Boi duong HSG MTCT

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Dạng 3.3: Luỹ thừa A - Tìm số dư: Bài 3.3A.1: 10 a)Tìm số dư khi chia 2006 cho 2000 . b) Tìm số dư trong phép chia A = 38 + 36 + 32004 cho 91. Bài 3.3A.2: Tìm số dư khi chia 29455 - 3 cho 9 Bài 3.3 A.3: Tìm số dư khi chia (19971998 +19981999 + 19992000)10 cho 111 Bài 3.3 A.4: Tìm số dư khi chia 15325 - 1 cho 9 Bài 3.3 A.5: 1) Tìm số dư khi chia 10! cho 11 2) Tìm số dư khi chia 17762003 cho 4000 . Bài 3.3 A.6: a) Tìm số dư khi chia 13! cho 11 b) Tìm số dư trong phép chia: 715 : 2001 Bài 3.3 A.7: Tìm số dư khi chia 570 + 750 cho 12 2 Bài 3.3 A.8: Tìm số dư khi chia 51200 cho 41 Giải: Vì 41 là số nguyên tố, ta có: 5120041 51200(mod 41) 32(mod 41) Mặt khác:21 2(mod 41) , 22 4(mod 41) , 23 8(mod 41) , 24 16(mod 41) , 25 32(mod 41) , 26 23(mod 41) , 27 5(mod 41)  2100 = 214.7+2 = (27)14.22  (5)14.22(mod 41) Ta có:52  25(mod 41) , 53  2(mod 41)  514 = 53.4 +2 =(53)4.52  24.52(mod 41)  31(mod 41) Nên: 2100  (5)14.22(mod 41)  31.22(mod 41)  1(mod 41)  ABC 2100 = 41q +1 (q  N) 2 Vậy: 51200 =5120041q +1 = (5120041)q.51200 (32)q .51200(mod 41) (32)q .32(mod 41) (32)q+1 (mod 41) (q  N) Cách này không ra! Cách khác:Ta có:5120040 1(mod 41) ,51200 32(mod 41) Mà: 22 -1(mod5)  (22)48 1 (mod5)  (22)48 .2 1.2 (mod5)  297 2 (mod5)  297 .23 2.23 (mod5.23)  2100 16 (mod 40) Nên: 2100 = 40q +16 2 Cho nên: 51200 =5120040q +16 = (5120040)q.5120016 3216(mod 41) Mà: 3216 = 280 = (240)2 1(mod 41) 2 Vậy: 51200 1(mod 41) Bài 3.3 A.9: a) Viết quy trình tìm số dư khi chia (515 + 1) cho (212 +1) b) Hãy tìm số dư r . Bài 3.3 A.10: Tính phần dư của các số 70 ; 71 ; 72 ; 73 ; 74 ; 75 ; 76 ; 77 ; 78 ; 79 ; 710 ; 711 khi chia cho 13 và điền vào bảng sau: 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 710 711 Số dư Bài 3.3 A.11: a) Tìm số dư khi chia 19972008 cho 2003 100. 100. 100. 100.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> b/ Tìm số dư khi chia 19972001cho 2003 c/ Tìm số dư khi chia 2100 cho 100 d/ Tìm số dư khi chia 9100 cho 100 e/ Tìm số dư khi chia 11201 cho 100 Bài 3.3 A.12: Tìm số dư khi chia 102007200708 cho 111007 B - Chứng minh chia hết: Bài 3.3B.1: 1) Chứng minh rằng: 42n+1 + 3n+2  13 . 2) Chứng minh rằng với bất kì số nguyên dương n thì biểu thức: [7.52n + 12.6n] 19 Bài 3.3B.2: a/ Chứng minh rằng: 24n - 1  15 b/ Chứng minh rằng: 6969+1919  44 Bài 3.3 B.3: a)Chứng minh rằng: 18901930 + 19451975  7 b) 192007+132004  5 119 69 220  102 Bài 3.3 B.4: Chứng minh rằng: 220 + 119 +69 Bài 3.3 B.5: Chứng minh rằng: a) 25n - 1  31 b) (n2 + n - 1)2 - 1  24 2 Bài 3.3 B.6: Chứng minh rằng: 2 + 1  461 Bài 3.3 B.7: Chứng minh rằng: a) 1n + 2n + 3n +...+ mn  0 (mod m ) . b) A = n8 - n6 - n4 + n2 chia hết cho 5760 với n là số tự nhiên lẻ. c) B = 9n3 + 9n2 + 3n - 16 không chia hết cho 343 với mọi số nguyên n. Bài 3.3 B.8: Chứng minh rằng: 22225555 + 55552222  7 Giải: Ta có:2222 3(mod7) , 5555 4(mod7) Mặt khác:22226 1(mod7) , 5555 = 5(mod6)  5555 = 6q +5 (q  N) nên 22225555 = 22226q +5 = (22226)q.22225 3(mod7) Tương tự: 55552222 4(mod7) Vậy: 22225555 + 55552222 7(mod7) 0(mod7)  đpcm Bài 3.3 B.9: Chứng minh rằng:  n N* ta có: 2 2 2 a) 4  2  17 b) 2  15n  19 2 2 2 2 Giải:a) Với n = 1 thì: 4  2  1 4  2  1 217 2 2 Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k  N , k 1) tức là: 4  2  17 2 2 Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 tức là: 4  2  17 2 Thật vậy: 4 2 nếu k chẵn và 4 nếu k lẻ 22  4 nếu k chẵn và 2 nếu k lẻ * 2 2 Vậy: 4  2  17 với k    đpcm Bài 3.3 B.10: CMR: 2 2 2 a) 2 +3 7 b) 2 1923 c) 2  2137 69. 220. 119. 5. n. n. n. n. n. 1. 1. k. k. k 1. k1. k1. k 1. 2 n1. k 1. 10 n1. 6 n2. k 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Giải: c) Ta có:236 1 (mod 37) Mà: 26 1(mod 9) nên:(26)n 1(mod 9)  (26)n .22 1.22 (mod9. 22)  26n +2 4 (mod36)  26n +2 =36q +4 (q  N) 2 Nên: 2 = 236q+ 4 =(236)q.24 16 (mod 37) 6 n2. 26 n4. Vậy: 2  21 16  21(mod 37) 0(mod 37)  dpcm Bài 3.3 B.11: Số 312 - 1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79. Tìm hai số đó. Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: a/20012004 + 20032006  10 b/ 7 + 72 + 73+ …+72008 400 Bài 3.3 B.12: Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì : 3n+2 - 2n+2 +3n - 2n 10 C - Số tận cùng: 4. 3. 2. 1. Ta có: abcde a.10  b.10  c.10  d .10  e Cho nên: - Tìm 1 chữ số tận cùng:Ta xét đồng dư mod 101 - Tìm 2 chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 102 - Tìm 3 chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 103 - Tìm n chữ số tận cùng :Ta xét đồng dư mod 10n Bài 3.3C. 1: 9 a/Tìm 1 chữ số tận cùng của số:9 14 b/Tìm 2 chữ số tận cùng của số: 14 c/Tìm 2 ,3,4,5 chữ số tận cùng của số: 521 3 Bài 3.3 C. 2: Tìm chữ số tận cùng của số:2 14 Bài 3.3 C. 3: Tìm chữ số tận cùng của số:14 Giải:Ta có:14  4(mod 10) Mà: 14  - 1 (mod 5)  1413  - 1 (mod 5)  1413 .7  - 1.7 (mod 5)  1413 .7 .2  - 1.7.2 (mod 5.2)  1414  - 14 (mod 10)  6 (mod 10) Nên: 1414 =10q +6 (q  N) 14 Vậy: 14 = 1410q +6 = 14(5q+3).2 = (145q +3)2 Vì : q  N nên 145q +3 luôn có chữ số hàng đơn vị là 4 hoặc 6 Do đó: (145q +3)2 luôn có chữ số hàng đơn vị là 6 Cách 2: Ta có:142  6 (mod 10) Nên: (142)7  67 (mod 10)  6 (mod 10)  1414 = 10 q +6 (q  N) 14  14 = 1410q +6 = (142)5q .146 6. 146 (mod 10) 6. (142)3 (mod 10) 9. 14. 4. 14. 14. 14.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 6. 63 (mod 10) 64 (mod 10) 6 (mod 10). Vậy: Chữ số tận cùng là 6. Bài 3.3 C. 4: Tìm 2,3,4,5, 6 chữ số tận cùng của số:521 HD: 521=514 .54 .53 203125 (mod 106) Bài 3.3 C. 5: Tìm 8 chữ số tận cùng của số:51995 9 Bài 3.3 C. 6: a) Tìm 2 chữ số tận cùng của: 9 9. 9. 99. b)Tìm 2 chữ số tận cùng của: 11 2. 2.  (100) 100(1 . 1 1 )(1  ) 40 2 5. Giải: a) Vì 100 = 2 .5 nên: Ta có: 940  1(mod 100) Mặt khác: 92  1(mod 40)  (92)4  1(mod 40)  (92)4 .9  1.9(mod 40)  99 = 40q + 9 (q  N) 9 Vậy: 9 = 940q + 9 = (940)q.99 99 (mod 100) 89 (mod 100) 9 KL: Hai chữ số tận cùng của 9 là:89 9 9 b) Ta có: 9 89 (mod 100) nên 9 = 100k + 89 (k  N) 9. 9. 9. 9. 99.  119 = 11100k + 89 = (11100)k .1189 mà 115  51(mod 100)  (115 )2  1(mod 100)  (1110 )10  1(mod 100)  11100  1(mod 100) 9. 99. Nên: 11.  1189(mod 100)  1140.2+9(mod 100)  (1140)2.119(mod 100)  119(mod 100)  91 (mod 100) 9. 99. KL: Hai chữ số tận cùng của 11 là: 91 Bài 3.3 C. 7: Tìm chữ số tận cùng của 21 + 35 + 49 +...+ 20048009 Bài 3.3 C. 8: Tìm số tận cùng của các số: 6713 và 21000 Bài 3.3 C. 9: Tìm hai số tận cùng của số: 21999 + 22000 + 22001 Bài 3.3 C.10: Tìm hai số tận cùng của số:2999. 2010 870. 41. 90 2011. 51.  19 Bài 3.3 C.11: Tìm 3 số tận cùng của số: A 22 Bài 3.3 C.12: Tìm chữ số tận cùng của số:2007200820072008. 99. 9. 99. Bài 3.3 C.13: Tìm hai số tận cùng của số: 9  9 Bài 3.3 C.14: Tìm hai số tận cùng của số:1012 + 1023+1034+1045 ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span>