Toan Day so

<span class='text_page_counter'>(1)</span>DÃY SỐ a) Dãy số có căn bậc hai: Ví dụ 1: Cho dãy số u1 , u2 , u3 u n −1. ,. ... , un thoả mãn u1 =. √ 3−1. , un+1 =. Ans. +. un +1 .. a)Lập quy trình bấm phím tính un+1 . b) Tính u2011 . Bài làm Cách 1 Ta sử dụng phím AnS để lập quy trình tính un+1 .. √3. -1 =. (. Ans. -. 1. ). (. ¿. 1. ) ( Bấm phím = đầu tiên ta có giá trị u 2 bấm nhiều lần phím un+1 ) Tính u2011 ta cần xét tính chu kỳ của dãy số, ta có u1 = 0,732050807 u2 = -0,154700 538 u3 = -1,366025404 u4 = 6,464101615. =. ta được. u5 = 0,732050807 u6 = -0,154700 538 u7 = -1,366025404 u8 = 6,464101615 Cứ 4 giá trị theo thứ tự của dãy số thì chu kỳ dãy số lặp lại, số 2011 chia cho 4 có số dư là 3, cho nên u2011 = -1,366025404 ( bằng giá trị của u3 ) . Cách 2 Gán. √ 3−1 1. SHIFT SHIFT. STO STO. A D. ( Số hạng ) ( Biến đếm ). Ghi vào màn hình ALPHA D ALPHA = ALPHA D + 1 ALPHA : ALPHA = ( ALPHA A - 1. ). ¿. ALPHA A. ( ALPHA A. + 1. ). ( Bấm phím = liên tục ta được un+1 ) Tính u2011 ta ghi kết qủa các giá trị của dãy số và theo dõi chu kỳ dãy số lặp như trên ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> (Đề bài cho u1 = √ 3−1 , ta gán ngay giá trị u 1 vào biến nhớ A ( số hạng ) để dùng làm dữ liệu, giá trị các số hạng cần tìm tiếp theo là u2 ; u3 ;…. Do đó ta gán 1 vào biến D và đếm D = D + 1 để tìm giá trị số hạng tương ứng tiếp theo u2 . Nếu ta gán giá trị khác tuỳ tiện vào bién nhớ A và biến đếm D thì sai. Tuy nhiên, ta có thể gán giá trị trước u1 là u0 vào biến A và cách tìm giá trị u0 như sau:. √ 3−1=. u0 −1 u 0 +1. Dựa vào dãy số thiết lập phương trình : u1 = Giải phương trình, ta được u0 = 3 + 2 √ 3 Gán 3 + 2 √ 3 vào biến A đồng thời lúc nầy gán giá trị 0 vào biến đếm D và đếm D = D + 1 để có giá trị tương ứng cần tìm đầu tiên là u1 . Cách tìm giá trị u0 trước u1 có phần khó khăn, học sinh cần phải cẩn thận khi làm cách nầy ) Ví dụ 2: Cho dãy số u1 = 2+ √ 3 , ... , un+1 = √ 2u n +2 a) Lập quy trình bấm phím tính un+1 . b) Tính u20 , u21 , u22 , u23 . Ở ví dụ nầy ta có thể làm như sau : Bài làm Cách 1 Ta sử dụng phím AnS để lập quy trình tính un+1. a) Lập quy trình bấm phím tính un+1 . 2. √3. +. =. √. (. 2. Ans. +. .. 2. ). Ấn nhiều lần phím = liên tiếp ta được un+1 . b) Tính u20 , u21 , u22 , u23. (bấm phím = đầu tiên ta có giá trị u2 ) u20 = 2,732050812 , u21 = 2,732050809 , u22 = u23 = 2,732050808 (Trong quá trình nhập số liệu vào máy, tại bất kỳ thời điểm nào, khi ta ấn phím = thì kết quả của biểu thức vừa nhập tự động ghi vào bộ nhớ và gán vào phím AnS cho nên ta sử dụng phím nầy để lập quy trình ) Cách 2 Gán 2+ √ 3 SHIFT STO A ( Số hạng ) 1 SHIFT STO D ( Biến đếm ) Ghi vào màn hình ALPHA. D. ALPHA. ALPHA A ALPHA =. = ALPHA D. √. (. +. 1. ALPHA. ALPHA A. +. : 2. ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ( Bấm nhiều lần phím = ta được un + 1 ) b) Theo dõi trên màn hình khi D = 20 bấm phím = ta được u 20 , tương tự cho u21 , u22 , u23 . Cũng ở ví dụ 2 trường hợp người ta ra câu hỏi như sau: a)Lập quy trình bấm phím tính un +1 , Sn +1 . b)Tính u20 , u21 , u22 , u23 . c)Tính S20 , S22 , S22 , S23 . ( tổng của 20 , 21 , 22 ,23 số hạng đầu tiên, ta lập quy trình bấm phím tính un +1 như trên thì không tính được giá trị của tổng. Cách làm tương tự như trên nhưng gán thêm biến C để tính tổng . Bài làm. 2+ √ 3. Gán:. SHIFT. 2+ √ 3 1 Ghi vào màn hình : ALPHA D. SHIFT. ALPHA. : ALPHA C. A. STO. SHIFT. ALPHA A ALPHA = ALPHA. STO. STO. √. (. ALPHA =. C. ( Tổng ). D. = ALPHA D. ( Số hạng ). +. ( Biến đếm ) 1. ALPHA. 2 ALPHA A ALPHA C. +. : 2. ). + ALPHA A. ( Bấm nhiều lần phím = ta được un , Sn ) b) Tính u20 , u21 , u22 , u23 . ( theo dõi màn hình ta thấy từ u22 trở đi các giá trị đều bằng nhau ) u20 = 2,732050812 , u21 = 2,732050809 , u22 = u23 = 2,732050808 c) Tính S20 , S21 , S22 , S23 . S20 = 56,17908857 , S21 = 58,91113938 , S22 = 61,64319018 , S23 =64,37524099 Ở ví dụ 1 và 2 chỉ lập quy trình bấm phím un +1 và tính các giá trị của un +1 thì ta có thể sử dụng phím AnS còn nếu tính giá trị của tổng thì phải dùng phương pháp gán các số liệu vào biến nhớ như trình bày ở trên . Ví dụ 3: Cho dãy số u = √ 2 , u = √ 4 √ 2 , ... , u = √ 2nu n−1 . 1. 2. n. a) Lập quy trình bấm phím tính un , Sn . b) Tính u20 . c) Tính S20 ( Tổng của 20 số hạng đầu ) . Ở bài toán nầy, các em không biết cách lập quy trình thường tính được câu b) bằng phương pháp ghi số hạng u20 của dãy số ra và bấm máy tính như sau . u20 =. √40 √38 √36..... √ 4 √2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bấm. √2. √. bấm phím = bấm. (4AnS bấm phím =. bấm. √. (6AnS. bấm phím = tương tự cho đến √ (40AnS, có được giá trị của u20 Tôi hướng dẫn cho các em làm như sau: Bài làm Cách 1 a) Lập quy trình tính un , Sn . Gán :. 1. SHIFT. STO. A. 0. SHIFT. STO. C. ( Số hạng trước u1) (Tổng ). 0 SHIFT STO D ( Biến đếm ) Ghi vào màn hình : ALPHA D ALPHA = ALPHA D + 2 ALPHA : ALPHA A. √. ALPHA =. ( ALPHA D ALPHA. ALPHA C ALPHA Bấm phím. =. =. ALPHA C. +. A. ) ALPHA. ALPHA. đầu tiên ta có D = 2 bấm phím. :. A. = tiếp theo ta được. giá trị u1 , bấm phím = tiếp theo nữa ta được giá trị S1 tương ứng, bấm liên tục phím = ta có un , Sn . b) Tính u20 .(Trên màn hình xuất hiện D = 40, bấm phím = ta có u 20 bấm phím = tiếp theo ta được S20 ) , u20 = 37,8795754 c) S20 = 376,4566511 Cách 2 a) Lập quy trình tính un , Sn . √2 Gán: SHIFT STO A ( Số hạng ). √2. SHIFT. 1 Ghi vào màn hình : ALPHA D. SHIFT. STO. ALPHA = ALPHA D. ALPHA A ALPHA = ALPHA :. STO. √. (. C. ( Tổng ). D +. ( Biến đếm ) 1. =. :. 2 ALPHA D ALPHA A. ALPHA C ALPHA = ALPHA C +. ( Bấm liên tiếp phím. ALPHA. ta được un , Sn ). ALPHA A. ).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Câu b và c, trên màn hình xuất hiện D = 20, bấm phím phím = tiếp theo ta được S20 .. =. ta có u 20, bấm. n. 3+ √ 5 3− √5 + 2 2. ( )(. Ví dụ 4: Cho dãy số có quy luật un = ( n = 0 , 1, 2, ... ). a) Lập quy trình bấm phím tính un , Sn . b) Tính u22 và tính tổng S22 = u1 + u2 + ... + u22 . c) Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un . Bài làm a) Lập quy trình bấm phím tính un , Sn . Gán :. 0. SHIFT. 0. STO. SHIFT. 0. A. ( Biến đếm ). STO. SHIFT. B. STO. ). n. C. ( Giá trị số hạng ) ( Tổng ). Ghi vào màn hình : ALPHA. A. ALPHA. =. ALPHA. B ALPHA =. ALPHA A (. (. 3. +. +. 1. √. 5. ALPHA ). :. ¿. 2. ). ٨. ٨ ALPHA A. +. (. ALPHA A ALPHA +. (. 3. -. √. 5. ¿. ). : ALPHA C ALPHA =. 2. ALPHA. ALPHA B. ( Bấm nhiều lần phím = ta được xn , Sn ) b) Tính u22 và tính tổng S22 = u1 + u2 + ... + u22 . u22 = 1568397607 , S22 = u1 + u2 + ... + u22 =2537270635 . c) Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un . Đặt : Ta có :. a=. 3+ √5 2. b=. 3−√ 5 2. , a +b =3 , a.b = 1 n n un = a + b , un+1 = an+1 + bn+1 un+2 = an+2 + bn+2 = ( a + b ) ( an+1 + bn+1 ) - a.b (an + bn ) = 3un+1 - un b) Dãy số - cấp số cộng: Ví dụ 5: Cho dãy số u1 = 1 , u2 = 3 , ... , un = un-1 + 2 . a) Tính u50 .. C. ).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> b) Tính s50 = u1+u2+ …+u50 . ( Đây là một dãy số với cấp số cộng, có số hạng đầu là 1 và có công sai là 2, bài toán nầy ta có thể áp dụng công thức cấp số cộng hoặc ta gán số liệu vào biến nhớ để giải ). Bài làm Cách 1. n Áp dụng công thức : un = u1+ (n – 1)d ; sn = 2 ( u1+un ) .. u50 = 1 + ( 50 – 1)2 = 99 50 s50 = 2 ( 1 + 99 ) = 2500 Cách 2 Gán :. 1 1 1. SHIFT SHIFT SHIFT. STO. A. STO. ( Số hạng đầu ) C. STO. D. ( Tổng ) ( Biến đếm ). Ghi vào màn hình : ALPHA D ALPHA = ALPHA D + 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 2 ALPHA : ALPHA C LPHA = ALPHA C + ALPHA A Theo dõi trên màn hình khi D = 50 bấm phím. =. ta được u50 , bấm phím. =. tiếp theo ta được s50 . u50 = 99 ; s50 = 2500 . c) Dãy số - cấp số nhân: Ví dụ 6: Một hình vuông cố 16 ô vuông, ô thứ nhất bỏ 3 hạt thóc, ô thứ hai bỏ 12 hạt thóc, ô thứ ba bỏ 48 hạt thóc ( số thóc ở ô sau gấp 4 lần số thóc ở ô trước), cứ như thế đến ô thứ 16 . a) Tính số thóc ở ô thứ 16. b) Tính tổng số thóc ở hình vuông đó. ( Đây là một dãy số với cấp số nhân, có số hạng đầu là 3 và có công bội là 4, bài toán nầy ta có thể áp dụng công thức cấp số nhân hoặc ta gán số liệu vào biến nhớ để giải ) Bài làm Cách 1.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> qn −1 Áp dụng công thức : un = u1qn - 1 ; sn = u1 q−1 U16 = 3. 416-1=3.415 = 3221225472. .. 16. 4 −1 S16 = 3. 4−1. Cách 2 Gán :. 3. SHIFT. 3 1. = 416 - 1 = 4294967295. SHIFT SHIFT. STO. A. STO. ( Số hạng đầu ) C. STO. D. (Tổng ) ( Biến đếm ). Ghi vào màn hình : ALPHA D ALPHA = ALPHA D + 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = 4 ALPHA A ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA A Theo dõi trên màn hình khi D = 16 bấm phím =. ta được u16 , bấm phím. = tiếp theo ta được s16 . U16 = 3221225472 ;. s16 = 4294967295 .. d)Dãy số có giá trị lượng giác:. π Ví dụ 7: Cho dãy số xn + 1 = 1 - sin ( xn ) . Cho x1 = 4 . a) Lập quy trình bấm phím tính xn+1 . b) Tính x24 . c) Tính S = x1 + x2 + ... + x24 . (Ở bài toán nầy ta phải đổi đơn vị đo góc là radian bằng cách ấn phím MODE) Bài làm a) Lập quy trình bấm phím tính xn+1 . Giải như sau : Ấn phím MODE( bốn lần ) , sau đó ấn phím số 2 .. Gán :. π 4 π 4. SHIFT. STO. A. ( Số hạng ). SHIFT. STO. C. ( Tổng ).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1 SHIFT Ghi vào màn hình : ALPHA. D. ALPHA. STO. D. = ALPHA D. ( Biến đếm ) +. 1 ALPHA. :. ALPHA A ALPHA = 1 – sin ALPHA A ALPHA : ALPHA ALPHA C. =. ALPHA C +. ALPHA A. b) Tính x24 . Bấm liên tục phím = đến D = 24 ta sẽ có các giá trị của A và C x24 = 0,500374605 c) S24 = x1 + x2 + ... + x24 = 12,44229071 Ở ví dụ 7 chỉ có câu a và b thì ta có thể sử dụng phím AnS làm như sau : a) Lập quy trình bấm phím tính xn+1 . Ấn phím MODE( bốn lần ) , sau đó ấn phím số 2 .(đổi đơn vị đo góc là radian ) Ghi vào màn hình : π 4 = 1 - sin AnS = ( Bấm liên tiếp phím = ta được xn+1 ) a) Tính x24 . ( Bấm phím = đầu tiên ta có giá trị x 2 cứ liên tiếp như thế ta có giá trị x24 ). xn =. 1+sin( x n ) 2. 2π 3. +1 Ví dụ 8: Cho dãy số . Cho x1 = . a) Lập quy trình bấm phím tính xn+1 . b) Tính x2010 , x2011 . ( Ở ví dụ nầy có thể ta sử dụng phím AnS làm như sau ) Bài làm a) Lập quy trình bấm phím tính xn+1 . Ấn phím MODE( bốn lần ) , sau đó ấn phím số 2 (đơn vị đo góc là radian ). Ghi vào màn hình : 2π ¿ 3 = ( 1 + sin AnS ) 2 ( Bấm phím = đầu tiên ta được giá trị x 2 ,bấm liên tiếp phím = ta được xn+1 ) b) Tính x2010 , x2011 . (Từ x 19 trở đi, các giá trị của dãy số đều bằng nhau và bằng 0,887862211 ) x2010 = x2011 = 0,887862211.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> e)Dãy số có các dạng khác:. 4+ x n. 1+ x n . Cho x = 1 . Ví dụ 9: Cho dãy số có quy luật xn + 1 = 1 a) Lập quy trình bấm phím tính un+1 , sn +1 . b)Tính x20 và tính tổng S20 = x1 + x2 + ... + x20 . Bài làm a) Quy trình bấm phím tính un+1 , sn +1 . Gán : 1 SHIFT STO A ( Số hạng ) 1. SHIFT. STO. C. 1. SHIFT. STO. D. Ghi vào màn hình : ALPHA D ALPHA = ALPHA D + ALPHA = ( 4 + ALPHA A ) ALPHA :. ALPHA. 1 ALPHA. ¿. C ALPHA =. ( 1 +. ( Tổng ) ( Biến đếm ). : ALPHA A ALPHA A ). ALPHA C + ALPHA A. ( Bấm nhiều lần phím = ta được un+1 , sn +1 ) b) x20 = 2.000000001 S20 = x1 + x2 + ... + x20 = 38.39487312 Ở bài toán nầy nếu chỉ tính x20 thì ta sử dụng phímAnS như sau : Ghi vào màn hình : 1 = (4 + AnS) ¿ (1 +AnS) bấm phím = đầu tiên ta được x2 vừa bấm vừa đếm đến x20 ta có giá trị: x20 = 2.000000001 ( Ta gán ngay giá trị x1 = 1 vào biến A (số hạng ), dãy số nầy không thể xác định giá trị x0 trước x1, vì theo quy luật của dãy số muốn tìm x 0 phải giải 4+ x 0 1+ x 0. phương trình : x1 = 1 = ( phương trình nầy vô nghiệm ). Gán 1 vào biến C ( tổng ) gán 1 vào biến D ( biến đếm ) và đếm D = D +1 4+1 5 để có giá trị số hạng tiếp theo là x 2= 1+1 = 2 , có tổng C = C + A = 1 + 5 2 ) Ví dụ 10: Cho dãy số u 1 = 1, u 2 =3, ... , un = 3un – 1 un = 4un – 1 +2un – 2 nếu n lẻ . a) Lập quy trình bấm phím để tính giá trị của u n .. nếu n chẵn và.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> b) Tính u14 , u15. Bài làm a) Lập quy trình bấm phím tính un . Gán :. 1. SHIFT. 3. STO. SHIFT. 2 SHIFT Ghi vào màn hình : ALPHA. D. ALPHA. B. STO. =. ALPHA. ALPHA =. :. ALPHA B ALPHA =. ( Số hạng ). D. ALPHA D. :. ( Số hạng ). STO. ALPHA A ALPHA = 4 ALPHA B D. A. ( Biến đếm ). + +. ALPHA. 1. 2. ALPHA. :. ALPHA A ALPHA. D. +. 1 ALPHA. =. ta được u14 , tương. 3 ALPHA A. b) Theo dõi trên màn hình khi D = 14 bấm phím tự cho u15 . u14 = 22588608 , u15 = 105413504 .. Ví dụ 11: Cho dãy số u 1 = 4, u 2 =7, U3 = 5 , ... ,un = 2un – 1 - un - 2 + un -3 . a) Lập quy trình bấm phím để tính giá trị của un. b) Tính u35 . Bài làm Cách 1 a) Lập quy trình bấm phím để tính giá trị của un . ( Sử dụng phép lặp ) Gán :. 4 7 5. SHIFT. STO. SHIFT. A. STO. ( Số hạng đầu ) B. ( Số hạng thứ hai ). SHIFT. STO. C. ( Số hạng thứ ba ). 3 SHIFT Ghi vào màn hình :. STO. D. ( Biến đếm ). ALPHA D ALPHA = ALPHA D + ALPHA = 2 ALPHA C. – ALPHA B. 1 ALPHA :. ALPHA A. + ALPHA A ALPHA :.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ALPHA D ALPHA = ALPHA D +. 1 ALPHA :. ALPHA B. ALPHA = 2ALPHA A – ALPHA C + ALPHA B ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA D + ALPHA = 2 ALPHA B b) Tính u35 . Bấm liên tục phím. 1 ALPHA. : ALPHA C. – ALPHA A + ALPHA C. = liên tục đến D = 35 ta sẽ có các giá trị của u35 . u35 = 348323699. Ở ví dụ 11 , ta có thể không gán biến đếm D và làm như sau: Cách 2 Gán :. 4. SHIFT. 7. SHIFT. 5 SHIFT Ghi vào màn hình :. STO. A. STO. ( Số hạng đầu ) B. STO. C. ( Số hạng thứ hai ) ( Số hạng thứ ba). ALPHA A ALPHA = 2 ALPHA C – ALPHA B + ALPHA A ALPHA : ALPHA B ALPHA = 2 ALPHA A – ALPHA C + ALPHA B ALPHA : ALPHA C ALPHA = 2 ALPHA B – ALPHA A + ALPHA C Bấm phím giá trị của u35 ;. =. đầu tiên đếm u 4 bấm liên tục và đếm theo thứ tự ta sẽ có u35 = 34832369. u. Ví dụ 12: Cho dãy số { n } được tạo thành theo quy tắc sau : Mỗi số hạng sau bằng tích của hai số hạng trước cộng với 1 ,bắt đầu từ u0 = u1 = 1 . a) Lập quy trình bấm phím để tính giá trị của u n . b) Tính u8 , u9. Bài làm a) Lập quy trình bấm phím tính un . ( Sử dụng phép lặp ) Gán :. 1 1 1. SHIFT SHIFT SHIFT. STO. A. STO STO. ( Số hạng đầu ) B. D. ( Số hạng thứ hai ) ( Biến đếm ).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Ghi vào màn hình : ALPHA D ALPHA = ALPHA D +. 1 ALPHA : ALPHA A. ALPHA = ALPHA A ALPHA B + 1 ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA D + ALPHA =. ALPHA B. ALPHA. 1 ALPHA :. A + 1. b) Theo dõi trên màn hình khi D = 8 bấm phím tự cho u9 . u8 = 528706 , u9 = 1803416167 2+. ALPHA B. 1 2. =. ta được u 8 , tương. 1. 2+. u n−1 . Ví dụ 13: Cho dãy số u1 = ; un = a) Lập quy trình bấm phím để tính giá trị của u n . b) Tính u9 ; u10 . Bài làm. Cách 1 Sử dụng phím AnS a) Lập quy trình bấm phím tính un . 2 + 1 ab/c 2 = 2 +. 1. ab/c. AnS. Bấm phím = đầu tiên ta có giá trị u2 , bấm liên tiếp phím = ta được un . b) Tính u9 ; u10 ( Vừa bấm phím = vừa đếm, ta được các giá trị cần tìm ) 985 13860 u9 = 2 2378 ; u10 .= 5741 . Cách 2 a) Lập quy trình bấm phím tính un . 1 Gán : 2+ 2 SHIFT STO A ( Số hạng đầu ) 1. SHIFT. STO. D. ( Biến đếm ). Ghi vào màn hình : ALPHA D ALPHA = ALPHA D + ALPHA =. 2. 1 ALPHA : ALPHA A. + 1 ab/c ALPHA A. Bấm liên tiếp phím = ta được un . b) Tính u9 ; u10 . Theo dõi trên màn hình, khi D = 9 , bấm phím. =. ta có :.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 985 u9 = 2 2378 ;. tương tự. u10 .=. 13860 5741 .. 1 (Ở ví dụ 13, bài toán yêu cầu tính tổng, thì ta gán thêm 2 + 2. rồi giải tương tự như ở một số ví dụ trên ). vào biến C,.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>