LANg GIANG 1 TOAN 12 KHOI AA1 NAM 2013 2014tuyen tap de thi toan 2014 moi nhat
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (223.58 KB, 7 trang )
TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề gồm 01 trang
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 1
Năm học: 2013 - 2014
Môn: Toán - Khối A, A1. Thời gian làm bài: 150 phút
*******
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số
2 4
1
x
y
x
− +
=
−
có
đồ
th
ị
là (
C
)
a. Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
(
C
) c
ủ
a hàm s
ố
.
b. Tìm m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2d y x m= +
c
ắ
t
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i 2
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A và B sao cho
15
4
IAB
S
∆
=
v
ớ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C).
Câu 2 (1,0 điểm)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau:
( )
2
3cos 2 3 cos 1 cotx x x− = −
Câu 3 (1,0 điểm)
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình:
( )
( )
2 3
2 3 2
4 8 4 12 5 4 13 18 9 1
4 8 4 2 1 2 7 2 0 2
x x y y y x
x x x y y y
− − − = + + −
− + − + + + =
,
( )
x, y∈ ℝ
Câu 4 (1,0 điểm)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình sau:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
log 2x 7 log x 1 log x 3− − − = +
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho hình chóp
S.ABC
có
đ
áy là tam giác vuông cân t
ạ
i
B, BA = a
. Tam giác
SAC
cân
t
ạ
i
S
và n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i mp
(ABC).
G
ọ
i
M, N
l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
SA,
BC;
bi
ế
t
góc gi
ữ
a
MN
v
ớ
i mp(ABC) b
ằ
ng
0
60
.Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
S.ABC
và kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng
th
ẳ
ng chéo nhau
AC, MN
theo a.
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho
, , 0a b c >
th
ỏ
a mãn
( ) ( )
4 4 4 2 2 2
3 7 12 0a b c a b c+ + − + + + =
. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t
c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
2 2 2
2 2 2
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + +
B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình chuẩn.
Câu 7a (1,0 điểm)
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy, cho 2
đườ
ng th
ẳ
ng
1
:2 11 7 0x y∆ − + =
và
2
:2 3 4 0x y∆ + + =
. L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
d
đ
i qua
đ
i
ể
m
( )
8; 14
M
−
c
ắ
t hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1
∆
và
2
∆
l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i A, B sao cho
2 3 0
AM MB
+ =
Câu 8a (1,0 điểm)
M
ộ
t h
ộ
p có 7 viên bi màu
đỏ
, 5 viên bi màu xanh và 6 viên b
ị
màu vàng. L
ấ
y ng
ẫ
u
nhiên trong h
ộ
p ra 4 viên bi. Tính xác su
ấ
t
để
4 viên bi l
ấ
y ra có
đủ
3 m
ầ
u.
Câu 9a (1,0 điểm)
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
1
x
−
trong khai tri
ể
n
2
3
3
2
n
x
x
−
thành
đ
a th
ứ
c. Bi
ế
t r
ằ
ng
n
là m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng th
ỏ
a mãn
3 3 2 1
1 1 3
.
n n
n n n n
C C C C
− −
− − +
− =
2. Theo chương trình nâng cao.
Câu 7b (2,0 điểm)
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ
độ
Oxy,
cho
∆
ABC có
đỉ
nh A thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
d
: x – 4y – 2 = 0, c
ạ
nh BC song song v
ớ
i
d
, ph
ươ
ng trình
đườ
ng cao BH: x + y + 3 = 0 và trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
c
ạ
nh AC là M(1; 1). Tìm to
ạ
độ
các
đỉ
nh A, B, C.
Câu 8b (2,0 điểm)
T
ừ
các ch
ữ
s
ố
0; 1; 2; …; 9 có th
ể
l
ậ
p
đượ
c bao nhiêu s
ố
t
ự
nhiên ch
ẵ
n g
ồ
m n
ă
m ch
ữ
s
ố
khác nhau
đ
ôi m
ộ
t và ch
ữ
s
ố
chính gi
ữ
a luôn là 2.
Câu 9b
(1,0 điểm)
Tìm các giá tr
ị
x
, bi
ế
t trong khai tri
ể
n Newton
( )
x
n
x
5
lg(10 3 ) ( 2)lg3
2 2
− −
+
s
ố
h
ạ
ng th
ứ
6 b
ằ
ng 21 và
n n n
C C C
1 3 2
2+ =
.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài.
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
H
ọ tên thí sinh: Số báo danh:
CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM
HƯỚNG DẪN CHẤM
Ơ
Lưu ý:
Dưới đây chỉ là hướng dẫn chấm và sơ lược các bước giải, trong bài làm của học sinh
phải yêu cầu trình bày chi tiết, lập luận chặt chẽ, không được dùng bút xóa và không được viết
tắt.
Các đồng chí chấm đúng và đủ điểm cho học sinh để bài thi còn trả lại học sinh.
Các cách làm khác nếu đúng, các đồng chí vận dụng cách cho điểm trong hướng dẫn
chấm để chấm cho học sinh
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
a
+ Tập xác định:
{ }
\ 1D R=
+ S
ự biến thiên
lim 2
x
y
→+∞
=
,
lim 2
x
y
→−∞
=
.
2y =
là tiệm cận ngang của đồ thị (C)
1
lim
x
y
+
→
= −∞
,
1
lim
x
y
−
→
= +∞
.
1x =
là tiệm cận ngang của đồ thị (C)
+ Ta có
( )
2
2
' 0 x
1
y D
x
= > ∀ ∈
−
Bảng biến thiên
+ K
ết luận:
- Hàm số đồng biến trên
( )
;1−∞
và
( )
1;+∞
- Hàm số không có cực trị
+
Đồ thị: Vẽ đúng dạng, đẹp
0.25
0.25
0.25
0.25
1
b
+ Xét ph
ương trình hoành độ giao điểm
( ) ( )
2
1
2 4
2
2 4 4 0 1
1
x
x
x m
x m x m
x
≠
− +
= + ⇔
+ − − + =
−
Đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm A, B phân biệt
⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
( )
( )
2
2 4 4 0
16 0
4
*
4
m m
m
m
m
+ − − + ≠
⇔
∆ = − >
>
⇔
< −
+ Khi đó,
( ) ( )
;2 ; ;2
A A B B
A x x m B x x m
+ +
với
;
A B
x x
là nghiệm của (1)
Áp d
ụng định lí Viet ta có:
4
2
4
2
A B
A B
m
x x
m
x x
−
+ =
−
=
+ Theo gi
ả thiết, ta có
( )
2 2
15
2 , . 15 2. . 15 4. . 1125
4
5
AIB
m
S d I AB AB AB AB m
∆
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
( ) ( )
2 2
2 2
20 . 1125 4 4 . 1125
A B A B A B
x x m x x x x m
⇔ − = ⇔ + − =
( )
2 2
2
2
2
16 225
25
9
25
5
5
m m
m
m
m
m
m
⇔ − =
=
⇔
= −
⇔ =
=
⇔
= −
0.25
0.25
0.25
0.25
CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM
Vậy
5m = ±
là giá trị cần tìm
2
+ Điều kiện:
sin 0 ,x x k k Z
π
≠ ⇔ ≠ ∈
. Khi đó phương trình
( )
( )
( )( )
2
2
2
2
2
2
2
cos
3cos 2 3 cos 1
sin
cos
3cos 2 3 cos 1
1 cos
cos
3cos 2 3
1 cos
3cos 2 1 cos 3cos
6cos cos 2 0
1
cos
2
2
cos
3
x
x x
x
x
x x
x
x
x
x
x x x
x x
x
x
⇔ − = −
⇔ − = −
−
⇔ − = −
+
⇔ − + = −
⇔ + − =
=
⇔
= −
Với
2
1
3
cos
2
2
3
x k
x
x k
π
π
π
π
= +
= ⇔
= − +
V
ới
2
arccos 2
3
2
cos
3
2
arccos 2
3
x k
x
x k
π
π
= − +
= − ⇔
= − − +
Kết luận:….
0.25
0.25
0.25
3
Điều kiện:
1
2
x ≥
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
3
3
3
1 8 2 1 4 12 13 5 3 2 1
8 2 1 3 2 1 4 12 13 5
4 2 1 1 2 1 4 1 1
4 2 1 2 1 4 1 1 3
x x y y y x
x x x y y y
x x y y
x x y y
⇔ − = + + + + −
⇔ − − − = + + +
⇔ − + − = + + +
⇔ − + − = + + +
Từ
( )
3 1 0 1y y⇒ + ≥ ⇔ ≥ −
Xét hàm số
( )
3
4f t t t= +
trên
[
)
0;D = +∞
Ta có
( )
2
' 12 1 0,f t t t D= + > ∀ ∈
. Suy ra
( )
3
4f t t t= +
đồng biến trên D
Khi đó:
( )
( )
( )
2
3 2 1 1
2 1 1
2 2 2
f x f y
x y
x y y
⇔ − = +
⇔ − = +
⇔ = + +
Thay vào
( )
2
ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2 3 2
4 3 2
2
2 2 4 2 2 4 1 2 7 2 0
6 11 6 0
1 5 6 0
0
1
2
3
y y y y y y y y
y y y y
y y y y
y
y
y
y
+ + − + + + + + + + =
⇔ + + + =
⇔ + + + =
=
= −
⇔
= −
= −
0.25
0.25
0.25
0.25
CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM
So sánh với điều kiện
1y ≥ −
. Ta có
0
1
y
y
=
= −
Với
0y =
ta có
1x =
Với
1y = −
ta có
1
2
x =
Kết luận:….
4
Điều kiện:
1
7
2
x
x
>
≠
. Khi đó phương trình tương đương với
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2
2log 2 7 2log 1 2log 3
log 2 7 log 1 log 3
log 2 7 log 1 3
2 7 1 3 *
x x x
x x x
x x x
x x x
− − − = +
⇔ − = − + +
⇔ − = − +
⇔ − = − +
Tr
ường hợp 1: Nếu
7
2 7 0
2
x x− ≥ ⇔ ≥
thì
( )
2 2
* 2 3 2 7 x 4 0x x x⇔ + − = − ⇔ + =
Phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2: Nếu
7
2 7 0
2
x x− < ⇔ <
thì
( )
2
2
* 2 3 2 7
x 4 10 0
2 14
2 14
x x x
x
x
x
⇔ + − = − +
⇔ + − =
= − +
⇔
= − −
Kết hợp điều kiện
7
2
x <
và
1
7
2
x
x
>
≠
ta có
2 14x = − +
là nghiệm của PT đã cho.
0.25
0.25
0.25
0.25
5
N
M
I
A
C
B
S
H
J
K
Gọi I là trung điểm AC, do
SAC∆
cân tại S nên
( )SI ABC⊥
. Gọ
i H là trung
đ
i
ể
m AI
suy ra MH//SI ( )MH ABC
⇒
⊥ , do
đ
ó (MN,(ABC)) = MNH∠ = 60
0
. Ta
có
2
2
ABC
a
S =
.
Xét
HCN∆
có:
2
2 2 2 0
3 2 5
; ; 2 . . os45
2 4 8
a a a
NC HC NH HC NC HC NC c= = = + − =
;
10
4
a
NH =
0.25
CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM
0
30 30
ó tan60 ; 2
4 2
Trong MHN c MH NH a SI MH a∆ = = = =
3
.
1 30
.
3 12
S ABC ABC
V SI S a⇒ = =
Goi J là trung điểm AB, K là hình chiếu vuông góc của H lên MJ tức là
HK MJ⊥
(1).
Ta có
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, à / / 2
/ / , à (3)
2 , 3 4
1 , 4
JN BI m BI HJ JN HJ
SI MH m SI JN JN MH
JN MHJ HK HK JN
HK MNJ
⊥ ⇒ ⊥
⊥ ⇒ ⊥
⇒ ⊥ ⊃ ⇒ ⊥
⇒ ⊥
( , ) ( , ) ( ,( ))d AC MN d H AC MN d H MJN HK= ∈ = =
=
2 2
.MH HJ
MH HJ+
=
2 2
30 2
.
30
4 4
16
30 2
16 16
a a
a
a a
=
+
0.25
0.25
0.25
6
Áp d
ụ
ng b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Cosi ta có:
( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2
2
2 .
2 9 2 9 3
b c a b c a
a a a
b c b c
+ +
+ ≥ =
+ +
T
ươ
ng t
ự
ta c
ũ
ng có
( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2
2
2 .
2 9 2 9 3
c a b c a b
b b b
c a c a
+ +
+ ≥ =
+ +
( ) ( )
2 2
2 2 2
2 2
2
2 .
2 9 2 9 3
a b c a b c
c c c
a b a b
+ +
+ ≥ =
+ +
Khi
đ
ó
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 1
2 2 2
2 2 2 3 9
a b c
P a b c a b c b c a c a b
b c c a a b
= + + ≥ + + − + + + + +
+ + +
(*)
Theo Cosi, ta có
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 3 3 3
3 3 3
a a c b b a c c b
a c b a c b a b c
+ + + + + +
+ + ≤ + + = + +
(**)
T
ừ
(*) và (**) suy ra
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1
3 9
2 1
3
3 9
P a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
≥ + + − + + + +
≥ + + − + + + +
Đặ
t
( )
2 2 2
3t a b c= + +
, t
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2 4 4 4 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
7 12 3
7 12 0
3 4
a b c a b c a b c
a b c a b c
a b c
+ + − = + + ≥ + +
⇔ + + − + + + ≤
⇔ ≤ + + ≤
Do
đ
ó
2 3
2 1
9 27
P t t≥ −
. Xét hàm s
ố
( )
2 3
2 1
9 27
f t t t= −
trên
3; 12D
=
L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thi
ế
n c
ủ
a hàm s
ố
( )
2 3
2 1
9 27
f t t t= −
trên
3; 12D
=
ta
đượ
c
( ) ( )
min 3 1
D
f t f= =
. Suy ra
1P ≥
V
ậ
y Min
1P =
đạ
t
đượ
c khi
1a b c= = =
0.25
0.25
0.25
0.25
CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM
B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo ch
ương trình chuẩn.
7a
G
ọi
1
11 7 11 23
; ; 14
2 2
a a
A A a MA a
− −
∈∆ ⇒ ⇒ = +
G
ọi
2
3 4 3 20
; ; 14
2 2
b b
B A b MB b
− − − −
∈∆ ⇒ ⇒ = +
Theo giả thiết, ta có
3 2 0 3 2MB AM MB MA+ = ⇔ =
9 60
22 9 14 1
11 23
2
2 3 14 4
3 42 2 28
b
a b a
a
a b b
b a
− −
+ = − =
= −
⇔ ⇔ ⇔
− = = −
+ = +
Khi đó
( ) ( )
2;1 , 4; 4A B −
Ta có
( )
2; 5AB = −
là 1 vecto chỉ phương của AB.
AB được xác định
( )
( )
2;1
2; 5
qua A
vtcp AB
= −
AB có phương trình tham số
2 2
1 5
x t
y t
= +
= −
0.25
0.25
0.25
0.25
8a
+ Số phần tử của không gian mẫu
( )
4
18
3060n CΩ = =
+ G
ọi biến cố A = “Bốn viên bi lấy ra có đủ 3 mầu”
Số các cách chọn thuận lợi cho biến cố A là
( )
2 1 1 1 2 1 1 1 2
7 5 6 7 5 6 7 5 6
1575n A C C C C C C C C C= + + =
Xác suất của biến cố A là
( )
( )
( )
1575 35
0.515
3060 68
n A
P A
n
= = = =
Ω
0.25
0.5
0.25
9a
Điều kiện:
, 3n N n∈ ≥
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3 2 1
1 1 3
1 ! 1 ! 3 !
!
. .
3! 3 ! 3 !2! 2 !1! 2 !1!
n n
n n n n
n n n
n
C C C C
n n n n
− −
− − +
− − +
− = ⇔ − =
− − − +
2
12
11 12 0
1
n
n n
n
=
⇔ − − = ⇔
= −
. Vậy
12n =
.
V
ới
12n =
ta có
( )
( )
( )
12
12 12
12
2 2 12 24 5
12 12
3 3
0 0
3 3
2 1 . 2 . 1 .2 .3 .
k
k
k k
k k k k k
k k
x C x C x
x x
−
− −
= =
− = − = −
∑ ∑
S
ố hạng chứa
1
x
−
trong khai triển ứng với
24 5 1 5k k− = − ⇔ =
V
ậy hệ số của số hạng chứa
1
x
−
là
( )
5
5 7 5
12
1 2 .3 24634368C− = −
0.25
0.25
0.25
0.25
2. Theo chương trình nâng cao.
7b
Ta có AC vuông góc với BH và đi qua M(1; 1) nên có phương trình:
y x
=
.
Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ :
x
x y
A
y x
y
2
2 2
4 2 0
3
;
2
3 3
3
= −
− − =
⇔ ⇒ − −
=
= −
Vì M là trung điểm của AC nên
C
8 8
;
3 3
Vì BC đi qua C và song song với d nên BC có phương trình:
x
y
2
4
= +
( )
x y
x
BH BC B B
x
y
y
3 0
4
: 4;1
1
2
4
+ + =
= −
∩ = ⇔
⇒ −
=
= +
0.25
0.25
0.25
0.25
8b
+ Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một là
2
ab de
Do
2
ab de
là số chẵn nên
{ }
0;4;6;8
e∈
0.25
CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM
+ Trường hợp 1: Nếu
0e =
thì
a có 8 cách ch
ọn
b có 7 cách chọn
d có 6 cách chọn
e có 1 cách chọn
Theo qui tắc nhân ta có: 8.7.6.1 = 336 số
+ Trường hợp 2: Nếu
{ }
4;6;8e∈
thì
a có 7 cách ch
ọn
b có 7 cách chọn
d có 6 cách chọn
e có 3 cách chọn
Theo qui tắc nhân ta có: 7.7.6.3 = 882 số
V
ậy có 336 + 882 = 1218 số
0.25
0.25
0.25
9b
+ Phương trình
n n n
C C C
1 3 2
2+ =
⇔
n n n
2
( 9 14) 0
− + =
⇔
n 7=
+ Số hạng thứ 6 trong khai triển
( )
x
x
7
5
lg(10 3 ) ( 2)lg3
2 2
− −
+
là:
( )
( )
x
x
C
2
5
5
5 lg(10 3 ) ( 2) lg3
7
2 2
− −
+ Ta có:
x
x
C
5 lg(10 3 ) ( 2) lg3
7
.2 .2 21
− −
=
⇔
x
xlg(10 3 ) ( 2)lg3
2 1
− + −
=
⇔
x
xlg(10 3 ) ( 2) lg3 0− + − =
⇔
x x 2
(10 3 ).3 1
−
− =
⇔
x x2
3 10.3 9 0− + =
⇔
x x0; 2
= =
+ KÕt luËn:…
0.25
0.25
0.25
0.25
CHUYÊN BDVH MÔN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH CHẤT LƯỢNG CAO _ THẦY TUYẾN _ ĐT: 0917.689.883
NHẬN DẠY KÈM THEO YÊU CẦU QUÝ PHỤ HUYNH - HỌC SINH Ở CÁC QUẬN TẠI TP.HCM
