He thuc viet

<span class='text_page_counter'>(1)</span>I ) Lý do chọn đề tài Từ bài toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phơng trình bậc 2 , học sinh có phơng tiện là hệ thức Vi – ét để tính toán . HÖ thøc cßn gióp häc sinh xÐt dÊu 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mµ khong biÕt cô thÓ mçi nghiÖm lµ bao nhiªu . Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh bËc 2 cã chøa tham sè lµ lo¹i to¸n khã . TiÕp tôc bµi to¸n nµy thêng kÌm theo yªu cÇu tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc , quan hÖ gi÷a 2 nghiÖm , c¸c phÐp tÝnh trªn 2 nghiÖm ... cña ph¬ng tr×nh . ViÖc tÝnh mçi nghiÖm cña ph¬ng tr×nh theo c«ng thøc nghiÖm lµ v« cïng khã kh¨n v× phơng trình đang chứa tham số . Trong trờng hợp đó hệ thức Vi – ét là 1 ph¬ng tiÖn hiÖu qu¶ gióp häc sinh gi¶i lo¹i to¸n nµy . Cuèi häc kú 2 líp 9 , thêi gian gÊp rót cho «n thi häc kú 2 vµ c¸c kú thi cuèi cÊp . C¸c bµi to¸n cÇn ¸p dông hÖ thøc Vi – Ðt ®a d¹ng cã mÆt trong nhiÒu kú thi quan träng nh thi häc kú 2, thi tuyÓn sinh vµo líp 10 , thi vµo các trờng chuyên lớp chọn ...Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thªm 1 sè kinh nghiÖm híng dÉn häc sinh lµm quen vµ tiÕn tíi gi¶i tèt c¸c bµi cÇn ¸p dông hÖ thøc Vi - Ðt II ) Nội dung đề tài A) KiÕn thøc c¬ b¶n 2 1) NÕu ph¬ng tr×nh bËc hai ax + bx + c = 0 ( a  0 ) cã 2 nghiÖm ph©n. biÖt. x1 , x2. S=. thì tổng và tích hai nghiệm đó là:. x1  x2 . c b x1.x2  a a vµ P =. 2 ) TÝnh nhÈm nghiÖm 2 a ) NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh ax + bx + c = 0 ( a  0 ) cã c¸c. nghiÖm sè lµ. x1 1, x2 . c a. 2 b ) NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh ax + bx + c = 0 ( a  0 ) cã c¸c. x1  1, x2 . c a. nghiÖm sè lµ 3 ) T×m 2 sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng NÕu 2 sè u vµ v cã tæng u + v = S vµ tÝch u.v = P th× u vµ v lµ 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai :. x 2  Sx  P 0. B ) Bµi tËp ¸p dông vµ bµi tËp ph¸t triÓn , n©ng cao 1, Lo¹i to¸n xÐt dÊu nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mµ kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh Bµi tËp 1: Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh cho biÕt dÊu c¸c nghiÖm ? 2 a) x  13x  40 0. 2 b) 5 x  7 x  1 0 2 c) 3x  5 x  1 0. Gi¶i. a) Theo hÖ thøc Vi – Ðt cã S =. x1  x2 . b 13 a. c x1.x2  40 a P=. V× P > 0 nªn 2 nghiÖm x 1 vµ x 2 cïng dÊu S > 0 nªn 2 nghiÖm cïng dÊu d¬ng. b). c 1 x1.x2    0 a 5 Theo hÖ thøc Vi – Ðt cã P = nªn 2 nghiÖm cïng dÊu. S=. x1  x2 . b 7  0 a 5 nªn 2 nghiÖm cïng dÊu ©m. c 1 x1.x2    0 a 3 c) P = nªn 2 nghiÖm tr¸i dÊu. S=. x1  x2 . b 5   0 a 3. Bµi tËp 2 x 2  10 x  m2 0 (1) Cho ph¬ng tr×nh Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi gi¸ trÞ cña. m  0 .. Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ? Gi¶i. 2 Ta cã a = 1 > 0 , c = - m < 0 víi mäi m  0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> V× a , c tr¸i dÊu nªn ph¬ng tr×nh (1) lu«n lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt . Theo hÖ thøc Vi - Ðt : P = S=. x1 , x2  m 2. < 0 . Do đó x1 và x2 trái dấu. x1  x2 10. nên nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn Bµi tËp 3 (§Ò TS chuyªn H¹ Long 1999 – 2000). 2 2 Cho ph¬ng tr×nh x  (m  1) x  m  m  2 0 (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn víi m = 2. (víi m lµ tham sè). b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu  m c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x 1 , x 2 3. 3.  x  x  A  1    2   x2   x1  đạt giá trị lớn nhất Tìm m để biểu thức. Gi¶i a) Thay m = 2 vào phơng trình ta đợc x 2  x  4 0  1  4.(  4) 17  0. Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 1 x1  1 x2 . 17 2 17 2. b)XÐt 1 1 3 ac  m 2  m  2  (m 2  m  2)  (m 2  2 m   1 )  2 4 4 2. 1   m   0  2 Cã . 1 2 3   (m  2 )  1 4   . 2. 1 3 3 3   m    1 1  P  1  P  0m 2 4 4 4 . VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu m c, Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x 1 , x 2 Từ kết quả phần b có x 1 , x 2  0 , biểu thức A đợc xác định với mọi x 1 , x 2 tính.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> (. theo m vµ (. §Æt. x1 3 x )  0; ( 2 )  0 x2 x1. x1 3 )  a x2 Víi a > 0.  (. x2 3 1 )  x1 a. 1 Cã A = -a +  a. mang gi¸ trÞ ©m A đạt giá trị lớn nhất <=> - A có giá trị nhỏ nhất 1 a2 1  a Cã – A = a + a 1 1 0 áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm a và a ( vì a > 0 và a ). Ta cã: 1 1 ) : 2  a. a a 1  ( a  ) : 2 1 a 1  a 2 a. (a . VËy – A  2 <=> A  - 2 nªn A cã GTLN lµ - 2. * A  2   a . 1  2 a. 1  2 a   a.a  1  2 a   a.   a 2  2a  1 0  a 2  2a  1 0  ( a  1) 2 0  a 1 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a > 0 ) x1 3 x )  1  1  1  x1  x2 x2 Víi a = 1 th× x2 (.  . Theo kÕt qu¶. x1  x2. cã. S  x1  x2  x2  x2 0 . b a.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>   (m  1) 0  m  1 0  m 1 * Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2 2) Lo¹i to¸n tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc chøa tæng, tÝch 2 nghiÖm. x 2  (m  1) x  m 2  m  2 0 Bµi tËp 4: Cho ph¬ng tr×nh : a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi m b). 2 2 Gọi 2 nghiệm là x 1 và x 2 tìm giá trị của m để x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Gi¶i: a ) Ta cã a = 1 > 0. c  m 2  m  2  ( m 2  m  2) 1 7  ( m 2  m   ) 4 4 1 7 7  ( m  ) 2   0 2 4 4 a, c tr¸i dÊu nªn ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi tham sè m. Theo hÖ thøc Vi Ðt dÊu. c x1.x2   m 2  m  2  0 a P= do đó 2 nghiệm trái. x12  x22 ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 b) Ta cã. (m  1) 2  2(  m 2  m  2) 2. 2 2 = m  2m 1  2m  2m  4 3m  4m  5. 4 5 2 4 11  3  m 2  m   3(m 2  2m   ) 3 3 3 9 9 . 3(m . VËy Min. x. 2 1. 2 2 11 11 )   3 3 3. 2 11  x22  3 khi m = 3. .

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bµi tËp 5: 2 2 2 x  ( m  2) x  7  m 0 Cho ph¬ng tr×nh Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia. Gi¶i : Ta cã a = 2 > 0 2 Phong tr×nh cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu   7  m  0   7  m  7. Với điều kiện này giả sử x 1 < 0 ,x 2 > 0 theo đề ra ta có x1 . 1  7  m2   x1 x2 1   ( ) 1  7  m 2 2  m2 5  m  5 x2 2. V× m > 0 nªn ta chän. m=. 5 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn  7  m  7 ). Kết luận : Vậy với m = 5 thì phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia . Bµi tËp 6 : ( §Ò tuyÓn sinh líp 10 n¨m 2006 – 2007 ). (2 ®). 4 2 2 XÐt ph¬ng tr×nh : x  2( m  2)  5m  3 0 (1) víi m lµ tham sè 1) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. 2) Gäi c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ. x1 , x2 , x3 , x4. . H·y tÝnh theo m gi¸. 1 1 1 1  2  2  2 2 x2 x3 x4 trÞ cña biÓu thøc M = x1. Gi¶i : 2. 1) §Æt x = y. ( §K : y  0 ). Pt (1) trë thµnh. 2.  ,   (m 2  2)   (5m 2  3). y 2  2(m 2  2) y  5m 2  3 0 (2).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ( m 2  2) 2  (5m 2  3) m 4  4m 2  4  5m 2  3 m 4  m 2  1 1 1 3   2 4 4 1 3 ( m 2  ) 2  2 4 ( m 2 ) 2  2m2 .. (m 2 . 1 2 1 3 3 ) 0  ( m 2  ) 2   2 2 4 4. Cã Ph¬ng tr×nh (2) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt Theo hÖ thøc Vi – Ðt cã. nªn.  , 0.  b 2(m 2  2) S  y1  y2   2(m 2  2) a 1. c P  y1. y2  5m 2  3 a 2. 2. 2. 2 XÐt P 5m  3 cã m 0  5m 0  5m  3 3 nªn P > 0 víi mäi m  Z.  y1 , y2 cïng dÊu. XÐt. S  y1  y2 . b 2(m 2  2) a .. 2 2 2 m  0  m  2  2  2( m  2) 4 V×.  y1 , y2 nªn S > 0 cïng dÊu d¬ng (tho¶ m·n §K y  0) VËy ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt cïng dÊu d¬ng nªn ph¬ng tr×nh (1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một . 2) Theo kÕt qu¶ phÇn a cã vµ. x1  y1 , x2  x3  y2 , x4 . M . x1 , x2 , x3 , x4 0. y1 y2. 1 1 1 1    2 2 2 ( y1 ) ( y1 ) ( y2 ) (  y2 ) 2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> . 1 1 1 1    y1 y1 y2 y2. . 2 2  y1 y2. . 2 y1  2 y2 y1. y2. . 2( y1  y2 ) y1. y2. Thay kết quả S và P vào M ta đợc. 2.2( m 2  2) 4(m 2  2) M   5m 2  3 5m 2  3 4( m 2  2) M  5m 2  3 KÕt luËn: Bµi tËp 7: (§Ò tuyÓn sinh chuyªn H¹ Long 1997 - 1998 ). ( 2,5 ®). 2. Cho ph¬ng tr×nh x  2( m  1) x  m 0 ( mlµ tham sè) a) Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m b) Trong trêng hîp m > 0 vµ. x1 , x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nãi trªn. h·y t×m GTLN cña biÓu thøc. x12  x2 2  3( x1  x2 )  6 A x1 x2 Gi¶i:. 2. a).  ,   ( m  1)   m ( m  1) 2  m m 2  2m  1  m m 2  m  1 1 1 3 m 2  2. .m   2 4 4. ( m . 1 2 3 )  2 4.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1 1 3 3 (m  ) 2 0 (m  ) 2   2 2 4 4 V× nªn. ,  0m  Z  Phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trÞ m A. x12  x2 2  3( x1  x2 )  6 x1 x2. b) Theo kết quả phần a phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt ¸p dông hÖ thøc Vi – Ðt ta cã S=. x1  x2 . b 2m  2 a. c x1.x2  m a P= V× P = m > 0 nªn. x1 , x2. x2 , x2 0 biểu thức A đợc xác định với mọi giá trị x1 , x2. tÝnh theo m. x12  2 x1 x2  x22  2 x1 x2  3( x1  x2 )  6 A x1.x2 ( x1  x2 ) 2  2 x1.x2  3( x1  x2 )  6 x1 x2 = Thay S và P vào biểu thức A ta đợc : (2m  2) 2  2m  3(2m  2)  6 A m 2 4m  8m  4  2m  3(2m  2)  6  m 4m 2  4 m2  1 m2 1  4( ) 4(  ) m m m m 1 4(m  ) m. (m  Theo bÊt d¼ng thøc C« Si v×. 1 1 ) : 2  m. m m. 1 0 m ( do m > 0vµ ).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1 2. 1 m 1  m  2 m 1  4(m  ) 8 m VËy biÓu thøc A cã GTNN lµ 8  m. 1 Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra  m = m  m 2 1  m 1. Víi m = 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m > 0 m = -1 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m > 0 VËy víi m = 1 th× A cã GTNN b»ng 8 Bài tập 8 : ( đề TS chuyên Hạ Long 2005 - 2006 ) XÐt phu¬ng tr×nh. 2. mx + (2m -1) x + m -2 = 0 (1). (2 ®) víi m lµ tham sè. x 2  x 2  x x 4. 1 2 1 2 a ) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn b) Chøng minh r»ng nÕu m lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm sè h÷u tØ Gi¶i. m 0  a ) Điều kiện để m có 2 nghiệm  0 2 XÐt  (2m  1)  4m(m  2). 4 m 2  4 m  1  4 m 2  8m 4m  1  0  4m  1 0  m . 1 4. Vậy điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm là m 0 và m Víi ®iÒu kiÖn trªn theo hÖ thøc Vi Ðt cã S  x1  x2 .  b 1  2m  a m. . 1 4.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> P x1.x2 . c m 2  a m. A  x12  x22  x1 x2. Gäi. ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2  x1 x2 ( x1  x2 ) 2  3 x1 x2  m 0   1  m  4 ¸p dông hÖ thøc Vi Ðt cã A = 4 ( §K ) (. 1  2m 2 m 2 ) 3 4 m m. 1  4m  4m 2 3m  6  4 m2 m  1  4m  4m 2  3m 2  6m 4m 2 .   3m 2  2m  1 0  3m 2  2m  1 0. Cã a + b + c = 3 – 2 – 1 = 0 => m 1 = 1 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m 0 vµ m . 1 4 ) 1 m 2 = 3 ( kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m 0 vµ m. . 1 4 ). VËy víi m = 1 th× ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n. x12  x22  x1 x2 4 *. c) Gäi n  N ta cã m = n( n + 1 ) lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp ( TM§K m  0 ) d) Theo kÕt qu¶ phÇn a ta cã  4m  1 4n( n  1)  1 4n 2  4n  1 (2 n  1) 2.  0 vËy ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>   2n  1 2n  1. ( do n > 0 ). 1  2m   1  2n( n  1)  2n  1 1  2n 2  2n  2n  1 x1    2m 2n(n  1) 2n(2n  1) . 2  2n 2 2(1  n 2 ) 2(1  n)(1  n) 1  n    2n( n  1) 2n(n  1) 2n( n  1) n. 1  2n   1  2n(n  1)  2n  1 1  2n 2  2 n  2n  1 x2    2m 2n( n  1) 2n( n  1)  2n 2  4n  2n( n  2) n2    2n(n  1) 2n(n  1) n 1 *. V× n  N nªn 1- n  Z *. 1 n x1  n lµ ph©n sè  Q vµ n  N => *. *. x2 . n2 n  1 lµ ph©n sè  Q. tö n +2  N vµ n +1  N => KÕt luËn:Víi m lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm sè h÷u tØ 3 ) Lo¹i to¸n t×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch cña chóng Bµi tËp 9 : T×m hai sè x y biÕt a) x + y = 11 vµ xy = 28 b) x – y = 5 vµ xy = 66 Gi¶i : a ) Víi x + y = 11 vµ xy = 28 theo kÕt qu¶ hÖ thøc Vi Ðt x ,y lµ nghiÖm cña 2. ph¬ng tr×nh x - 11x + 28 = 0.  b 2  4ac = 121 – 112 = 9 > 0  3 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt lµ 11  3 11  3 x1  7; x2  2 2 =4 VËy x = 7 th× y = 4 x = 4 th× y = 7  x  y 5   xy  6  b) Ta cã.  x  ( y ) 5   x( y )  66 2. cã x , y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x - 5x - 66 = 0.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>  b 2  4ac = 25 + 264 = 289 > 0 ,  = 17 x1 . 5  17 5  17 11; x2   6 2 2. Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt lµ VËy x = 11 th× y = - 6 cßn x = - 6 th× y = 11 2. Bµi tËp 10 : T×m hai sè x y biÕt Gi¶i : 2. 2. 2. x + y = 25 vµ xy = 12 2. 2. Ta cã x + y = 25 <=> (x + y ) - 2xy = 25 <=> (x + y ) - 2.12 = 25 2. (x + y ) = 49 <=> x +y =  7 * Trêng hîp x + y = 7 vµ xy =12 Ta cã x vµ y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. 2. x - 7x +12 = 0.  b 2  4ac = 49 – 4.12 = 1 7 1 7 1 4; x2  3 2 2 * Trêng hîp x + y = - 7 vµ xy =12 x1 . Ta cã x vµ y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. 2. x +7x +12 = 0. Giải phơng trình ta đợc x 3 = -3 ; x 4 = - 4 c¸c cÆp sè x, y cÇn t×m lµ (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4) 4 ) Lo¹i to¸n t×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a tæng tÝch 2 nghiÖm kh«ng phô thuéc tham sè : 2 Bµi tËp 11 : Cho ph¬ng tr×nh x - ax + a - 1 = 0 cã 2 nghiÖm x1 , x2. M. a) Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc b) Tìm a để tổng các bình phơng 2 nghiệm số đạt GTNN ? Gi¶i 2 3( x12  x22  1) 3  ( x1  x2 )  2 x1 x2  1 M  x x ( x  x ) x1 x2 ( x1  x2 ) 1 2 1 2 a). Theo hÖ thøc Vi Ðt cã. S  x1  x2 a; P  x1.x2 a  1. 3 x12  3 x22  3 x12 x2  x22 x1.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> M. 3  a 2  2(a  1)  1 a (a  1). VËy. . 3 (a  1)( a  1)  2(a  1)  a (a  1). 3(a  1) 2 3(a  1) 2 3( a  1)    a (a  1) a( a  1) a. S  x1  x2 a. b) Ta cã. P x1.x2 a  1. (§K : a 0, a 1 ). (1) (2). Trõ 2 vÕ cña (1) cho (2) ta cã x1  x2  x1 x2 1 , ®©y lµ biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x 1 vµ x 2 kh«ng phô thuéc vµo a C) C¸c bµi tËp t¬ng tù Bµi tËp 1 : Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh cho biÕt dÊu c¸c nghiÖm ? 2. a) x - 6x +8 = 0 2. b) 11 x +13x -24 =0 2. c) 2 x - 6x + 7 = 0 Bµi tËp 2 : Chøng minh r»ng víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña k , ph¬ng tr×nh 2. a) 7 x + kx -23 = 0 cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu 2. 2. b) 12 x +70x + k +1 = 0 kh«ng thÓ cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu 2. c) x - ( k +1)x + k = 0 cã mét nghiÖm b»ng 1 Bµi tËp 3 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh 2. a) mx - 2(m +1)x + m + 2 = 0 2. b) (m -1) x + 3m + 2m + 1 = 0 2. c) (1 – 2m) x + (2m +1)x -2 = 0 2. Bµi tËp 4 : Cho ph¬ng tr×nh x - 2m + m - 4 = 0 a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau . Tính 2 nghiệm đó b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm thực dơng Bài tập 5 : ( đề TS chuyên Hạ Long năm học 2002 -2003 ) ®) Cho ph¬ng tr×nh. 2. x - mx +1 = 0 ( m lµ tham sè ). (2,5.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> a) Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn khi m = 5 b) Với m = 5 , giả sử phơng trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. x1 , x2. 3 x12  5 x1 x2  3 x22 A x1 x23  x13 x2 Híng dÉn gi¶i: 2. a) Víi m = 5 ph¬ng tr×nh trë thµnh x -5x +1 = 0. . = 21 , ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. x1 . 5  21 (5  21) x2  2 2 ,. 2 b)Víi m = 5 , ta cã ph¬ng tr×nh bËc hai : x  5 x  1 0. S  x1  x2  5. Theo hÖ thøc Vi Ðt :. vµ. P  x1.x2 1. 3 x12  5 x1 x2  3x22 A x1 x23  x13 x2 3( x12  2 x1 x2  x22 )  x1 x2  x1 x2  ( x12  x22  2 x1 x2 )  2 x1 x2  3( x1  x2 ) 2  x1 x2  x1 x2  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 . Thay S và P vào A ta đợc : 14 A 3 Bài tập 6 :( đề thi học sinh giỏi lớp 9 thị xã Hà Đông , Hà Tây 2003 -2004) (4®). Cho ph¬ng tr×nh bËc 2 Èn x :. x 2  2( m  1) x  2m 2  3m  1 0. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi 0 m 1 b) Gäi. x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh , chøng minh r»ng. x1  x2  x1 x2 . 8 8. Híng dÉn gi¶i: , 2 2   ( m  1)  (2 m  3m  1) 0 a) Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm <=>. (1).

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  m2  m 0  m(m  1) 0  m 0 hoÆc m  1 0.  0 m 1 S x1  x2 2(m  1) c) Khi m 1 , theo hÖ thøc Vi Ðt cã. P  x1.x2 2m 2  3m  1.  Q  x1  x2  x1.x2  2(m  1)  2m 2  3m  1  2m 2  m  1 m 1 1 9  2 (m  ) 2  2 2 4 16. 2 m 2 . 0 m 1   V× (m . 1 1 3 1 9 m    (m  ) 2  4 4 4 4 16. do đó. 1 2 9 )  0 4 16. 1  9 1  9 Q 2   (m  ) 2    2(m  )2 4  8 4  16 2(m . V×. 1 2 1 9 1 9 9 ) 0   2(m  ) 2 0   2(m  ) 2   Q  4 4 8 4 8 8. Bài tập 7 : ( đề thi TS lớp 10 Hải Dơng 2003 – 2004 ). (1®). 2 Cho ph¬ng tr×nh : 2 x  5 x  1 0. x x2  x2 TÝnh 1 Híng dÉn gi¶i:. x1. (Víi x 1 , x 2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh). 5 1 x1  x2  ; x1 x2   2 2 Theo định lý Vi ét ta có Ta cã. A  x1 x2  x2. x1  x1 x2 ( x1 . x1 x2 . 1 2. x2 ). 5 52 2 S  x1  x2  S 2  x1  x2  2 x1 x2   2  S  2 2 NÕu. Do đó A = . x1 1 2. x2  x2. x1. 52 2 1  2 2. 52 2.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Bài tập 8 : (đề thi học sinh giỏi lớp 9 - TP Hồ Chí Minh 2003- 2004) 2. (4®). 2. a) Xác định m để phơng trình 2 x  2mx  m  2 0 có 2 nghiệm phân biệt b) Gäi 2 nghiÖm lµ x 1 , x 2 , T×m GTNN cña biÓu thøc A  2 x1 x2  x1  x2  4. Híng dÉn gi¶i: , 2 2 2 a)  m  2(m  2)  m  4 Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm.   0   m 2 0  m 2 4   2 m 2 b)Theo định lý Vi ét có Do đó ta có V×. x1  x2  m; x1 x2 . m2  2 2. A  2 x1 x2  x1  x2  4  (m  2)(m  3). m    2; 2. nªn (m + 2)(m - 3)  0. A ( m  2)(3  m)  m 2  m  6  (m . Khi đó. 1 2 25 25 )   2 4 4. 25 VËy GTNN cña A lµ 4 khi vµ chØ khi m = 2. Bài tập 9 : (đề thi TS lớp 10 chuyên toán THPT năng khiếu Trần Phú) (2,5®) 2 1) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh x  4 x  1 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x 1 , x 2 2 2 LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiÖm lµ x1 vµ x2. 2 2) Tìm mđể phơng trình x  2mx  2m  3 0 có hai nghiệm cùng dấu .Khi đó hai nghiÖm cïng dÊu ©m hay cïng dÊu d¬ng ?. Híng dÉn gi¶i: , 1)  4  1  0 nªn ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. S  x12  x22 ( x1  x2 )2  2 x1 x2 42  2.1 14 P  x12 x22 ( x1 x2 ) 2 1.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 2. vËy ph¬ng tr×nh cÇn t×m lµ x - 14x +1 = 0 2) Ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm cïng dÊu (m  1) 2  2 0  m  2m  3 0 3       m 3 2  x1 x2 2m  3  0 m  2  ,. 2. Khi đó x1  x2 2m  0 Suy ra phơng trình có 2 nghiệm dơng Bµi tËp 10 : ( §Ò tuyÓn sinh chuyªn H¹ Long 2005 – 2006) 2 XÐt ph¬ng tr×nh mx  (2m  1) x  m  2 0 vãi m lµ tham sè 2. 2. a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm là x 1 , x 2 thoả mãn x1  x2  x1 x2  4 b) Chøng minh r»ng nÕu m lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm h÷u tØ III) Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh Trong giê häc chÝnh kho¸ t«i lång ghÐp c¸c bµi tËp cïng lêi gi¶i mÉu, c¬ së gi¶i theo từng phơng pháp để học sinh hình thành kỹ năng giải từng loại toán này . Cho häc sinh thùc hµnh bµi tËp t¬ng tù ngay t¹i líp . §Æc biÖt , trong c¸c giê luyÖn tËp , «n tËp ch¬ng gi¸o viªn tiÕp tôc cho häc sinh giải các bài tập nâng cao , làm thử các đề thi tuyển sinh chuyên chọn . Qua đó học sinh thấy đợc tầm quan trọng của loại toán này , tự rèn luyện tạo kỹ năng cho m×nh .B»ng rÌn luyÖn thùc hµnh gi¶i bµi tËp , häc sinh c¸ch gi¶i c¸c bµi tËp phức tạp hơn . Các em đợc nâng cao kiến thức , hình thành kỹ năng phản xạ khi gÆp c¸c bµi to¸n t¬ng tù . IV) Phạm vi , đối tợng nghiên cứu Häc sinh khèi líp 9 trêng THPT Hßn Gai V) Tæng kÕt vµ rót kinh nghiÖm Qua áp dụng vấn đề nêu trên vào giảng dạy ở khối lớp 8 , kết quả thu đợc là học sinh đã hình thành , định hớng đợc cách giải loại toán này . Bằng phơng pháp gợi mở nêu vấn đề , các câu hỏi dẫn dắt , các em tự phát hiện ra hớng giải cho từng bµi tËp . Gi¸o viªn t¹o høng thó , ph¸t triÓn trÝ th«ng minh s¸ng t¹o cho häc sinh .. C¸c tµi liÖutham kh¶o khi gi¶ng d¹y lo¹i to¸n cÇn ¸p dông hÖ thøc Vi Ðt.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 1) 2) 3) 4). SGK vµ s¸ch gi¸o viªn líp 9 c¶i c¸ch “ Bài tập nâng cao và 1 số chuyên đề toán 9” của Bùi Văn Tuyên B¸o to¸n häc vµ tuæi th¬ 2” cña Bé Gi¸o Dôc Các đề thi TS và thi chuyên chọn hàng năm của các tỉnh trên toàn quèc 5) “ Bµi tËp n©ng cao §¹i sè 9” cña Vò H÷u B×nh X¸c nhËn cña tæ chuyªn m«n :. H¹ Long, ngµy ....th¸ng ...n¨m ....... Tæ trëng. X¸c nhËn cña trêng THPT Hßn Gai :. H¹ Long, ngµy ....th¸ng ...n¨m ........

<span class='text_page_counter'>(20)</span>