giớihạntrênlimsup. Ta cho dãy số a
n
 ⊂ ,tađặt
i
Nếu a
n
 không bị chận trên, ta đặt
n→
lim sup a
n
 .
ii
Nếu a
n
 bị chận trên, ta đặt
b
k
 supa
k
, a
k1
, a
k2
,  
n≥k
sup a
n
, k  1,2,3,
#
Khi đó, b

1
≥ b
2
≥ b
3
≥
ii
1
Nếu b
k
 không bị chậndưới, ta đặt
n→
lim sup a
n
 −.
ii
2
Nếu b
k
 bị chậndưới, thì b
k
 ↘
k≥1
inf b
k
.Tađặt
3
n→
lim sup a
n


k→
lim b
k

k→
lim
n≥k
sup a
n

k≥1
inf
n≥k
sup a
n
. #
C2. Giớihạndưới liminf. Xét dãy số a
n
 ⊂ ,tađặt
i
Nếu a
n
 không bị chậndưới, ta đặt
n→
lim inf a
n
 −.
ii
Nếu a

n
 bị chậndưới, ta đặt
c
k
 infa
k
, a
k1
, a
k2
,  
n≥k
inf a
n
, k  1,2,3,
#
Khi đó, c
1
≤ c
2
≤ c
3
≤
ii
1
Nếu c
k
 không bị chận trên, ta đặt
n→
lim inf a

n
 .
ii
2
Nếu c
k
 bị chận trên, thì c
k
 ↗
k≥1
sup c
k
.Tađặt
n→
lim inf a
n

k→
lim c
k

k→
lim
n≥k
inf a
n

k≥1
sup
n≥k

inf a
n
. #
Chú ý 1: Đôi khi ngườitacũng dùng các ký hiệu
n→
lim a
n
và
n→
lim a
n
,lầnlượt thay cho
n→
lim sup a
n
và
n→
lim inf a
n
.
Chú ý 2:Tacũng định nghĩa
n→
lim sup a
n
,
n→
lim inf a
n
cho dãy a
n

 ⊂ , như sau
n→
lim sup a
n

k≥1
inf
n≥k
sup a
n
,
n→
lim inf a
n

k≥1
sup
n≥k
inf a
n
. #
Chú ý 3:
n→
lim sup −a
n
  −
n→
lim inf a
n
.

#
Chú ý 4:
n→
lim inf a
n
≤
n→
lim sup a
n
.
#
Chú ý 5:Nếu a
n
 hộitụ thì
n→
lim sup a
n

n→
lim inf a
n

n→
lim a
n
.
#
Chú ý 6: Ta cho dãy số a
n
 ⊂  ,tađặt

A 
a ∈  : a 
k→
lim a
n
k
,với a
n
k
 là dãy con của a
n
 . #
4
Khi đótồntại a
max
, a
min
∈ A sao cho a
min
≤ a ≤ a
max
, ∀a ∈ A.Khiđótacó
n→
lim sup a
n
 a
max
và
n→
lim inf a

n
 a
min
.
#
Ví dụ.(Xemnhư bài tập). Cho dãy số thực a
n
, sao cho
n→
lim sup a
n
≤ 0 ≤ a
n
với
mọi n ∈ ℕ.Chứng minh rằng a
n
→ 0.
C3. Cho dãy hàm f
n
, f
n
: X →  .Khiđó
n
sup f
n
,
n
inf f
n
,

n→
lim sup f
n
và
n→
lim inf f
n
là
các hàm đượcxácđịnh trên X bởi
n
sup f
n
x 
n
sup f
n
x,
n
inf f
n
x 
n
inf f
n
x,
n→
lim sup f
n
x 
n→

lim sup f
n
x 
k≥1
inf
n≥k
sup f
n
x ,
n→
lim inf f
n
x 
n→
lim inf f
n
x 
k≥1
sup
n≥k
inf f
n
x ,
n→
lim f
n
x 
n→
lim f
n

x.
#
Nếu fx 
n→
lim f
n
x,tồntại ở mọi x ∈ X,khiđótagọi f là giớihạntừng điểm
của dãy f
n
.
Định nghĩa1.1.1.ChoX là tập khác trống. Mộthọ M các tậpconcủa X đượcgọi
là một  − đạisố trong X nếucácđiềukiệnsauđây thỏa:
i X ∈ M,
ii Nếu A ∈ M thì X  A ∈ M,
iii Nếu A
j
∈ M, j  1,2, thì 
j1

A
j
∈ M.
#
Chú ý:Tasuytừ i − iii,rằng
4i  ∈ M,vì  X  X ∈ M.
5i Nếulấy A
n1
 A
n2
   trong (iii), ta thấyrằng


j1
n
A
j
∈ M, nếu A
j
∈ M với j  1,2, , n.
6i Nếu A
j
∈ M, j  1,2, thì ∩
j1

A
j
∈ M,
vì ∩
j1

A
j
 
j1

X  A
j
 ∈ M.
7i Nếu A, B ∈ M,thìA ∩ B  X  A  B ∈ M
và A  B  A ∩ X  B ∈ M.
#

Định nghĩa1.1.2.Nếu X có một  − đạisố M trong X thì ta gọicặp X, M (hoặc
vắntắt X)làmột không gian đo được (measurable space), và phầntử c
ủa M được
gọilàtập đo được trong X.
5
Ví dụ 1.1.1.(Xemnhư bài tập). Cho X là tập khác trống và M , X. Nghiệmlại
rằng M là một  − đạisố trong X.Câuhỏitương tự với M  PX là họ tấtcả các tập
con của X.
Ví dụ 1.1.2.(Xemnhư bài tập). Cho X  0,1 và M  PX.Tập

1
2
,1 có đo được
không?
Ví dụ 1.1.3.(Xemnhư bài tập). Cho X  0,1 và M  , X, 0,
1
2
, 
1
2
,1.Tập

2
3
,1 có đo được không?
Chú thích 1.1.1.Choℱ ⊂ PX.Khiđótồntạimột  − đạisố nhỏ nhất M
∗
trong X
sao cho ℱ ⊂ M
∗

.Tacòngọi M
∗
là  − đạisố sinh bởi ℱ.
Thậtvậy, ta gọi  là họ tấtcả các  − đạisố M trong X chứa ℱ.VìPX cũng là
một  − đạisố (Ví dụ 1.1.1), nên  ≠ .Gọi M
∗

M∈
∩ M.Dễ thấyrằng ℱ ⊂ M
∗
,bởi
vì ℱ ⊂ M vớimọi M ∈ .Tachỉ cầnchứng minh rằng M
∗
là một  − đạisố.
Giả sử rằng A
j
∈ M
∗
,với j  1,2, ,vànếu M ∈ ,thìA
j
∈ M,như vậy

j1

A
j
∈ M,bởivìM là một  − đạisố.Vì
j1

A

j
∈ M,vớimọi M ∈ ,takếtluận
rằng 
j1

A
j
∈ M
∗
. Hai tính chấtcònlại trong định nghĩa X ∈ M
∗
,vàX  A ∈ M
∗
với
mọi A ∈ M
∗
đượcchứng minh tương tự.
Định nghĩa1.1.3.(Độ đodương)ChoX là một không gian đo đượcvớimột  −
đạisố M và cho hàm  : M → 0,. Ta nói  là một độ đodương trên M nếu  thoả
mãncáctínhchất sau:
i Tính chấtcộng đếm được (countably additive): 


j1

A
j


∑

j1



A
j

,
nếu A
j
∈ M, j  1,2, và A
i
∩ A
j
 , ∀i ≠ j.
ii ∃A ∈ M : 

A

 .
#
Định nghĩa1.1.4.(Độ đophức)ChoX là một không gian đo đượcvớimột  − đại
số M và cho hàm  : M → ℂ. Ta nói  là một độ đophức trên M nếu  thoả mãn tính
chất sau:



j1

A

j


∑
j1



A
j

,nếu A
j
∈ M, j  1,2, và A
i
∩ A
j
 , ∀i ≠ j.
#
Định nghĩa1.1.5.ChoX là một không gian đo đượcvớimột  − đạisố M và cho
hàm  là một độ đo(dương hoặcphức) trên M. Ta nói X, M,  là một không gian đo
(measure space).
Chú thích 1.1.2.
i Với độ đophức, chuỗi
∑
j1



A

j

hộitụ vớimọi dãy A
j
 rời nhau như trên, là
hộitụ tuyệt đối.
ii Nếu  là một độ đodương và nếu A, B ∈ M,vàA ⊂ B thì 

A

≤ 

B

.(XemVí
dụ 1.1.6).
iii Cũng vậy, nếu A
j
∈ M, j  1,2, và A
1
⊂ A
2
⊂ A
3
⊂ ,thì


j1

A

j

6

n→
lim A
n
.(XemVídụ 1.1.7).
iv Tương tự,nếu A
j
∈ M, j  1,2, và A
1
⊃ A
2
⊃ A
3
⊃ ,và

A
1

 ,thì


∩
j1

A
j



n→
lim A
n
.(XemVídụ 1.1.8).
vi Nếu  là một độ đodương và nếu A
j
∈ M, j  1,2, ,thì



j1

A
j

≤
∑
j1



A
j

.(XemVídụ 1.1.9).
Ví dụ 1.1.4.(Xemnhư bài tập). Cho X, M,  là một không gian đovới  là một độ
đodương trên M Chứng minh rằng μ  0.
Hướng dẫn:Lấy A
1

 A, A
2
 , , A
n1
 , , ta có A  
j1

A
j
và 

A

 .
Từ tính chấtcộng đếm được,   

A

 


j1

A
j


∑
j1




A
j

.Dochuỗi
∑
j1



A
j

hộitụ nên
j→
lim 

A
j

 0,màA
j
  vớimọi j ≥ 2, nên 




j→
lim 


A
j

 0.
Ta cũng chú ý rằng, với độ đodương , điềukiện ii ∃A ∈ M : 

A

  trong
định nghĩa 1.1.3 có nghĩalà ≠mà có thể thay bằng điềukiệntương đương




 0.Vídụ 1.1.4. chỉ ra rằng  ≠ 



 0. Đảolại, thì hiển nhiên, vì ta lấy
A  .
Ví dụ 1.1
.5.(Xemnhư bài tập). Cho X, M,  là một không gian đovới  là một độ
đodương trên M.Chứng minh rằng (tính chấtcộng hữuhạn): 


j1
n
A
j



∑
j1
n


A
j

,
nếu A
j
∈ M, j  1,2, , n,và A
i
∩ A
j
 , ∀i ≠ j.
Hướng dẫn:Lấy A
n1
 A
n2
  ,tacó
j1
n
A
j
 
j1


A
j
.Vậy



j1
n
A
j

 


j1

A
j


∑
j1



A
j


∑

j1
n


A
j


∑
jn1



A
j


∑
j1
n


A
j

.
Ví dụ 1.1.6.(Xemnhư bài tập). Cho X, M,  là một không gian đovới  là một độ
đodương trên M Chứng minh rằng nếu A, B ∈ M,vàA ⊂ B thì 

A


≤ 

B

.
Ta có B  A  B  A và A ∩ B  A  .Tasuytừ Ví dụ 1.1.5 rằng
B  A
 B  A ≥ A.
Ví dụ 1.1.7.(Xemnhư bài tập). Cho X, M,  là một không gian đovới  là một độ
đodương trên M.Chứng minh rằng, nếu A
j
∈ M, j  1,2, và A
1
⊂ A
2
⊂ ,thì



j1

A
j


n→
lim A
n
.

Hướng dẫn: Đặt B
1
 A
1
, B
2
 A
2
 A
1
, ,B
j
 A
j
 A
j−1
với j  2,3,4, Khiđó
B
j
∈ M,và B
i
∩ B
j
 , ∀i ≠ j, A
n
 
j1
n
A
j

 
j1
n
B
j
và 
j1

A
j
 
j1

B
j
.Dođó
A
n
 
∑
j1
n


B
j

và

j1


A
j
 
∑
j1



B
j


n→
lim
∑
j1
n


B
j


n→
lim A
n
.
#
Ví dụ 1.1.8.(Xemnhư bài tập). Cho X, M,  là một không gian đovới  là một độ

đodương trên M.Chứng minh rằng, nếu A
j
∈ M, j  1,2, và A
1
⊃ A
2
⊃ A
3
⊃ ,
và 

A
1

 ,thì

∩
j1

A
j


n→
lim A
n
.Chomộtphảnthídụđểthấy điềukiện
”

A

1

 ” không thể bỏ qua được.
Hướng dẫn: Đặt C
j
 A
1
 A
j
.Khiđó C
j
∈ M,vàC
1
⊂ C
2
⊂ C
3
⊂ ,
7
C
j
  A
1
 − A
j
,

j1

C

j
 
j1

A
1
 A
j
  A
1
 ∩
j1

A
j
.
#
Ta suy từ Ví dụ 1.1.7 rằng
A
1
 − ∩
j1

A
j
  A
1
 ∩
j1


A
j
  
j1

C
j


n→
lim C
n
  A
1
 −
n→
lim A
n
.
#
Vậy 

∩
j1

A
j


n→

lim A
n
.
Phảnthídụ:Talấy X  ℕ,và là độ đo đếm trên X,(Xemvídụ 1.1.10). Giả sử
A
n
 n, n  1, n  2, .Khiđó A
1
⊃ A
2
⊃ A
3
⊃ ,∩
n1

A
n
 ,nhưng A
n
   với
mọi n  1,2,3, ,tứclà

∩
n1

A
n

≠
n→

lim A
n
.
Ví dụ 1.1.9.(Xemnhư bài tập). Cho X, M,  là một không gian đovới  là một độ
đodương trên M.Chứng minh rằng, nếu A
j
∈ M, j  1,2, ,thì


j1

A
j

≤
∑
j1



A
j

.
Hướng dẫn: Đặt B
1
 A
1
, B
2

 A
2
 A
1
, B
3
 A
3
 A
1
 A
2
, ,B
j
 A
j
 
n1
j−1
A
n

với j  2,3,4, Khiđó B
j
∈ M,và B
i
∩ B
j
 , ∀i ≠ j, 
j1


A
j
 
j1

B
j
và B
j
⊂ A
j
với
j ∈ ℕ.Dođó

j1

A
j
  
j1

B
j
 
∑
j1
n



B
j

≤
∑
j1
n


A
j

.
#
Ví dụ 1.1.10.(Xemnhư bài tập). Cho X là tậpbấtkỳ,với E ⊂ X,tađịnh nghĩa
X   nếu E là tậpvôhạnvàE là số phầntử trong E nếu E là tậphữuhạn. Khi
đó X, PX,  là một không gian đovới độ đo  gọilàmột độ đo đế
m (counting
measure)trênX.
Ví dụ 1.1.11.(Xemnhư bài tập). Cho X là tậpbấtkỳ,vàchox
0
∈ X cốđịnh. Ta
định nghĩa
E 
1 x
0
∈ E,
0 x
0
∉ E,

#
với E ⊂ X.Khiđó,  là độ đotrênPX.Tagọi  là khốilượng đơnvị tập trung tại x
0
.
Ví dụ 1.1.12.(Xemnhư bài tập). Cho X, M,  là một không gian đo, và f : X → Y
là một song ánh. Ta đặt N fE : E ∈ M,vàD  

f
−1
D

, ∀D ∈ N.Chứng
minh rằng, Cho Y, N,  là một không gian đo.
Hướng dẫn:
(a) Y, N là một không gian đo được:
8
i Y ∈ N vì Y  fX, X ∈ M,
ii Y  D ∈ N ∀D ∈ N vì, Y  D  fX  fE  fX  E,
X  E ∈ M,
iii Nếu D
j
∈ N, j  1,2, và 
j1

D
j
 
j1

fE

j
  f


j1

E
j

,

j1

E
j
∈ M.
(b)  là một độ đodương trên Y, N.
i ∃D ∈ N : 

D

 .???. Theo giả thiếttacó∃E ∈ M : 

E

 .Chọn
D  fE,tacóD ∈ N và D  

f
−1

D

 

E

 .
ii Tính chấtcộng đếm được: Nếu D
j
 fE
j
 ∈ N, j  1,2, và D
i
∩ D
j
 ,
∀i ≠ j,tacóE
j
∈ N, j  1,2, và E
i
∩ E
j
 f
−1
D
i
 ∩ f
−1
D
j

  f
−1
D
i
∩ D
j
  , ∀i ≠ j.
Do tính chấtcộng đếm đượccủa ,tađược



j1

D
j

 

f
−1


j1

D
j

 



j1

f
−1
D
j


 


j1

E
j


∑
j1



E
j


∑
j1




f
−1
D
j



∑
j1

D
j
.
#
Định nghĩa1.1.6.(Đầy đủ hóa một không gian đo) Cho X, M,  là một không
gian đo. Đặt
M
∗
 E ⊂ X : ∃A, B ∈ M sao cho A ⊂ E ⊂ B và B  A  0.
#
Ta đặt 
∗
E  A.
Định lý 1.1.6. X, M
∗
, 
∗
 là một không gian đo.
Định nghĩa1.1.7. X, M

∗
, 
∗
 đượcgọilàđầy đủ hóa của X, M,.Nếu M
∗
 M
thì ta gọi  là một độ đo đầy đủ.
Hướng dẫnchứng minh định lý 1.1.6:Trướchếttakiểmtralạirằng 
∗
được
xác định tốtvớimọi E ∈ M
∗
.Giả sử rằng A ⊂ E ⊂ B, A
1
⊂ E ⊂ B
1
và
B  A  B
1
 A
1
  0,với A, B, A
1
, B
1
∈ M.Chúýrằng
A  A
1
⊂ E  A
1

⊂ B
1
 A
1
,
#
do đótacóA  A
1
  0,dođó A  A ∩ A
1
  A  A
1
  A ∩ A
1
.Lýluận
tương tự, A
1
  A
1
∩ A.VậytacóA
1
  A.Tiếp theo, nghiệmlạirằng M
∗
thoả 3 tính chấtcủamột  − đạisố.
(i) X ∈ M
∗
,bởivìX ∈ M và M ⊂ M
∗
.
(ii) Giả sử rằng A ⊂ E ⊂ B,khiđó X  B ⊂ X  E ⊂ X  A.Vậy E ∈ M

∗
dẫn đến
X  E ∈ M
∗
,bởivìX  A  X  B  X  A ∩ B  B  A,
X  A  X  B  B  A  0.
(iii) Giả sử rằng A
i
⊂ E
i
⊂ B
i
, E  
i1

E
i
, A  
i1

A
i
, B  
i1

B
i
,khiđó
A ⊂ E ⊂ B và
B  A  

i1

B
i
 A ⊂
i1

B
i
 A
i
.
#
9
Vì hội đếm đượccáctậpcóđộ đozerocũng là tậpcóđộ đo zero, do đó
0 ≤ B  A ≤ 
i1

B
i
 A
i
  0.Tasuyrarằng B  A  0,như vậy
E  
i1

E
i
∈ M
∗

,nếu E
i
∈ M
∗
với i  1,2,3,
Cuối cùng, nếucáctập E
i
∈ M
∗
là rời nhau từng đôi mộtnhư trong bước (iii), thì
các tập A
i
cũng rời nhau từng đôi mộtgiống như vậy, và ta kếtluậnrằng

∗
E  A 
∑
i1

A
i
 
∑
i1


∗
E
i
. #

Điềunầychứng tỏ rằng 
∗
cộng đếm đượctrênM
∗
.
2. HÀM ĐO ĐƯỢC
Định nghĩa1.2.1.ChoX, M là một không gian đo được, hàm s : X → ℂ có dạng
dưới đây đượcgọilàmột hàm đơngiản (simple function), vắntắtgọilàhàm đơn hay
hàm bậc thang
sx 
∑
j1
m

j

A
j
x ∀x ∈ X,
#
với 
1
, ,
m
∈ ℂ, A
1
, ,A
m
∈ M, trong đó


A
x 
1 x ∈ A,
0 x ∈ X  A.
#
Định nghĩa1.2.2.ChoX, M là một không gian đo được, và hàm f : X → −, .
Ta gọi f là một hàm thực đo được trên X, M nếu f
−1
a,  x ∈ X : fx  a ∈ M
vớimọi a ∈ .
Định nghĩa1.2.3.ChoX, M là một không gian đo được, và hai hàm u, v : X → .
Ta gọi f  u  iv là một hàm phức đo được trên X, M nếu u và v là các hàm đo được
trên X, M.
Ví d
ụ 1.2.1.(Xemnhư bài tập). Cho X, M là một không gian đo được và hàm
f : X →
  −, hàm thực đo đượctrênX, M.Chứng minh rằng các tập
f
−1
a,, f
−1
−, a, f
−1
−, a, f
−1
a,, f
−1
a, b, f
−1
a, b, f

−1
a, b và
f
−1
a là đo được.
Hướng dẫn:
(j) f
−1
a, ∈ M ∀a ∈ .(Dođịnh nghĩa).
(jj) f
−1
−, a ∈ M ∀a ∈ .? Chú ý rằng
−, a 

n1
 −, a −
1
n
 

n1
 a −
1
n
, ,
vì
x ∈

n1
 −, a −

1
n
∃n ∈ ℕ : x ∈ −, a −
1
n
− ≤ x  a.
Vậy
10
f
−1
−, a  f
−1

n1
 a −
1
n
, 

n1
 f
−1
a −
1
n
,


n1
 f

−1
    f
−1

a −
1
n
,



n1


X  f
−1
a −
1
n
,

∈ M,
do định nghĩa 1.1.1.(i)-(iii), (6i).
(jjj) f
−1
−, a ∈ M ∀a ∈ .?Chúýrằng
−, a 

n1
 −n, a −

1
n
 

n1


−, a −
1
n
 ∩ −n, 



n1
 a −
1
n
, ∩ −n, ,
vì
x ∈

n1
 −n, a −
1
n
∃n ∈ ℕ : x ∈ −n, a −
1
n
−  x  a.

Vậy
f
−1
−, a  f
−1

n1
 a −
1
n
, ∩ −n,


n1
 f
−1
a −
1
n
, ∩ −n,


n1
 f
−1
a −
1
n
, ∩ f
−1

−n,


n1
 f
−1
    f
−1
a −
1
n
, ∩ f
−1
−n,


n1


X  f
−1
a −
1
n
,

∩ f
−1
−n,


∈ M,
do định nghĩa 1.1.1.(i)–(iii), (7i).
(4j) f
−1
a, ∈ M ∀a ∈ .?Chúýrằng
a, 

n1
 a 
1
n
, n 

n1


−, n ∩ a 
1
n
,



n1
 −, n ∩ −,a 
1
n
 ,
vì
x ∈


n1
 a 
1
n
, n∃n ∈ ℕ : x ∈ a 
1
n
, na  x  .
Vậy
11
f
−1
a,  f
−1

n1
 −, n ∩ −,a 
1
n



n1
 f
−1
−, n ∩ −,a 
1
n




n1
 f
−1
−, n ∩ f
−1
−,a 
1
n



n1


f
−1
−, n ∩

X  f
−1
−, a 
1
n


∈ M,
do (jj) và định nghĩa 1.1.1.(i)–(iii), (7i).
(5j) f

−1
a, b ∈ M ∀a, b ∈ .?Chúýrằng
a, b  −, b ∩ a,  −, b ∩
−,a .
Vậy
f
−1
a, b  f
−1
−, b ∩ −,a
 f
−1
−, b ∩ f
−1
−,a
 f
−1
−, b ∩

X  f
−1

−, a

∈ M,
do (jj) và định nghĩa 1.1.1.(i)–(ii), (7i).
(6j) f
−1
a, b ∈ M ∀a, b ∈ .?Chúýrằng a, b  −, b ∩ a, 
b, ∩ a,.

Vậy
f
−1
a, b  f
−1
b, ∩ a,
 f
−1
b, ∩ f
−1

a,



X  f
−1

b,

∩ f
−1

a,

∈ M,
do định nghĩa 1.1.1.(i)–(ii), (7i).
(7j) f
−1
a, b ∈ M ∀a, b ∈ .?Chúýrằng a, b  −, b ∩ a,.

Vậy
f
−1
a, b  f
−1

−, b ∩ a,

 f
−1

−, b

∩ f
−1
a, ∈ M,
do (jj) và định nghĩa 1.1.1. (7i).
(8j) f
−1
a ∈ M ∀a ∈ .? Chú ý rằng
a  −, a ∩ a, 
a, ∩ −,a .
Vậy
12
f
−1
a  f
−1
a, ∩ −,a
 f

−1
a, ∩ f
−1
−,a
 f
−1
    f
−1

a,

∩ f
−1
    f
−1

−, a



X  f
−1

a,

∩

X  f
−1


−, a

∈ M,
do định nghĩa 1.1.1.(i) – (iii), (7i).
Ví dụ 1.2.2.(Xemnhư bài tập). Cho X, M là một không gian đo được và hàm
f : X →
 hàm thực đo đượctrênX, M.Giả sử f
−1
X ⊂  là tậphữuhạn. Chứng
minh rằng f là hàm đơn.
Hướng dẫn:Giả sử fX  
1
, 
2
, ,
m
 ⊂ , 
i
≠ 
j
∀i ≠ j.Khiđó
A
i
 f
−1

i
 ∈ M,và f 
∑
j1

m

j

A
j
.
Ví dụ 1.2.3.(Xemnhư bài tập). Cho X, M là một không gian đo được và hàm
hằng f  C là đo đượctrênX, M.
Hướng dẫn:Thậtvậy, nếu a ≥ C, thì f
−1
a,  x ∈ X : fx  a   ∈ M,còn
nếunhư nếu a  C,thìf
−1
a,  x ∈ X : fx  a  X ∈ M.
Ví dụ 1.2.4.(Xemnhư bài tập). Cho X, M là một không gian đo được và hàm
f : X →
 hàm thực đo đượctrênX, M,vàk ∈ .Chứng minh rằng kf là hàm đo
đượctrênX, M.
Hướng dẫn:Thậtvậy, nếu k  0,thìx ∈ X : kfx  a  x ∈ X : fx 
a
k
 ∈ M,
còn nếunhư nếu k ≤ 0, thì hiển nhiên.
Ví dụ 1.2.5.(Xemnhư bài tập). Cho X, M là một không gian đo đượcvàvàhàm
f, g : X →
 hai hàm thực đo đượctrênX, M.Chứng minh rằng f  g, f − g là hàm đo
đượctrênX, M.
Hướng dẫn:
a) f  g là hàm đo được.

fx  gx  a  fx  a − gx∃r
n
∈  : fx  r
n
 a − gx.
Vậythì
x ∈ X : fx  gx  a 

n1
 x ∈ X : fx  r
n
 a − gx


n1
 x ∈ X : fx  r
n
 ∩ x ∈ X : gx  a − r
n



n1
 f
−1
r
n
, ∩ g
−1
a − r

n
, ∈ M.
b) f − g là hàm đo được??: Ta có g là hàm đo được, suy ra −g là hàm đo được.
Vậy f − g  f  −g.cũng là hàm đo được.
Ví dụ 1.2.6.(Xemnhư bài tập). Cho X, M là một không gian đo được và hàm
f : X →
 hàm thực đo đượctrênX, M,và  0.Chứng minh rằng
|
fx
|

là hàm đo
đượctrênX, M.
Hướng dẫn:Tacó∀a  0,rằng
13
x ∈ X :
|
fx
|

 a  x ∈ X :
|
fx
|
 a
1/

 x ∈ X : fx  a
1/
  x ∈ X : fx  −a

1/
 ∈ M.
Còn nếunhư a ≤ 0,thìx ∈ X :
|
fx
|

 a  X ∈ M.
Ví dụ 1.2.7.(Xemnhư bài tập). Cho X, M là một không gian đo đượcvàvàhàm
f, g : X →  hai hàm thực đo đượctrênX, M.Chứng minh rằng f  g, fg, maxf, g,
minf, g là hàm đo đượctrênX, M.
Hướng dẫn:Dựa vào các đẳng thức
fg 
1
4

f  g
2
− f − g
2

,
maxf, g 
1
2

f  g 
|
f − g
|


,
minf, g 
1
2

f  g −
|
f − g
|

.
Còn nếunhư a ≤ 0,thìx ∈ X :
|
fx
|

 a  X ∈ M.
Ví dụ 1.2.8.(Xemnhư bài tập). Cho X, M là một không gian đo được và hàm f,
g : X →  hai hàm thực đo đượctrênX, M.Chứng minh rằng, nếu g không triệttiêu
thì
f
g
là hàm đo đượctrênX, M.
Hướng dẫn: (i) Chú ý rằng,
1
g
2
là đo đượcvì,vớimọi a ∈ ,
Nếu a ≤ 0:

1
g
2
−1
a,  x ∈ X :
1
g
2
x
 a  X ∈ M.
Nếu a  0:
1
g
2
−1
a,  x ∈ X :
1
g
2
x
 a
 x ∈ X :
|
gx
|

1
a

 x ∈ X : gx  −

1
a
 ∩ x ∈ X : −gx  −
1
a
 ∈ M.
(ii) Ta có
f
g

1
g
2

fg

là đo được.
Ví dụ 1.2.9.(Xemnhư bài tập). Cho X, M là một không gian đo được và cho dãy
hàm sốđo đượcf
n
, f
n
: X → .Chứng minh rằng,
n
sup f
n
,
n
inf f
n

,
n→
lim sup f
n
và
n→
lim inf f
n
là các hàm đo được. Nếutồntại
n→
lim f
n
thì nó cũng là hàm đo được.
Hướng dẫn:
(i) Vớimọi a ∈ ,tacó
x ∈ X :
n
sup f
n
x  a  X  x ∈ X :
n
sup f
n
x ≤ a
 X 

n1
∩ x ∈ X : f
n
x ≤ a



n1
 X  x ∈ X : f
n
x ≤ a


n1
 x ∈ X : f
n
x  a ∈ M.
14
(ii)
n
inf f
n
là hàm đo được, vì
n
inf f
n
 −
n
sup −f
n
.
(iii)
n→
lim sup f
n

là hàm đo được, vì
n→
lim sup f
n
x 
k≥1
inf
n≥k
sup f
n
x .
(iv)
n→
lim inf f
n
là hàm đo được, vì
n→
lim inf f
n
x 
k≥1
sup
n≥k
inf f
n
x .
(iv) Nếutồntại
n→
lim f
n

thì
n→
lim f
n

n→
lim sup f
n
cũng là hàm đo được.
Ví dụ 1.2.10.(Xemnhư bài tập). Cho X, M là một không gian đo được. Chứng
minh rằng

A
là các hàm đo được  A ∈ M.
Hướng dẫn:
(i)

A
là các hàm đo được  A ∈ M.
Thậtvậy A  x ∈ X : 
A
x  1  
A
−1
1 ∈ M.
(ii)
A ∈ M  
A
là các hàm đo được.
Thậtvậy, vớimọi a ∈ , ta có

(j) a ≥ 1:x ∈ X : 
A
x  a   ∈ M,
(jj) a  0:x ∈ X : 
A
x  a  X ∈ M,
(jjj) 0 ≤ a  1:x ∈ X : 
A
x  a  A ∈ M.
Ví dụ 1.2.11.(Xemnhư bài tập). Cho X, M là một không gian đo được. Chứng
minh rằng hàm đơn s 
∑
j1
m

j

A
j
, với 
1
, ,
m
∈ , A
1
, ,A
m
∈ M, là hàm đo
được.
Hướng dẫn:(Xemnhư bài tập).

Định lý 1.2.1.ChoX, M là một không gian đo được, và hàm f : X → −, là
một hàm đo đượctrênX, M.Khiđótồntạimột dãy các hàm đơn s
n
 sao cho
fx 
n→
lim s
n
x, ∀x ∈ X.
Nếu fx ≥ 0, ∀x ∈ X,thìcóthể chọn dãy s
n
 sao cho
0 ≤ s
n
x ≤ s
n1
x ≤ ≤ fx, ∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ X,
fx 
n→
lim s
n
x, ∀x ∈ X.
Chứng minh.
(i) Giả sử fx ≥ 0, ∀x ∈ X,thìxétmột dãy các hàm đơn s
n
 như sau
s
n
x 
n,nếu fx ≥ n,

i−1
2
n
,nếu
i−1
2
n
≤ fx 
i
2
n
, 1 ≤ i ≤ n2
n
.
Dễ thấy s
n
là hàm đơn, vì s
n

i1
n2
n
∑
i−1
2
n

E
n,i
 n

F
n
, với E
n,i
 f
−1


i−1
2
n
,
i
2
n


,
15
F
n
 f
−1

n,

.
Hơnnữa s
n1
x ≥ s

n
x ≥ 0, ∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ X. Ta nghiệmlạirằng fx 
n→
lim s
n
x,
∀x ∈ X.
Cũng chú ý rằng
f
−1

0, n


n2
n
i1
 f
−1


i−1
2
n
,
i
2
n




n2
n
i1
 E
n,i
,
X  f
−1

0,

 f
−1

0, n

 f
−1

n,


n2
n
i1
 f
−1



i−1
2
n
,
i
2
n


 f
−1

n,

.
 Nếu fx  ,thìtồntại n  fx.Dođó, có i :
i−1
2
n
≤ fx 
i
2
n
,dovậy s
n
x 
i−1
2
n
.

Suy ra
|
s
n
x − fx
|
≤
1
2
n
→ 0,khin → .
 Nếu fx  ,thìfx ≥ n vớimọi n.Dođó, s
n
x  n → .
Vậy fx 
n→
lim s
n
x, ∀x ∈ X.
(ii) Xét f tùy ý. Ta viết fx  f

x − f
−
x,với f

x 
1
2

|

fx
|
 fx

,
f
−
x 
1
2

|
fx
|
− fx

là các hàm đo được, không âm. Theo như trên thì có hai dãy
hàm đơn s
n

, s
n
−
 lầnlượthộitụ từng điểm đến các hàm f

, f
−
.Dođó s
n
 s

n

− s
n
−
là
hàm đơnvàs
n
 s
n

− s
n
−
→ f

− f
−
 f.
Chương 2. TÍCH PHÂN VỚI ĐỘ ĐODƯƠNG TỔNG QUÁT
1. TÍCH PHÂN HÀM DƯƠNG ĐO ĐƯỢC
Định nghĩa2.1.1.ChoX, M là một không gian đo được và cho hàm  là một độ
đotrênM.ChoE ∈ M và một hàm đơn không âm s 
∑
j1
m

j

A

j
.Tađặt

E
sd 
∑
j1
m

j
E ∩ A
j
,
và ta gọi

E
sd là tích phân của s trên E.
Chú thích 2.1.1.Quiước 0.  0 được dùng ởđây; có thể xảyrarằng 
j
 0 và
E ∩ A
j
   vớimột j nào đó.
Định nghĩa2.1.2.ChoX, M,  là một không gian đo, cho E ∈ M và một hàm
f : X → 0, đo đượctrênX, M.Tađặt
16

E
fd  sup


E
sd : s là hàm đơntrênX sao cho 0 ≤ s ≤ f ,
và ta gọi

E
fd là tích phân Lebesgue của f trên E đốivới độ đo .Chúýlàcóthề

E
fd  .
Chú thích 2.1.2.Một hàm số có thể có nhiều tích phân tùy vào cách chọn độ
đo.
Định lý 2.1.1.ChoX, M,  là một không gian đo, cho A, B, E ∈ M, 0 ≤ c   và
hai hàm f, g : X → 0, đo đượctrênX, M.Khiđótacó
(i)

E
fd 

X

E
fd,
(ii)

E
fd ≤

E
gd nếu f ≤ g,
(iii)


A
fd ≤

B
fd nếu A ⊂ B,
(iv)

E
cfd  c

E
fd.
(v)

E
fd  0,nếu fx  0 ∀x ∈ E, cho dù E  ,
(vi)

E
fd  0,nếu E  0, cho dù fx  ∀x ∈ E.
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.1.1:
(i)

E
fd 

X

E

fd.
Để cho gọn, ta ký hiệu ℱf  tập các hàm đơn s trên X sao cho 0 ≤ s ≤ f.
Ta viết Định nghĩa 2.1.2. về tích phân Lebesgue của f trên E đốivới độ đo  như
sau.

E
fd  sup

E
sd : s ∈ ℱf ,
Trướchết ta nghiệmlạirằng (i) đúng với f  
A
, A ∈ M,vàvới f là hàm đơn.
*(i)đúng với f  
A
, A ∈ M:Bởivì

E
fd 

E

A
d  E ∩ A 

X

E∩A
d 


X

E

A
fd 

X

E
fd.
** (i) đúng với f 
∑
j1
m

j

A
j
, A
j
∈ M.Bởivì

X

E
fd 

X


E
∑
j1
m

j

A
j
d 

X
∑
j1
m

j

E∩A
j
d 
∑
j1
m

j
E ∩ A
j
 


E
fd
***∀s ∈ ℱfs
E
∈ ℱf
E
 :
17

E
sd 

X
s
E
d ≤ sup

X
s
E
d 

E
sd : s ∈ ℱf
E
 

X


E
fd.
Vậy

E
fd ≤

X

E
fd
1∗
***∀s ∈ ℱf
E
s ∈ ℱf :

E
sd ≤ sup

E
sd : s ∈ ℱf 

E
fd.
Vậy

X

E
fd ≤


E
fd
2∗
Từ
1∗
và
2∗
, ta suy ra (i) đúng.
(ii)

E
fd ≤

E
gd nếu f ≤ g.
Điềunầydễ thấyvìℱf ⊂ ℱg.
(iii)

A
fd ≤

B
fd nếu A ⊂ B,
Chú ý rằng nếu A ⊂ B,thì
A
f ≤ 
B
f, do đó


A
fd 

X

A
fd ≤

X

B
fd 

B
fd.
(iv)

E
cfd  c

E
fd.
Nếu c  0 thì hiển nhiên. Giả sử c  0.

E
cfd  sup

E
sd : s ∈ ℱcf  sup


E
sd :
s
c
∈ ℱf
 sup c

E
rd : r 
s
c
∈ ℱf  csup

E
rd : r ∈ ℱf  c

E
fd.
(v)

E
fd  0, nếu fx  0 ∀x ∈ E, cho dù E  .
Dùng (iv).
(vi)

E
fd  0, nếu E  0, cho dù fx  ∀x ∈ E.
Từđịnh nghĩa.
Định lý 2.1.2 (Định lý hộitụđơn điệu Lebesgue). Cho X, M,  là một không
gian đo, và f

m
 là dãy hàm đo đượctừ X và 0,,vàgiả sử rằng
(i) 0 ≤ f
1
x ≤ f
2
x ≤ ≤ f
m
x ≤ ≤ ∀x ∈ X,
(ii)
m→
lim f
m
x  fx ∀x ∈ X.
Khi đótacóf đo đượcvà
m→
lim

X
f
m
d 

X
fd.
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.1.2:
Vì

X
f

m
d ≤

X
f
m1
d,tồntại  ∈ 0,, sao cho
(1)
m→
lim

X
f
m
d  .
18
Theo ví dụ 1.2.9, thì f 
n→
lim f
n
là hàm đo được. Vì f
m
x ≤ fx, nên ta có

X
f
m
d ≤

X

fd vớimọi m,dođó theo (1), ta có
(2)
 ≤

X
fd.
Để chứng minh  ≥

E
fd,tachỉ cầnchứng minh rằng
(3)
c

X
sd ≤ , ∀s ∈ ℱf, ∀c ∈ 0,1.
Cho s 
∑
j1
m

j

A
j
∈ ℱf, c ∈ 0,1.
Ta đặt
(4)
E
n
 x ∈ X : f

n
x ≥ csx, n ∈ ℕ.
Chú ý rằng mỗi E
n
đo được, E
1
⊂ E
2
⊂ E
3
,vàX 
n1

 E
n
.
Để thấy đẳng thứcnầy, ta xét x ∈ X.
Nếu fx  0, thì x ∈ E
1
.
Nếu fx  0, thì csx  fx, vì 0  c  1.Dođó x ∈ E
n
vớimột n nào đó. Vậy
(5)

X
f
n
d ≥


E
n
f
n
d ≥ c

E
n
sd  c
∑
j1
m

j
E
n
∩ A
j

Sử dụng ví dụ 1.17, áp dụng cho dãy E
n
∩ A
j
 :
E
1
∩ A
j
⊂ E
2

∩ A
j
⊂ E
3
∩ A
j
,vàX ∩ A
j

n1

 E
n
∩ A
j
 A
j
,
ta có
(6)


A
j

 

X ∩ A
j


 


n1


E
n
∩ A
j


n→
lim E
n
∩ A
j
.
Vậy
(7)
∑
j1
m

j
E
n
∩ A
j
 →

∑
j1
m

j
A
j
 

X
sd.
Vậy, cho n → , ta suy từ (1), (5), (7) rằng
(8)
 ≥ c

X
sd.
Cho c → 1
−
,tacó ≥

X
sd.
Sau đólấy Sup trên s ∈ ℱf,tacó
(9)

E
fd  sup

E

sd : s ∈ ℱf ≤ .
(2) – (9)
 

X
fd.
Định lý 2.1.3 (BổđềFatou). Cho X, M,  là một không gian đo, E ∈ M và f
m

là dãy hàm đo đượctừ X và 0,.Khiđótacó

E
m→
lim inf f
m
d ≤
m→
lim inf

E
f
m
d.
19
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.1.3 (BổđềFatou).
Đặt
(1)
g
k
x 

m≥k
inf f
m
x, k  1,2,3, ,x ∈ X
Khi đó, g
k
x ≤ f
k
x,dođó
(2)

E
g
k
d ≤

E
f
k
d, k  1,2,3, 
Mặt khác, 0 ≤ g
1
x ≤ g
2
x ≤ , mỗi g
k
là đo được, và g
k
x →
m→

lim inf f
m
x,khi
k → . Dùng định lý hộitụđơn điệu 2.12, ta có
(3)
k→
lim

E
g
k
d 

E
m→
lim inf f
m
xd.
Từ (2), ta có
(4)
k→
lim

E
g
k
d 
k→
lim inf


E
g
k
d 
m
sup
k≥m
inf

E
g
k
d ≤
m
sup
k≥m
inf

E
f
k
d 
k→
lim inf

E
f
k
d.
Từ (3), (4) dẫn đến


E
m→
lim inf f
m
d ≤ lim inf

E
f
m
d.
2. HÀM KHẢ TÍCH LEBESGUE
Định nghĩa2.2.1.ChoX, M,  là một không gian đo, ởđây  là một độ đodương
trên X.Takýhiệu ℒX,  là tậptấtcả các hàm đo được f : X → ℂ sao cho

X
|
f
|
d  .
Một hàm f ∈ ℒX,  gọilàhàm khả tích Lebesgue trên X theo độ đo .Chúýrằng
tính đo đượccủa f dẫn đến tính đo đượccủa
|
f
|
(môđun của f), do đó

X
|
f

|
d được
xác định.
Nếuchỉ xét một độ đo , không sợ nhầmlẫn, ta có thể ký hiệuchogọnlại
ℒX,   ℒX.Nếu f  u  iv, trong đó u, v là các hàm thực đo đượctrênX,vànếu
f ∈ ℒX,tađịnh nghĩa

E
fd 

E
u

d −

E
u
−
d  i

E
v

d − i

E
v
−
d,
∗

vớimỗitập E ∈ M.
Ởđây u

và u
−
lầnlượt là các phầndương và phầnâmcủa u  u

− u
−
. Công thức
tường minh có thể viết u

 max0, u 
1
2

|
u
|
 u,vàu
−
 min0, u 
1
2

|
u
|
− u.Một
cách tương tự v


và v
−
cũng thu đượctừ v.Cũng chú ý rằng 4 tích phân trong (*) tồn
tạinhư trong định nghĩa 2.1.2. Hơnnữa, ta có u

≤
|
u
|
≤
|
f
|
, Như vậycả 4 tích phân
20
trong (*) là hữuhạn. Vậy(*)xácđịnh và tích phân

E
fd ∈ ℂ.
Trong trường hợp hàm f : X → −, đo đượctrênX,choE ∈ M.Tađịnh nghĩa

E
fd 

E
f

d −


E
f
−
d nếuítnhấtmột trong 2 tích phân

E
f

d,

E
f
−
d là hữuhạn.
Như vậy tích phân

E
fd ∈ −,.
Định lý 2.2.1.ChoX, M,  là một không gian đo, cho f và g ∈ ℒX,  và  ∈ ℂ.
Khi đó f  g, f ∈ ℒX,  và ta có

X
f  gd 

X
fd 

X
gd,


X
fd  

X
fd.
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.2.1.
a/ Xét f và g đo được không âm.
Chọn hai dãy tăng các hàm đơn s
m
1
, s
m
2
, sao cho s
m
1
↑ f và s
m
2
↑ g.Khiđó
s
m
1
 s
m
2
↑ f  g.
Từđẳng thức
(1)


X
s
m
1
 s
m
2
d 

X
s
m
1
d 

X
s
m
2
d,
ta sử dụng định lý hộitụđơn điệu 2.12, ta có
(2)
k→
lim

X
s
m
1
d 


X
fd.
k→
lim

X
s
m
2
d 

X
gd.

X
f  gd 
k→
lim

X
s
m
1
 s
m
2
d 
k→
lim


X
s
m
1
d 
k→
lim

X
s
m
2
d


X
fd 

X
gd.
b/ Xét f và g là các hàm thực đo được. Đặt h  f  g,tacó
(3)
h

− h
−
 f

− f

−
 g

− g
−
.
Do đó
(4)
h

 f
−
 g
−
 h
−
 f

 g

Áp dụng tích phân cho tổng các hàm không âm
(5)

X
h

d 

X
f

−
d 

X
g
−
d 

X
h
−
d 

X
f

d 

X
g

d
hay
(6)

X
hd

X
h


d −

X
h
−
d 

X
fd

X
f

d −

X
f
−
d 

X
gd

X
g

d −

X

g
−
d
21
c/ Xét f và g là các hàm phức đo được. f  u  iv, g  w  iz. Đặt h  f  g,tacó
(7)
h  Re h  iIm h  u  w  iv  z
(8)

X
hd 

X
Re hd  i

X
Im hd 

X
u  wd  i

X
v  zd


X
ud 

X
wd  i


X
vd 

X
zd


X
fd

X
ud  i

X
vd 

X
gd

X
wd  i

X
zd
Định lý 2.2.2.ChoX, M,  là một không gian đo, cho f ∈ ℒX, .Khiđó

X
fd ≤


X
|
f
|
d.
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.2.2
Đặt Z 

X
fd Do Z ∈ ℂ, nên tồntại  ∈ ℂ,
|

|
 1 sao cho Z 
|
Z
|
. Đặt
u  Ref.Khiđó u ≤
|
f
|

|
f
|
.Dođó

X
fd 

|
Z
|
 Z  

X
fd 

X
fd 

X
ud ≤

X
|
f
|
d.
Chú ý rằng

X
fd là số thực.
Định lý 2.2.3 (Định lý hộitụ bị chận Lebesgue). Cho X, M,  là một không
gian đo, và f
m
 là dãy hàm phức đo đượctừ X sao cho
(i)
fx 
m→

lim f
m
x tồntại ∀x ∈ X.
Nếutồntại g ∈ ℒX,  sao cho
(ii)
|
f
m
x
|
≤ gx ∀m  1,2, ; ∀x ∈ X.
Khi đó
f ∈ ℒX, ,
m→
lim

X
|
f
m
− f
|
d  0 và
m→
lim

X
f
m
d 


X
fd.
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.2.3
Do
|
fx
|
≤ gx và f đo được, f ∈ ℒX, .Vì
|
f
m
x − fx
|
≤ 2gx, ta áp dụng Bổđề
Fatou (Định lý 2.1.3) cho hàm 2gx −
|
f
m
x − fx
|
và dẫn đến
(1)

X
2gd ≤ lim inf

X

2g −

|
f
m
− f
|

d


X
2gd
m→
 lim inf −

X
|
f
m
− f
|
d


X
2gd
m→
− lim sup

X
|

f
m
− f
|
d.
22
Vì

X
2gd hữuhạn nên,
m→
lim sup

X
|
f
m
− f
|
d ≤ 0. Điềunầydẫn đếntồntại
m→
lim

X
|
f
m
− f
|
d và  0.Mà điềunầydẫn đến

m→
lim

X
f
m
d 

X
fd, bởivì

X
f
m
d −

X
fd 

X
f
m
− fd ≤

X
|
f
m
− f
|

d → 0.
Định nghĩa2.2.2.ChoX, M,  là một không gian đo, với  là một độ đodương
trên X và E ∈ M.Taxétmộthọ tính chất P  Px : x ∈ E. Ta nói P đúng hầuhết
trên E (theo độ đo )nếutồntạimộttập N ∈ M sao cho N ⊂ E, N  0,vàPx
đ
úng ∀x ∈ E  N.Tacònviết"P đúng h.h. trên E ", hay " P đúng a.e. trên E "(almost
everywhere). Khái niệm hầuhết phụ thuộcvàođộ đochotrướcvàđể chorõtasẽ viết
" P đúng h.h. trên E ", hay " P đúng a.e.  trên E ".
Ví dụ như,nếu hai hàm f và g đo đượctrênX và nếu x ∈ X : fx ≠ gx  0,
thì ta nói rằng
f  g h.h.  trên X.
Cho X, M, là một không gian đo, với  là một độ đodương trên X.Khiđó
ℒX,  là một không gian vectơ trên  đốivới phép cộng và nhân thông thường. Cho f
và g ∈ ℒX, ,takýhiệu f  g nếu f  g h.h.  trên X.Cóthể kiểmtrađượcrằng 
là một quan hệ tươ
ng đương trên ℒX, .
Ta cũng chú ý rằng nếu f  g,khiđóvớimọi E ∈ M,tacó

E
fd 

E
gd.
Để thấy điềunầy, ta phân tích E  E  N  E ∩ N thành hộicủa hai tậprời nhau
E  N và E ∩ N,với N  x ∈ E : fx ≠ gx; f  g,trênE  N và E ∩ N  0.
Định nghĩa2.2.3.Takýhiệu L
1
X,   ℒX, ╱  là tậpthương (tứctậpcáclớp
tương đương trên ℒX,  đốivới quan hệ tương đương ). Khi đó L
1

X,  cũng là
một không gian vectơ trên  đốivới phép cộng và nhân như sau:

f 

g 
f  g và 

f  f, ∀f, g ∈ ℒX, , ∀ ∈ .
Nếu không sợ nhầmlẫn, ta có thể ký hiệuchogọnlại L
1
X,   L
1
X.TrênL
1
X
ta xác định mộtchuẩn
‖
f
‖


X
|
f
|
d ∀f ∈ L
1
X.
Định lý 2.2.4.


L
1
X, ,
‖

‖

là một không gian Banach.
Chứng minh Định lý 2.2.4như bài tập

Ví dụ 2.2.1.(Xemnhư bài tập). Cho f : X → 0,  và f ∈ ℒX, .Chứng minh rằng


x ∈ X : fx  

 0.
Hướng dẫn:(Xemnhư bài tập).
Đặt A
n
 x ∈ X : fx  n.
Khi đó A
n
∈ M, A
1
⊃ A
2
⊃ ⊃ A
n
⊃ và x ∈ X : fx    ∩

n1

A
n
.
23
Mặt khác
A
n
 
1
n

X
n
A
n
d ≤
1
n

X

A
n
fd ≤
1
n

X

fd → 0.
Khi đó, áp dụng ví dụ 1.1.8, ta có 

x ∈ X : fx  

 ∩
n1

A
n
 
n→
lim A
n
  0.
Ví dụ 2.2.2.(Xemnhư bài tập). Cho f : X → −,  và f ∈ ℒX, .Chứng minh
rằng 

x ∈ X :
|
fx
|
 

 0.
Hướng dẫn: Dùng bài tậptrênvới f thay bởi
|
f
|
.

Ví dụ 2.2.3.(Xemnhư bài tập). Cho X, M,  là một không gian đ
ovới độ đo
dương .
(a) Giả sử f : X → 0, đo được, E ∈ M và

E
fd  0.Chứng minh rằng f  0 a.e.
trên E.
(b) Giả sử f ∈ ℒX,  và

E
fd  0 ∀E ∈ M.Chứng minh rằng f  0 a.e. trên X.
(c) Giả sử f ∈ ℒX,  và

X
fd 

X
|
f
|
d.Chứng minh rằng tồntạimộthằng số
 sao cho f 
|
f
|
a.e. trên X.
Hướng dẫnchứng minh Ví dụ 2.2.3.
(a) Đặt A
n

 x ∈ E : fx 
1
n
.Khiđó x ∈ E : fx  0  
n1

A
n
.
1
n
A
n
 
1
n

X

A
n
d ≤

A
n

A
n
fd ≤


A
n
fd ≤

E
fd  0.
Vậy, ta có A
n
  0.Vìx ∈ E : fx  0  
n1

A
n
,tacó


x ∈ E : fx  0

 


n1

A
n

≤
∑
n1


A
n
  0.Vậy f  0 a.e. trên E.
(b) Đặt f  u  iv,vàE  x ∈ X : ux ≥ 0.Khiđó

E
fd  0  Re

E
fd 

E
ud  0 và Im

E
fd 

E
vd  0.
Đặcbiệt, Re

E
fd 

E
ud 

E
u


d  0.Dođótừ (a), ta có u

 0 a.e. trên E.
Do đó u

 0 a.e. trên X.(VìX  E  x ∈ X : ux  0  x ∈ X : u

x  0). Tương
tự ta cũng có
u
−
 v

 v
−
 0 a.e. trên X.
(c) (i) Nếu f 
|
f
|
a.e. trên X,  ∈ ℂ,thì
|

|
 1 và

X
|
f
|

d 

X
fd  Re

X
fd 

X
fd 
|

|

X
fd 

X
fd .
(ii) Đặt Z 

X
fd.ChúýlàZ ∈ ℂ, nên tồntại  ∈ ℂ,
|

|
 1 sao cho Z 
|
Z
|

.
Đặt U  Ref.Khiđó U ≤
|
f
|

|
f
|
.Dođó

X
fd 
|
Z
|
 Z  

X
fd 

X
fd
 Re

X
fd 

X
Ref d 


X
Ud ≤

X
|
f
|
d.
(Chú ý rằng

X
fd là số thực). Vậy
24

X
fd 

X
|
f
|
d 

X
Ud 

X
|
f

|
d 

X

|
f
|
− Ud  0.
Vì
|
f
|
− U ≥ 0, nên (a) chứng tỏ rằng
|
f
|
− U  0 a.e. trên X. Điềunầy nói rằng
Ref  U 
|
f
|

|
f
|
a.e. trên X.Dođó Imf  0 a.e. trên X.Vậy f 
|
f
|


|
f
|
a.e.
trên X.
Định lý 2.2.5.Cho
X, M,  là một không gian đo, và f
m
 là dãy hàm phức đo
đượcxácđịnh a.e. trên X sao cho
(i)
∑
m1


X
|
f
m
|
d  .
Khi đóchuỗi hàm
(ii)
fx 
∑
m1

f
m

x hộitụ a.e. trên X, f ∈ ℒX, ,và
(iii)

X
fd 
∑
m1


X
f
m
d.
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.2.5. Đặt S
m
 x ∈ X : f
m
x xác định.Ta
có 

X  S
m

 0. Đặt x 
∑
m1

|
f
m

x
|
,với x ∈ S  ∩
m1

S
m
.Khiđó


X  S

 

X  ∩
m1

S
m

 


m1

X  S
m


 0.Do(i),vàsử dụng định lý hộitụđơn

điệuvới

N
x 
∑
m1
N
|
f
m
x
|
↗ x 
∑
m1

|
f
m
x
|
với x ∈ S  ∩
m1

S
m
.
ta có
(1)


S
d 
N→
lim

S

N
d 
N→
lim

S
∑
m1
N
|
f
m
x
|
d

N→
lim
∑
m1
N

S

|
f
m
x
|
d 
∑
m1


S
|
f
m
|
d 
∑
m1


X
|
f
m
|
d  .
Nếu E  x ∈ S : X : x  ,tasuyrarằng (Xem Ví dụ 2.2.2), 

X  E


 0.
Chuỗi hàm (ii) hộitụ tuyệt đốitạimỗi x ∈ E,vànếu fx đượcxácđịnh bởi (ii) với
x ∈ E,thì
|
fx
|
≤ x trên E,do(1),tacóf ∈ ℒE
, .Nếu G
N
x 
∑
m1
N
f
m
x,khiđó
|
G
N
|
≤ , G
N
x → fx vớimọi x ∈ E,vàdoĐịnh lý 2.2.3 (Định lý hộitụ bị chận
Lebesgue), ta có
(2)

E
fd 
N→
lim


E
G
N
d 
N→
lim

E
∑
m1
N
f
m
xd 
∑
m1


E
f
m
d.
(2) suy ra (iii), bởivì

X  E

 0.
Bài tập (Định lý 2.2.6). Cho X, M,  là một không gian đo. Cho f ∈ ℒX,  và
f

m
 ⊂ ℒX,  sao cho
m→
lim

X
|
f
m
− f
|
d  0.
Chứng minh rằng tồntạimột dãy con f
m
k
 của f
m
 và tồntại g ∈ ℒX,  sao cho
là dãy hàm phức đo đượcxácđịnh a.e. trên X sao cho
(i)
|
f
m
k
x
|
≤ gx ∀x ∈ X, ∀k ∈ ℕ,
25
(ii)
fx 

k→
lim f
m
k
x a.e. trên X.
Hướng dẫnchứng minh Định lý 2.2.6.
Do
m→
lim

X
|
f
m
− f
|
d  0,tacómột dãy con f
m
k
 của f
m
 sao cho

X
|
f
m
k1
− f
m

k
|
d ≤
1
2
k
, ∀k ∈ ℕ.
Đặt F
1
 f
m
1
, F
k
 f
m
k
− f
m
k−1
, k ≥ 2 và g 
∑
k1

|
F
k
|
.
Ta có

(i)
∑
k1


X
|
F
k
|
d 

X
|
F
1
|
d 
∑
k2


X
|
F
k
|
d



X
|
f
m
1
|
d 
∑
k2


X
|
f
m
k
− f
m
k−1
|
d
≤

X
|
f
m
1
|
d 

∑
k2

1
2
k−1


X
|
f
m
1
|
d  1  .
Áp dụng định lý 2.25, ta có chuỗi hàm
(ii)

f x 
∑
k1

F
k
x 
k→
lim f
m
k
x

hộitụ a.e. trên X,

f ∈ ℒX, .
Mặtkhác,và
|
f
m
k
x
|

∑
j1
k
F
j
x ≤
∑
j1
k
|
F
j
x
|
≤
∑
j1

|

F
j
x
|
 gx ∀x ∈ X, ∀k ∈ ℕ.
Áp dụng định lý hộitụ bị chận Lebesgue, ta có

f ∈ ℒX, ,
k→
lim

X
f
m
k
−

f d  0.
Cũng do
m→
lim

X
|
f
m
− f
|
d  0,tasuyra


f  f a.e. trên X.
Bài tập (Định lý Egoroff). Cho X, M,  là một không gian đovớimột độ do
dương  sao cho X .Chof
m
 dãy các hàm đo đượctrênX và hộitụ hầuhết
về f trên X.Cho  0,tồntại A ∈ M,với X  A   sao cho f
m
 hộitụđềutrênA.
Ýtưởng Định lý Egoroff là sự hộitụ hầuhếttrêntậpcóđộ đohữuhạnsẽđiều
chỉnh thành hộitụđều sau khi bo qua mộttậpcóđộ đonhỏ tùy ý.
Hướng dẫnchứng minh Định lý Egoroff.Tagiả sử rằng dãy hàm f
m
 hội
tụ từng điểmvề f trên X.
Đặt
Sn, k  ∩
in

x ∈ X :
|
f
i
x − fx
|

1
k
.
Cho x ∈ X,vàk ∈ ℕ,dof
m

 hộitụ từng điểmvề f trên X,tacón ∈ ℕ, sao cho
x ∈ Sn, k.Dođóvớimọi k ∈ ℕ,tacó
X  
n1

Sn, k.
Chú ý rằng S1, k ⊂ S2, k ⊂ S3, k ⊂ Áp dụng Ví dụ 1.1.7, ta có