BAI TAP VECTO LOP 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969. VECTƠ VÀ CÁC ĐỊNH NGHĨA Các em xem video bài giảng tại 27DVF21N7&index=1 7DVF21N7&index=2. ĐIỀU CHỈNH NHỎ ÂM THANH ĐỂ DỄ NGHE HƠN NHỮNG ĐIỀU EM CẦN NHỚ. 1. Khái niệm vectơ Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ AB có A là điểm đầu, B là điểm cuối. Vectơ còn được kí hiệu: a, b, x,.... d. A. B. 2. Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu 0 . Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Hãy kể tên các vectơ khác 0 , có điểm đầu và điểm cuối là một trong các điểm A, B, C. 3. Giá của vectơ AB là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B. Ví dụ: Đường thẳng d đi qua điểm A và điểm B nên đường thẳng d là giá của vectơ AB , và d cũng là giá của vectơ BA 4. Hai vectơ a và b gọi là cùng phương nếu 2 vectơ đó có giá song song hoặc trùng nhau. a. b. a. b.  Nhận xét: Hai vectơ a và b không cùng phương  2 giá cắt nhau 5. Hai vectơ a và b gọi là cùng hướng nếu chúng cùng phương và cùng chiều mũi tên. a. a. b. b. 6. Hai vectơ a và b gọi là ngược hướng nếu chúng cùng phương và ngược chiều mũi tên. a a. b. 1. b.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có 2 đáy AB và CD(2 đường thẳng AD và BC không song song). Gọi 2 điểm M, N nằm trên đường thẳng CD. a) Các cặp vectơ sau có cùng phương hay không ? Nếu cùng phương thì hãy xét hướng của các cặp vectơ đó? AB và CD , DC và MN , AD và BC . b) Hãy chỉ ra các vectơ cùng hướng với CN . 7. Độ dài vectơ AB là độ dài đoạn AB. Kí hiệu AB  AB . 8. Hai vectơ a và b gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Kí hiệu a  b . a. b. Ví dụ 3: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Hãy kể tên các vectơ bằng với vectơ BM .  Nhận xét: . AB, AC cùng phương  A, B, C thẳng hàng. . AB, CD cùng phương  Hai đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau.. . AB  0  Hai điểm A, B trùng nhau.. . AB  AC  B  C. BÀI TẬP Bài 1. Cho hình lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O. a) Chỉ ra các vectơ khác 0 và cùng phương với vectơ FC . b) Tìm các vectơ bằng AB . ĐÁP ÁN: a) AB, BA, ED, DE , FO,OF, OC , CO, CF . b) FO, OC , ED Bài 2. Có kết luận gì về vị trí của các điểm A, B, C trong các trường hợp sau: a) AB, AC cùng phương b) AB, CD cùng phương. c) AB, AC cùng hướng và độ dài AC > AB. d) AB, AC ngược hướng và độ dài AB = AC. e) AB  AC f) AB  0 TRẢ LỜI a) Ba điểm A, B, C thẳng hàng vì khi AB, AC cùng phương thì 2 đường thẳng AB, AC song song hoặc trùng nhau. Hai đường AB, AC có chung điểm A nên không thể song song được, chỉ có thể trùng nhau. Do đó, 3 điểm A, B, C thẳng hàng. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 b) AB, AC cùng hướng nên suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng và 2 điểm B và C nằm cùng phía đối với điểm A. Mặt khác, độ dài AC > AB nên điểm B nằm giữa 2 điểm A và C. c) AB, AC ngược hướng nên 3 điểm A, B, C thẳng hàng và A phải nằm giữa 2 điểm B và C. Mặt khác độ dài AB = AC nên A là trung điểm của BC. Bài 3. Cho tam giác ABC đều, có M là trung điểm BC. Các đẳng thức sau đây đúng hai sai: AB 3 a) AB  AC b) BM  MC c) AB  BC  CA d) AM  2 TRẢ LỜI a) Đẳng thức AB  AC sai vì 2 vectơ AB, AC chỉ bằng nhau về độ dài, nhưng không cùng hướng theo định nghĩa. ĐẲNG THỨC SAI b) ĐẲNG THỨC ĐÚNG. Hai vectơ BM , MC cùng hướng và độ dài bằng nhau nên đây là 2 vectơ bằng nhau. c) ĐẲNG THỨC ĐÚNG. Tam giác ABC đều nên 3 cạnh AB, BC, CA có độ dài bằng nhau. Nghĩa là AB  BC  CA . d) ĐẲNG THỨC ĐÚNG. Vì đây chính là công thức tính độ dài đường cao trong tam giác đều. Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh ABCD là hình bình hành  AB  DC . Chứng minh:” ABCD là hình bình hành  AB  DC “ A Vì ABCD là hình bình hành nên 2 vectơ AB, DC cùng phương, cùng hướng và độ dài bằng nhau. Suy ra AB  DC . B Chứng minh : “ AB  DC  ABCD là hình bình hành” C Tứ giác ABCD có AB  DC , suy ra ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ {𝐴𝐵 , 𝐷𝐶 𝑐ù𝑛𝑔 ℎướ𝑛𝑔 ⟹Tứ giác ABCD có AB // CD và độ dài AB = CD. Suy ra AB  DC . 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 Vậy ABCD là hình bình hành  AB  DC . Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. AN và CM lần lượt cắt DB tại E và F. Chứng minh DE  EF  FB .. Bài 6. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng MK  CP, KL  BN . a) Chứng minh KP  PN . b) Xét tính chất của tứ giác AKBN. Chứng minh A và L trùng nhau.. 3. D.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969. L. A LỜI GIẢI N P a) MK  CP  Tứ giác MCPK là hình bình hành K  KP  MC C Mặt khác: PN là đường trung bình tam giác ABC nên tứ giác B M PNCM là hình bình hành  PN  MC . Vậy KP  PN  MC . b) Theo câu a ta có KP  PN , suy ra P là trung điểm của KN. Xét tứ giác AKBN có P là trung điểm của 2 đường chéo KN và AB. Suy ra tứ giác AKBN là hình bình hành nên BN  KA . Mặt khác theo giả thiết ta có: KL  BN . Suy ra KL  KA  A  L. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD và DA. a) Các cặp vectơ sau đây có cùng phương không: AB và MB , M A QM và BD , AD và MC . Q b) Tìm các vectơ cùng hướng, ngược hướng với vectơ MN ? c) Tìm các vectơ lần lượt bằng với các vecto OB ? TRẢ LỜI a) Hai vectơ AB và MB cùng phương vì có giá trùng nhau. Hai vectơ QM và BD cùng phương vì có giá song song.. N. O D. P. C. Hai vectơ AD và MC không cùng phương vì có giá cắt nhau(kéo dài 2 đường MC và AD sẽ thấy rõ 2 đường thẳng này cắt nhau. b) Các vectơ cùng hướng với vectơ MN là: AC, QP, AO, OC . Các vectơ ngược hướng với vectơ MN là: CA, PQ, OA, CO, NM . c) Các vectơ bằng với vectơ OB là DO, QM , PN . Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và E là điểm đối xứng của C qua D. Chứng tỏ AE  BD . Bài 3. Cho tam giác ABC. Hãy dựng các điểm M, N sao cho AM  BC, AN  CB . Nhận xét gì về hai vecto AM , AN và 3 điểm A, M, N. Bài 4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng EH và FG bằng AD . Chứng minh rằng CDGH là hình bình hành. Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD sao cho AM = CN. Chứng minh AN  MC và MD  BN . 4. B.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969. Bài 6. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD, AB = 2CD. Từ C vẽ CI  DA . a) Chứng minh I là trung điểm AB và DI  CB . b) Chứng minh AI  IB  DC . Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Dựng AM  BA, MN  DA, NP  DC, PQ  NM . Chứng minh rằng AQ  0 .. BÀI TẬP VỀ TỔNG VÀ HIỆU VECTƠ CÁC KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI VECTƠ Kỹ thuật 1: Quy tắc 3 điểm Với 3 điểm A, B, M tùy ý, ta có . M. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Quy tắc theo phép cộng: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑴 + 𝑴𝑩 𝑨𝑩.. A B. A. . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Quy tắc theo phép trừ: 𝑴𝑩 𝑴𝑨 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑩 .. M B. Kỹ thuật 2: Quy tắc hình bình hành   . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB  AD  AC . Ý nghĩa: Tổng 2 vectơ 2 cạnh bằng vectơ đường chéo. Ta có thể áp dụng theo các cách khác:. BA  BC  BD ; CB  CD  CA Tính chất của phép cộng vectơ Cho 3 vectơ a, b, c tùy ý, ta có Tính chất giao hoán: a  b  b  a .. . . . . Tính chất kết hợp : a  b  c  a  b  c . 5. B. A. C. D.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Tính chất của vectơ-không: a  0  0  a  a . Vectơ đối . Vectơ ngược hướng với vectơ a và có cùng độ dài với vectơ a gọi là vectơ đối của vectơ a . Kí hiệu là a ..  . Vectơ đối của vectơ AB là BA . Nhận xét: BA   AB. .  Nếu 2 vectơ a và b đối nhau thì ta có : a  b  0 . BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Có 3 cách để chứng minh đẳng thức vectơ. Một là biến đổi từ vế trái thành vế phải. Hai là biến đổi từ vế phải thành vế trái. Ba là chứng minh đẳng thức đó tương đương với một đẳng thức đúng đã biết. Bài 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng a) AB  BC  CD  DA  0 b) AB  AD  CB  CD c) AD  BE  CF  AE  BF  CD . Giải:. .  . . a) VT  AB  BC  CD  DA  AC  CA  AA  0  VP . b) Cách 1: AB  AD  CB  CD  DB  DB (luôn đúng). Cách 2: AB  AD  DA  AB  DB  CB  CD .. . . Cách 3: VT  AB  AD  AC  CB  AC  CD  AC  AC  CB  CD  CB  CD  VP c) Ta dùng kỹ thuật 1: quy tắc 3 điểm Cách 1: Biến đổi từ vế trái thành vế phải.. .  . . VT  AE  BF  CD  ED  DF  FE  AE  BF  CD  0  AE  BF  CD Cách 2: Biến đổi từ vế phải thành vế trái.. .  . VP  AD  DE  BE  EF  CF  FD  AD  BE  CF  DE  EF  FD. .  AD  BE  CF  0  AD  BE  CF . Cách 3: Biến đổi tương đương. AD  BE  CF  AE  BF  CD  AD  AE  BE  BF  CF  CD  0  ED  FE  DF  0  FE  ED  DF  0  0  0 (đúng). Bài 2. Cho hình bình hành tâm O. Chứng minh: a) DA  DB  DC  0 b) DA  DB  OD  OC c) CO  OB  BA d) MA  MC  MB  MD Giải. a) Cách 1: VT  DA  DB  DC  BA  DC  0 (vì 2 vectơ đối nhau). . . Cách 2: VT  DA  DC  DB  BD  DB  0 b) Cách 1: VT  DA  DB  DA  BD  BD  DA  BA  CD  OD  OC 6. A. D O. B. C.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Cách 2: VT  DA  DB  BA  CD  OD  OC Cách 3: DA  DB  OD  OC  BA  CD . c) Cách 1: VT  CO  OB  CO  BO  CO  OD  CD  BA . Cách 2: VT  CO  OB  OA  OB  BA . Cách 3: CO  OB  BA  CO  OB  BA  CO  OA. .  . . . d) Cách 1: VT  MA  MC  MB  BA  MD  DC  MB  MD  BA  DC. .  MB  MD  0  MB  MD  VP (Do BA, DC là 2 vectơ đối nhau). Cách 2: MA  MC  MB  MD  MA  MB  MD  MC  BA  CD (đẳng thức đúng). Bài 3. Cho tam giác ABC. Vẽ bên ngoài tam giác các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh RJ  I Q  PS  0 . I Q Giải. B VT  RJ  I Q  PS  RA  AJ  IB  BQ  PC  CS. .  .  . .  RA  CS  AJ  IB  BQ  PC  0. P. J. Khó khăn lớn nhất trong bài này là không biết cách tìm điểm chèn. Các em hãy vẽ hình rõ ràng, bạn sẽ nhận ra rằng RJ có mối liên hệ gần nhất với điểm A, tương tự cho các điểm B và C.. C. A. R. S. Bài 4. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O. A a) Xác định các điểm M, N, P sao cho OM  OA  OB, ON  OC  OB, OP  OA  OC . Chứng minh M các điểm M, N, P nằm trên đường tròn (O). b) Chứng minh rằng OA  OB  OC  0 . GIẢI O a) Muốn chứng minh M, N, P nằm trên đường tròn (O) thì ta chứng B minh OM = ON = OP = R. Đầu tiên ta có OM  OA  OB , suy ra tứ giác OAMB là hình bình N hành. Mặt khác, OA = OB nên suy ra tứ giác OAMB là hình thoi. Lại có tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn (O) nên góc AOB  1200  OAM  600 . Hình thoi OAMB có góc OAM  600 nên tam giác OAM đều  OA  OM  M   O  . Tương tự ta chứng minh được các tam giác NOB và POC đều và suy ra 2 điểm P, N đều thuộc đường tròn (O). b) Ta có OA  OB  OC  0  OM  OC  0 . Ta sẽ chứng minh O là trung điểm MC. Tứ giác OCPA là hình thoi(do câu a) nên AP  OC . Mặt khác, tứ giác OMAP cũng là hình thoi nên AP  MO . Suy ra OC  MO  O là trung điểm MC  OM  OC  0 . Vậy OA  OB  OC  0 .. 7. P. C.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969. BÀI TOÁN VỀ ĐỘ DÀI VECTƠ Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB  a , AC  2a . Tính độ dài của vectơ tổng. AB  AC và độ dài vectơ hiệu AB  AC . GIẢI. Bài 6. Cho hình thoi ABCD có góc BAD = 600 và cạnh AB  a . Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Tính a) Tính các độ dài AB  BC , BA  BC , AB  AD . b) Tính các độ dài AO  BO , OB  DC . Giải a) AB  BC  AC  a 3cm. B. BA  BC  CA  CA  a 3cm O. A. AB  AD  AC  AC  a 3cm . b) AO  BO  AO  OD  AD  AD  a. C. D. a 3 . 2 Bài 7. Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh AB  a . Xác định các vectơ sau đây và tính độ dài của chúng theo a . a) a  OA  OB  OC  OD b) b  AB  AD c) c  AB  AD d) d  AB  AC . Giải OB  DC  DO  DC  CO  CO . .  . . a) a  OA  OB  OC  OD  OA  OC  OB  OD  0  a  0 . b) b  AB  AD  AC  b  AC  a 2 . c) c  AB  AD  DB  c  DB  DB  a 2 . 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 d) d  AB  AC  a 5 . Bài 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh AB  a . Kẻ đường cao AH. a) Gọi E, F là hai điểm trên cạnh BC sao cho BE = EF = FC. Tỉnh tổng u  AB  EA  AC  FA .. A. b) Xác định vectơ AH  BH . Tính độ dài AH  BH theo a. Giải a). .  . F. E. B. C. H. . u  AB  EA  AC  FA  EA  AB  FA  AC  EB  FC  0  u  0 b) AH  BH  AH  HC  AC  AH  BH  AC  AC  a Bài 10. Cho các vectơ a và b khác 0 . a) Khi nào thì ta có a  b  a  b b) Khi nào thì ta có a  b  a  b Giải a). b a A. C. B. b). Bài 11. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có CA  CB  CA  CB thì tam giác ABC vuông. GIẢI Ta có CA  CB  BA . Gọi điểm D sao cho tứ giác ACBD là hình bình hành. Từ ấy ta có CA  CB  CD. CA  CB  CA  CB  BA  CD  BA  CD. 9. D. A. B. C.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Hình bình hành ACBD có 2 đường chéo AB và CD bằng nhau nên ACBD là hình chữ nhật. Suy ra tam giác ABC vuông tại C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. a) Chứng minh rằng: AC  BD  AD  BC ; AB  CD  AD  CB AB  CD  AC  BD ; AD  BE  AE  BD . b) Chứng minh nếu AB  CD thì AC  BD . Bài 2. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng a) AC  BD  EF  AF  BC  ED b) AD  FC  EB  CD  EA  FB c) AB  DC  FE  CF  DA  EB . Bài 3. Cho tứ giác MNPQ. Chứng minh rằng: a) PQ  MN  PN  MQ b) Gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm các cạnh MN, NP, PQ, QN. Chứng minh MB  NC  PD  QA  0 và OA  OB  OC  OD  0 với O là giao điểm của AC và BD. Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Điểm K đối xứng với M qua N. Chứng minh: a) MK  AD  BC b) MK  AC  BD Bài 5. Cho hình bình hành tâm O. Chứng minh: a) CO  OB  BA b) AB  BC  DB c) DA  DB  OD  OC d) DA  DB  DC  0 e) OA  OB  OC  OD  0 f) OD  OC  BC . Bài 6. Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M tuỳ ý. Chứng minh a) AB  OA  OB b) MA  MC  MB  MD . Bài 7. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC trong hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: a) AD  MB  NA  0 b) CD  CA  CB  0 . Bài 8. Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. a) Chứng minh GM  GN  GP  0 . b) Chứng minh OM  ON  OP  OA  OB  OC . Bài 9. Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. Chứng minh với điểm O tùy ý ta có OA  OB  OC   OA  OB  OC . Bài 10. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, trực tâm H, vẽ đường kính AD. a) Chứng minh rằng: HB  HC  HD . b) Gọi H’ đối xứng với H qua O. Chứng minh rằng HA  HB  HC  HH  . Bài 11. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính độ dài các vectơ AB  BC , CA  CB và CA  CB . ĐÁP SỐ: AB  BC  AC  a , CA  CB  BA  a , CA  CB  a 3 . Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB  a và B  600 . Tính độ dài các vectơ AB  AC và AB  AC . ĐÁP SỐ: AB  AC  2a , AB  AC  2a . 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Bài 13. Cho tam giác ABC đều cạnh a , đường cao AH. Tính độ dài các vectơ AB  BH , AB  AC , AB  AC . a 3 , AB  AC  a , AB  AC  a 3 . 2 Bài 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính độ dài các vectơ AC  AB, AB  AD, AB  BC .. ĐÁP SỐ: AB  BH . ĐÁP SỐ: AC  AB  a, AB  AD  a 2 , AB  BC  a 2 . Bài 14.1. Cho hình thoi ABCD có BAD  600 và cạnh a . Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Tính độ dài các vectơ AB  AD, BA  BC , OB  DC . Bài 15. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa điều kiện AB  AC vuông góc với AB  AC thì tam giác ABC cân. Bài 16. Cho tam giác ABC. Nếu vectơ tổng AB  AC nằm trên đường phân giác trong của góc BAC thì tam giác ABC là tam giác gì? Đáp án: Tam giác ABC cân tại A. Bài 17. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AD  BC  AB  DC thì AC  BD .. PHÉP TOÁN NHÂN VECTƠ VỚI SỐ THỰC Kỹ thuật 3: Hai vec tơ cùng phương  Hai vectơ a và b cùng phương  Có số k   Nếu k  0 thì a và b cùng hướng.  Nếu k  0 thì a và b ngược hướng. . sao cho a  kb. Độ dài a  k b ..  Chú ý: Hai vectơ a và b cùng phương thì ta mới có biểu diễn a  kb . Nếu a và b không cùng phương thì không thể viết được a  kb . Ví dụ 1: Cho M là trung điểm đoạn thẳng AB. Ta có:  AB  2 AM (Vì AB, AM cùng phương, cùng hướng và độ dài AB = 2AM). . AB  2BM (Vì AB, BM cùng phương nhưng ngược A B M hướng và độ dài AB = 2BM). 1 1  AM   BA (Vì AM , BA cùng phương nhưng ngược hướng và độ dài AM  BA . 2 2 Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Điểm M trên cạnh AB sao cho AB = 3AM. Ta có: M A B  AB  3AM (Vì AB, AM cùng phương, cùng O hướng và độ dài AB = 3AM). D C  CD  3 AM Vì CD, AM cùng phương nhưng ngược hướng và độ dài CD = 3AM. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969. 3 3 CD   MB Vì CD, MB cùng phương nhưng ngược hướng và độ dài CD  MB 2 2 Kỹ thuật 4: Quy tắc trung điểm  Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có M . IA  IB  0 AB  2 AI AB  2 BI. . Với điểm M tùy ý, ta viết được MA  MB  2MI (Tổng hợp 2 vectơ MA, MB theo MI ). . A. I. B. . 1 MA  MB (Phân tích MI theo MA, MB ) 2  Chú ý: Khi chứng minh các bài toán vectơ, ngoài 2 kỹ thuật trên, ta cần chú ý thêm kỹ thuật chèn điểm trong quy tắc 3 điểm(tổng, hiệu), quy tắc trung điểm, Trọng tâm tam giác, quy tắc hình bình hành. Kỹ thuật 5: Trọng tâm tam giác Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì ta có GA  GB  GC  0 MA  MB  MC  3MG với M là điểm tùy ý Hoặc MI . BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Bài 1. Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh: a) 2DA  DB  DC  0 b) 2OA  OB  OC  4OD , O là điểm tuỳ ý. Giải a) Phân tích bài toán a: A  Ta biến đổi vế trái thành vế phải.  Chú ý M là trung điểm BC, dùng kỹ thuật 2, ta có VT  2 DA  DB  DC  2 DA  2 DM D. . =2 DA  DM. . . D là trung điểm của AM nên: VT  2 DA  DB  DC  2 DA  2 DM. . C. . =2 DA  DM  2.0  0. b) Phân tích bài toán b:  Ta biến đổi vế trái thành vế phải.  Chú ý M là trung điểm BC, dùng kỹ thuật 2, ta có. . . . VT  2OA  OB  OC  2OA  2OM  2 OA  OM. . Tiếp tục nhận xét D là trung điểm AM, và dùng kỹ thuật 2 VT  2OA  OB  OC  2OA  2OM  2 OA  OM. . . =2.2OD  4OD. 12. M. B.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969. Bài 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của EF. M là điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng : a) AD  BC  2EF b) OA  OB  OC  OD  0 c) AB  AC  AD  4 AO d) MA  MB  MC  MD  4MO . GIẢI B a) Cách 1: AD  AE  EF  F D E BC  BE  EF  F C A  VT  AD  BC  AE  BE  F D  F C  2EF O. .  . .  0  0  2EF  2EF . Cách 2: 2EF  ED  EC  EA  AD  EB  BC  AD  BC  EA  EB  AD  BC  0  AD  BC. .  . . . . . C F D. . b) VT  OA  OB  OC  OD  2OE  2OF  2 OE  OF  2.0  0 .. . . .  d) VT   MA  MB    MC  MD   2ME  2MF  2  ME  MF   4MO c) VT  AB  AC  AD  2 AE  2 AF  2 AE  AF  4 AO. Bài 3. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là điểm thuộc BC sao cho BM  2MC . Chứng minh: a) AB  2 AC  3AM b) MA  MB  MC  3MG . Giải a) Ta biến đổi vế trái thành vế phải  Vế phải đang cần có vectơ AM . Ta dùng kỹ thuật chèn điểm M vào 2 vectơ AB, AC. . . AB  2 AC  AM  MB  2 AM  MC  AM  MB  2 AM  2MC.  3AM  MB  2MC  Tiếp theo ta chứng minh tổng MB  2MC  0 . Nhận xét thấy đề cho điểm M thỏa BM  2MC . Suy ra điểm M thuộc cạnh BC thỏa BM = 2MC. Từ đây ta có biểu diễn 13. C M G B. A.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969. BM  2MC . Khi đó: AB  2 AC  3AM  MB  BM  3AM  0  3AM b) Ta dùng kỹ thuật chèn điểm G vào 3 vectơ MA, MB, MC. MA  MB  MC  MG  GA  MG  GB  MG  GC  3MG  GA  GB  GC Do G là trọng tâm tam giác ABC nên GA  GB  GC  0 . Vậy MA  MB  MC  3MG  0  3MG Bài 4. Cho tam giác ABC. Lần lượt lấy các điểm M, N, P trên các đoạn AB, BC, CA sao cho AB = 3AM, BN = 3BN, CA = 3CP. Chứng minh AM  BN  CP  0 .. Bài 5. Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA  GB  GC  0 . Đây là bài toán chứng minh mệnh đề tương đương, ta làm 2 bước: Bước 1: Chứng minh “Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA  GB  GC  0 ”. Bước 2: Chứng minh” Nếu điểm G thỏa GA  GB  GC  0 thì G là trọng tâm tam giác ABC” Gọi điểm G1 là trọng tâm tam giác ABC. Theo chứng minh ở bước 1 ta có đẳng thức G1 A  G1B  G1C  0 1 Mặt khác, theo giả thiết ta có. .  . GA  GB  GC  0  2 .  . . Lấy (1)-(2) ta được G1 A  GA  G1B  GB  G1C  GC  0 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969  3G1G  0  G1G  0  G1  G . Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC. Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O. a) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. Suy ra HA  HB  HC  2HO . b) Chứng minh: OA  OB  OC  OH . c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh OH  3OG . Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G.. BÀI TOÁN TÍNH ĐỘ DÀI CỦA VECTƠ  Chú ý: Nguyên tắc của bài toán tính độ dài a  b  c ta thực hiện 2 bước: . Dùng các kỹ thuật, quy tắc nêu trên ta biến đổi tổng hợp a  b  c ra 1 vectơ duy nhất u nào đó.. . Tính độ dài a  b  c  u 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là trung điểm OD, AB = 3cm, AD = 4cm. a) Tính các độ dài AB  BC , BA  BC , CA  CB . b) Tính các độ dài AB  AD  2 AM , CO  CD  2MB , AC  BC . Giải a) AB  BC  AC  AC  5cm (Quy tắc 3 điểm). A. CA  CB  BA  BA  3cm. I O. BA  BC  BD  BD  5cm (Quy tắc hình bình hành) b) . D M. . AB  AD  2 AM  2 AO  2 AM  2 AO  AM. B. E. C. . 1 5  2 AO  AM  2 MO  2MO  2. BD  4 2  CO  CD  2MB  2CM  2MB  2 CM  MB  2 CB  2CB  8 .. . . . AC  BC  AC  AD Gọi điểm E sao cho ACED là hình bình hành có tâm I. AC  BC  AC  AD  AE  AE 2.  3 Ta có AE  2 AI  2 AD  DI  2 4     73  2 Bài 2. Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng 4a, BD = 4a. Gọi I là trung điểm OC. a) Tính độ dài các vectơ BO  BC  2CI , AB  BC . b) Tìm M trên CD sao cho vectơ MO  MC  2IA có độ dài ngắn nhất. Giải B a) Ta có BO  BC  2CI  2BI  2CI (I là trung điểm OC) 2. . 2. 2. .  2 BI  IC  2BC A.  BO  BC  2CI  2 BC  2BC  4a .. . O. . AB  BC   BA  BC   BA  BC  2BD  AB  BC  2BD  2BD  8a .. I. C. D M. b)  Ta dùng các kỹ thuật, quy tắc để biến đổi tổng MO  MC  2IA thành 1 vectơ. Nhận xét I là trung điểm OC nên ta có MO  MC  2MI . Khi đó:. . . MO  MC  2IA  2MI  2IA  2 MI  IA  2MA. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 . . Lập luận MO  MC  2IA  2MA  2MA ngắn nhất  Độ dài MA ngắn nhất  M là hình chiếu vuông góc của A trên CD. Vẽ đường thẳng d qua A và d  CD , giao điểm M  d  CD chính là điểm cần tìm Ta tính độ dài AM Hình thoi ABCD có AB = BD = 4a, suy ra 2 tam giác ABD và BCD đều, góc ACD  300 AB 3 AB 3 AC  2 AO  2.  4a 3 (AO là đường cao tam giác đều ABD nên AO  ). 2 2 Tam giác ACM vuông tại M có:. AM  AC.sin ACD  4a 3.sin 300  2a 3 Bài . Cho tam giác ABC và I là trung điểm của BC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn. 2MA  MB  MC . GIẢI. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ ĐIỂM DỰA VÀO ĐẲNG THỨC VECTƠ Bài 1. Cho tam giác ABC. a) Xác định điểm M sao cho AM  BC . Ta có AM  BC . Suy ra 2 vectơ AM và BC cùng hướng và cùng độ dài. Vậy điểm M nằm ở vị trí sao cho tứ giác AMCB là hình bình hành. b) Xác định điểm N sao cho BN  2 AC . Ta có BN  2 AC . Suy ra 2 vectơ BN và AC ngược hướng và độ dài BN = 2AC. Suy ra điểm N nằm ở vị trí sao cho tứ giác ACBN là hình thang có 2 đáy AC, BN và BN = 2AC. Bài 2. Cho tam giác ABC. a) Xác định điểm I sao cho IA  2IB  0 . A 1 IA  2IB  0  IB  BA  2IB  0  IB   BA . 3 Suy ra 2 vectơ IB , BA ngược hướng và AB = 3IB.. 17. A. M. B C. A. C N. B. I. B.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Vậy điểm I nằm trên đoạn AB sao cho AB = 3IB. b) Xác định điểm K sao cho KA  2KB  CB .. . C. . Ta biến đổi KA  2KB  CB  KI  IA  2 KI  IB  CB. . .  3KI  IA  2IB  CB  3KI  CB .. K A. B. I. Ta đã có điểm I được xác định ở câu a. Hai vectơ KI và CB cùng hướng và độ dài CB = 3KI. Vẽ đường thẳng qua I và song song với CB, chọn điểm K sao cho KI và CB cùng hướng và độ dài CB = 3KI. Bài 3: Cho tam giác ABC a) Xác định điểm O sao cho OA  OB  2OC  0 . C Gọi I là trung điểm AB. Ta có OA  OB  2OI . OA  OB  2OC  0  2OI  2OC  0  OI  OC  0 . O Vậy O là trung điểm IC. A B c) Xác định điểm M sao cho MA  MB  MC  BC . I Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có MA  MB  MC  3MG C d MA  MB  MC  BC  3MG  BC . Vẽ đường thẳng d qua trọng tâm G và song song với BC. Xác định điểm M trên d sao cho MG và BC cùng hướng, đồng thời độ dài BC = 3MG. G Nhận xét: M là giao điểm của d và AB. A B M. BÀI TOÁN 4: PHÂN TÍCH VECTƠ THEO 2 VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi điểm M trên đoạn BC sao cho MB = 2MC. Phân tích vectơ AM theo 2 vectơ AB và AC . GIẢI 2 A Ta có MB  2 MC  BM  BC . 3 2 2 1 2 AM  AB  BM  AB  BC  AB  AC  AB  AB  AC C 3 3 3 3 B M 1 2 Vậy ta phân tích được AM  AB  AC . 3 3 Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN. a) Phân tích AK theo 2 vectơ AB và AC . 1 1 b) Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh KD  AB  AC . 4 3. . . 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Giải. . . 1 A AN  AM (vì K là trung điểm MN) N 2 M 11 1  11  1 K   AB    AC   AB  AC 2 2 6  23  4 C B D 1 1 1  b) Ta có KD  AD  AK  AB  AC   AB  AC  2 6 4  1 1  AB  AC . 4 3 Bài 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng với B qua G. 2 1 1 1 a) Chứng minh rằng AH  AC  AB và CH   AC  AB . 3 3 3 3 1 5 b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh MH  AC  AB . 6 6 Giải a) Ta có AH  AB  2 AG (quy tắc hình bình hành) A 2 4 1 2 H  2. AM  . AC  AB  AC  AB 3 3 2 3 G 2 2 1 B AC  AB  AB  AC  AB . Suy ra AH  C M 3 3 3 Mặt khác từ 2 1 2 1 1 1 AH  AC  AB  AC  CH  AC  AB  CH   AC  AB 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 5 b) MH  MC  CH  BC  CH  BA  AC  AC  AB  AC  AB . 2 2 2 3 3 6 6 Bài 4: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC. a) Phân tích AI , AF theo AB, AC . a) Ta có AK . . . . . . . . . b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính AG theo AI , AF . Giải a) Ta có 2CI  3BI  2CI  3BI  0. .  . .  2 CA  AI  3 BA  AI  0  5 AI  3AB  2 AC 1. Ta có 5FB  2FC  5BF  2CF  0. .  . . A. 5 BA  AF  2 CA  AF  0  3AF  5 AB  2 AC  2  .. 3 b) Ta có AB  AC  2 AM  2. AG  AB  AC  3 AG  3 2 35 1 AI  AF . Từ (1), (2), (3) ta có AG  48 16 BÀI TOÁN 5: CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẰNG HÀNG 19. F. B. I. C.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi P là trung điểm AB, M là điểm đối xứng với B qua C. Điểm N thỏa điều kiện A NA  2 NC  0 . a) Phân tích vectơ PM , PN theo AB, AC . P b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng. Giải B 1 a) Ta có PM  PB  BM  AB  2 BC 2 1 1 3  AB  2 BA  AC  AB  2 AB  2 AC   AB  2 AC 2 2 2 1 2 Mặt khác: PN  PA  AN   AB  AC . 2 3 3   PM   2 AB  2 AC b) Theo câu a ta có   PN   1 AB  2 AC  2 3. . N. C. M. .  2  1   PM  3   2 AB  3 AC     PM  3PN .   PN   1 AB  2 AC  2 3 Suy ra 2 vectơ PM , PN cùng phương nên 3 điểm P, M, N thẳng hàng. Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Lấy điểm M trên đoạn BI sao cho BM = 2MI. Chứng minh A, M, C thẳng hàng.. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, gọi M và N là điểm lần lượt trên đoạn AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN. a) Phân tích AN theo AB, AC . b) Gọi G là trọng tâm tam giác MNB, phân tích AG theo AB, AC . c) Gọi I là điểm xác định bởi BI  kBC . Tính AI theo AB, AC và k. Tìm k để đường thẳng AI đi qua điểm G. 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Giải a) Vì N là trung điểm CD và ABCD là hình bình hành nên ta có AD  AC  2 AN và AD  AB  AC . 1 2 AN  AC  AC  AB  2 AC  AB  AN  AC  AB 2 b) Do G là trọng tâm tam giác BMN nên 1 3 AG  AB  AM  AN  AB  AN  AB 3 4 1 5  3 AG  AB  AC  AB  AB  AC . 3 2 6 5 1  AG  AB  AC . 18 3. . c) AI  AB  BI  AB  kBC  AB  k BA  AC. M. A. B G. D. N. C. . AI  1  k  AB  k AC. 5 1 6 k  1  k   k  . 18 3 11 2 Bài 4. Cho tam giác ABC. Gọi điểm D định bởi BD  BC và I là trung điểm của AD. Gọi M 3 là điểm thỏa AM  x AC với x số thực. a) Tính BI theo BA, BC . b) Tính BM theo BA, BC . c) Tính x để 3 điểm B, I, M thẳng hàng. AI đi qua G  AI , AG cùng phương . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O, M là điểm tuỳ ý. Chứng minh: a) OA  OB  OC  OD  0 b) MA  MB  MC  MD  4MO 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Giải a) OA, OC là 2 vectơ đối nhau nên OA  OC  0. A. OB, OD là 2 vectơ đối nhau nên OB  OD  0 . Vậy OA  OB  OC  OD  0 . b) O là trung điểm của AC nên MA  MC  2MO O là trung điểm của BD nên MB  MD  2MO Vậy MA  MB  MC  MD  4MO .. B O. D. C. Bài 2. Cho tam giác ABC. a) Xác định điểm D sao cho AD  2 AB  0 b) Xác định điểm M sao cho AB  AC  2CM . c) Xác định điểm N sao cho AB  AC  4 AN  0 . d) Xác định điểm K sao cho KA  2KB  CB . e) Xác định điểm L sao cho LA  LB  LC  BC . f) Xác định điểm O sao cho OA  OB  2OC  0 . g) Xác định điểm S sao cho 2SA  SB  SC  AB . Bài 3. Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thoả a) MA  MB  2MC  0 b) MA  MB  MC  0 c) MB  MC  BC  0 d) MB  MC  MA  0 e) MA  MB  MC  0 . Bài 4. Cho hình bình hành ABCD tâm O. a) Xác định điểm E sao cho EA  EB  EC  0 . b) Xác định điểm I sao cho IA  IB  IC  ID . c) Xác định điểm F sao cho 2FA  2FB  3FC  FD . Bài 5. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng 2MN  AC  BD  BC  AD . Bài 6. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là một điểm tuỳ ý. Chứng minh: a) AM  BN  CP  0 b) OA  OB  OC  OM  ON  OP . Bài 7. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC, CD và G là trung điểm của IJ. Chứng minh: a) AB  CD  2IJ b) GA  GB  GC  GD  0 c) AB  AC  AD  4 AG. . . d) 2 AB  AJ  KA  DA  3DB .. Bài 8. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của 2 tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh AA  BB  CC   3GG . Bài 9. Cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của AG. Chứng minh AB  AC  6GI  0 . Bài 10. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC, AC và BD. Chứng minh rằng: 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 a) MN . . 1 AB  DC 2. . . b) MN . . . 1 AC  DB 2. . 1 d) NA  ND  BA  CD . AB  DC 2 Bài 11. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm 2 đường chéo AC, BD, và O là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng: a) AB  CD  2IJ b) AD  BD  2IJ c) AB  AD  CB  CD  4IJ d) OA  OB  OC  OD  0 . Bài 12. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là điểm thuộc BC sao cho BM  2MC . Chứng minh: a) AB  2 AC  3AM b) MA  MB  MC  3MG . Bài 13. Cho tam giác đều tâm O, M là điểm tuỳ ý bên trong tam giác. Hình chiếu của M xuống 3 ba cạnh của tam giác là D, E, F. Chứng minh MD  ME  MF  MO . 2 2 Bài 14. Cho tam giác ABC. Gọi J là điểm trên cạnh AC sao cho JA  JC . Hãy phân tích vectơ 3 BJ theo hai vecto BA và BC . Bài 15. Cho tam giác ABC. Gọi K là điểm trên tia đối của tia AB sao cho KB  4 KA . Hãy phân tích vectơ CK theo hai vecto CA và CB . Bài 16. Gọi AD là phân giác trong của góc A trong tam giác ABC, AB = 3, AC = 4. Tính AD theo AB và AC .. c) IJ . Bài 17. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và điểm H định bởi: OA  OB  OC  OH . Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC. Bài 18. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Tính AB theo GB và GC . ĐÁP SỐ: AB  2GB  GC . 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 Bài 19. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và I là trung điểm của AG. Lấy điểm K trên đoạn AC. 1 Tính AK theo AC để ba điểm B, I, K thẳng hàng. ĐÁP SỐ: AK  AC . 5 Bài 20. Cho tam giác ABC. a) Xác định điểm D thỏa mãn DA  3DB  0 . b) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MA  3MB  8 . Bài 21. Cho tam giác ABC. Xác định D thỏa mãn DB  3DC  0 . Cho M là điểm bất kì và MB  3MC  MN . Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm cố định. ĐÁP ÁN: Đường thẳng MN đi qua điểm D cố định. 2 2 Bài 22. Cho tam giác ABC. Gọi D, E là các điểm được xác định bởi AD  AB , AE  AC . 5 3 Gọi K là trung điểm của DE và M là điểm xác định bởi BM  mBC . a) Phân tích các vecto AK , AM theo AB, AC và m. b) Tìm m để A, K, M thẳng hàng. Bài 23. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên 1 cạnh AC sao cho AK  AC . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. 3 Bài 24. Cho tam giác ABC. Gọi M, N là trung điểm BC, AM. Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho AB = 3AK. a) Phân tích CN , CK theo CA, CB . b) Chứng minh ba điểm C, N, K thẳng hàng. Bài 25. Cho tam giác ABC, gọi P là điểm đối xứng của B qua C. Đặt AB  b, AC  c . a) Phân tích vecto AP theo b, c . 1 1 b) Gọi Q, R là điểm thoả AQ  c, AR  b . Tính RQ, RP theo b, c . 2 3 c) Chứng minh P, Q, R thẳng hàng. Bài 26. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm I thoả CA = 4CI và gọi J là điểm thoả 1 2 BJ  AC  AB . Hãy phân tích BI theo AB, AC rồi suy ra B, I, J thẳng hàng. 2 3 Bài 27. Cho tam giác ABC. Gọi I, J là hai điểm sao cho IA  2IB, 3JA  2 JC . a) Tính IJ theo AB, AC . b) Chứng minh IJ qua trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 28. Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BC  MA  0 , AB  NA  3AC  0 . Chứng minh MN song song AC. 1 Bài 29. Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho CI  CA , J là điểm sao cho 4 1 2 BJ  AC  AB . 2 3 3 a) Chứng minh BI  AC  AB . 4 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng. c) Hãy dựng điểm J thoả điều kiện đề bài.. LỚP TOÁN THẦY XUÂN NHÂN CHUYÊN TOÁN 10 - 11 - 12 - LTĐH Cơ sở 1: E203 Chung cư Đào Duy Từ, số 51 đường Thành Thái, Phường 14, Quận 10, TPHCM. Cở sở 2: Trường THPT Trần Khai Nguyên, quận 5.. LỊCH HỌC NĂM 2016 - 2017 LỚP 12 11 Ca 1 11 Ca 2 10. KHAI GIẢNG 17g45 Thứ 3 ngày 2-8-2016 17g45 Thứ 2 ngày 1-8-2016 19g30 Thứ 2 ngày 1-8-2016 19g30 Thứ 3 ngày 2-8-2016. THỜI GIAN HỌC Tối thứ 3,5,7 từ 17g45 đến 19g15 Tối thứ 2,4,6 từ 17g45 đến 19g15 Tối thứ 2,4,6 từ 19g30 đến 21g00 Tối thứ 3,5 từ 19g30 đến 21g00. ĐỊA ĐIỂM HỌC Cơ sở 1 Cơ sở 1 Cơ sở 1 Cơ sở 2 (Phòng 24). ĐẶC BIỆT: - LỚP 12T1 ĐƯỢC TĂNG CƯỜNG CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017. - PHÒNG HỌC TRANG BỊ MÁY LẠNH. - TÀI LIỆU PHÁT MIỄN PHÍ. ĐĂNG KÍ QUA SỐ ĐT: 098 4321 969 Thầy Nhân. 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span>