bat dang thuc rat hay

BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1.Bất đẳng thức cosi:
2a b ab+ ≥
2.Bất đẳng thức Bunhiacopki:
( )
2
2 2 2 2
( )( )ax by a b x y+ ≤ + +
Chứng minh :
2 2 2 2 2
a 2 0 ( ) 0y abxy b x ay bx− + ≥ ⇔ − ≥
3.Bất đẳng thức Cosi-Svac cho 3 số:
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
( ) ( )( )
: ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0
( ) ( ) ( ) 0
ax by cz a b c x y z
CM a y abxy b x a z acxz c x b z bcyz c y
ay bx az cx bz cy
+ + ≤ + + + +
− + + − + + − + ≥
⇔ − + − + − ≥
4.Bất đẳng thức Holder:
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
( ) ( )( )( )

:
3
( )( )( )
axm byn czp a b c x y z m n p
CM
a x m axm
a b c x y z m n p
a b c x y z m n p
+ + ≤ + + + + + +
+ + ≥
+ + + + + +
+ + + + + +
Tiếp tục với 2 cặp(b,y,n) và (c,z,p) rồi cộng vế theo vế
5.Một số hệ quả:
2 2 2
2 2 2 2
( )
1.
: ( ) ( ) ( ) ( ) 0
a b a b
x y x y
CM a y x y b x x y a b xy ay bx
+
+ ≥
+
+ + + ≥ + ⇔ − ≥
2 2 2 2
( )
2.
a b c a b c

x y z x y z
+ +
+ + ≥
+ +
Chứng minh tương tự
3 3 3 3
3 3 3 3
3. (1 )(1 )(1 ) (1 )
: (1 0)(1 0)(1 0) (1 )
a b c abc
CM a b c abc
+ + + ≥ +
+ + + + + + ≥ +
3 3 3
1 1 1 3
4.
1 1 1 1a b c abc
+ + ≥
+ + + +
6.Các bất đẳng thức quan trọng khác:
1 1 4
1.
1 1 1
: ( ) 2 2 4
a b a b
Cm a b ab
a b
ab
+ ≥
+

 
+ + ≥ =
 ÷
 
Mở rộng:
( )
3
3
1 1 1 9 1 1 1 1
; / : 3 3 9C m a b c abc
a b c a b c a b c abc
 
+ + ≥ + + + + ≥ =
 ÷
+ +
 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2.
2 ; 2 ; 2
2( ) ( )
a b c ab bc ac
a b ab b c bc a c ac
a b c ab bc ac
+ + ≥ + +
+ ≥ + ≥ + ≥
⇒ + + ≥ + +
Mở rộng:
2 2 2 2 2 2

( )x y y z x z xyz x y z+ + ≥ + +
2
2 2 2 2 2 2
2
3. ( ) 3( )
/ : 2 2 2 3 3 3
( ) 3( )
a b c ab bc ac
C m a b c ab bc ac a b c ab bc ac ab bc ac
a b c ab bc ac
+ + ≥ + +
+ + ≥ + + ⇔ + + + + + ≥ + +
⇔ + + ≥ + +
Mở rộng:
2
( ) 3 ( )xy yz xz xyz x y z+ + ≥ + +
( )
( )
2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
4.
3
/ : (1 1 1 )( )
a b c
a b c
C m a b c a b c
+ +
+ + ≥

+ + + + ≥ + +
2
3 2
3
5. ; 1
2 2 2
3 3 3 ; 3 ; 3
a b c
a b c abc
c a b
a c a a c a b a c b
a a a b c
c b c c b cb a c b a
a b c
a b c
c a b
+ + ≥ + + ≤
+ = + + ≥ ≥ = + ≥ + ≥
→ + + ≥ + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2
6.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
/ : ( : )
ab bc ac
a b c
c a b
C m abc a b c do a b c ab bc ac
a b c a b c ab bc ac
+ + ≥ + +

 
+ + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + + + ≥ + +
 ÷
 
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
7.
/ : 3 : 3; ê : 3 3
a b c a b c
b c a b c a
a b c a b c a b c a b c a b c
C m do n n
b c a b c a b c a b c a b c a
+ + ≥ + +
   
   
+ + ≥ + + + + ≥ + + ≥ + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
4 4 3 3
3 3 2 2 2
8.
/ : ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0
a b a b b a
C m a a b b a b a b a b ab

+ ≥ +
− − − ≥ ⇔ − + + ≥
Mở rộng:
3 3 5 5 2 2
( ) ; ( )a b ab a b a b a b a b+ ≥ + + ≥ +
9
9. ( )( ) ( )( )( )
8
/ : ( )( )( ) 8
1
( )( ) ( )( )( ) 1 ( )( )( )
8
a b c ab bc ac a b b c a c
C m a b b c a c abc
a b c ab bc ac abc a b b c a c a b b c a c
+ + + + ≤ + + +
+ + + ≥
 
→ + + + + = + + + + ≤ + + + +
 ÷
 
Dạng khác:
( )( ) 9a b c ab bc ac abc
+ + + + ≥
2 2
2 2 2 2 2 2
10. 1
/ : 2 ; 1 2 ; 1 2 2( 1) 2( )
a b ab a b
C m a b ab a a b b a b ab a b

+ + ≥ + +
+ ≥ + ≥ + ≥ ⇒ + + ≥ + +
2 2
2
2 2 2 2
1 1 2
11. ; 1
1 1 1
1 1 1 1 ( ) ( 1)
/ : 0 0
1 1 1 1 (1 )(1 )(1 )
ab
a b ab
a b ab
C m
a ab b ab a b ab
+ ≥ ≥
+ + +
− −
− + − ≥ ⇔ ≥
+ + + + + + +
Dạng tương tự:
1 1 2 1 1 2
; 1 ; ; 1
1 1
1 1 1
1
ab ab
a b
ab a b

ab
+ ≥ ≥ + ≥ ≥
+ +
+ + +
+
12. ( )( 1) 4
/ : 2 ; 1 2 ( )( 1) 4
a b ab ab
C m a b ab ab ab a b ab ab
+ + ≥
+ ≥ + ≥ → + + ≥
13. 1 1 1 1a b a b+ + + ≥ + + +
C/m: bình phương 2 vế
( )
[ ]
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1
14.
(1 ) (1 ) 1
/ : (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2(1 ) (1 )
1 ( ) 2 ( 2 ) ( 2 1) 0
( ) ( 1) 0
x y xy
C m xy x y x y xy x y x y x y xy
xy x y xy x y xy x xy y x y xy
xy x y xy

+ ≥
+ + +
 
 
+ + + + ≥ + + ⇔ + + + + + ≥ + + +
 
 
⇔ + + ≥ + ⇔ − + + − + ≥
⇔ − + − ≥
15. 1 1 1 8
a b c
b c a
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
2
16.
2
1
/ : ( ) 4 ( )
4
ab bc ac a b c
a b b c a c
ab
C m a b ab a b
a b
+ +
+ + ≤
+ + +

+ ≥ ⇔ ≤ +
+
2 2 3 3
17.
2 2 2
a b a b a b+ + +
× ≤
3 3 3
18.
a b c
a b c
bc ca ab
+ + ≥ + +

C/m:a
4
+ b
4
≥ 2a
2
b
2
⇒ a
4
+ b
4
+ c
4
≥ a
2

b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
a
2
b
2
+ b
2
c
2
≥ 2ab
2
c ⇒ a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2

a
2
≥ abc(a + b + c)
a
4
+ b
4
+ c
4
≥ abc(a + b + c) , chia abc ⇒
cba
ab
c
ca
b
bc
a
++≥++
333
19.
)(
1
caa +
+
)(
1
abb +
+
2
1 27

( ) 2( )c c b a b c
≥
+ + +

C/m:
)(
1
caa +
+
)(
1
abb +
+
)(
1
bcc +
3
))()((
3
accbbaabc +++
≥
a + b + c
3
3 abc≥
, a + b + c =
2
1
(a+ b+b+c+c+a)
3
))()((

2
3
accbba +++≥
(a+b+c)
2

3
))()((
2
9
abcaccbba +++≥
thay vào đpcm