Bài tập Chương IV Đại số 8

CHƯƠNG IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
BÀI 1: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VỚI PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN.
I, BẤT ĐẲNG THỨC:
+ Trên tập hợp số thực, với hai số a và b khác nhau ta ln có:
a  b : số a bằng số b.
a  b : số a lớn hơn số b.
a  b : số a nhỏ hơn số b.

+ Khi hai số a, b bất kì thì ta có thêm 2 TH nữa:
a �b : a lớn hơn hoặc bằng b.
a �b : a nhỏ hơn hoặc bằng b.

Với các hệ thức dạng a  b,a  b gọi là bất đẳng thức. Khi đó a gọi là vế trái, b gọi là vế phải.
Còn a �b, a �b gọi là các BĐT suy rộng.
II, LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG:
+ Khi cộng ( trừ) một số và cả hai vế của một BĐT thì ta được một BĐT mới cùng chiếu với BĐT
đã cho:
a  b  a  c  b  c .

III, LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN:
+ Khi nhân cả hai vế của một BĐT với cùng một số dương thì ta được một BĐT mới cùng chiếu với
BĐT đã cho:
a  b  a.c  b.c,  c  0 

.
+ Khi nhân cả hai vế của một BĐT với cùng một số âm thì ta được một BĐT mới ngược chiều với
BĐT đã cho:
a  b  a.c  b.c,  c  0 

.

IV, TÍNH CHẤT BẮC CẦU:
+ Với ba số a, b, c nếu: a  b và b  c thì a  c .
+ Các tính chất trên đều đúng cho các BĐT suy rộng:
V, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho a  b , hãy so sánh:
a, a  3 với b  3 .
a, a  7 với b  7 .
a,

a   3

với

b   3 

.

 a �b  .

b, 2a với 2b .
b, a.6 với b.6 .

c, 2a  1 với 2b  1 .
c, 3a  4 với 3b  4 .

b, 3a với 3b .

c, 4  3a với 4  3b .
1

a,

a   5 

với

b   5 

.

b,

 5 .a

với

 5 .b .

c, 5a  3 với 5b  3 .

2


Bài 2: Cho a  b hãy so sánh:
a, 5  a với 5  b .
a, a  4 với  b  4 .
a, 11  a với 11  b .
a,

a   3 

với

b   3

Bài 3: So sánh a và b nếu:
a, 8  a �8  b .

.

b, a với b .
b, 3a với 3b .

c, 3a  4 với 3b  4 .
c, 2a  1 với 2b  1 .

b, 7a với 7b .

c, 5  6a với 5  6b .

b,

6.  a 

với

6.  b 

a, a  7 �b  7 .

a, a  1 � b  1 .

b,

5.  a  �5.  b 

b,

4.  a  �4.   b 

a   4  �b   4 

.

c,

6.  a   6

với

6.  b   6

c, 3a  1 �3b  1 .
c, 5a  1 �5b  1 .

b, 6a �6b .
b, 3a �3b .

a,

.

c, 2a  3 �2b  3 .

.
.

c, 4a  5 �4b  5 .

Bài 4: Cho a  b . Chứng minh rằng: a  4  b  4 .
Bài 5: Cho a �2b . Chứng minh rằng: a  6  2b  6 .
Bài 6: Cho a  b . Chứng minh rằng: 9  a  6  b .
Bài 7: Cho a �b . Chứng minh rằng: 10  a  5  b .
Bài 8: Cho 2a  3 �2b  4 . Chứng minh rằng: 2a  1  2b .
Bài 9: Cho 3  4a �3  4b . Chứng minh rằng: 4a  3 �4b  3 .
Bài 10: Cho 2a  1 �2b  3 . Chứng minh rằng: a  2 �b .

3

.


BÀI 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
I, TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
+ Tập hợp tất cả các nghiệm của một BPT gọi là tập nghiệm cảu BPT đó.
+ Việc giải BPT là đi tìm tập nghiệm cảu BPT đó.
+ Biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
VD:
Với tập nghiệm: x  2 :

Với tập nghiệm: x �1 :

II, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG:
+ Hai BPT có cùng tập nghiệm gọi là hai BPT tương đương và dùng kí hiệu: "  " .
VD:
x  3  3x  9 .

III, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN:
ax  b  0,  ax  b  0 
ax  b �0,  ax  b �0 
+ Bất phương trình dạng:
hoặc
trong đó a, b là các số
a
�
0
đã cho với
gọi là BPT bậc nhất một ẩn.

VD: Các BPT bậc nhất một ẩn:
a, 2x  3  0 .
a, 4  2x �0 .

c, 4x �0 .

d, x �0

+ Quy tắc chuyển vế:
Khi chuyển một hạng tử của BPT từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó:
a  b  c  a  c  b .

+ Quy tắc nhân ( Chia) với một số:
Khi nhân hai vế của một BPT với cùng một số khác 0 thì:
Giữ ngun chiều BĐT nếu số đó dương.
Đổi chiều BĐT nếu số đó âm.
IV, BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax  b  0 hoặc ax  b �0 .
+ Bằng các phép tính và sử dụng các quy tắc, ta có thể biến đổi các BPT về dạng BPT cơ bản để giải
BPT đó:
4


VD: Giải bất phương trình sau: 2x  4  x  5 .
Ta có: 2x  4  x  5  2x  x  5  4  x  9 .
Vậy nghiệm của BPT là: x  9 .
V, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a, x  3  5 .

b, x  2 �3x  4 .

a, 3x  1  0 .

b, 2x  7  8  x .

a, 3x  2  8 .

b, 3x  5  2x  1 .

a, 3  2x �4 .

b, 5x  3  3x  4 .

a, 2x  7  0 .

b, 7x  4 �5x  8 .

a, 3x  5  14 .

b, 5x  2 �2x  8 .

x  6 2x  1
�
4 .
c, 3
4x  5 7  x

5 .
c, 3
2x  3 1  3x

5 .
c, 2
3x  1 4  2x
�
2 .
c, 3
5  2x 5x  2

6
3 .
c,

2x  3 8x  11

6 .
c, 2

Bài 2: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
x  2 x 1 x  2

�
3 2  x  �x  8
4
6 .
a, 
.
b, 3
a,

4x  3  3  x  2 

a,

10x  1  3  5x  2 

x  1 2  x 3x  3

�
3
4 .
b, 2
x  5 x  3 2x  1



6
3 .
b, 2

.
.

x  1 4x  3 1  5x


10
25 .
b, 5
x  2 2x  3 x  12

�
4
3
6 .
b,

a,

2  x  3  12 �x  2

a,

3  2  x  1  3  x  1  5

a,

4x  8 �3  3x  2   4  2x

a,

3  x  2   7x �4  x  1  14

.
.
.
.

3x  5 x  4 3x  7

�
6
3 .
b, 4
12x  1 9x  3 8x  1
�

3
4 .
b, 12

Bài 3: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
2x  1 x 7
2

 �
x  1 �x  x  3

2 6.
a,
.
b, 3
x  2 2x  1
2
�
1
2x  3  x  4x  3

4
a,
.
b, 3
.
5


a,

 2x  1  7  x  4x  3

a,

 x  1  x  3  x 2  9  0 .

1  2x

1  5x
2�
8 .
b, 4
x  2 3x  1

 2
5
b, 3
.

x  3  x  3  x  x  2  �0
a, 
.

x 1
x 1
1 
8
3
b, 4
.

2

.

Bài 4: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
x 1
x2

x
 1 �2x 
1
2.
a, x  3
.
b, 3

2x  1
1
a, x  1
.
2x  3
�1
a, x  2
.
3x  1
2
a, x  2
.
4x  3
5
a, x  2
.
4x  3
2
a, 2x  1
.

b,

x

2x  1
2
 2x 
2
3.

1  3x
x 1
 3 �x 
4 .
b, 2
x 3
1  2x
x 
2
5
b, 2
.
1  2x
1  5x
2�
x
8
b, 4
.
x  3 x  12 x  1


�
x
12
3
b, 4
.

Bài 5: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
4x
1
22x  3 5x  2 2x  1

0


7
6 .
a, x  9 x  1
.
b, 21

x 3 x 5

2
a, x  5 x  3
.
5x  1 3x  2

2
a, x  3 x  2

.

x  4 2x  9 15x  17


12
24 .
b, 8
2  x  3 x  5 12x  4

�
7
3
21 .
b,

Bài 6: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

x 1 x 1
 
2 3.
a, 3
2x  5 3  x
1

6
4 .
a,

x  2 3 x  2

�
5
3
2
b,
.
3x  2 x  2
x  12

�1 
3
12 .
b, 4

2  1  2x  3  2  x 
�
3
2
a,
.

2x  1 x  5 4x  1

�
2
3
12
b, 4
.

4x 

Bài 7: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
x  15 x  13 x  11 x  9

�

71
69
67 .
a, 73
6


3  2x  1 5x  3 x  1
7


�x 
4
6
3
12 .
a,
Bài 8: Kiểm tra xem x  2 có là nghiệm của BPT sau hay khơng?
2
a, 4x  3 � x  10 .
2
2
b, x  2x �4  x .

7


Bài 9: Xét xem x  6 có là nghiệm của BPT sau hay không?
a, 1  5x �x  4 .
2
1

2
b, 7x  4 14  x .
2

Bài 10: Xét xem x  3 có là nghiệm của BPT sau hay không?
2x  5
1
3
x 1
a, 3
b,

4x 2 

x6 2
� x  10
3
3
.

Bài 11: Tìm m để x  2 là nghiệm của BPT sau:

x  13
m x
 m  2x 
10 .
a, 5
b,

4x 2   m  1 x  2  m �0

.

Bài 12: Tìm m để x  7 là nghiệm của BPT:

 m  1 x  3  2x  24
x2

.

Bài 13: Tìm giá trị nguyên của x để x là nghiệm đúng của cả hai BPT sau:
x  24 x
x2
7x  3 x  3
 x

�3
5
3
2 và 8
12
.

Bài 14: Tìm m để hai BPT sau có cùng tập nghiệm:

x 2  x  5   4  5x

và mx  5  x  2m .

2  x 1  2y 8

�
x

y
�
2
1

x
1

2y
7
Bài 15: Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn:
. Chứng minh

8


BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.
I, NHẮC LẠI VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
+ Giá trị tuyệt đối của một số a là khoảng cách từ số a đến số 0 trên trục số. Kí hiệu:

a

.

a,  a �0 
�
a �
a,  a  0 
�
Ta có:
.
VD: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:
a,

A  2x  5  2x  3

.

b,

B   x  5  5  2x

.

II, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
+ Sừ dụng định nghĩa chia các TH để giải PT chứa dấu giá trị tuyệt đối.
+ Sử dụng tính chất về GTTĐ để giải quyết các PT.
a  a
 a �a �a

a  b �a  b

. Dấu "  " xảy ra khi: a.b �0 ( a và b cùng dấu).

a  b �a  b

. Dấu "  " xảy ra khi: a.b �0 ( a và b trái dấu).

a  b �a  b

. Dấu "  " xảy ra khi: a.b �0 ( a và b cùng dấu).

III, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:
a,
a,
a,
a,
a,
a,
a,
a,
a,

A  1  x  2x  1

.

A  x  3  2x  3
A  x  5  4  5x

b,
.

b,

.

b,

A  6  3x  2x  1

.

A  6  2x  3x  4
A  3  3x  4x  3
A  4  3x  3x  4
A  4  2x  4x  2

b,

với x  5 .

A   4x  x 4

với x �4 .

A  x  1  2x  3

với x �1 .

A  2x  4  3x  6

với x �6 .

A  4  3x  4  5x

với x �0 .
5
x�
A  3x  4  2x  5
2.
b,
với
3
x

A  2x  3  4  5x
2.
b,
với

.

b,

.
.

1

x�
2 .
b,
với
5
x
A  2x  5  x  5
2 .
b,
với
A  2x  1  2x  3

.

A  2x  5  2x  16

A  2x  4  x  3

.

9


a,

A  3x  2  2x  1

.

3

x
�
A  2x  3  2x  3
2 .
b,
với

10


f  x  g x

DẠNG 1: Phương trình dạng

.

Phương pháp:
g  x  �0
�
�
f  x   g  x   �
f  x   �g  x 
�
Cách 1:
.
Cách 2: Sử dụng pp chia khoảng:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a,
a,
a,

a,
a,
a,
a,
a,
a,
a,

x  3  x

x 3 4
  3
2
4 2
b,
.
1
5
2x   x 
3
6.
b,

.

x  1  1  3x

.

x  1  7  3x

x  5  3x  1
x  1  2x  5

x
.

b,

.

x  9  2x  3
5  x  2x  5

1
5
 2x 
2
4.

.

.

1
3
 2x  2x 
4.
b, 2
2x 1 4x
 

1
3
4
3
b,
.

.

1
5
x 5  x  2
4
b, 4
.

.

x  6  6  x

c,
c,
c,

3
x
x  2  3
2.
b, 2
x 4

2x
  2
3 .
b, 3 3

.

7  x  2x  3

c,

5
x
x 3   4
3
b, 3
.
3 3
x  x4
2 2
b,
.

.

x  3  5x  2

c,

c,

c,
c,
c,
c,

x 2  3x  5x
x 2  5x  6x

.
.

x 2  2x   x

.

x2  x  x 1

.

x 2  8x  5x

.

x 2  3x  12x

.

5x 2  12x  3x
x 2  2x   x  2

.
.

2x 2  x  4x  2

.

x 2  5x  3x  15

.

Bài 2: Giải các phương trình sau:
a,
a,
a,
a,
a,
a,

2  x  2x  3

.

b,
.

b,

5c  3  4  3x
2x  1  3x  4

3x  2  2x  3

.

b,

.

19  x  2x  1

b,
.

3x  2x  1  7  0

b,
.

b,

x 1  x2  5

.

x  12  x 2  6x
3x  6  x  2x
2

c,
.

c,

.

c,

6x  12   x  x
2

.

2x  8   x 2  4x

c,
.

2x  4  x  3x  2
2

c,
.

c,

1  x  2x  1

.

x  1  7  3x

x  1  3  2x
x  3  2x  1
x  1  2x  9
x  3  2x  1

.
.
.
.
.
11


12


Bài 3: Giải các phương trình sau:
a,
a,
a,
a,
a,
a,
a,
a,
a,
a,

x 2  4x  6x  24
x 2  2x  4x  8

.

b,

.

b,

.

b,
.

b,

x  7  5x  x  1
2

x  4x  3x  12
2

 x 2  4x  1  x  1

.

x  6x  8  4x  16
2

b,

.

3x  2x  1  3x  1
2

2x 2  3x  1  2x  1
x 2  3x  20  9x  12

b,

3x  4  1  x

.

5x  1  2x  6

.

5x  2  7x  3
3x  6  20  x

.
.

x  4  15  2x

.

2x  4  3x  2

.

.

2
b, 2x  5x  3  0 .

.

b,

.

b,

.

b,

x  4x  8  2x  16
2

3x  2x  5  10
3x  5  7x  3
2x  3   x  21

DẠNG 2: Phương trình dạng

.
.

.

f  x  g  x

.

Phương pháp:
�
f  x  g x
�
f  x   g  x   �
f  x   g  x 
�
Cách 1:
.
Cách 2: Sử dụng pp chia khoảng:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a,
a,
a,
a,

x  3  3x  1

1 x
x 4
  
4 3 .
b, 3 2
3 3

x   x 1
2 2
b,
.

.

2  x  1  3x
1  x  4  3x

.

c,

x 4
4
  1 x
3 .
b, 3 3
3
1
x   4x  1
2
b, 2
.

.

5  x  2x  5

c,

.

c,
c,

x 2  6x

.

3x 2  4x

.

5x 2  7x
6x   2x 2

.
.

Bài 2: Giải các phương trình sau:
a,
a,
a,

7  2x  x  9
2x  1  2x  1
5x  1  2x  6

.

b,

.

b,

.

b,

x 2  1  2x
x 2  5  6x
x 2  9  6x

2
7
 2x   0
3
2
c,
.
7
5 1
x  x5  0
6 2
c, 8
.
5

7 5
3
x  x 0
2 8
5
c, 4
.
x

.
.
.

13


a,
a,
a,

3x  2  2x  3
2x  3  3x  4

.

b,

.

b,

4  3x  2x  10

.

b,

9x 2  1  6x

.

x 2  6  5x
x 2  4  4x

.
.

2
1 1
5
x  x 0
4 3
6
c, 3
.
1
5 3
4
x  x 0
4 4

5
c, 4
.
1
3 4
2
x  x 0
4 5
5
c, 4
.

Bài 3: Giải các phương trình sau:
a,
a,
a,
a,

x  1  2x  3  0
x  6  2x  3  0

.

b,

x 2  5x  0

.

 x  3x  0

c,

2

.

7x  1  5x  6  0
2x  3  3x  2  0

b,
b,

4x  6x  0

.

c,

b,

3x  4x  0

.

x  30  11x
2

.

c,

2

.

x  12  8x

.

2

2

.

x 2  16  8x

x  21  10x

.

2

.

c,

.

14