Bài tập Chương IV Đại số 8

CHƯƠNG IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
BÀI 1: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VỚI PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN.
I, BẤT ĐẲNG THỨC:
+ Trên tập hợp số thực, với hai số a và b khác nhau ta ln có:
a  b : số a bằng số b.
a  b : số a lớn hơn số b.
a  b : số a nhỏ hơn số b.
+ Khi hai số a, b bất kì thì ta có thêm 2 TH nữa:
a  b : a lớn hơn hoặc bằng b.
a  b : a nhỏ hơn hoặc bằng b.
Với các hệ thức dạng a  b, a  b gọi là bất đẳng thức. Khi đó a gọi là vế trái, b gọi là vế phải.
Còn a  b, a  b gọi là các BĐT suy rộng.
II, LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG:
+ Khi cộng ( trừ) một số và cả hai vế của một BĐT thì ta được một BĐT mới cùng chiếu với BĐT
đã cho:
a  b  a  c  b  c .

III, LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN:
+ Khi nhân cả hai vế của một BĐT với cùng một số dương thì ta được một BĐT mới cùng chiếu với
BĐT đã cho:
a  b  a.c  b.c,  c  0  .

+ Khi nhân cả hai vế của một BĐT với cùng một số âm thì ta được một BĐT mới ngược chiều với
BĐT đã cho:
a  b  a.c  b.c,  c  0  .

IV, TÍNH CHẤT BẮC CẦU:
+ Với ba số a, b, c nếu: a  b và b  c thì a  c .
+ Các tính chất trên đều đúng cho các BĐT suy rộng:  a  b  .
V, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho a  b , hãy so sánh:

a, a  3 với b  3 .
a, a  7 với b  7 .

b, 2a với 2b .
b, a.6 với b.6 .

c, 2a  1 với 2b  1 .
c, 3a  4 với 3b  4 .

a, a   3  với b   3  .

b, 3a với 3b .

c, 4  3a với 4  3b .

a, a   5  với b   5  .

b,  5  .a với  5  .b .

c, 5a  3 với 5b  3 .

1


2


Bài 2: Cho a   b hãy so sánh:
a, 5  a với 5  b .
a, a  4 với  b  4 .

a, 11  a với 11  b .

b, a với b .
b, 3a với 3b .
b, 7a với 7b .

c, 3a  4 với 3b  4 .
c, 2a  1 với 2b  1 .
c, 5  6a với 5  6b .

b, 6.  a  với 6.   b  .

c, 6.   a   6 với 6.   b   6 .

b, 6a  6b .
b, 3a  3b .

c, 3a  1  3b  1 .
c, 5a  1  5b  1 .

a,  a  1   b  1 .

b, 5.   a   5.   b  .

c, 2a  3  2b  3 .

a, a   4   b   4  .

b, 4.  a   4.   b  .

c, 4a  5  4b  5 .

a, a   3  với  b   3  .
Bài 3: So sánh a và b nếu:
a, 8  a  8  b .
a, a  7  b  7 .

Bài 4: Cho a  b . Chứng minh rằng: a  4  b  4 .
Bài 5: Cho a  2b . Chứng minh rằng: a  6  2b  6 .
Bài 6: Cho a   b . Chứng minh rằng: 9  a  6  b .
Bài 7: Cho a   b . Chứng minh rằng: 10  a  5  b .
Bài 8: Cho 2a  3  2b  4 . Chứng minh rằng: 2a  1  2b .
Bài 9: Cho 3  4a  3  4b . Chứng minh rằng: 4a  3  4b  3 .
Bài 10: Cho 2a  1  2b  3 . Chứng minh rằng: a  2  b .

3


BÀI 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
I, TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
+ Tập hợp tất cả các nghiệm của một BPT gọi là tập nghiệm cảu BPT đó.
+ Việc giải BPT là đi tìm tập nghiệm cảu BPT đó.
+ Biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
VD:
Với tập nghiệm: x  2 :

(
Với tập nghiệm: x  1 :

-2

0

]
0

1

II, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG:
+ Hai BPT có cùng tập nghiệm gọi là hai BPT tương đương và dùng kí hiệu: "  " .
VD:
x  3  3x  9 .

III, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN:
+ Bất phương trình dạng: ax  b  0,  ax  b  0  hoặc ax  b  0,  ax  b  0  trong đó a, b là các số
đã cho với a  0 gọi là BPT bậc nhất một ẩn.
VD: Các BPT bậc nhất một ẩn:
a, 2x  3  0 .
a, 4  2x  0 .

c, 4x  0 .

d, x  0

+ Quy tắc chuyển vế:
Khi chuyển một hạng tử của BPT từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó:
a  b  c  a  c  b .
+ Quy tắc nhân ( Chia) với một số:
Khi nhân hai vế của một BPT với cùng một số khác 0 thì:
Giữ nguyên chiều BĐT nếu số đó dương.

Đổi chiều BĐT nếu số đó âm.
IV, BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax  b  0 hoặc ax  b  0 .
+ Bằng các phép tính và sử dụng các quy tắc, ta có thể biến đổi các BPT về dạng BPT cơ bản để giải
BPT đó:
VD: Giải bất phương trình sau: 2x  4  x  5 .
4


Ta có: 2x  4  x  5  2x  x  5  4  x  9 .
Vậy nghiệm của BPT là: x  9 .
V, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a, x  3  5 .

b, x  2  3x  4 .

c,

a, 3x  1  0 .

b, 2x  7  8  x .

c,

a, 3x  2  8 .

b, 3x  5  2x  1 .

c,

a, 3  2x  4 .

b, 5x  3  3x  4 .

c,

a, 2x  7  0 .

b, 7x  4  5x  8 .

c,

a, 3x  5  14 .

b, 5x  2  2x  8 .

c,

x  6 2x  1

.
3
4
4x  5 7  x

.
3
5
2x  3 1  3x


.
2
5
3x  1 4  2x

.
3
2
5  2x 5x  2

.
6
3
2x  3 8x  11

.
2
6

Bài 2: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
x  2 x 1 x  2


a, 3  2  x   x  8 .
b,
.
3
4
6
x  1 2  x 3x  3



a, 4x  3  3  x  2  .
b,
.
2
3
4
x  5 x  3 2x  1


a, 10x  1  3  5x  2  .
b,
.
2
6
3
x  1 4x  3 1  5x


a, 2  x  3   12  x  2 .
b,
.
5
10
25
x  2 2x  3 x  12


a, 3  2  x  1  3  x  1  5 .

b,
.
4
3
6
3x  5 x  4 3x  7


a, 4x  8  3  3x  2   4  2x .
b,
.
4
6
3
12x  1 9x  3 8x  1


a, 3  x  2   7x  4  x  1  14 .
b,
.
12
3
4
Bài 3: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
2x  1 x 7
2
  .
a,  x  1  x  x  3 .
b,
3

2 6
x  2 2x  1
2

1.
a,  2x  3  x  4x  3 .
b,
3
4
1  2x
1  5x
2
2
a,  2x  1  7  x  4x  3 .
b,
.
4
8

5


x  2 3x  1

 2 .
3
5
x 1
x 1
1 

8.
b,
4
3

a,  x  1 x  3   x 2  9  0 .

b,

a,  x  3  x  3   x  x  2   0 .

Bài 4: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
x 1
x2
x
1.
 1  2x  .
a,
b,
x 3
3
2
2x  1
2x  1
2
1.
 2x  .
a,
b, x 
x 1

2
3
2x  3
1  3x
x 1
 1.
3 x 
a,
b,
.
x2
2
4
3x  1
x 3
1  2x
 2.
x 
2.
a,
b,
x2
2
5
4x  3
1  2x
1  5x
5.
2
x.

a,
b,
x2
4
8
4x  3
x  3 x  12 x  1
 2.


x.
a,
b,
2x  1
4
12
3
Bài 5: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
4x
1
22x  3 5x  2 2x  1

 0.


a,
b,
.
x  9 x 1
21

7
6
x 3 x 5
x  4 2x  9 15x  17

2.


a,
b,
.
x 5 x 3
8
12
24
a,

5x  1 3x  2

 2.
x 3 x 2

b,

2  x  3 x  5 12x  4


.
7
3

21

Bài 6: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

x 1 x 1
  .
3
2 3
2x  5 3  x

a, 1 
.
6
4
a,

a,

2 1  2x  3  2  x 

.
3
2

x  2 3  x  2

 5.
3
2
3x  2 x  2

x  12

 1
b,
.
4
3
12
b, 4x 

b,

2x  1 x  5 4x  1


2.
4
3
12

Bài 7: Giải các BPT sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
x  15 x  13 x  11 x  9



a,
.
73
71
69

67
a,

3  2x  1 5x  3 x  1
7


x .
4
6
3
12

Bài 8: Kiểm tra xem x  2 có là nghiệm của BPT sau hay không?
a, 4x  3  x 2  10 .
6


b, x 2  2x  4  x 2 .

7


Bài 9: Xét xem x  6 có là nghiệm của BPT sau hay không?
a, 1  5x  x 2  4 .
2
1

b,
.

7x  4 14  x 2
Bài 10: Xét xem x  3 có là nghiệm của BPT sau hay không?
2x  5
1
3
a,
3
x 1
x6 2
 x  10 .
b, 4x 2 
3
3
Bài 11: Tìm m để x  2 là nghiệm của BPT sau:
x  13
mx
 m  2x 
a,
.
5
10
b, 4x 2   m  1 x  2  m  0 .

Bài 12: Tìm m để x  7 là nghiệm của BPT:

 m  1 x  3  2x  24 .
x2

Bài 13: Tìm giá trị nguyên của x để x là nghiệm đúng của cả hai BPT sau:
x  24 x

x2
7x  3 x  3
 x

3.
và
5
3
2
8
12
Bài 14: Tìm m để hai BPT sau có cùng tập nghiệm: x 2  x  5   4  5x và mx  5  x  2m .

Bài 15: Cho x, y là các số thực không âm thỏa mãn: x  y  2 . Chứng minh

2  x 1  2y 8


1  x 1  2y 7

8


BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.
I, NHẮC LẠI VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
+ Giá trị tuyệt đối của một số a là khoảng cách từ số a đến số 0 trên trục số. Kí hiệu: a .
a,  a  0 
Ta có: a  
.
 a,  a  0 

VD: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:
a, A  2x  5  2x  3 .

b, B   x  5  5  2x .

II, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
+ Sừ dụng định nghĩa chia các TH để giải PT chứa dấu giá trị tuyệt đối.
+ Sử dụng tính chất về GTTĐ để giải quyết các PT.
a  a
 a a a
a  b  a  b . Dấu "  " xảy ra khi: a.b  0 ( a và b cùng dấu).
a  b  a  b . Dấu "  " xảy ra khi: a.b  0 ( a và b trái dấu).
a  b  a  b . Dấu "  " xảy ra khi: a.b  0 ( a và b cùng dấu).

III, BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:
a, A  1  x  2x  1 .

b, A  2x  4  x  3 với x  5 .

a, A  x  3  2x  3 .

b, A   4  x  x  4 với x  4 .

a, A  x  5  4  5x .

b, A  x  1  2x  3 với x  1 .

a, A  6  3x  2x  1 .

b, A  2x  4  3x  6 với x  6 .

a, A  6  2x  3x  4 .

b, A  4  3x  4  5x với x  0 .

a, A  3  3x  4x  3 .

b, A  3x  4  2x  5 với x 

a, A  4  3x  3x  4 .

b,

a, A  4  2x  4x  2 .

b,

a, A  2x  5  2x  16 .

b,

a, A  3x  2  2x  1 .

b,

5
.
2
3

A  2x  3  4  5x với x  .
2
1
.
A  2x  1  2x  3 với x 
2
5
.
A  2x  5  x  5 với x 
2
3
.
A  2x  3  2x  3 với x 
2

9


10


DẠNG 1: Phương trình dạng f  x   g  x  .
Phương pháp:
g  x   0
Cách 1: f  x   g  x   
.
f  x    g  x 
Cách 2: Sử dụng pp chia khoảng:
Bài 1: Giải các phương trình sau:

x 3 4
  3.
2 4 2

c, x 2  3x  5x .

a, x  3   x .

b,

a, x  1  1  3x .

b, 2x 

a, x  1  7  3x .

b, x 

a, x  5  3x  1 .

b,

a, x  1  2x  5 .

b, x 

a, x  3  5x  2 .

b,

3
x
x  2  3 .
2
2

c, x 2  3x  12x .

a, x  9  2x  3 .

b,

x 4
2x
  2
.
3 3
3

c, 5x 2  12x  3x .

a, 5  x  2x  5 .

b,

1
3
 2x  2x  .
2
4

c, x 2  2x   x  2 .

a, 7  x  2x  3 .

b,

2x 1 4x
 
1 .
3 4
3

c, 2x 2  x  4x  2 .

a, x  6  6  x .

b,

1
5
x 5  x  2.
4
4

c, x 2  5x  3x  15 .

1
5
x .

3
6

c, x 2  5x  6x .

1
5
 2x  .
2
4

c, x 2  2x  x .

5
x
x 3   4.
3
3

c, x 2  x  x  1 .

3 3
 x 4.
2 2

c, x 2  8x  5x .

Bài 2: Giải các phương trình sau:
a, 2  x  2x  3 .

b, x  1  x 2  5 .

c, 1  x  2x  1 .

a, 5c  3  4  3x .

b, x  12  x 2  6x .

c, x  1  7  3x .

a, 2x  1  3x  4 .

b, 3x  6  x 2  2x .

c, x  1  3  2x .

a, 3x  2  2x  3 .

b, 6x  12   x 2  x .

c, x  3  2x  1 .

a, 19  x  2x  1 .

b, 2x  8   x 2  4x .

c, x  1  2x  9 .

a, 3x  2x  1  7  0 .

b, 2x  4  x 2  3x  2 .

c, x  3  2x  1 .

11


Bài 3: Giải các phương trình sau:
a, x 2  4x  6x  24 .

b, 3x  4  1  x .

a, x 2  2x  4x  8 .

b, 5x  1  2x  6 .

a, x 2  7  5x  x  1 .

b, 5x  2  7x  3 .

a, x 2  4x  3x  12 .

b, 3x  6  20  x .

a,  x 2  4x  1  x  1 .

b, x  4  15  2x .

a, x 2  6x  8  4x  16 .

b, 2x  4  3x  2 .

a, 3x 2  2x  1  3x  1 .

b, 2x 2  5x  3  0 .

a, 2x 2  3x  1  2x  1 .

b, 3x  2x  5  10 .

a, x 2  3x  20  9x  12 .

b, 3x  5  7x  3 .

a, x 2  4x  8  2x  16 .

b, 2x  3   x  21 .

DẠNG 2: Phương trình dạng f  x   g  x  .
Phương pháp:
f  x   g  x 
Cách 1: f  x   g  x   
.
f  x   g  x 
Cách 2: Sử dụng pp chia khoảng:
Bài 1: Giải các phương trình sau:

1 x x 4
   .
3 2 4 3

c, x 2  6x .

a, x  3  3x  1 .

b,

a, 2  x  1  3x .

b, x 

a, 1  x  4  3x .

b,

x 4
4
  1 x .
3 3
3

c, 5x 2  7x .

a, 5  x  2x  5 .

b,

3
1
x   4x  1 .

2
2

c, 6x   2x 2 .

3 3
 x 1 .
2 2

c, 3x 2  4x .

Bài 2: Giải các phương trình sau:

2
7
 2x   0 .
3
2

a, 7  2x  x  9 .

b, x 2  1  2x .

c, x 

a, 2x  1  2x  1 .

b, x 2  5  6x .

c,

7
5 1
x   x 5  0 .
8
6 2

a, 5x  1  2x  6 .

b, x 2  9  6x .

c,

5
7 5
3
x  x 0.
4
2 8
5

a, 3x  2  2x  3 .

b, 9x 2  1  6x .

c,

2
1 1
5

x  x  0.
3
4 3
6
12


a, 2x  3  3x  4 .

b, x 2  6  5x .

c,

1
5 3
4
x  x 0.
4
4 4
5

a, 4  3x  2x  10 .

b, x 2  4  4x .

c,

1
3 4
2

x  x 0.
4
4 5
5

a, x  1  2x  3  0 .

b, x 2  5x  0 .

c, x 2  16  8x .

a, x  6  2x  3  0 .

b, x 2  3x  0 .

c, x 2  12  8x .

a, 7x  1  5x  6  0 .

b, 4x 2  6x  0 .

c, x 2  30  11x .

a, 2x  3  3x  2  0 .

b, 3x  4x 2  0 .

c, x 2  21  10x .

Bài 3: Giải các phương trình sau:

13