Luan VanSKKN 52

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (520.63 KB, 89 trang )

(1)1. MỤC LỤC trang Lời cam đoan...........................................................................................1 Lời cảm ơn...............................................................................................2 Mục lục....................................................................................................3 Danh mục các cụm từ viết tắt..................................................................6. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài..................................................................................7 2. Mục đích nghiên cứu...........................................................................8 3. Nhiệm vụ nghiên cứu...........................................................................8 4. Đối tượng nghiên cứu..........................................................................9 5. Phạm vi nghiên cứu.............................................................................9 6. Phương pháp nghiên cứu.....................................................................9 7. Giả thuyết khoa học.............................................................................9 8. Bố cục..................................................................................................10. NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1.Chương I - Tứ Giác (SGK Toán 8 tập 1)...........................................11 1.1.1. Mục tiêu.................................................................................11 1.1.2. Vị trí.......................................................................................13 1.1.3. Những nội dung chủ yếu của chương....................................13 1.1.4. Những lưu ý về phương pháp dạy chương Tứ Giác...............14 1.2. Năng lực giải toán.............................................................................14 1.2.1. Khái niệm năng lực................................................................14 1.2.2. Năng lực toán học..................................................................15 1.2.3. Năng lực giải toán..................................................................15 1.2.4. Các năng lực giải toán............................................................15 1.2.4.1. Năng lực phân tích và tổng hợp.......................................15 1.2.4.2. Năng lực khái quát hóa....................................................17 1.2.4.3. Năng lực trừu tượng hóa và cụ thể hóa...........................18.

(2) 2 1.2.4.4. Năng lực tưởng tượng......................................................20 1.2.4.5. Năng lực khai thác bài toán.............................................21 1.3. Chứng minh hình học........................................................................22 1.3.1. Nhận thức luận về hình học...................................................22 1.3.2. Định lí hình học và bài tập chứng minh là gì?.......................22 1.3.3. Những điểm cần chú ý khi chứng minh.................................23 1.4. Thực trạng dạy phân môn hình học..................................................23 1.4.1. Phương pháp dạy học của giáo viên và phương pháp học của học sinh...................................................................................................24 1.4.2. Thực trạng dạy chứng minh hình học....................................26 CHƯƠNG 2 CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHỨNG MINH CHO HỌC SINH 2.1. Cơ sở khoa học của các biện pháp....................................................28 2.2. Nguyên tắc xây dựng các biện pháp.................................................29 2.3. Các biện pháp....................................................................................30 2.3.1. Biện pháp 1: Gợi động cơ chứng minh cho học sinh.............30 2.3.2. Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng đọc hiểu và vẽ hình của định lí, bài toán.............................................................................................32 2.3.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng dự đoán, tưởng tượng dựa vào hình vẽ..............................................................................................39 2.3.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã biết để giải bài toán......................................................................................45 2.3.5. Biện pháp 5: Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp vào giải toán chứng minh......................................................................................48 2.3.6. Biện pháp 6: Chú trọng câu hỏi gợi ý giúp học sinh tìm hướng giải quyết bài toán chứng minh...............................................................53 2.3.7. Biện pháp 7: Rèn luyện kỹ năng suy xuôi, suy ngược để chứng minh.................................................................................................58.

(3) 3 2.3.8. Biện pháp 8: Rèn luyện kỹ năng trình bày logic lời giải bài toán ..........................................................................................................63 2.3.9. Biện pháp 9: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài toán bằng nhiều cách........................................................................................68 2.3.10. Biện pháp 10: Giúp học sinh thấy những sai lầm dễ mắc phải trong quá trình chứng minh..............................................................76 2.3.11. Biện pháp 11: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sáng tạo ra bài toán mới từ bài toán đã cho..............................................................78 CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm......................................................................83 3.2. Nội dung thực nghiệm......................................................................83 3.3. Kết quả thực nghiệm.........................................................................84 3.4. Kết luận sư phạm..............................................................................86. KẾT LUẬN 1. Các kết quả đạt được............................................................................88 2. Hạn chế của đề tài................................................................................88 3. Hướng phát triển của đề tài..................................................................88 Tài liệu tham khảo...................................................................................90.

(4) 4. DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT. GV. Giáo viên. HS. Học sinh. PP. Phương pháp. PPDH. Phương pháp dạy học. SGK. Sách giáo khoa. SGV. Sách giáo viên. SBT. Sách bài tập. NXB. Nhà xuất bản. NXBGD. Nhà xuất bản giáo dục. gt. giả thiết. cmt. chứng minh trên. GT. Giả thiết. KL. Kết luận. Y/c. Yêu cầu. ĐH. Đại học. đpcm. điều phải chứng minh. KHGD. Khoa học giáo dục. THCS. Trung học cơ sở.

(5) 5. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong thực tiễn cuộc sống, toán học giữ vị trí rất quan trọng. Những tri thức và kĩ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường; là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để tiến hành những hoạt động trong đời sống thực tế. Vì vậy toán học là một thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới. Từ thuở xa xưa, người ta đã biết vận dụng toán học để xây dựng những công trình lớn như: Kim Tự Tháp, vườn treo Babilon, … Người Ai Cập cổ đại đã biết được một tam giác có độ dài ba cạnh là 3, 4, 5 thì tam giác đó là tam giác vuông và định lí này được áp dụng rộng rãi trong việc xây dựng nhà cửa. Ngày nay với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật ta càng thấy tầm quan trọng của toán học, có thể nói nó là nền móng cho nhiều ngành khoa học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học, … Ngoài ra môn Toán còn góp phần phát triển nhân cách con người, có tác dụng góp phần phát triển năng lực, trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa, … rèn luyện những đức tính phẩm chất của người lao động như tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Ngay từ ở cấp tiểu học, các em đã được làm quen nhiều về hình học, đã biết được một số hình như: tam giác, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, … học sinh đã biết phân biệt, biết vẽ và nhận dạng ra các hình đó. Đến cấp Trung học Cơ sở một lần nữa các em lại được tìm hiểu về nó và đặc biệt chương trình toán 8 đã dành riêng cho các em một chương để tìm hiểu kỹ hơn đó là chương I - Tứ Giác nhưng với nội dung và kiến thức được mở rộng, nâng cao hơn nhất là vấn đề giải toán chứng minh. Mặt khác đối với bộ môn hình học thì vấn đề dạy cho học sinh biết chứng minh một số bài tập, định lí và tự.

(6) 6 chứng minh được bài tập cho thật tốt lại là vấn đề không đơn giản đối với các em. Thế thì làm sao học sinh có thể giải tốt bài tập, học tốt môn này, … nhiều vấn đề được đặt ra như vậy. Là những người trực tiếp giảng dạy cho các em, chúng tôi phải nghiên cứu, đào sâu kiến thức, tìm ra những phương pháp thích hợp để giúp cho các em đạt được hiệu quả tối ưu trong học tập, đồng thời phải đổi mới phương pháp dạy học hướng vào học sinh, biết thiết kế, tổ chức hướng dẫn các hoạt động giúp học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tìm lời giải nhanh gọn, hợp lí, đúng, khoa học. Chính vì vậy mà chúng tôi đặc biệt quan tâm và quyết định chọn đề tài “Bồi dưỡng năng lực chứng minh hình học cho học sinh THCS thông qua dạy chương I - Tứ Giác (Toán 8) ” để nghiên cứu. Đề tài này nhằm giúp học sinh vững vàng hơn trong phát hiện và giải toán chứng minh trong giai đoạn khởi đầu. Qua đó cũng nhằm nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường để tạo ra thế hệ trẻ năng động, sáng tạo, hội tụ đầy đủ năng lực và phẩm chất góp phần đưa đất nước đi lên, một mặt sẽ đem lại niềm vui hứng thú hơn trong học tập, giúp các em yêu thích hơn đối với môn học này. 2. Mục đích nghiên cứu Làm rõ năng lực chứng minh các bài toán hình học của học sinh, từ đó đưa ra một số biện pháp bồi dưỡng năng lực chứng minh cho các em, giúp các em biết giải và trình bày chặt chẽ, logic một bài toán hình học, kích thích tinh thần hăng say, ham học cho các em đối với môn học này. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu  Hệ thống lại các dạng toán hình học 8 và các kỹ năng cần thiết để giải các dạng toán này.  Đề xuất một số biện pháp giúp bồi dưỡng năng lực chứng minh cho học sinh.  Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính đúng đắn và hiệu quả của các biện pháp đề ra..

(7) 7 4. Đối tượng nghiên cứu Năng lực chứng minh hình học lớp 8. 5. Phạm vi nghiên cứu Chương I - Tứ Giác lớp 8 tập 1. 6. Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc SGK, SGV, SBT lớp 8 và các tài liệu liên quan khác phục vụ cho đề tài.  Phương pháp quan sát điều tra: Qua các tiết dự giờ giáo viên dạy, trao đổi với đồng nghiệp dạy Toán 8, tìm hiểu tình hình học tập của học sinh.  Phương pháp trao đổi với giảng viên hướng dẫn và các thành viên trong nhóm.  Phương pháp thực nghiệm giáo dục: Thông qua các buổi báo cáo chuyên đề các tiết dạy tự chọn trên lớp. 7. Giả thuyết khoa học Nếu đề xuất được các biện pháp nâng cao năng lực chứng minh hình học cho học sinh THCS qua dạy học chương Tứ giác Toán 8 thì sẽ giúp các em hệ thống được những phương pháp giải các dạng toán tương tự, tự mình định hình được cách giải và đưa ra được nhiều cách giải cho một bài toán. Từ đó nâng cao được năng lực tự học của học sinh, giúp các em biết vận dụng từng phương pháp cụ thể vào những dạng toán có liên quan, bởi vì các em nhớ được những phương pháp giải và có một kiến thức khá ổn định. Bên cạnh đó, các em hình thành được cho mình các kỹ năng giải toán, từ đó sẽ dần dần nâng cao được chất lượng học toán của học sinh. 8. Bố cục: Khóa luận gồm có 3 phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. - Mở đầu: + Lý do chọn đề tài + Mục đích nghiên cứu.

(8) 8 + Nhiệm vụ nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu + Phạm vi nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu + Giả thiết khoa Học + Bố cục - Nội dung: + Chương 1 - Cơ sở lí luận và thực tiễn + Chương 2 - Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán chứng minh cho học sinh + Chương 3 - Thực nghiệm sư phạm - Kết luận + Các kết quả đạt được + Hạn chế của đề tài + Hướng phát triển của đề tài.

(9) 9. NỘI DUNG CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Chương I. Tứ Giác (SGK Toán 8 tập 1) 1.1.1. Mục tiêu 1.1.1.1. Kiến thức Sau khi học xong chương tứ giác, HS phải nhận biết và hiểu rõ nội dung những kiến thức sau đây: - Khái niệm về tứ giác lồi, tổng các góc của một tứ giác lồi bằng 360 0, hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song, hình thang vuông là hình thang có một cạnh bên vuông góc với hai đáy, hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau, tính chất của hình thang cân, dấu hiệu nhận biết hình thang cân. - Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh của tam giác. Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh bên của hình thang (một tam giác có ba đường trung bình, một hình thang không phải là hình bình hành thì có một đường trung bình). Các tính chất và dấu hiệu nhận biết về đường trung bình của tam giác, hình thang. - Các khái niệm về đối xứng tâm, đối xứng trục, các định nghĩa về hình có trục đối xứng, tính chất của hai hình có đối xứng tâm và đối xứng trục. Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng (hoặc qua một điểm) thì chúng bằng nhau. - Hình bình hành là tứ giác có các các cạnh đối song song; tính chất và dấu hiệu nhận biết hình bình hành. - Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông, tính chất của hình chữ nhật (gồm các tính chất của hình bình hành và tính chất riêng là hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau), các dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật..

(10) 10 - Áp dụng vào tam giác: Trong tam giác, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền; nếu một tam giác có một trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông. - Định nghĩa về khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và tính chất đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước. - Khái niệm về hình thoi: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau, tính chất của hình thoi (gồm tất cả các tính chất của hình bình hành và tính chất riêng là trong hình thoi hai đường chéo là đường phân giác các góc của hình thoi), các dấu hiệu nhận biết hình thoi. - Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau, tính chất của hình vuông (gồm tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi), các dấu hiệu nhận biết hình vuông. 1.1.1.2. Kỹ năng - Tính được một góc của tứ giác khi biết ba góc còn lại; tính được các góc ngoài của tứ giác; vẽ được tứ giác khi biết độ dài bốn cạnh và một đường chéo hoặc một góc. - Nhận biết được hình thang, hình thang vuông, hình thang cân qua các dấu hiệu nhận biết của chúng (qua các bài toán chứng minh nhận dạng). Dùng thước thẳng, êke vẽ được hình trên giấy kẻ ôli. Vận dụng được tính chất đường trung bình của hình thang, tam giác vào việc chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau, tính khoảng cách, độ dài các đoạn thẳng. - Sử dụng compa và thước thẳng thực hiện được các bài toán dựng hình cơ bản. - Vẽ được các đoạn thẳng, tam giác đối xứng qua tâm,qua trục, nhận biết được một số hình quen thuộc có tâm đối xứng, có trục đối xứng. - Thông qua các dấu hiệu nhận biết được tứ giác là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông và vẽ được chúng thông qua các dấu hiệu đặc biệt của mỗi loại hình..

(11) 11 - Vẽ được hình, ghi giả thiết, kết luận của các bài toán hình học, giải được một số bài đơn giản hoặc những bài có mức độ tương đương. 1.1.1.3. Thái độ Bước đầu rèn luyện cho HS những thao tác tư duy như: quan sát và dự đoán khi giải toán, phân tích tìm tòi cách giải và trình bày lời giải của bài toán, nhận biết được các quan hệ hình học trong các vật thể xung quanh và bước đầu vận dụng kiến thức hình học đã học vào thực tiễn. 1.1.2. Vị trí Chương I hình học 8 có vị trí quan trọng trong toàn bộ chương trình hình học bậc THCS. Bắt đầu từ đây HS được luyện tập nhiều về chứng minh định lí, thường xuyên làm quen với các định lí thuận-đảo, bắt đầu chính thức học về dựng hình bằng thước và compa. Các kiến thức hình học, các kỹ năng về vẽ hình, đo đạc, tính toán, các thao tác tư duy như: quan sát, dự đoán, phân tích, tổng hợp,… được rèn luyện nhiều trong chương, tạo điều kiện thuận lợi cho HS học các chương sau. 1.1.3. Những nội dung chủ yếu của chương * Chủ đề 1: Tứ giác, các tứ giác đặc biệt. Tứ giác được nghiên cứu trong chương I là tứ giác lồi. Các tứ giác đặc biệt được nghiên cứu là hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông (bao gồm định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết các tứ giác ấy). Các hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông đều được định nghĩa từ tứ giác cho nhất quán với các định nghĩa ở tiểu học. Sách giáo khoa cũng chỉ rõ quan hệ bao hàm giữa các hình: hình bình hành là một hình thang đặc biệt; hình chữ nhật là một hình bình hành đặc biệt, là một hình thang cân đặc biệt; hình thoi là một hình bình hành đặc biệt; hình vuông là một hình chữ nhật đặc biệt, là một hình thoi đặc biệt. Nhờ đó, việc nêu tính chất các hình được đơn giản hơn. * Chủ đề 2: Bổ sung một số kiến thức về tam giác trong chương gồm:.

(12) 12 đường trung bình, tính chất đường trung tuyến. Các kiến thức này có thể được chứng minh với kiến thức hình học 7, nhưng chúng được đặt trong chương I hình học 8 với mục đích giảm bớt khối lượng kiến thức ở lớp 7 khi HS chưa thành thạo trong chứng minh hình học. * Chủ đề 3: Đối xứng trục, đối xứng tâm. Đây là nội dung có nhiều ứng dụng trong thực tiễn đời sống. Trong chủ đề này, HS biết được định nghĩa hai điểm; hai hình đối xứng qua một đường thẳng, qua một điểm; hình có trục đối xứng (trong đó có hình thang cân); hình có tâm đối xứng (trong đó có hình bình hành). 1.1.4. Những lưu ý về phương pháp dạy chứng minh tứ giác - Chúng ta cần chuẩn bị cho HS tiếp cận kiến thức mới bằng cách cho HS vẽ hình, đo đạc có khi gấp hình, rồi quan sát, dự đoán, … - Không lạm dụng quá nhiều các hoạt động thực nghiệm, cần tăng dần các suy luận logic, nhất là trong chứng minh định lí. Chương này góp phần rèn luyện cho HS biết tìm cách chứng minh và trình bày chứng minh định lí. Không bắt buộc HS trình bày chứng minh theo một khuôn mẫu nhất định mà nên tận dụng các chứng minh mang tính “làm mẫu” để HS tham khảo, để hướng dẫn HS cách trình bày một bài toán chứng minh hình học. - Chú trọng khâu luyện tập thực hành ngay trong các tiết lí thuyết. Ngoài các củng cố có ghi trong sách giáo khoa thông qua các “câu hỏi giữa chừng” thì có thể chọn những câu hỏi, bài tập đơn giản khác trong sách giáo khoa để củng cố kiến thức cho phù hợp với đối tượng HS của mình. - Coi trọng yếu tố trực quan, chú trọng sử dụng các đồ dùng dạy học, nhất là khi dạy về đối xứng trục, đối xứng tâm, … 1.2. Năng lực giải toán 1.2.1. Khái niệm năng lực Theo tâm lí học, năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó đạt kết quả..

(13) 13 1.2.2. Năng lực toán học Năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng những yêu cầu của hoạt đông toán học, được biểu hiện ở một số mặt: - Năng lực thực hiện các thao tác tư duy cơ bản. - Năng lực rút gọn quá trình lập luận toán học và hệ thống các phép tính. - Sự linh hoạt của quá trình tư duy. - Khuynh hướng về sự rõ ràng, đơn giản và tiết kiệm của lời giải các bài toán. - Năng lực chuyển dễ dàng từ tư duy thuận sang tư duy nghịch. - Trí nhớ về các sơ đồ tư duy khái quát, các quan hệ khái quát trong lĩnh vực số và dấu. 1.2.3. Năng lực giải toán Năng lực giải toán là sự thể hiện độc đáo các phẩm chất riêng biệt nhằm đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học có hiệu quả. 1.2.4. Các năng lực giải toán 1.2.4.1. Năng lực phân tích và tổng hợp Theo tâm lí học, phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó. Ngược lại với phân tích thì tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể. Phân tích và tổng hợp là những thao tác tư duy cơ bản. Vì vậy để phát triển trí tuệ của học sinh, cần phải coi trọng việc rèn luyện cho HS năng lực phân tích và tổng hợp. Trong hoạt động giải toán, trước tiên phải nhìn nhận bao quát đề toán một cách tổng hợp, xem bài toán đó thuộc loại nào, phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm, tìm ra mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm. Việc giải nhiều bài toán đòi hỏi HS phải biết phân tích bài toán thành một số bài toán.

(14) 14 đơn giản hơn, chia ra các trường hợp khác nhau, giải các bài toán đơn giản đó, rồi tổng hợp lại để được lời giải của bài toán đã cho. Chẳng hạn, để chứng minh “Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành” ta làm như sau:. Hình 1.1 Sơ đồ phân tích và tổng hợp bài toán trên có thể ghi như sau: ABCD là hình bình hành. AB CD,. AD  BC. Aˆ1 Cˆ1 ,. Aˆ 2 Cˆ 2. . SƠ ĐỒ PHÂN TÍCH. SƠ ĐỒ TỔNG HỢP. ABC CDA. AB CD,. AD BC ,. AC cạnh chung. HƯỚNG CHỨNG MINH.

(15) 15 Trong chứng minh trên, ABCD là hình bình hành được chứng minh theo định nghĩa. Khi kẻ đường chéo AC để tạo ra hai tam giác ABC và CDA và chứng minh chúng bằng nhau. Ở đây ta đã thực hiện nhiều thao tác phân tích và tổng hợp. Vì AC ở đây được hiểu dưới nhiều khía cạnh khác nhau, mỗi lần như vậy ta tách ra (phân tích) một tính chất của AC trong một hệ thống (tổng hợp) như mối liên hệ ở các hình sau:. 1.2.4.2. Năng lực khái quát hóa Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra cái chung trong các đối tượng, sự kiện hoặc hiện tượng. Muốn khái quát ta thường so sánh nhiều đối tượng, hiện tượng, sự kiện với nhau. Để bồi dưỡng cho HS năng lực khái quát hóa đúng đắn thì cần luyện tập cho HS biết cách phân tích, tổng hợp, so sánh để tìm ra cái chung ẩn náo trong các hiện tượng, nhìn thấy cái chính, cái cơ bản, cái chung trong cái khác nhau về bên ngoài. Để làm được điều này thì giáo viên phải biết phối hợp biến thiên.

(16) 16 những dấu hiệu bản chất của các khái niệm, hiện tượng mình đang nghiên cứu. Khi khái quát hóa, ta sẽ có cái nhìn bao quát hơn, thấy được cái chung trong nhiều cái riêng. Đây là một con đường phát minh sáng tạo. Khái quát hóa có thể đúng, có thể sai, do đó ta cần chứng minh. Chẳng hạn, chứng minh định lí “Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600”. Đầu tiên HS quan sát tứ giác thì nhìn thấy có bốn cạnh, nên có thể tạo thành hai tam giác. Do dó HS có thể dự đoán từ việc đã biết “Tổng các góc của một tam giác bằng 1800”. Trên cơ sở đó có thể dự đoán và chứng minh được “Tổng các góc của một tứ giác bằng 360 0”. Về vấn đề này thì ta có thể khái quát lên để tìm được tổng số đo các góc của một đa giác bất kì. Đối với định nghĩa, đường trung bình của tam giác: “Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác”. Ta có thể khái quát lên để tìm đường trung bình của hình thang “Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang”. Ở đây GV cần làm rõ dấu hiệu bản chất và dấu hiệu không bản chất như trong định nghĩa trên thì: - Dấu hiệu bản chất: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh. - Dấu hiệu không bản chất đối với: + Tam giác là “hai cạnh bất kì”. + Hình thang là “ hai cạnh bên”. 1.2.4.3. Năng lực trừu tượng hóa và cụ thể hóa Trừu tượng hóa, là sự suy nghĩ nhằm tách một số tính chất chung của các đối tượng (quan hệ) ra khỏi những tính chất khác của chúng để đồng nhất chúng trong một mục đích nghiên cứu nhất định. Cụ thể hóa là tìm một ví dụ minh họa cho cái chung đó, tức là tìm một cái riêng mà cái riêng này thỏa mãn những tính chất của cái chung đã xác định. Trừu tượng hóa và cụ thể hóa liên hệ mật thiết với nhau. Đó là ý nghĩ về một cái riêng, mà cái riêng này tương ứng với một cái chung nhất định. Có thể.

(17) 17 nói: Cụ thể hóa là quá trình minh họa hay giải thích những khái niệm, định luật khái quát, trừu tượng bằng các ví dụ. Việc bồi dưỡng cho HS năng lực trừu tượng hóa có ý nghĩa hết sức quan trọng. Vì vậy cần nắm vững mối quan hệ qua lại chặt chẽ giữa tư duy cụ thể và tư duy trừu tượng theo con đường biện chứng để nhận thức chân lí: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ đó trở về thực tiễn” trong khi hình thành và củng cố các kiến thức toán học cho HS. Ví dụ khi dạy về định nghĩa hình thang, GV có thể đặt vấn đề: Chúng ta phải nghiên cứu cùng một lúc những hình như:. Hình 1.6 Ta phải tìm tính chất chung của chúng, muốn vậy phải tìm ra hình “đại diện” cho chúng để rồi nghiên cứu hình “đại diện” ấy, là hình có tính chất mà mọi hình đã cho đều có. Khi đó HS sẽ quan sát và tước bỏ những đặc điểm riêng, chỉ giữ lại hai tính chất chung: “là tứ giác”, “có hai cạnh song song”, vì tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang (theo định nghĩa) và sẽ nghiên.

(18) 18 cứu tiếp hình thang, những tính chất mà hình thang có sẽ là những tính chất chung của các hình đã cho ban đầu. Để củng cố cho phần định nghĩa hình thang. Cho HS trả lời bài tập: “hình 7 là hình vẽ một chiếc thang. Trên hình vẽ có bao nhiêu hình thang?”. 1.2.4.4. Năng lực tưởng tượng Theo tâm lí học, tưởng tượng là quá trình tâm lí phản ánh những cái chưa từng có trong kinh nghiệm của cá nhân bằng cách xây dựng những hình ảnh mới trên cơ sở những biểu tượng đã có. Tưởng tượng rất cần thiết cho rất nhiều hoạt động. Nó cho phép hình dung được kết quả, cách thức đi đến sản phẩm và ảnh hưởng rõ rệt đến việc học tập, tiếp thu và thể hiện tri thức mới của HS. Để phát triển năng lực tưởng tượng cho HS, GV cần tập cho HS khả năng hình dung được những đối tượng trong quan hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng, từ những biểu tượng của đối tượng đã biết có thể hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết. Trong toán học việc nhận thức của HS rất cần sự tưởng tượng, đặc biệt là trong hình học. Ví dụ, khi định nghĩa “Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau”, hình thoi theo định nghĩa này là một hình thoi trừu tượng, ta không thể vẽ được nó.Vì khi ta vẽ được trên trang giấy thì đó là hình thoi cụ thể theo một kích thước nhất định về cạnh. Còn trong khi hình thoi trừu tượng.

(19) 19 là hình thoi không có các tính chất nào khác ngoài các tính chất “là tứ giác”, “có bốn cạnh bằng nhau” (theo định nghĩa) . Có như vậy HS mới tránh được sai lầm mà HS hay gặp khi ngộ nhận những tính chất của hình cụ thể (hình vẽ ra để làm toán) là tính chất của hình cần nghiên cứu (hình trừu tượng). Từ đây HS có thể nhận thấy các thanh sắt ở cửa xếp (hình 99 SGK trang 104) tạo thành những hình thoi (là hình ảnh cụ thể). 1.2.4.5. Năng lực khai thác bài toán Khai thác bài toán là đi nghiên cứu sâu vào bài toán để có thể tìm ra cách giải khác nhau và sáng tạo, mở ra bài toán mới. Khi giải xong một bài toán GV cần làm cho HS nắm và thấy được cách giải vừa tìm được, phân tích lại kết quả và con đường đã đi để có thể củng cố những kiến thức và phát hiện khả năng giải toán, từ đó phát hiện ra cách giải khác. Khi hiểu rõ vấn đề cơ bản của bài toán thì có khả năng khai thác tìm ra bài toán mới dựa trên bài toán ban đầu. Muốn khai thác bài toán trước hết phải nắm được đặc điểm và bản chất của bài toán đó. Do đó người giải toán phải phân tích kỹ các yếu tố cấu tạo nên bài toán. Như vậy mới thấy được mối liên hệ giữa các bài toán trong cùng loại và các bài toán khác nhau. Bài toán mới có thể là bài toán hoàn toàn mới cũng có thể là sự mở rộng đào sâu những bài toán đã biết, cũng có thể là bài toán tương tự với bài toán ban đầu nhưng thể hiện với cách hỏi khác. Do đó việc tổng kết các con đường dẫn đến bài toán mới từ những bài toán ban đầu đã biết có trong SGK có tầm quan trọng to lớn. Có thể nói, có năm con đường tạo ra bài toán mới từ bài toán ban đầu như sau: - Lập bài toán tương tự với bài toán ban đầu. - Lập bài toán đảo của bài toán ban đầu. - Thêm vào bài toán ban đầu một số yếu tố. Đặc biệt hóa bài toán ban đầu..

(20) 20 - Bớt đi một số yếu tố của bài toán ban đầu. Khái quát hóa bài toán ban đầu. - Thay đổi một số yếu tố của bài toán ban đầu. 1.3. Chứng minh hình học 1.3.1. Nhận thức luận về hình học Hình học là một ngành của toán học, nghiên cứu hình dạng, kích thước và vị trí các hình trong không gian. Là môn khoa học dùng lí luận để suy diễn và dựa vào quy tắc suy diễn của logic để tìm hiểu tính chất chung của không gian. Có nghĩa là mỗi câu nói phải có lí do xác đáng. Mỗi lí do phải có nguyên nhân sinh ra nó. Tầm quan trọng và sự hấp dẫn của Hình học có liên quan đến nhiều hoạt động của con người. Hình học cung cấp ý tưởng cho những mô hình của các hiện tượng (Thiên văn, Vật lí, Hóa học, Sinh học, …) và những dạng của các vật thể trong cuộc sống. Trong hình học tính logic chặt chẽ được kết hợp với các biểu tượng trực quan sinh động, là con đường đi từ logic đến thực tiễn. 1.3.2. Định lí hình học và bài tập chứng minh là gì? Mỗi mệnh đề dùng để biểu thị tính chất của các hình, mà tính chất chân thực đã được chứng minh được gọi là một định lí trong hình học. Trong hình học hệ quả cũng được coi là một định lí (là một điều có thể suy ra từ định lí, còn gọi là định lí phụ thuộc). Trong hình học, có nhiều mệnh đề cần chứng minh và ta thường gọi là bài tập (thực ra cũng là định lí). Những định lí có ghi lại rõ ràng và chứng minh đầy đủ, rồi dựa vào đó để chứng minh những định lí và bài tập khác thì được gọi là định lí cơ bản còn những định lí mà khi chứng minh các định lí và bài tập khác mà ít dùng đến, dùng để luyện tập thêm thì gọi là bài tập. - Định lí đã được chứng minh xong và không cần dùng đến để làm căn cứ chứng minh cho những định lí khác thì coi như bài tập. Đôi khi những định lí quan trọng có khi cũng được xếp vào bài tập. Tóm lại: định lí, hệ quả, bài tập đều được coi là định lí cả, ta gọi chung.

(21) 21 là định lí. Quá trình và các bước chứng minh một bài tập cũng là quá trình và các bước chứng minh một định lí. 1.3.3.Những điểm cần chú ý khi chứng minh Nguyên nhân làm cho HS thấy Hình học khó hơn Đại số là HS chưa chuẩn bị đầy đủ trước khi chứng minh và thường bỏ qua những điểm cần chú ý như: - Hình học là môn học suy diễn bằng lí luận chặt chẽ. Mỗi câu nói trong lúc chứng minh thường có lí do xác đáng không được qua loa. Với bài chứng minh thường được chia ra làm hai phần: bên trái là lời chứng minh, bên phải là lí do, nhằm giúp HS nhớ được các định lí, tiên đề đã được học.Với những lí do được làm căn cứ cho phần chứng minh như: + Giả thiết của bài ra. + Những định nghĩa đã được học. + Những tiền đề đã học. + Những định lí đã chứng minh (đã học). Khi chứng minh ta không được dùng lầm những quan hệ mà giả thiết của định lí không cho, những điều chưa học đến hay trong sách không nói đến để làm căn cứ cho chứng minh. - Khi chứng minh thường vẽ thêm đường phụ giúp cho việc chứng minh được thuận lợi và thường ghi vào đầu bài làm, đồng thời nêu rõ cách vẽ những đường đó như thế nào. - Sau khi chứng minh một điều gì rồi, mà có một điều khác cũng cần chứng minh tương tự thì có thể giảm bớt phần chứng minh của điều sau, chỉ viết lại kết quả. - Thường dùng các hệ thức thay cho lời nói trong những trường hợp có thể trong khi chứng minh, làm cho bài chứng minh rõ ràng thêm. Lời chứng minh cần đơn giản, gọn, đừng dài dòng nhưng cũng không thiếu hay bỏ sót. 1.4. Thực trạng dạy phân môn hình học.

(22) 22 Trước khi tiến hành làm đề tài này chúng tôi đã tiến hành điều tra phương pháp dạy của GV, phương pháp học của HS đối với phân môn Hình học bằng các hình thức: dự giờ tiết dạy của GV; lấy ý kiến đồng nghiệp về thực trạng dạy, học Hình học; thu thập thông tin trong quá trình giảng dạy; … Chúng tôi nhận thấy thực trạng dạy, học đối với phân môn Hình học như sau: 1.4.1. Phương pháp dạy học của giáo viên và phương pháp học tập của học sinh * Phương pháp dạy học của giáo viên Trong quá trình giảng dạy đối với phân môn Hình học, ta thấy sự hấp dẫn và tầm quan trọng của Hình học là có liên quan nhiều đến nhiều lĩnh vực hoạt động của con người. Nhất là trong những bài tập mang tính thực tiễn như: đo đạc, xây dựng, … những hình hình học và những đo lường kỹ thuật là cần thiết để hoạch định công việc và mô tả kết quả. Vì vậy trước khi vận dụng các PPDH là hầu hết GV chúng ta điều nắm được mục tiêu đề ra trong dạy học. Nội dung trong chương trình toán THCS và vận dụng các PPDH theo hướng đổi mới. Mặt khác mỗi GV chúng ta phải hiểu và nắm rõ tâm sinh lí HS ở lứa tuổi này để đạt kết quả cao trong việc truyền thụ tri thức cho HS. Qua đó, trong thời gian giảng dạy ở trường cũng đã phần nào nắm được năng lực học toán của HS. Từ đây sự điều chỉnh PPDH sao cho phù hợp để đạt mục tiêu dạy học. Trong khi thực hiện PPDH thì mỗi GV điều đã nghiên cứu kỹ tài liệu, chuẩn bị nội dung dạy học thật tốt trước khi lên lớp truyền thụ kiến thức cho HS. Đồng thời phải tìm tòi, định hướng, xác định các tình huống sư phạm có thể diễn ra trong mỗi tiết dạy. Hệ thống chặt chẽ câu hỏi, chuẩn bị nội dung bài tập cơ bản, điển hình để dẫn dắt HS lĩnh hội kiến thức. Ngoài ra còn bổ sung thêm những câu hỏi, bài tập mang tính thực tế nhiều để kích thích tính hứng thú học tập và rèn luyện thêm năng lực tư duy, suy nghĩ, sáng tạo. Đồng thời phối hợp tốt các hình thức tổ chức dạy học trên lớp như: lên bảng giải, bài tập, thảo luận nhóm, … Bên cạnh đó cần động viên, biểu dương, khen ngợi những em HS học tốt, kích thích HS.

(23) 23 học yếu vươn lên. Tạo không khí lớp học thêm sinh động, sôi nổi. Song song đó GV còn kết hợp thực hiện tốt quy chế kiểm tra, đánh giá, chấm bài, xếp loại đúng kết quả học tập của từng đối tượng HS. Mặc dù đã có sự vận dụng PPDH theo hướng đổi mới của chương trình, nhưng do đặc điểm tình hình HS ở trường còn chưa đồng bộ về nhận thức học tập nên cũng chưa thực hiện PPDH theo hướng đổi mới một cách có hiệu quả như: vấn đề thời gian hướng dẫn các em tự học, tự giải bài tập ở nhà, kiểm tra phần chuẩn bị của HS cho một tiết học mới, … Hơn nữa, do cấu trúc bài học ở một số bài học trong chương khá dài nên thời gian hướng dẫn bài tập cho các em vẫn còn hạn chế. Từ đó phần nào cũng ảnh hưởng đến việc học tập của HS. Do vậy GV cần phải tìm ra những biện pháp thật cụ thể, tối ưu để khắc phục tình trạng đó. Vì thế vấn đề bồi dưỡng giải toán cho HS thật là cần thiết. *Phương pháp học tập của học sinh Trong thời gian giảng dạy và tìm hiểu nhiều về phía HS, điều mà ta nhận thấy đối với HS là Hình học là môn học khó, có tính trừu tượng cao. Đối với HS khá giỏi thì việc tích cực độc lập trong học tập, biết tự phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề được thể hiện cao như: sự hứng thú của các em trong mỗi giờ học, say mê giải bài tập, sự lĩnh hội kiến thức cơ bản một cách nhanh chóng, biết vận dụng kiến thức vào giải bài tập đơn giản, bồi dưỡng dần mức độ hiểu biết cao hơn dưới sự gợi ý của GV đều được các em phát huy tích cực. Bên cạnh đó, vẫn còn không ít HS còn thụ động trong học tập, chưa thật sự quan tâm đến vấn đề đọc sách, theo dõi GV hướng dẫn, học cách trình bày lời giải bài tập mẫu của GV, … chưa được các em làm tốt. Sự kết hợp các hoạt động như: Nghe nhìn, vẽ hình, ghi chép, đọc, phát biểu ý kiến, thảo luận, … chưa thực hiện đạt kết quả dẫn đến không theo kịp các tiến trình hoạt động của mỗi bài học trên lớp. Thường thì những em đó “nói chung” có ý thức học tập chưa cao, có thói quen trông chờ, ỷ lại. Do đó đòi hỏi GV cần có nhiều kinh nghiệm, tác động tích cực, càng nhiều càng tốt, tác động nhiều đến các.

(24) 24 đối tượng này trong mỗi giờ học, nhằm giúp các em có phương pháp học tập tốt hơn. 1.4.2. Thực trạng dạy chứng minh hình học Qua thực tế giảng dạy nhiều năm qua, về nhận thức môn Hình học ai cũng thấy rằng những yêu cầu về chứng minh hình học ở bậc THCS của ta là tương đối cao đối với phía HS. Vì vậy, đối với nhận thức của đại đa số HS ta thấy rằng các em còn gặp một số khó khăn như: - Khi học các định nghĩa, khái niệm, định lí, … đôi khi học sinh còn học vẹt nên khả năng vận dụng những kiến thức đã học vào chứng minh chưa được linh hoạt lắm. - HS chưa tổng hợp được từng loại bài tập và vận dụng kiến thức nào để giải cho từng dạng đó. - Bài tập mẫu trong SGK còn ít, hướng dẫn và gợi ý chưa nhiều nên cũng gây không ít khó khăn cho việc tiếp thu và nghiên cứu của HS. - Chưa xác định được kiến thức và phương pháp chứng minh bài toán hình học. - Khả năng hệ thống hay tóm tắt một bài, một chương, … để vận dụng kiến thức trọng tâm vào việc chứng minh bài toán chưa cao. - Chưa nắm vững trình tự vẽ các yếu tố hình học theo yêu cầu của bài toán và chưa liên tưởng được việc vẽ thêm đường phụ khi cần thiết. Từ những khó khăn như vậy, ta thấy việc tiếp thu được điều gì về hình học thì cũng chỉ là hình thức nên HS ít hứng thú đối với môn học này. Đôi khi phải thừa nhận rằng môn hình học cũng đã phần nào gây không ít khó khăn cho HS. Trong đó có nhiều nguyên nhân khác nhau, nguyên nhân chủ quan và nguyên nhân khách quan. Một trong những nguyên nhân đó là: - Do mất căn bản kiến thức từ các lớp dưới, khả năng nắm các phương pháp suy luận để giải bài toán chứng minh chưa tốt..

(25) 25 - Chưa có sự cố gắng trong học tập, còn ỷ lại nhiều vào sách giải, bạn bè, … - Khả năng tiếp thu kiến thức và kỹ năng làm bài sau mỗi tiết học còn hạn chế. - Do gia đình còn gặp khó khăn nhiều trong lĩnh vực đời sống nên có em chưa có nhiều thời gian cho việc học ở nhà và nghiên cứu. - Các em chưa thấy được ứng dụng của Hình học vào thực tế đời sống, đôi khi một số em còn ham thích một lĩnh vực nào khác nên chưa yêu thích môn học này. - Hình học vẫn là môn học khá trừu tượng đối với đại đa số HS. - SGK hiện nay quá ngắn gọn, chỉ tâp trung vào suy luận và chứng minh, ít hình vẽ, rất ít tranh ảnh, mô hình vật lí của các khái niệm và tính chất hình học. Bởi thế, để việc dạy học Hình học ngày càng được tốt hơn, khắc phục những khó khăn cho HS thì GV cần giúp các em nghe giảng, luyện tập nhiều trong quá trình học, áp dụng không máy móc vào việc chứng minh hình học. Do đó cần đặc biệt chú trong nhiều cho HS khâu thực hành kết hợp rèn luyện từng bước để nắm vững phương pháp giải bài tập và tư duy khái niệm (quan sát, thực nghiệm. tìm tòi, dự đoán, …), cho HS luyện tập giải bài tập nhiều và tập cho HS lập luận có căn cứ trong quá tình chứng minh một bài toán hình học thì đó chính là những điều cần thiết nhất để học Hình học..

(26) 26. CHƯƠNG 2 CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHỨNG MINH CHO HỌC SINH 2.1. Cơ sở khoa học của các biện pháp 2.1.1. Cơ sở triết học Toán học là môn học có tính trừu tượng rất cao. Nó có nguồn gốc từ thực tiễn và phục vụ lại cho nhu cầu của thực tiễn. Trong toán học luôn đảm bảo sự thống nhất giữa cụ thể và trừu tượng. 2.1.2. Cơ sở tâm lý Lứa tuổi HS THCS là lứa tuổi có nhiều sự thay đổi đột ngột về thể chất, tâm sinh lý. Các em tự cho mình là người đã trưởng thành và thích làm những việc giống như người trưởng thành. Ở giai đoạn này các em cũng có sự thay đổi về ghi nhớ, tư duy, chú ý, ... - Về ghi nhớ: HS đã biết tổ chức hoạt động tư duy, biết tiến hành các thao tác như so sánh, hệ thống hóa, phân loại nhằm ghi nhớ tài liệu. Kỹ năng nắm vững phương tiện ghi nhớ của HS được phát triển ở mức độ cao, các em bắt đầu sử dụng các phương tiện đặc biệt để ghi nhớ và nhớ lại. Tốc độ ghi nhớ và khối lượng ghi nhớ tăng lên. Ghi nhớ máy móc ngày càng nhường chỗ cho ghi nhớ logic, ghi nhớ ý nghĩa. Các em thường phản đối các yêu cầu của GV bắt học thuộc lòng từng câu, từng chữ và có khuynh hướng muốn tái hiện bằng lời nói của mình. - Về tư duy: + Tư duy nói chung và tư duy trừu tượng nói riêng phát triển mạnh. Nhưng thành phần của tư duy hình tượng - cụ thể vẫn tiếp tục phát triển, nó vẫn giữ vai trò quan trọng trong cấu trúc của tư duy. + Các em hiểu các dấu hiệu bản chất của đối tượng nhưng không phải bao giờ cũng phân biệt được những dấu hiệu đó trong mọi trường hợp. Khi.

(27) 27 nắm khái niệm các em có khi thu hẹp hoặc mở rộng khái niệm không đúng mức. + Ở tuổi thiếu niên tính phê phán của tư duy cũng được phát triển, các em biết lập luận giải quyết vấn đề một cách có căn cứ. Các em đã biết vận dụng lí luận vào thực tiễn, biết lấy những điều quan sát được, những kinh nghiệm riêng của mình để minh họa kiến thức. - Về chú ý: Ở lứa tuổi này khả năng chú ý của HS cũng được phát triển. Các em đã có sự chú ý hơn so với lứa tuổi ở tiểu học. Tuy nhiên khả năng chú ý của các em chưa thể phát triển như người đã trưởng thành. Sẽ có những lúc HS thiếu sự tập trung trong học tập. Cùng với sự thay đổi về thể chất, tâm sinh lý, ... như trên, GV cần phải có phương pháp dạy học phù hợp nhằm phát huy tính tích cực, sáng tạo của HS bằng những việc làm cụ thể sau: - Dạy học những phương pháp ghi nhớ logic. - Cần giải thích cho các em rõ sự cần thiết phải ghi nhớ chính xác những định nghĩa, những quy luật. Ở đây phải chỉ rõ cho các em thấy, nếu ghi nhớ thiếu một từ nào đó thì ý nghĩa của nó sẽ không chính xác nữa. - Chỉ cho các em, khi kiểm tra ghi nhớ phải bằng sự tái hiện mới biết được hiệu quả của sự ghi nhớ. - Cần hướng dẫn cho HS vận dụng cả hai cách ghi nhớ máy móc và ghi nhớ ý nghĩa một cách hợp lý. - Phát triển tư duy trừu tượng cho các em để làm cơ sở cho việc lĩnh hội khái niệm khoa học trong chương trình học tập. - Chỉ dẫn cho các em những biện pháp để rèn luyện kỹ năng suy nghĩ có phê phán độc lập. - Tổ chức các hoạt động học tập hợp lý để tất cả các em đều tập trung trong hoạt động học tập nhằm thu hút sự chú ý của các em. 2.2. Nguyên tắc xây dựng các biện pháp - Nguyên tắc 1: Đảm bảo tính khoa học, tính tư tưởng và thực tiễn..

(28) 28 - Nguyên tắc 2: Đảm bảo sự thống nhất giữa cụ thể và trừu tượng. - Nguyên tắc 3: Đảm bảo sự thống nhất giữa tính đồng loạt và tính phân hóa. - Nguyên tắc 4: Đảm bảo sự thống nhất giữa tính vừa sức và yêu cầu phát triển. - Nguyên tắc 5: Đảm bảo tính thống nhất giữa hoạt động dạy học của thầy và hoạt động của trò. 2.3. Các biện pháp 2.3.1. Biện pháp 1: Gợi động cơ chứng minh cho học sinh 2.3.1.1. Cơ sở xác định biện pháp Mỗi con người khi muốn làm việc gì cần có động cơ cụ thể thì mới có kết quả tốt. Phải tự đặt ra cho mình những câu hỏi: Tại sao phải làm việc ấy? Làm việc ấy nhằm mục đích gì? ... Có như vậy khi làm việc ta mới dốc sức toàn tâm, toàn ý mà làm. Đối với việc dạy chứng minh định lí, bài toán cũng vậy việc hình thành động cơ chứng minh cho HS có vai trò rất quan trọng. Nó phát huy tính tự giác, tích cực học tập của HS. Ở bậc THCS những bài toán chứng minh đầu tiên của HS thường chưa thấy rõ sự cần thiết khi chứng minh một mệnh đề toán học. Dần dần HS quen hơn với yêu cầu chứng minh, nhưng không phải tất cả các em đều hiểu rõ một cách chính xác lý do của việc làm này, nhiều người vẫn không hết băn khoăn tại sao phải tốn công sức chứng minh nhiều điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ hoặc hiển nhiên qua nhiều lần thực hành. Để khắc phục tình hình này cần vận dụng những cơ hội khác nhau để gợi động cơ cho hoạt động chứng minh một định lí. 2.3.1.2. Nội dung biện pháp Để gợi động cơ chứng minh một định lí, bài toán cho HS thì GV có thể làm như sau: - Cần cho HS thấy những điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ thật ra chỉ là một hình vẽ. Nếu ta chịu khó thử thì chỉ là một số hữu hạn hình vẽ..

(29) 29 - GV cần cho HS hiểu kết luận rút ra được từ thực hành (đo góc, đo độ dài, ...) cũng chỉ là một kết luận được rút ra từ một số hữu hạn lần thực hành và chưa chắc nó đúng trong mọi trường hợp. - Vấn đề đặt ra ở đây là một mệnh đề tổng quát được gọi là đúng thì phải đúng cho mọi trường hợp. Do đó ta không thể quan sát thực hành trực tiếp trên vô số trường hợp mà phải đi chứng minh nó đúng cho mọi trường hợp. 2.3.1.3 Yêu cầu của biện pháp HS cần biết: - Quan sát trên hình vẽ hay thực hành để rút ra một nhận xét thì chưa chắc chắn đó là một nhận xét đúng. - Một mệnh đề toán học được gọi là đúng thì phải đúng với mọi trường hợp. - Để chứng minh một định lí thì ta phải chứng minh một cách tổng quát, chứng minh nó đúng cho mọi trường hợp. - Chứng minh được định lí giúp các em nhớ rất kỹ nội dung của định lí và là cơ sở để các em hình thành kỹ năng chứng minh một bài toán sau này. 2.3.1.4 Ví dụ Chứng minh định lí: "Trong hình thang cân thì hai cạnh bên bằng nhau" * Nhận xét: Để gợi động cơ chứng minh cho HS thì GV có thể làm theo cách sau: - Yêu cầu mỗi HS vẽ một hình thang cân A. B. D. C. Hình 2.1 + Đo độ dài hai cạnh bên và so sánh chúng + Rút ra nhận xét gì về hai cạnh bên của hình thang cân.

(30) 30 - HS thực hành vẽ hình thang cân và đo độ dài hai cạnh bên, rút ra được nhận xét: Hai cạnh bên của hình thang cân bằng nhau. - GV khẳng định: Chúng ta vừa thực hành và rút ra nhận xét: Trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau. Nhưng khẳng định này chưa chắc đúng bởi vì ta chỉ thực hành ở một số hình vẽ. Khẳng định trên được gọi là đúng khi nó đúng cho mọi trường hợp. Tức là mọi hình thang cân đều có hai cạnh bên bằng nhau. Vậy ta phải tìm cách chứng minh khẳng định trên thì mới có tính thuyết phục.. GTABCD là hình thang cân KLAD = BC * Lời giải: Ta xét hai trường hợp: + Trường hợp 1: AD và BC cắt nhau ở O (giả sử AB < CD)   ; D  =C Vì ABCD là hình thang nên: A 1 = B 1:  ODC cân tại O. O.  OD = OC (1). A 2. 1.  nên A = B  Ta có: A 1 = B 1 2 2  OAB cân tại O. 2 1. B. D. C.  OA = OB (2). Hình 2.2. Từ (1) và (2)  OD − OA = OC − OB Hay AD = BC + Trường hợp 2: AD//BC Kẻ đường chéo BD Xét hai tam giác ABD và CBD có:. A. B. D. C. BD là cạnh chung  ABD = CDB (vì AB//DC) ADC CBD  = (vì AD//BC). Hình 2.3.

(31) 31 Do đó ABD = CDB (g-c-g)  AD = BC 2.3.2. Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng đọc hiểu và vẽ hình của định lí, bài toán 2.3.2.1.Cơ sở của các biện pháp - Tìm hiểu nội dung của một bài toán rất quan trọng. Để giải được một bài toán trước hết phải hiểu đề bài, đồng thời còn phải hứng thú đối với bài toán đó. Vì vậy người GV còn chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò hứng thú của HS và giúp các em hiểu bài toán phải giải. Phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể để bước đầu tìm hiểu bài toán tránh vội vàng đi ngay vào chi tiết. Phải biết trong bài toán cái gì đã cho, cái gì chưa biết? Có mối liên hệ nào giữa cái phải tìm và cái đã cho? Trong quá trình tìm hiểu bài toán nên sử dụng một lời khuyên có ích của một nhà giáo nổi tiếng “Hãy thay cái được định nghĩa bằng cái định nghĩa”. Chẳng hạn nếu bài toán cho ta tam giác ABC cân   tại A thì điều đó có nghĩa là AB = AC hoặc A C hoặc AH vừa là đường. trung tuyến, vừa là đường phân giác, vừa là đường trung trực, vừa là đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Trong tất cả những hiểu biết ấy ta sẽ lựa những thông tin có ích, tức là những thông tin gần gũi với KL giúp ta đi được con đường ngắn nhất từ GT đến KL. Biểu hiện đầu tiên của việc hiểu rõ bài toán là tóm tắt đầu bài thông qua việc viết đúng GT, KL. Biểu thứ hai của việc hiểu rõ đầu bài là biết vẽ hình đúng chính xác. - Đối với bài toán hình học thì việc vẽ hình đặc biệt quan trọng. Nói chung muốn chứng minh được một bài toán hình học thì cần phải có hình vẽ. Hình vẽ giúp HS hiểu rõ bài toán hơn, các em dễ tìm thấy mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm. Những bài toán cho bằng lời văn, vấn đề quan trọng trước hết là hình vẽ, hình vẽ phải chính xác, có tính chất tổng quát và dễ hình dung theo yêu cầu của đề bài. Vẽ hình đúng theo yêu cầu của đề bài đòi hỏi phải hiểu đúng đề bài và nắm vững những khái niệm liên quan. Vẽ hình sai thì không nói đến việc giải bài toán đã cho. Nếu HS được rèn luyện tốt kỹ năng vẽ hình thì đó là thuận lợi ban đầu rất quan trọng để giải bài toán..

(32) 32 2.3.2.2 Nội dung của biện pháp Để rèn luyện kỹ năng đọc hiểu và vẽ hình một định lí, bài toán hình học GV cần lưu ý HS những điểm sau: - Yêu cầu HS trước khi giải một bài toán phải đọc đi, đọc lại nhiều lần để biết nội dung của bài toán. Biết được đề bài đã cho cái gì? Ta cần chứng minh cái gì? - GV phải rèn luyện cho HS các kỹ năng vẽ hình trên giấy kẻ ô vuông, vẽ không dùng dụng cụ (chỉ dùng viết), vẽ hình bằng dùng dụng cụ (thước thẳng, êke, compa, …). + Trên giấy kẻ ô vuông GV có thể cho HS thực hành vẽ đường thẳng đi qua hai đỉnh của ô vuông, góc có đỉnh tại đỉnh của ô vuông, đa giác có các đỉnh tại đỉnh của ô vuông, vẽ góc (vuông, nhọn, tù), vẽ hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song, vẽ tam giác (vuông, cân, đều), vẽ tứ giác có hai đường chéo vuông góc, vẽ hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, … Thực hành trên giúp HS vận dụng, củng cố được khái niệm về tính chất của các hình. + Cùng với việc vẽ hình trên giấy kẻ ô vuông GV cần rèn luyện cho HS kỹ năng vẽ hình không dùng dụng cụ để các em có được hình vẽ của bài toán một cách nhanh chóng. Bởi vì có những bài toán nếu các em không vẽ phác trước đến khi thực hiện vẽ trên bài làm (đòi hỏi chính xác) thì các em sẽ gặp khó khăn. Để vẽ phác được hình tương đối chính xác các em phải biết ước lượng: độ dài của một đoạn thẳng, số đo của một góc, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, … GV có thể rèn luyện cho HS vẽ phác một đoạn thẳng có độ dài cho trước, vẽ trung điểm của đoạn thẳng có độ dài cho trước, vẽ góc có số đo cho trước và vẽ tia phân giác của góc đó, vẽ hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, vẽ tam giác xác định trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp, … để các em hình thành kỹ năng vẽ phác hình của một bài toán..

(33) 33 + Bên cạnh hai kỹ năng trên thì vẽ hình bằng dụng cụ (thước thẳng, compa, êke, …) lại càng quan trọng hơn. Trong một bài toán hình học, nếu có một hình vẽ chính xác góp phần giúp HS thấy mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm, các em có thể thấy được hướng giải quyết bài toán từ hình vẽ. Hơn nữa, trong khi trình bày lời giải một bài toán hình học cần có một hình vẽ chính xác. Để có một hình vẽ có độ chính xác cao thì HS cần sử dụng dụng cụ để vẽ. Do đó GV cần rèn luyện cho HS kỹ năng vẽ hình bằng dụng cụ, kỹ năng này cần rèn luyện thường xuyên và có tính chất lâu dài. Trong quá trình dạy GV có thể rèn luyện cho HS dùng dụng cụ để vẽ các hình tương tự như phần vẽ phác. 2.3.2.3 Yêu cầu của biện pháp - HS cần phải tích cực thực hiện những yêu cầu của GV bằng những việc làm cụ thể sau: + Phải đọc kỹ đề bài một lượt, phải hiểu rõ các định nghĩa, tất cả các danh từ trong bài nhằm hoàn toàn hiểu ý bài toán đó. + Phân biệt cho được GT, KL của bài toán sau đó dựa vào điều đã cho trong GT, KL để vẽ hình; dùng chữ để ký hiệu những đường, điểm, các giao điểm, … + Dựa vào bài toán và ký hiệu trong hình vẽ để viết GT và KL, thay những danh từ toán học trong bài bằng các ký hiệu. + Kỹ năng vẽ hình phải được rèn luyện thường xuyên và lâu dài. - Khi vẽ hình cần lưu ý: + Hình vẽ phải mang tính chất tổng quát không nên vẽ hình trong những trường hợp đặc biệt. + Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, dễ nhìn thấy những quan hệ và tính chất hình học. + Hình vẽ cần giữ đúng điều kiện mà giả thiết cho, không nên bỏ sót một điều gì..

(34) 34 - Khi mới bắt đầu học hình học thì cần vẽ hình bằng dụng cụ, dần dần mới tập vẽ phác. Cần phải vẽ phác hình vẽ trước khi vẽ hình chính xác. - Khi làm bài cần phải dùng dụng cụ để có hình vẽ chính xác. - Khi ký hiệu hình vẽ phải có nội dung dễ nhớ, các ký hiệu (dùng chữ) phải tuân theo thứ tự của đề bài, tránh lẫn lộn. - Đa số các bài toán hình học thì hình vẽ được vẽ từng bước theo thứ tự đề bài cho. Tuy nhiên có những bài toán ta thực hiện các bước vẽ không tuân theo thứ tự (những yếu tố cho trước sẽ vẽ sau) thì việc vẽ hình sẽ trở nên đơn giản hơn. Do đó cần phân biệt đường nào cần vẽ trước, đường nào cần vẽ sau. 2.3.2.4 Ví dụ Để minh họa cho các khẳng định trên ta xét các ví dụ sau:  Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có BAC 600. Dựng về phía ngoài tam. giác ABC hai tam giác đều ABD và ACE. Lấy AD, AE làm hai cạnh dựng hình bình hành ADFE. Chứng minh rằng FBC là tam giác đều. * Nhận xét: - Trước tiên HS cần phải đọc kỹ đề bài, nắm được các khái niệm cơ bản (tam giác, tam giác đều, hai đường thẳng song song, hình bình hành và cách vẽ), xác định được GT và KL. - Hình vẽ phải mang tính chất tổng quát, không nên vẽ tam giác ABC có dạng đặc biệt (cân, đều hay vuông). - Đối với bài toán này HS có thể thực hiện các bước vẽ theo thứ tự của bài toán cho. - Từ dữ kiện của đề bài ta có GT, KL và trình tự cách vẽ hình bài toán như sau: GT có 600 và là tam giác đều ADFE là hình bình hành KL là tam giác đều Dữ kiện của bài toán. Các bước vẽ.

(35) 35  1) Cho tam giác ABC có BAC 600.  1) Vẽ tam giác ABC có BAC 600. và không vẽ tam giác ABC là tam giác cân, tam giác đều hay tam giác 2) Phía ngoài tam giác ABC có tam. vuông. 2) Vẽ cung tròn tâm A và cung tròn. giác đều ABD.. tâm B có cùng bán kính AB. Hai cung tròn cắt nhau tại D và D nằm khác phía với C so với đường thẳng AB. Nối D và A, D và B ta có tam 3) Phía ngoài tam giác ABC có tam. giác đều ABD. 3) Tam giác ACE dựng tương tự tam. giác đều ACE. 4) Lấy AD, AE làm hai cạnh dựng. giác ABD. 4) Qua E vẽ đường thẳng d1 song. hình bình hành ADFE. song với AD, qua D vẽ đường thẳng d 2 song song với AE, d1 và d 2 cắt nhau tại F. Ta có hình bình hành ADFE cần vẽ. F E. Hình vẽ: D A. C. B. Hình 2.4 Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc và bằng nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông. * Nhận xét:.

(36) 36 - HS cần đọc kỹ đề bài, xác định được GT và KL, đồng thời phải hiểu được những dữ kiện của đề bài cho (khái niệm tứ giác, đường chéo tứ giác, …). GTTứ giác ABCD, AC BD và AC = BD M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA KLTứ giác MNPQ là hình vuông - Để vẽ hình bài toán này nếu như các em vẽ tứ giác ABCD trước và vẽ AC, BD sau thì việc vẽ hình sẽ gặp khó khăn khi vẽ AC  BD và AC = BD. Thậm chí có khi không vẽ được hình. Do vậy để việc vẽ hình dễ dàng hơn thì ta thực hiện trình tự và cách vẽ sau: Dữ kiện bài toán Cách vẽ 1) Tứ giác ABCD có hai đường chéo 1) + Vẽ hai đoạn thẳng AC và BD vuông góc và bằng nhau.. sao cho AC  BD và AC = BD. + Nối A với B, B với C, C với D và D với A ta có tứ giác ABCD cần vẽ.. 2) M, N, P, Q lần lượt là trung điểm 2) Vẽ các trung điểm M, N, P, Q của của AB, BC, CD, DA Hình vẽ:. các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA. B N. M A. C. Q. P. D. Hình 2.5 2.3.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ năng dự đoán, tưởng tượng dựa vào hình vẽ.

(37) 37 2.3.3.1. Cơ sở xác định biện pháp Theo tâm lý học, kết quả của tư duy thể hiện trong phán đoán. Nhờ phán đoán người ta phát hiện ra cái mới. Nếu ta nhìn lại quá trình hình thành toán học ta thấy một dãy các dự đoán. Nếu không có dự đoán thì không có chứng minh vì dự đoán cho ta điều mà ta muốn chứng minh. Hơn nữa, mục đích dạy học hiện nay là giúp cho HS tự xây dựng kiến thức trong học tập và xa hơn nữa là đào tạo ra những con người biết phát hiện vấn đề trong thực tiễn hoạt động của mình. Việc dạy học như thế phải tiến tới phản ánh ở mức độ nào đó quá trình hình thành các khái niệm chứ không đơn thuần trình bày lại chúng khi chúng đã hoàn chỉnh. Qua nội dung nói trên ta thấy trong dạy toán chứng minh định lí, bài toán hình học thì kỹ năng dự đoán, tưởng tượng dựa vào hình vẽ là rất cần thiết. Các em có thể dựa vào hình vẽ rút ra dự đoán về mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm một cách trực tiếp hoặc thông qua đối tượng khác. Khi các em có dự đoán đúng thì dự đoán ấy có thể là nội dung của một định lí hoặc dự đoán ấy vạch đường cho HS đi chứng minh bài toán. Song GV cũng phải rèn luyện kỹ năng tưởng tượng dựa vào hình vẽ cho HS. Hình vẽ là cái cụ thể, dựa vào cái cụ thể để thấy được bản chất của cái trừu tượng. Điều này giúp HS tránh được sai lầm khi nghiên cứu những đối tượng có hình dạng thay đổi nhưng tính chất không thay đổi. Cụ thể, khi HS học "Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau". Theo định nghĩa này ta thấy định nghĩa hình thoi là một định nghĩa trừu tượng, ta không thể vẽ được tất cả các hình thoi mà chỉ vẽ được một số hữu hạn hình thoi. Để hiểu định nghĩa trên thì HS cần dựa vào một hình cụ thể tưởng tượng ra bản chất của hình thoi "là tứ giác" và "có bốn cạnh bằng nhau". 2.3.3.2. Nội dung của biện pháp - Để dạy cho HS biết dự đoán, cần tập luyện cho HS các phương tiện dự đoán, đó là các thao tác tư duy (phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, …).

(38) 38 - GV cần khai thác nội dung SGK, tận dụng các cơ hội thích hợp để dạy dự đoán định lí trước khi chứng minh nó. Và trước khi chứng minh hãy tiến hành dạy HS tìm đường lối chứng minh. - Trong việc dạy học giải bài tập chú trọng sưu tầm các bài toán thuộc loại tìm tòi. - Trong việc dạy học định lí chú trọng kỹ năng quan sát hình vẽ vì HS có thể dựa vào hình vẽ để rút ra dự đoán. - Để rèn luyện kỹ năng tưởng tượng cho HS thì GV nên tận dụng từng cơ hội giúp HS thấy được tính chất tổng quát của đối tượng nghiên cứu. Những đối tượng đó chính là những đối tượng có hình dạng thay đổi. 2.3.3.3. Yêu cầu của biện pháp Để rèn luyện kỹ năng trên vào giải toán HS cần: - Đọc kỹ đề, hiểu được bản chất của khái niệm mà đề bài cho. - Vẽ hình của một bài toán thật chính xác và tổng quát. - Tập trung quan sát vẽ hình ở nhiều góc độ để thấy được mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm một cách trực tiếp trên hình hoặc thông qua đối tượng khác. - Cần tập trung tìm ra các dấu hiệu bản chất, loại bỏ những dấu hiệu ngẫu nhiên không bản chất. - Thực hiện vẽ hình từng bước đối với bài toán có nhiều phần nhằm hạn chế sự phân tán của HS khi quan sát hình vẽ. 2.3.3.4. Ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AD. a) Tứ giác DBCE là hình gì? Vì sao? b) Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC?. A. * Nhận xét: - GV có thể yêu cầu HS vẽ hình và viết GT,KL: D. B. E. C.

(39) 39 GT cân tại A, DAB, EAC, AE = AD KLa) Tứ giác DBCE là hình gì? Vì sao? b) Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC? Hình 2.6 - Đối với câu a), hình vẽ này khi quan sát, HS sẽ dự đoán được DE//BC. HS nhận ra tứ giác DBCE nếu có DE//BC thì tứ giác DBCE là hình thang.   Theo đề bài ta có tam giác ABC cân tại A nên B C . Với những yếu tố trên. HS có thể dự đoán tứ giác DBCE là hình thang cân và tìm cách chứng minh dự đoán này.  Bằng trực quan HS có thể dự đoán được sự bằng nhau của BDE và         CED . Nếu BDE = CED thì BDE + CED + DBC + ECD = 2( BDE +      DBC ) = 3600 tức là BDE + DBC = 1800. Theo hình vẽ thì BDE và DBC là. cặp góc trong cùng phía, nên: DE//BC. - Đối với câu b), các em phải tìm vị trí điểm D, E sao cho BD = DE = EC. Ở đây các em thấy nếu thỏa BD = DE = EC thì tam giác DBE và tam giác EDC phải là hai tam giác cân. Do đó các em sẽ vẽ được hình vẽ sau: A. D 1. E. 1. 1 B. 2. 2. Hình 2.7. C.

(40) 40 - Sau khi vẽ được hình các em có thể thấy được tam giác DBE cân thì     DBE DEB và theo GT trên ta lại có DE//BC, tức là DEB EBC . Từ đó các   em có thể thấy được DBE EBC hay BE là tia phân giác của góc ABC.. Tương tự thì CD là tia phân giác của góc ACB. - Đối vói hình vẽ này HS đã tưởng tượng những dấu hiệu bản chất ở   DEB chỗ: Tam giác DBE có kích thước thay đổi nhưng DBE là không thay đổi, … - Để rèn luyện kỹ năng dự đoán, tưởng tượng cho HS, GV có thể cho các em làm những bài tập tương tự như trên. HS dựa vào hình vẽ rút ra dự đoán (trong đó có tưởng tượng) đối với đối tượng mà các em nghiên cứu và tìm cách chứng minh. * Lời giải: a) Theo đề bài ta có: AD = AE  ADE cân tại A  ADE AED (góc đáy tam giác cân)   DEC  EDB (1) (kề bù với hai góc bằng nhau). Theo đề bài ta lại có ABC cân tại A, nên: ABC ACB   hay DBC ECB (2)     Mà BDE + CED + DBC + ECB = 3600 (3) (tổng các góc của một tứ giác)   Từ (1), (2) và (3)  2( BDE + DBC ) = 3600    BDE + DBC = 1800   Ta lại có: BDE và DBC là cặp góc trong cùng phía  DE//BC (4). Từ (2) và (4)  Tứ giác DBCE là hình thang cân.  = B  b) Ta có DE//BC  E 1 2.

(41) 41   Ta thấy BD = DE  B 1 = E 1     B 1 = B 2 (vì E 1 = B 2)   Tương tự ta được DE = EC  C 1 = C 2. Vậy nếu BE, CD là các đường phân giác của tam giác ABC thì BD = DE = EC. Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là các trung điểm của AB, AC, DC, BD. Tìm điều kiện để tứ giác EFGH là: a) Hình chữ nhật; b) Hình thoi; c) Hình vuông. * Nhận xét: - Đối với bài toán này HS có thể vẽ được hình và viết GT, KL sau: GT Tứ giác ABCD EA = EB, GC = GD HB = HD, FA = FC KL Tìm điều kiện để: Tứ giác EFGH là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. A. E. F. H. D. B. G. C. Hình 2.8 - Dựa vào hình vẽ HS có thể dự đoán được tứ giác EFGH là hình bình hành và tìm cách chứng minh. Bằng quan sát các em sẽ nhận thấy EF là đường trung bình của tam giác ABC; GH là đường trung bình của tam giác DBC. - Bằng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông các em có thể tưởng tượng tìm điều kiện để hình bình hành EFGH là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. * Lời giải: Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành: Ta có: EF là đường trung bình của tam giác ABC.

(42) 42 1 Nên EF = 2 BC và EF//BC (1) GH là đường trung bình của tam giác DBC 1 Nên GH = 2 BC và GH//BC (2) Từ (1) và (2)  EF = GH và EF//GH Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành (3) a) Từ (3) ta có: EFGH là hình chữ nhật  EH  EF  AD  BC. Vậy nếu AD  BC thì tứ giác EFGH là hình chữ nhật. A. E. B. F. H. C G. D. Hình 2.9 b) Từ (3) ta có: EFGH là hình thoi  EH = EF  AD = BC Vậy nếu AD = BC thì tứ giác EFGH là hình thoi.. H. D. B. E. A. F. G. C. Hình 2.10 c) Từ (3) ta có: EFGH là hình vuông  EH  EF và EH = EF  AD  BC và AD = BC Vậy nếu AD  BC và AD = BC thì tứ giác EFGH là hình vuông..

(43) 43. A. B. E. H. D. F. C. G. Hình 2.11 2.3.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã biết để giải bài toán. 2.3.4.1. Cơ sở xác định biện pháp. Để giải quyết một vấn đề đòi hỏi con người cần phải có kiến thức. Đối với việc giải toán cũng vậy, muốn giải bài toán, đặc biệt là các bài toán chứng minh hình học thì điều quan trọng là HS phải nắm vững các kiến thức cơ bản như các khái niệm, định lí, định nghĩa, tính chất liên quan đến bài toán. Bên cạnh đó HS còn phải có kỹ năng vận dụng những kiến thức này để giải bài toán. Khi dạy HS chứng minh bài toán hình học, nếu GV chỉ cung cấp các kiến thức cho HS thì các em sẽ khó giải quyết được bài toán bởi vì các em không biết vận dụng các kiến thức này như thế nào. Chính vì thế việc rèn luyện cho HS kỹ năng vận dụng các kiến thức đã biết để giải bài toán là một trong những việc làm quan trọng của người GV toán. 2.3.4.2. Nội dung biện pháp Trước tiên GV cần cung cấp những kiến thức cơ bản cho HS. Trong chương Tứ giác thì các kiến thức cơ bản gồm: Định nghĩa tứ giác, tứ giác lồi, định lí tổng các góc của một tứ giác. Định nghĩa hình thang, hình thang vuông. Định nghĩa hình thang cân và các tính chất, dấu hiệu nhận biết hình thang cân. Định lí, định nghĩa đường trung bình của tam giác, của hình thang. Định nghĩa hai điểm đối xứng, hai hình đối xứng. Định nghĩa hình bình hành, tính chất, dấu hiệu nhận biết..

(44) 44 Định nghĩa hình chữ nhật, tính chất, dấu hiệu nhận biết. Định nghĩa hình thoi, tính chất, dấu hiệu nhận biết. Định nghĩa hình vuông, tính chất, dấu hiệu nhận biết. Sau khi GV cung cấp cho HS những kiến thức cơ bản thì GV phải hướng dẫn HS áp dụng các kiến thức cơ bản để giải toán. Khi đọc bài toán ta cần xác định xem bài toán đã cho liên quan đến kiến thức nào. Không phải bất kỳ bài toán nào cũng đều sử dụng tất cảc các kiến thức liên quan đến nó, mà mỗi bài toán chỉ sử dụng một số kiến thức nhất định. Do đó HS cần phải biết vận dụng linh hoạt, khéo léo các kiến thức để giải bài toán. Bên cạnh rèn luyện kỹ năng vận dụng tri thức trong giải toán, GV cần rèn luyện cho HS kỹ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các môn học khác và kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào đời sống. 2.3.4.3 Yêu cầu của biện pháp - HS cần nắm vững các kiến thức cơ bản mà GV truyền đạt. - HS cần kiên trì luyện tập các thao tác nhận dạng và thể hiện sau khi học xong một định nghĩa, khái niệm, một định lí. "Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tượng cho trước có các đặc trưng của khái niệm đó không. Thể hiện một khái niệm là tạo một đối tượng có các đặc trưng của khái niệm đó. Nhận dạng một định lí là phát hiện xem một tình huống cho trước có ăn khớp với định lí đó không. Thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống ăn khớp với định lí đó." (theo [4]). - HS cần rèn luyện thực hành giải nhiều bài toán bởi vì kỹ năng là thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng biết làm. 2.3.4.4 Ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC và BC. Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang cân. GT. A. , AH BC. D, E, M là trung điểm AB, AC, BC KL. E. D. Tứ giác DEMH là hình thang cân B C. H. M.

(45) 45. * Lời giải: Ta có ED là đường trung bình của ABC. Hình 2.12. 1  ED  BC 2 và ED//BC  ED//MH  Tứ giác EDMH là hình thang. Xét tam giác vuông AHC có: HE là đường trung tuyến. 1  HE  AC (1) 2 1 DM  AC 2 Mặt khác ta có: (tính chất đường trung bình) (2) Từ (1) và (2)  HE = DM  Hình thang EDMH là hình thang cân vì có hai cạnh bên bằng nhau.. * Nhận xét: Để giải bài toán trên HS cần nắm vững các kiến thức:định nghĩa đường cao của tam giác, trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa hình thang, dấu hiệu nhận biết hình thang cân, đường trung bình của tam giác, tính chất trung tuyến của tam giác vuông. Tuy nhiên không phải vận dụng tất cả các kiến thức trên để giải bài toán vừa nêu mà GV cần hướng dẫn HS vận dụng linh hoạt, xét xem các kiến thức liên quan nào giúp cho việc giải bài toán nhanh chóng, ngắn gọn và chính xác. Chẳng hạn, để chứng minh tứ giác EDMH là hình thang cân có nhiều dấu hiệu để nhận biết một hình thang là hình thang cân, tuy nhiên ở bài toán trên để dễ dàng tìm được lời giải ta nên sử dụngE dấu hiệu hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thay vì dùng dấu hiệu hình thang có hai góc đáy bằng nhau. Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCDF có A = α >A900. Ở phía ngoài hình bình hành vẽ các tam giác đều ADF, ABE.. B. D C.

(46) 46 a) Tính góc EAF; b) Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều. GT. ABCD là hình bình hành, = α > 900 ADF, ABE là tam giác đều KLa) Tính b) Tam giác CEF là tam giác đều * Lời giải: Ta có:.  FAD = 600 ( vì FAD là tam giác đều). Hình 2.13.  EAB = 600 ( vì EBA là tam giác đều)    EAF = 3600 – FAD – EAB –α = 3600 – 600 – 600 – α = 2400 – α  Ta có : FAD = 600 ( vì FAD là tam giác đều) ADC = 1800 – α ( hai góc trong cùng phía, AB//CD)     FDC = FDA + ADC = 600 + 1800 – α. = 2400 – α    EAF = FDC. Xét tam giác AEF và tam giác DCF có: FD = FA ( vì FAD là tam giác đều ) DC = AE ( DC = AB mà AB = AE )   EAF = FDC (chứng minh trên). Vậy AEF = DCF (c-g-c)  EF = FC. Chứng minh tương tự ta được: BEC = DCF (c-g-c)  EC = FC. Xét CEF có: CF = EF = EC nên CEF là tam giác đều..

(47) 47 * Nhận xét: Để giải được bài toán trên HS cần nắm vững các kiến thức: - Định nghĩa hình bình hành, tính chất. - Định nghĩa tam giác đều, tính chất. - Các trường hợp bằng nhau của tam giác. 2.3.5. Biện pháp 5: Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp vào giải toán chứng minh 2.3.5.1. Cơ sở xác định biện pháp - Việc học toán, làm toán thì phân tích và tổng hợp luôn gắn liền với nhau, hỗ trợ cho nhau. Việc giải bài toán chứng minh không phải đơn giản đối với HS, có những bài toán đòi hỏi tính trừu tượng rất cao không phải lúc nào HS nhìn vào là tìm ra hướng giải, các yếu tố đề bài cho có thể làm HS bị rối lên. Các em sẽ có tư tưởng: Tại sao lại cho nhiều như vậy? Cho nhiều điều kiện như vậy chắc khó lắm? ... dẫn đến HS mất định hướng, không giải được. Muốn giải được toán chứng minh các em cần phải có khả năng phân tích, tổng hợp những cái đề bài cho, những cái cần tìm. Các em phải biết được cái đã cho sẽ suy ra được điều gì? Cái cần tìm muốn có được cần những điều kiện nào? Điều này giúp các em tìm ra mối liên kết giữa cái đã cho và cái phải tìm để tìm ra hướng giải. Bên cạnh đó, phân tích và tổng hợp còn rèn luyện cho HS đức tính cần cù, siêng năng, tìm tòi lời giải trong học toán. Đặc biệt nó còn hỗ trợ cho các em tìm ra nhiều cách giải đối với một bài toán. 2.3.5.2. Nội dung của biện pháp Để rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp GV có thể hướng dẫn HS: - Phải đọc kỹ đề toán nhiều lần để xác định được những cái đề cho, những cái phải suy ra từ đó vẽ hình và tóm tắt được bài toán bằng GT, KL. - Phải biết được những cái đề bài cho ta sẽ suy ra được những điều gì? Những điều ta suy ra được có sự liên kết nào với những điều phải chứng minh. Để sự suy luận diễn ra thuận lợi các em phải quan sát hình vẽ, không bỏ.

(48) 48 sót chi tiết nào đề bài cho. Từ đó tổng hợp những điều suy ra được từ cái đã cho để chứng minh bài toán. Cụ thể GV có thể hướng dẫn HS theo sơ đồ sau: A  A1  A2  …  An  X Trong đó A là cái đã biết, X là cái cần tìm (hoặc điều phải chứng minh), A  A1 nghĩa là nếu có A thì có A1. - Những bài toán dạng chứng minh trong hình học thường là những bài toán suy luận ngược. Do đó HS cần tập trung vào cái phải tìm (cái cần chứng minh). Phải biết được muốn có cái cần tìm phải có những điều kiện nào? Trong những điều kiện đó điều kiện nào đề toán đã cho và điều kiện nào cần phải đi chứng minh. Muốn chứng minh được phải có những điều kiện nào? Quá trình suy ngược cứ lặp lại giống như trên và lưu ý phải loại bỏ những điều kiện không xảy ra. Cụ thể ta có sơ đồ phân tích: X  An  …  A2  A1  A. Trong đó X là cái cần tìm (chứng minh), A là cái đã biết, X  An nghĩa là có X khi có An. 2.3.5.3. Yêu cầu của biện pháp - HS phải đọc đề bài thật kỹ và ghi được GT, KL của bài toán. - HS thực hiện phân tích tổng hợp theo sự hướng dẫn của GV. - HS cần có sự kiên trì khi rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp bài toán để giải. 2.3.5.4. Ví dụ Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy E và K sao cho BE = DK. a) Chứng minh tứ giác AKCE là hình bình hành; b) Hình bình hành ABCD có điều kiện gì để AKCE là hình thoi; c) Gọi M là giao điểm của AK và CD. Xác định vị trí của điểm K để M. là trung điểm của CD. * GV yêu cầu HS đọc kỹ đề toán sau đó vẽ hình và viết GT, KL. GTABCD là hình bình hành BE = DK M = AKDC KLa) AKCE là hình bình hành b) Tìm điều kiện để AKCE là hình thoi c) Tìm vị trí K để M là trung điểm của CD.

(49) 49. B. A E O K D. M. C. Hình 2.14 * Nhận xét: Đối với bài toán này nếu suy luận theo chiều thuận (phương pháp tổng hợp) sẽ gặp nhiều khó khăn thậm chí không tìm được hướng giải quyết. Do đó, GV có thể hướng dẫn HS phân tích bài toán theo hướng sau: Gọi O là giao điểm của AC và BD a) Để tứ giác AKCE là hình bình hành ta cần một trong những điều kiện sau: OK = OE và OA = OC (1) AK = EC và AK//EC (2) AE = KC và AE//KC (3) AK = EC và AE = KC (4) AK//EC và AE//KC (5) - Muốn chứng minh (1) ta cần chứng minh OK = OE. Do BE = DK và OB = OD nên dễ dàng có được: OK = OE. - Muốn chứng minh (2) ta cần có: ADK CBE . Để chứng minh ADK CBE ta cần xét các trường hợp: Cạnh - cạnh - cạnh (loại); cạnh góc - cạnh; góc - cạnh - góc (loại). Dễ dàng thấy được AD = BC, ADK =  CBE , DK = EB nên ADK CBE (c-g-c)..

(50) 50 - Tương tự, muốn chứng minh được (3) ta cần chứng minh ABE CDK (c-g-c). - Muốn chứng minh được (4) và (5) ta cần chứng minh ADK CBE và ABE CDK . b) Muốn chứng minh được AKCE là hình thoi ta cần chứng minh một trong những điều kiện sau: KE  AC  BD  AC (i) AK = AE (ii) - Muốn chứng minh được (i) khi ABCD là hình thoi. - Muốn chứng minh được (ii) khi AKO AEO . Muốn có được AKO AEO khi AOK  AOE = 900  KE  AC  BD  AC  ABCD là hình thoi. c) Để M là trung điểm của CD thì M phải thỏa một trong các điều kiện sau:. MC = MD (*) 1 MC = 2 DC (**) (loại vì phức tạp) - Để có được (*) thì AM là đường trung tuyến của ADC . Để M là. đường trung tuyến của ADC thì K phải là trọng tâm của ADC . K là trọng 2 1 tâm của ADC khi DK = 3 OD = 3 BD GV có thể hướng dẫn HS phân tích bài toán theo sơ đồ sau: a) Tứ giác ABCD là hình bình hành và DK = BE  DK = BE; OD = OB và OA = OC  OK = OE và OA = OC  Tứ giác AKCE là hình bình hành.

(51) 51 b) ABCD là hình thoi  BD  AC  KE  AC  AKCE là hình thoi. 2 1 c) DK = 3 OD = 3 BD  K là trọng tâm của ADC  AM là đường trung tuyến của ADC  MD = MC  M là trung điểm của ADC * Lời giải: a) Gọi O là giao điểm của AC và BD Theo đề bài, tứ giác ABCD là hình bình hành nên OA = OC và OB = OD Mà DK = BE  OK = OE Do đó tứ giác AKCE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành). b) Hình bình hành AKCE là hình thoi  KE  AC  BD  AC  ABCD là hình thoi. Vậy ABCD là hình thoi thì AKCE là hình thoi. c) M là trung điểm của DC  AM là đường trung tuyến của ADC.

(52) 52  K là trọng tâm của ADC (vì OD là đường trung tuyến của ADC ). 2  DK = 3 OD 1  DK = 3 BD 1 Vậy K là điểm trên BD sao cho DK = 3 BD thì M là trung điểm của DC. 2.3.6. Biện pháp 6: Chú trọng câu hỏi gợi ý giúp HS tìm hướng giải quyết bài toán chứng minh 2.3.6.1. Cơ sở xác định biện pháp Đối với PPDH hiện nay, HS là trung tâm, là chủ thể trong quá trình học tập, GV giữ vai trò là người hướng dẫn, vạch đường cho HS tự phát hiện và chiếm lĩnh tri thức. Trong quá trình giảng dạy khái niệm, định nghĩa hay chứng minh một bài toán hình học sẽ có rất nhiều tình huống xảy ra: HS có thể tự đọc tài liệu chiếm lĩnh tri thức, HS chỉ hiểu một phần, HS không hiểu, … Tình huống đặt ra ở đây là HS bế tắc trước một bài toán chứng minh hình học. Lúc này vai trò của người thầy rất quan trọng, GV có thể hướng dẫn HS chứng minh bài toán bằng nhiều hình thức khác nhau nhưng việc GV đặt những câu hỏi gợi ý là điều không thể thiếu trong quá trình hướng dẫn. Hơn nữa, nếu được GV gợi ý bằng hệ thống câu hỏi thì việc giải quyết vấn đề bế tắc của HS sẽ sáng sủa hơn, các em sẽ tìm được hướng giải quyết bài toán thông qua việc trả lời các câu hỏi gợi ý của GV. Bên cạnh đó, câu hỏi gợi ý của GV còn có tác dụng tập trung sự chú ý của HS, kích thích các em tư duy trong quá trình học. Tuy nhiên hệ thống câu hỏi gợi ý của GV phải như thế nào để kích thích suy nghĩ của HS, HS sẽ tìm ra hướng giải quyết sau khi trả lời là vấn đề không đơn giản. 2.3.6.2. Nội dung của biện pháp Các câu hỏi gợi ý của GV có thể là những câu hỏi có nội dung như sau: - Câu hỏi mang tính đại trà, câu hỏi đặt ra cho cả lớp đều suy nghĩ nhằm tập trung sự chú ý của HS đồng thời kích thích tư duy cho các em..

(53) 53 - Câu hỏi đặt ra có mức độ từ đơn giản đến phức tạp. - Câu hỏi phải có từ ngữ rõ ràng, chính xác, dễ hiểu. - Câu hỏi đặt ra phải có liên quan đến những kiến thức trước mà HS đã biết. - Câu hỏi cần phù hợp với đối tượng HS (HS trung bình, yếu đặt câu hỏi ở mức độ thấp; HS khá giỏi đặt câu hỏi ở mức độ cao), GV không nên chỉ nhắm vào một vài HS mà đặt câu hỏi. - Hạn chế đặt những câu hỏi có dạng: Có hay không? Phải hay không? Vì đôi khi HS trả lời theo cảm tính mà không suy nghĩ. - Khi HS bế tắc trong việc giải toán, GV cần linh hoạt gợi ý HS bằng hệ thống những câu hỏi có nội dung như trên. GV chỉ nên đặt những câu hỏi gợi ý khi HS không tìm ra hướng giải quyết bài toán, tránh trường hợp bài toán nào GV cũng gợi ý. Vì làm như vậy HS sẽ ỷ lại, dựa dẫm vào GV mà không tích cực suy nghĩ để tìm tòi hướng giải. Ngoài ra, GV cần phải biết khéo léo trong các tình huống khi lên lớp: khen ngợi khi HS tìm ra hướng giải bài toán khó, khi HS trả lời đúng câu hỏi của GV; động viên những HS trả lời sai mặc dù các em rất cố gắng; … GV cần phải biết đặt câu hỏi gợi ý phù hợp với từng bài toán, có những bài toán GV đặt câu hỏi gợi ý bắt đầu từ GT, tuy nhiên có những bài toán GV phải đặt câu hỏi gợi ý bắt đầu từ KL thì việc hướng dẫn HS giải toán sẽ thuận lợi hơn. 2.3.6.3. Yêu cầu của biện pháp Đối với HS cần: - HS phải có vốn kiến thức cơ bản để có thể trả lời những câu hỏi gợi ý của GV. - HS phải có tinh thần hăng say trong học tập, tích cực trả lời những câu hỏi gợi ý của GV. - HS phải đọc kỹ đề bài toán để biết được điều đã cho, điều phải suy ra là gì? Để các em biết được điều đã cho ta có thể suy ra được điều gì? Muốn có được điều phải suy ra ta cần gì?.

(54) 54 2.3.6.4. Ví dụ Cho tam giác ABC và O là điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC và AB; E, F là điểm đối xứng của O lần lượt qua M và N; G là điểm đối xứng của F qua M và N là điểm đối xứng của G qua B. a) Chứng minh H đối xứng với O qua P b) Chứng minh ABEF là hình bình hành c) Chứng minh các đoạn thẳng AE, BF, CH đồng quy tại một điểm. * Nhận xét: GV có thể hướng dẫn HS giải bài toán này bằng những câu hỏi gợi ý sau: 1) Hãy đọc kỹ đề bài và cho biết: Bài toán đã cho những gì? Yêu cầu chứng minh điều gì? Qua đó hãy vẽ hình và viết GT, KL.. A. H. F N. P. GTO nằm trong MB = MC, NA = NC, PA = PB, NF = NO, ME = MO, MG = MF, BH = BG KLa) H đối xứng với O qua P b) ABEF là hình bình hành c) AE, BF, CH đồng quy tại một điểm.. B. O. C. M E G. Hình 2.15. 2) Đối với câu a) bài toán yêu cầu chứng minh điều gì? (H đối xứng với O qua P). 3) Muốn chứng minh H đối xứng với O qua P thì ta cần có điều gì? (P là trung điểm của HO; P là tâm hình bình hành AOBH; ba điểm H, P, O thẳng hàng và HP, PO cùng bằng đoạn thẳng thứ ba; …). 4) Ta đã có P là trung điểm của AB, nếu muốn có được P là trung điểm của OH thì tứ giác AOPH phải là hình gì? (Tứ giác AOPH phải là hình bình hành). 5) Vậy để chứng minh H và O đối xứng với nhau qua P thì ta phải chứng minh tứ giác AOBH là hình gì? (Tứ giác AOBH phải là hình bình hành)..

(55) 55 6) Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành ta có thể vận dụng những kiến thức nào? (Tứ giác có một trong các điều kiện sau: có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, có hai cạnh đối song song và bằng nhau, có hai cặp cạnh đối bằng nhau, có hai cặp cạnh đối song song, có các góc đối bằng nhau) . 7) Em có nhận xét gì về tứ giác AOCF? (Tứ giác AOCF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm nên là hình bình hành). 8) Tứ giác AOCF là hình bình hành thì ta sẽ suy ra được điều gì? (Các cạnh đối song song bằng nhau, các góc đối bằng nhau) 9) Vậy ta rút ra được kết luận gì về cạnh OA và FC? (OA//FC và OA = FC) (1) 10) Tương tự thì tứ giác BGCF là hình gì? (Tứ giác BGCF là hình bình hành). 11) Tương tự tứ giác BGCF là hình bình hành thì ta suy ra được điều gì? (BG//CF và BG = CF) (2) 12) Vậy các em có nhận xét gì về hai đoạn thẳng HB và FC (HB//FC và HB = FC) (3) 13) Từ (1), (2), (3) các em rút ra được kết luận gì đối với đoạn thẳng HB và AO? (HB//AO và HB = AO) 14) Vậy tứ giác HBOA là hình gì? Vì sao? (Tứ giác HBOA là hình bình hành vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau) 15) Đối với câu b) đề bài yêu cầu chứng minh điều gì? (Tứ giác ABEF là hình bình hành) 16) Các em có nhận xét gì về tứ giác BOCE? (Tứ giác BOCE là hình bình hành) 17) Hai tứ giác AOCF và BOCE là hình bình hành thì ta sẽ rút ra được nhận xét gì về hai đoạn thẳng AF và BE? (AF//BE và AF = BE) 18) Vậy tứ giác ABEF là hình gì? (Tứ giác ABEF là hình bình hành)..

(56) 56 19) Đối với câu c) đề bài yêu cầu chứng minh điều gì? (AE, BF, CH đồng quy tại một điểm) 20) Muốn chứng minh ba đoạn thẳng đồng quy ta có thể chứng minh như thế nào? (Muốn chứng minh ba đoạn thẳng đồng quy ta có thể chứng minh: Ba đoạn thẳng ấy là ba đường trung tuyến, ba đường cao, ba đường phân giác, ba đường trung trực của một tam giác hay hai trong số ba đoạn thẳng ấy cắt nhau tại một điểm và đoạn thẳng còn lại cũng đi qua giao điểm ấy) 21) Đối với bài toán này ta nên chứng minh ba đoạn thẳng ấy đồng quy theo cách nào? (Chứng minh hai trong số ba đoạn thẳng ấy cắt nhau tại một điểm và đoạn thẳng còn lại cũng đi qua giao điểm ấy) 22) Tứ giác ABEF là hình bình hành thì hai đoạn thẳng AE và BF có mối liên hệ như thế nào? (Hai đoạn thẳng AE và BF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) 23) Theo câu a) thì tứ giác HBCF là hình gì? Có nhận xét gì về BF và HC? (Tứ giác HBCF là hình bình hành nên BF và HC cắt nhau tại trung điểm) 24) Vậy ta rút ra được kết luận gì về ba đoạn thẳng AE, BF, CH? (AE, BF, CH đồng quy tại một điểm) 25) Giao điểm ấy chính là gì của ba đoạn thẳng trên? (Giao điểm ấy là trung điểm của ba đoạn thẳng nói trên) * Lời giải: NO NF ( gt )   NA NC ( gt ) . a) Ta có: Tứ giác AOCF là hình bình hành  AO//CF và AO = CF (1). Mặt khác ta có:. MF MG ( gt )   MB MC ( gt ) . Tứ giác BGCF là hình bình hành.  BG//CF và BG = CF (2). Mà HB = BG và H, B, G thẳng hàng (3) Từ (1), (2) và (3)  AO//BH và AO = BH.

(57) 57 Do đó tứ giác AOBH là hình bình hành. Vậy H và O đối xứng với nhau qua P.. b) Ta có:. MO ME ( gt )   MB MC ( gt ) . Tứ giác BOCF là hình bình hành.  OC//BE và OC = BE (1). Mà tứ giác AOCF là hình bình hành (cmt)  AF//OC và AF = OC (2). Từ (1) và (2)  AF//BE và AF = BE Vậy tứ giác ABEF là hình bình hành. c) Tứ giác ABEF là hình bình hành nên hai đường chéo AE và BF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (1) Tương tự HBCF cũng là hình bình hành nên hai đường chéo HC và BF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (2) Từ (1) và (2)  AE, BF, CH đồng quy tại một điểm. 2.3.7. Biện pháp 7: Rèn luyện kỹ năng suy xuôi, suy ngược để chứng minh 2.3.7.1. Cơ sở xác định biện pháp Một nhân tố góp phần quan trọng trong việc giải bài toán chứng minh là HS cần phải có những phương pháp suy luận logic. Một số HS khi gặp bài toán chứng minh thường chỉ chú trọng đến những dữ kiện bài toán đã cho mà quên mất từ những dữ kiện đó ta sẽ có được những dữ kiện mới nào và những dữ kiện mới này mang lai lợi ích gì cho việc chứng minh bài toán. Do vậy để chứng minh bài toán thì HS phải biết từ những giả thiết đã cho ta suy luận ra được những điều gì và những điều đó có mối liên hệ nào với kết luận để từ đó tìm ra hướng chứng minh bài toán theo con đường đi từ giả thiết đến kết luận. Tuy nhiên, có một số bài toán chứng minh không phải dễ dàng giải quyết được từ việc suy luận những dữ kiện đề toán đã cho mà bắt buộc phải suy luận từ kết luận lên giả thiết bài toán. Vì thế GV cần rèn luyện cho HS kỹ năng suy xuôi, suy ngược để dễ dàng tìm ra hướng giải bài toán chứng minh..

(58) 58 2.3.7.2. Nội dung của biện pháp Để rèn luyện kỹ năng suy xuôi, suy ngược cho HS, GV có thể hướng dẫn HS làm như sau: - Trước tiên HS cần đọc kỹ bài toán và xác định bài toán cho những gì? Yêu cầu làm gì? Sau đó vẽ hình chính xác. - Đối với phép suy xuôi, GV hướng dẫn HS suy luận từ những dữ kiện mà bài toán đã cho ta sẽ có được những dữ kiện mới nào và trong những dữ kiện đó dữ kiện nào sẽ phục vụ cho việc chứng minh bài toán. Cứ tiếp tục suy luận như thế để đi đến kết luận. GV có thể vẽ cho HS sơ đồ suy xuôi sau: A = A0. A1 Bước 1. ... Bước 2. An = B Bước n. Trong đó A là một định nghĩa, tiên đề hoặc một mệnh đề đúng nào đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh. - Đối với phép suy ngược, GV yêu cầu HS tập trung vào điều cần chứng minh của bài toán. Từ điều cần chứng minh của bài toán ta có được những điều gì và cứ như thế suy ngược lên giả thiết. Phép suy ngược có hai trường hợp: suy ngược tiến và suy ngược lùi với các sơ đồ sau: B = B0 B1 ... Bn = A (suy ngược tiến) Bước 1 Bước 2 Bước n B = B0 B1... Bn = A (suy ngược lùi) Bước 1 Bước 2 Bước n 2.3.7.3. Yêu cầu của biện pháp - HS biết được giả thiết, kết luận của bài toán. - Phải vẽ hình chính xác. - Phải hiểu và nắm được các khái niệm, định lí, định nghĩa liên quan đến bài toán. - Có phương pháp suy luận chặt chẽ, cần xác định từ giả thiết và kết luận của bài toán ta nên suy luận theo hướng nào. 2.3.7.4. Ví dụ Phép suy xuôi.

(59) 59  Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho EDC =  ECD = 150..   a) Vẽ điểm F trong hình vuông sao cho FAD = FDA = 150. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác đều. b) Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.. GTABCD là hình vuông. A. B. = = 150 KL. F. a) F ABCD, =150. E. Chứng minh là tam giác đều. D. b) Chứng minh là tam giác. C. Hình 2.16. * Nhận xét: Để giải bài toán này, GV yêu cầu HS nêu GT, KL, vẽ hình chính xác và hướng dẫn HS suy luận như sau:. a) Vì = = 150 (gt) = = 150 (giả thiết). = DF = ED. AD = CD (ABCD là hình vuông). cân tại D và = 600. đều. b) Vì = = 150 (giả thiết) = 1500 = 600 (chứng minh trên) = 1500 Suy tương minh tự ta được: BC=(2) FD = luận FE (chứng trên) BE= =AE AD (1) Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABE là tam giác đều. * Lời giải :     a) Xét hai tam giác AFD và DEC có : FAD = FDA = EDC = ECD = 150. (giả thiết).

(60) 60 AD = CD ( tính chất hình vuông) Vậy AFD = CED (c-g-c)  DF = ED  EDF cân tại D (1)    Mặt khác ta có: FDE = ADC − ( ADF + EDC ). = 900 – (150 + 150) = 600 (2) Từ (1) và (2)  EDF là tam giác đều. b) Xét tam giác AFD có : AFD = 1800 − ( FAD   + FDA ) = 1800 − (150 + 150) = 1500  Ta có : DFE = 600 ( vì EDF là tam giác đều) AFE = 3600 − ( AFD + DFE  ) = 3600 − (1500 + 600) = 1500 Xét hai tam giác ADF và AEF có : AFD = AFE = 1500 (chứng minh trên) DF = EF (do EDF là tam giác đều) AF cạnh chung Vậy ADF = AEF (c-g-c)  AD = AE. Chứng minh tương tự ta được: BE = BC Mà AD = BC = AB (tính chất hình vuông)  AE = BC = AB  ABE là tam giác đều.. Phép suy ngược :   Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho EDC = ECD.

(61) 61 = 150. Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều. A. B. GTABCD là hình vuông = = 150 KL Tam giác ABE đều. E D. * Nhận xét:. C. Hình 2.17. Đối với bài toán trên nếu sử dụng phép suy xuôi thì khó tìm được cách chứng minh bài toán, do đó GV hướng dẫn HS suy ngược như sau: Giả sử đã có điều phải chứng minh tức là tam giác ABE là tam giác đều  AB = AE = BE  AB = AE = BE = AD = BC  AEB = EAB   = ABE = 600  DAE = EBC = 300   cân ADE =  cân BEC (c-g-c)  ED = EC   EDC cân tại E   ADE = AED = BEC = BCE = 750  Lời giải:   EDC = ECD = 150 * Lời giải :   Giả sử tam giác ABE là tam giác đều, ta chứng minh: EDC = ECD = 150. Vì ABE đều nên: AB = AE = BE AEB = EAB  = ABE = 600 Xét hai tam giác ADE và BEC có: AD = BC (tính chất hình vuông) AE = BE (do ABE đều)      DAE = EBC = 300 ( DAE = DAB − EAB = 900 − 600 = 300;   EBC = ABC − ABE = 900 − 600 = 300). Do đó ADE BCE (c-g-c)  ED = EC   EDC cân tại E. Mặt khác ta có: ADE là tam giác cân tại A (do AD = AE = AB).

(62) 62  1800  DAE 1800  300  ADE = AED = 2 2 = 750     ECD = EDC = ADC − ADE = 900 − 750 = 150. Kết luận:   Vì điểm E nằm trong hình vuông ABCD và EDC = ECD = 150 nên  điểm E tồn tại duy nhất để tam giác ABE là tam giác đều. Do đó khi EDC =  ECD = 150 thì tam giác ABE là tam giác đều.. 2.3.8. Biện pháp 8: Rèn luyện kỹ năng trình bày logic lời giải bài toán 2.3.8.1. Cơ sở xác định biện pháp Đối với bài toán chứng minh khi đã tìm ra lời giải thì điều quan trọng cần làm sau đó là trình bày lời giải bài toán. Lời giải chính là kết quả của bài toán chứng minh, thông qua trình bày lời giải để GV đánh giá năng lực chứng minh của HS. Tuy nhiên đa số HS và ngay cả GV thường chỉ chú trọng đến việc đi tìm cách chứng minh mà không quan tâm phải trình bày lời giải đó như thế nào. Học sinh lớp 8 do chưa làm quen nhiều với các bài toán chứng minh nên rất kém trong việc trình bày lời giải, lời giải của các em thường thiếu chặt chẽ, lập luận không có căn cứ chính xác, dài dòng, không logic, ... Chính vì thế để khắc phục tình trạng trên, GV cần rèn luyện cho HS kỹ năng trình bày logic lời giải bài toán. 2.3.8.2. Nội dung của biện pháp Để rèn luyện cho HS kỹ năng trình bày logic lời giải bài toán cho HS, GV cần làm những việc sau: - Hướng dẫn HS lập luận có căn cứ chính xác. Yêu cầu này đòi hỏi từng bước biến đổi trong lời giải phải có cơ sở lí luận, phải dựa vào các định nghĩa, định lí, quy tắc, ... đã học; đặc biệt phải chú ý đảm bảo thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết của định lí. Để làm được điều này GV nên hướng dẫn HS chú thích từ đâu mà có đối với mỗi dữ kiện đưa ra trong lời giải, đồng thời phải nắm vững các định nghĩa, định lí, quy tắc, ....

(63) 63 - Hướng dẫn HS trình bày lời giải đầy đủ. Điều này có nghĩa là không bỏ sót một trường hợp, một khả năng, một chi tiết nào. Nó cũng có nghĩa là lời giải vừa không thừa, vừa không thiếu. Muốn vậy, GV cần chú ý tập cho HS trong quá trình giải toán phải luôn luôn suy nghĩ và tự trả lời các câu hỏi như: Ta đang phải xét xem cái gì? Như vậy đã đủ chưa? Còn trường hợp nào nữa không? Đã đủ trường hợp đặc biệt chưa? - GV cần rèn luyện cho HS thói quen kiểm tra lại kết quả bài toán và lời giải của mình. - Hướng dẫn HS trình bày lời giải logic, chặt chẽ. Để thực hiện được điều này GV yêu cầu HS dựa vào giả thiết và kết luận của bài toán để xét xem ta nên trình bày vấn đề nào trước, vấn đề nào sau. Trong quá trình chứng minh một bài toán có một số vấn đề được chứng minh tương tự như ở phần trên thì ta chỉ nên ghi lại kết quả và chú thích: chứng minh tương tự, tránh tình trạng đi trình bày lại từng bước chứng minh vì như thế sẽ làm lời giải bài toán dài dòng và không logic. 2.3.8.3. Yêu cầu của biện pháp Đối với HS để rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải logic, chặt chẽ, lập luận có căn cứ thì HS cần: - Nắm vững và vận dụng linh hoạt các khái niệm, định lí, định nghĩa, quy tắc. - Hiểu rõ đề bài toán và biết được giả thiết, kết luận. - Rèn luyện thói quen kiểm tra lại lời giải. Phải xem lời giải đã đủ cơ sở lí luận chưa, lập luận đã chặt chẽ chưa, có thừa hay thiếu sót điều gì không. 2.3.8.4. Ví dụ Ví dụ 1: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao? GTTứ giác ABCD, AC BD AE = BE, BF = CF, DG = CG, = AH. KL Tứ giác EFGH là hình gì?. DH.

(64) 64. * Lời giải của HS: B. Ta có: EF//AC E. HG//AC  EF//HG. Ta lại có: EH//BD FG//BD. F. A. C H. G D.  EH//FG. Hình 2.18.  Tứ giác EFGH là hình bình hành.. EH//BD BD  AC  EH  AC. AC//HG  EH  HG  Tứ giác EFGH là hình chữ nhật.. * Nhận xét: Ở lời giải trên HS lập luận chưa chặt chẽ, không có căn cứ chính xác. Đối với mỗi vấn đề đưa ra chưa giải thích vì sao lại có được điều đó, lời giải còn dài dòng. Đây là những lỗi hay mắc phải của HS. * Lời giải đúng: Xét ABC có: AE = BE (gt) CF = BF (gt)  EF//AC (tính chất đường trung bình của tam giác). Chứng minh tương tự ta được: HG//AC  EF//HG (1). Chứng minh tương tự ta được: EH//FG (2).

(65) 65 Từ (1) và (2)  Tứ giác EFGH là hình bình hành (3) Mặt khác ta có: EF//AC (cmt) Mà AC  BD (gt)  EF  BD. Ta lại có: EH//BD (cmt)  EF  EH.   HEF = 900 (4) Từ (3) và (4)  Tứ giác EFGH là hình chữ nhật Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, dựng ra phía ngoài hai tam giác đều ABE và ACF. Dựng hình bình hành AEDF. Chứng minh tam giác DBC là tam giác đều. D. GT và đều AEDF là hình bình hành KL đều. F. 2. E. 1. A2 3. * Lời giải của HS: Ta có:. 1. 4. C. B. AE = AB = BE = DF (gt). Hình 2.19. AC = AF = FC = DE (gt) A + A = 2400 1 2  + E  + A = 2400 E 1 2 2  + E  = A  E 1 2 1 Vậy DEB = CAB (c-g-c)  BD = BC. Tương tự: DC = BC  DBC là tam giác đều. * Nhận xét: Lời giải trên tuy ngắn gọn nhưng chưa đầy đủ, lập luận chưa thuyết phục mặc dù các vấn đề đưa ra đều có chú thích rõ ràng..

(66) 66 * Lời giải đầy đủ: Ta có: AE = AB = BE (vì ABE đều) Mà AE = DF (do AEDF là hình bình hành)  AE = AB = BE = DF. Tương tự ta được: AC = AF = FC = DE Vì ABE và ACF là tam giác đều  = 600 Nên: A 3 = A 4 = E 1  A 1 + A 2 = 3600 − ( A 3 + A 4) = 3600 − 1200 = 2400 (1).  + A = 1800 (vì ADEF là hình bình hành) Mặt khác ta có: E 2 2  = 600 (cmt) E 1  + E  + A = 2400 (2)  E 1 2 2  + E  = A Từ (1) và (2)  E 1 2 1 Xét hai tam giác DEB và CAB có: DE = AC (cmt) AB = EB (cmt)   DEB = BAC (cmt). Do đó DEB = CAB (c-g-c)  DB = BC (3) Chứng minh tương tự ta được: BC = DC (4) Từ (3) và (4)  DB = BC = DC  DBC là tam giác đều. 2.3.9. Biện pháp 9: Rèn luyện cho HS kỹ năng giải bài toán bằng nhiều cách 2.3.9.1. Cơ sở xác định biện pháp Mỗi bài toán thông thường có nhiều cách giải khác nhau. Rèn luyện cho HS kỹ năng giải toán bằng nhiều cách là góp phần phát triển năng lực sáng tạo, khả năng tư duy cho HS, giúp HS nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng khác nhau để từ đó so sánh tìm ra hướng giải quyết tốt nhất..

(67) 67 Ngoài ra, khi giải bài toán bằng nhiều cách giúp HS thấy được cái độc đáo, phong phú của toán học từ đó thêm say mê yêu thích toán học. 2.3.9.2. Nội dung của biện pháp Nhiệm vụ của GV khi rèn luyện cho HS kỹ năng giải toán bằng nhiều cách là khuyến khích, định hướng cho HS tìm nhiều lời giải khác nhau. GV cần khuyến khích HS không nên dừng lại khi tìm được cách giải mà tiếp tục phân tích tìm cách giải mới. Khi đã tìm được nhiều cách giải cho một bài toán GV hướng dẫn HS lựa chọn cách giải tối ưu nhất. 2.3.9.3. Yêu cầu của biện pháp - HS phải hiểu rõ các dữ kiện bài toán đã cho, phải phân tích bài toán để tìm ra nhiều hướng chứng minh. - Nhìn nhận bài toán theo nhiều hướng khác nhau. - Dựa vào một số đặc điểm của bài toán tìm ra nhiều cách giải. - Lựa chọn cách giải tối ưu. 2.3.9.4. Ví dụ Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến CD. Trên tia đối của 1 CD  CK 2 tia BA lấy điểm K sao cho BK = BA. Chứng minh rằng . GT cân tại A AD = BD, BK = BA KL. * Nhận xét 1: 1 CD  CK 2 Để chứng minh ta chứng minh CD bằng một đoạn thẳng 1 CK nào đó mà đoạn thẳng này lại bằng 2 . * Dựa vào nhận xét 1 ta có các cách sau: Cách 1:.

(68) 68 Gọi E là trung điểm của AC 1 BE  CK 2 Vì BE là đường trung bình của ACK nên (1) Xét BDC và CEB có:. A. 1 1 BD  AB CE  AC 2 2 BD = CE (vì ; mà AB = AC). E. D. BC cạnh chung. B. C.   DBC = ECB ( vì ABC cân tại A). Do đó BDC = CEB (c-g-c)  CD = BE (2). K. 1 CD  CK 2 Từ (1) và (2) . Hình 2.20. Cách 2: A. Gọi H là trung điểm của CK Ta có BH là đường trung bình của ACK. D. 1 BH  AC  2. B. C. Xét BDC và BHC có: 1 BD  AB 2 BD = BH (vì ; 1 BH  AC 2 mà AB = AC). H. K. Hình 2.21.       HBC = DBC (vì DBC = ACB mà ACB = HBC sole trong). BC cạnh chung Do đó BDC = BHC (c-g-c)  CH = DC (1) Mà H là trung điểm của CK 1 CH  CK 2 Nên (2).

(69) 69 1 CD  CK 2 Từ (1) và (2)  . Cách 3: Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC và BK. Vì DP là đường trung bình của tam giác ABC 1 1 1 DP  AC  AB  BK QB 2 2 2 Nên A.    DP // AC  DPB = ACP ( cùng bù với DPC )   Ta có: ABC  ACB ( ABC cân tại A). D.    DPB = DBP. B P.   Mà QBP = 1800 − DBP   DPC = 1800 − DPB. Q. K.    QBP = DPC. Xét QBP và DPC có:. Hình 2.22. QB = DP (chứng minh trên)   QBP = DPC (chứng minh trên). 1 BP = CP (cùng bằng 2 BC) Do đó QBP = DPC (c-g-c)  DC = QP (1). 1 QP  CK 2 Mặt khác QP là đường trung bình của KBC nên (2) 1 CD  CK 2 Từ (1) và (2)  . Cách 4: Gọi E, O lần lượt là trung điểm của AC và CK. Vì OE là đường trung bình của ACK. C.

(70) 70 1 OE  AK 2 Nên Mà AK = 2AB = 2AC. A.  OE = AB = AC. 1 AD = CE (cùng bằng 2 AC). B. OE = CA (chứng minh trên)   DAC = CEO (đồng vị, OE//AD). E. D. Xét CDA và OCE có:. C. O K. Do đó CDA = OCE (c-g-c). Hình 2.23.  OC = CD (1). 1 OC  CK 2 Mặt khác O là trung điểm của CK nên (2) 1 CD  CK 2 Từ (1) và (2)  . Cách 5: Gọi P, O lần lượt là trung điểm của BC và CK Vì DP là đường trung bình của ABC A. 1 DP  AC 2 Nên:. D. OP là đường trung bình của BCK B. 1 OP  BK 2 Nên:. P. O. Theo đề bài ta có: BK = AC nên DP = OP   OPB = DBP (sole trong, OP//DB)   DBP = ACP (do ABC cân tại A)   Và ACP = DPB (đồng vị, DP // AC)      OPB  OPC = DPB = DPC. K. Hình 2.24. C.

(71) 71 Xét DPC và OPC có: DP = OP (chứng minh trên)   OPC = DPC (chứng minh trên). Cạnh PC chung Do đó DPC = OPC (c-g-c)  OC = CD 1 OC  CK 2 Mà 1 CD  CK  2 . Cách 6: Từ B kẻ đường thẳng song song với CK cắt AC tại O Từ C kẻ đường thẳng song song với BK cắt BO kéo dài tại R Xét BRC và CKB có:. A. Cạnh BC chung. D.   RBC = BCK (sole trong do BO//CK) B.   KBC = BCR (sole trong do BK//CR). R. O. C. Vậy BRC = CKB (g-c-g)  CR = BK = AB; BR = CK.. Xét ROC và BOA có:   CRO = ABO (sole trong do CR//AB). CR = AB (chứng minh trên)   RCO = BAO (sole trong do CR//AB). Do đó ROC = BOA (g-c-g) 1 1  OA OC  AC  AB 2 2 ; OB = OR 1 1 OR  BR  CK  2 2 (1). K. Hình 2.25.

(72) 72 Xét ADC và COR có: 1 AD = OC (cùng bằng 2 AB)   RCO = DAO (sole trong do CR//AB). CR = AC (cùng bằng AB) Do đó ADC = COR (c-g-c)  OR = CD (2). 1 CD  CK 2 Từ (1) và (2)  . Cách 7: Trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho: BF = BC. Nối F và K. Gọi I là trung điểm của FK. A. Xét FBK và CBA có: D. FB = CB   FBK = CBA (hai góc đối đỉnh). B. F. AB = BK (giả thiết) Do đó FBK = CBA (c-g-c)  FK = AC Mà AB = AC 1 1 FK  AB  FK = AB  2 2  FI = BD. Theo đề bài ta có: ACB ABC =   Mà ACB = BFI ( FBK CBA )     BFI = ABC = DBC. Xét FBI và BCD có: FB = BC. I. K. Hình 2.26. C.

(73) 73   BFI = DBC ( chứng minh trên). FI = BD (chứng minh trên) Do đó FBI = BCD (c-g-c)  BI = CD (1) Mặt khác do I, B lần lượt là trung điểm của FK và FC  IB là đường trung bình của tam giác KFC. 1 BI  CK  2 (2) 1 CD  CK 2 Từ (1) và (2)  . * Nhận xét 2: 1 CD  CK 2 Để chứng minh ta có thể chứng minh CK bằng đoạn thẳng nào đó mà đoạn thẳng này gấp 2 lần đoạn thẳng CD. Cách 8: Trên tia đối của tia CA lấy điểm M sao cho: CA = CM A. Vì CD là đường trung bình của tam giác ABM 1 CD  BM 2 Nên (1). D. B. Xét KBC và MBC có:. C. Cạnh BC chung    KBC = MCB (cùng bù với ABC ). K. M. KB = MC (vì KB = AB; MC = AC; AB = AC) Do đó KBC và MCB (c-g-c)  CK = MB (2). 1 CD  CK 2 Từ (1) và (2)  . Cách 9: Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho: CB = CN. Hình 2.27.

(74) 74 Vì CD là đường trung bình của tam giác ABN 1 CD  AN 2 Nên (1) Xét KBC và ACN có: A. BC = CN     KBC = ACN (vì KBC = 1800 − ABC ;. D. ACN    = 1800 − ACB mà ABC = ACB ). C. B. N. KB = AC (cùng bằng AB) Do đó KBC và ACN (c-g-c)  CK = AN (2). K. 1 CD  CK 2 Từ (1) và (2)  .. Hình 2.28. Cách 10: Trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho: DF = DC Xét BDF và ADC có:. A. F. DF = DC. D. DA = DB B.   FDB = CDA (đối đỉnh). Do đó BDF = ADC (c-g-c)  BF = AC. K. Mà AC = BK nên BF = BK Mặt khác ta có:  FBC  ACB = 1800. (hai góc trong cùng phía bù nhau do BF//AC)  KBC  ABC = 1800 (hai góc kề bù)   Mà ABC = ACB    KBC = FBC. Hình 2.29. C.

(75) 75 Xét KBC và FBC có: KB = FB (chứng minh trên)   KBC = FBC (chứng minh trên). BC cạnh chung Do đó KBC = FBC (c-g-c)  FC = CK  2CD = CK. 1 CD  CK  2 2.3.10. Biện pháp 10: Giúp học sinh thấy được những sai lầm dễ mắc phải trong quá trình chứng minh 2.3.10.1. Cơ sở xác định biện pháp Khi giải bài toán chứng minh, HS thường không tránh khỏi một số sai lầm. Các sai lầm mà HS thường mắc phải: sai sót về kiến thức toán học, về phương pháp suy luận, về kỹ năng tính toán, về kí hiệu, hình vẽ, lập luận không chặt chẽ, lời giải chưa thuyết phục, không xét được đầy đủ các trường hợp, các khả năng xảy ra ở một tình huống, ... Để khắc phục những sai lầm trên thì điều cần thiết là chỉ ra những sai lầm trong lời giải của HS, song điều quan trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó trong quá trình chứng minh. Nguyên nhân chủ yếu về mặt kiến thức dẫn đến sai lầm là HS không nắm chắc các định nghĩa, định lí, quy tắc, ... vận dụng chúng một cách máy móc, không chú ý đến các điều kiện áp dụng. 2.3.10.2. Nội dung của biện pháp - Trước hết GV yêu cầu HS đọc kỹ đề bài toán, phân biệt đâu là giả thiết và kết luận để tránh nhầm lẫn giữa giả thiết và kết luận dẫn đến lời giải sai. - Yêu cầu HS nắm vững các định nghĩa, định lí, tính chất, ... vận dụng linh hoạt khéo léo để chứng minh bài toán..

(76) 76 - Rèn luyện cho HS thói quen kiểm tra lại kết quả và lời giải bài toán, qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm đối với công việc. - Bên cạnh đó GV cần phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm có thể mắc phải cho HS thấy khi giải bài toán chứng minh, nhấn mạnh những sai lầm này để HS nhớ và không lặp lại sai lầm lần nữa. 2.3.10.3. Yêu cầu của biện pháp - HS cần đọc kỹ đề bài, phân biệt được giả thiết và kết luận. - Nắm vững các định nghĩa, định lí, quy tắc. - Vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học để giải bài toán. - Cần có thói quen kiểm tra lại lời giải bài toán. 2.3.10.4. Ví dụ Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Chứng minh rằng E và F đối xứng với nhau qua điểm A. B. D E 1. 2. A. 4. 3. GT vuông tại A, DBC E đối xứng với D qua AB F đối xứng với D qua AC KLE và F đối xứng với nhau qua A * Lời giải: Vì E đối xứng với D qua AB Nên AB là đường trung trực của ED  AE = AD (1). Chứng minh tương tự ta được: AD = AF (2). C F. Hình 2.30.

(77) 77 Từ (1) và (2)  AE = AF  E và F đối xứng với nhau qua A.. * Nhận xét: Lời giải trên sai ở chỗ đã thừa nhận ba điểm A, E, F thẳng hàng. Điều này chúng ta chưa có được mà cần phải đi chứng minh. Sai lầm này HS dễ mắc phải do các em nhìn vào hình thấy được A, E, F thẳng hàng và thừa nhận điều này. * Lời giải đúng: Vì E đối xứng với D qua AB Nên AB là đường trung trực của ED  AE = AD (1)  AED cân tại A.  AB cũng là đường phân giác của góc A  A 1 = A 2. Chứng minh tương tự ta được: AD = AF (2) và A 3 = A 4 Từ (1) và (2)  AE = AF (3)    DAF Ta có: DAE = 2( A 2 + A 3) = 2 . 900 ( ABC vuông tại A) = 1800  A, E, F thẳng hàng (4). Từ (3) và (4)  E và F đối xứng với nhau qua A. 2.3.11. Biện pháp 11: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sáng tạo bài toán mới từ bài toán đã cho 2.3.11.1. Cơ sở xác định biện pháp Để rèn luyện năng lực tư duy, sáng tạo, giúp HS phát hiện ra nhiều vấn đề mới thì việc rèn luyện cho HS kỹ năng sáng tạo ra bài toán mới từ bài toán đã cho là việc làm cần thiết đặc biệt đối với HS khá giỏi. Những HS khá giỏi nếu chỉ dừng lại đến việc giải xong bài toán thì không thể khai thác, phát triển tối đa năng lực tư duy của các em. Do đó sau khi giải xong bài toán, GV cần tiếp tục khuyến khích HS suy nghĩ, xuất phát từ bài toán ban đầu dựa vào việc.

(78) 78 phân tích cái đã cho và cái cần tìm của bài toán để khai thác thành nhiều bài toán mới. 2.3.11.2. Nội dung của biện pháp Đối với biện pháp này GV cần: - Khuyến khích HS tìm ra bài toán mới từ bài toán đã cho. - Quan tâm, hướng dẫn HS nên tập trung vào một số dữ kiện có thể khai thác của bài toán. - Gợi ý cho HS một số cách khác nhau để tạo ra bài toán mới như: thay thế cái đã cho bởi cái cần tìm, thay đổi điều kiện của bài toán, thay đổi số liệu bài toán, ... 2.3.11.3. Yêu cầu của biện pháp HS cần khai thác mọi khía cạnh của bài toán đặc biệt tập trung vào những nội dung có thể khai thác và sử dụng một số cách tạo ra bài toán mới mà GV hướng dẫn để thực hiện. 2.3.11.4. Ví dụ Bài toán 1: Cho hình vuông ABCD, dựng ra phía ngoài hình vuông ABCD đã cho các hình vuông ABEF và ADGH. Chứng minh rằng: AC = HF F. GTABCD là hình vuông ABEF là hình vuông ADGH là hình vuông KLAC = HF. H. A. E. B. * Lời giải: Ta có: AH = AD (ADGH là hình vuông) Mà AD = BC (ABCD là hình vuông)  AH = BC. Xét hai tam giác ABC và HAF có: AF = AB (ABEF là hình vuông). G. D. Hình 2.31. C.

(79) 79 ABC HAF =  = 900 (gt). AH = BC (cmt) Do đó ABC = HAF (c-g-c)  AC = HF * Nhận xét: Từ bài toán trên GV hướng dẫn HS tập trung vào dữ kiện ABCD là hình vuông để khai thác tạo ra bài toán mới. GV có thể gợi ý HS thay "hình vuông ABCD" bằng "hình chữ nhật ABCD" và xét xem AC có bằng HF nữa không? Khi đó HS sẽ phát hiện ra bài toán mới tương tự như sau: Bài toán 2: Cho hình chữ nhật ABCD, dựng ra phía ngoài hình chữ nhật đã cho các hình vuông ABEF và ADGH. Chứng minh rằng: AC = HF. F. E. GTABCD là hình chữ nhật ABEF là hình vuông ADGH là hình vuông KLAC = HF H. G. A. D. B. C. Hình 2.32 * Lời giải: HS dễ dàng nhận ra việc chứng minh bài toán 2 giống như cách chứng minh ở bài toán 1, ta cũng có được AC = HF. * Nhận xét: HS tiếp tục thay "hình chữ nhật ABCD" ở bài toán 2 thành "hình thoi ABCD" và thiết lập bài toán tương tự thì có được bài toán mới sau: Bài toán 3:.

(80) 80 Cho hình thoi ABCD, dựng ra phía ngoài hình thoiABCD các hình vuông ABEF và ADGH. So sánh độ dài hai đoạn thẳng AC và HF GTABCD là hình thoi ABEF là hình vuông ADGH là hình vuông KLSo sánh AC và HF * Lời giải:. E. Ta có: AH = AD (ADGH là hình vuông). F. Mà: AD = BC (ABCD là hình thoi). B.  AH = BC. C. A. Mặt khác ta có: D.     HAF + BAD = 1800 (vì FAB = HAD = 900). H. ABC BAD +  = 1800 (tính chất hình thoi). G.    HAF = ABC. Hình 2.33. Xét hai tam giác ABC và HAF có: AB = AF (ABEF là hình vuông)   AH = BC (cmt); HAF = ABC (cmt). Do đó ABC = HAF (c-g-c)  AC = HF * Nhận xét: HS tiếp tục thay "hình thoi ABCD" ở bài toán 3 thành "hình bình hành ABCD" và thiết lập bài toán tương tự thì có được bài toán mới sau: Bài toán 4: Cho hình bình hành ABCD, dựng ra phía ngoài hình bình hành ABCD E các hình vuông ABEF và ADGH. So sánh độ dài hai đoạn thẳng AC và HF. F. GTABCD là hình bình hành ABEF là hình vuông ADGH là hình vuông KLSo sánh AC và HF. B. H. A C. G. D.

(81) 81. * Lời giải: Việc chứng minh bài toán 4 thực hiện tương tự như bài toán 3. Hình 2.34. * Nhận xét: Đối với bài toán 1 nếu HS chú ý đến dữ kiện ban đầu ABCD là hình vuông và lần lượt thay hình vuông bởi các hình: hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi, đồng thời thiết lập bài toán như đã nói ở trên thì luôn chứng minh được AC = HF. Như vậy từ bài toán ban đầu ta khai thác và được nhiều bài toán tương tự như thế..

(82) 82. CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm Chúng tôi tiến hành thực nghiệm nhằm kiểm tra tính khả thi của các biện pháp sư phạm đã nêu, biết được những ưu điểm cũng như hạn chế của các biện pháp. Từ đó rút ra kinh nghiệm giảng dạy cho bản thân và đề xuất thêm biện pháp để bồi dưỡng năng lực chứng minh hình học cho HS. 3.2. Nội dung thực nghiệm Trong năm học 2010-2011, nhóm GV chúng tôi công tác tại trường THCS Liêu Tú 1 (Trần Văn Tươi, Trần Thanh Hà) và trường THCS Liêu Tú 2 (Liễu Ngọc Tiền) thuộc huyện Trần Đề, tỉnh Sóc Trăng. Trong số đó có thành viên của nhóm (Trần Văn Tươi) được phân công giảng dạy môn Toán lớp 8A1và 8A2, đây là thuận lợi để chúng tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm đối với những biện pháp đã nêu ở chương 2. Trước khi thực nghiệm chúng tôi đã khảo sát năng lực chứng minh hình học của HS lớp 8A1 và 8A2 bằng hình thức kiểm tra viết 15 phút (đề và đáp án ghi ở phần phụ lục)để phần nào biết được năng lực chứng minh bài toán hình học của HS ở hai lớp trên. Sau khi khảo sát chúng tôi tiến hành áp dụng những biện pháp bồi dưỡng năng lực chứng minh hình học đã nêu ở chương 2 vào thực nghiệm ở những tiết dạy trên lớp, tiết dạy tự chọn. Đặc biệt chúng tôi còn lấy ý kiến của đồng nghiệp qua những tiết dự giờ, cho HS làm bài kiểm tra sau tiết dạy, điều tra suy nghĩ của HS đối với môn Hình học. - Đối với tiết học trên lớp, khi dạy HS giải các bài toán chứng minh chúng tôi yêu cầu HS thực hiện các bước sau:.

(83) 83 + Đọc thật kỹ đề toán, phải hiểu được các khái niệm, định nghĩa,… trong bài toán đưa ra. + Vẽ hình và tóm tắt bài toán bằng cách ghi GT, KL. + Phân tích bài toán để tìm hướng giải. + Tiến hành giải và trình bày lời giải bài toán một cách chặt chẽ, logic. + Kiểm tra lại lời giải. + Tìm cách giải hay, ngắn gọn (nếu có). - Đối với tiết dạy tự chọn, nội dung chủ yếu là: + Củng cố kiến thức của chương 1- Tứ giác. + Hướng dẫn HS giải bài toán chứng minh giống như tiết học trên lớp. Tuy nhiên đối với tiết học này GV có thể yêu cầu cao hơn đối với HS như: chứng minh bài toán có mức độ khó cao hơn, đưa ra nhiều cách giải cho một bài toán (nếu có), đề xuất bài toán mới từ bài toán đã cho, … - Sau tiết dạy tự chọn chúng tôi đưa ra bài kiểm tra nhỏ (đề và đáp án ghi ở phần phụ lục) để khảo sát HS, từ đó thống kê kết quả đạt được và so sánh kết quả ban đầu nhằm biết được tính khả thi của các biện pháp mà chúng tôi đề ra. Đề kiểm tra chúng tôi đưa ra có nội dung như sau: - Việc lấy ý kiến đồng nghiệp được chúng tôi thực hiện bằng cách: trao đổi những biện pháp mà chúng tôi đưa ra để được đồng nghiệp đóng góp ý kiến; dạy cho GV dự giờ từ đó rút ra nhận xét đối với tiết dạy. - Việc điều tra sở thích của HS đối với môn Hình học, chúng tôi cho mỗi HS làm phiếu trắc nghiệm (ghi ở phần phụ lục) để phần nào biết được các em có nắm được các bước tiến hành giải một bài toán hình học hay không. 3.3. Kết quả thực nghiệm. Qua nội dung thực nghiệm đã nêu trên, chúng tôi thu được kết quả phản hồi sau: * Phía GV: GV trường đã nhận xét những biện pháp mà chúng tôi đưa ra như sau: - Ưu điểm:.

(84) 84 + Nhóm chúng tôi đã có cố gắng để đề ra một số biện pháp bồi dưỡng năng lực chứng minh hình học cho HS của trường. + Các biện pháp mà chúng tôi đề ra có tính khả thi, nhìn chung tương đối đầy đủ nội dung để GV hướng dẫn HS chứng minh một bài toán hình học. + Các ví dụ minh họa cho các biện pháp rất đa dạng và gần gũi với các em. Để giải được các ví dụ hầu như phải sử dụng toàn bộ kiến thức của chương Tứ giác. - Khuyết điểm: + Do điều kiện khách quan nên chưa áp dụng tất cả các biện pháp vào thực nghiệm. + Một số ví dụ minh họa cho các biện pháp còn tương đối khó đối với HS. * Qua tiết dạy tự chọn trên, GV có nhận xét tiết dạy như sau: - Ưu điểm: + GV có ôn lại kiến thức trọng tâm và nhắc lại các bước chứng minh một bài toán hình học trước khi luyện tập. + Có áp dụng linh hoạt các biện pháp đề ra vào tiết dạy. + Nội dung các bài tập chính xác, phong phú nhằm củng cố khắc sâu kiến thức về hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, đối xứng tâm, đối xứng trục,... + Không khí học tập sinh động, thầy trò tích cực trong hoạt động dạy và học. - Khuyết điểm: Vẫn còn một số học sinh chưa tích cực trong hoạt động nhóm. * Phía HS: - Khi cho HS làm phiếu trắc nghiệm có nội dung như trên, chúng tôi thu được kết quả ghi trong bảng sau: Tổng số HS 71. Câu 1. Chọn (a) 21. Chọn (b) 35. Chọn (c) 15. 2. 42. 17. 12.

(85) 85 3. 40. 18. 4. 50. 21. 5. 50. 18. 6. 30. 35. 7. 52. 17. 8. 41. 23. 9. 35. 20. 10. 61. 10. 11. 47 469. 24 238. Tổng. 13 3 6 2 8 16. 74. Nhận xét: Kết quả ở bảng trên cho thấy hầu hết tất cả HS đều nắm được các bước khi chứng minh một bài toán hình học, các em có hứng thú hơn khi học Hình học. - Khi cho HS làm kiểm tra viết chúng tôi thu được kết quả ở bảng sau: Biết hướng Tổng số HS. 71. Lần kiểm tra Lần 1 Lần 2. Chứng minh. chứng minh. không được. nhưng trình bày. Tổng. Phần. số 9 4. trăm 12,7% 5,6%. chưa chặt chẽ Tổng Phần số 21 8. trăm 29,5% 11,3%. Chứng minh đúng trình bày chặt chẽ Tổng. Phần. số 41 59. trăm 57,8% 83,1%. Nhận xét: Qua kết quả trên cho thấy sau một thời gian áp dụng các biện pháp thì năng lực chứng minh các bài toán hình học của HS đã tốt hơn trước. Phần lớn HS đã chứng minh được và biết cách trình bày một bài toán chứng minh. 3.4. Kết luận sư phạm.

(86) 86 Qua thời gian áp dụng một số biện pháp bồi dưỡng năng lực chứng minh các bài toán hình học sinh chúng tôi nhận thấy các em đã suy nghĩ thoáng hơn đối với môn Hình học các em không còn cảm giác thiếu tự tin hay sợ khi khi tiếp xúc với các bài toán hình học như trước đây nữa, phần lớn HS đã nắm được các bước khi tiến hành chứng minh một bài toán Hình học. Đối với HS khá, giỏi các em đã biết cách phân tích bài toán để có hướng giải hợp lý; biết cách trình bày một bài toán lời giải một bài toán chặt chẽ, logic; tránh được những sai lầm ngộ nhận trong khi giải. Đặc biệt HS còn rất hứng thú đối với những bài toán giải bằng nhiều cách, các em đã có sự tìm tòi để được lời giải hay. Đối với HS trung bình, yếu các em cũng thích môn học hơn trước và đã có nhiều tiến bộ khi giải các bài toán hình học. Tuy nhiên do HS mất căn bản ở một số kiến thức trước đây, thời gian áp dụng các biện pháp tương đối ngắn (2 tháng) nên khả năng chứng minh các bài toán hình học của các em còn hạn chế, các em chỉ làm được một phần của bài toán, đôi khi các em biết hướng chứng minh nhưng khi trình bày lời giải còn sai sót, lập luận chưa chặt chẽ, … Do đó để HS chứng minh tốt hơn các bài toán hình học, chúng tôi sẽ đưa những biện pháp nêu trên vào thực nghiệm từ đó rút kinh nghiệm và đề xuất thêm biện pháp để bồi dưỡng năng lực chứng minh các bài toán hình học cho các em..

(87) 87. KẾT LUẬN Hình học là môn học có tính trừu tượng rất cao, muốn học tốt Hình học đòi hỏi rất nhiều yếu tố: chỉ số thông minh, PP học, sự chuyên cần, môi trường học, PP dạy của GV, … Trong số đó PP dạy của GV cũng góp phần tích cực giúp người học học tốt hơn. Là người hướng dẫn HS học môn Hình học, chúng tôi đã nghiên cứu và viết đề tài "Bồi dưỡng năng lực chứng minh hình học cho học sinh THCS thông qua dạy học chương I - Tứ giác (Toán 8)" đồng thời đã áp dụng một vài biện pháp trên vào thực nghiệm nhằm để bồi dưỡng năng lực chứng minh dạng toán hình học cho HS. Đối với đề tài này chúng tôi rút ra được một số nội dung sau: 1. Kết quả đạt được - Đã đề ra một số biện pháp bồi dưỡng năng lực chứng minh các bài toán hình học cho HS, hệ thống được một số dạng toán chứng minh ở chương I lớp 8. - HS thích thú hơn đối với môn Hình học, các em đã có kỹ năng cần thiết khi chứng minh một bài toán hình học. - Kết quả học tập của HS cũng có nhiều chuyển biến theo chiều hướng tốt. 2. Hạn chế của đề tài - Đề tài chỉ đề xuất một số biện pháp bồi dưỡng năng lực chứng minh hình học cho HS lớp 8. - Đề tài chỉ khảo sát một số dạng toán chứng minh hình học ở lớp 8 Chương I. - Phạm vi thực nghiệm chỉ có hai lớp, thời gian thực nghiệm ít nên những kết quả có được chỉ mang tính chất tương đối. 3. Hướng phát triển của đề tài.

(88) 88 - Tiếp tục đưa các biện pháp bồi dưỡng năng lực chứng minh hình học cho HS vào thực nghiệm trên lớp, nếu có kết quả tốt sẽ áp dụng các biện pháp trên trong phạm vi rộng hơn. - Qua thực nghiệm để chúng tôi rút kinh nghiệm và đề xuất thêm một vài biện pháp nữa để giúp HS chứng minh các bài toán hình học tốt hơn. - Nghiên cứu một cách tỉ mỉ hơn về các dạng toán chứng minh hình học lớp 8. Đề tài mà chúng tôi đưa ra là dựa vào kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, đây chỉ là những suy nghĩ của chúng tôi nên sẽ có những thiếu sót mà chúng tôi chưa phát hiện ra được, rất mong độc giả chân thành góp ý để đề tài của chúng tôi được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cám ơn!.

(89) 89. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đức Chính, (2008), Sách giáo khoa Toán 8 tập I, NXBGD. [2] Phan Đức Chính, (2008), Sách giáo viên Toán 8 tập I, NXBGD. [3] Đậu Thế Cấp – Phan Văn Đức, (2009), 500 bài toán chọn lọc, NXB [4] Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Quang Hanh – Ngô Long Hậu, (2010), 500 bài toán chọn lọc 8, NXB Đại học sư phạm. [5] Phan Gia Đức – Nguyễn Mạnh Cảng – Bùi Huy Ngọc – Vũ Dương Thụy, (1999), Phương pháp dạy học môn Toán tập II, NXBGD. [6] Phan Gia Đức – Nguyễn Mạnh Cảng – Bùi Huy Ngọc – Vũ Dương Thụy, (2001), Phương pháp dạy học môn Toán tập I, NXBGD. [7] [Phạm Gia Đức – Phạm Đức Quang, (2002), Hoạt động hình học ở trường THCS, NXB giáo dục. [8] G. PÔLIA, (1979), Giải một bài toán như thế nào, NXBGD. – Nguyễn Duy Thuận, (2008), Sách bài tập Toán 8 tập I, NXBGD. [9] Nguyễn Bá Kim, (2000), Phương pháp dạy học môn Toán, NXBGD. 11] Định lý hình học và các phương pháp chứng minh, (1976), NXBGD. [10] Minh Trí –Tôn Thân – Vũ Hữu Bình – Trần Đình Châu – Phạm Gia Đức – Nguyễn Duy Thuận, (2008), Sách bài tập Toán 8 tập I, NXBGD. [12] Hoàng Chúng, (2000), Phương pháp dạy học toán ở trường THCS, NXBGD. [13] Tôn Thân-Viện KHGD Việt Nam (2000), Huấn luyện nghiệp vụ sư phạm, Dự án Việt-Bỉ-“ Hổ trợ học từ xa”..

(90)

Trích đoạn

Nội dung thực nghiệm

Luan VanSKKN 52

Trích đoạn

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về