DANG BAI TINH NHANH CUA HOC SINH LOP 4 VA 5

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.76 MB, 48 trang )

(1)MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH NHANH. (PHÂN SỐ, CHỮ SỐ TẬN CÙNG, TÌM X, DẤU HIỆU CHIA HẾT) Đề bài Đáp án a) Ph©n tÝch mÉu sè ta cã: Bµi 1: TÝnh biÓu thøc sau mét c¸ch hîp 1997 1996 – 1995 1996 = 1996 (1997 -1995) = 1996 2. lÝ nhÊt: 1998 1996  1997 11  1985 a) 1997 1996  1995 1996 1 1 1 1 1 b) A = 2 + 4 + 8 + ......+ 512 + 1024. Ph©n tÝch tö sè ta cã: 1998 1996 + 1997 11 + 1985 = 1998 1996 + (1996 + 1)  11 + 1985 = 1998 1996 + 1996 11 + 11 +1985 = 1998 1996 + 1996  11 +1996 = 1996  (1998 + 11 + 1 ) = 1996 2010. 1996 2010 VËy gi¸ trÞ ph©n sè trªn lµ: 1996 2 = 1005. 1 1 1 1 1 b) A = 2 + 4 + 8 + ......+ 512 + 1024 1 1 1 1 Ta cã: 2 x A = 1 + 2 + 4 + 8 + ......+ 512 1 1 1 1 1 1 1 A = 2 x A – A = 1 + 2 + 4 + 8 + .....+ 512 - 2 + 4 + 8 + 1 1 1 1023 ......+ 512 + 1024 ; A = 1 - 1024  A = 1024. Bài 2 : Tính nhanh tổng sau :. Đặt tổng trên bằng A ta có :. a) So s¸nh A vµ B: B = 1995 x 1995 Bµi 3: A = 1991 x 1999 = 1995 x (1991+4) a) Kh«ng lµm tÝnh h·y so s¸nh: = 1991 x (1995 + 4) = 1995 x 1991 + 1995 x 4 A = 1991 x 1999 vµ B = 1995 x = 1991 x 1995 + 1991 x 4 1995 V× 1991 x 1995 = 1995 x 1991 vµ 1991 x 4 < 1995 x 4 b) TÝnh nhanh biÓu thøc sau: nªn 1991 x 1999 < 1995 x 1995 1 1 1 1 1 1      3 6 12 24 48 96 32 16 8 4 2 1      C¸ch 1: 96 98 96 96 96 96 32  16  8  4  2  1 96 =. =. 40  20  3 63 21   96 96 32. 1 2 1 1 1 1 1 1 1       C¸ch 2: NhËn xÐt 3 3 3 ; 6 3 6 ; 12 6 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1       24 12 24 ; 48 24 48 ; 96 48 96. C. =. 1 1 1 1 1 1      3 6 12 24 48 96. =. 1.

(2) 1   1 1   2 1  1 1  1 1   1 1   1                    3 3   3 6   6 12   12 24   24 48   48 96  2 1 64  1 63 21     = 3 69 69 69 32. C¸ch 3: NhËn xÐt: 1 1 3 3 2 1   ;   3 6 6 6 3 6. 1 1 2 1    Do đó 3 6 3 6 1 1 1 7 7 2 1 1 1 1 2 1    ;       3 6 12 12 12 3 12 Do đó: 3 6 12 3 12. Cø theo quy luËt nµy ta cã:. Bµi 4 : Cho S =. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 H·y so s¸nh S vµ 1 . 2. Bài 5 :Tính nhanh: a) ( 1+3+5+7+…+2003+2005) x (125 125 x 127 – 127 127 x 125) 19,8 : 0,2x 44,44x 2x13,2 : 0,25 b) 3,3x88,88 : 0,5x 6,6 : 0,125x 5 Bài 6: Không quy đồng tử số và mÉu sè. H·y so s¸nh: a/. 13 15 vµ 17 19. ;. b/. 12 9 vµ 48 36. 1 1 1 1 1 1 2 1 64  1 63 21         C = 3 6 12 24 48 96 = 3 96 96 = 96 32 XÐt c¸c sè h¹ng cña tæng ta thÊy : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 > > > > > > > > > . Ta cã : 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 > x10 + + + + + + + + + 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 > + + + + + + + + + 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 1 Nªn S > . 2. a) Ta có: 125 125x127 – 127 127x125 = 1001x125x127 – 1001x127x125 = 0 . nên : (1+3+5+...+2005)(125 125x127 – 127 127x125) = 0 19,8 : 0,2 x 44,44 x 2 x13,2 : 0,25 19,8x 5x88,88x13,2 x 4 b)  3,3x88,88 : 0,5x 6,6 : 0,125x 5 3,3x88,88x 2 x 6,6 x8x 5 . 19,8x 5x88,88x13,2 x 4 19,8  3 3,3x88,88x13,2 x 4 x 2 x 5 3,3x 2 13 4 17 15 4 19 a/ Ta cã: + = =1 ; + = =1 17 17 17 19 19 19 4 4 Mµ v× hai ph©n sè cã cïng tö sè, ph©n sè nµo > 17 19. cã mÉu sè bÐ h¬n lµ ph©n sè lín h¬n. 12 1 9 1 = ; = 48 4 36 4 Vậy ta sắp xếp được như sau : b/. Bài 7 : Cho 7 phân số :. Suy ra: suy ra. 13 15 < 17 19. 12 9 = 48 36. 2.

(3) Thăng chọn được hai phân số Tổng hai phân số có giá trị lớn nhất là : mà tổng có giá trị lớn nhất. Long chọn hai phân số mà tổng có giá trị nhỏ nhất. Tính tổng 4 phân số mà Thăng Tổng hai phân số có giá trị nhỏ nhất là : và Long đã chọn. Do đó tổng bốn phân số mà Thăng và Long đã chọn là :. Bài 8 : Cho tổng :. Bài giải : Ta đặt A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50. Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50 có 50 số, trong đó số các số lẻ bằng 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50. số các số chẵn nên có 50 : 2 = 25 (số lẻ). Vậy A là một số lẻ. Gọi a và b là hai số bất kì của A, khi thay tổng a + b bằng hiệu a Liệu có thể liên tục thay hai số - b thì A giảm đi : (a + b) - (a - b) = 2 x b tức là giảm đi một số bất kì bằng hiệu của chúng cho tới khi chẵn. Hiệu của một số lẻ và một số chẵn luôn là một số lẻ nên được kết quả là 0 hay không ? sau mỗi lần thay, tổng mới vẫn là một số lẻ. Vì vậy không bao giờ nhận được kết quả là 0. Bài 9 : Viết liên tiếp các số từ trái sang phải Giả sử trong số tạo bởi cách viết như trên có theo cách sau : Số đầu tiên là 1, số thứ hai là xuất hiện nhóm chữ 2005 thì ta có : 2 + 0 là số có chữ 2, số thứ ba là chữ số tận cùng của tổng số số tận cùng là 0 (vô lí). Vậy trong dãy trên không thể xuất hiện số 2005. thứ nhất và số thứ hai, số thứ tư là chữ số tận cùng của tổng số thứ hai và số thứ ba. Cứ tiếp tục như thế ta được dãy các số như sau : 1235831459437...... Trong dãy trên có xuất hiện số 2005 hay không ? Bµi 10: T×m x sao cho: 2,4 xX −0 , 23 1,2 x ( - 0,05 ) = 1,44 2,4 xX −0 , 23 X 1,2 x ( - 0,05 ) = 1,44 X 2,4 xX −0 , 23 ( - 0,05) = 1,44 : 1,2 X 2,4 xX −0 , 23 2,4 xX −0 , 23 - 0,05 = 1,2 nên = 1,2 + X X 0,05 2,4 xX −0 , 23 = 1,25 do đó 2,4 x X – 0,23 = 1,25 x X X 2,4 x X –1,25 x X = 0,23 nên X x (2,4 -1,25 ) = 0,23 X = 0,23 : 1,15 Vậy X= 0,2 a) Tìm số tự nhiên bé nhất để thay vào x thì được: (0, 75 đ) Bài 11: a) Tìm số tự nhiên bé X > 15,5 3,15 nhất để thay vào x thì được: Hai tích có thừa số (*) giống nhau thì tích nào lớn hơn sẽ có. 3,15 x X > 15,5. 3,15. 3.

(4) b) Tìm số tự nhiên x biết rằng: 1 x 1 < < 6 6 2. c) 75%. X +. 3 4. X + X = 30. thừa số còn lại lớn hơn. Vậy; X > 15,5 mà vì X là số tự nhiên bé nhất nên X = 16 1 x 1 < < b) Tìm số tự nhiên x biết rằng: ( 0, 75đ) 6 6 2 1 x 1 1 x 3 < < < < ; ; 1< x< 3 ; Vậy x = 2 6 6 2 6 6 6 c) 0,75 X + 0,75 X+1 X = 30 (0,75 + 0,75 + 1) X = 30 ; 2,5 X = 30 X = 30 : 2,5 ; X= 12. Bài 12 : Tìm các chữ số a và b thỏa mãn : Vì 1/3 là phân số tối giản nên a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3. Giả sử a chia hết cho 3, vì 1/a < 1/3 nên a > 3 mà a < 10 do đó a = 6 ; 9.. Vậy a = b = 6.. Bài 13 : Tích sau đây có tận cùng bằng chữ số nào ?. Tích của bốn thừa số 2 là 2 x 2 x 2 x 2 = 16 và 2003 : 4 = 500 (dư 3) nên ta có thể viết tích của 2003 thừa số 2 dưới dạng tích của 500 nhóm (mỗi nhóm là tích của bốn thừa số 2) và tích của ba thừa số 2 còn lại. Vì tích của các thừa số có tận cùng là 6 cũng là số có tận cùng bằng 6 nên tích của 500 nhóm trên có tận cùng là 6. Do 2 x 2 x 2 = 8 nên khi nhân số có tận cùng bằng 6 với 8 thì ta được số có tận cùng bằng 8 (vì 6 x 8 = 48). Vậy tích của 2003 thừa số 2 sẽ là số có tận cùng bằng 8.. Bài 14 : Cho A = 2004 x 2004 x ... x 2004 (A gồm 2003 thừa số) và B = 2003 x 2003 x ... x 2003 (B gồm 2004 thừa số). Hãy cho biết A + B có chia hết cho 5 hay không ? Vì sao ?. A = (2004 x 2004 x ... x 2004) x 2004 = C x 2004 (C có 2002 thừa số 2004). C có tận cùng là 6 nhân với 2004 nên A có tận cùng là 4 (vì 6 x 4 = 24). B = 2003 x 2003 x ... x 2003 (gồm 2004 thừa số) = (2003 x 2003 x 2003 x 2003) x ... x (2003 x 2003 x 2003 x 2003). Vì 2004 : 4 = 501 (nhòm) nên B có 501 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 thừa số 2003. Tận cùng của mỗi nhóm là 1 (vì 3 x 3 = 9 ; 9 x 3 = 27 ; 27 x 3 = 81). Vậy tận cùng của A + B là 4 + 1 = 5. Do đó A + B chia hết cho 5. a, Ta nhËn thÊy kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c thõa sè liÒn nhau Bµi 15: Cho tÝch sau: đèu là 1 đơn vị nêu số đầu là 0,9 -> thừa số cuối là 18,9 .Vậy 0,9 x 1,9 x 2,9 x 3,9x … x 18,9 a, Kh«ng viÕt c¶ d·y, cho biÕt tÝch nµy cã tÝch nµy cã 19 thõa sè . b, Vì tích này có 19 thừa số, mà các chữ số cuối cùng đều bao nhiªu thõa sè ? lµ 9 nªn ch÷ sè cuèi cïng cña tÝch lµ ch÷ sè 9. b, TÝch nµy tËn cïng b»ng ch÷ sè nµo? c,V× các thừa số đều có một chữ số phần thập phân nên c, TÝch nµy cã bao nhiªu ch÷ sè phÇn thËp tÝch nµy cã 19 ch÷ sè ë phÇn thËp ph©n.. ph©n?. Bài 16 : A là số tự nhiên có 2004 chữ Vì A là số chia hết cho 9 mà B là tổng các chữ số của A nên B số. A là số chia hết cho 9 ; B là tổng các chữ chia hết cho 9. Tương tự ta có C, D cũng chia hết cho 9 và. 4.

(5) số của A ; C là tổng các chữ số của B ; D là đương nhiên khác 0. Vì A gồm 2004 chữ số mà mỗi chữ số tổng các chữ số của C. Tìm D. không vượt quá 9 nên B không vượt quá 9 x 2004 = 18036. Do đó B có không quá 5 chữ số và C < 9 x 5 = 45. Nhưng C là số chia hết cho 9 và khác 0 nên C chỉ có thể là 9 ; 18 ; 27 ; 36. Dù trường hợp nào xảy ra thì ta cũng có D = 9.. Bài 17 : Biết rằng số A chỉ viết * Cách 1 : A chỉ viết bởi các chữ số 9 nên: bởi các chữ số 9. Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà cộng số này với A ta được số chia hết cho 45.. Vậy A chia cho 45 dư 9. Một số nhỏ nhất mà cộng với A để được số chia hết cho 45 thì số đó cộng với 9 phải bằng 45. Vậy số đó là : 45 - 9 = 36. *Cách 2 : Gọi số tự nhiên nhỏ nhất cộng vào A là m. Ta có A + m là số chia hết cho 45 hay chia hết cho 5 và 9 (vì 5 x 9 = 45 ; 5 và 9 không cùng chia hết cho một số số nào đó khác 1). Vì A viết bởi các chữ số 9 nên A chia hết cho 9, do đó m chia hết cho 9. A + m chia hết cho 5 khi A + m có tận cùng là 0 hoặc 5 mà A có tận cùng là 9 nên m có tận cùng là 1 hoặc 6. Số nhỏ nhất có tận cùng là 1 hoặc 6 mà chia hết cho 9 là 36. Vậy m = 36.. Bài 18 : Người ta lấy tích các số tự Xét tích A = 1 x 2 x 3 x ... x 29 x 30, trong đó các thừa số chia nhiên liên tiếp từ 1 đến 30 để chia cho hết cho 5 là 5, 10, 15, 20, 25, 30 ; mà 25 = 5 x 5 do đó có thể coi 1000000. Bạn hãy cho biết : là có 7 thừa số chia hết cho 5. Mỗi thừa số này nhân với một số chẵn cho ta một số có tận cùng là số 0. Trong tích A có các thừa 1) Phép chia có dư không ? số là số chẵn và không chia hết cho 5 là : 2, 4, 6, 8, 12, . . . , 26, 28 (có 12 số). Như vật trong tích A có ít nhất 7 cặp số có tích tận 2) Thương là một số tự nhiên có chữ cùng là 0, do đó tích A có tận cùng là 7 chữ số 0. Số số tận cùng là bao nhiêu ? 1 000 000 có tận cùng là 6 chữ số 0 nên A chia hết cho 1 000 000 và thương là số tự nhiên có tận cùng là chữ số 0. Câu 19: Khi chia 1095 cho một số tự Theo đề bài, phép chia 1096 cho một số tự nhiên có số d lớn nhất nhiên ta đợc thơng là 7 và số d là số lớn nên khi số bị chia cộng thêm 1 thì đợc số mới sẽ chia hết cho số chia cũ. Khi đó thơng sẽ tăng thêm 1 đơn vị. nhÊt cã thÓ. T×m sè chia. VËy sè chia cÇn t×m lµ: (1905 + 1 ) : (7 + 1 ) = 137 Đặt điều kiện một số tự nhiên có 2 chữ số vừa chia hết cho 2 Bài 20: ( 3 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 2 chữ số vừa chia hết cho 2 vừa và vừa chia hết cho 5 là số có tận cùng là 0, vậy số đó là số tròn chục. chia hết cho 3 lại vừa chia hết cho 5? Để các số tròn chục chia hết cho 3 thì chữ số hàng chục phải chia hết cho 3(1đ) Vậy các số đó là: 30; 60 ; 90. Bài 20 : Hai số tự nhiên A và B, biết Vì A và B đều không chia hết cho 2 và 5 nên A và B chỉ A < B và hai số có chung những đặc điểm có thể có tận cùng là 1 ; 3 ; 7 ; 9. Vì 3 + 3 = 6 và 9 + 9 = 18 là 2 sau : - Là số có 2 chữ số. số chia hết cho 3 nên loại trừ số 33 và 99. A (6) - Không chia hết cho 2 ; 3 và 5.. b) Tổng của hai số đó là : 11 + 77 = 88.. a) Tìm 2 số đó.. Ta có : 88 = 1 x 88 = 2 x 44 = 4 x 22 = 8 x 11.. b) Tổng của 2 số đó chia hết cho số tự Vậy tổng 2 số chia hết cho các số : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 11 ; 22 ; 44 ; 88. nhiên nào ?. Bài 21 Tìm số có ba chữ số, biết số đó chia cho 2 dư 1, chia cho 5 dư 3 và chia hết cho 3, biết chữ số hàng trăm là 8.. -. Theo đề bài ta có: số đó có dạng 8ab , 0 a , b 9 , a  0. -. Để 8ab chia 2 dư 1 thì b = 1;3;5;7;9. -. Để 8ab chia 5 dư 3 thì b = 3 hoặc 8 Từ (1) và (2) suy ra b = 3. -. Số đó có dạng 8a 3. -. ( 1) ( 2). Để 8a 3 chia hết cho 3 thì (8 +a + 3) chia hết cho 3 hay (11 + a) chia hết cho 3 Suy ra a = 1; 4; 7 Vậy các số cần tìm là: 813; 843; 873. DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ Một số lưu ý khi giải toán về “dãy số” Trong bài toán về dãy số thường người ta không cho biết cả dãy số (vì dãy số có nhiều số không thể viết ra hết được) vì vậy, phải tìm ra được quy luật của dãy (mà có rất nhiều quy luật khác nhau) mới tìm được các số mà dãy số không cho biết. Đó là những quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoặc dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm ra quy luật.Ở dạng 2: Muốn kiểm tra số A có thoả mãn quy luật của dãy đã cho hay không? Ta cần xem dãy số cho trước và số cần xác định có cùng tính chất hay không? (Có cùng chia hết cho một số nào đó hoặc có cùng số dư) thì số đó thuộc dãy đã cho.Ở dạng 3 và 4: Học sinh phải được tự tìm ra công thức tổng quát, vận dụng một cách thành thạo và biết biến đổi công thức để làm các bài toán khác. Ở dạng 9: Có các yêu cầu: + Tìm tổng các số hạng của dãy. + Tính nhanh tổng. Khi giải: Sau khi tìm ra quy luật của dãy, ta sắp xếp các số theo từng cặp sao cho có tổng đều bằng nhau, sau đó tìm số cặp rồi tìm tổng các số hạng của dãy. Chú ý: Khi tìm số cặp số mà còn dư một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng số dư đó vào. 6.

(7) Nếu tính nhanh tổng của các phân số phải dựa vào tính chất của phân số. Ở dạng 10: Đó là dãy chữ khi giải phải dựa vào quy luật của dãy, sau đó có thể xem mỗi nhóm chữ có tất cả bao nhiêu chữ rồi đi tìm có tất cả bao nhiêu nhóm và đó chính là phần trả lời của bài toán. * Bài tập lự luyện: Bài 1: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,… a. Nêu quy luật của dãy. b. Số 31 có phải là số hạng của dãy không? c. Số 2009 có thuộc dãy này không? Vì sao? Bài 2: Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,…, 2012. Hỏi số 1004 và 1760 có thuộc dãy số trên hay không? Bài 3: Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…, a. Nêu quy luật của dãy số rồi viết tiếp 3 số hạng tiếp theo. b. Trong 2 số 1999 và 2009 thì số nào thuộc dãy số? Vì sao? Bài 4: Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,…… Có số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 6 mà thuộc dãy số trên không? Bài 5: Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,…… a. Số 1997 có phải là số hạng của dãy số này hay không? b. Số 561 có phải là số hạng của dãy số này hay không? Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy * Cách giải ở dạng này là: Đối với dạng toán này, ta thường sử dụng phương pháp giải toán khoảng cách (toán trồng cây). Ta có công thức sau : Số các số hạng của dãy = số khoảng cách+ 1. Đặc biệt, nếu quy luật của dãy là : Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trước cộng với số không đổi d thì: Số các số hạng của dãy = ( Số hạng lớn nhất – Số hạng nhỏ nhất ) : d + 1. Các ví dụ: Bài 1: Cho dãy số 11; 14; 17;.....;65; 68. 7.

(8) Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng? Lời giải : Ta có : 14 - 11= 3; 17 - 14 = 3;.... Vậy quy luật của dãy số đó là mỗi số hạng đứng liền sau bằng số hạng đứmg liền trước nó cộng với 3. Số các số hạng của dãy số đó là: ( 68 - 11 ) : 3 + 1 = 20 ( số hạng ) Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992 Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng? Giải: Ta thấy:. 4–2=2. ;. 8–6 =2. 6–4=2. ;. ………. Vậy, quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng một số hạng đứng trước cộng với 2. Nói các khác: Đây là dãy số chẵn hoặc dãy số cách đều 2 đơn vị. Dựa vào công thức trên: (Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1 Ta có: Số các số hạng của dãy là: (1992 - 2) : 2 + 1 = 996 (số hạng). Bài 3: Cho 1, 3, 5, 7, ……… là dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số này? Giải thích cách tìm? (Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981) Giải: Ta thấy: Số hạng thứ nhất bằng:. 1=1+2x0. Số hạng thứ hai bằng:. 3=1+2x1. Số hạng thứ ba bằng:. 5=1+2x2. ……… Còn số hạng cuối cùng: 1981 = 1 + 2 x 990 Vì vậy, số 1981 là số hạng thứ 991 trong dãy số đó. Bài 4: Cho dãy số: 3, 18, 48, 93, 153,… 8.

(9) a. Tìm số hạng thứ 100 của dãy. b. Số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy? Giải: a.. Số hạng thứ nhất: 3 = 3 + 15 x 0 Số hạng thứ hai:. 18 = 3 + 15 x 1. Số hạng thứ ba:. 48 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2. Số hạng thứ tư:. 93 = 3 + 15 x 1 + 15 X 2 + 15 x 3. Số hạng thứ năm: 153 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + 15 x 4 ……… Số hạng thứ n:. 3 + 15 x1 + 15 x 2 +15 x 3 + …… + 15 x (n - 1). Vậy số hạng thứ 100 của dãy là: 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + …… + 15 x (100 - 1) = 3 + 15 x (1 + 2 + 3 + …… + 99) (Đưa về một số nhân với một tổng. = 3 + 15 x (1 + 99) x 99 : 2 = 74253 b. Gọi số 11703 là số hạng thứ n của dãy: Theo quy luật ở phần a ta có: 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + …… x (n – 1) = 11703 3 + 15 x (1 + 2 + 3 + ……+ ( n – 1)). = 11703. 3 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) : 2 = 11703 15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x 2. = 23400. n x (n – 1) = 23400 : 15. = 1560. Nhận xét: Số 1560 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp 39 và 40 (39 x 40 = 1560) Vậy, n = 40, số 11703 là số hạng thứ 40 của dãy. Bài 5: Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4? Lời giải: Ta nhận xét : Số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 100 và số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 996. Như vậy các số có ba chữ số chia hết cho 4 lập thành một dãy số có số hạng nhỏ nhất là 100, số hạng lớn nhất là 996 và mỗi số hạng của dãy ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng liền trước cộng với 4. 9.

(10) Vậy số các số có ba chữ số chia hết cho 4 là : ( 996 – 100 ) : 4 = 225 ( số ) * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ……,2008 Tìm xem dãy số có bao nhiêu số hạng ? Bài 2: Tìm số số hạng của các dãy số sau: a. 1, 4, 7, 10, ……,1999. b. 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ... ; 108,9 ; 110,0. Bài 3: Xét dãy số: 100, 101, ………, 789. Dãy này có bao nhiêu số hạng? Bài 4: Có bao nhiêu số khi chia cho 4 thì dư 1 mà nhỏ hơn 2010 ? Bài 5: Người ta trồng cây hai bên đường của một đoạn đường quốc lộ dài 21km. Hỏi phải dùng bao nhiêu cây để đủ trồng trên đoạn đường đó ? Biết rằng cây nọ trồng cách cây kia 5m. Dạng 4: Tìm số hạng thứ n của dãy số Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,............Hỏi số hạng thứ 100 của dãy số là số nào Giải: Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là: 98 - 1 = 99 Mỗi khoảng cách là 3 - 1. = 5 -3 =2. Số hạng thứ 100 là 1 + 99  2 = 199 Công thức tổng quát: Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách  (Số số hạng - 1) Bài toán 2: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy số được viết theo quy luật: 3, 8, 15, 24, 35,…. (1). 3, 24, 63, 120, 195,…. (2). 1, 3, 6, 10, 15,….. (3). Giải: a) Dãy (1) có thể viết dưới dạng: 1x3, 2x4, 3x5, 4x6, 5x7,… 1.

(11) Mỗi số hạng của dãy (1) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy này có số hạng thứ 100 là 100. Số hạng thứ 100 của dãy (1) bằng: 100x102 = 10200. b) Dãy (2) có thể viết dưới dạng: 1x3, 4x6, 7x9, 10x12, 13x15,… Mỗi số hạng của dãy (2) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 4, 7, 10, 13, …; Số hạng thứ 100 của dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: 1 + (100 – 1 ) x 3 = 298. Số hạng thứ 100 của dãy (2) bằng: 298 x 300 = 89400. c) Dãy (3) có thể viết dưới dạng: 100 101 5050 2. .... Số hạng thứ 100 của dãy (3) bằng: * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho dãy số : 101, 104, 107, 110, ...... Tìm số hạng thứ 1998 của dãy số đó. Bài 2: Cho dãy số : 5, 8, 11, 14, ...... a.Tìm số hạng thứ 200 của dãy số. b. Nếu cứ viết tiếp thì các số : 1000 ; 2009 ; 5000 có là số hạng của dãy không ? Tại sao. Bài 3: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên mà khi chia cho 3 thì dư 2 bát đầu từ số 5 thành dãy số. Viết đến số hạng thứ 100 thì phát hiện đã viết sai. Hỏi bạn đó đã viết sai số nào ? Dạng 5: Tìm số chữ số của dãy khi biết số số hạng Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3,.......150. Hỏi để viết dãy số này người ta phải dùng bao nhiêu chữ số Giải: Dãy số đã cho có : ( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số. Có ( 99 - 10 ) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số Có ( 150 - 100) : 1 + 1 = 51 số có 3 chữ số. Vậy số chữ số cần dùng là : 9  1 + 90  2 + 51  3 = 342 chữ số 1.

(12) Bài toán 2: Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số. Giải: Để đánh số trang quyển sách đó người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 234 thành dãy số. Dãy số này có ( 9 - 1) : 1 + 1. = 9 số có 1 chữ số. Có: ( 99 - 10) : 1 + 1. = 90 số có 2 chữ số. Có: ( 234 - 100) : 1 + 1 = 135 số có 3 chữ số Vậy người ta phải dùng số chữ số là: 9  1 + 90  2 + 135  3 = 594 chữ số * Bài tập tự luyện: Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành 1 số rất lớn. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số Bài 2: Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số Bài 3: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là: a.752 trang. b.1251 trang. Dạng 6: Tìm số số hạng khi biết số chữ số Bài toán 1: Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Giải: Để đánh số trang quyển sách đó, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên bắt đầu từ 1 thành dãy số. Dãy số này có 9 số có 1 chữ số có 90 số có 2 chữ số Để viết các số này cần số chữ số là 9  1 + 90  2 = 189 chữ số Số chữ số còn lại là: 1.

(13) - 189 = 246 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết tiếp các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được 246 : 3 = 82 số Số trang quyển sách đó là 99 + 82 = 181 ( trang) Bài toán 2: Để đánh số trang một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Giải: 99 trang đầu cần dùng 9x1 + 90x2 = 189 chữ số. 999 trang đầu cần dùng: 9x1 + 90x2 + 900x3 = 2889 chữ số Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phải có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số các trang có 3 chữ số la: 600 - 189 = 411 (chữ số) Số trang có 3 chữ số là 411: 3 = 137 trang. Vậy quyển sách có tất cả là: 99 + 137 = 236 trang. Bài toán 3: Để ghi thứ tự các nhà trên một đường phố, người ta dùng các số chẵn 2, 4, 6, 8 . . . để ghi các nhà ở dãy phải và các số lẻ 1, 3, 5, 7 . . . để ghi các nhà ở dãy trái của đường phố đó. Hỏi số nhà cuối cùng của dãy chẵn trên đường phố đó là bao nhiêu, biết rằng khi đánh thứ tự các nhà của dãy này, người ta đã dùng 367 lượt chữ số cả thảy. Giải: Số nhà có số thứ tự ghi bằng 1 chữ số chẵn là: (8 - 2) : 2 + 1 = 4 (nhà) Số nhà có số thứ tự ghi bằng 2 chữ số chẵn là: (98 - 10) : 2 + 1 = 45 (nhà) Số lượt chữ số để đánh số thự tự các nhà có 1 và 2 chữ số là: 4 + 45 2 = 94 (lượt) Số lượt chữ số để đánh số thứ tự nhà có 3 chữ số là: 367 - 94 = 273 (lượt) Số nhà có số thứ tự 3 chữ số là: 273 : 3 = 91 (nhà) Tổng số nhà của dãy chẵn là: 4 + 45 + 91 = 140 (nhà) Số nhà cuối cùng của dãy chẵn là: (140 - 1) 2 + 2 = 280. Bài toán 4: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, ..., n. Hãy tìm số n để số chữ số của dãy gấp 3 lần số các số hạng của dãy. 1.

(14) Giải: Để tìm được số n sao cho số các chữ số của dãy gấp ba lần số các số hạng của dãy đó, ta giả sử trung bình mỗi số lẻ liên tiếp của dãy đều có 3 chữ số. Do đó: - Từ 1 đến 9 gồm các số lẻ có một chữ số là: (9 - 1): 2 + 1 = 5 (số) Môi số cần phải viết thêm 2 chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là: 2 x 5 = 10 (chữ số) Các số lẻ gồm hai chữ số là (99 - 11): 2 + 1 = 45 (số) Mỗi số cần phải viết thêm 1 chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là: 1 x 45 = 45 (chữ số) Các số lẻ gồm 3 chữ số là: ( 999 - 101) : 2 + 1 = 450 (số) Các số có 3 chữ số đảm bảo số chữ số của dãy gấp ba lần số số hạng của dãy đó. Từ 1001 trở đi, mỗi số cần bớt đi một chữ số. Số chữ số cần thêm phải bằng số chữ số cần bớt và bằng: 10 + 45 = 55 (chữ số) Vì mỗi số phải bớt đi 1 chữ số nên số các số lẻ có 4 chữ số là: 55 : 1 = 55 (số) Ta có: (n - 1001) : 2 + 1 = 55 (n - 1001) : 2 = 55 - 1 = 54 (n - 1001) = 54 x 2 = 108 n = 108 + 1001 = 1109 * Bài tập tự luyện: Bài 1: Để viết dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 người ta dùng hết 756 chữ số. Hỏi số hạng cuối cùng của dãy số là bao nhiêu. Bài 2: Để ghi số thứ tự học sinh của 1 trường Tiểu học, người ta phải dùng 1137 chữ số. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh ? 1.

(15) Bài 3: Tính số trang của một cuốn sách. Biết rằng để đánh số trang của cuốn sách đó người ta phải dùng 3897 chữ số? Bài 4: Để đánh số trang của một quyển sách, người ta phải dùng trung bình mỗi trang 4 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Dạng 7: Tìm chữ số thứ n của dãy Bài toán 1: Cho dãy số 1, 2, 3,..... Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào ? Giải: Dãy số đã cho có 9 số có 1 chữ số Có 90 số có 2 chữ số Để viết các số này cần 9  1 + 90  2 = 189 chữ số Số chữ số còn lại là 200- 189 = 11 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được 11 : 3 = 3 số (dư 2 chữ số) Nên có 3 số có 3 chữ số được viết liên tiếp đến 99 + 3 = 102 Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 103 nhưng chỉ viết được 10. Vậy chữ số thứ 200 của dãy là chữ số 0 của số 103. Bài toán 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, ..... Hỏi chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số nào? Giải: Dãy số đã cho có 4 số có 1 chữ số Có (98 - 10) : 2 + 1 = 45 số có 2 chữ số Có (998 - 100) : 2 + 1 = 450 số có 3 chữ số Để viết các số này cần: 4  1 + 45  2 + 450 x 3 = 1444 chữ số Số chữ số còn lại là: 2010 - 1444 = 566 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 4 chữ số bắt đầu từ 1000. Ta viết được: 1.

(16) 566 : 4 = 141 số (dư 2 chữ số) Nên có 141 số có 4 chữ số được viết , số có 4 chữ số thứ 141 là: (141 - 1) x 2 + 1000 = 1280 Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 1282 nhưng mới chỉ viết được 12. Vậy chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 2 hàng trăm của số 1282. Bài toán 3: Tìm chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số . Giải: Số thập phân bằng phân số là: 1 : 7 = 0,14285714285...... Đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ta thấy cứ 6 chữ số thì lập thành 1 nhóm 142857. Với 2010 chữ số thì có số nhóm là: 2010 : 6 = 335 (nhóm). Vậy chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số là chữ số 7. Bài toán 4: Cho 1 số có 2 chữ số, một dãy số được tạo nên bằng cách nhân đôi chữ số hàng đơn vị của số này rồi cộng với chữ số hàng chục, ghi lại kết quả; tiếp tục như vậy với số vừa nhận được ... (Ví dụ có thể là dãy: 59, 23, 8, 16, 13, ... ). Tìm số thứ 2010 của dãy nếu số thứ nhất là 14. Giải: Ta lập được dãy các số như sau: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, ..... Ta thấy cứ hết 18 số thì dãy các số lại được lặp lại như dãy 18 số đầu. Với 2010 số thì có số nhóm là: 2010 : 18 = 111 nhóm (dư12 số) 12 số dó là các số của nhóm thứ 112 lần lượt là: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1. Vậy số thứ 2010 của dãy là số 1. * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11,.......Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó. Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, ..... Bạn Minh tìm được chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 0, hỏi bạn tìm đúng hay sai? Bài 3: Bạn Minh đang viết phân số dưới dạng số thập phân. Thấy bạn Thông sang chơi, Minh liền dố: Đố bạn tìm được chữ số thứ 100 ở phần thập phân của số thập phân mà tớ đang viết. Thông nghĩ 1 tí rồi trả lời ngay: đó là chữ số 6. Em hãy cho biết bạn Thông trả lời đúng hay sai? 1.

(17) Dạng 8: Tìm số hạng thứ n khi biết tổng của dãy số Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, ......., n. Hãy tìm số n biết tổng của dãy số là 136 Giải: Áp dụng công thức tính tổng ta có : 1 + 2 + 3 +........+ n =136 Do đó: (1 + n )  n = 136  2 = 17  8  2 = 16  17 Vậy n. = 16. Bài toán 2: Cho dãy số: 21, 22, 23, ......, n Tìm n biết: 21 + 22 + 23 + ..........+ n = 4840 Giải: Nếu cộng thêm vào tổng trên tổng của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 20 ta có tổng sau: 1 + 2 + 3 +..........+ 21 + 22 + 23 +.........+ n Áp dụng công thức tính tổng ta có (1 + n)  n : 2 = 1 + 2 + ....+ 20 + 4840 = ( 1 + 20)  20 : 2 + 4840 = 210 + 4840 = 5050 ( 1+ n)  n = 5050  2 = 10100 = 101  100 Vậy n = 100 * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho biết: 1 + 2 + 3 +........+ n = 345. Hãy tìm số n. Bài 2: Tìm số n biết rằng 98 + 102 +........+ n = 15050 Bài 3: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, …, x. Tìm x để tổng của dãy số trên bằng 5106 Dạng 9: Tính tổng của dãy số Các bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính, đó là: 1.

(18) Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách đều Dạng thứ hai: Dãy số với các số hạng không cách đều. Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều. Xuất phát từ một bài Toán như sau: Tính: A = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 Ta thấy tổng A có 100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, mỗi nhóm có tổng là 101 như sau: A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51) = 101 + 101 + ... + 101 = 50 x 101 = 5050.. Đây là bài Toán mà lúc lên 7 tuổi nhà Toán học Gauxơ đã tính rất nhanh tổng các số Tự. nhiên từ 1 đến 100 trước sự ngạc nhiên của thầy giáo và các bạn bè cùng lớp.. Như vậy bài toán. trên là cơ sở đầu tiên để chúng ta tìm hiểu và khai thác thêm rất nhiều các bài tập tương tự, được đưa ra ở nhiều dạng khác nhau, được áp dụng ở nhiều thể loại toán khác nhau nhưng chủ yếu là: tính toán, tìm số, so sánh, chứng minh. Để giải quyết được các dạng toán đó chúng ta cần phải nắm được quy luật của dãy số, tìm được số hạng tổng quát, ngoài ra cần phải kết hợp những công cụ giải toán khác nhau nữa. Cách giải: Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của hai số hạng cách đều đầu và số hạng cuối trong dãy số đó bằng nhau. Vì vậy:. Tổng các số hạng của dãy bằng tổng của một cặp hai số. hạng cách đầu số hạng đầu và cuối nhân với số hạng của dãy chia cho 2. Viết thành sơ đồ: Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x (số số hạng : 2) Từ sơ đồ trên ta suy ra: Số đầu của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số hạng cuối. Số cuối của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số đầu. Sau đây là một số bài tập được phân thành các thể loại, trong đó đã phân thành hai dạng trên: Bài 1: Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên. Giải: 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37. Ta thấy:. 1 + 37 = 38. ;. 5 + 33 = 38 1.

(19) 1 + 35 = 38. ;. 7 + 31 = 38. Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu số vào, ta được các cặp số đều có tổng số là 38. Số cặp số là: 19 : 2 = 9 (cặp số) dư một số hạng. Số hạng dư này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19. Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 39 x 9 + 19 = 361 Đáp số: 361. Nhận xét: Khi số số hạng của dãy số lẻ (19) thì khi sắp cặp số sẽ dư lại số hạng ở chính gữa vì số lẻ không chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng thì việc tìm số hạng còn lại sẽ rất khó khăn. Vậy ta có thể làm cách 2 như sau: Ta bỏ lại số hạng đầu tiên là số 1 thì dãy số có: 19 - 1 = 18 (số hạng) Ta thấy:. 3 + 37 = 40 ;. 7 + 33 = 40. 5 + 35 = 40 ;. 9 + 31 = 40. ………. ………. Khi đó, nếu ta sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số gồm 18 số hạng vào thì được các cặp số có tổng là 40. Số cặp số là:. 18 : 2 = 9 (cặp số). Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 1 + 40 x 9 = 361 Chú ý: Khi số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở 2 đầu dãy số (số đầu, hoặc số cuối) để còn lại một số chẵn số hạng rồi sắp cặp; lấy tổng của mỗi cặp nhân với số cặp rồi cộng với số hạng đã để lại thì được tổng của dãy số. Bài 2: Tính tổng của số tự nhiên từ 1 đến n. Giải: Ghép các số: 1, 2, ……, n – 1, n thành từng cặp (không sắp thứ tự) : 1 với n, 2 với (n – 1), 3 với (n – 2), …… Khi n chẵn, ta có S = n x (n + 1) : 2 Khi n lẻ, thì n – 1 chẵn và ta có: 1.

(20) 1 + 2 + …… + (n – 1) = (n – 1) x n : 2 Từ đó ta cũng có: S = (n – 1) x n : 2 + n = (n - 1) x n : 2 + 2 x n : 2 = [(n – 1) x n + 2 x n] : 2 = (n – 1 + 2) x n : 2 = n x (n + 1) : 2 Khi học sinh đã làm quen và thực hiện thành thạo thì hướng dẫn học sinh áp dụng công thức luôn mà không cần nhóm thành các cặp số có tổng bằng nhau. Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x số số hạng : 2 Bài 3: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 100 Lời giải Ta có thể đưa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả hai vế với 100, khi đó ta có: 100 x E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 1000 Áp dụng công thức tính tổng ta tính được tổng là E = 4954,95 Hoặc giải như sau: Ta thấy: 11,12 - 10,11 = 12,13 - 11,12 = ... = 1,01 Vậy đây là dãy số cách đều 1,01 đơn vị. Dãy số có số số hạng là : (100 - 10,11) : 1,01 + 1 = 90 số hạng Tổng của dãy số là : (10,11 + 100) x 90 : 2 = 4954,95 Bài 4: Cho dãy số: 1, 2, 3, …… 195. Tính tổng các chữ số trong dãy? Giải: Ta viết lại dãy số và bổ sung thêm các số: 0, 196, 197, 198, 199 vào dãy:. 0, 1, 2, 3, ……,. 9 10, 11, 12, 13, ……, 19 ..................... 90, 91, 92, 93, ……, 99 100, 101, 102, 103, ……, 109 2.

(21) ............. Vì có 200 số và mỗi dòng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dòng) Tổng các chữ số hàng đơn vị trong mỗi dòng là: 1 + 2 + 3 + …… + 9 = 9 x 10 : 2 = 45 Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là: 45 x 20 = 900 Tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng đầu đều bằng tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng sau và bằng: 1 x 10 + 2 x 10 + …… + 9 x 10 = (1 + 2 + …… + 9) x 10 = 45 x 10 = 450 Vậy tổng các chữ số hàng chục là: 450 x 2 = 900 Ngoài ra dễ thấy tổng các chữ số hàng trăm là: 10 x 10 = 100. Vậy tổng các chữ số của dãy số này là: 900 + 900 + 100 = 1900 Từ đó suy ra tổng các chữ số của dãy ban đầu là: 1900 – (1 + 9 + 6 + 1 + 9 + 7 + 1 + 9 + 8 + 1 + 9 + 9) = 1830 Trong Toán học nói riêng và trong khoa học nói chung, chúng ta thường nhờ vào suy luận quy nạp không hoàn toàn mà phát hiện ra những kết luận (gọi là giả thuyết) nào đó. Sau đó chúng ta sử dụng suy luận diễn dịch hoặc quy nạp hoàn toàn để kiểm tra sự đúng đắn của kết luận đó. Khi dạy học tiểu học, điều nói trên cũng được lưu ý. Bài 5: Tính tổng tất cả số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3 chữ số: Giải: Các số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3 chữ số là: 9,000; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 tức là có 1000 số. Tổng tất cả các số của dãy số trên là: (9,000 + 9,999) x 1000 : 2 = 9499,5 Đáp số: 9499,5. 2.

(22) Bài 6: Phải thêm vào tổng các số hạng trong dãy số: 2, 4, 6, 8, ..., 246 ít nhất bao nhiêu đơn vị để được số chia hết cho 100 ? Giải: Đây là dãy số chẵn liên tiếp hay dãy số cách đều 2 đơn vị. Dãy số có số số hạng là: (246 - 2) : 2 + 1 = 123 số hạng. Tổng của dãy số là: (246 + 2) x 123 : 2 = 12252 Vì 100 - 52 = 48 nên phải thêm vào tổng của dãy số ít nhất 48 đơn vị. Dạng 2: Dãy số mà các số hạng không cách đều. Bài toán 1: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước 2 lần. Ví dụ: .. 1 1 1 1 1 1      2 4 8 16 32 64. Cách giải: Cách 1: 1 1 1 1 1 1      Bước 1: Đặt A = 2 4 8 16 32 64 1 1 1 1 1 1 1 1 1      2 ; 4 2 4 ; 8 4 8 Bước 2: Ta thấy: 2 1  1 1 1 1   1  1  1            ...    2  2 4 8 4  32 64  Bước 3: Vậy A = . = =. 1. 1 1 1 1 1 1 1 1      ...   2 2 4 4 8 32 64 = 1 - 64. 64 1 63 63   64 64 64 = 64. Cách 2: A = A X 2 - A Bài toán 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần (n > 1). 5 5 5 5 5 5      Ví dụ: B = 2 6 18 54 162 486. Cách giải: Bước 1: Tính B x n (n = 3) 2.

(23) 5 5 5 5  15 5 5 5 5 5 5 5             2 6 18 54 162 486 = 2 2 6 18 54 162 Bx3=3x . Bước 2: Tính B x n - B 5 5 5   15 5 5 5 5 5 5 5 5             2 2 6 18 54 162  - ( 2 6 18 54 162 486 ) Bx3-B=  5 5 5 5 5 5      B x (3 - 1) = 2 6 18 54 162 486 3645  5 15 5 3640   486 B x 2 = 2 486 = 486 = 3640 1820 910 :2   B = 486 = 486 = 243. Bài toán 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau: 3 2 4 3 5 4 6 5 1 1 1 1       2 x 3 3 x 4 4 x 5 5 x 6 2 x 3 3 x 4 4 x 5 5x6 Ví dụ 1: A = = 3 2 4 3 5 4 6 5        = 2 x 3 2 x3 3x4 3x4 4 x5 4 x5 5 x6 5 x6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1             = 2 3 3 4 4 5 5 6 = 2 6 6 6 6 3. Ví dụ 2: 5  2 8  5 11  8 14  11 3 3 3 3       . 2 x 5 5 x 8 8 x 11 11 x 14 2 x 5 5 x 8 8 x 11 11 x 14 M= = = 5 2 8 5 11 8 14 11        2 x5 2 x5 5 x 8 5 x 8 8 x 11 8 x 11 11 x 14 11 x 14 =. 1 1 1 1 1 1 1 1        2 5 5 8 8 11 11 14 =. 1 1 7 1 6 3      2 14 14 14 14 7. * Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính tổng: a) Của tất cả các số lẻ bé hơn 100 b) 1 + 4 + 9 + 16 + …… + 169 Bài 2: 2.

(24) a) Tính nhanh tổng của tất cả các số có 3 chữ số. b) 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Dãy số trên có mười số hạng Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh Đố em, đố chị, đố anh Tìm ra phương pháp tính nhanh mới tài. Bài 3: Tính nhanh: 4 4 4 4 4 4      a/ 3 x 7 7 x 11 11 x 15 15 x 19 19 x 23 23 x 27 1 1 1 1 1 1 1       ...  110 b/ 2 6 12 20 30 42 1 1 1 1 1 1      c/ 10 40 88 154 138 340. Bài 4:. 1 1 1 1 1 1 2 + 4 + 8 + ..... + 1024 + 2048 + 4096. Phép cộng phân số khó gì? Kê đủ số hạng ra thì uổng công Cách gì ai tỏ ai thông Cộng nhanh đáp đúng lại không tốn giờ Đố bạn hiền đó em thơ Đố ai ai biết đây nhờ giải mau. Bài 5: Hãy tính tổng của các dãy số sau: a) 1, 5, 9, 13, 17, …Biết dãy số có 80 số hạng. b) ..., 17, 27, 44, 71, 115. Biết dãy số có 8 số hạng. Bài 6: Tính nhanh: a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 + … + 13,27 + 14,77 b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + … + 0,19. Bài 7: Cho dãy số:. 1 1 1 1 1 1 , , , , , ........ 2 6 12 20 30 42. a) Hãy tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số trên. 2.

(25) 1 b) Số 10200 có phải là một số hạng của dãy số trên không? Vì sao?. Dạng 10: Dãy chữ Khác với các dạng toán khác, toán về dạng dãy chữ không đòi hỏi học sinh phải tính toán phức tạp. Ngược lại để giải những bài toán dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng sáng tạo những kiến thức toán học đơn giản, những hiểu biết về xã hội, từ đó mà vận dụng dạng toán này vào trong đời sống hàng ngày và các môn học khác. Các ví dụ: Bài toán 1: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH thành một dãy chữ liên tiếp: HOCSINHGIOITINHHOCSINHGIOI…… hỏi chữ cái thứ 2009 của dãy là chữ cái nào? Giải: Ta thấy mỗi nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH gồm 15 chữ cái. Giả sử dãy chữ có 2009 chữ cái thì có: 2009 : 15 = 133 (nhóm) và còn dư 14 chữ cái. Vậy chữ cái thứ 2009 của dãy chữ HOCSINHGIOITINH là chữ N của tiếng TINH đứng ở vị trí thứ 14 của nhóm chữ thứ 134. Bài toán 2: Một người viết liên tiếp nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG thành dãy THIXAHAIDƯƠNGTHIXAHAIDƯƠNG …… Hỏi: a. Chữ cái thứ 2002 trong dãy này là chữ gì? b. Nếu người ta đếm được trong dãy số có 50 chữ H thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ N?. c. Bạn Hải đếm được trong dãy có 2001 chữ A. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay đếm. sai? Giải thích tại sao?. d. Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: XANH, ĐỎ, TÍM,. VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM,… hỏi chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu gì? Giải: a. Nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG có 13 chữ cái: 2002 : 13 = 154 (nhóm) Như vậy, kế từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 2002 trong dãy, người ta đã viết 154 lần nhóm THIXAHAIDƯƠNG, vậy chữ cái thứ 2002 trong dãy là chữ G của tiếng DƯƠNG. b. Mỗi nhóm chữ THIXA HAIDƯƠNG có 2 chữ H và cũng có 2 chữ A và 1 chữ N. Vì vậy, nếu người ta 2.

(26) đếm được trong dãy có 50 chữ H thì tức là người đó đã viết 25 lần nhóm đó nên dãy đó phải có 50 chữ A và 25 chữ N. c. Bạn đó đếm sai, vì số chữ A trong dãy phải là số chẵn. d. Ta nhận xét: + 2001 chia cho 4 thì dư 1. + Những chữ cái trong dãy có số thứ tự là chia cho 4 thì dư 1 thì được tô màu XANH. Vậy chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu XANH. Bài toán 3: Bạn Hải cho các viên bi vào hộp lần lượt theo thứ tự là: bi xanh, bi đỏ, bi vàng rồi lại đến bi xanh, bi đỏ, bi vàng ... cứ như vậy. Hỏi: a) Viên bi thứ 100 có màu gì? b) Muốn có 10 viên bi đỏ thì phải bỏ vào hộp ít nhất bao nhiêu viên bi? Giải: a) Ta thấy, cứ 3 viên bi thì lập thành 1 nhóm màu: xanh, đỏ, vàng. 100 viên bi thì có số nhóm là: 100 : 3 = 33 nhóm (dư 1 viên bi) Như vậy, bạn Hải đã cho vào hộp được 33 nhóm, còn dư 1 viên của nhóm thứ 34 và là viên bi đầu tiên của nhóm này. Vậy viên bi thứ 100 có màu xanh. b) Một nhóm thì có 3 viên bi, muốn có 10 viên bi đỏ thì cần bỏ vào hộp: 3 x 10 = 30 viên bi. Nhưng viên bi màu đỏ là viên bi thứ 2 của nhóm. Vậy cần bỏ vào hộp ít nhất số viên bi là: 30 - 1= 29 viên. * Bài tập tự luyện: Bài 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TOANNAM thành dãy: TOANNAMTOANNAMTOAN…… Hỏi: a. Chữ cái thứ 2010 trong dãy là chữ gì? b. Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ N thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ O? c. Một người đếm được trong dãy có 2009 chữ A, hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao? d. Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM…… hỏi chữ cái thứ 2009 trong dãy được tô màu gì?. 2.

(27) Bài 2: Người ta viết các chữ cái D, A, Y, T, O, T, H, O, C, T, O, T,…… thành dãy: DAYTOTHOCTOTDAYTOT… bằng 3 màu xanh, đỏ, tím, mỗi tiếng một màu. Hỏi chữ cái thứ 2010 là chữ cái gì? Màu gì? Bài 3: Bạn Dương viết liên tiếp các nhóm chữ DIENBIENPHU thành dãy: DIENBIENPHUDIENBIENPHU ... Hỏi: a) Chữ cái thứ 1954 là chữ gì? b) Nếu trong dãy đã viết có 2010 chữ E thì có bao nhiêu chữ H? Bài 4: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy TOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM … Hỏi: a) Chữ cái thứ 1975 trong dãy là chữ gì? b) Người ta đếm được trong dãy đó có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ O? Bao nhiêu chữ I?c) Bạn An đếm được trong dãy có 1945 chữ O. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Vì sao?. d). Người ta tô màu vào các chữ cái trong dãy trên theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, vàng, …Hỏi chữ cái thứ 2010 được tô màu gì?. C¸c d¹ng to¸n ®iÓn h×nh vµ ph¬ng ph¸p gi¶i vÒ d·y sè 1. Muốn làm đợc các bài toán về dãy số ta càn phải nắm đợc các kiến thức sau: Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số chẵn … Vì vËy, nÕu: - D·y sè b¾t ®Çu tõ sè lÎ vµ kÕt thóc lµ sè ch½n th× sè lîng c¸c sè lÎ b»ng sè lîng c¸c sè ch½n. - D·y sè b¾t ®Çu tõ sè ch½n vµ kÕt thóc còng lµ sè lÎ th× sè lîng c¸c sè ch½n b»ng sè lîng c¸c sè lÎ. - NÕu d·y sè b¾t ®Çu tõ sè lÎ vµ kÕt thóc còng lµ sè lÎ th× sè lîng c¸c sè lÎ nhiÒu h¬n c¸c sè ch½n lµ 1 sè. - NÕu d·y sè b¾t ®Çu tõ sè ch½n vµ kÕt thóc còng lµ sè ch½n th× sè lîng c¸c sè ch½n nhiÒu h¬n c¸c sè lÎ lµ 1 sè. a. Trong d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ sè 1 th× sè lîng c¸c sè trong d·y sè chÝnh b»ng gi¸ trÞ cña sè cuèi cïng cña sè Êy. 2.

(28) b. Trong d·y sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ sè kh¸c sè 1 th× sè lîng c¸c sè trong d·y sè b»ng hiÖu gi÷a sè cuèi cïng cña d·y sè víi sè liÒn tríc sè ®Çu tiªn. 2. C¸c bµi to¸n vÒ d·y sè cã thÓ ph©n ra c¸c lo¹i to¸n sau: + Dãy số cách đều: - D·y sè tù nhiªn. - D·y sè ch½n, lÎ. - Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số nào đó. + Dãy số không cách đều. - D·y Phi bo na xi - D·y cã tæng(hiÖu) gi÷a hai sè liªn tiÕp lµ mét d·y sè. + D·y sè thËp ph©n, ph©n sè: 3. C¸ch gi¶i c¸c d¹ng to¸n vÒ d·y sè: D¹ng 1: §iÒn thªm sè h¹ng vµo sau, gi÷a hoÆc tríc mét d·y sè Trớc hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số: + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trớc nó cộng(hoặc trừ) với một sè tù nhiªn a. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trớc nó nhân (hoặc chia) với mét sè tù nhiªn q kh¸c 0. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng trớc nó. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của số hạng đứng trớc nó cộng với số tù nhiªn d råi céng víi sè thø tù cña sè h¹ng Êy. + Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trớc nhân với số thứ tự. + Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) trë ®i, mçi sè liÒn sau b»ng 3 lÇn sè liÒn tríc. + Mçi sè h¹ng (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) trë ®i, mçi sè liÒn sau b»ng 3 lÇn sè liÒn tríc trõ ®i 1. VÝ dô 1: 1. §iÒn thªm 3 sè h¹ng vµo d·y sè sau: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…… Muốn giải đợc bài toán trên trớc hết phảI xác định quy luật của dãy số nh sau: Ta thÊy: 1 + 2 = 3 3+5=8 2+3=5 5 + 8 = 13 Dãy số trên đợc lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ 3 trở dmỗi số hạng bằng tổng của hai sè h¹ng liÒn tríc nã. Vậy dãy số đợc viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144… 2. ViÕt tiÕp 3 sè h¹ng vµo d·y sè sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27 Ta nhËn thÊy: 8=1+3+4 27 = 4+ 8 + 15 15 = 3 + 4 + 8 2.

(29) Từ đó ta rút ra đợc quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng tổng của ba số hạng đứng trớc nó. Viết tiếp ba số hạng, ta đợc dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169. 3. T×m sè h¹ng ®Çu tiªn cña c¸c d·y sè sau : a…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 : biÕt r»ng mçi d·y sè cã 10 sè h¹ng. b..., ..., 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 : biÕt r»ng mçi d·y sè cã 10 sè h¹ng. *) Gi¶i: a. Ta nhËn xÐt : Sè h¹ng thø 10 lµ : 1024 = 512 x 2 Sè h¹ng thø 9 lµ : 512 = 256 x 2 Sè h¹ng thø 8 lµ : 256 = 128 x 2 Sè h¹ng thø 7 lµ : 128 = 64 x 2 …………………………….. Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số đầu tiên là: mỗi số hạng của dãy số gấp đôi số hạng liền trớc đó. VËy sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y lµ: 1 x 2 = 2. b. Ta nhËn xÐt : Sè h¹ng thø 10 lµ : 110 = 11 x 10 Sè h¹ng thø 9 lµ : 99 = 11 x 9 Sè h¹ng thø 8 lµ : 88 = 11 x 8 Sè h¹ng thø 7 lµ : 77 = 11 x 7 ………………………….. Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số trên là: Mỗi số hạng bằng 11 nhân với số thứ tự của sè h¹ng Êy. VËy sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y lµ : 1 x 11 = 11. 4. T×m c¸c sè cßn thiÕu trong d·y sè sau : a. 3, 9, 27, ......., 729, ..... b. 3, 8, 32, ......, 608,..... Muốn tìm đợc các số còn thiếu trong mỗi dãy số, cần tim đợc quy luật của mỗi dãy số đó. a. Ta nhËn xÐt :. 3x3=9 9 x 3 = 27 Quy luËt cña d·y sè lµ: KÓ tõ sè thø 2 trë ®i, mçi sè liÒn sau b»ng 3 lÇn sè liÒn tríc. Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là: 27 x 3 = 81 ; 81 x 3 = 243 ; 243 x 3 = 729 (đúng). VËy d·y sè cßn thiÕu hai sè lµ : 81 vµ 243. b. Ta nhËn xÐt: 3x3–1=8; ........................................... 8 x 3 – 1 = 23. 2.

(30) Quy luËt cña d·y sè lµ: KÓ tõ sè thø 2 trë ®i, sè h¹ng sau b»ng 3 lÇn sè h¹ng tríc trõ ®i 1, v× vËy, c¸c sè cßn thiÕu ë d·y sè lµ: 23 x 3 - 1 = 68 ; 68 x 3 – 1 = 203 ; D·y sè cßn thiÕu hai sè lµ: 68 vµ 203.. 203 x 3 – 1 = 608 (đúng).. 5. Lúc 7h sáng, một ngời đi từ A đến B và một ngời đi từ B đến A ; cả hai cùng đi đến đích của mình lúc 2h chiều. Vì đờng đi khó dần từ A đến B ; nên ngời đi từ A, giờ đầu đi đợc 15km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm đi 1km. Ngời đi từ B giờ cuối cùng đI đợc 15km, cứ mỗi giờ trớc đó lại giảm 1km. Tính quãng đờng AB. *) Gi¶i: 2 giê chiÒu lµ 14h trong ngµy. 2 ngời đi đến đích của mình trong số giờ là: 14 – 7 = 7 giê. Vận tốc của ngời đi từ A đến B lập thành dãy số: 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9. Vận tốc của ngời đi từ B đến A lập thành dãy số: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Nhìn vào 2 dãy số ta nhận thấy đều có các số hạng giống nhau vậy quãng đờng AB là: 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 (đáp số 84km). 6. Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng 2002 783. 998. *) Gi¶i: Ta đánh số thứ tự các ô nh sau:. «1. «7. «8. «9. 998 «10. Theo điều kiện của đề bài ta có: 783 + ¤7 + ¤8 = 2002. ¤7 + ¤8 + ¤9 = 2002. Vậy Ô9 + 783; từ đó ta tính đợc: ¤8 = ¤5 = ¤2= 2002 - (783 + 998) = 2002 ¤7 = ¤4 = ¤1 = 998 ¤3 = ¤6 = 783. Điền các số vào ta đợc dãy số: 998 221 783 998 221 783. 998. 221. 783. «2. «3. «4. «5. 783 «6. 998. 3.

(31) Một số lu ý khi giảng dạy Toán dạng này là: Trớc hết phải xác định đợc quy luật của dãy là dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ (ví dụ: 6). Từ đó mà học sinh có thể điền đợc các số vào dãy đã cho. * Bµi tËp tù luyÖn: 1. 13, 19, 25,……, D·y sè kÓ tiÕp thªm 5 sè nµo? Sè nµo suy nghÜ thÊp cao? Đố em đố bạn làm sao kể liền? 2. ViÕt sè h¹ng cßn thiÕu trong d·y sè sau: a. 7, 10, 13,……, 22, 25. b. 103, 95, 87,……, 55, 47. 1 3. 99. Lµ sè h¹ng cuèi ®©y mµ D·y sè: 9 sè h¹ng nha Số hạng đứng trớc gấp 3 sau liền Đố em tôi, đố bạn hiền D·y sè cã sè ®Çu tiªn lµ g×? Là gì nhanh đáp khó chi! Đố anh, đố chị cung nhau thi tài. 4. §iÒn sè thÝch hîp vµo « trèng, sao cho tæng c¸c sè ë 3 « liÒn nhau b»ng: a. n = 14,2 2,7. 8,5. b. n = 14,3 2,7. 7,5. Dạng 2: Xác định số A có thuộc dãy đã cho hay không? C¸ch gi¶i cña d¹ng to¸n nµy: - Xác định quy luật của dãy; - Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không? VÝ dô: 1. Cho d·y sè: 2, 4, 6, 8,…… a. Nªu quy t¾c viÕt d·y sè? b. Sè 93 cã ph¶i lµ sè h¹ng cña d·y kh«ng? V× sao? *) Gi¶i: a. Ta nhËn thÊy: Sè h¹ng thø 1: 2=2x1 3.

(32) Sè h¹ng thø 2: 4=2x2 Sè h¹ng thø 3: 6=2x3 …......... Sè h¹ng thø n: ?=2xn Quy luËt cña d·y sè lµ: Mét sè h¹ng b»ng 2 nh©n víi sè thø tù cña sè h¹ng Êy. b. Ta nhËn thÊy c¸c sè h¹ng cña d·y lµ sè ch½n, mµ sè 93 lµ sè lÎ, nªn sè 93 kh«ng ph¶i lµ sè h¹ng cña d·y. 2. Cho d·y sè: 2, 5, 8, 11, 14, 17,…… - ViÕt tiÕp 3 sè h¹ng vµo d·y sè trªn? - Sè 2000 cã thuéc d·y sè trªn kh«ng? T¹i sao? *) Gi¶i: - Ta thÊy: 8 – 5 = 3; 11 – 8 = 3; ……… Dãy số trên đợc viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng liền trớc nó cộng với 3. VËy 3 sè h¹ng tiÕp theo cña d·y sè lµ: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26. - Số 2000 có thuộc dãy số trên, vì kể từ số hạng thứ 2 của dãy và số 2000 đều chia cho 3 d 2. 3. Em h·y cho biÕt: a. C¸c sè 60, 483 cã thuéc d·y 80, 85, 90,…… hay kh«ng? b. Sè 2002 cã thuéc d·y 2, 5, 8, 11,…… hay kh«ng? c. Sè nµo trong c¸c sè 798, 1000, 9999 cã thuéc d·y 3, 6, 12, 24,…… gi¶i thÝch t¹i sao? *) Gi¶i: a. Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy đã cho vì: - Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60. - Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho 5. b. Số 2002 không thuộc dãy đã cho vì mọi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều 2, mà 2002 chia 3 th× d 1. c. Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,… vì: - Mçi sè h¹ng cña d·y (kÓ tõ sè h¹ng thø 2) b»ng sè h¹ng liÒn tríc nhËn víi 2; cho nªn c¸c số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trớc là số chẵn, mà 798 chí cho 2 = 399 là số lẻ. - Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại không chia hết cho 3. - Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ. 4. Cho d·y sè: 1, 2, 2; 3, 4;……; 13; 14, 2. NÕu viÕt tiÕp th× sè 34,6 cã thuéc d·y sè trªn kh«ng? *) Gi¶i: - Ta nhËn xÐt: 2,2 - 1 = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;…… Quy luËt cña d·y sè trªn lµ: Tõ sè h¹ng thø 2 trë ®i, mçi sè h¹ng sau h¬n sè h¹ng liÒn tríc nã 1,2 đơn vị: - Mặt khác, các số hạng trong dãy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2. VÝ dô: (13 - 1) : 1,2 (3,4 - 1) : 1,2 3.

(33) (34,6 - 1) : 1,2 = 28 d 0. VËy nÕu viÕt tiÕp th× sè 34,6 còng thuéc d·y sè trªn. 5. Cho d·y sè: 1996, 1993, 1990, 1997,……, 55, 52, 49. C¸c sè sau ®©y cã ph¶i lµ sè h¹ng cña d·y kh«ng? 100, 123, 456, 789, 1900, 1995, 1999? *) Giải: Nhận xét: Đậy là dẫy số cách đều 3 đơn vị. Trong dãy số này, số lớn nhất là 1996 và số bé nhất là 49. Do đó, số 1999 không phải là số hạng của dẫy số đã cho. Mỗi số hạng của dãy số đã cho là số chia hết cho 3, d 1. Do đó, số 100 và số 1900 là số của dãy số đó. Các số 123, 456, 789 và 1995 đều chia hết cho 3 nên các số đó không phải là số hạng của các dãy số đã cho. * Bµi tËp lù luyÖn: 1. Cho d·y sè: 1, 4, 7, 10,… a. Nªu quy luËt cña d·y. b. Sè 31 cã ph¶i lµ sè h¹ng cña d·y kh«ng, nÕu ph¶i th× sè h¹ng thø bao nhiªu? c. Sè 1995 cã thuéc d·y nµy kh«ng? V× sao? 2. Cho d·y sè: 1004, 1010, 1016,…, 3008. Hái sè 2004 vµ 1760 cã thuéc d·y sè trªn hay kh«ng? 3. Cho d·y sè: 1, 7, 13, 19,…, a. Nªu quy luËt cña d·y sè råi viÕt tiÕp 3 sè h¹ng tiÕp theo. b. Trong 2 sè 1999 vµ 2001 th× sè nµo thuéc d·y sè? V× sao? 4. Cho d·y sè: 3, 8, 13, 18,…… Cã d·y sè tù nhiªn nµo cã ch÷ sè tËn cïng lµ 6 mµ thuéc d·y sè trªn kh«ng? 5. Cho d·y sè: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,…… a. Sè 1997 cã ph¶i lµ sè h¹ng cña d·y sè nµy hay kh«ng? b. Số 561 có phải là số hạng của dãy số này hay không? Nếu số đó đúng là số hạng của dãy số đã cho thì số đó ở vị trí thứ mấy của dãy số đó? D¹ng 3: T×m sè h¹ng cña d·y * C¸ch gi¶i ë d¹ng nµy lµ: - Sö dông ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n kho¶ng c¸ch (gi¶i to¸n trång c©y). Ta cã c«ng thøc sau: Sè c¸c sè h¹ng cña d·y = sè kho¶ng + 1. - Nếu quy luật dãy là: Số hạng đứng trớc ở vị trí thứ bao nhiêu trong dãy số thì số đó bằng nx (n 1) 2. tổng bấy nhiêu, số tự nhiên liên tiếp (bắt đầu từ 1) thì đợc tính theo công thức: VÝ dô: 1. Cho d·y sè: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992 a. Hãy xác định dãy số trên có bao nhiêu số hạng? b. NÕu ta tiÕp tôc kÐo dµi c¸c sè h¹ng cña d·y sè th× sè h¹ng thø 2002 lµ sè mÊy?. 3.

(34) *) Gi¶i: a. Ta cã: 2. 4. 6. 8. 10. …………. 1992. 4–2=2 ; 8–6 =2 6–4=2 ; ……… Vậy, quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng một số hạng đứng trớc cộng với 2. Nói các khác: Đây là dãy số chẵn hoặc dãy số cách đều 2 đơn vị. Dùa vµo c«ng thøc trªn: (Sè h¹ng cuèi – sè h¹ng ®Çu) : kho¶ng c¸ch + 1 Ta cã: Sè c¸c sè h¹ng cña d·y lµ: (1999 – 2) : 2 + 1 = 996 (sè h¹ng). b. Ta nhËn xÐt: Sè h¹ng thø 2 lµ: 4 = 2 – 2 = 2 + (2 – 1) x 2 Sè h¹ng thø 2 lµ: 6 = 2 + 4 = 2 + (3 – 1) x 2 Sè h¹ng thø 2 lµ: 8 = 2 + 6 = 2 + (4 – 1) x 2 ……… Sè h¹ng thø 2002 lµ: 2 + (2002 – 1) x 2 = 4004 §¸p sè: a. 996 sè h¹ng. b. 4004 sè h¹ng. 2. Cho 1, 3, 5, 7, ……… lµ d·y sè lÎ liªn tiÕp ®Çu tiªn; hái 1981 lµ sè h¹ng thø bao nhiªu trong d·y sè nµy? Gi¶i thÝch c¸ch t×m? (§Ò thi häc sinh giái bËc tiÓu häc 1980 – 1981) *) Gi¶i: Ta thÊy: Sè h¹ng thø nhÊt b»ng: 1 = 1 + 2 x 0 Sè h¹ng thø hai b»ng: 3=1+2x1 Sè h¹ng thø ba b»ng: 5=1+2x2 ……… Cßn sè h¹ng cuèi cïng: 1981 = 1 + 2 x 990 Vì vậy, số 1981 là số hạng thứ 991 trong dãy số đó. 3. Cho d·y sè: 3, 18, 48, 93, 153,… a. T×m sè h¹ng thø 100 cña sü. b. Sè 11703 lµ sè h¹ng thø bao nhiªu cña d·y? *) Gi¶i: a. Sè h¹ng thø nhÊt: 3 = 3 + 15 x 0 Sè h¹ng thø nhÊt: 18 = 3 + 15 x 1 Sè h¹ng thø nhÊt: 48 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 3.

(35) 999.. Sè h¹ng thø nhÊt: 93 = 3 + 15 x 1 + 15 X 2 + 15 x 3 Sè h¹ng thø nhÊt: 153 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + 15 x 4 ……… Sè h¹ng thø n: 3 + 15 x1 + 15 x 2 +15 x 3 + …… + 15 x (n - 1) VËy sè h¹ng thø 100 cña d·y lµ: 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + …… + 15 x (100 – 1) = 3 + 15 x (1 + 2 + 3 + …… + 99) (§a vÒ mét sè nh©n víi mét tæng. = 3 + 15 x (1 + 99) ; 2 x 99 = 74253 b. Gäi sè 11703 lµ sè h¹ng thø n cña d·y: Theo quy luËt ë phÇn a ta cã: 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + …… x (n – 1) = 11703 3 + 15 (1 + 2 + 3 + …… n – 1) = 11703 3 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) x (n – 1) : 2 = 11703 15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x 2 = 23400 n x (n – 1) = 23400 ; 15 = 1560 NhËn xÐt: Sè 1560 lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp 39 vµ 40 (39 x 40 = 1560) VËy, n = 40, sè 11703 lµ sè h¹ng thø 40 cña d·y. 4. Trong c¸c sè cã 3 ch÷ sè chia hÕt cho 3 lµ 102 vµ sè lín nhÊt cã 3 ch÷ sè chÝ hÕt cho 3 lµ. Nh vËy: C¸c sè cã 3 ch÷ sè chia hÕt cho 3 lµ: (999 - 102) : 3 + 1 = 300 (sè) §¸p sè: 300 sè. 5. Cho d·y sè: 1, 2, 3, 4, ……… 195. a. TÝnh sè ch÷ trong d·y. b. Ch÷ sè thø 195 lµ ch÷ sè nµo? *) Gi¶i: a. Ta viÕt l¹i d·y sè: 1, …… 9, 10, …… 99, 100, ……, 195 Trong d·y cã 9 sè gåm 1 ch÷ sè; c¸c sè nµy cho 9 ch÷ sè. Cã 90 sè gåm 2 ch÷ sè; c¸c sè nµy cho 2 x 90 = 180 ch÷ sè. Cã 96 sè gåm 3 ch÷ sè; c¸c sè nµy cho 3 x 96 = 288 ch÷ sè. VËy ch÷ sè trong d·y lµ: 9 + 180 + 2 = 477 (ch÷ sè) b. Trên đây ta đã tính đợc số chữ số trong từng đoạn của dãy. 1………9, 10……99, 100……, 195 9 180 288 477 Vì < 195 < 477, nen chữ số thứ 195 là chữ số thuộc vào đoạn từ 100 đến 195, vì 195 – 189 = 6, nên đây là chữ số thứ 6 trong đoạn từ 100 đến 195. 3.

(36) Ta thấy đó là chữ số 1 (nằm trong số 101) * Bµi tËp tù luyÖn: 1. Cho d·y sè: 3, 8, 13, 23, …… T×m sè h¹ng thø 30 cña d·y sè trªn? 2. Cho d·y sè: 1, 4, 9, 16, …… a. Nªu quy luËt cña d·y? b. Sè 625 lµ sè h¹ng thø bao nhiªu? c. Sè h¹ng thø 100 lµ sè nµo? 3. Ngêi ta viÕt c¸c sè ch½n liªn tiÕp cã 2 ch÷ sè liÒn nhau thµnh mét sè lín theo quy t¾c sau: 10 12 14 16 18 ……… 96 98 a. Số đó có bao nhiêu chữ số? b. Trong đó có bao nhiêu số 6? 4. XÐt d·y sè: 100, 101, ………, 789. a. D·y nµy cã bao nhiªu sè? b. Sè thø 100 lµ sè nµo? c. D·y nµy cã bao nhiªu ch÷ sè? d. Ch÷ sè 789 lµ ch÷ sè nµo? 5. Cho d·y sè: 1, 1; 2, 2; 3, 3; ……… 108, 9; 110,0 a. D·y sè nµy cã bao nhiªu sè h¹ng? b. Sè h¹ng thø 50 cña d·y sè nµy lµ sè h¹ng nµo? D¹ng 4: T×m tæng c¸c sè h¹ng cña d·y sè *) Gi¶i: Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của hai số hạng cách đều đầu và số hạng cuối trong dãy số đó bằng nhau. Vì vậy: Tæng c¸c sè h¹ng cña d·y b»ng tæng cña mét cÆp hai sè h¹ng c¸ch ®Çu sè h¹ng ®Çu vµ cuèi nh©n víi sè h¹ng cña d·y chia cho 2. Viết thành sơ đồ: Tổng của dãy số cách đèu = (số đầu + số cuối) x (số hạng : 2) Từ sơ đồ trên ta suy ra: Sè ®Çu cña d·y = tæng x 2 : sè sè h¹ng – sè h¹ng cuèi. Sè cuèi cña d·y – tæng x 2 : sè sè h¹ng – sè ®Çu. VÝ dô: 1. TÝnh tæng cña 19 sè lÎ liªn tiÕp ®Çu tiªn *) Gi¶i: 19 sè lÎ liªn tiÕp ®Çu tiªn lµ: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37. Ta thÊy: 1 + 37 = 38 ; 5 + 33 = 38 1 + 35 = 38 ; 7 + 31 = 38 3.

(37) Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu số vào, ta đợc các cặp số đều có tổng số là 38. Sè cÆp sè lµ: 19 : 2 = 9 (cÆp sè) d mét sè h¹ng. Sè h¹ng d nµy lµ sè h¹ng ë chÝnh gi÷a d·y sè vµ lµ sè 19. VËy tæng cña 19 sè lÎ liªn tiÕp ®Çu tiªn lµ: 39 x 9 + 19 = 361 §¸p sè: 361. NhËn xÐt: Khi sè sè h¹ng cña d·y sè lÎ (19) th× khi s¾p cÆp sè sÏ dù l¹i sè h¹ng ë chÝnh g÷a v× sè lÎ kh«ng chia hÕt cho 2, nªn d·y sè cã nhiÒu sè h¹ng th× viÖc t×m sè h¹ng cßn l¹i kh«ng s¾p sÏ rÊt khã kh¨n. VËy ta cã thÓ lµm c¸ch 2 nh sau: 19 – 1 = 18 (sè h¹ng) Ta thÊy: 3 + 37 = 40 ; 7 + 33 = 40 5 + 35 = 40 ; 9 + 31 = 40 ……… ……… Khi đó, nếu ta sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số gồm 18 số hạng vào thì đ ợc các cặp số có tæng lµ 40. Sè cÆp sè lµ: 18 ; 2 = 9 (cÆp sè) Tæng cña 19 sè lÎ liªn tiÕp ®Çu tiªn lµ: 1 + 40 x 9 = 361 Chú ý: Khi số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở 2 đầu dãy số (số đầu, hoặc số cuối) để cßn l¹i mét sè ch½n sè h¹ng råi s¾p cÆp; lÊy tæng cña mçi cÆp nh©n víi sè cÆp råi céng víi sè h¹ng đã để lại thì đợc tổng của dãy số. - Tõ vÝ dô trªn, ta thÊy khi gi¶i to¸n b»ng ph¬ng ph¸p cña lý thuyÕt tæ hîp, ph¶i ph©n biÖt rạch ròi cặp sắp xếp thứ tự với cặp không sắp xếp thứ tự. Dới đay là 2 ví dụ, trong đó có khái niệm nµy. 2. Tính tổng của số tự nhiên từ 1 đến n. * Gi¶i: GhÐp c¸c sè: 1, 2, ……, n – 1, n thµnh tõng cÆp (kh«ng s¾p thø tù) : 1 víi n, 2 víi n – 1, 3 víi n – 2, …… Khi n ch½n, ta cã (n ; 2) = n x (n + 1) : 2 Khi n lÎ, th× n – 1 ch½n vµ ta cã: 1 + 2 + …… + (n – 1) = (n – 1) x n : 2 Từ đó ta cũng có: S = (n – 1) x n : 2 + n = (n - ) x n : 2 + 2 x n : 2 = [(n – 1) x n : 2 + 2 x n] : 2 = (n – 1 + 2) x n : 2 = n x (n + 1) : 2 3. Cho d·y sè: 1, 2, 3, …… 195. TÝnh tæng c¸c ch÷ sè trong d·y? *) Gi¶i: - C¸ch 1: Ta viÕt l¹i d·y sè vµ bæ sung thªm c¸c sè: 0, 196, 197, 198, 199 vµo d·y: 0, 1, 2, 3, ……, 9 3.

(38) 10, 11, 12, 13, ……, 19 90, 91, 92, 93, ……, 99 100, 101, 102, 103, ……, 109 V× cã 200 sè vÌ mçi dßng cã 10 sè, nªn cã 200 : 10 = 20 (dßng) Tổng các chữ số hàng đơn vị trong mỗi dòng là: 1 + 2 + 3 + …… + 9 = 9 x 10 : 2 = 45 Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là: 45 x 20 = 900 Tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng đều bằng tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng sau vµ b»ng: 1 x 10 + 2 x 10 + …… + 9 x 10 = (1 + 2 + …… +) x 10 = 45 x 10 = 450 VËy tæng c¸c ch÷ sè hµng chôc lµ: 450 x 2 = 900 Ngoµi ra dÔ thÊy tæng c¸c ch÷ sè hµng tr¨m lµ 100. VËy tæng c¸c ch÷ sè cña d·y sè nµy lµ: 900 + 900 + 100 = 1900 Từ đó suy ra tổng các chữ số của dãy ban đầu là: 1900 – (1 + 9 + 6 + 1 + 9 + 7 + 1 + 9 + 8 + 1 + 9 + 9) = 1830 - Cách 2: Ta bổ sung thêm số 0 và các số từ 196 đến 199 vào dãy và ghép các số thành cặp: 0, 199 1, 198 2, 197 …… x, 199 – x Ta thấy các tổng các chữ số của mỗi số này đều bằng 19 (nếu số x có 2 chữ số là a, b thì 199 – x cã c¸c ch÷ sè lµ: 1, 9 – a vµ 9 – b. Tæng c¸c ch÷ sè – x vµ 199 – x lµ: a + b + 1 + 9 – a + 9 – b = 1 + 9 + 9 = 19. VËy tæng c¸c ch÷ sè cña d·y sè bæ sung lµ: 19 x 100 = 1900 Sau khi bớt đi các chữ số của các số bổ sung nh cách giải trên, ta đợc tổng cần tìm là 1830. Trong To¸n häcnãi riªng vµ trong khoa häc nãi chung, chóng ta thêng nhê vµo suy luËn quy nạp không hoàn toàn mà phát hiện ra những kết luận 9gọi là giả thuyết) nào đó. Sau đó chúng ta sử dụng duy luận diễn dịch hoặc quy nạp hoàn toàn để kiểm tra sự đúng đắn của kết luận đó. Khi dạy học tiểu học, điều nói trên cũng đợc lu ý. 4. TÝnh tæng cña d·y sè sau: 1 2. + 1 + 1 + 4. 8. 1 18. +. 1 512. Mét häc sinh lËp luËn nh sau: 3.

(39) Ta nhËn thÊy:. 1 2. 1 2. 1 2. 1 4. 3 4. 1 2. 1 4. 1 8. 7 8. 1 2. 1 4. 1 8. 1 16. 15 16. VËy, cø nh thÕ ta cã 1 2. 1 4. 1 8. 1 16. 1 512. –. 511 512. Học sinh đã s dụng quy nạp không hoàn thiện để phỏng đoán ra kết quả của tổng. Mặc dù kết quả đó đúng và quá trình suy luận là hợp lý, nhng vẫn không thể xem đó là lời giải chặt chẽ. Để có lời giải chặt chẽ cần sử dụng suy luận diễn dịch, chẳng hạn, đầu tiên ta viết đầy đủ tæng: 1 2. C¸ch 2: S= 1 2. +. 1 4. 1 8. =. 256+128+64 +32+16+8+ 4+ 2+1 512. +. 1 16. +. 1 32. +. 1 64. +. 1 128. +. =. 511 512. §¸p sè:. 511 512. +. 1 256. +. 1 512. Ký hiÖu: +. 1 4. +. 1 8. +. 1 16. +. 1 32. +. 1 64. +. 1 128. +. 1 256. +. 1 512. Nhân cả vế trá và vế phải với 2, rồi biến đổi, ta đợc:. Sx2=1+s-. 1 512. Từ đó suy ra: S = 1 Sx2=1+s-. 1 512. = 511. 512. 1 512. 5. TÝnh tæng tÊt c¶ sè thËp ph©n cã phÇn nguyªn lµ 9, phÇn thËp ph©n cã 3 ch÷ sè: *) Gi¶i: TÝnh tæng tÊt c¶ sè thËp ph©n cã phÇn nguyªn lµ 9, phÇn thËp ph©n cã 3 ch÷ sè lµ: 9,00; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 tøc lµ cã 1000 sè. Ta thÊy: 9,001 + 9,999 = 19 9,005 + 9,995 = 19 9,002 + 9,998 = 19 9,006 + 9,994 = 19 …………… …………… 3.

(40) Nếu ta bỏ số đầu tiên và sắp xếp các cặp số cách đều 2 đầu dãy vào nh trên thì đợc các cặp số đều có tổng là 19, còn lại 9,005 cha đợc tính. Số cặp số sắp xếp đợc là: 998 : 2 = 499 (cÆp sè) cha kÓ hai sè 9,000 vµ 9,500 Tæng tÊt c¶ c¸c sè cña d·y sè trªn lµ: 19 x 499 + 9,5 + 9,005 = 9499,5 §¸p sè: 9499,5 * Bµi tËp tù luyÖn: 1. TÝnh tæng: a. Cña tÊt c¶ c¸c sè lÎ bÐ h¬n 100 b. 1 + 4 + 9 + 16 + …… + 169 2. Tính nhanh tổng của các só trên mặt đồng hồ? Cho ví dụ tơng tự rồi suy ra cách tính của dãy số cách đều? 3. TÝnh nhanh c¸c tæng sau: a. 1 + 2 + 3 + …… + 999 b. 1 + 4 + 7 + 10 + …… + x (cha biÕt x lµ sè thø 50) c. TÝnh nhanh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè co¸ 3 ch÷ sè. d. 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. D·y sè trªn cã 10 sè h¹ng Tæng bao nhiªu, mêi b¹n tÝnh nhanh Đố em, đố chị, đố anh T×m ra ph¬ng ph¸p tÝnh nhanh míi tµi. 4. a. So s¸nh S víi 2. BiÕt r»ng: S=1+ 1 + 1 + 3. 6. 1 10. +. 1 .. .. +…+. 1 45. b. Viết đầy đủ các số hạng và tính nhanh tổng sau: 1 2. + 1 + 6. 1 12. +. 1 20. + …… +. 1 90. 5. a. TÝnh tæng c¸c ch÷ sè cña d·y: 1, 2, 3, ………, 799. b. 1 + 1 + 1 + …… + 2. 4. 8. 1 1024. +. 1 2048. +. 1 4096. =?. PhÐp céng ph©n sè kia khã g×? Kê đủ số hạng ra thì uổng công C¸ch g× ai tá ai th«ng Cộng nhanh đáp đúng lại không tốn giờ Đố bạn hiền đó em thơ §è ai ai biÕt ®©y nhê gi¶i mau. 4.

(41) D¹ng 5: d·y ch÷ Khác với các dạng toán khác, toán về dạng dãy chữ không đòi hỏi học sinh phải tính toán phức tạp. Ngợc lại để giải những bài toán dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng sáng tạo những kiến thức toán học đơn giản, những hiểu biết về xã hội, từ đó mà vận dụng dạng toán này vào trong đời sống hàng ngày và các môn học khác. VÝ dô: 1. Ngêi ta viÕt liªn tiÕp nhãm ch÷: häc sinh giái tØnh thµnh mét d·y ch÷ liªn tiÕp: (häc sinh giái tØnh, häc sinh……) hái ch÷ c¸i thø 2002 cña d·y lµ ch÷ c¸i nµo? * Gi¶i: Ta thÊy nhãm ch÷: häc sinh giái tØnh gåm 15 ch÷ c¸i. Gi¶ sö d·y ch÷ cã 2002 ch÷ c¸i th× cã: 2002 : 15 = 133 (nhãm) vµ cßn d 7 ch÷ c¸i. Vậy chữ cái thứ 2002 của dãy chữ học sinh giỏi tỉnh là chữ H của tiếng SINH đứng ë vÞ trÝ thø 7 cña nhãm 134. 2. Ngêi ta viÕt liªn tiÕp c¸c ch÷ sè 13579 thµnh mét sè M. Hái ch÷ sè thø 764 cña sè m lµ ch÷ sè nµo? *) Gi¶i: Ta thÊy nhãm ch÷ sè 13579 gåm cã 5 ch÷ sè. Gi¶ sö sè M cã 764 ch÷ sè th× cã: 764 : 5 = 152 (nhãm) d 4 ch÷ sè. Vậy chữ số 764 của dãy số là chữ số 7, đứng ở vị trí thứ 4 của nhóm, thứ 153. 3. Mét ngêi viÕt liªn tiÕp d·y ch÷ thÞ x· th¸i b×nh, thµnh thi xa thai binh, thi xa…… a. Ch÷ c¸i thø 2002 trong d·y nµy lµ ch÷ g×? b. Nếu ngời ta đếm đợc trong dãy số có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu ch÷ N? c. Bạn Bình đếm đợc trong dãy có 2001 chữ A. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay đếm sai? Giải thích t¹i sao? d. Ngời ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím,… hỏi chữ cái thứ 2001 trang dãy đợc tô màu gì? *) Gi¶i: a. Nhãm ch÷ THI XA THAI BINH cã 13 ch÷ c¸i: 2002 ; 13 = 154 (nhãm) Nh vậy, kế từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 2002 trong dãy, ngời ta đã viết 154 lần nhóm THI XA THAI BINH, vËy ch÷ c¸i thø 2002 trong d·y lµ ch÷ H cña tiÕng BINH. b. Mçi nhãm ch÷ THI XA THAI BINH cã 2 ch÷ T vµ còng cã 2 ch÷ A vµ 1 ch÷ N. V× vËy, nếu ngời ta đếm đợc trong dãy số có 50 chữ T thì tức là ngời đó đã viết 25 lần nhóm đó nên dãy đó ph¶i cã 50 ch÷ A vµ 25 ch÷ N. c. Bạn đó đếm sai, vì dố chữ A trong dãy phải là số chẵn. d. Ta nhËn xÐt: + 2001 chia cho 4 d 1. + Những chữ cái trong dãy có số thứ tự là chia hết cho 4 d 1 thì đợc tô màu XANH. Vậy chữ cái thứ 2001 trong dãy đợc tô màu XANH. 4.

(42) 4. Mét d·y sè gåm c¸c nhãm ch÷ nh sau: H·y cè g¾ng, H·y cè g¾ng, H·y cè g¾ng… a. Em h·y cho biÕt ch÷ c¸i thø 273 trong d·y lµ ch÷ g×? b. NÕu trong d·y sè cã 426 ch÷ A th× d·y sè cã bao nhiªu ch÷ N? *) Gi¶i: a. Ta thÊy r»ng nhãm ch÷ H·y cè g¾ng cã 9 ch÷ c¸i vµ 273 : 9 = 30 (nhãm) vµ d 3 ch÷ cái. Nh vậy, kể từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 273 trong dãy thì nhóm chữ Hãy cố gắng phải viết đợc 30 lần nhóm và 3 chữ cái tiếp theo là chữ HAY. VËy ch÷ c¸i thø 273 lµ ch÷ Y. b. Mçi nhãm ch÷ trong d·y trªn cã hai ch÷ A vµ cã 1 ch÷ T. §Ó d·y cã 426 ch÷ A th× ch÷ H·y cè g¾ng ph¶i viÕt lµ 426 : 2 = 213 (nhãm) Nhng cã nh÷ng kh¶ n¨ng sau ®©y: - Nhóm chữ cái thứ 213 chỉ viết là Hãy cố ga, khi đó nhóm chữ cuối này không có chữ N, nªn ch÷ N trong d·y lµ: 213 – 1 = 212 (ch÷). - Nhóm chữ 1213 chỉ viết là: Hãy cố gan, khi đó chữ N trong dãy là 213. - Nhóm chữ 213 đợc viết trọn vẹn khi đó số chữ N trong dãy là 213. 5. Mét b¹n häc sinh viÕt: a. 2, 3, 4, 5, 1, 1, 3, 4, 5, 1, 2, ……… Và tiếp tục nh thế để có một dãy số. Hãy tính xem số hạng thứ 1996 mà bạn học sinh viết là sè mÊy? *) Gi¶i: Trong d·y sè b¹n häc sinh viÕt cø 5 sè l¹i lÆp l¹i tõ ®©u. Ta cã: 1996 : 5 = 399 (d 1) Nh thế bạn học sinh đã viết 399 lần các sô 1, 2, 3, 4, 5 và đợc 5 x 399 = 1995 (số hạng). Nh vËy, sè h¹ng thø 1996 ph¶i lµ sè 1. * Bµi tËp tù luyÖn: 1. Mét ngêi viÕt liªn tiÕp nhãm nh÷: to¸n n¨m thµnh toan nam toan nam toan…… a. Ch÷ c¸i thø 2002 trong d·y lµ g×? b. Nếu ngời ta đếm đợc trong dãy có 50 chữ N thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ O? c. Một ngời đếm đợc trong dãy có 2000 chữ A, hỏi ngời đó đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao? d. Ngời ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím…… hỏi chữ cái thứ 1999 trong dãy đợc tô màu gì? 2. Một ngời đánh máy chữ phải đánh liên tiếp nhóm chữ “tiền hải” thành một dãy chữ TIEN HAI TIEN HAI… hái lÇn gâ vµo m¸y thø 2001 r¬i vµo ch÷ c¸i nµo? 3. ViÕt liªn tiÕp c¸c sè tù nhiªn ch½n thµnh d·y: 2, 4, 6, 8, 10, …… hái ch÷ sè thø 1994 ch÷ sè mÊy? 4. Ngêi ta viÕt liªn tiÕp c¸c ch÷ sè 0123456789 thµnh mét sè A, hái ch÷ sè thø 195 cña sè A lµ ch÷ sè nµo? 4.

(43) 5. Ngêi ta viÕt c¸c ch÷ c¸i d¹y tèt, häc tèt,…… thµnh DAY TOT HOC TOT… bằng 3 màu xanh, đỏ, tím, mỗi tiếng một màu. Hái ch÷ c¸i thø 2002 lµ ch÷ c¸i g×? Mµu g×? Néi dung 3: Mét sè lu ý khi gi¶i to¸n vÒ “d·y sè” Trong bµi to¸n vÒ d·y sè thêng, ngêi ta cho biÕt c¶ d·y sè (v× d·y sè cã nhiÒu sè kh«ng thÓ viết ra hết đợc) vì vậy, phải tìm ra đợc quy luật của dãy (mà có rất nhiều quy luật khác nhau) mới tìm đợc các số mà dãy số khô cho biết. Đó là những quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoặc dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm ra quy luật ở dạng 1, muốn giải bài toán về tìm chữ số cuối cùng của dãy (khi biết dãy đó có tất cả bao nhiêu số hạng) thì ta phải tìm số khoảng cách của dãy số bằng cách lấy dãy đó có bao nhiêu số hạng trừ đi 1, sau đó tìm hiệu của số cuối cùng cña d·y b»ng hiÖu cña sè cuèi cïng vµ sè ®Çu b»ng kho¶ng c¸ch gi÷a 2 sè nh©n víi sè kho¶ng cách. Từ đó tìm đợc số cuối cùng của dãy bằng hiệu của số cuối và số đầu cộng với số đầu tiên của d·y. ở dạng 2: Muốn kiểm tra số a có thoả mãn quy luật của dãy đã cho hay không? Ta cần xem dãy số cho trớc và số cần xác định có cùng tính chất hay không? (Có cùng chia hết cho một số nào đó hoặc có cùng số d) thf số đó thuộc dãy đã cho. ë d¹ng 3: Cã c¸c yªu cÇu sau: + T×m tÊt c¶ c¸c ch÷ sè cña d·y. + T×m tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cña d·y. Khi giải cũng tính bằng một công thức nh ở phần cách giải đã nói. + T×m chø sè thø n cña d·y. Ta cần phải tìm số đầu tiên đến số liên quan đến chữ số thứ n của dãy là số có bao nhiêu chữ số, từ đó tìm ra câu hỏi của bài toán. + T×m sè h¹ng thø n cña d·y. Ta chỉ cần tìm đấn quy luật của dãy là đợc (nếu là dãy số cách đều), nếu là dãy số (không cách đều) đợc tính theo công thức n x (n – 1) : 2. ë d¹ng 4: Cã c¸c yªu cÇu: + T×m tæng c¸c sè h¹ng cña d·y. + TÝnh nhanh tæng. * Khi gi¶i: Sau khi t×m ra quy luËt cña d·y, ta s¾p xÕp c¸c sè theo tõng cÆp sao cho cã tæng đều bằng nhau, sau đó tìm cặmp số rồi tìm tổng các số hạng của dãy. Chú ý: Khi tìm số cặp số mà còn d một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng số d đó vào. NÕu tÝnh nhanh tæng ph¶i dùa vµo tÝnh chÊt cña ph©n sè. ở dạng 5: Đó là dãy chữ khi giải đề phải dựa vào quy luật của dãy, sau đó có thể xem dãy chữ hoặc dãy số có tất cả bao nhiêu chữ hoặc số rồi đi tìm có tất cả bao nhiêu nhóm và đó chính là phÇn tr¶ lêi cña bµi to¸n.. Chuyên đề về dãy số cách đều - Dãy số cách đều là một dạng toán thường gặp ở tiểu học . Từ quy luật của dãy số , ta có thể tìm thấy rất nhiều bài toán mà giải nó cần vận dụng nhiều kiến thức mà các em dã được trang bị . Chúng ta cần tìm hiểu mấy bài toán sau : Bài toán 1 : 4.

(44) Cho daõy soá : 1 , 3 , 5 , 7 , 9,….,17 , 19 … a. Xaùc ñònh quy luaät cuûa daõy soá . b. Vieát tieáp 4 soá haïng cuoái cuøng cuûa daõy . c. Tính caùc soá haïng cuûa daõy Phân tích : Muốn xác định quy luật của dãy , ta dựa vào các số hạng đã cho trong dãy để rút ra quy luật . Từ quy luật ấy ta tìm ra được 4 số hạng cuối cùng của dãy . Tính các số hạng của dãy tức là tính xem dãy đó có bao nhiêu số hạng . Có nhiều cách tính mà một trong những cách đó dựa vào toán trồng cây ở cả hai đầu đường . Khi trồng cây ở cả hai đầu đường thì số cây bằng số khoảng cách cộng thêm 1. Baøi giaûi : a. Nhaän xeùt : 3-1 = 2 5-3 = 2 ……………. 19- 17 = 2 Quy luật : Hai số đứng liền nhau hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị . b. Boán soá haïng cuoái cuøng cuûa daõy laø : 19 + 2 = 21 21 + 2 = 23 23 + 2 = 25 25 + 2 = 27 Ta coù daõy soá : 1, 3 ,5 ,7 9 … 17, 19 , 21 , 23, 25, 27 . c. Hai số liền nhau gọi là một khoảng cách nên mỗi khoảng cách là 2 . Từ 1 đến 27 có số khoảng cách là : ( 27 – 1 ): 2 = 13 Khoảng cách Vậy từ 1 đến 27 có các số lẻ liên tiếp là : 13 + 1 = 14 ( soá) Nhận xét : Từ cách tính số các số hạng của dãy ta có thể nêu thành công thức tìm số các số hạng của dãy số cách đều như sau : Số các số hạng = ( Số lớn nhất – số bé nhất ) : khoảng cách + 1 Bài toán 2: Cho dãy số : 1,4, 7 , 10,… 97 , 100 . a. Tính soá caùc soá haïng cuûa daõy . b. Tính toång caùc soá haïng cuûa daõy . Phân tích : Áp dụng công thức tính số các số hạng của dãy cách đều ta dễ dàng tìm được số các số hạng của dãy trên . Tuy nhiên trước hết ta phải tìm quy luật để suy ra khoảng cách giữa khoảng cách giữa hai số liền nhau trong dãy .. 4.

(45) Ta coù : 1 + 4 + 7 + 10 + …+ 94 + 97 + 100 = ( 1 + 100 ) + ( 4 + 97 + + ( 7 + 94 ) + …+ = 101 + 100 +101 + … Nhö vaäy soá caëp coù toång baèng 101 + 101 + 101 + … Như vậy số cặp có tổng bằng 101 sẽ bằng ½ số các số hạng của dãy . Do đó để Tính tổng các số hạng trên ta có thể tính bằng công thức sau : Tổng các số hạng = ( số lớn nhất + số bé nhất ) .(số các số hạng): 2 Baøi giaûi : a. Nhaän xeùt 4- 1 = 3 7- 4 = 3 10 – 7 = 3 ……………….. 100 – 97 = 3 Quy luật : Hai số đứng liền nhau hơn ( kém ) nhau 3đơn vị . Soá caùc soá haïng cuûa daõy laø : ( 100 – 1 ) : 3 + 1 = 34 ( soá ) Toång soá caùc soá haïng cuûa daõy laø : ( 100 + 1 ) x 34 : 2 = 1717 Bài toán 3 : Cho daõy soá : 2, 5, 8, 11, 14 , 17 , …98 , 101 , 104 , 107 , 110 , a. Tính số các số hạng thứ 25 của dãy b. Tìm số hạng thứ 25 của dãy . c. Xét xem số 56 , 75 , 113 có thuộc dãy số trên không , nếu có thì nó là thứ bao nhiêu của daõy ? Phân tích : Tìm số hạng 25 của dãy tức là tính đến số hạng cần tìm là 25 số hạng . Do đó ta gọi số hạng đó là x rồi vân dụng công thức tính số các số hạng của dãy để tính . Nếu dựa vào quy luật cách đều thì sẽ không nhận biết được số nào trong số đã cho là số haïng cuûa daõy . Chaúng haïn muoán bieát soá 56 coù phaûi laø soá haïng cuûa daõy khoâng ta phaûi xeùt xem soá 53 thuoäc daõy khoâng , muoán bieát 53 coù thuoäc daõy khoâng laïi phaûi xem xeùt soá 50 coù thuộc dãy không….Tuy nhiên ta có thể giả sử số cần xét là số hạng của dãy và tìm vị trí của nó , nếu không tìm được vị trí nào thì số đó không thuộc dãy . Ta cũng có thể tìm cách khác chẳng hạn : Nếu lấy mỗi số của dãy chia cho 3 ( khoảng cách ) thì luôn có số dư là 2 . Như vậy số nào chia cho 3 có số dư là 2 thì mới là số hạng của dãy . Dựa vào cách tính số các số hạng của dãy hoặc thương của nó so với số chỉ vị trí của từng số hạng sẽ biết được vị trí của số hạng đó . Baøi giaûi : a. Nhaän xeùt : 2 + 3= 5 5 + 3= 8 4.

(46) 8 + 3=11 …………….. 101 + 3 = 104 104 + 3 = 107 107 + 3 = 110 Quy luật : Hai số đứng liền nhau hơn ( kém ) nhau 3 đơn vị . Soá caùc soá haïng cuûa daõy laø : ( 110 – 2 ): 3 + 1 = 37 ( soá ) b. Gọi số hạng thứ 25 của dãy là y ta có : ( y – 2 ) : 3 + 1 = 25 ( y – 2 ) : 3 = 25 -1 ( y – 2 ) : 3 = 24 ( y – 2 ) = 24 x 3 Y – 2= 72 Y = 72 + 2 Y = 74 Vậy số hạng thứ 25 của dãy là 74 . Caùch 1 : - Giả sử 56 là số hạng của dãy thì vị trí của nó trong dãy số đó là : - ( 56- 2 ) : 2 + 1 = 19 Tìm được vị trí của số 56 trong dãy nên 56 là số hạng của dãy và là số hạng thứ 19 . - Giả sử 75 là số hạng của dãy thì vị trí của nó trong dãy số đó là : ( 75 – 2 ) : 3+ 1 = 24 Không tìm được vị trí của số 75 trong dãy nên số 75 không thuộc dãy số đó . - Số 113 > 110 ( 110 là số lớn nhất trong dãy ) . Vậy số 113 không phải là số hạng trong daõy soá treân . Caùch 2 : Nhaän xeùt 2 : 3 = 0 ( dö 2 ) 5 : 3 = 0 ( dö 2 ) 8 : 3 = 2 ( dö 3) …………………………… 107 : 3 = 35 ( dö 2 ) 110 : 3 = 2( dö 2 ) Quy luật : Mỗi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều dư 2 và thương kém số chỉ vị trí của nó 1 ñôn vò . + Xeùt soá 56 , ta coù : 56 : 3 = 18 ( dö 2 ) neân 56 laø soá haïng cuûa daõy soá treân .. 4.

(47) Vì thương luôn kém số chỉ vị trí 1 đơn vị mà 18 + 1 = 19 nên số 56 là số hạng thứ 18 của dãy soá treân . + Xeùt soá 60 khoâng phaûi laø soá haïng cuûa daõy . + Xét số 113 : Ta thấy số 113 lớn hơn số lớn nhất của dãy là 110 nên 113 không thuộc dãy soá treân . Lưu ý : Ta cũng có thể tìm số hạng thứ 25 của dãy dựa vào quy luật đồng dư trên . Caùch laøm nhö sau : Vì mỗi số hạng của dãy khi chia cho 3 đều dư 2 và thương kém số chỉ vị trí của nó 1 đơn vị nên số hạng thứ 25 khi chia cho 3 cũng dư 2và được thương là: 25 – 1 = 24 Số hạng thứ 25 của dãy là 24 x 3 + 2=74 Trên đây là 3 bài toán tiêu biểu cho 3 dạng toán về dãy số cách đều .. 4.

(48) Baøi taäp veà nhaø Baøi 1 : Cho daõy soá : 1,5, 10 , 15 , 20 …245 , 250 . a. Tính soá caùc soá haïng cuûa daõy b. Tính toång caùc soá haïng cuûa daõy Baøi 2 : Cho daõy soá : 1, 5, 9,13 , 17, 21 … a. Xaùc ñònh quy luaät cuûa daõy roài vieát theâm 4 soá haïng cuûa daõy . b. Tìm số hạng thứ 32 của dãy . Baøi 3 : Cho daõy soá : 500 , 496, 492 … , 30 , 26 , 22… a. Xaùc ñònh quy luaät cuûa daõy roài vieát theâm 4 soá haïng cuoái cuøng cuûa daõy . b. Tính toång caùc soá haïng cuûa daõy . c. Xem xét các số : 504 , 74 , 47 , 18 ( có thuộc dãy không ? Nếu có thì nó là số hạng thứ bao nhieâu cuûa daõy ?. 4.

(49)

Trích đoạn

Điền số thích hợp vào ơ trống, sao cho tổng các số 3ơ liền nhau bằng:

DANG BAI TINH NHANH CUA HOC SINH LOP 4 VA 5

Trích đoạn

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về